Integral dalam Ruang Berdimensi n Integral Lipat-Dua atas

Integral Lipat-Dua atas Persegi Panjang

Kalkulus Multivariabel I Integral dalam Ruang Berdimensi n: Integral Lipat-Dua atas Persegi Panjang

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014


Kalkulus Multivariabel I


Pendahuluan Integral Lipat-Dua Sifat-Sifat Integral Lipat-Dua Perhitungan pada Integral Lipat-Dua Latihan Pustaka

Pendahuluan Masalah-masalah yang dipecahkan dengan menggunakan integral pada ruang berdimensi n memiliki prinsip yang sama dengan integral pada satu variabel Kita akan menggunakan integral lipat untuk menghitung volume benda padat, luas permukaan, dan pusat massa dari lapisan tipis (lamina), dan benda-benda padat dengan berbagai kerapatan Pengintegralan berlipat ini akan disederhanakan menjadi pengintegralan tunggal berurutan di mana Teorema Dasar Kalkulus Kedua memainkan peranan yang penting





Ingat kembali mengenai integral Riemann pada fungsi satu variabel di mana kita membagi interval [a, b] menjadi interval-interval kecil dengan panjang ∆xk , k = 1, 2, . . . , n, berdasarkan partisi p : x1 < x2 < . . . < xk mengambil sebuah titik contoh x¯k dari interval ke-k, kemudian Zb f (x)dx = lim

n X

|p|→0

a


f (¯ xk )∆xk

k=1




Integral Lipat-Dua

Misalkan f (x, y ) kontinu pada himpunan berbentuk persegi panjang R yaitu R = {(x, y ) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} Bentuk partisi p pada himpunan R yaitu garis-garis yang sejajar dengan sumbu x dan sumbu y menjadi persegi panjang-persegi panjang kecil dengan panjang sisi-sisinya masing-masing ∆xk dan ∆yk .









Misalkan luas persegi panjang ke-k yaitu ∆Ak = ∆xk ∆yk . Pada persegi panjang Rk ambil sebuah titik (x¯k , y¯k ) sehingga dapat ditentukan bentuk jumlah Riemann-nya yaitu n X

f (x¯k , y¯k )∆Ak

k=1





Definisi: Integral Lipat-Dua Misalkan f adalah fungsi dengan dua peubah yang didefinisikan pada sebuah persegi panjang tertutup R. Jika lim

|p|→0

n X

f (x¯k , y¯k )∆Ak ,

k=1

ada, RR maka f dapat diintegralkan di R. f (x, y )dA disebut integral lipat-dua dari f atas R dan dapat R

dinyatakan dengan n X

ZZ f (x, y )dA = lim

|p|→0

R Atina Ahdika, S.Si, M.Si


k=1




Contoh: RR f (x, y )dA berikut dengan menghitung jumlah Hampirilah R

Riemann di mana 2 f (x, y ) = 64−8x+y dan R = {(x, y ) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 8} 16 Penyelesaian:





Titik-titik contoh yang diperlukan dan nilai-nilai yang berhubungan pada fungsi tersebut adalah sebagai berikut 57 16 65 (x¯2 , y¯2 ) = (1, 3), f (x¯2 , y¯2 ) = 16 81 (x¯3 , y¯3 ) = (1, 5), f (x¯3 , y¯3 ) = 16 105 (x¯4 , y¯4 ) = (1, 7), f (x¯4 , y¯4 ) = 16

(x¯1 , y¯1 ) = (1, 1), f (x¯1 , y¯1 ) =


41 16 49 (x¯6 , y¯6 ) = (3, 3), f (x¯6 , y¯6 ) = 16 65 (x¯7 , y¯7 ) = (3, 5), f (x¯7 , y¯7 ) = 16 89 (x¯8 , y¯8 ) = (3, 7), f (x¯8 , y¯8 ) = 16 (x¯5 , y¯5 ) = (3, 1), f (x¯5 , y¯5 ) =




Karena ∆Ak = 4, maka diperoleh ZZ f (x, y )dA = R

8 X


k=1

=4

8 X

f (x¯k , y¯k )

k=1

4(57 + 65 + 81 + 105 + 41 + 49 + 65 + 89) = 16 = 138





Teorema Keterintegralan Jika f terbatas pada suatu persegi panjang tertutup R dan jika fungsi ini kontinu di R, kecuali pada sejumlah hingga kurva mulus, maka f dapat diitegralkan pada R. Secara khusus, jika f kontinu di seluruh R, maka f dapat diintegralkan di R.





Sifat-Sifat Integral Lipat-Dua 1. Bersifat RR linear a.

b.

kf (x, y )dA = k

R RR

RR

f (x, y )dA; RR RR [f (x, y ) ± g (x, y )]dA = f (x, y )dA ± g (x, y )dA R

R

R

R

2. Bersifat aditif (penjumlahan) pada daerah yang saling tumpang tindih hanya pada sebuah ruas garis ZZ ZZ ZZ f (x, y )dA = f (x, y )dA + f (x, y )dA R

R1


R2




3. Perbandingan pada integral lipat-dua, jika f (x, y ) ≤ g (x, y ) untuk seluruh (x, y ) di R, maka ZZ ZZ f (x, y )dA ≤ g (x, y )dA R


R




Perhitungan pada Integral Lipat-Dua Jika f (x, y ) = 1 di R maka integral lipat-dua merupakan luas dari R, ZZ ZZ kdA = k 1dA = kA(R) R

R

Contoh: Misalkan f adalah fungsi tangga, yaitu misalkan  1 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 1 f (x, y ) = 2 0 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ 2  3 0 ≤ x ≤ 3, 2 ≤ y ≤ 3 RR Hitung f (x, y )dA di mana R = {(x, y ) : 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 3}. R Atina Ahdika, S.Si, M.Si




Penyelesaian: Buat persegi panjang R1 , R2 , dan R3 sebagai berikut R1 = {(x, y ) : 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 1} R2 = {(x, y ) : 0 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ 2} R3 = {(x, y ) : 0 ≤ x ≤ 3, 2 ≤ y ≤ 3} Atina Ahdika, S.Si, M.Si




Dengan menggunakan sifat penjumlahan pada integral lipat-dua diperoleh: ZZ ZZ ZZ ZZ f (x, y )dA = f (x, y )dA + f (x, y )dA + f (x, y )dA R

R1

R2

= 1A(R1 ) + 2A(R2 ) + 3A(R3 ) = 1(3) + 2(3) + 3(3) = 18



R3



Latihan 1. Misalkan R = {(x, y ) : 1 ≤ x ≤ 4,0 ≤ y ≤ 2}, hitung RR 2 1 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2 f (x, y )dA di mana f (x, y ) = 3 3 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2 R 2. Misalkan: R = {(x, y ) : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2} R1 = {(x, y ) : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1} R2 = {(x, y ) : 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2}





RR RR g (x, y )dA = 5, dan f (x, y )dA = 3, Misalkan pula: R R RR g (x, y )dA = 2. Hitunglah: R1

a.

RR

[3f (x, y ) − g (x, y )]dA

R

b.

RR

[2g (x, y ) + 3]dA

R1

3. Hitunglah

RR

(1 + x)dA di mana

R

R = {(x, y ) : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1}. (Petunjuk: sketsalah benda padat tersebut).





Pustaka

Purcell, E. J & D. Vanberg, 1999. Terjemahan, Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 1 dan 2. Jakarta : Erlangga. Spiegel. M. & Wrede R.C. 2002. Theory and Problem of Advanced Calculus. Schaum Outline Series. New York: Mc Graw-Hill. Purcell, E. J & D. Vanberg, 2003. Terjemahan, Kalkulus , Jilid 2. Jakarta : Erlangga. Mendelson, Elliot, 1988. Schaum’s Outlines, 3000 Solved Problems in Calculus. New York: Mc Graw-Hill.



Integral dalam Ruang Berdimensi n Integral Lipat-Dua atas

Recommend Documents