Matematika Dasar
INTEGRAL TENTU
Pengertian atau konsep integral tentu pertama kali dikenalkan oleh Newton dan Leibniz. Namun pengertian secara lebih modern dikenalkan oleh Riemann. Materi pembahasan terdahulu yakni tentang integral tak tentu dan notasi sigma akan kita gunakan untuk mendefinisikan tentang integral tentu. Pandang suatu fungsi f(x) yang didefinisikan pada suatu selang tutup
[ a,b ]. Pada
tahap awal akan lebih mudah untuk dapat dimengerti bilamana f(x) diambil selalu bernilai positif , kontinu dan grafiknya sederhana. Pandang suatu partisi P pada selang [ a,b ] yang dibagi menjadi n sub selang ( dalam hal ini diambil yang panjangnya sama walaupun hal ini tidaklah mutlak ), misal a = x0 < x1 <.... < x n−1 < xn = b dan
[ xk −1, xk ]
∆x k = ∆x = xk − xk −1 . Pada setiap sub selang
kita ambil suatu titik xk ( titik sembarang namun untuk memudahkan penjelasan
x − xk −1 dipilih titik tengah selang ) yaitu xk = k . 2
( )
Partisi yang terbentuk merupakan segiempat dengan ukuran ∆x dan f xk
sebagai
( )
f xk ∆x . Oleh karena itu
panjang dan lebarnya , sehingga luas tiap partisi adalah
n
didapatkan jumlah luas partisi pada selang [ a,b ] yaitu :
∑ f (xk ) ∆x .
Jumlah tersebut
k =1
dinamakan jumlah Riemann untuk f(x)
yang bersesuaian dengan partisi P. Maka luas
daerah yang dibatasi oleh y = f(x) , garis x = a , garis x = b dan sumbu X akan didekati oleh jumlah Riemaan di atas bila diambil n → ∞. Dari sini dapat didefinisikan suatu integral tentu yaitu integral dari f(x) pada suatu selang [ a,b ] berikut. Definisi : Integral Riemann Misal fungsi f(x) kontinu pada selang [ a,b ], ∆x k =
b−a = ∆x lebar partisi dari n
x − xk −1 [ a,b ], a = x0 , b = xn , xk = k . Maka integral dari f(x) atas [ a,b ] didefinisikan 2 sebagai limit jumlah Riemann yaitu :
Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
b
∫ f ( x) dx = lim
a
n
n
∑ f ( x k ) ∆x = lim ∑ f ( xk ) ∆x
∆x→0 k =1
n→∞ k =1
Bila limit ada maka f(x) dikatakan integrabel ( dapat diintegralkan ) pada [ a,b ]. Integral ini disebut Integral Riemann atau Integral Tentu.
Teorema 1. Misal f(x) fungsi terbatas pada [ a,b ] ( yaitu terdapat M ∈ ℜ sehingga | f(x) | ≤ M untuk setiap x ∈ [ a,b ]) dan kontinu kecuali pada sejumlah hingga titik pada [ a,b ]. Maka f(x) integrabel pada [ a,b ]. 2. Bila f(x) kontinu pada [ a,b ] maka f(x) integrabel pada [ a,b ].
Contoh Fungsi berikut tidak integrabel pada [ -2,2 ] : 1 ,x≠ 0 f (x ) = x 2 1 , x = 0 Tunjukkan ( dengan membuat grafik ) bahwa f(x) tidak terbatas pada [ -2,2 ]!
Teorema Dasar Kalkulus ( Pertama )
Misal f(x) kontinu pada [ a,b ] dan F(x) adalah anti turunan dari f(x). Maka b
∫ f ( x ) dx = F (b) − F ( a )
a
Contoh : Selesaikan integral tentu berikut : π
a.
∫
π
1
b.
sin( 2x ) dx
2
∫x
x2 + 1 dx
0 Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
Jawab : a. Misal u = 2x . Maka du = 2 dx. Untuk x = ½ π dan x = π maka u = π dan u = 2π. π
2π 1 2π 1 −1 ∫ sin(2 x ) dx = 2 ∫ sinu du = − 2 cos u = 2 ( cos 2 π − cos π) = −1 π π π 2
2
b. Misal u = x + 1. Maka du = 2 x dx. 1 1 u du = u u + C ∫ 2 3
Dari bentuk integral tak tentu didapatkan : ∫ x x 2 + 1 dx = 1
Jadi :
∫
( 3
)
1 x x 2 + 1 dx = x 2 + 1
0
x2 + 1
1 0
=
(
)
1 2 2 −1 3
Teorema Dasar Kalkulus ( Kedua ) Misal f(x) kontinu pada [ a,b ]. Maka terdapat c ∈ ( a,b ) sehingga : b
∫ f ( x ) dx = f ( c) (b − a )
a
Teorema ini disebut juga Teorema Nilai Rata-rata Integral dengan f( c ) merupakan nilai rata-rata integral dari f( x).
Contoh : Tentukan nilai rata-rata fungsi f ( x) = x 2 x 2 + 1 pada selang [ 0,2 ]. Jawab : 2
Misal u = 2 x + 1. Maka du = 4 x dx. Bila x = 0 dan x = 2 maka berturut-turut u = 1 dan u = 9. Jadi : 9 9 1 12 19 1 13 2 Rata − rata = ∫ x 2 x + 1 dx = ∫ u du = u u = − = 2 8 12 4 12 6 1 0 1
Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
Sifat-sifat lain yang berkaitan dengan integral tentu diberikan berikut : b
1.
b
b
∫ [ p f ( x) + q g ( x ) ] dx = p ∫ f ( x ) dx + q ∫ g ( x ) dx
a
a
( sifat linear )
a
2. Misal f(x) dan g(x) integrabel pada [ a,b ] dan f(x) ≤ g(x) untuk setiap x ∈ [ a,b ]. Maka b
b
a
a
∫ f ( x ) dx ≤ ∫ g ( x ) dx ( sifat perbandingan )
3. Misal f(x) integrabel pada [ a,b ] dan m ≤ f(x) ≤ M untuk setiap x ∈ [ a,b ]. Maka b
m(b − a ) ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ M ( b − a ) a c
b
c
a
a
b
4. ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x ) dx a
b
a
a
a
b
5. ∫ f ( x ) dx = 0 dan ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx a
6. Bila f(x) fungsi ganjil maka ∫ f (x ) dx = 0 −a a
a
−a
0
7. Bila f(x) fungsi genap maka ∫ f ( x ) dx = 2 ∫ f ( x ) dx
8. Bila f(x) fungsi periodik dengan periode p maka b
g (b )
a
g (a )
9. ∫ f ( g ( x ) ) g '( x ) dx =
b+ p
b
a+ p
a
∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx
∫ f ( u ) du
v( x ) 10. D ∫ f ( t ) dt = f (v ( x) ) v' ( x ) − f ( w( x )) w' ( x ) w( x)
Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
Contoh : −2 , x < 0 Hitung integral ∫ f ( x) dx bila f ( x ) = 1 + x , 0 < x < 2 3x 2 , x > 2 0 5
Jawab : 5
∫
f ( x) dx =
0
2
5
0
2
2 ∫ (1 + x ) dx + ∫ 3x
dx = 121
Contoh : x2
Tentukan turunan pertama dari G( x ) =
∫
t 2 + 1 dt
2x
Jawab : G '( x ) = 2 x x 4 + 1 − 2 4x 2 + 1
Soal Latihan 5
( Nomor 1 sd 5 ) Hitung nilai integral dari ∫ f ( x ) dx , bila : 0
1. f ( x ) = 4 x 3 + 3 2. f ( x ) = x 4 / 3 − 2x1/ 3 3. f ( x ) = x − 4 + 2 x + 6 x + 2 , 0 ≤ x < 2 4. f ( x ) = 6 − x , 2 ≤ x ≤ 5 x , 0≤ x<1 5. f ( x ) = 1 , 1≤ x≤ 3 x − 4 , 3 < x ≤ 5
Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
( Nomor 6 sd 13 ) Hitung nilai integral tentu berikut : 4 s4 − 8 ds 2 s 1
6. ∫
π /2
7.
∫ 2 sin t dt
π /6 0
8. ∫ 3x 2 x 3 + 1 dx −1 3
9. ∫ 8t 7 + 2 t 2 dt −3
3 x2 + 1
10. ∫
3
1 x + 3x
dx
π /2
11. ∫ sin2 3x cos 3x dx 0 5
12. ∫ | x − 2 | dx 1 2
13. ∫ | 2x − 3| dx 0
( Nomor 14 sd 17 ) Tentukan G’(x) dari : x
1 14. G( x ) = ∫ 2 dt 1 t +1 x2
15. G( x ) = ∫
1 2
1 t +1
x2
16. G( x ) = ∫
1 2
x t +1
17. G( x ) =
dt
dt
x2 +1
∫ 2 + sin t dt
2 Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
( Nomor 18 sd 23 ) 2
2
0
0
Misal f(x) = f(-x), f(x) ≤ 0, g(-x) = - g(x),
∫ f ( x) dx = 0 , ∫ g ( x ) dx = 5 . Hitung :
2
18. ∫ f ( x ) dx −2 2
19. ∫ | f (x ) | dx −2 2
20. ∫ g( x ) dx −2
2
]
21. ∫ [ 3 f ( x ) + 2g ( x ) dx 0 2
22. ∫ [ f ( x ) + f ( − x )] dx −2 0
23.
∫
g ( x ) dx
−2
( 24 sd 26 ) Tentukan nilai rata-rata dari fungsi berikut pada selang yang diketahui: 3
24. f(x) = 4x , [ 1,3 ] x
25. f ( x ) =
2
x + 16
, [ −1,3]
2
26. f(x) = sin x cos x , [ 0, π/2 ]
Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
