Lei dos Senos e dos Cossenos - NS Aulas Particulares

Lei dos Senos e dos Cossenos 1. (G1 - cftrj 2014) Considerando que ABC é um triângulo tal que AC  4 cm, BC  13 cm e ˆ  60, calcule os possíveis valores para a medida do lado AB. A 2. (Ufpr 2014) Dois navios deixam um porto ao mesmo tempo. O primeiro viaja a uma velocidade de 16 km/h em um curso de 45° em relação ao norte, no sentido horário. O segundo viaja a uma velocidade 6 km/h em um curso de 105° em relação ao norte, também no sentido horário. Após uma hora de viagem, a que distância se encontrarão separados os navios, supondo que eles tenham mantido o mesmo curso e velocidade desde que deixaram o porto? a) 10 km. b) 14 km. c) 15 km. d) 17 km. e) 22 km. 3. (G1 - ifsp 2014) A base de um triângulo isósceles mede 3 3 cm e o ângulo oposto à base mede 120°. A medida dos lados congruentes desse triângulo, em centímetros, é a) 3. b) 2. c) 3. d) 1  3. e) 2  3. 4. (Unicamp 2013) Na figura abaixo, ABC e BDE são triângulos isósceles semelhantes de ˆ  30. Portanto, o comprimento do segmento bases 2a e a, respectivamente, e o ângulo CAB CE é:

a) a

5 3

b) a

8 3

c) a

7 3

d) a 2

www.nsaulasparticulares.com.br

Página 1 de 25

5. (Ufsm 2013) A caminhada é uma das atividades físicas que, quando realizada com frequência, torna-se eficaz na prevenção de doenças crônicas e na melhora da qualidade de vida. Para a prática de uma caminhada, uma pessoa sai do ponto A, passa pelos pontos B e C e retorna ao ponto A, conforme trajeto indicado na figura.

Quantos quilômetros ela terá caminhado, se percorrer todo o trajeto? a) 2,29. b) 2,33. c) 3,16. d) 3,50. e) 4,80. 6. (Ufrgs 2013) Os lados de um losango medem 4 e um dos seus ângulos 30°. A medida da diagonal menor do losango é a) 2 2  3 . b)

2  3.

c) 4 2  3 . d) 2 2  3 . e) 4 2  3 . 7. (Epcar (Afa) 2013) Um triângulo é tal que as medidas de seus ângulos internos constituem uma progressão aritmética e as medidas de seus lados constituem uma progressão geométrica. Dessa maneira, esse triângulo NÃO é a) acutângulo. b) equilátero. c) obtusângulo. d) isósceles. 8. (Unicamp 2013) Um satélite orbita a 6.400 km da superfície da Terra. A figura abaixo representa uma seção plana que inclui o satélite, o centro da Terra e o arco de circunferência AB. Nos pontos desse arco, o sinal do satélite pode ser captado. Responda às questões abaixo, considerando que o raio da Terra também mede 6.400 km. a) Qual o comprimento do arco AB indicado na figura? b) Suponha que o ponto C da figura seja tal que cos(θ)  3 / 4. Determine a distância d entre o ponto C e o satélite.


Página 2 de 25

9. (Unesp 2013) Um professor de geografia forneceu a seus alunos um mapa do estado de São Paulo, que informava que as distâncias aproximadas em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Campinas e entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Guaratinguetá eram, respectivamente, 80km e 160km. Um dos alunos observou, então, que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Campinas e Sorocaba formavam um triângulo equilátero. Já um outro aluno notou que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Guaratinguetá e Campinas formavam um triângulo retângulo, conforme mostra o mapa.

Com essas informações, os alunos determinaram que a distância em linha reta entre os pontos que representam as cidades de Guaratinguetá e Sorocaba, em km, é próxima de a) 80  2  5  3 b) 80  5  2  3 c) 80  6 d) 80  5  3  2 e) 80  7  3 10. (Uepb 2012) A diagonal menor de um paralelogramo divide um de seus ângulos internos em dois outros. Um β e o outro 2β. A razão entre o maior e o menor lado do paralelogramo é a) 2senβ

1 2cosβ c) 2cosβ b)

1 2senβ e) tgβ d)


Página 3 de 25

ˆ ao meio. 11. (Uftm 2012) Na figura, AEFG é um quadrado, e BD divide o ângulo ABC

Sendo CD  2 3 cm, o lado do quadrado AEFG, em centímetros, mede a) b)

3 1 . 2 3  1.

c)

6( 3  1) . 5

d)

4( 3  1) . 3

e)

3( 3  1) . 2

12. (Ufjf 2012) Uma praça circular de raio R foi construída a partir da planta a seguir:

Os segmentos AB, BC e CA simbolizam ciclovias construídas no interior da praça, sendo que

AB  80 m. De acordo com a planta e as informações dadas, é CORRETO afirmar que a medida de R é igual a: 160 3 m a) 3 b)

80 3 m 3

c)

16 3 m 3

d)

8 3 m 3

e)

3 m 3


Página 4 de 25

13. (Ufg 2012) Observe a figura a seguir, em que estão indicadas as medidas dos lados do triângulo maior e alguns dos ângulos.

O seno do ângulo indicado por α na figura vale: a)

4 3 3 10

b)

4 3 10

c)

43 3 10

d)

43 3 10

e)

4 3 3 10

14. (Uem 2012) Sejam A, B e C os vértices de um triângulo retângulo, sendo Â o ângulo reto e AC medindo o triplo de AB. Considerando agora os pontos D e E no segmento AC, de modo que AD = DE = EC, e F sendo o ponto médio do segmento BC, assinale o que for correto.

10 . 10 02) Os triângulos BDC e FEC são congruentes. 2 04) sen(BDC) = . 2 08) Os triângulos EDF e BDF são semelhantes. 5 16) cos(EFC) = . 5 01) cos(B) =


Página 5 de 25

15. (Unesp 2012) No dia 11 de março de 2011, o Japão foi sacudido por terremoto com intensidade de 8,9 na Escala Richter, com o epicentro no Oceano Pacífico, a 360 km de Tóquio, seguido de tsunami. A cidade de Sendai, a 320 km a nordeste de Tóquio, foi atingida pela primeira onda do tsunami após 13 minutos. (O Estado de S.Paulo, 13.03.2011. Adaptado.)

Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que cos   0,934 , onde  é o ângulo Epicentro-Tóquio-Sendai, e que 28  32  93,4  215 100 , a velocidade média, em km/h, com que a 1ª onda do tsunami atingiu até a cidade de Sendai foi de: a) 10. b) 50. c) 100. d) 250. e) 600. 16. (Unicamp 2012) Um topógrafo deseja calcular a distância entre pontos situados à margem de um riacho, como mostra a figura a seguir. O topógrafo determinou as distâncias mostradas na figura, bem como os ângulos especificados na tabela abaixo, obtidos com a ajuda de um teodolito.

Visada ^

A CB ^

BCD ^

A BC

Ângulo π 6 π 3 π 6

a) Calcule a distância entre A e B. b) Calcule a distância entre B e D.


Página 6 de 25

17. (Fgv 2012) a) Determine o perímetro do triângulo na forma decimal aproximada, até os décimos. Se quiser, use algum destes dados: 352  1225 ; 362  1296 ; 372  1369 .

b) Um aluno tinha de fazer um cartaz triangular, em cartolina. Decidiu construir o triângulo com as seguintes medidas dos lados: 6 cm , 8 cm , e 16 cm . Ele conseguirá fazer o cartaz? Por quê? 18. (Uftm 2012) Na figura estão posicionadas as cidades vizinhas A, B e C, que são ligadas por estradas em linha reta. Sabe-se que, seguindo por essas estradas, a distância entre A e C é de 24 km, e entre A e B é de 36 km.

Nesse caso, pode-se concluir que a distância, em km, entre B e C é igual a a) 8 17. b) 12 19. c) 12 23. d) 20 15. e) 20 13. 19. (Pucrj 2012) Seja um hexágono regular ABCDEF. A razão entre os comprimentos dos segmentos AC e AB é igual a: a) 2 3 b) 2 1 5 c) 2 d) 3 e) 2


Página 7 de 25

20. (Ufsm 2011) A figura a seguir apresenta o delta do rio Jacuí, situado na região metropolitana de Porto Alegre. Nele se encontra o parque estadual Delta do Jacuí, importante parque de preservação ambiental. Sua proximidade com a região metropolitana torna-o suscetível aos impactos ambientais causados pela atividade humana.

A distância do ponto B ao ponto C é de 8 km, o ângulo A mede 45° e o ângulo C mede 75°. Uma maneira de estimar quanto do Delta do Jacuí está sob influência do meio urbano é dada pela distância do ponto A ao ponto C. Essa distância, em km, é

8 6 3 b) 4 6 a)

c) 8 2  3 d) 8( 2  3) e)

2 6 3

21. (G1 - cftmg 2011) Um grupo de escoteiros pretende escalar uma montanha ate o topo, representado na figura abaixo pelo ponto D, visto sob ângulos de 40° do acampamento B e de 60° do acampamento A. Dado: sen 20º  0,342

Considerando que o percurso de 160 m entre A e B e realizado segundo um angulo de 30° em relação a base da montanha, então, a distância entre B e D, em m, e de, aproximadamente, a) 190. b) 234. c) 260. d) 320. www.nsaulasparticulares.com.br

Página 8 de 25

22. (Unesp 2011) Uma pessoa se encontra no ponto A de uma planície, às margens de um rio e vê, do outro lado do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo de determinar a altura h do mastro, ela anda, em linha reta, 50 m para a direita do ponto em que se encontrava e marca o ponto C. Sendo D o pé do mastro, avalia que os ângulos BÂC e valem 30°, e o vale 105°, como mostra a figura:

a) 12,5. b) 12,5 2 . c) 25,0. d) 25,0 2 . e) 35,0. 23. (Ita 2011) Num triângulo AOB o ângulo AÔB mede 135° e os lados AB e OB medem

2 cm e

2  3cm , respectivamente. A circunferência de centro em O e raio igual a medida

de OB intercepta AB no ponto C (≠ B). a) Mostre que mede 15°. b) Calcule o comprimento de AC 24. (G1 - epcar (Cpcar) 2011) Considere o octógono regular ABCDEFG inscrito numa circunferência λ de raio R Se esse mesmo octógono circunscreve uma circunferência á de raio r, então a razão entre os quadrados dos comprimentos das circunferências λ e α é, nessa ordem, igual a



a) 2  2



  c) 2  2  2  b) 2 2  2

d) 2  2 25. (Fuvest 2011) No losango ABCD de lado 1, representado na figura, tem-se que M é o ponto médio de AB , N é o ponto médio de BC e MN  14 .Então, DM é igual a 4

a)

2 4

b)

2 2

c)

2

d)

3 2 2


e)

5 2 2

Página 9 de 25

26. (G1 - ifal 2011) Num paralelogramo, cada ângulo agudo mede 30 ° e os lados que formam cada um desses ângulos medem 3 3 cm e 5 cm. Calcule a medida da menor das diagonais desse paralelogramo. a) 6 cm b) 3 cm c) 3 3 cm d) 7 cm e) 15 3 cm 27. (Ufpb 2011) Para explorar o potencial turístico de uma cidade, conhecida por suas belas paisagens montanhosas, o governo pretende construir um teleférico, ligando o terminal de transportes coletivos ao pico de um morro, conforme a figura a seguir.

Para a construção do teleférico, há duas possibilidades: • o ponto de partida ficar localizado no terminal de transportes coletivos (ponto A), com uma parada intermediária (ponto B), e o ponto de chegada localizado no pico do morro (ponto C); • o ponto de partida ficar localizado no ponto A e o de chegada localizado no ponto C, sem parada intermediária.

ˆ  50 , é correto afirmar que Supondo que AB  300 3 m, BC  200 m, BÂP = 20º e CBN a distância entre os pontos A e C é de: a) 700 m b) 702 m c) 704 m d) 706 m e) 708 m


Página 10 de 25

Gabarito: Resposta da questão 1:

Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo ABC, temos: 2

13  42  x 2  2  4  x  cos 60 13  15  x 2  8x 

1 2

x 2  4x  3  0

Resolvendo a equação do segundo grau, temos x = 1 ou x = 3. Resposta: 1 cm ou 3 cm. Resposta da questão 2: [B] Depois de uma hora de viagem o navio 1 (N1) terá percorrido 16 km e o navio 2 (N2) terá percorrido 6 km. Temos, então, a seguinte figura:

Sendo d a distância entre os navios, temos:


Página 11 de 25

d2  162  62  2  16  6  cos 60  1 d2  256  36  192    2 d2  196 d  14km

Resposta da questão 3: [A]

Aplicando o teorema dos cossenos, temos:

3 3 

2

 x 2  x 2  2  x  x  cos120

 1 27  2x 2  2x 2      2 27  3x 2 x2  9 x  3

Logo, a medida dos lados congruentes desse triângulo, em centímetros, é 3 cm.


Página 12 de 25

Resposta da questão 4: [C]

No ΔCMB : cos30° 

a 3 a 2a   x x 2 x 3

a 3 a a No ΔENB : cos30°  2   y y 2 2y 3 ˆ  180  30  30  120 CBE Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo CBE, temos: CE2  x 2  y 2  2.x.y.cos120 CE2 

4a2 a2 2a a   2  3 3 3 3

CE2 

5a2 2a2  3 3

CE2 

7a2 3

CE  a.

 1    2

7 3

Resposta da questão 5: [D] Pela Lei dos Cossenos, obtemos: 2

2

2

BC  AC  AB  2  AC  AB  cosBAC  (0,8)2  12  2  0,8  1 cos150  3   0,64  1  2  0,8     2   1,64  0,8  1,7  3.

Logo, BC  1,7 e, portanto, o resultado é 1 0,8  1,7  3,5.


Página 13 de 25

Resposta da questão 6: [C] Considere a figura.

Como AB  AD  4 u.c. e BAD  30, pela Lei dos Cossenos, obtemos 2

2

2

BD  AB  AD  2  AB  AD  cosBAD  42  42  2  4  4 

3 2

 2  16  16 3.

Portanto,

BD  4 2  3 u.c. Resposta da questão 7: [C] Os ângulos internos deste triângulo poderão ser representados por x – r, x, x + r. Somando x – r + x + x + r = 180°  x = 60°. Escrevendo os lados em P.G., temos a seguinte figura:

Aplicando, agora, o teorema dos cossenos no triângulo acima, temos:


Página 14 de 25

2

a 1 2 a a2   a  q     2  a  q  q 2  q Dividindo ambos os membros da equação por a2, temos:

1

1  q2 

2

1

(q2 )

q

q4  2q2  1  0

 q  1 2

2

0

q2  1  0 q1 Logo, o triângulo é equilátero de lados a, a e a. E o triângulo equilátero jamais será obtusângulo. Resposta da questão 8: a) No triângulo assinalado: R é a medida do raio da terra. R 1 cos α    α  60 RR 2 Portanto, o arco AB mede 120° e seu comprimento será dado por: 2  π  R 2  π  6400 12800π   km. 3 3 3

b) Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo assinalado, temos: d2  R2  (2R)2  2.R.2R.cos θ d2  5R2  4.R2 .(3/4) d  2.R2 dR 2 d  6400. 2 km


Página 15 de 25

Resposta da questão 9: [B] Sejam S, P, G e C, respectivamente, os pontos que representam as cidades de Sorocaba, São Paulo, Guaratinguetá e Campinas. Sabendo que SPC  60 e CPG  90, vem SPG  150. Logo, aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo SPG, encontramos 2

2

2

SG  SP  PG  2  SP  PG  cosSPG  802  1602  2  80  160  cos150  3   6400  25600  2  12800     2     6400  (5  2  3)

Portanto, SG  80  5  2  3 km. Resposta da questão 10: [C] Sejam x e y, respectivamente, as medidas do maior lado e do menor lado do paralelogramo. Desse modo, num dos triângulos determinado pela diagonal menor do paralelogramo, tem-se 2β oposto a x e β oposto a y. Assim, aplicando a Lei dos Senos, obtemos

x y x 2sen β cos β    sen2β sen β y sen β x   2cos β. y


Página 16 de 25

Resposta da questão 11: [E] Seja o lado do quadrado. ˆ  60. Além Como AEFG é um quadrado, segue que o triângulo ABC é retângulo. Logo, ABC ˆ  CBD ˆ  30. Daí, segue que ˆ e, portanto, ABD disso, sabemos que BD é bissetriz de ABC ˆ  120. BDC Aplicando a Lei dos Senos no triângulo BCD, obtemos BC CD BC 2 3     BC  6cm. ˆ ˆ 1 senBDC senCBD 3 2 2

Assim, no triângulo ABC, temos que ˆ  AB  AB  6  cos60  3cm. cos ABC BC

Por conseguinte, do triângulo BGF, vem 3( 3  1) ˆ  GF  3  tgABD   cm. 3 3  2 BG

Resposta da questão 12: [B] Pela Lei dos Senos, segue que: AB 80 80 3 80 3  2R  2R  R   m. sen60 3 3 3 3 2

Resposta da questão 13: [A] Considere a figura, na qual AB  6, AC  10 e BC  8.

Do triângulo retângulo ABD, obtemos


Página 17 de 25

tgBAD 

BD AB

 BD  AB  tg30  BD  6 

3 3

 BD  2 3.

Além disso, pelo Teorema do Ângulo Externo, segue que

ADC  DAB  ABD  30  90  120. Portanto, pela Lei dos Senos, vem CD AC 82 3 10    sen  sen120 senDAC sen ADC  sen  

4 3  sen60 5

 sen  

4 3 3  5 2

 sen  

4 3 3 . 10

Resposta da questão 14: 01 + 04 = 05. Dados Iniciais

(01) Verdadeiro.

BC

2

 

 (AC)2  (AB)2  BC x

Logo, cosB 

10x



2

 

 (3x)2  (x)2  BC  10 x

10 10

(02) Falso. Dois triângulos são denominados congruentes quando têm a mesma forma e as mesmas dimensões. Logo, os triângulos BDC e FEC não são congruentes, pois não possuem o mesmo tamanho. (04) Verdadeiro.

BC  (BD)  (DC)  2(BD)(DC)cos(BDC)  10x   (x 2)  (2x)  2(x 2)(2x)cos(BDC) 2

2

2

2

2

2

10x 2  2x 2  4x 2  4 2x 2 cos(BDC) cosBDC  

2 2  senBDC  2 2


Página 18 de 25

(08) Falso. Dois triângulos são denominados semelhantes se possuem seus três ângulos congruentes e seus lados proporcionais. Logo, os triângulos EDF e BDF não são semelhantes, (16) Falso.

EC

2

 (EF)2  (FC)2  2(EF)(FC)cos(EFC) 2

x

2

2

 x 2   x 10   x 2  x 10     2 cos(EFC)  2   2   2   2        

1x 2 

x 2 5x 2   x 2 5 cos(EFC) 2 2

cosEFC 

2 5 5

Resposta da questão 15: [E] Considere a figura.

Sabendo que ET  360km, ST  320km, cos   0,934 e que 28  32  93,4  215100, pela Lei dos Cossenos, vem 2

2

2

ES  ET  ST  2  ET  ST  cos   2

ES  3602  3202  2  360  320  0,934  2

ES  129600  102400  2  22  32  25  93,4  2

ES  232000  28  32  93,4  2

ES  232000  215100  ES  16900  ES  130km. Portanto, como 13min 

13 h, temos que a velocidade média pedida é dada por 60

130  600km h. 13 60


Página 19 de 25

Resposta da questão 16: a)

No triângulo ABC assinalado, temos: 152  x 2  x 2  2  x  x  cos120  1 225  2x 2  2x 2     2 225  3x 2 x 2  75 x  5 3m

b)

No triângulo BDC, temos: 2

y  152  102  2  15  10  cos 60 y 2  225  100  150 y  175 y  5 7m


Página 20 de 25

Resposta da questão 17: a) Calculando a medida x do lado que falta temos: x2 = 62 + 82 – 2  6  8  cos60° x=

52

x = 2 13 x 2  3,6 (de acordo com as aproximações dadas) x 7,2 Portanto, o perímetro das figuras será dado por P = 6 + 8 + 7,2 = 21,2. b) Não, pois 16 > 6 + 8 (a medida do lado de um triângulo deve ser menor que a medida dos outros dois). Resposta da questão 18: [B] Aplicando a Lei dos Cossenos, obtemos 2

2

2

BC  AB  AC  2  AB  AC  cosBAC  2  1 BC  362  242  2  36  24       2 2

BC  1296  576  864  BC  2736  12 19 km. Resposta da questão 19: [D]

AC2  a2  a2  2  a  a  cos120  AC  a 3 Logo,

AC a 3   3. AB a


Página 21 de 25

Resposta da questão 20: [B]

α= 180o  75o  45o  60o Aplicando o teorema dos senos, temos:

AC sen60

o



8 sen45o

2 3  8. 2 2 AC  4 6 AC.


Aplicando o teorema dos senos no triângulo assinalado, temos: x 160  o 0,342 sen150 0,342.x  160.sen150o 0,342x  80 x  233,9

Aproximadamente 234m. Resposta da questão 22: [B] No triângulo ABC ABC  45o , aplicando o teorema dos senos, temos:

50 o

sen45



BC sen30o

 BC. 2  50  BC  25 2

o No triângulo BDC, temos: sen30 

h 25 2



1 h   h  12,5 2 2 25 2


Página 22 de 25

Resposta da questão 23: a) Utilizando o teorema dos senos, temos:

2 3 2   sen  sen sen135o

2 3 2 2

 6 2   sen15 o  Sabendo que sen 15     4   2

o

2 3  4

2 3 , concluímos então que: 2

= 15o b) O triângulo ACB é isósceles logo AC = AB =

2  3cm .

Resposta da questão 24: [C] A razão entre os quadrados dos comprimentos das circunferências é igual a razão entre os quadrados dos raios. Observe a figura.

Na figura, temos: No Δ OMB temos: x  R2  r 2 Aplicando agora o teorema dos cossenos no Δ OAB:


Página 23 de 25

 2x 2  R2  R2  2.R.R.cos 45o 4(R2  r 2 )  2.R2  R2 . 2 R2 (2  2 )  4.r 2 R2 r

2

R

2

r2



4 2 2

 2.(2  2 )


Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo BMN, temos: 2

2 2  14  1 1  1  1          2. . .cos  2 2 2 2  4 

Resolvendo, temos

cos   

3 4

e que cos  

3 (    180o ) 4

Aplicando novamente o teorema dos cossenos no triângulo ADM, temos: 2

1 2  1 (AD)2     1  2. .1.cos  2 2   2

1  3 2  1 (AD)2     1  2. .1.    2 2    4

AD = AD =

1 3  1 4 4 2 2


Página 24 de 25

Resposta da questão 26: [D] Aplicando o teorema dos cossenos, temos: d2 = 52 + ( 3 3 )2 – 2.5. 3 3 .cos30o d2 = 25 + 27 -30 3.

3 2

d2 = 52 – 45 d=

7

Resposta da questão 27: [A]

Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo assinalado, temos:



AC2  300 3



2

 3  2002  2.300 3.200.    2   

AC2  270000  40000  180000 AC  490000 AC  700m


Página 25 de 25

Lei dos Senos e dos Cossenos - NS Aulas Particulares

Recommend Documents