Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Kalkulus Multivariabel I Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Misalkan himpunan S tertutup dan terbatas pada bidang. Himpunan S tersebut terkandung dalam sebuah persegi panjang R dengan sisi-sisi sejajar sumbu koordinatnya. f (x, y ) jika (x, y ) di S Definisikan, f (x, y ) = 0 jika (x, y ) di R-S
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
f bisa diintegralkan di S jika f dapat diintegralkan pada R ZZ ZZ f (x, y )dA = f (x, y )dA S Atina Ahdika, S.Si, M.Si Kalkulus Multivariabel I
R
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum
Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum 1. Himpunan Sederhana-y Sebuah himpunan S dikatakan sederhana-y jika himpunan tersebut sederhana pada arah y , artinya bahwa sebuah garis pada arah ini memotong S dalam selang tunggal (atau titik atau tidak sama sekali). S = {(x, y ) : g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x), a ≤ x ≤ b}
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum
Untuk tiap nilai x, luas penampang yang diperoleh jika benda diiris tegak lurus sb-x adalah y =g Z 2 (x)
A(x) =
f (x, y )dy y =g1 (x)
Himpunan sederhana-y tersebut apabila digambarkan dalam bentuk benda padat dan dihitung volumenya maka
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum
x=b Z
V =
x=b Z
A(x)dx = x=a
y =g Z 2 (x)
f (x, y )dy dx
x=a
y =g1 (x)
atau
x=b Z
ZZ f (x, y )dA = S
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Kalkulus Multivariabel I
y =g Z 2 (x)
x=a
y =g1 (x)
f (x, y )dy dx
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum
2. Himpunan Sederhana-x Himpunan S disebut sederhana-x jika terdapat fungsi h1 (y ) dan h2 (y ) pada selang [c, d] sedemikian rupa sehingga S = {(x, y ) : h1 (y ) ≤ x ≤ h2 (y ), c ≤ y ≤ d}
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum
Untuk tiap nilai y , luas penampang yang diperoleh jika benda diiris tegak lurus sb-y adalah x=h Z 2 (y )
A(y ) =
f (x, y )dx x=h1 (y )
Himpunan sederhana-y tersebut apabila digambarkan dalam bentuk benda padat dan dihitung volumenya maka
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum
yZ=d
V =
yZ=d
A(y )dy = y =c
x=h Z 2 (y )
f (x, y )dx dy
y =c
x=h1 (y )
atau yZ=d
ZZ f (x, y )dA = S
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Kalkulus Multivariabel I
x=h Z 2 (y )
y =c
x=h1 (y )
f (x, y )dx dy
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum
Contoh: Gunakan integral lipat-dua untuk menentukan volume dari tetrahedron yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang 3x + 6y + 4z − 12 = 0. Penyelesaian: Daerah segitiga pada bidang xy yang membentuk alas tetrahedron dilambangkan dengan S. Kita akan menghitung volume benda padat di bawah permukaan 3x + 6y + 4z − 12 = 0 atau 3 4 (4 − x − 2y ) dan di atas daerah S.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum
Bidang tersebut memotong bidang xy di garis x + 2y − 4 = 0, suatu ruas yang merupakan bagian dari batas S. Karena persamaan ini dapat ditulis sebagai y = 2 − x2 dan x = 4 − 2y , maka S dapat dipandang sebagai himpunan sederhana-y x S = {(x, y ) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2 − } 2 atau sebagai himpunan sederhana-x S = {(x, y ) : 0 ≤ x ≤ 4 − 2y , 0 ≤ y ≤ 2}
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum
Dengan memperlakukan bidang S sebagai himpunan sederhana-y (hasilnya sama dengan cara yang lain), maka volume benda padat tersebut adalah x
ZZ
3 (4 − x − 2y )dA = 4
V =
0
S
Z4 =
Z 2 Z4 2− 0
2− x 3 4y − xy − y 2 0 2 dx 4
0
3 = 16
Z4
(16 − 8x + x 2 )dx
0
3 x3 = 16x − 4x 2 + 16 3
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Kalkulus Multivariabel I
4 =4 0
3 (4 − x − 2y )dy dx 4
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Latihan
Latihan 1
Sketsalah benda padat berikut kemudian tentukan volumenya dengan integral berulang. a. Tetrahedron yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang z = 6 − 2x − 3y b. Benda padat di oktan pertama yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang-bidang 2x + y − 4 = 0 dan 8x + y − 4z = 0 c. Benda padat di oktan pertama yang dibatasi oleh silinder y = x 2 dan bidang-bidang x = 0, z = 0, dan y + z = 1
2
sin(y 3 )dA, di mana S adalah daerah yang S √ dibatasi oleh y = x, y = 2, dan x = 0. Petunjuk: Jika suatu urutan pengintegralan tidak berhasil, cobalah urutan lainnya. Hitunglah
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Kalkulus Multivariabel I
RR
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Pustaka
Pustaka Purcell, E. J & D. Vanberg, 1999. Terjemahan, Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 1 dan 2. Jakarta : Erlangga. Spiegel. M. & Wrede R.C. 2002. Theory and Problem of Advanced Calculus. Schaum Outline Series. New York: Mc Graw-Hill. Purcell, E. J & D. Vanberg, 2003. Terjemahan, Kalkulus , Jilid 2. Jakarta : Erlangga. Mendelson, Elliot, 1988. Schaum’s Outlines, 3000 Solved Problems in Calculus. New York: Mc Graw-Hill.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Kalkulus Multivariabel I
