Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika
Integral Lipat Dua
Integral Lipat Dua Misalkan z = f(x,y) terdefinisi pada R merupakan suatu persegi panjang tertutup, yaitu : R = {(x, y) : a x b, c y d} z Z=f(x,y)
c
a
b x
yk
d y
xk
(x k , yk )
R
1. Bentuk partisi [a,b] dan [c,d] menjadi n bagian. 2. Pilih ( x k , y k ) pada setiap sub interval pada [xi, xi-1] dan [yi, yi-1] 3. Bentuk njumlah Riemann. n f ( x k , y k ) Ak i 1 i 1
4. Jika n (|P| 0) diperoleh limit jumlah Riemann. n n lim f ( x k , y k ) Ak n
i 1 i 1
Jika limit ada, maka z = f(x,y) terintegralkan Riemann pada R, ditulis n n f ( x, y )dA lim f ( x k , y k ) Ak R
3/31/2013
KALKULUS LANJUT
n
i 1 i 1
2
Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R. Jika
n
lim P
0
f ( xk , y k ) Ak
ada, kita katakan f dapat
k 1
diintegralkan pada R. Lebih lanjut
f (x, y)dA R
f (x, y)dxdy R
yang disebut integral lipat dua f pada R diberikan oleh : n
f ( x, y )dA
atau
0
R
f ( xk , y k ) Ak k 1 n
f ( x, y)dx dy R
3/31/2013
lim P
lim P
0
f (x k , yk ) x k yk k 1
KALKULUS LANJUT
3
Arti Geometri Integral Lipat Dua Jika z = f(x,y) kontinu, f(x,y)
0 pada persegpanjang R,
f (x, y )dA menyatakan volume benda padat yang
maka R
terletak di bawah permukaan permukaan z = f(x,y) dan di atas R.
3/31/2013
KALKULUS LANJUT
4
Menghitung Integral Lipat Dua Jika f(x,y) 0 pada R, maka volume dapat dihitung dengan metode irisan sejajar, yaitu: (i) Sejajar bidang XOZ z
z
z= f(x,y)
A(y) a
A(y) c
d a
y
b
x
b
A(y )
b
a
x
3/31/2013
f (x, y ) dx
KALKULUS LANJUT
5
Menghitung Integral Lipat Dua (Lanjutan) d
f ( x, y ) d A R
d
f (x, y ) dx dy
f (x, y ) dx dy
A(y ) dy c
d b
b
c
c a
a
Maka d b
f (x, y ) dx dy
f (x, y) dA R
3/31/2013
c a
KALKULUS LANJUT
6
Menghitung Integral Lipat Dua (lanjutan) (ii) Sejajar bidang YOZ z
z
z= f(x,y)
A(x)
A(x) a
c
d c
y
d
y
d
A(x)
b
c
x
3/31/2013
f (x, y ) dy
KALKULUS LANJUT
7
Menghitung Integral Lipat Dua (Lanjutan) b
f ( x, y ) d A R
b
f (x, y ) dy dx
f (x, y ) dy dx
A(x) dx a
b d
d
a
a c
c
Maka b d
f (x, y ) dx dy
f (x, y) dA R
3/31/2013
a c
KALKULUS LANJUT
8
Contoh x2
1. Hitung integral lipat dua berikut ini : dimana
R = {(x,y) | 0
Jawab:
x2
6 4
2y 2 dA 0 0 6
R
x2 2
x y
y 0 6
4 R
0
6
3/31/2013
x
x
4x 2
4 3 x 3
6, 0
y
R
2y 2 dA
4}
2y 2 dy dx 2 3 y 3
4
dx
0
128 dx 3 128 6 x 288 256 3 0
KALKULUS LANJUT
544
9
Contoh Atau, 4 6
x2 R
2y 2 dA 0 0 4
0 4
x2 1 3 x 3
2y 2 dx dy 2xy 2
6
dy
0
72 12y 2 dy
0
72x
4x 3
4
288 256
544
0
3/31/2013
KALKULUS LANJUT
10
Contoh sin x
2. Hitung integral lipat dua berikut ini : dimana
R = {(x,y) | 0
Jawab:
/2
sin x
x
sin x
/2}
y dy dx
0 0 /2
cos(x
y
y)
/2
dx
0
0
/2
y
/2
y dA
R
6
cos
R
0
/2
x
sin y 0
sin 3/31/2013
/2, 0
R
y dA
2
/2
y
2
cos y dx /2
sin
sin
KALKULUS LANJUT
2
y 0
sin
2
2 11
Latihan 1. Hitung 1 1
a.
xy e x
2
y
2
1 2
dy dx
0 0
0 0 2
c.
1
b.
y x
2
1
dy dx
2
xy dy dx 0
1
f x, y dx dy untuk fungsi
2. R
a. f(x,y)= (x + 2y)2 dengan R = [-1, 2] x [0, 2] b. f(x,y)= x2 + y2 dengan R = [0, 1] x [0, 1] c. f(x,y)= y3 cos2x dengan R = [- /2, ] x [1, 2]
3/31/2013
KALKULUS LANJUT
12
Sifat Integral Lipat Dua Misalkan f(x,y) dan g(x,y) terdefinisi di persegipanjang R 1.
k f x, y dA R
2.
k
f x, y dA R
f x, y
g x, y dA
f x, y dA
R
g x, y dA
R
R
3. Jika R = R1 + R2 , maka f x, y dA R
f x, y dA R1
4. Jika f(x,y)
R2
g(x,y), maka f x, y dA R
3/31/2013
f x, y dA
g x, y dA R
KALKULUS LANJUT
13
Integral Lipat Dua atas Daerah Sembarang Ada dua tipe Tipe I D = {(x,y) | a x b , p(x) y q(x) } Tipe II D = {(x,y) | r(y) x s(y) , c y d }
3/31/2013
KALKULUS LANJUT
14
Tipe I Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut :
y q(x) D
x
b q( x)
p(x)
f ( x, y )dA D
a
y
b
f ( x, y ) dy dx a p( x)
x
D={(x,y)| a x b, p(x) y q(x)}
3/31/2013
KALKULUS LANJUT
15
Tipe II Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut :
d
x
D
d s( y) c
f ( x, y)dA
s (y)
r (y)
x
D
f ( x, y) dx dy c r ( y)
y D={(x,y)|r(y) x s(y), c y d}
3/31/2013
KALKULUS LANJUT
16
Aturan Integrasi
Urutan pengintegralan dalam integral lipat dua tergantung dari bentuk D (daerah integrasi). Dalam perhitungannya, kadangkala kita perlu merubah urutan pengintegralan. Hal ini dapat disebabkan dengan perubahan urutan pengintegralan akan memudahkan dalam proses integrasinya. Oleh karena itu, langkah pertama kita harus dapat menggambarkan daerah integrasi, selanjutnya kita dapat merubah urutan integrasi dengan mengacu pada sketsa daerah integrasi yang sama.
3/31/2013
KALKULUS LANJUT
17
Contoh 2y e x dA ,R dibatasi x= y2, y =1, sumbu y
1. Hitung R
R = {(x,y)| 0 x y2, 0
y x = y2
1 x
2 1 y
2y e x dA
R
R
0 0
2y e x
1}
2y e x dx dy
1
1
y
x
y2 0
0 1
2y e
dy
y2
1 dy
0
e
3/31/2013
y2
KALKULUS LANJUT
y
2
1 0
e
1 1
e
2
18
Contoh Atau dibalik urutan pengintegralannya, yaitu: R = {(x,y)| 0 x 1, x y 1} 1 1
y x = y2
1
2y e x dA R
0
1
R
y
3/31/2013
0 1
1
x
2y e x dy dx
x
1
exy2 ex
x
dx
xe x dy
0
ex
xe x
2e
e
KALKULUS LANJUT
ex
(1 1)
1 0
e
2
19
Contoh 4 2
2.
e 0
x
y2
dy dx
2
Jawab: Daerah integrasinya R = {(x,y)| 0 x 4, x/2 y 2} Diubah urutan pengintegralannya, yaitu: y R = {(x,y)| 0 x 2y, 0 y 2} Sehingga yx=2y = x/2 4 2
2 x
y
2
2 2y
e dx dy
e dy dx
R
0
y
4
x
2
y2
0 0 2
x 0 2
y2
e x 0 dy 2y e
0
e
3/31/2013
KALKULUS LANJUT
2y
y2
2 0
y2
dy
e4
1 20
Latihan 3 3y
1.
1 2
xe 1
y3
dx dy
0 0
y
sin x y cos x dy dx
2
2. 0
3.
3/31/2013
0
1
dy dx
5.
e
2
0
y2
dy dx
0 x 4 1
e 0
0 0
x y dy dx 8. 0
x
2
sin( x y) dx dy 6.
4.
4 x2
7.
y
2 2
0
2
1 1
x3
dx dy
y
cos x y sin x dy dx 0
KALKULUS LANJUT
21
Integral lipat dalam koordinat kutub/polar Hitung
e
x 2 y2
dA , D={(x,y)|x2+y2 4}
D
Dalam sistem koordinat kartesius, integral ini sulit untuk diselesaikan. Sistem Koordinat Kutub Hubungan Kartesius – Kutub x = r cos x2+y2=r2 y = r sin r x 2 y2 = tan-1(y/x)
y
r
P(r, )
x
3/31/2013
=0 (sumbu kutub)
KALKULUS LANJUT
22
Transformasi kartesius ke kutub Misalkan z = f(x,y) terdefinisi pada persegipanjang kutub D D={(r, )| a r b, } f (x, y ) dA
?
D
Ak r=a
=
Ak
D
rk-1
r=b
rk
=
Ak = ½ rk2 - ½ rk-12 = ½ (rk2 - rk-12) = ½ (rk + rk-1) (rk - rk-1) =r r
Sumbu Kutub Jika |P| 0, maka dA = r dr d 3/31/2013
Pandang satu partisi persegi panjang kutub Ak Luas juring lingkaran dengan sudut pusat adalah ½ r2
(|P| panjang diagonal Ak)
KALKULUS LANJUT
23
Transformasi kartesius ke kutub Sehingga
f (x, y ) dA Dk
f (r cos , r sin ) r dr d Dp
Contoh: 1. Hitung
e
x 2 y2
dA , D={(x,y)|x2+y2 4}
D
2. Hitung D
3/31/2013
y dA , D adalah daerah di kuadran I di dalam lingkaran x2+y2=4 dan di luar x2+y2=1
KALKULUS LANJUT
24
Contoh 1.
e
x2 y 2
dA dengan D = {(x,y)| x2+y2 4}
D
Jawab. D adalah daerah di dalam lingkaran dengan pusat (0,0) jari-jari 2. D = {(r, )| 0 r 2, 0 2 } y Sehingga 2
ex D
2
y
2
dA
2
r2
e r dr d 0 0 2
0
3/31/2013
2
1 r2 e 2
1 4 e 2 e4
D
r 2
2
x
d 0
1 2 1
2
d 0
KALKULUS LANJUT
25
Contoh 2.
y dA D
dengan D adalah persegipanjang kutub di kuadran I di dalam lingkaran x2+y2=4 di luar x2+y2=1
D = {(r, )| 1 Sehingga
r dA D
r
2, 0
/2} y
/2 2
0 1 /2
0
2
1 3 r sin 3 1
1 8 1 3 7 cos 3 3/31/2013
D
r sin r dr d d
r 1
2
x
/2
sin d 0
/2 0
KALKULUS LANJUT
7 3 26
Latihan 1 x2
1
4
1. Hitung 0
x2
y 2 dy dx
0 1
1 y2
0
0
sin( x 2
2. Hitung
y 2 ) dx dy
3. Tentukan volume benda pejal di oktan I di bawah paraboloid z = x2+y2 dan di dalam tabung x2 + y2 = 9 dengan menggunakan koordinat kutub.
3/31/2013
KALKULUS LANJUT
27
D daerah sembarang/umum 1. 2.
D={(r, )| 1( ) r D={(r, )| a r b,
2(
),
1(r)
=
= r= 2( )
r= 1( )
} 2(r)}
r=b
D
D =
r=a
=
1(r)
Sumbu Kutub
Sumbu Kutub
3/31/2013
2(r)
KALKULUS LANJUT
28
Tuliskan daerah integrasi dalam koordinat polar 1
Terlihat bahwa D adalah lingkaran dengan pusat di (1,0) dan berjari-jari 1
D 1
2
Jadi, (x – 1)2 + y2 = 1 x2 – 2x + 1 + y2 = 1 x2 + y2 = 2x r2 = 2r cos r2 – 2r cos =0 r (r – 2 cos )=0 r = 0 atau r = 2 cos Untuk batas Sehingga,
(dari gambar)
D={(r, )| 0 3/31/2013
r
2 cos
KALKULUS LANJUT
=– /2 = /2 ,– /2
/2} 29
Tuliskan daerah integrasi dalam koordinat polar y
= /4
x=1 x=2 y = 0 y = 2x
D 1
2
x
x2
x2 + y2 – 2x = 0 (x – 1)2 + y2 = 1 ini merupakan lingkaran pusat (1,0), jari-jari 1 y2 = 2x – x2
Untuk batas r dihitung mulai x=1 r cos = 1 hingga r = 2 cos Untuk batas
r = sec
(dari gambar)
=0 = /4
Sehingga koordinat polarnya adalah D={(r, )| sec 3/31/2013
r
KALKULUS LANJUT
2 cos
,0
/4} 30
Tuliskan daerah integrasi dalam koordinat polar 2
Terlihat bahwa D adalah lingkaran dengan pusat di (0,1) dan berjari-jari 1
1
Jadi, x2 + (y – 1)2 = 1 x2 + y2 – 2y + 1 = 1 x2 + y2 = 2y r2 = 2r sin r2 – 2r sin =0 r (r – 2 sin )=0 r = 0 atau r = 2 sin
1
Untuk batas Sehingga,
(dari gambar)
D={(r, )| 0 3/31/2013
r
2 sin
KALKULUS LANJUT
=0 = ,0
} 31
Tuliskan daerah integrasi dalam koordinat polar 1
D
1
x=0 x=1 y=0 y=x Untuk batas r
x=1
r cos
Untuk batas
=1
r = sec
(dari gambar)
=0 = /4
Sehingga koordinat polarnya adalah D={(r, )| 0
3/31/2013
r
KALKULUS LANJUT
sec
,0
/4}
32
Contoh 1. Hitung
2x x2
2
1
1 x
0
2
y
2
dydx
Jawab: Dari soal terlihat batas untuk x dan y: x=1 x=2 y = 0 y = 2x
x2
x2 + y2 – 2x = 0 (x – 1)2 + y2 = 1 ini merupakan lingkaran dengan pusat (1,0), jari-jari 1 y Koordinat polarnya adalah = /4 y2 = 2x – x2
D={(r, )| sec
D 1 3/31/2013
2
r
2 cos
,0
/4}
x KALKULUS LANJUT
33
Contoh (Lanjutan) Sehingga, 2
1
2 x x2
0
1 x2
y2
/ 4 2 cos
dy dx
0
sec
/4
0
1 . r dr d r
r sec
2 sin 2 sin
2.
3/31/2013
4
1 2 2
ln sec
ln 2
4
1
/4
2 cos
tan
ln 1
2 cos
d
sec
d
0
ln sec
tan
2 sin 0
4 2
KALKULUS LANJUT
ln 2
/4 0
ln sec 0
tan 0
1
34
Latihan 1. Hitung S
2. Hitung
r dr d , S daerah dalam lingkaran r = 4 cos dan di luar r = 2
1 1
x 2 dx dy (dengan koordinat kutub)
0 x
3. Hitung
4 D
3/31/2013
x2
y 2 dA , D daerah kuadran I dari lingkaran x2+y2=1 antara y=0 dan y=x
KALKULUS LANJUT
35
