Integral Lipat Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang Integral tentu dapat dipergunakan untuk fungsi dengan dua peubah atau lebih. Pada bagian ini, kita akan mendiskusikan integral lipat dua dari fungsi dua peubah. Ingat: Integral Riemann
b
n
f ( x)dx lim f ( x a
P 0
k 1
k
)xk
untuk mencari luas daerah di bawah kurva f(x). Di sini f terdefinisi pada selang [a,b]. Pada fungsi dua peubah, misal daerah definisi adalah R = {(x,y), a≤x≤b, c≤y≤d}. Seperti pada Riemann, buat partisi masing-masing interval, lalu pilih salah satu partisi dan salah satu titik di dalamnya adalah , lalu buat balok persegipanjang dengan luas alas dan tinggi .
Lakukan untuk semua partisi R. Lalu perkecil luas R dan lanjutkan.
Definisi Integral Lipat Dua
n
Jika lim f ( xk , yk )Ak ada maka f dapat diintegralkan di R. P 0 k 1
n
f ( x, y)dA disebut integral lipat-dua f atas R, dan f ( x, y)dA = lim f ( x , y )A R
R
P 0
k 1
k
k
Teorema Keintegralan Jika f terbatas pada suatu persegipanjang tertutup R dan jika fungsi ini kontinu di R kecuali pada sejumlah hingga kurva mulus, maka f dapat diintegralkan pada R.
k
Perhitungan pada Integral Lipat-Dua Jika f(x,y)=1 maka integral lipat-duanya merupakan luas dari R, maka kdA k 1dA kA( R) R
R
Contoh: Misal
{
. Hitunglah ∬
.
Integral Berulang Ada cara lain, yang lebih praktis, untuk menghitung integral lipat dua. Partisi yang dibuat bukan balok tapi irisan tipis. Misal di titik , cari luas irisan tipis yang diperoleh dari integral fungsi satu peubah, , kemudian cari ∫ volume irisan tipis tersebut dengan mengalikan dengan tebalnya . Cari volume irisan tipis untuk semua i. Dengan demikian b d f ( x , y ) dA f ( x , y ) dy dx . R a c Irisan untuk
constant
Sama halnya bila irisan tipisnya pada suatu prosedur yang serupa diperoleh d b f ( x , y ) dA f ( x , y ) dx dy R c a 2 3
Contoh: Hitunglah
(9 y)dxdy . 0 0
Irisan untuk
adalah
constant
∫
, dengan
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegipanjang Misalkan himpunan S tertutup dan terbatas pada bidang. Misal terdefinisi di S. Himpunan S terkandung dalam persegipanjang R yang sisi-sisinya sejajar dengan {
sumbu x dan y. Definisikan
f(x,y)=h(x,y) S R
f(x,y)=0
Fungsi f dapat diintegrasikan jika ia dapat diintegrasikan pada R dan
f ( x, y)dA f ( x, y)dA . S
R
Daerah Integrasi: Himpunan y-sederhana bila S = { (x,y): 1 y 2 , a ≤ x ≤b } a 2 f ( x , y ) dA f ( x , y ) dy dx Hasil integral: 1 S b Himpunan x-sederhana bila S = { (x,y): 1
Hasil integral:
S
x 2 , c ≤ y ≤d }
f ( x, y )dA f ( x, y )dx dy d 1 c 2
2 1
2
1 a
b
Contoh: Hitung integral lipat berikut: 1 3x
1.
x
2
ydydx
0 0
2.
2 xydA , S adalah segitiga yang dibatasi oleh y x S
dan y=1.
Integral Lipat-Dua dalam Koordinat Kutub Volume benda padat di bawah permukaan f di atas daerah R adalah
V f ( x, y)dA . R
Dalam koordinat kutub, R berbentuk R={(r,θ): a ≤r≤b, α≤θ≤β} Dimana a ≥ 0, β- α≤2π.
θ=β
r=b r=a
θ=α 0
R dibagi menjadi partisi-partisi dalam koordinat kutub/polar (menjadi polar grid)
R1, R2 ,, Rn . Untuk mencari luas sektor lingkaran adalah Jadi luas partisi
Rk
adalah A( Rk ) rk rk k , dimana rk adalah jari-jari rata-rata
Rk , sehingga volumenya adalah n
V f (rk , k )rk rk k k 1
Bila pembagian partisi mendekati nol maka
V F (r , )rdrd f (r cos , r sin )rdrd R
R
maka V f ( x, y)dA f (r cos , r sin )rdrd R
A 1 , maka A r 2 2 r 2 2
R
Contoh: tentukan volume dari benda padat di atas persegipanjang kutub
R {(r , ) : 1 r 3,0 } dan di bawah permukaan z e x 4
2
y2
.
Daerah Integrasi: Himpunan r-sederhana bila
S {(r, ) : 1 ( ) r 2 ( ), }
Himpunan θ-sederhana bila
S {(r, ) : a r b, 1 (r ) 2 (r )}
Contoh: 1. Hitunglah
ydA dimana S adalah daerah di kuadran pertama yang berada di luar R
lingkaran r = 2 dan di dalam kardiodid r = 2 (1+cos θ). 2. Tentukan volume benda di bawah permukaan
z x2 y 2 , di atas bidang xy dan di
dalam silinder x y 2 y . 2
2
Penerapan Integral Lipat-Dua Menghitung massa, pusat massa, momen inersia. Lamina (plat tipis) terbuat dari bahan yang tidak homogen dengan kerapatannya berubah δ(x,y). Lamina dipartisi menjadi persegipanjang kecil R1, R2 , R3 ,..., Rk ,..., Rn . Ambil sebuah titik ( xk , yk ) pada Rk . Massa dari Rk secara hampiran adalah ( xk , yk ) A( Rk ) dan massa total lamina secara hampiran n
m ( xk , yk ) A( Rk ) k 1
Massa sebenarnya n
m lim ( xk , yk ) A( Rk ) ( x, y)dA n k 1
Menghitung Pusat Massa:
S
m1
m2
m1
m2
x
x1
x2
Pada gambar kedua: x1m1 x2 m2 0 keadaan setimbang, dimana adalah jarak orang terhadap pusat massa x Untuk mencari pusat massa
x1
x:
m1
m2
mn
x1
x2
xn
( x1 x )m1 ( x2 x )m2 ( xn x )mn 0 x1m1 x2 m2 xn mn x m1 x m2 x mn Jadi pusat massa: n
M x m
xm i
i 1 n
i
m
i
i 1
Lakukan hal yang sama untuk arah y sehingga diperoleh n
M y m
ym i 1 n
i
i
m i 1
i
Pada bidang xy, jika kerapatan massa suatu fungsi kontinu m = δ(x,y):
dan
x2
x
My m
x ( x, y)dA S
( x, y)dA
M y x m
S
y ( x, y)dA S
( x, y)dA S
Momen Inersia: Suatu partikel bermassa m dan kecepatan v bergerak pada suatu garis lurus. Energi kinetiknya adalah:
KE
1 2 mv 2
Jika partikel bergerak bukan pada garis lurus tapi berputar terhadap suatu sumbu membentuk lingkaran dengan jari-jari r pada suatu kecepatan sudut ω radian per detik, maka kecepatan linearnya adalah v = r ω. Energi kinetiknya menjadi
1 1 KE (r 2 m) 2 I 2 2 2 Jadi momen Inersia I memainkan peran sebagai massa pada benda bergerak lurus/linear. Pada suatu sistem n
I m r m r m r mk rk2 2 1 1
2 2 2
2 n n
k 1
Apabila lamina punya kerapatan kontinu m = δ(x,y) yang mencakup suatu daerah S, momen inersia terhadap sumbu x, y dan z adalah
I x y 2 ( x, y )dA, S
I y x 2 ( x, y )dA S
I z ( x 2 y 2 ) ( x, y )dA I x I y S
Contoh: Sebuah lamina dengan kepadatan ( xk , yk ) xy yang dibatasi oleh sumbu-x, garis x 2/3 = 8, dan kurva y x . Tentukan massa total, pusat lamina dan momen inersia terhadap sumbu x, y dan z.
