Aplikasi Integral Integral dapat diaplikasikan ke dalam banyak hal. Dari yang sederhana, hingga aplikasi perhitungan yang sangat kompleks. Berikut merupakan aplikasi-aplikasi integral yang telah dikelompokkan dalam beberapa kelompok perhitungan. Penjelasan lebih lanjut dapat dilihat pada keterangan yang diberikan. 1. Panjang Kurva Panjang sebuah kurva f(x) sepanjang selang
Panjang sebuah kurva w(y) sepanjang selang
Sedangkan
bila
dapat ditemukan menggunakan persamaan
dapat ditemukan menggunakan persamaan
persamaan dinyatakan maka panjang kurva =
dengan
persamaan
parameter,
atau Contoh: Hitung panjang kurva
dari titik
sampai titik
Jawab:
Panjang kurva adalah:
1
2. Aplikasi Integral pada sistem elektronik Besarnya tegangan pada komponen elektronik dinyatakan sebagai berikut:
Karena komponen elektronik memiliki karakteristik seperti di atas maka analisis dari beberapa rangkaian elektronis harus diselesaikan menggunakan turunan maupun integral. •
Pada arus DC
Contoh : Carilah persamaan tanggapan rangkaian berikut:
2
•
Pada arus AC Biasa
Sebuah arus sinusoidal biasa direpresentasikan sebagai berikut:
Maka besarnya tegangan pada komponen elektronik menjadi
Maka pada rangkaian berikut tanggapannya adalah:
3. Transformasi-Transformasi Transformasi yang akan dibahas di sini merupakan transformasi yang ada kaitannya dengan integral, yaitu transformasi Fourier dan Transformasi Laplace. Banyak transformasi dilakukan dengan prinsip integrasi terhadap bagian-bagian gelombang yang ada. Mengapa perlu transformasi ? • •
•
Setiap orang pada suatu saat pernah menggunakan suatu teknik analisis dengan transformasi untuk menyederhanakan penyelesaian suatu masalah [Brigham,1974] Transformasi dilakukan agar domain penelitian dapat diubah ke dalam domain penelitian yang lebih gampang sehingga dapat diselesaikan secara matematis dengan mudah. Contohnya transformasi Fourier dan Laplace mengubah sinyal dalam kawasan waktu ke kawasan frekuensi. Transformasi juga diperlukan bila kita ingin mengetahui suatu informasi tertentu yang tidak tersedia sebelumnya 3
Contoh : -jika ingin mengetahui informasi frekuensi kita memerlukan transformasi Fourier a. Transformasi Fourier Pada tahun 1822, Joseph Fourier, ahli matematika dari Prancis menemukan bahwa: setiap fungsi periodik (sinyal) dapat dibentuk dari penjumlahan gelombang-gelombang sinus/cosinus. Penjelasan: •
•
1 gelombang sinus dgn frek 50Hz dikatakan memiliki 1 frekuensi atau 1 spektrum frekuensi sinyal sinus dengan formula : 5sinus(50Hz) + 4sinus(20Hz) + 2 sinus(10Hz) dikatakan memiliki 3 spektrum frekuensi. Penjumlahan sinyal-sinyal tersebut nantinya akan membentuk sebuah sinyal baru. sinyal kotak adalah penjumlahan banyak sinyal sinus yang memiliki frekuensi berbeda, dan banyaknya adalah infinity: tak terbatas.
Contoh : Sinyal kotak merupakan penjumlahan dari fungsi-fungsi sinus berikut f(x) = sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + sin(7x)/7 + sin(9x)/9 …, hasilnya sebagai berikut:
Kita dapat menyatakan semua sinyal periodik dalam penjumlahan fungsi-fungsi sinuscosinus, dengan cara: Rumus FT kontinu 1 dimensi
x (t ) =
+∞ 1 2π
∫ X (ω )e
j ωt
dω
−∞
X (ω ) =
+∞
∫ x (t )e
− jωt
dt
−∞
ℑ x(t ) ←→ X (ω )
X( )
: Transformasi Fourier atas x(t)
x(t)
: Invers transformasi Fourier
Rumus sinyal kontinyu berhubungan erat dengan aplikasi integral Rumus FT diskret 1 dimensi
4
1 N −1 f ( x) exp[−2 jπux / N ] ∑ N x =0 1 N −1 f ( x) = ∑ x = 0 F (u ) exp[2 jπux / N ] N
F (u ) =
Contoh: − at ü x(t ) = e u (t ) ; a>0
ℑ x(t ) ←→ X (ω )
+∞
X (ω ) = ∫ u (t )e − jωt dt −∞
+∞
= ∫ e −ate− jωt dt 0
=
=
ℑ x(t ) ←→ X (ω )
ü x(t ) = +∞
X (ω ) = ∫ δ (t )e − jωt dt −∞
=1
ℑ x(t ) ←→ X (ω )
ü x(t ) =
X (ω ) =
+∞
∫ x (t ) e
− jωt
dt
−∞
5
+T
= ∫ e − jωt dt −T
=
b. Transformasi Laplace ∞
X ( s ) = ∫ x(t ).e − st dt 0
σ + j∞
1 x(t ) = X ( s ).e st ds ∫ 2πj σ − j∞ s = σ + jω Bila transformasi Fourier direpresentasikan dalam kawasan frekuensi berlambangkan (ω ) , maka representasi gelombang/sinyal pada transformasi Laplace diubah ke dalam kawasan frekuensi X(s), di mana s = σ + jω . Transformasi Laplace merupakan jabaran dari transformasi Fourier. Penjabaran ini dilakukan agar hitungan yang dihasilkan lebih sederhana dan lebih mudah. Tranformasi Laplace merupakan transformasi yang mengandung pasangan Transformasi Fourier kompleks yaitu X(s). Juga biasa disebut transformasi Laplace bilateral atau transformasi Laplace dua sisi (two-sided). Contoh soal:
6
4. Aplikasi Integral untuk menghitung Volume, Luas Permukaan, dan Pusat Massa •
Volume
Misal diberikan permukaan z=f(x,y) dan R merupakan daerah terletak pada bidang XOY atau bisa merupakan proyeksi dari permukaan z=f(x,y), maka volume benda ruang yang dibatasi di atas oleh permukaan z=f(x,y) dan di bawah dibatasi oleh R dituliskan :
Contoh: Hitung volume bangun ruang yang terletak di oktan pertama yang dibatasi oleh bidang 2x+3y+Z-6 = 0. Jawab:
Dilihat dari gambar setelah bidang diproyeksikan terhadap bidang XOY diperoleh:
Maka volume bangun ruang dinyatakan sebagai berikut:
7
•
Luas Permukaan
Misal diberikan sebuah persamaan z=f(x,y) maka untuk mendapatkan luas sepotong permukaan (D) yang proyeksinya pada bidang XOY adalah R dilakukan sebagai berikut. Daerah R dapat berupa segi empat atau daerah sembarang. Bagi daerah R menjadi n buah persegipanjang misalnya R1,R2,…,Rn yang masing-masing mempunyai panjang dan lebar . Bila merupakan proyeksi dari luasan subpartisi dari D, maka luas dari D didekati oleh jumlah luas subpartisinya yaitu:
Selanjutnya berdasarkan teorema bahwa bila R berukuran
dan
merupakan proyeksi pada
bidang XOY dari sebuah potongan permukaan S dengan persamaan
maka luas
dari potongan permukaan S dinyatakan dengan Misalkan
merupakan sembarang titik pada
, maka (
. Persamaan bidang singgung dari permukaan
titik pada
dengan
di titik (
dinyatakan dengan:
Bila ukuran dari singgung dari
cukup kecil maka di titik (
akan merupakan bidang yang mendekati bidang , sehingga berdasarkan teorema di atas luas dari
dinyatakan sebagai berikut:
Dengan
dan
Jadi luasan dari D akan didekati oleh luasan:
8
