Punca Persamaan
Pengenalan Punca persamaan melibatkan penentuan nilai x yang memenuhi syarat :
f(x) = 0 Nilai-nilai x ini dikenali sebagai punca persamaan.
Di akhir bahagian ini, anda sepatutnya Faham bagaimana kaedah secara grafik boleh digunakan untuk menyelesaikan masalah mencari punca persamaan Mampu menggunakan kaedah pembahagi dua, kaedah kedudukan palsu, kaedah titik tetap, kaedah Newton-Raphson, kaedah sekan, kaedah Müller dan kaedah Bairstow dalam mencari punca bagi suatu persamaan
Pengenalan
Pertimbangkan persamaan berikut:
f x
2
ax bx c
Dengan menggunakan kuadratik:
x
0
rumus
(1) punca
2
b r b 4 ac 2a
(2) Nilai-nilai x dinamakan punca persamaan kerana menyebabkan persamaan (1) menjadi sifar.
Secara grafik, punca adalah titik persilangan bagi fungsi f(x) pada paksi-x di atas satah-xy (Rajah 1).
f rk 0
k
1 , 2 , , n
f x
Rajah 1 : Punca-punca bagi satu fungsi f(x)
y
r1
r2
r3
r4
x
Jenis-jenis fungsi Fungsi linear : f(x) = ax + b, dengan a dan b merupakan pemalar Fungsi polinomial atau fungsi aljabar :
f n x a0 a1 x a n x
n
Fungsi transeden, iaitu fungsi tidak aljabar yang boleh dikembangkan dalam bentuk siri tidak terhingga.
Persamaan am fungsi transenden: f ( x)
¦
f k 0
ak x
k
contoh 1 2 1 3 f ( x) e 1 x x x ... 2! 3! 1 3 1 5 f ( x) sin x x x x ... 5! 3! 1 2 1 4 f ( x) cos x x x x ... 2! 4! x
Kaedah Grafik Pendekatan yang paling mudah untuk menganggar punca persamaan f(x) = 0, ialah dengan memplotkan fungsi tersebut dan memerhatikan kedudukan dengan graf itu bersilang pada paksi x Titik persamaan ini merupakan nilai x sebagai anggaran punca persamaan
Kaedah Grafik Bagi menganggar punca persamaan , plotkan fungsi f(x) dan dapatkan kedudukan di mana graf itu bersilang pada paksi-x. Contoh 1 Gunakan pendekatan grafik bagi menentukan pekali seret c yang diperlukan oleh payung terjun dengan berat 68.1kg, kelajuan 40m/s selepas 10saat. Pecutan disebabkan graviti ialah 9.8m/s2.
Penyelesaian Fungsi yang boleh digunakan adalah:
f c
gm c
ª1 e t º v
«¬
c m
»¼
Dapatkan nilai f(c) dan plotkan seperti dibawah:
f c
9 .8 68 .1 10 c 68 .1 1e 40 c
>
@
f c 40 c
f c
4 8 12 16 20
34.115 17.653 6.067 2.269 8.401
20
14.75
0 10
5
10
15
Rajah 2: Kaedah grafik untuk mendapatkan punca
20
c
Kesahihan puncanya boleh disemak: 9 . 8 68 . 1 f 14 . 75 1 e 10 14 .75 68 .1 40 14 . 75 0 . 059 atau, dengan mengira halaju:
>
v
9 . 8 (68 . 1 ) 10 14 . 75 68 . 1 1e 14 . 75 40 . 059
>
@
@
Walau bagaimanapun, kejituan nilai puncanya melalui kaedah grafik adalah terhad.
Kaedah Tertutup Bab 5
Kaedah Pembahagi Dua Katakan persamaan am adalah f(x) = 0 Jika fungsi adalah selanjar dalam selang x1 kepada x2 dan dan berlainan tanda, iaitu
f x 1 f x 2 0 ini bermakna terdapat sekurang-kurangnya satu punca di antara x1 dan x2 (lihat Rajah 2).
f x
x5
x1
x3
x4 r
Rajah 3: Kaedah pembahagi dua untuk mendapatkan punca
x2 x
Dengan kaedah ini, bahagikan selang kepada dua sub-selang, iaitu
x1 x 2 x3 2 Jika f x 3 # 0, punca wujud.
Jika tidak, lihat selang x 1 , x 3 dan selang x 3 ,x 2 z z
Jika f x 1 f x 3 0 punca dalam selang x 1 , x 3 Jika f x 3 f x 2 0 punca dalam selang x 3 ,x 2
Bagi kes dalam Rajah 2, punca berada dalam selang pertama. Oleh itu
x4
x1 x 3 2
x x 3 4 Seterusnya, x 5 2 x4 x5 dan, x 6 2 Proses ini diteruskan sehingga memperolehi kejituan yang memuaskan. Kriteria untuk memberhentikan proses dinamakan kriteria penamat atau penumpuan.
Algoritma Kaedah Pembahagi Dua 1.Pilih selang x1 dan x2. Semak sama ada
f x 1 f x 2 0 2.Tentukan nilai ralat H. 3.Dapatkan punca melalui hubungan x 3 12 x 1 x 2 x2 x3 4.Jika , f x 1 f x 3 0 ganti Jika tidak, ambil x 1 x 3 . 5.Uji nilai H. Jika kriteria penumpuan tidak dipenuhi, ulang langkah 3. 6. Jika kriteria penumpuan dipenuhi, x3 adalah puncanya.
Dengan anggaran ralat:
Ha
x
new r
x
x new r
old r
100%
Contoh 2 Ulang contoh 1 dengan menggunakan kaedah pembahagi dua sehingga kriteria penamatnya mencapai 0.5%. Penyelesaian: Dari Rajah 2, didapati punca berada dalam selang 12,16 . Oleh itu f 12 6 . 06694 f 16 2 . 26876
Lelaran
x1
x2
x3
f x3
Ha %
Ht %
1
12
16
14
1.56870
-
5.279
2
14
16
15
0.42484
6.667
1.487
3
14
15
14.5
0.55232
3.448
1.896
4
14.5
15
14.75
0.05895
1.695
0.204
5
14.75
15
14.875
0.18413
0.840
0.641
6
14.275
14.875
14.8125
0.06288
0.422
0.219
Selepas lelaran ke-6 pengiraan boleh dihentikan kerana punca menumpu. Penyelesaian sebenar bagi kes ini adalah r 14 .78021 .
Kaedah Kedudukan Palsu Kaedah kedudukan palsu (dikenali juga sebagai kaedah interpolasi linear) digunakan untuk memperbaiki ciri penumpuan pada kaedah pembahagi dua. Melalui kaedah ini (lihat Rajah 4), titik P dihubungkan R untuk S, iaitu penghampiran kepada punca x3.
P
f x
x3 x1 R Rajah 3.4
S
r
T x2 Q
Kaedah kedudukan palsu untuk mendapatkan punca
x
Pertimbangkan dua segitiga sebentuk PRQ dan PST. ST RQ
PT x2 x3 f x 2 Oleh itu,
x3
x2
PQ x 2 x1 f x 2 f x 1
x 2 x 1 f x 2 f (x 2 ) f (x1 )
Selepas mendapatkan x3, didapati x3 akan mengambil alih x1, dan nilai x2 ditetapkan.
Dengan rumus yang sama, penghampiran untuk x3 yang baru dikira sehingga kriteria penamat dipenuhi. Secara amnya, rumus bagi kaedah ini adalah
x k 1
x tetap
dengan k
x
tetap
x k f x tetap
f ( x tetap ) f ( x k )
3 , 4 , 5 ,
(4)
Contoh 3 Ulang contoh 2 dengan menggunakan kaedah kedudukan palsu. Penyelesaian : Dari contoh 2: f 12 6 . 06694 f 16 2 . 26876
Untuk k=2,3,4… : x k 1
6 . 06694 12 x k 12 6 . 06694 f x k
Lelaran
xtetap
xk
xk+1
f xk+1
Ha %
Ht %
1
12
16
14.9113
0.25428
0.879
0.887
2
12
14.9113
14.7942
0.02726
0.792
0.0946
3
12
14.7942
14.7817
0.00291
0.0845
0.0101
4
12
14.7817
14.7804
0.000310
0.00902
0.00103
5
12
14.7804
14.7802
0.000033
0.000961 7 .3 u 10 5
Didapati ia menumpu dengan hanya 3 lelaran.
Contoh 4 Dapatkan punca bagi f x x log 10 x 1 . 2 di antara 2 dan 3. Penyelesaian : Pada hujung selang 2,3 , nilai f x adalah: f 2 0 . 59794 f 3 Untuk k = 2,3,4…: x k 1
0 . 23136
0 .59794 2 x k 2 0 .59794 f x k 0 . 59794 2 x k 2
x k log 10 x k 0 . 60206
Lelaran
xtetap
xk
xk+1
f xk+1
Ha %
Ht %
1
2
3
2.72101
0.01709
0.721
0.716
2
2
2.72101
2.74223
0.001381
0.774
0.0578
3
2
2.74223
2.74052
0.00011
0.0624
0.00464
4
2
2.74052
2.74066
8 . 9 u 10 6
0.00501
0.000376
5
2
2.74066
2.74065
7 .1 u 10 7
0.000402 2 .6 u 10 5
