LIBËR PËR MËSUESIN MATEMATIKA 8 - Botime Pegi

Edmond LULJA Neritan BABAMUSTA

LIBËR PËR MËSUESIN MATEMATIKA 8

BOTIME

BOTIME

Të gjitha të drejtat janë të rezervuara © Pegi 2012 Të gjitha të drejtat lidhur me këtë botim janë ekskluzivisht të zotëruara nga shtëpia botuese “Pegi” sh.p.k. Ndalohet çdo riprodhim, fotokopjim, përshtatje, shfrytëzim ose çdo formë tjetër qarkullimi tregtar pjesërisht ose tërësisht pa miratimin paraprak nga botuesi.

Shtëpia botuese: Tel: 042 374 947 cel: 069 40 075 02 [email protected] Sektori i shpërndarjes: Tel/Fax: 048 810 177 Cel: 069 20 267 73 Shtypshkronja: Tel: 048 810 179 Cel: 069 40 075 01 [email protected]

PËRMBAJTJA I. MBI PLANIFIKIMIN LËNDOR VJETOR NGA MËSUESI 5 I. 1. Përshkrimi i niveleve të arritjeve sipas komponentëve 7 I. 2. Tri nivelet e arritjeve të nxënësve në matematikë, sipas tre kategorive kryesore (arsyetim matematik, zgjidhja problemore, komunikimi matematik) 8 I. 3. Ndarja e lëndës në njësi mësimore 9 I. 4. Objektivat sipas krerëve në tre nivele II. UDHËZIME TË PËRGJITHSHME METODOLOGJIKE

31

II.1. Matematika si lëndë shkollore

31

II.2. Qëllimi, synimet dhe objektivat e përgjithshme të kurrikulit aktual të matematikës në arsimin e detyruar

32

II.3.

Rubrikat e programeve të matematikës

34

II.4. Programi i matematikës së klasës së tetë II.5. Parimet e përgjithshme të mësimdhënies së matematikës

38 50

II.6. Metodat e mësimdhënies II. 7. Planifikimi i mësimit

59 63

II. 8. Mbi vlerësimin formues në matematikë në klasën 8 II.9. Mbi organizimin e punës në klasë

69 73

II.10. Problemat në matematikë

75

II. 11. Testet e arritjeve të nxënësve për kapituj të veçantë në lëndën e matematikës

86

II.12. Qëndrimi ndaj matematikës

94

III.

UDHËZIME PËR ZHVILLIMIN E MËSIMEVE 98

IV.

HORIZONTI I MËSUESIT 168

II.12. Metodika e trajtimit të koncepteve matematike

168

MATEMATIKA 8

5

I. MBI PLANIFIKIMIN LËNDOR VJETOR NGA MËSUESI Përpara se të planifikojë punën vjetore në lëndën Matematika 8 është e domosdoshme që secili mësues të njohë në thellësi programin përkatës, si dhe programet e klasave paraardhëse . Në këtë planifikim mësuesi duhet të udhëhiqet nga këto parime. Së pari, programet e matematikës duke filluar nga klasa e parë fillore janë tanimë të unifikuara. Ato shtjellohen jo sipas kapitujve, por sipas linjave që janë të njëjta për të gjitha klasat. Nga ana tjetër programet janë të materializuara në tekste alternative. Teksti që ju keni përzgjedhur i autorëve Edmond Lulja, Neritan Babamusta është i ndarë në 15 kapituj. Në të, e njëjta linjë është ndarë në disa kapituj; ka edhe kapituj që përmbajnë pjesë nga disa linja të ndryshme. Kjo shpërndarje si dhe ndërthurja e tyre është realizuar me synimin e konceptimit tërësor të lëndës duke zbatuar në këtë mënyrë një nga kërkesat themelore të programeve të matematikës. Së dyti, theksimi hap pas hapi i karakterit deduktiv, pa synuar vërtetimin e plotë të të gjitha teoremave apo pohimeve. Gjatë gjithë shtjellimit të lëndës, janë vërtetuar vetëm disa teorema apo fjali, ndërsa disa të tjera pranohen pa vërtetim. Në varësi të nivelit të klasës vetë mësuesi duhet të vendosë se cilat teorema të vërtetojë, e cilat të pranohen pa vërtetim. Por kjo nuk do të thotë në asnjë mënyrë që asnjë teoremë të mos vërtetohet! Së treti, përparësia e kuptimit të koncepteve në raport me aspektet algoritmike. Në këtë kuptim mësuesi nuk duhet të kënaqet (e madje të mos e stimulojë) mbajtjen mend apo përsëritjen e formulave, apo riprodhimin mekanik të vërtetimit të një teoreme, duke e shkëputur atë nga zbatimet e shumta e të larmishme. Ai duhet të ngulë këmbë në përvetësimin e konceptit, fillimisht nëpërmjet të kuptuarit e tij, e më pas nëpërmjet zbatimeve të shumta e të larmishme. Mjaft ushtrime të përfshira në tekst kanë të bëjnë pikërisht me këtë aspekt. Së katërti, lënda e matematikës, për nga vetë specifika e saj ka një avantazh në krahasim me lëndët e tjera. Ky avantazh konsiston në zgjidhjen e ushtrimeve e problemeve, ku nxënësi “zbulon”në mënyrë të pavarur varësi ndërmjet madhësive të ndryshme të panjohura për të më parë. Në këtë mënyrë ai zhvillon veprimtari krijuese e zbuluese, që pa gabuar mund ta konsiderojmë si një punë shkencore në miniaturë. Matematika ka privilegjin që në mësimdhënie realizohet zgjidhja e problemeve, fillimisht si zbatime (për të kuptuar konceptin) dhe më pas si modele të punës së pavarur. Në mënyrë të veçantë vetë zgjidhja e problemeve duhet të stimulojë debatin dhe pjesëmarrjen e të gjithë nxënësve në mësim. Është e njohur tendenca e mjaft mësuesve që në klasë të zgjidhin sa më shumë ushtrime.

6

LIBËR PËR MËSUESIN

Kjo tendencë, në parim nuk ka pse të qortohet, sidomos në rastet kur kërkohet përvetësimi i saktë i një procedure. Por në mjaft raste, përvojat më të mira rekomandojnë që më e rëndësishme nuk është numri i problemeve të zgjidhur, por mënyrat e ndryshme të zgjidhjes së tyre. Parimi i njohur “më mirë të zgjidhet një problem në tri mënyra se sa të zgjidhen tri probleme të ndryshëm”tashmë e ka fituar të drejtën e qytetarisë në shkolla. Së pesti, teksti i matematikës është një mjet për të realizuar synimet dhe objektivat e programit. Këto objektiva janë për të gjithë nxënësit, por ato realizohen në nivele të ndryshme nga nxënës të ndryshëm. Ky fakt i ngarkon mësuesit që të programojnë objektiva të niveleve të ndryshme dhe njëkohësisht të planifikojnë detyra të niveleve të ndryshme. Teksti ka material të bollshëm në këtë drejtim. Së gjashti, për të lehtësuar planifikimin vjetor të mësuesit, materiali i ri në tekst është i ndarë pikërisht në 120 njësi mësimore (aq sa janë edhe orët sipas linjave). Por mësuesi, duke gjykuar nga niveli i arritjeve të nxënësve dhe në mbështetje të Udhëzimit Nr. 35, datë 09.10.2007 të Ministrisë së Arsimit dhe Shkencës për “Lirinë e mësuesit për orët mësimore të parashikuara në programin lëndor”, ka të drejtë ta zhvillojë një kapitull ose linjë lëndore deri në 10% më shumë ose deri 10% më pak orë mësimore, kundrejt numrit të orëve të parashikuara në programin përkatës lëndor, por pa ndryshuar totalin e orëve mësimore që programi për cakton për lëndën. Së shtati, në tekst janë përfshirë disa modele testesh. Edhe në këtë drejtim, mësuesi është i lirë të planifikojë apo realizojë vetëm disa prej tyre apo edhe të tjerë. Testet janë dhënë për vlerësim me pikë, duke realizuar në këtë mënyrë një përqasje me provimet e pjekurisë. Koha e planifikuar për një testim në varësi të mundësive konkrete edhe mund edhe të zgjatet. Së teti, objektivat e linjave i përmban programi. Për të lehtësuar planifikimin vjetor të punës së mësuesit, po japim objektivat sipas krerëve në tri nivele. Kjo ndarje presupozon që niveli më i lartë përfshin nivelin më të ulët. Niveli bazë, merr në konsideratë synimin që ai mundësisht të arrihet nga të gjithë nxënësit. Nxënësit e arrijnë këtë nivel kur janë në gjendje të zbatojnë procedurat rutinë që ndeshen shpesh në orën e mësimit. Këta nxënës përkufizojnë konceptet, rregullat dhe teoremat kryesore; zgjidhin ushtrime të thjeshta, duke imituar modele të ndryshme; riprodhojnë pjesë nga materiali mësimor teorik; përdorin metoda tradicionale arsyetimi dhe të zgjidhjes së problemeve; realizojnë detyra pa synuar zgjerim e thellim të mëtejshëm; komunikojnë e bashkëveprojnë me shokët dhe mësuesin. Niveli mesatar, merr në konsideratë synime tej procedurave rutinë apo imituese. Nxënësit e këtij niveli marrin përsipër zgjidhjen e detyrave më komplekse, duke kombinuar njohuritë që ata disponojnë. Këta nxënës jo vetëm riprodhojnë tërësisht materialin e mësuar, por edhe shqyrtojnë ligjësitë, identifikojnë problemet, duke bërë

MATEMATIKA 8

7

dallimin ndërmjet njohurive esenciale nga ato të dorës së dytë. Këta nxënës përdorin njohuritë teorike, duke zgjidhur detyra jo vetëm sipas modeleve, por edhe më komplekse. E rëndësishme është që me këta nxënës të synohet që ata të mund të nxjerrin vetë konkluzione. Këta nxënës njëkohësisht demonstrojnë aftësi të komunikimit afektiv dhe të bashkëveprimit. Niveli i lartë, ka për objektiv jo vetëm të kuptuarit apo riprodhimin e materialit mësimor, por përpunimin e tij, zbatimin në mënyrë të pavarur e krijues, në situata të reja, të panjohura më parë për to. Këta nxënës duhet të jenë në gjendje të sintetizojnë njohuritë, shkathtësitë, të përcaktojnë rrugët e mënyrat e veprimit, të parashikojnë pasojat, të vlerësojnë qëndrimet nga këndvështrime të ndryshme.

I.1. Përshkrimi i niveleve të arritjeve sipas komponentëve Komponenti

Përshkrimi i komponentit

Niveli I-rë i arritjeve

Niveli i II-të i arritjeve

Niveli i III-të i arritjeve

Njohuritë matematike

Terminologjia dhe simbolika. Përkufizimet e koncepteve. Faktet matematike (aksioma, teorema, formula, rregulla). Metodat matematike (të zgjidhjes, njehsimit, ndërtimit, vërtetimit).

Zotërim i njohurive bazë në shkallën minimale; zotërim i pjesshëm i njohurive, ilustrim me 1-2 shembuj

Zotërim solid i njohurive, ilustruar me shembuj të shumtë.

Zotërim njohurish të gjëra, të plota, ilustruar me shembuj të larmishëm nga kontekste të ndryshme.

Aftësitë matematike

Për identifikim, përshkrim, shpjegim, zbatim, analizë, sintezë, vlerësim, formulim hipoteze, vërtetim.

Shfaqje e kufizuar e aftësive.

Shfaqje aftësish të zhvilluara në situata të njohura.

Shfaqje të aftësive të zhvilluara në situata të reja, në mënyrë të pavarur.

Zotësitë, shkathtësitë, shprehitë matematike

Për të kryer: Njehsime, matje, ndërtime, skicime, zgjidhje, përdorim të burimeve të informacionit, përdorim të teknologjisë, lexim të modeleve numerike e hapësinore, krijim të modeleve numerikë dhe hapësinorë.

Shfaqje të kufizuara.

Shfaqje solide.

Shfaqje të avancuara.

8

Qëndrimet dhe vlerat


Pjesëmarrje në diskutim, bashkëpunim, kërkim e dhënie ndihme, verifikim, respektim i mendimit të të tjerëve, marrje e përgjegjësive personale, vëmendje, demonstrim vullneti, respektim i rregullave, përmbushje e detyrave.

Tentativa për të mbajtur qëndrime të caktuara; zotërim minimal i vlerave.

Arritje për të mbajtur qëndrime të caktuara; zotërim i vlerave kryesore.

Mbajtje qëndrimesh të pavarura; marrja e përgjegjësive mbi vete; zotërim i tërësisë së vlerave.

I. 2. Tre nivelet e arritjeve të nxënësve në matematikë, sipas tre kategorive kryesore (arsyetim matematik, zgjidhja problemore, komunikimi matematik) Niveli I Nxënësi zgjidh probleme: - me ndihmën e mësuesit; - me anën e një numri të kufizuar metodash; - me gabime ose me mangësi të shumta. Nxënësi përdor arsyetime matematike: - me ndihmën e mësuesit - që janë nga më të thjeshtat - me gabime ose mangësi Nxënësi i komunikon njohuritë matematike: - me ndihmën e mësuesit; - me një mënyrë të paqartë dhe të pasaktë; - duke përdorur rrallë terminologjinë e përshtatshme matematike. Niveli II Nxënësi zgjidh probleme: - me ndihmë të kufizuar të mësuesit; - me anën e një numri jo të madh strategjish bazale; - me gabime ose me mangësi të pjesshme. Nxënësi përdor arsyetime matematike: - me një ndihmë të kufizuar të mësuesit; - të përshtatshme për zgjidhjen e problemeve; - me disa gabime ose mangësi të vogla. Nxënësi i komunikon njohuritë matematike: - në mënyrë të pavarur; - me një farë qartësie e saktësie në terminologji; - duke përdorur herë pas here simbolikën e përshtatshme matematike.

MATEMATIKA 8

9

Niveli III Nxënësi zgjidh probleme: - në mënyrë të pavarur; - duke zgjedhur strategji e duke krijuar strategji që janë të reja për të; - zakonisht me saktësi. Nxënësi përdor arsyetime matematike: - në mënyrë të pavarur; - të përshtatshme për zgjidhjen e problemeve madje duke shpjeguar zgjidhjen që jep vetë. Nxënësi i komunikon njohuritë matematike: - në mënyrë të pavarur; - qartë dhe saktë; - duke përdorur terminologjinë dhe simbolikën e përshtatshme matematike.

I.3 Ndarja e lëndës në njësi mësimore Kreu I. Thyesat dhe numrat dhjetorë 1.1. Thyesat dhe numrat dhjetorë. 1.2. Numra dhjetorë periodikë. 1.3. Përqindja. 1.4. Ushtrime. 1.5. Interesi bankar. Kreu II. Bashkësitë 2.1. Kuptimi i bashkësisë. 2.2. Bashkësia dhe ndryshorja. 2.3. Prerja e bashkësive. 2.4. Bashkimi i bashkësive. 2.5. Bashkësitë numerike. 2.6. Boshti numerik. 2.7. Ushtrime. Test për krerët I dhe II. Kreu III. Hyrje në gjeometri 3.1. Pika, drejtëza, segmenti. 3.2. Gjysmëdrejtëza, gjysmëplani, këndi. 3.3. Kongruenca e segmenteve dhe e këndeve. 3.4. Matja e segmenteve. (Gjatësia e segmentit). 3.5. Matja e këndeve. Këndet shtuese.

10


3.6. Përkufizimi. Aksioma. Teorema. 3.7. Kënde të kundërt në kulm. Drejtëza pingule. Kreu IV. Fuqitë 4.1. Fuqia e numrit. 4.2. Fuqia me eksponent zero. Fuqia me eksponent të plotë negativ. 4.3. Veprime me fuqitë. 4.4. Shkrimi shkencor i numrit. 4.5. Ushtrime. 4.6. Rrënja katrore. 4.7. Makina llogaritëse. 4.8. Makina llogaritëse(vazhdim). Test për kreun IV Kreu V. Kongruenca e trekëndëshave 5.1. Rasti I i kongruencës së trekëndëshave. 5.2. Veti të trekëndëshit dybrinjënjëshëm. 5.3. Rasti II i kongruencës së trekëndëshave. 5.4. Teorema e anasjellë. 5.5. Rasti III i kongruencës së trekëndëshave. 5.6. Ushtrime. Test për kreun V Kreu VI. Shprehje me ndryshore 6.1. Shprehjet numerike. 6.2. Shprehja me ndryshore. Programi i saj. 6.3. Shprehje identike. Shndërrime identike të shprehjeve. 6.4. Shndërrime të thjeshta identike të shprehjeve. 6.5. Monomi. Reduktimi i monomeve të ngjashëm. 6.6. Polinomi. Shuma dhe ndryshesa e polinomeve. 6.7. Shumëzimi i monomit me një polinom. Nxjerrja në dukje e faktorit të përbashkët. 6.8. Shumëzimi i dy polinomeve. 6.9. Faktorizimi me grupim. 6.10. Ushtrime. Test për kreun VI Kreu VII. Njohuri të tjera gjeometrike 7.1. Kriteret e paralelizmit të dy drejtëzave. 7.2. Veti të drejtëzave paralele. 7.3. Shuma e këndeve të trekëndëshit. 7.4. Krahasimi i brinjëve dhe këndeve të trekëndëshit. 7.5. Veti të trekëndëshit kënddrejtë. 7.6. Kongruenca e trekëndëshave kënddrejtë.

MATEMATIKA 8

7.7. Rrethi. 7.8. Tangjentja ndaj rrethit. Veti të saj. 7.9. Ushtrime. Test për kreun VII Kreu VIII. Formula të rëndësishme 8.1. Katrori i binomit. 8.2. Faktorizime me anë të formulës së katrorit të binomit. 8.3. Diferenca e katrorëve. Faktorizime. 8.4. Shndërrime identike duke përdorur vetitë e thyesave. 8.5. Ushtrime për përdorimin e mënyrave të ndryshme të faktorizimit. 8.6. Ushtrime. Test për kreun VIII Kreu IX. Ekuacione dhe inekuacione me një ndryshore 9.1. Ekuacione të njëvlershëm me një ndryshore. 9.2. Ekuacioni i fuqisë së parë me një ndryshore. 9.3. Ekuacione me ndryshore në emërues. 9.4. Problema. 9.5. Ekuacioni i fuqisë së dytë me një ndryshore. 9.6. Ushtrime. 9.7. Veçimi i një shkronje në një formulë. 9.8. Inekuacione me një ndryshore. Inekuacione të njëvlershëm. 9.9. Inekuacioni i fuqisë së parë me një ndryshore. Test për kreun IX Kreu X. Matjet 10.1. Gabimet në matjet. 10.2. Kuptimi për sipërfaqen. Sipërfaqja e drejtkëndëshit. 10.3. Sipërfaqja e trekëndëshit. 10.4. Teorema e Pitagorës. 10.5. Zbatime. 10.6. Gjatësia e harkut të rrethit. 10.7. Sipërfaqja e sektorit qarkor. 10.8. Ushtrime. Test për kreun X Kreu XI. Funksioni 11.1. Kuptimi i funksionit. 11.2. Grafiku i funksionit. 11.3. Funksioni linear. 11.4. Raste të veçanta të funksionit linear. 11.5. Studimi i funksionit linear.

11.6. Ushtrime.

11

12


a

11.7. Funksioni përpjesëtimor i zhdrejtë y= (a ≠ 0) . x 11.8. Funksioni y=x2. 2 11.9. Funksioni y=ax . Kreu XII. Shndërrimet gjeometrike 12.1. Koordinatat e pikës në plan. 12.2. Ushtrime. 12.3. Vektori dhe zhvendosja paralele. 12.4. Shuma e vektorëve. 12.5. Simetria qendrore. 12.6. Simetria boshtore. 12.7. Zbatime. 12.8. Rrotullimi. 12.9. Zgjerimi i figurave. 12.10. Ushtrime. Kreu XIII. Ekuacione dhe sisteme me dy ndryshore 13.1. Ekuacioni i fuqisë së parë me dy ndryshore. 13.2. Sistemi i dy ekuacioneve të fuqisë së parë me dy ndryshore. Zgjidhja grafike e tij. 13.3. Zgjidhja e sistemeve me mënyrën e zëvendësimit. 13.4. Zgjidhja e sistemeve me mënyrën e mbledhjes. 13.5. Ushtrime. 13.6. Problema. Test për kreun XIII Kreu XIV. Gjeometria në hapësirë 14.1. Trupat gjeometrikë. 14.2. Sipërfaqet e figurave gjeometrike. 14.3. Vëllimi i prizmit. 14.4. Vëllimi i piramidës. 14.5. Vëllimi i cilindrit. 14.6. Ushtrime. 14.7. Plani dhe drejtëza. 14.8. Gjendja e ndërsjellët e dy drejtëzave dhe dy planeve në hapësirë. 14.9. Drejtëza pingule me planin. 14.10. Ushtrime. Test për kreun XIV Kreu XV. Statistikë dhe probabilitet 15.1. Statistika. 15.2. Paraqitja grafike 1. 15.3. Paraqitja grafike 2.

MATEMATIKA 8

13

15.4. Mesataret. 15.5. Ushtrime. 15.6. Ushtrime. 15.7. Probabiliteti. 15.8. Ushtrime. 15.9. Probabiliteti statistikor. 15.10. Ushtrime.

I.4

Objektivat sipas krerëve në tre nivele

Kreu I: Thyesat dhe numrat dhjetorë Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të shprehin sasi me anë të numrave dhjetorë e thyesave të zakonshme. • Të krahasojnë dy thyesa të thjeshta, duke i kthyer në emërues të përbashkët. • Të krahasojnë një thyesë të thjeshtë me një numër dhjetor. • Nëse është e mundur, të kthejnë thyesat e zakonshme në numra dhjetorë. • Kur thyesa e zakonshme kthehet në numër dhjetor periodik, të tregojnë periodën dhe paraperiodën. • Të shkruajnë një thyesë të zakonshme, të thjeshtë apo numër dhjetor, si përqindje e anasjellas. • Të zbatojnë algoritmet e veprimeve me thyesa të zakonshme, të thjeshta e numra dhjetorë. • Të gjejnë përqindjen e një numri të dhënë; të gjejnë numrin, kur njihet përqindja e tij. • Të gjejnë vlerën e një shprehje të thjeshtë me një kllapë, me thyesa apo me numra dhjetorë. • Të njehsojnë me makinë llogaritëse vlerën e një shprehje numerike pa kllapa, me numra dhjetorë. • Të zbatojnë njohuritë për thyesat e zakonshme, numrat dhjetorë e përqindjet, për zgjidhjen e problemave të thjeshta me 1-2 veprime, përfshirë edhe problema mbi interesin bankar. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të kthejnë një numër dhjetor periodik në thyesë të zakonshme. • Të njehsojnë, me makinë llogaritëse vlerën e një shprehje numerike me disa veprime, me 1-2 kllapa me numra dhjetorë. • Të zbatojnë përqindjen në situata praktike. • Të bëjnë parashikimin e rezultatit të veprimit, në situata të thjeshta. • Të përdorin mënyra të thjeshta për:

14


a) parashikimin e rrumbullakosur të përfundimit; b) kontrollin e përfundimit. • Të zbatojnë njohuritë për thyesat, numrat dhjetorë e përqindjet, për zgjidhjen e problemave të thjeshta. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të kryejnë saktë e me lehtësi algoritmet e veprimeve me thyesa e me numra dhjetorë, me disa mënyra, duke dhënë shpjegime të plota. • Të zgjidhin situata të reja me thyesa të zakonshme, numra dhjetorë e përqindje, me të dhëna të plota, të tepërta apo të mangëta. • Të përdorin trajtat e njëvlershme për kthimin e numrit në situata problemore. • Të bëjnë parashikimin e rezultatit të veprimit në situata praktike.

Kreu II: Bashkësitë Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë nëse, një grumbull objektesh formon bashkësi. • Të tregojnë përkatësinë e elementeve, për një bashkësi të dhënë, duke përdorur simbolet ∈; ∉. • Të japin nënbashkësi të një bashkësie të fundme, të dhënë. • Të paraqesin me diagram të Venit, një bashkësi të fundme. • Të japin me emërtim një bashkësi të fundme, dhënë me veti karakteristike. • Të dallojnë nëse dy bashkësi të fundme, dhënë me emërtim janë apo jo të barabarta. • Të gjejnë prerjen dhe bashkimin e dy bashkësive të fundme, dhënë me emërtim. • Të përdorin saktë simbolet N, Z, Q. • Të paraqesin përfshirjet për to me diagram të Venit. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjejnë, në raste të thjeshta, vetinë karakteristike të bashkësive të fundme, dhënë me emërtim. • Të përshkruajnë kuptimin e ndryshores. • Të lexojnë shënime të trajtës A = {x ∈ N / x < 5}. • Të dallojnë nëse janë të barabarta dy bashkësi të fundme, dhënë me veti karakteristike. • Të gjejnë prerjen dhe bashkimin e dy bashkësive të fundme, të dhëna me veti karakteristike. • Të tregojnë nënbashkësi për një bashkësi të pafundme. • Të zgjidhin në Q ekuacione të trajtës (x-a)(x-b)=0, duke shkruar bashkësinë e rrënjëve. • Të përdorin njohuritë, për prerjen dhe bashkimin e dy bashkësive, në situata të thjeshta të simuluara.

MATEMATIKA 8

15

Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të shkruajnë në trajtën A = {x ∈ E / x gëzon vetinë p(x)}, bashkësi të dhëna me mënyra të tjera. • Të përdorin kuptimin e marrëdhënieve ndërmjet bashkësive (barazimi, përfshirja, prerja, bashkimi), në situata problemore, praktike apo të simuluara.

Kreu III: Hyrje në gjeometri Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përfytyrojnë figurat si bashkësi pikash. • Të shprehin me fjalë vetitë themelore të drejtëzës. • Të dallojnë radhitjen e tri pikave në drejtëz. • Të përdorin saktë shënimin [AB] për segmentin. • Të dallojnë gjysmëdrejtëza plotësuese në një drejtëz. • Të lexojnë e të shënojnë në mënyra të ndryshme një kënd. • Të dallojnë, në një situatë të dhënë, llojet e këndeve (afërndenjës, të bashkëmbështetur, të shtrirë, të drejtë, të kundërt në kulm). • Të dallojnë në një bashkësi të dhënë figurash të thjeshta, figura kongruente (në veçanti, segmente dhe kënde). • Të ndërtojnë segment kongruent me një segment të dhënë. • Të ndërtojnë kënd kongruent me një kënd të dhënë. • Të matin me përafërsi të dhënë, gjatësinë e një segmenti. ∧

• Të përdorin saktë shënimin AOB ose ∠AOB, për masën e këndit. • Të gjejnë masën e këndit me raportor. • Të dallojnë që pika, drejtëza, plani janë kuptime që nuk përkufizohen. • Të dallojnë që aksiomat nuk vërtetohen. • Të formulojnë disa aksioma të thjeshta; të formulojnë disa teorema të thjeshta. • Në teoremat e formuluara në trajtën standarde “në qoftë se p, atëherë q”, të dallojnë kushtin dhe përfundimin. • Të përdorin teoremën për masat e këndeve të kundërt në kulm, në raste shumë të thjeshta. • Të ndërtojnë me mjete dy drejtëza pingule. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të formulojnë vetitë themelore të figurave më të thjeshta gjeometrike dhe t’i përdorin ato në situata problemore të thjeshta. • Të vizatojnë me vegla, figurat më të thjeshta gjeometrike, kur janë dhënë elemente

16


përcaktuese të tyre. • Të japin kuptimin e masës së segmentit dhe të tregojnë vetitë themelore të saj. • Të japin kuptimin e masës së këndit dhe të tregojnë vetitë themelore të saj. • Të përshkruajnë kuptimin e aksiomës dhe atë të teoremës. • Të riprodhojnë vërtetimin për disa teorema të thjeshta. (si ajo për këndet e kundërt në kulm). • Të japin disa përkufizime kuptimesh të thjeshta. • Ndër fjalitë e shqyrtuara matematike, të dallojnë aksiomat nga teoremat. • Të formulojnë veti të thjeshta të drejtëzave pingule dhe t’i përdorin në raste të thjeshta. • Të zbulojnë fjali matematike me anë matjesh direkte dhe t’i vërtetojnë ato. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të zbulojnë veti për figurat më të thjeshta gjeometrike dhe t’i vërtetojnë ato, në bazë të vetive të njohura. • Të përdorin vetitë e njohura të figurave të thjeshta gjeometrike për zgjidhjen e problemave, me njehsim apo me vërtetim. • Të sjellin teoremat me formulime të ndryshme në trajtën standard “në qoftë se p, atëherë q”.

Kreu IV: Fuqitë Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin saktë termat fuqi, bazë, eksponent në shkrimin dhe leximin e një fuqie. • Të gjejnë fuqinë me eksponent natyror e të plotë të një numri racional të thjeshtë, të dhënë. • Të përcaktojnë shenjën e fuqive me eksponent natyrorë të numrave negativë. • Të përdorin lirisht marrëveshjet për a 0 dhe a − n në njehsime. • Të zbatojnë pesë vetitë e fuqive me eksponent të plotë, në njehsime konkrete të drejtpërdrejta. • Të shkruajnë numrat dhjetorë në trajtën standarde dhe anasjellas. • Të njehsojnë vlerën e shprehjeve numerike të thjeshta, me dy-tre veprime, që përmbajnë fuqi, duke respektuar radhën e veprimeve. • Të gjejnë me afërsi rrënjën katrore të numrave natyrorë apo dhjetorë, me anë të makinës llogaritëse. • Të përdorin lirisht makinën llogaritëse për njehsimin e vlerës së shprehjes numerike të thjeshtë, me deri në një kllapë, me katër veprimet aritmetike dhe me fuqi. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të shprehin me fjalë e shkronja vetitë e fuqive me eksponentë të plotë.

MATEMATIKA 8

17

• T’i përdorin këto veti për shndërrime të thjeshta të shprehjeve dhe për njehsime. • Të njehsojnë vlerën e shprehjeve numerike me 1-2 kllapa dhe me fuqi, duke respektuar radhën e veprimeve. • Të kryejnë veprime aritmetike me numra, të dhënë në trajtën standard . • Të përdorin makinën llogaritëse për llogaritjen e vlerës së shprehjeve numerike të thjeshta, me një deri dy kllapa, me veprime aritmetike dhe të ngritjes në fuqi. • Të shkruajnë masa të madhësive fizike konkrete, në trajtën standard . • Të përdorin kuptimin e fuqisë dhe të rrënjës katrore për zgjidhjen e problemave të thjeshta. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të vërtetojnë disa nga vetitë e fuqive me eksponentë negativë. • Të kryejnë veprime me fuqitë në situata problemore, duke zbatuar vetitë. • Të përdorin vetitë e fuqive me eksponent të plotë, për vërtetime identitetesh shkronjorë.

Kreu V: Kongruenca e trekëndëshave Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të formulojnë me fjalë tre rastet e kongruencës së trekëndëshave. • Në dy trekëndësha, që janë kongruentë (sipas ndonjë rasti), të shkruajnë barazimin e elementeve kongruente. • Të zbulojnë kongruencën e dy trekëndëshave, me anë të matjeve të drejtpërdrejta. • Të përdorin në raste të drejtpërdrejta faktin që, në trekëndësha kongruentë përballë brinjëve kongruente ndodhen kënde kongruentë e anasjellas. • Të ndërtojnë trekëndëshin në rastin BKB, KBK, BBB. • Të bëjnë zbatime të drejtpërdrejta të teoremave të shqyrtuara, në raste shumë të thjeshtë, kur plotësohen kushtet e tyre. • Të formulojnë, për trekëndëshin dybrinjënjëshëm, vetinë për këndet e bazës dhe vetinë për mesoren e bazës. • T’i përdorin këto dy veti në raste të drejtpërdrejta. • Të formulojnë fjalinë e anasjellë të fjalisë së dhënë, në trajtën standard “në qoftë se p, atëherë q”. • Të japin shembuj fjalish të anasjella, që nuk janë teorema. • Të tregojnë, me anë të një kundërshembulli, fjali që nuk janë teorema. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të riprodhojnë vërtetimet e teoremave, për tre rastet e kongruencës së trekëndëshave. • Të vërtetojnë dy vetitë për trekëndëshin dybrinjënjëshëm.

18


• Për teoremat e shqyrtuara, të shqyrtojnë vërtetësinë e fjalive të anasjella. • T’i përdorin tre rastet e kongruencës së trekëndëshave në problema të thjeshta njehsimi e vërtetimi. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të zbatojnë teoremat për tre rastet e kongruencës së trekëndëshave, në situata të reja, praktike apo të simuluara. • Të zbulojnë veti për brinjët e këndet në figura, që përbëhen nga trekëndësha. • T’i vërtetojnë këto veti, në bazë të rasteve të kongruencës së trekëndëshave. • Të shqyrtojnë kongruencën e trekëndëshave, që kanë nga dy brinjë e një kënd përkatësisht kongruentë. • Të nxjerrin raste të kongruencës së trekëndëshave kënddrejtë.

Kreu VI: Shprehje me ndryshore Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjejnë vlerën e një shprehje numerike të thjeshtë, me 1-2 kllapa, me numra racionalë të thjeshtë, duke respektuar radhën e veprimeve. • Të gjejnë vlerën e një shprehje të thjeshtë (raport monomesh apo polinomesh të rregullt), me një ndryshore, për vlera të thjeshta të ndryshores. • Të kontrollojnë nëse një vlerë e caktuar e ndryshores është e palejuar, në një shprehje të tillë. • Të japin shembuj shprehjesh identike dhe shprehjesh jo identike në Q. • Të përdorin vetinë e përdasimit, për të shndërruar shprehje të trajtës . • Të faktorizojnë shprehje të trajtës . • Të përdorin vetitë e fuqive për të sjellë monomin në trajtë të rregullt. • Të dallojnë nëse dy monome janë të ngjashëm. • Të bëjnë reduktimet në një shumë algjebrike, me 1-2 lloje monomesh të ngjashëm. • Të gjejnë shumën dhe ndryshesën e dy trinomeve, me 1-2 ndryshore të trajtës së rregullt. • Të kryejnë shumëzimin e monomit me një polinom të trajtës së rregullt. • Të faktorizojnë, me nxjerrje në dukje, shumën dhe ndryshesën e dy monomeve të thjeshtë. • Të kryejnë shumëzimin e dy binomeve apo të një binomi me një trinom të trajtës së rregullt, me një apo dy ndryshore. • Të bëjnë faktorizim me grupim, në raste shumë të thjeshta, si p.sh. 3x+3y+ax+ay. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin ndryshoren dhe shprehjen me ndryshore, për të modeluar marrëdhënie numerike, në situata të thjeshta.

MATEMATIKA 8

19

• Të gjejnë vlerën e palejuar të ndryshores në shprehje të trajtës , ku P(x) është polinom i rregullt. • Të formulojnë përkufizimin e dy shprehjeve identike në E. • Të japin me shkronja vetitë e veprimeve dhe të argumentojnë, në bazë të tyre, shndërrime të thjeshta identike në Q. • Të reduktojnë një shumë algjebrike, me dy deri tri lloje monomesh të ngjashëm të trajtës së rregullt. • Të bëjnë reduktimin e polinomit me një apo dy ndryshore, duke e kthyer atë më parë në trajtë të rregullt. • Të gjejnë shumën apo ndryshesën e dy polinomeve me dy ndryshore. • Të formulojnë rregullën për gjetjen e faktorit të përbashkët që nxirret në dukje. • Ta përdorin atë për të faktorizuar, me nxjerrje në dukje, një polinom të rregullt, me një deri dy ndryshore. • Të kryejnë shumëzimin e një binomi me një trinom (me një deri dy ndryshore), duke bërë edhe reduktimin e kufizave të ngjashme. • Të bëjnë faktorizim me grupim në raste të thjeshta, kur ka edhe fuqi. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të bëjnë shumëzimin e dy polinomeve çfarëdo, me një deri dy ndryshore, duke bërë edhe reduktimin e kufizave të ngjashme. • Të përdorin faktorizimin me grupim, në raste komplekse, duke bërë shndërrime të përshtatshme të polinomit fillestar. • Të vërtetojnë identitete të thjeshta polinomesh me një deri dy ndryshore.

Kreu VII: Njohuri të tjera gjeometrike Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin në raste të drejtpërdrejta, teoremën mbi barazimin e dy këndeve përgjegjës (apo ndërrues të brendshëm), të formuar nga prerja e dy drejtëzave paralele me një të tretë. • Kur dy drejtëza paralele priten me një të tretë, të gjejnë masat e këndeve, duke njohur njërin prej tyre. • Të dallojnë paralelizmin (ose jo) të dy drejtëzave paralele, duke krahasuar dy kënde, të formuar nga prerja e tyre me një drejtëz të tretë. • Të formulojnë aksiomën e paraleleve. • Të ndërtojnë drejtëza paralele, duke përdorur vizoren dhe trekëndëshin e vizatimit. • Të përdorin në raste shumë të thjeshta, teoremën mbi shumën e masave të këndeve të trekëndëshit.

20


• Të krahasojnë dy brinjë (dy kënde) të trekëndëshit, kur njihen masat e dy këndeve (dy brinjëve) përballë tyre. • Të dallojnë llojet e trekëndëshave sipas brinjëve (sipas këndeve) dhe të listojnë veti të thjeshta të tyre. • Të listojnë e të përdorin, në raste të thjeshta veti të trekëndëshit kënddrejtë. • Të kontrollojnë nëse, tri segmente me masa të dhëna mund të formojnë trekëndësh. • Të zbatojnë në raste të drejtpërdrejta kongruencën e trekëndëshave kënddrejtë. • Të tregojnë në një rreth korda, diametra, tangjente. • Të ndërtojnë, me mjete, tangjenten ndaj rrethit në një pikë të tij. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin në raste të thjeshta, kushtet e mjaftueshme për paralelizmin e dy drejtëzave, prerë nga një e tretë. • Të ndërtojnë, nga një pikë jashtë drejtëzës, paralelen me të. • Të riprodhojnë vërtetimin mbi barazimin e dy këndeve përgjegjës (apo ndërrues të brendshëm), të dy drejtëzave paralele, prerë nga një e tretë. • T’i përdorin këto teorema në problema të thjeshta njehsimi. • Të vërtetojnë teoremën mbi shumën e masave të këndeve të trekëndëshit dhe ta përdorin në problema të thjeshta. • Të bëjnë krahasimin e këndeve (apo brinjëve) të trekëndëshit, në raste të thjeshta, por jo të drejtpërdrejta. • Të përdorin në raste të thjeshta veti të trekëndëshit kënddrejtë. • Të riprodhojnë teoremën për katetin përballë këndit 300 dhe ta përdorin në problema të thjeshta. • Të formulojnë, me fjalë e shkronja, mosbarazimin e trekëndëshit dhe ta përdorin atë në raste të thjeshta. • Të zbatojnë në problema të thjeshta kongruencën e trekëndëshave kënddrejtë. • Të vërtetojnë vetinë e drejtëzës që kalon nga qendra e rrethit, pingule me një kordë, e ta përdorin në problema të thjeshta. • Të vërtetojnë teoremën mbi segmentet e tangjenteve, të hequra ndaj rrethit nga një pikë jashtë tij dhe ta përdorin në problema të thjeshta. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të vërtetojnë teorema të anasjella të disa teoremave të shqyrtuara (p.sh. për rastin kur kateti është sa gjysma e hipotenuzës). • Të vërtetojnë teoremat, për rastet e kongruencës së trekëndëshave kënddrejtë. • Të zbulojnë veti të reja për brinjët dhe këndet, në trekëndësha dhe në figura, që ndahen në trekëndësha dhe t’i vërtetojnë ato në bazë të vetive të njohura. • Të përdorin vetitë e njohura të figurave gjeometrike, për zgjidhjen e problemave me njehsim apo vërtetim, në situata të reja.

MATEMATIKA 8

21

Kreu VIII: Formula të rëndësishme Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të shkruajnë formulat për (a ± b ) ; (a-b)(a+b). • T’i zbatojnë ato në raste të thjeshta si: 2

; ; (ax+by)(ax-by). • Të thjeshtojnë dy thyesa, kur gjymtyrët janë monome të rregullt, me një deri dy ndryshore. • Të faktorizojnë shprehje të trajtës: ; a2-b2. • Të faktorizojnë shprehje të trajtës: ax2-ay2; ax2+2ax+a. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të vërtetojnë formulat për (a ± b ) ; (a-b)(a+b). • T’i përdorin këto formula për rastin e shumës (ndryshesës) së dy monomeve të rregullt, me një deri dy ndryshore. • Të vërtetojnë identitete të thjeshta, duke përdorur formulat. • Të thjeshtojnë thyesa racionale të thjeshta, duke bërë më parë faktorizime sipas këtyre formulave, në numërues dhe në emërues. • Të faktorizojnë polinome me një deri dy ndryshore, duke bërë nxjerrje në dukje të faktorit të përbashkët e pastaj përdorim të këtyre formulave. • Të kryejnë faktorizime të thjeshta me grupim, në raste si: ax3+ax2+ax+a. 2

Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të kryejnë faktorizime me grupim në raste jo standarde, pas shndërrimesh të përshtatshme. • Të kryejnë faktorizime, ku kombinohen: nxjerrja në dukje, formulat e rëndësishme, faktorizimi me grupim. • Të zbërthejnë, kur është e mundur, trinomin e fuqisë së dytë me një ndryshore në faktorë linearë. • Të vërtetojnë identitete në situata jo standarde.

Kreu IX: Ekuacione dhe inekuacione me një ndryshore Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:

22


• Të dallojnë nëse, një vlerë e thjeshtë e ndryshores është rrënjë për ekuacionin ax+b=cx+d; ax2+bx+c=0. • Të formulojnë tri teoremat për njëvlershmërinë e ekuacioneve me një ndryshore në Q. • T’i përdorin këto teorema në raste shumë të thjeshta. • Të zgjidhin ekuacione të trajtave ax+b=cx+d; , me numra racionalë të thjeshtë. • Të zgjidhin ekuacione të trajtave ax2=b; (x-a)(x-b)=0; ax2+bx=0, pa përdorur formulën. • Të zgjidhin ekuacione me ndryshore në emërues të trajtave

, me koeficient

të plotë, duke përjashtuar vlerat e ndryshores që janë të palejuara. • Të njehsojnë dallorin për ekuacionin ax2+bx+c=0. • Të zgjidhin ekuacionin e fuqisë së dytë të trajtës standard ax2+bx+c=0, me koeficient të plotë dhe a>0. • Të veçojnë njërën nga shkronjat në formulat ax+by=c; y=ax2 (a>0). • Të përdorin, në raste të drejtpërdrejta, teoremat për shndërrimet e njëvlershme të inekuacioneve me një ndryshore në Q. • Në veçanti, të ndërrojnë kahun në këta inekuacione, kur ndërrojnë shenjat e të dyja anëve. • Të zgjidhin inekuacione të trajtave ax+b>cx+d, me koeficientë të plotë. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të japin përkufizimin e ekuacioneve të njëvlershëm në E. • Të përdorin teoremat mbi njëvlershmërinë, për të sjellë ekuacionet e thjeshtë, me një ndryshore, në trajtat ax=b, ax2+bx+c=0, duke argumentuar shndërrimet. • Të zgjidhin ekuacione që sillen në trajtën (ax+b)(cx+d)=0, me shndërrime të thjeshta. • Të zgjidhin ekuacione të thjeshtë që sillen në trajtat

;

, kur emëruesi i përbashkët gjendet drejtpërdrejtë. • Të zgjidhin ekuacione që sillen në trajtën ax2+bx+c=0, me shndërrime të njëvlershme të thjeshta. • Të shkruajnë dhe të bëjnë interpretime të thjeshta të formulës, për rrënjët e ekuacionit ax2+bx+c=0. • Të zgjidhin ekuacione të thjeshtë të fuqisë së dytë, me koeficientë shkronjorë (p.sh. 3x2-7ax+2a2=0). • Të zgjidhin problema të thjeshta, që çojnë në ekuacione të fuqisë së parë apo të dytë, me një ndryshore. • Të japin përkufizimin e zgjidhjes së inekuacioneve me një ndryshore. • Të japin përkufizimin e dy inekuacioneve (me një ndryshore) të njëvlershëm në E.

MATEMATIKA 8

23

• Të formulojnë teoremat për njëvlershmërinë e inekuacioneve, me një ndryshore në Q. • T’i përdorin këto teorema për të bërë shndërrime të thjeshta të njëvlershme në inekuacione, duke argumentuar. • Të zgjidhin inekuacione të thjeshta, që sillen në trajtën ax+b>cx+d, me shndërrime të njëvlershme. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të tregojnë shndërrime, që nuk çojnë në ekuacione të njëvlershëm. • Të tregojnë shndërrime, që nuk çojnë në inekuacione të njëvlershëm. • Të zgjidhin ekuacione që sillen në trajtën f(x)·g(x)=0, ku f(x), g(x) janë binome të fuqisë së parë apo trinome të fuqisë së dytë, me një ndryshore. • Të zgjidhin ekuacione me ndryshore në emërues, që sillen në ekuacione të fuqisë së parë apo të dytë, kur për gjetjen e emëruesit të përbashkët duhen bërë faktorizime. • Të zgjidhin problema nga situata të reja apo komplekse, me anë të ekuacioneve të fuqisë së parë apo të dytë, me një ndryshore. • Të zgjidhin problema të thjeshta që çojnë në inekuacione të trajtës ax+b>cx+d.

Kreu X: Matjet Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin skemën, për kalimin nga një njësi matëse e gjatësisë (apo sipërfaqes) në një tjetër. • Të njehsojnë, duke përdorur formulat, perimetrin dhe sipërfaqen e disa figurave të thjeshta, duke përdorur të dhëna të drejtpërdrejta apo duke i matur ato. • Të përdorin mesataren aritmetike të vlerave të matura, si përafrim për vlerën e saktë të madhësisë. • Të shprehin me fjalë e shkronja formulën për sipërfaqen e trekëndëshit dhe ta përdorin atë në problema të thjeshta njehsimi. • Të formulojnë teoremën e Pitagorës; të gjejnë në trekëndëshin kënddrejtë njërën brinjë, kur njihen dy të tjerat. • Të kontrollojnë, me anë të teoremës së anasjellë të Pitagorës, nëse një trekëndësh me tri brinjët e dhëna është kënddrejtë. • Të gjejnë diagonalen e katrorit, me brinjë të dhënë e anasjellas. • Të gjejnë lartësinë e trekëndëshit barabrinjës, me brinjë të dhënë e anasjellas. • Të shkruajnë e të përdorin, në raste direkte, formulën për gjatësinë e harkut  = dhe atë për sipërfaqen e sektorit qarkor S=

π R2n 360

.

π Rn 180

• Të gjejnë në këto formula vlerën e njërës ndryshore, kur njihen vlerat e dy të tjerave.

24


Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të njehsojnë, duke përdorur formulat, perimetrat dhe sipërfaqet e disa figurave, duke i ndarë në figura të thjeshta. • Të njehsojnë perimetrat dhe sipërfaqet e këtyre figurave, kur të dhënat nuk jepen të gjitha drejtpërdrejtë. • Të përdorin formulat për perimetrat dhe sipërfaqet e këtyre figurave, për zgjidhjen e problemave të thjeshta me njehsim. • Të nxjerrin me arsyetim disa nga formulat. • Të japin kuptimin për masën e sipërfaqes. • Të vërtetojnë formulën S=a·b, për sipërfaqen e drejtkëndëshit, në rastin kur a, b janë numra të plotë dhe ta përdorin atë në problema të thjeshta. • Të nxjerrin formulën S=

b⋅h , për sipërfaqen e trekëndëshit dhe ta përdorin atë në 2

problema të thjeshta. • Të shprehin sipërfaqen e trekëndëshit në dy mënyra, për të gjetur lartësitë e tij. • Të riprodhojnë vërtetimin e teoremës së Pitagorës; ta përdorin këtë teoremë për zgjidhjen e problemave të thjeshta. • Të zgjidhin trekëndëshin kënddrejtë me një kënd 300. • Të vërtetojnë formulat për diagonalen e katrorit dhe për lartësinë e trekëndëshit barabrinjës. • Të nxjerrin me argumentim, formulat për gjatësinë e harkut dhe për sipërfaqen e sektorit qarkor. • T’i përdorin këto formula për zgjidhjen e problemave të thjeshta me njehsim. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin përafrimin gjatë matjeve, në situata të reja problemore. • Të përdorin formulat për perimetrat dhe për sipërfaqet e figurave të thjeshta, në situata të reja problemore. • Të nxjerrin me vërtetim formula të reja nga ato të njohurat.

Kreu XI: Funksioni Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë nëse çiftimi i dy bashkësive të fundme, dhënë me diagram shigjetor, tabelë apo grafik është funksion. • Për një funksion të dhënë me diagram shigjetor, tabelë apo grafik, të shkruajnë të gjithë

MATEMATIKA 8

25

çiftet e renditur (fytyrë; shëmbëllim). • Për një funksion me grafik të dhënë, të gjejnë për çdo vlerë të x, vlerën përgjegjëse të y dhe anasjellas. • Për funksione linearë apo të fuqisë së dytë, të gjejnë vlerën e tij për një vlerë të thjeshtë të ndryshores dhe të ndërtojnë pikën përgjegjëse të grafikut. • Të dallojnë, nëse pika me koordinata të dhëna ndodhet në grafikun e funksionit linear apo të fuqisë së dytë. • Të tregojnë trajtën që ka grafiku i funksionit linear dhe ta ndërtojnë atë, duke marrë dy pika. • Të gjejnë pikat, ku grafiku i funksionit y=ax+b pret boshtin Ox (boshtin Oy). • Të skicojnë me pika grafikun e funksionit y=

k . x

• Të skicojnë me pika grafikun e funksionit y=ax2. • Të ndërtojnë grafikun e funksionit linear y=ax+b, në rastet e veçanta (kur a=0 ose b=0). Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Për një funksion të dhënë grafikisht, të gjejnë bashkësinë e përcaktimit dhe bashkësinë e vlerave. • Të japin përkufizimin e grafikut të funksionit.

k

• Për funksionet y=kx, y=x+k, y= , të gjejnë vlerën e k, kur është dhënë tabela ose x grafiku. • Të paraqesin me mënyra të tjera një funksion linear, të dhënë me fjalë. • Të gjykojnë, sipas shenjës së parametrave, për pozicionin që zë grafiku i funksionit y=ax+b, y=

k , y=ax2. x

• Të listojnë veti të grafikut të funksionit y=x2, duke i argumentuar ato. • Të zgjidhin problema të thjeshta që modelohen matematikisht, me anë të funksioneve y=ax+b, y=ax2, y =

k . x

Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të japin me formulë funksione lineare apo të trajtës y=ax2, të dhënë me mënyra të reja.

k

• Të ndërtojnë grafikët e funksioneve y=ax+b, y = , y=ax2, kur bashkësia e përcaktimit x është nënbashkësi e Q. 2 • Të listojnë veti të grafikut të funksionit y=ax , duke i argumentuar ato. • Të zgjidhin situata të reja problemore, që modelohen matematikisht me anë të

26


funksioneve y=ax+b, y=ax2, y=

k . x

Kreu XII: Shndërrimet gjeometrike Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjejnë koordinatat e një pike në planin xOy; të ndërtojnë pikën në planin xOy, kur njihen koordinatat e saj (numra të thjeshtë). • Të lexojnë e të shkruajnë drejt koordinatat e vektorit. • Të gjejnë koordinatat e shumës së dy vektorëve. • Të japin koordinatat e shëmbëllimit të një pike; të gjejnë koordinatat e fytyrës, kur njihen ato të shëmbëllimit: →

a) në një zhvendosje paralele me vektor të dhënë a ; b) në një zgjerim (O, k) të dhënë; c) në simetrinë ndaj origjinës O. d) në simetrinë me bosht Ox (Oy).

e) në rrotullimin (0, α ) . • Të gjejnë shëmbëllimin e një segmenti në shndërrimet e sipërpërmendura. • Të dallojnë qendra simetrie (bosht simetrie) në figura shumë të thjeshta. • Të vizatojnë figura që kanë (apo nuk kanë) qendër simetrie (bosht simetrie). • Të japin përkufizimin e vijës së mesme të trekëndëshit dhe të përdorin vetinë e saj në raste direkte. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të japin kuptimin e vektorit dhe të koordinatave të tij. • Të ndërtojnë shëmbëllimin e një shumëkëndëshi: →

a) në zhvendosjen paralele të dhënë me vektor a ; b) në zgjerimin e dhënë (0, k). c) në simetrinë ndaj origjinës O; d) në simetrinë me bosht Ox (Oy);

e) në rrotullimin e dhënë (0, α ) . • Kur njohin fytyrën dhe shëmbëllimin e saj, sipas llojit të shndërrimit të kryer, të gjejnë: →

a) vektorin a të zhvendosjes paralele; b) qendrën e simetrisë; c) boshtin e simetrisë. • Të plotësojnë figurën që ka bosht simetrie (qendër simetrie), kur njohin gjysmën e saj.

MATEMATIKA 8

27

• Të vërtetojnë që pika e prerjes së diagonaleve është qendër simetrie për paralelogramin. • Të vërtetojnë që lartësia e trekëndëshit dybrinjënjishëm është bosht simetrie për të. • Të vërtetojnë teoremat mbi shëmbëllimet e një segmenti: →

a) në zhvendosjen paralele me një vektor a ; b) në simetrinë me qendër O; c) në zgjerimin (O, k) (k>0); • Të vërtetojnë teoremën mbi vijën e mesme të trekëndëshit. • Ta përdorin këtë teoremë për zgjidhjen e problemave të thjeshta, me njehsim. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të tregojnë veti të figurave të thjeshta gjeometrike, që ruhen gjatë zhvendosjes paralele, simetrisë qendrore, simetrisë boshtore, rrotullimit (O, k). • Të vërtetojnë teoremën mbi shëmbëllimin e një segmenti: a) në simetrinë me bosht d; b) në rrotullimin (O, k). • Të shqyrtojnë zgjerime me koeficientë negativë; të vërtetojnë e të zbatojnë veti të tyre. • Të përdorin vetitë e shndërrimeve gjeometrike të studiuara, në situata problemore. • Të përdorin vetinë e vijës së mesme të trekëndëshit në problema me vërtetim apo në situata të reja.

Kreu XIII: Ekuacione dhe sisteme me dy ndryshore Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjejnë vlerën e binomit ax+by, për vlera të thjeshta të ndryshores. • Të dallojnë nëse, një çift i radhitur numrash të thjeshtë është zgjidhje për ekuacionin ax+by=c. • Të dallojnë nëse, një çift i radhitur numrash të thjeshtë është zgjidhje për një sistem dy ekuacionesh, të fuqisë së parë, me dy ndryshore. • Të japin disa zgjidhje për ekuacionin ax+by=c. • Të përdorin faktin që grafiku i ekuacionit ax+by=c është drejtëz dhe ta ndërtojnë atë me dy pika. • Të ndërtojnë drejtëzat me ekuacione të trajtës x=a (y=b). • Të zgjidhin një sistem dy ekuacionesh të fuqisë së parë, me dy ndryshore, në qoftë se; a) Njëri nga ekuacionet ka trajtën y=ax+b (x=cy+d). b) Koeficientët pranë x (pranë y), në ekuacionet e sistemit janë numra të kundërt. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:

28


• Të japin përkufizimin e zgjidhjes së një ekuacioni me dy ndryshore. • Të japin përkufizimin e zgjidhjes së një sistemi dy ekuacionesh të tillë. • Të zgjidhin sistemin e dy ekuacioneve të thjeshtë, të dy ekuacioneve të fuqisë së parë me dy ndryshore, me mënyrën grafike. • Të zgjidhin një sistem të tillë me mënyrën e zëvendësimit. • Të zgjidhin një sistem të tillë me mënyrën e mbledhjes. • Të përdorin barazimet me dy ndryshore, për të modeluar marrëdhënie numerike, në situata të thjeshta. • Të zgjidhin problema të thjeshta, me anë të sistemeve të dy ekuacioneve të fuqisë së parë, me dy ndryshore. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të zgjidhin sisteme, që kthehen në sisteme dy ekuacionesh të fuqisë së parë, me zëvendësim të ndryshoreve. • Të zgjidhin grafikisht inekuacione të trajtës x>a (y
Kreu XIV: Gjeometria në hapësirë Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë në një grup trupash të dhënë apo të vizatuar kuboidin, prizmin, piramidën, cilindrin. • Të listojnë veti të thjeshta të këtyre trupave. • Të vizatojnë hapjet e këtyre trupave. • Të dallojnë në një hapje të dhënë trupash të tillë, llojin e trupit dhe të tregojnë elemente të tij. • Të skicojnë kuboidin, prizmin, piramidën. • Të përshkruajnë e të matin drejtpërdrejtë lartësinë e prizmit, piramidës, cilindrit. • Të njehsojnë, në raste të drejtpërdrejta, sipërfaqen anësore të kubit, kuboidit, prizmit të drejtë. • Të njehsojnë vëllimin e prizmit, piramidës, cilindrit, duke përdorur të dhëna të drejtpërdrejta për sipërfaqen e bazës dhe të lartësisë. • Sipas të dhënave, të dallojnë: a) gjendjen reciproke të një drejtëze e një plani në hapësirë; b) gjendjen reciproke të dy drejtëzave në hapësirë; c) gjendjen reciproke të dy planeve në hapësirë. • Të dallojnë në mjedisin rrethues:

MATEMATIKA 8

29

a) plane paralelë; b) dy drejtëza të kithëta; c) drejtëza pingule me një plan. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të japin përkufizimin e planeve paralelë. • Të japin përkufizimin e drejtëzës pingule me planin. • Të përdorin, në raste të thjeshta, faktin që drejtëza pingule me dy drejtëza prerëse të planit është pingule me planin. • Të përdorin vetitë e njohura të kuboidit, prizmit, piramidës, cilindrit, konit në raste të thjeshta njehsimesh e krahasimesh. • Të japin kuptimin e vëllimit të një trupi, duke treguar vetitë e tij. • Të njehsojnë vëllimin e prizmit, piramidës, cilindrit në raste të thjeshta, kur të dhënat nuk jepen direkt. • Të njehsojnë vëllimin e trupave të thjeshtë, duke i ndarë ata në trupa të tillë. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të zbulojnë dhe të vërtetojnë veti të reja, nga vetitë e njohura të trupave të thjeshtë të shqyrtuar. • Të përdorin formulat për vëllimin e prizmit, piramidës, cilindrit në situata të reja problemore. • Të gjejnë sipërfaqen e anshme të piramidës, në situata problemore.

Kreu XV: Statistikë dhe probabilitet Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të mbledhin të dhëna sipas një qëllimi të përcaktuar dhe t’i paraqesin ato në tabela të efektivave e diagrame me shtylla. • Të dallojnë, për një popullim të thjeshtë, tipare diskrete dhe tipare të vazhdueshme. • Nga tabela e efektivave të gjejnë dendurinë për çdo vlerë të tiparit dhe të ndërtojnë tabelën e dendurive dhe atë të dendurive relative. • Të bëjnë paraqitjen grafike të efektivave dhe të ndërtojnë shumëkëndëshin statistikor përkatës. • Të gjejnë, për një varg të fundmë vlerash tipari sasior diskret, mesataren aritmetike, mesoren, modën. • Të lexojnë dhe të interpretojnë informacionin e dhënë me tabela, të dendurive relative dhe me grafikë. • Të dallojnë nëse, rezultatet e mundshme të një prove (eksperimenti) të thjeshtë janë

30


njëlloj të mundshëm.

n( A)

• Të përdorin përcaktimin klasik të probabilitetit P ( A) = , në raste shumë të n ( H ) thjeshta. • Të gjejnë probabilitetin statistikor, nëpërmjet dendurisë relative në eksperimente shumë të thjeshtë, me të dhëna të plota. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjejnë, prej tabelës së efektivave, efektivat e grumbulluar dhe denduritë e grumbulluara. • Të bëjnë paraqitjen grafike të efektivave të grumbulluar dhe të ndërtojnë shumëkëndëshin statistikor përkatës. • Të klasifikojnë, duke paraqitur me diagram rrethor, një bashkësi sipas një kriteri që lidhet me një cilësi të elementeve të saj. • Të ndërtojnë diagramin me shtylla për efektivat, dhe efektivat e grumbulluar për një tipar të vazhdueshëm dhe një ndarje të dhënë me klasa. • Të japin përcaktimin klasik të probabilitetit dhe ta përdorin atë për ngjarje të thjeshta, në prova (eksperimente) të thjeshta me rezultate njëlloj të mundshëm. • Të përdorin përcaktimin statistikor të probabilitetit nëpërmjet dendurisë relative dhe ta përdorin atë në raste të thjeshta, me eksperimente që i organizojnë vetë. • Të dallojnë ngjarjen e kundërt të një ngjarje të dhënë dhe të gjejnë probabilitetin e saj, në raste të thjeshta. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të grumbullojnë, përpunojnë dhe interpretojnë të dhëna statistikore në situata të reja, të simuluara apo reale. • Për tiparin e vazhdueshëm, të realizojnë një ndarje të përshtatshme në klasa dhe të punojnë me diagrame rrethore. • Të përdorin përcaktimin klasik të probabilitetit, për të gjetur probabilitetin e një ngjarje, apo të ngjarjes së kundërt të saj në situata të reja, të simuluara apo reale.

MATEMATIKA 8

31

II. UDHËZIME TË PËRGJITHSHME METODOLOGJIKE

II.1. Matematika si lëndë shkollore Mësimi i matematikës në shkollë ka të bëjë me njohjen, të kuptuarit dhe të zbatuarit e shprehive matematikore. Kurrikuli i matematikës shkollore është një nga faktorët kyç në përgatitjen e nxënësve sipas kërkesave të shoqërisë së sotme. Gjatë mësimit të matematikës ushtrohen mënyrat specifike të të menduarit si dhe interpretimet specifike të botës. Interpretimet, e përftuara gjatë mësimit të matematikës, dallohen nga një universalitet dhe stabilitet i dukshëm, tipar i rëndësishëm për qytetarin e një bote që ndryshon shpejt. Detyra e matematikës si lëndë shkollore është t’u transmetojë nxënësve, krahas njohurive konkrete matematikore dhe mënyrave të punës, edhe pikëpamje më të përgjithshme për proceset e të menduarit dhe marrjes së vendimeve, të cilat janë me rëndësi për një bashkë organizim aktiv dhe të përgjegjshëm të shoqërisë. Një nga detyrat e çdo lënde shkollore është t’u mësojë nxënësve se si të mendojnë dhe se si të ndjejnë përgjegjësi për ato që mendojnë apo thonë. Matematika e ka më të lehtë se sa fushat e tjera kurrikulare realizimin e kësaj detyre, sepse kur nxënësi zgjidh një problem matematik, ai është i bindur në korrektësinë e zgjidhjes jo sepse thjesht ashtu i thotë mësuesi, por sepse logjika e brendshme funksionon fare qartë. Nëpërmjet kurrikulit të matematikës nxënësit përfshihen mendërisht në ngjizjen e koncepteve dhe marrëdhënieve të tyre për të krijuar ide të reja dhe për të përmirësuar të mëparshmet. Matematika është një element kyç i kurrikulit. Kur nxënësit mësojnë matematikë, nuk kemi të bëjmë thjesht me zotërimin e shprehive bazë, por edhe me përftimin e një mjeti konciz dhe të fuqishëm komunikimi. Zotërimi i gjuhës matematike, strukturave dhe operacioneve të saj, të ndihmon të arsyetosh, të argumentosh konkluzionet dhe të shprehësh idetë qartë. Matematika është, gjithashtu, një mjet i fuqishëm të nxëni. Nxënësi identifikon marrëdhëniet ndërmjet koncepteve matematike dhe situatave të përditshme dhe bën lidhje ndërmjet matematikës dhe lëndëve të tjera, ai fiton aftësi për të përdorur matematikën dhe për të aplikuar njohuritë edhe në fushat e tjera kurrikulare. Mënyra se si jepet mësimi ka ndikim të fuqishëm në atë çka ndodh me matematikën në klasë. Por faktori më i rëndësishëm është përmbajtja që duhet mësuar. Në përzgjedhjen e përmbajtjes së matematikës ndikojnë mjaft faktorë, përfillja e të cilëve jo vetëm ndihmon në reagimin e përshtatshëm ndaj ndryshimeve që ndodhin brenda e jashtë arsimit, por madje edhe influencon në këto ndryshime. Për hartimin e kurrikulit të matematikës, e rëndësishme është të përcaktohet çfarë matematike duhet t’u mësohet nxënësve, si do tua mësojmë atë dhe si duhet tua mundësojmë dhe lehtësojmë të nxënit.

32


Natyra e vërtetë e shoqërisë në të cilën jetojmë, e dominuar nga informacioni dhe shërbimet ka një ndikim real në përmbajtjen e shkollës. Një shoqëri e tillë kërkon një përqindje gjithnjë e më të vogël të punës së pakualifikuar dhe një numër në rritje të personelit të mirë kualifikuar. Nga ana tjetër, ndryshimet e shpejta të sjella nga teknologjia e bëjnë të vështirë trajnimin e njerëzve për ato punë që mund të ndryshojnë apo të mos ekzistojnë dhjetë vjet më vonë. Madje edhe ato punë që nuk kanë lidhje drejtpërdrejtë me fushat e shkencës, janë të ndikuara nga ndryshimet teknologjike, sepse kërkojnë që punëtorët të mësojnë të adaptohen ndaj situatave të reja, të perceptojnë modele e të zgjidhin probleme jo tradicionale. Pikërisht këto specifika flasin për rëndësinë e matematikës shkollore të ditëve të sotme. Ajo që është e rëndësishme ka të bëjë me faktin se si duhet t’i mësojmë nxënësit të përshtatin të menduarit ndaj situatave. Tendenca e sotme është theksimi në rritje në kurrikulin e matematikës i arsyetimit logjik, zgjidhjes së problemave dhe arsyetimit gjeometrik, sepse këto janë shprehi gjeneruese që mund të përdoren në një gamë të gjerë situatash të nevojshme në një shoqëri teknologjike dhe informative, që ndryshon. Arsimi i detyruar ka si detyrë të pajisë nxënësit me njohuri matematike të nevojshme për t’i bërë ata të aftë të marrin vendime të mirëgjetura; të interpretojnë dhe të përdorin fluksin në rritje të informacionit, e të marrin pjesë në procese vendimmarrëse në shoqëri. Lënda e matematikës duhet të sigurojë një bazë të mjaftueshme për të studiuar lëndë të tjera, për arsimim të mëtejshëm dhe për gjatë gjithë jetës. Mësimi i matematikës duhet të zhvillojë te nxënësit interesin për matematikën, si dhe të krijojë mundësi për të komunikuar në gjuhën dhe shprehjet matematike. Lënda duhet t’u japë nxënësve mundësinë për të aplikuar matematikën dhe për të komunikuar matematikisht në situata të jetës së përditshme.

II.2. Qëllimi, synimet dhe objektivat e përgjithshme të kurrikulit aktual të matematikës në arsimin e detyruar Në kurrikulin e arsimit të detyruar 9-vjeçar matematika qëndron si fushë kurrikulare më vete.(“lënda e matematikës”dhe “fusha e matematikës”përfaqësojnë të njëjtën gjë). Kurrikuli zyrtar i matematikës përfshin planin mësimor, standardet e përmbajtjes dhe të arritjes dhe programet vjetore. Gjithashtu, janë hartuar në trajtën e draftit, korniza kurrikulare për arsimin e detyruar si dhe vizioni kurrikular i matematikës 1-9. Çdo produkt tjetër, që ka lidhje me mësimin e matematikës, duke filluar që nga tekstet e nxënësit, tekstet e mësuesit, materialet e tjera ndihmëse, etj. nuk bën pjesë në kurrikulin zyrtar por bën pjesë në atë që quhet kurrikul i zbatuar. Qëllimi kryesor i kurrikulit të matematikës shkollore është të përgatisë njerëz, të cilët janë të pajisur me aftësi matematike të domosdoshme; që veprojnë me kompetencë në situata që kërkojnë përdorimin e njohurive matematike, e kuptojnë matematikën dhe vlerësojnë rolin e saj në shoqëri.

MATEMATIKA 8

33

Kurrikuli synon që nxënësit të kenë atë përgatitje matematike që i bën të aftë: - Të funksionojnë në shoqëri si konsumatorë dhe si prodhues d. m. th., të kenë ato shprehi dhe njohuri konceptuale të nevojshme për nevojat e një prodhuesi dhe konsumatori të nivelit mesatar. Kjo gjë mund të arrihet nëse vendoset një lidhje e qartë ndërmjet zgjidhjes së problemeve të jetës reale dhe matematikës të mësuar në shkollë. - Të funksionojnë në shoqëri si qytetarë të përgjegjshëm, d.m.th., të kenë aftësi për të analizuar dhe interpretuar informacionin sasior. - Të mendojnë në mënyrë logjike, të punojnë në mënyrë efektive dhe të çmojnë matematikën. - Të zgjidhin problema, me dëshirë, besim dhe aftësi. - Të komunikojnë matematikisht. - Të ndjekin studimet e mëtejshme në matematikë dhe në fushat e tjera që lidhen me matematikën. Synimet e mësipërme mund të specifikohen në objektiva të përgjithshme si vijon: - Nxënësit duhet të jenë të aftë të kujtojnë faktet bazë. Kjo do të thotë që ata duhet të kenë informacion bazë të tillë që mund ta përdorin në çdo moment. Ky lloj informacioni nuk është qëllim në vetvete por një mbështetje e fuqishme e proceseve të të kuptuarit dhe të zbatuarit. - Nxënësit duhet të zotërojnë aftësitë e nevojshme për të kryer veprimtari matematikore. Kjo do të thotë që ata duhet të jenë të aftë p.sh., të kryejnë algoritmet rutinë që përfshihen në gjetjen e një shume, duhet të jenë të aftë të përdorin vegla të përshtatshme si p. sh., makinat llogaritëse apo veglat gjeometrike dhe gjithashtu, duhet të jenë të qartë se kur duhet t’i përdorin. - Nxënësit duhet të kenë një përfytyrim për matematikën si një sistem i tërë logjik në të cilin të kuptuarit e një koncepti të veçantë lidhet dhe integrohet me konceptet e tjera, duke formuar një të tërë. - Nxënësit duhet të jenë të aftë t’i zbatojnë njohuritë e tyre matematikore në mënyrë që të kuptojnë dhe të shohin fuqinë e saj zbatuese në shumë fusha të dijes e të jetës. - Nxënësit duhet të jenë në gjendje të analizojnë informacionin e dhënë, përfshirë edhe informacionin e dhënë në kontekst me të cilat nxënësi nuk është i familjarizuar. Kjo aftësi përbën bazën për të zgjidhur problema jostandarde. - Nxënësit duhet të jenë të aftë të “krijojnë”matematikë për veten e tyre. Sigurisht nuk pretendohet që nxënësit të zbulojnë gjëra të reja ose të bëjnë shpikje. Por ata mund të bëjnë hamendësime dhe pastaj të debatojnë rreth hipotezave të parashtruara nga vetë ata. - Nxënësit duhet të jenë të aftë të komunikojnë matematikisht, me gojë dhe me shkrim. Kjo do të thotë që ata të jenë në gjendje të përshkruajnë atë që kanë bërë, të argumentojnë me fjalët e tyre dhe të jenë në gjendje të paraqesin me shkrim arsyetimin dhe argumentimin e tyre. - Nxënësit duhet ta çmojnë matematikën. - Nxënësit duhet të ndërgjegjësohen për historinë e matematikës si shkencë që ka evolucionin e saj.

34

II.3.


Rubrikat e programeve të matematikës

Programet e reja të matematikës paraprihen nga disa dokumente kurrikulare dhe janë hartuar duke qenë në koherencë me to. Këtu mund të përmendim planin mësimor të arsimit të detyruar, në të cilin përcaktohen orët totale vjetore dhe orët javore të mësimit të matematikës për çdo klasë; synimet dhe objektivat e përgjithshme të lëndës së matematikës në arsimin e detyruar, etj. Konceptimi i programeve të reja mundëson e stimulon politikën e re për tekstet shkollore. Në ndryshim nga programet e mëparshme, të cilat ishin hartuar duke pasur parasysh vetëm një tekst nxënësi dhe një tekst mësuesi, të lidhur ngushtë me të, programet e reja janë fleksibël në kuptimin, që duke u mbështetur në to, mund të hartohen disa tekste nxënësi. Konceptimi i programeve krijon kushte dhe nxit zhvillimin e kurrikulit në bazë rajoni e shkolle. Në programet e reja parashikohet edhe kohë në dispozicion të mësuesit, i cili mund ta mbushë atë me risi interesante në dobi të nevojave të nxënësve. Struktura, në krahasim me atë të programeve të mëparshme, jo vetëm është pasuruar me rubrika të reja, si p.sh., me objektiva, por ka ndryshuar edhe konceptimi i rubrikave. Nëpërmjet objektivave theksi i të mësuarit të matematikës vihet te rezultatet. Programet do të jenë mjet pune për mësuesin gjatë gjithë vitit shkollor. Programi lëndor është pikënisja nga e cila çdo mësues planifikon punën e tij afatshkurtër dhe afatgjatë. Rezultatet e pritshme të paraqitura kryesisht nëpërmjet objektivave të programit udhëheqin vazhdimisht punën e mësuesit, kur bën planin mësimor, kur vendos objektivat e kapitullit, kur zgjedh materiale ndihmëse, kur realizon mjete mësimore, kur vlerëson nxënësit dhe kur raporton te prindërit rezultatet e fëmijëve. Është zgjeruar vendi i arsyetimit deduktiv dhe janë thjeshtuar algoritmet. Është synuar rritja e aftësisë për të përdorur matematikën në jetën e përditshme.

Sqarimi i rubrikave të programit

Të kuptuarit e programit nënkupton jo vetëm një konceptim të saktë global rreth ndërtimit të tij, por edhe të secilës prej rubrikave. Më poshtë po ndalemi në sqarimin e secilës rubrikë herë-herë edhe me shembuj sqarues. Programet e reja të lëndës së matematikës për arsimin e detyruar 9-vjeçar kanë pothuajse të njëjtën strukturë. Ndryshime dhe përmirësime të vogla, përfshirë edhe ato terminologjike janë bërë në programet e hartuara së fundmi. Rubrikat e programeve janë : • Të përgjithshme; • Synimi; • Linjat e nën linjat e përmbajtjes; • Objektivat, konceptet (njohuritë), shprehitë (aftësitë) sipas linjave e nën linjave; • Shpërndarja e orëve (përmbajtja analitike);

MATEMATIKA 8

35

• Metodologjia e zbatimit të programit; • Vlerësimi. Po i trajtojmë ato shkurtimisht.

a) Të përgjithshme

Qëllimi i rubrikës është të japë një kuadër të përgjithshëm për vendin që zë programi në planin mësimor për arsimin e detyruar 9-vjeçar, të evidentojë risitë kryesore që sjell (orët fleksibël) dhe të sigurojë përdoruesin si për koherencën me programet paraardhëse ashtu edhe përshtatshmërinë me tendencat bashkëkohore.

b) Synimi

Përcaktimi i synimit të mësimit të matematikës për një klasë të caktuar, ka të bëjë me vazhdimësinë e synimit të lëndës së matematikës përgjatë viteve shkollore dhe aftësitë matematike që duhen përvetësuar nga nxënësit e klasës në fjalë.

c) Linjat e nënlinjat kryesore

Lënda e matematikës në arsimin e detyruar, uniformitetin nga njëri vit në tjetrin e siguron edhe nëpërmjet linjave të përmbajtjes, të cilat janë boshtet kryesore rreth të cilave sendërtohen trajtimet konceptuale matematikore në çdo vit shkollor. I quajmë të përmbajtjes sepse përcaktojnë pikat kryesore të përmbajtjes konceptuale të lëndës Gjithsej janë pesë linja: 1) Numri. 2) Matja. 3) Gjeometria. 4) Algjebra dhe funksioni. 5) Mbledhja, organizimi dhe përpunimi i të dhënave; probabiliteti. Zgjidhja e problemave nuk trajtohet si një linjë e veçantë, por ajo luan një rol integral në të nxënit e nxënësve në secilën nga linjat. Të gjitha linjat e përmbajtjes kërkojnë që nxënësit të përfshihen në zgjidhje problemash. Qëndrimet, strategjitë dhe proceset për të reflektuar në të menduarit e tyre, kanë nevojë për zgjidhje efektive të problemave dhe duhet të jenë pjesë e të gjitha aspekteve të kurrikulit të matematikës. Linjat ndahen në nën linja, numri i të cilave mund të ndryshojë nga njëra linjë në tjetrën. Megjithëse objektivat janë hartuar për secilën linjë e nën linjë, në tekste dhe gjatë mësimit në klasë i gjejmë të integruara. Vlen të theksohet që linjat e nën linjat nuk janë kapituj të vendosur në mënyrë lineare si ata që jemi mësuar të gjejmë në programet e mëparshme.

d) Objektivat, konceptet e shprehitë kryesore sipas linjave e nën linjave

Është ndër pjesët më të rëndësishme dhe më të përdorshme të programit. Pothuajse për

36


çdo nën linjë janë hartuar një sërë objektivash të matshme, të detyrueshme, konkrete, që tregojnë se çfarë pritet të dijë nxënësi si rezultat i trajtimeve konceptuale brenda nën linjës. E detyrueshme është ajo që kërkohet në objektiv; çdo tejkalim i kërkesës së objektivit ose çdo material që ka të bëjë me objektiva tej atyre të listuara në program, bie ndesh me kërkesat zyrtare të lëndës. Nëse konsiderohet e vlefshme dhënia e ndonjë informacioni shtesë, atëherë ka karakter obsional, jo të detyrueshëm dhe nuk mund të jetë objekt vlerësimi për nxënësit. Dhe, në të kundërt, nëse teksti i përzgjedhur nuk siguron realizimin e kërkesës së objektivit ose të objektivave në tërësi, mësuesi duhet ta plotësojë me materiale të tjera. Objektivat e udhëheqin punën e mësuesit edhe në përzgjedhjen e materialeve ndihmëse. Edhe kriteret që kanë lidhje me procesin e të nxënit duhen respektuar. Një tekst mësuesi ose tekst me ushtrime që del në tregun e lirë të botimeve dhe bie në kundërshtim me parimet e parashtruara në program, nuk e ndihmon mësuesin, dhe si i tillë nuk mund të përdoret prej tij. Në këtë këndvështrim sa herë mësuesi ndodhet para procesit përzgjedhës të librave, bazë ose ndihmës, që do të përdorë në mësimin e matematikës, është më se i domosdoshëm referimi në objektivat e programit për t’u siguruar që gjërat nuk bien ndesh me njëra tjetrën. Objektivat duhet mbajtur parasysh edhe në realizimin e orëve të lira.

Shembuj objektivash.

“Të vizatojnë figura të thjeshta gjeometrike në rrjet katror”. Nxënësit duhet të vizatojnë katrorin, trekëndëshin, drejtkëndëshin në rrjet katrorësh. Vizatimi jashtë rrjetit të katrorëve mund t’u jepet nxënësve opsional, d.m.th., pa e konsideruar objekt vlerësimi. Kërkesat e programit lidhur me përmbajtjen e lëndës i gjejmë edhe tek paragrafët me titull “Konceptet dhe shprehitë kryesore”.

e) Shpërndarja e orëve (programi analitik)

U theksua edhe më lart që linjat e nën linjat nuk janë kapituj linearë si ata që jemi mësuar të gjejmë në programet e mëparshme. Renditja në tabelën e shpërndarjes së orëve nuk është lineare. Gjatë zbatimit në klasë nuk do të thotë, p. sh. që duhet të zhvillohet numri tërësisht pastaj të fillojë matja, e kështu me radhë. Përkundrazi, konceptet matematike ndërthuren (p.sh., pas disa orëve me veprime me numra mund të bëhet gjeometri, algjebër ose interpretim të dhënash). Edhe brenda një teme mësimore konceptet ndërthuren dhe janë në funksion të konceptit kryesor, i cili ka të bëjë me qëllimin e temës. Në fund të vitit shkollor, orët mësimore të zhvilluara për secilën nga linjat e nën linjat, duke i gjetur ku janë zhvilluar e duke i mbledhur, duhet të jenë sa ato të parashikuara në program. Sigurisht shpërndarja e njohurive mendohet me kujdes që në fillim të vitit. Në planifikimin e fillim vitit, mësuesi bazohet tek teksti i nxënësit. Një tekst nxënësi, që i përgjigjet me korrektësi programit, e lehtëson mjaft punën e mësuesit. Mësuesi duhet t’i studiojë me vëmendje kapitujt e tekstit, dhe nëse e konsideron të arsyeshme, në bashkëpunim me kolegët mund të bëjë ndryshime në ndarjet e orëve në tekst, për tua përshtatur më mirë materialin mësimor objektivave të

MATEMATIKA 8

37

programit dhe nevojave të nxënësve. Programi i lëndës, teksti i nxënësit, teksti i mësuesit, materialet ndihmëse, konsiderohen si një unitet brenda të cilit realizohet me sukses mësimdhënia dhe mësimnxënia e lëndës. Po ndalemi në qëllimin dhe konceptimin nga mësuesi të orëve të lira. Rreth 15% e orëve nga sasia totale e orëve janë lënë të lira për t’u përdorur nga mësuesi. Statusi i tyre është sa i detyrueshëm aq edhe opsional. Është i detyrueshëm sepse duhen zhvilluar deri në fund të vitit shkollor. Është fleksibël e opsional, sepse shpërndarja përgjatë vitit dhe mbushja me material mësimor, është lënë në dorë të mësuesit në bashkëpunim me drejtoritë arsimore, drejtorinë e shkollës dhe me mësuesit e tjerë të shkollës. Qëllimi i orëve të lira është që t’i lërë hapësirat e nevojshme iniciativës dhe krijimtarisë së shkollës, për të përmbushur sa më mirë nevojat dhe interesat e nxënësve, në përputhje me objektivat e programit zyrtar të miratuar nga Ministria e Arsimit dhe Shkencës. Për mbushjen e tyre me material mësimor mund të përdoren burime të ndryshme. Grumbullimi i fakteve, shifrave, e të dhënave të ndryshme historike, gjeografike, demografike, kulturore, industriale, bujqësore, mund të kthehen në një burim të vlefshëm për të organizuar orë mësimore interesante. Organizimi i ekskursioneve në natyrë, të shoqëruara me veprimtari praktike, organizimi i vizitave në qendra të ndryshme prodhimi, të shoqëruara me vrojtime dhe të pasuara me detyra, në ekonomi private në shërbim të një objektivi të caktuar të programit, organizimi i konkurseve brenda klasës edhe për një kapitull, lojëra të ndryshme zbavitëse me elemente që zhvillojnë të menduarin kritik e logjik, përforcimi i njohurive, i shoqëruar me metoda e strategji që fuqizojnë si të nxënit ashtu edhe mësimdhënien, janë disa veprimtari rekomanduese për rubrikën e orëve të lira. Për mbushjen efikase të një pjese të orëve të lira mund të bëhet një planifikim ndërlëndor duke hartuar një plan disa orësh, që shfrytëzon lidhjet konceptuale ndërlëndore. Nxënësve u jepet një detyrë (një ose më shumë orësh) e cila përfshin njohuri ndërlëndore dhe u shërben arritjes së objektivave të programeve të disa lëndëve. Matematika mund të lidhet me të gjitha lëndët. Sa herë nxënësve ju duhet të numërojnë, të përdorin konceptin e thyesës, raportit, përqindjes, të klasifikojnë sipas një cilësie, të zbulojnë një ligjësi, të organizojnë në një tabelë apo diagram disa të dhëna, të interpretojnë tabela, diagrame etj., atyre ju duhet të përdorin njohuritë dhe aftësitë matematike. Shpërndarja dhe larmia e veprimtarive, duke ju gjetur vendin e duhur përgjatë vitit mësimor, është një element i rëndësishëm i zbatimit me sukses të rubrikës së orëve të lira. Kujdes duhet bërë që orët e lira të mos shpërdorohen duke i shfrytëzuar për qëllime rutinë, të cilat nuk sjellin risi në kurrikulin shkollor.

f) Rubrikat “Metodologjia e zbatimit të programit”; “Metoda e mësimdhënies”; “Komponentë kryesorë të mësimit të matematikës”. Metodologjia e zbatimit të programit është një nga rubrikat që nuk duhet anashkaluar nga përdoruesit e programit. Nëpërmjet shtjellimeve parashtrohen kritere që kanë të

38


bëjnë me mënyrën dhe shkallën e trajtimit të koncepteve në tekst, apo në materiale të tjera ndihmëse. Në dy rubrikat e tjera përvijohen veçoritë e mësimit të matematikës për klasën përkatëse dhe parime të cilat duhet të merren parasysh nga mësuesi në planifikimin e punës afatshkurtër dhe afatgjatë. Komponentët kryesorë të mësimit të matematikës i gjejmë edhe tek standardet e përmbajtjes. Për çdo program janë hartuar duke marrë parasysh specifikat përkatëse.

Shembull:

Konceptet e shprehitë të ngrihen mbi përvojën reale të nxënësve dhe përmes situatave reale. Zhvillimi i koncepteve t’i drejtohet mjedisit të nxënësit, përvojës së tyre të përditshme, duke përfshirë edhe lojën si element didaktik të përshtatshëm për nxënësit e klasës së tetë. Kjo kërkon që si teksti, ashtu edhe materiale të tjera që mund të përdorë mësuesi në mësimin e matematikës, të jenë të pasura me informacion nga jeta reale dhe mjedisi rrethues.

g) Vlerësimi

Në rubrikën e vlerësimit jepen kritere të përgjithshme për organizimin e vlerësimit në klasën përkatëse. Informacion më të hollësishëm për vlerësimin, përdoruesi i programit do ta gjejë më pas në këtë udhëzues, si dhe në materiale të tjera të botuara posaçërisht për këtë qëllim.

II.4. Programi i matematikës së klasës së tetë 4.1 Të përgjithshme Programi i matematikës për klasën e tetë dhe zbatimi i tij janë një nga hallkat që mundësojnë realizimin e mësimit të matematikës në ciklin e mesëm të ulët (6-9). Programi është konceptuar në vazhdim të programit të klasës së gjashtë e të shtatë lidhur me koherencën konceptuale vertikale e duke respektuar parimin spiral të dhënies së njohurive. Njohuritë e shprehitë matematike që transmeton programi i klasës së tetë për arsimin 9-vjeçar janë vazhdim i atyre të programeve matematike të klasave paraardhëse. Programi i klasës së tetë për arsimin 9-vjeçar nuk realizon mbylljen e njohurive matematike për arsimin e detyruar duke ja lënë këtë veçori programit për klasën e nëntë. Një kujdes i posaçëm i është kushtuar grupit të koncepteve e shprehive matematike që i duhen individit për të funksionuar në jetën e përditshme, në shtëpi, në shkollë/ punë, në komunitet. Njerëz të ndryshëm kanë nevoja të ndryshme në varësi të vendit ku jetojnë dhe moshës. Në programin e klasës së tetë është vënë theksi në formimin

MATEMATIKA 8

39

e nevojshëm matematik të nxënësit të klasës së tetë, të cilin ai mund ta përdorë me efikasitet në situata të ndryshme të jetës së përditshme (p.sh. strategji për llogaritjet me mend, parashikimet e rezultateve, gjuha matematike, intepretimi dhe organizimi i informacionit, përdorimi i mjeteve matëse etj.) me synim pasurimin dhe zhvillimin e mëtejshëm në klasat pasardhëse. Mësimi i matematikës në klasën e tetë të arsimit 9-vjeçar do të zhvillohet në 35 javë mësimore me 4 orë/javë. Gjithsej: 35 javë x 4 orë/javë= 140 orë vjetore Mësimi i matematikës në arsimin 9-vjeçar dhe në veçanti edhe në klasën e tetë, kompozohet rreth komponentëve kryesorë të tij: zgjidhja e problemave, komunikimi, arsyetimi dhe lidhjet konceptuale.

Zgjidhja e problemave

Zgjidhja e problemave është në qendër të mësimit të matematikës. Është procesi nëpërmjet të cilit nxënësit kuptojnë dhe ndjejnë fuqinë e matematikës në botën që i rrethon. Në klasën e tetë nxënësit arrijnë të zgjidhin problema duke përdorur strategji të ndryshme dhe larmi mënyrash zgjidhjeje. Zgjidhja e problemave është pjesë konsistente e secilës nga linjat. Në klasën e tetë nxënësit duhet të jenë në gjendje për të zgjidhur problema jorutinë, të përshkruajnë zgjidhjen, të reflektojnë rreth zgjidhjes duke përdorur terminologji matematike.

Komunikimi matematik

Matematika është një gjuhë, e cila merr kuptim te nxënësit në qoftë se ata fillojnë të komunikojnë (me shkrim ose me gojë) konceptet matematike dhe të zbatojnë njohuritë matematike në mënyrë të frytshme. Në klasën e tetë simbolika e komunikimit matematik vjen duke u pasuruar për t’iu përshtatur kërkesave të programit. Përdorimi i saktë i simboleve matematike tregon përvetësimin e gjuhës së komunikimit matematik. Nxitja e nxënësve për të përshkruar situata, zgjidhje, vrojtime, hulumtime, për të plotësuar ose interpretuar tabela, diagrame, ndikon pozitivisht në zhvillimin e shprehive komunikuese. Zhvillimi i aftësisë për të arsyetuar në mënyrë abstrakte shoqërohet me zhvillimin e aftësisë për të komunikuar matematikisht.

Arsyetimi

Arsyetimi është themelor në mësimin e matematikës. Pavarësia e çdo individi zhvillohet nëpërmjet ndërgjegjësimit të tij për të arsyetuar në mënyrë logjike dhe për të argumentuar mendimin e tij. Gjatë zgjidhjes problemave, nxënësit aftësohen për të parashtruar argumente bindëse, e për të vlerësuar argumentet e paraqitura nga të tjerët. Në klasën e tetë arsyetimi bëhet gjithnjë e më i organizuar. Klasifikimi, argumentimi logjik, të menduarit induktiv dhe

40


analogjia janë pjesë e rëndësishme e zbatimit të programit të klasës së tetë. Zhvillimi i aftësisë për të gjykuar në mënyrë logjike është i lidhur me zhvillimin intelektual dhe verbal të nxënësit.

Lidhjet konceptuale

Gjatë mësimit të matematikës nxënësit kanë nevojë të kuptojnë që konceptet matematike lidhen me njëri-tjetrin, me lëndët e tjera dhe me situata të jetës së përditshme. Për këtë qëllim, linjat e përmbajtjes nuk duhen trajtuar të izoluara, por të ndërthurura me njëra-tjetrën për të dhënë idenë e matematikës si një e tërë. Tërësia e matematikës ka të bëjë me përdorimin e koncepteve të njërës linjë për të dhënë koncepte të linjave të tjera si dhe në përdorimin e shprehive të ndërsjella (p.sh. të shprehive algjebrike për të zgjidhur problema gjeometrike). Përdorimi bindës i matematikës në shtjellimet brenda lëndës dhe në ato të lëndëve të tjera dhe anasjellas, si dhe marrja e zbatimeve nga situata reale i ndihmon nxënësit të zbulojnë rolin e matematikës në një kontekst më të gjerë, ta konsiderojnë matematikën si një mjet të fuqishëm e të larmishëm për të kuptuar e për të ndikuar në botën që i rrethon.

4.2. Synimet

Programi synon që nxënësve t’u jepet mundësia të fitojnë njohuri e shprehi matematike që përdoren jo vetëm gjatë periudhës shkollore aktuale dhe në vazhdimësi, por edhe në situata të ndryshme të jetës së përditshme. Nëpërmjet programit të matematikës për klasën e tetë, nxënësit do të zgjerojnë njohuritë për konceptin e numrit dhe do ta përdorin atë në kontekste të ndryshme, do të aplikojnë njohuri gjeometrike në situata matematike dhe jomatematike; do të mësojnë të mbledhin të dhëna dhe të përdorin teknika analizuese për të shpjeguar e zgjidhur situata; do të kuptojnë dhe interpretojnë informacionin e dhënë në forma të ndryshme; do të organizojnë informacionin e mbledhur; do të përdorin konceptin e matjes dhe mjetet për të parashikuar dhe kryer matje; do të zbatojnë konceptet algjebrike, funksionet, marrëdhëniet për të zgjidhur problema; do të bëjnë vlerësime paraprake për arritjen e një rezultati. Bosht i programit janë linjat dhe nënlinjat e përmbajtjes, të cilat përshkojnë të gjithë kursin e matematikës në arsimin e detyruar.

4.3. Linjat e nënlinjat kryesore

Programi i paraqitur në vijim është i konceptuar sipas linjave dhe nënlinjave të përmbajtjes:

Numri.

1. Kuptimi i numrit 2. Veprime me numra

Matja.

1. Kuptimi i matjes 2. Njehsimi i gjatësisë, perimetrit, sipërfaqes dhe vëllimit

MATEMATIKA 8

41

Gjeometria.

1. Gjeometria në plan 2. Gjeometria në hapësirë 3. Shndërrimet gjeometrike

Algjebra dhe funksioni.

1. Kuptimi i shprehjeve shkronjore 2. Shndërrime të shprehjeve shkronjore 3. Zgjidhja e ekuacioneve, inekuacioneve dhe sistemeve të ekuacioneve 4. Funksioni.

Mbledhja, organizimi dhe përpunimi i të dhënave; probabiliteti. 1. Statistikë 2. Probabilitet.

4.4. Objektivat, njohuritë e aftësitë sipas linjave e nënlinjave

Synimi i programit të matematikës për klasën e tetë detajohet në objektiva për secilën linjë e nënlinjë. Në përputhje me objektivat përcaktohen edhe konceptet e aftësitë përkatëse.

Linja 1 Numri Kuptimi i numrit Objektivat

Në fund të klasës së 8, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë, të krahasojnë dhe të rendisin numra racionalë. • Të kuptojnë e të zbatojnë marrëdhënien ndërmjet numrave thyesorë, numrave dhjetorë të fundmë dhe periodikë; përqindjeve dhe raporteve. • Të shkruajnë një numër në trajta të njëvlershme si numër thyesor, numër dhjetor, përqindje. • Të kuptojnë dhe të shkruajnë fuqi të thjeshta (baza numër natyror) me eksponent numër të plotë. • Të paraqesin shkrimin shkencor të numrit. • Të rrumbullakosin numrat për të bërë parashikime të përafërta në situata konkrete ku rezultati i përafërt është i mjaftueshëm. • Të kuptojnë marrëdhëniet e përkatësisë ndaj një bashkësie dhe të përfshirjes ndërmjet bashkësive e në veçanti ndërmjet bashkësive numerike.

Njohuritë dhe aftësitë kryesore

Numrat racionale; numrat dhjetorë të fundmë dhe periodikë; fuqi të formës: 4 me

42


eksponent 3 dhe 4 me eksponent -2; shkrimi shkencor i numrit 3700=37x102; marrëdhënia 1/4=0,25; 2/3= 0,666…, 1/5=0,2=20%= ; rezultati i përafërt i mjaftueshëm (p.sh. një udhëtim zgjat 20 ditë, çdo ditë udhëtohet 90 km. Afërsisht sa km kanë udhëtuar? 20x90=1800km) bashkësia, nënbashkësia, prerja, bashkimi, bashkësitë numerike, prerja dhe bashkimi i tyre; përkatësia për një numër të dhënë, përdorimi i simbolikës përkatëse; renditja në një bashkësi numrash racionalë.

Veprime me numra Objektivat

Në fund të klasës së 8, nxënësit të jenë në gjendje: • Të shumëzojnë e pjesëtojnë dy numra me shenjë. • Të njehsojnë fuqitë me eksponent numër natyror të numrave racionalë. • Të shumëzojnë e të pjesëtojnë dy fuqi me baza të njëjta. • Të gjejnë fuqinë e një prodhimi. • Të kryejnë veprime me mend me numra me shenjë (llogaritje të thjeshta). • Të njehsojnë rrënjën katrore të numrave natyrorë (katrorë të plotë), me tentativë, me makinë llogaritëse. • Të gjejnë vlerën e shprehjes numerike pa kllapa ose me kllapa . • Të përdorin makinën llogaritëse në njehsime të ndryshme, për të gjetur rezultatin, për të parashikuar rezultatin, për të kontrolluar rezultatin. • Të kryejnë rrumbullakime të numrave (në bashkësinë përkatëse) dhe t`i përdorin ato edhe në parashikimin me përafërsi të përfundimit të veprimeve.


Rregulli i shumëzimit e pjesëtimit të dy numrave me shenjë; fuqi me eksponent numër të plotë; gjetja me dy mënyra e fuqisë së një prodhimi numrash; rregulli i shumëzimit e pjesëtimit të fuqive me baza të njëjta (të kufizohet në fuqitë me bazë numër natyror); kuptimi i rrënjës katrore dhe gjetja me tentativë dhe makinë llogaritëse; veprime me shprehje me kllapa përfshirë ato me shenjën minus përpara; vlera e përdorimit të makinës llogaritëse për të lehtësuar llogaritjet ose për të parashikuar rezultatin

Linja 2: Matja Kuptimi dhe përdorimi i matjes Objektivat

Në fund të klasës së 8, nxënësit të jenë në gjendje: • Të parashikojnë me afërsi përfundimin e një veprimtarie matëse. • Të zgjidhin problema praktike që përfshijnë njësi dhe mjete të ndryshme matjeje.

MATEMATIKA 8

43

Njehsimi i perimetrit, sipërfaqes dhe vëllimit Objektivat Në fund të klasës së 8, nxënësit të jenë në gjendje:

• Të njehsojnë me mënyra të ndryshme perimetrin dhe sipërfaqen e shumëkëndëshit • Të njehsojnë, duke përdorur formulat, perimetrin dhe sipërfaqen e sektorit rrethor. • Të njehsojnë duke përdorur formulat, vëllimin e trupave gjeometrike (kub, kuboid, prizëm, piramidë, cilindër)


Parashikimi i përafërt i përfundimit, për të kontrolluar përfundimin ose për të qenë i mjaftueshëm; njehsimi i perimetrit dhe sipërfaqes së shumëkëndëshit duke e ndarë në trekëndësha, me formulë, ose me matje; formula e perimetrit e sipërfaqes së sektorit rrethor; formulat për njehsimin e vëllimit të trupave gjeometrike.

Linja 3: Gjeometria Gjeometria në plan Objektivat

Në fund të klasës së 8, nxënësit të jenë në gjendje: • Të njohin dhe të zbatojnë në situata të thjeshta deduktive pohime për këndet e formuar nga drejtëza paralele. • Të përkufizojnë llojet e trekëndëshit sipas vetive të brinjëve e të këndeve dhe t’i përdorin vetitë në situata të thjeshta deduktive. • Të njohin pohime për elementet e rrethit dhe për tangjenten dhe t’i zbatojnë në situata të thjeshta deduktive • Të njohin dhe zbatojnë në situata të thjeshta deduktive pohimet për trekëndëshin kënddrejtë. • Të njohin dhe të zbatojnë në situata të thjeshta deduktive teoremën e Pitagorës. • Të formulojnë përkufizime gjeometrike. • Të vërtetojnë pohime të thjeshta gjeometrike (kuptimi i teoremës dhe aksiomës). • Të vërtetojnë dhe zbatojnë tri rastet e kongruencës së trekëndëshave


Pohimet për këndet e kundërta në kulm, përgjegjëse dhe ndërruese; trekëndëshi barabrinjës, dybrinjënjëshëm; rrezja, diametri, korda, tangjentja vetia e tangjentes; kateti përballë këndit 300; teorema e Pitagorës; vërtetimi i disa pohimeve të thjeshta gjeometrike dhe kuptimi i teoremës dhe aksiomës; tre rastet e barazimit të trekëndëshave

44


Gjeometria në hapësirë Objektivat

Në fund të klasës së 8, nxënësit të jenë në gjendje: • Të vizatojnë hapjet e disa trupave gjeometrikë (kub, kuboid, piramidë) dhe t’i modelojnë. • Të vizatojnë kubin dhe kuboidin. • Të kuptojnë intuitivisht pozicionin reciprok të drejtëzës me planin, të dy drejtëzave, të dy planeve


Përfytyrimi dhe vizatimi i hapjeve të kubit, kuboidit, piramidës, vizatimi tri dimensional i kubit dhe kuboidit, drejtëza paralele ose pingule, drejtëz paralele ose pingule me planin, plane paralelë dhe plane pingulë.

Shndërrimet gjeometrike Objektivat Në fund të klasës së 8, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin koordinatat për të përcaktuar vendndodhjen dhe zhvendosjen (vektorin). • Të gjejnë vektorin që paraqet shumën e dy zhvendosjeve paralele. • Të vizatojnë shëmbëllimin e një figure të dhënë me anë të një shndërrimi izometrik (simetri, zhvendosje paralele, rrotullim). • Të zmadhojnë ose të zvogëlojnë një figurë me mënyra të ndryshme. • Të njohin dhe të përdorin veti të shndërrimeve gjeometrike.


Vektori dhe koordinatat e vektorit, vektori shumë, shndërrimet izometrike; vetitë e shndërrimeve izometrike; zmadhimi e zvogëlimi me koeficient të dhënë.

Linja 4: Algjebra dhe funksioni Kuptimi i shprehjes shkronjore Objektivat Në fund të klasës së 8, nxënësit të jenë në gjendje:

• Të tregojnë ecurinë e veprimeve në një shprehje shkronjore dhe të njehsojnë vlerën numerike të saj (përfshirë edhe ngritjen në fuqi). • Të dallojë monomin, binomin, polinomin

MATEMATIKA 8

45


Radha e veprimeve dhe vlera numerike e shprehjes shkronjore; monomi, binomi, polinomi .

Shndërrime të shprehjeve shkronjore Objektivat

Në fund të klasës së 8, nxënësit të jenë në gjendje: • Të shndërrojnë shprehje shkronjore në shprehje më të thjeshta me anë të zbërthimit, faktorizimit dhe reduktimit. • Të njehsojnë vlerën numerike të një shprehje shkronjore përfshirë edhe ngritjen në fuqi. • Të përdorin shndërrimet e shprehjeve shkronjore, për të gjetur vlerën numerike të tyre me mënyra të ndryshme. • Të zbatojnë disa formula të algjebrës si; katrori i binomit, diferenca e katrorëve. • Të zbatojnë formula duke i dhënë vlera ndryshorit; të veçojnë ndryshoren në formula të thjeshta.


Shndërrimi i shprehjeve shkronjore dhe gjetja e vlerës numerike; formulat algjebrike: katrori i binomit, ndryshesa e katrorëve; nxjerrja e një shkronje nga një formulë e dhënë; zbatimi i formulave.

Zgjidhja e ekuacioneve, inekuacioneve dhe sistemeve të ekuacioneve Objektivat

Në fund të klasës së 8, nxënësit të jenë në gjendje: • Të zgjidhin ekuacione të fuqisë së parë me një ndryshore. • Të zgjidhin inekuacione të fuqisë së parë me një ndryshore. • Të zgjidhin ekuacione të fuqisë së dytë me një ndryshore përfshirë edhe ekuacionin ax2 +bx+c=0 (a, b, c numra natyrorë). • Të zgjidhin sisteme ekuacionesh të fuqisë së parë me dy ndryshore (me mbledhje, zëvendësim, grafikisht).


Ekuacioni i fuqisë së parë me një ndryshore, mjedisi, rrënja, vlera e palejueshme, ekuacioni i fuqisë së dytë me një ndryshore, formula për zgjidhjen e tij; inekuacioni i fuqisë së parë me një ndryshore; sisteme ekuacionesh të fuqisë së parë me dy ndryshore dhe mënyrat e zgjidhjeve; zgjedhja e mënyrës më të përshtatshme.

46


Funksioni Objektivat

Në fund të klasës së 8, nxënësit të jenë në gjendje: • Të zgjidhin problema që modelohen matematikisht me anën e funksionit përpjesëtimor të drejtë. • Të interpretojnë dhe të nxjerrin të dhëna nga grafikë të gatshëm që paraqesin një marrëdhënie konkrete. • Të kuptojnë dhe të paraqesin grafikisht dhe me mënyra të tjera funksionin k y = , y = ax2 dhe ax +by = c x

Njohuritë dhe shprehitë kryesore

Funksioni përpjesëtimor i drejtë, i zhdrejtë, parabola, drejtëza; interpretimi i grafikëve të gatshëm që paraqesin një situatë reale (p.sh. varësia e peshës nga mosha e njeriut).

Linja 5: Mbledhja, organizimi dhe interpretimi i të dhënave Objektivat

Në fund të klasës së 8, nxënësit të jenë në gjendje: • Të interpretojnë tabela, diagrama dhe grafikë me të dhëna statistikore • Të përpunojnë dhe të interpretojnë të dhënat e grupuara duke përdorur dendurinë relative. • Të paraqesin me tabela me grupim dhe me diagrame, të dhëna të gatshme ose të grumbulluara nëpërmjet anketave të thjeshta • Të bëjnë parashikime, bazuar në përfundimet e eksperimenteve të thjeshta probabilitare apo bazuar në dendurinë e shfaqjes së një dukurie. • Të kuptojnë ngjarjen e pamundur, të sigurt; ngjarjet e kundërta. • Të shprehin me thyesë probabilitetin e një ngjarje


Interpretimi i të dhënave, përpunimi i tyre; paraqitja e të dhënave, parashikimi i rezultateve, probabiliteti i shprehur me thyesë.

Shënim:

• Zgjidhja e problemave me të dhëna nga jeta reale ose me të dhëna të simuluara dhe aftësimi i nxënësve për të komunikuar dhe arsyetuar në përputhje me moshën konsiderohen pjesë përbërëse e secilës linjë. • Në pjesën e fundit të çdo ore mësimore dhe pas një grupi temash mësimore, përsëritja është element i domosdoshëm për të ndihmuar arritjen e objektivave nga nxënësit.

MATEMATIKA 8

47

4.5. Shpërndarja e orëve Në klasën e tetë të arsimit 9-vjeçar, lënda e matematikës do të zhvillohet në 35 javë mësimore me 4 orë në javë. 35 javë x 4 orë/javë = 140 orë Linjat dhe nënlinjat

Sasia e orëve

Numri Kuptimi i numrit Veprimet me numra Matja Kuptimi dhe përdorimi i matjes Njehsimi i gjatësisë, perimetrit, sipërfaqes dhe vëllimit Gjeometria Gjeometria në plan Gjeometria në hapësirë Shndërrimet gjeometrike Algjebra dhe funksioni Kuptimi i shprehjes shkronjore Shndërrimi i shprehjes shkronjore Zgjidhja e ekuacioneve, inekuacioneve, sistemeve Funksioni Mbledhja, organizimi dhe përpunimi të dhënave; probabiliteti

20 8 12 12 8 4 40 20 10 10 38 4 12 12 10 10

Statistikë Probabilitet Orë të lira

6 4 20

Sqarim: Shpërndarja e orëve e planifikuar sipas linjave e nënlinjave qartëson raportet ndërmjet linjave e ndërmjet nënlinjave. Gjatë shtjellimit linear të lëndës në tekst (në kapituj e njësi mësimore) konceptet e secilës linjë apo nënlinjë do të ndërthuren me ato të linjave e nënlinjave të tjera dhe mund të zënë vend aty ku e kërkon trajtimi sa më i qartë i një koncepti të ri në përputhje me objektivat e linjës. Përcaktimi i orëve është bërë duke patur parasysh që pothuajse në çdo njësi mësimore, pavarësisht nga ndërthurja e koncepteve, ka një koncept që përfaqëson nënlinjën dhe i cili është më i rëndësishmi për nga përmbushja e qëllimit të temës. Konceptimi i kapitujve të tekstit dhe përcaktimi i orëve përkatëse është e drejtë dhe detyrë e autorit të tekstit dhe mësuesit.

48


4.6 Integrimi me lëndët e tjera Konceptet, shprehitë dhe gjuha matematike përdoren në të gjitha fushat kurrikulare. Që nxënësit ta kuptojnë matematikën duhet ta shohin në kontekst dhe kjo mund të arrihet duke drejtuar vëmendjen ndaj përdorimeve të ndryshme të koncepteve e shprehive matematike nga lëndët e tjera. Me Gjuhët: saktësia në përdorimin e gjuhës së folur së shkruar dhe të lexuar, gjetja e modeleve. Me Shkencat: llogaritja, numërimi, matja, shkrimi shkencor, parashikimi, mbajtja e shënimeve dhe paraqitja e tyre në tabela ose grafikë, përdorimi i makinës llogaritëse, zgjidhja e ekuacioneve, zbatimi i formulave, Me Artet: matja, vetitë e formave hapësinore, simetria, zmadhimi ose zvogëlimi. Me Shkencat Sociale: matja, parashikimi, përafërsia, vëzhgimet statistikore, koordinatat, këndi, raporti, zmadhimi e zvogëlimi; interpretimi i grafikëve e diagrameve, përdorimi i makinës llogaritëse Me Edukimin Fizik: matja, simetria, këndi, koha Aspektet kros-kurrikulare janë patur parasysh në shtjellimin e rubrikave të programit. Edhe gjatë zbatimit të tij një vëmendje e veçantë duhet t’i kushtohet: • edukimit mjedisor, ndotjes dhe mbrojtjes së tij; duke veshur me informacion të përshtatshëm problemat matematike; • kulturës së komunikimit (aftësimit të nxënësve për të kuptuar dhe zbatuar informacionin e shkruar në jetën e përditshme, përdorimit të teknologjisë së informacionit, përdorimit të gjuhës së huaj); • edukimit për të drejtat e njeriut; • atdhedashurisë (informacion kulturor, ekonomik, social, historik, gjeografik) • globalizmit • çështjeve të barazisë gjinore, etnike, kulturore, racore, fetare;

4.7

Metodologjia e zbatimit të programit

Zbatimi i programit në tekstin bazë të nxënësit, në fletë pune, në tekstin e mësuesit, në materiale të tjera ndihmëse, në procedimin e orës së mësimit, në hartimin e testeve, në përzgjedhjen e mjeteve mësimore kërkon që: • Zbatimi i tij të bazohet në parimin spiral. Konceptet kryesore të shtrihen pothuajse gjatë të gjithë lëndës dhe nxënësi t’i përvetësojë duke i rimarrë. • Formimi i koncepteve të realizohet në përputhje me veçoritë e zhvillimit mendor të moshës së nxënësve të klasës së tetë duke bërë kujdes për komunikimin matematik dhe shkallën e arsyetimit.

MATEMATIKA 8

49

• Një rëndësi e veçantë t’u kushtohet problemave, llojshmërisë së strategjive për zgjidhjen e tyre dhe veshjes me informacion nga jeta reale dhe mjedisi rrethues. • Të synojë kultivimin e shprehive matematike të nevojshme për jetën e përditshme p.sh. gjetjen e rezultateve të përafërta, interpretime, marrje informacioni nga media, shkëmbime, llogaritje të ndryshme. • Larmia e detyrave të jetë e tillë që t’i japë mundësi çdo nxënësi të gëzojë suksesin e tij në matematikë. • Realizimi ndërthurur i lidhjes konceptuale brenda lëndës dhe i lidhjes ndërlëndore (jo thjesht si shtojcë) nëpërmjet bashkërendimit të trajtimeve në lëndë të tjera me trajtimet në mësimin e matematikës të jetë në vëmendje të zbatuesit. • Për të plotësuar nevojat dhe interesat e nxënësve, mund të përdoren edhe materiale ndihmëse (tekste me ushtrime, me lojëra zbavitëse etj.), të cilat plotësojnë kriteret e vendosura nga organizmat përgjegjëse. Përdorimi i materialeve ndihmëse i jep mundësi mësuesit të plotësojë boshllëqet, të përmirësojë trajtimet në tekstin bazë për t’u dhënë mundësi nxënësve të arrijnë më lehtësisht objektivat e detyrueshme. Përzgjedhja e materialeve plotësuese ndihmëse të bëhet në përputhje me objektivat e linjave e nënlinjave të programit dhe të mos bjerë ndesh me trajtimet konceptuale të tekstit bazë të nxënësit. • Për zbatimin e programit përdoren mjete individuale të nxënësit, si: veglat gjeometrike (vizore, kompas raportor) dhe rekomandohet pajisja me makina llogaritëse. Të synohet edhe në përdorimin e mjeteve të tjera ilustruese, ndihmëse dhe didaktike.

Vlerat dhe qëndrimet

Përveç njohurive dhe aftësive (shprehive), edukimi i vlerave dhe qëndrimeve pozitive është gjithashtu element i rëndësishëm i mësimit të matematikës. Zbatimi i programit duhet të shoqërohet edhe me kultivimin e vlerave e qëndrimeve në vijim që janë të lidhura direkt me procesin e të nxënit në mësimin e matematikës. Gjatë mësimit të matematikës nxënësit duhet: • Të kenë interes për lëndën e matematikës. • Të kenë dëshirë për të marrë pjesë në veprimtaritë e ndryshme në klasë ose jashtë saj. • Të ndjejnë rëndësinë e matematikës në jetën e përditshme. • Të besojnë në zbatimin e njohurive matematike në situata të ndryshme. • Të bashkëpunojnë ndërmjet tyre, të shkëmbejnë ide dhe të përdorin përvojat e njëri tjetrit për të zgjidhur detyra të ndryshme matematikore. • Të kuptojnë dhe të marrin përgjegjësitë që u takojnë gjatë punës në grup. • Të jenë të vëmendshëm, të dëgjojnë të tjerët, të respektojnë mendimin e tjetrit, të vlerësojnë ndihmesën e tjetrit në zgjidhjen e detyrave matematike që kërkojnë bashkëpunim. • Të mendojnë në mënyrë të pavarur në zgjidhjen e problemave. • Të jenë këmbëngulës për të zgjidhur një problem.

50


• Të kuptojnë dhe vlerësojnë saktësinë matematike dhe aspektin kulturor e estetik të matematikës. Realizimi i programit të matematikës do të mbështetet në dokumentacionin bazë të miratuar nga organet përkatëse.

II.5. Parimet e përgjithshme të mësimdhënies së matematikës Parimet didaktike pasqyrojnë kërkesat e përgjithshme të pedagogjisë ndaj procesit mësimor. Respektimi i parimeve didaktike është një kusht i domosdoshëm për mësimdhënie të suksesshme. Le të tregojmë se si këto parime duhet të realizohen në procesin mësimdhënës në matematikë.

5.1 Parimi i të mësuarit të vetëdijshëm e aktiv

Ky parim kërkon që njohuritë matematike të perceptohen nga nxënësit në mënyrë aktive, të kuptohen dhe të përpunohen në mënyrë krijuese në vetëdijen e tyre, si dhe të zbatohen në praktikë. Në mësim nxënësi duhet të jetë aktiv e vetëveprues. Përmbushja e këtij parimi është kusht i domosdoshëm për të luftuar formalizmin në mësim. Kjo arrihet nëpërmjet formave të ndryshme si shpjegimi i qëllimeve të përgjithshme të lëndës, të kapitullit e të temave të veçanta; krijimi i situatave problemore, lidhja e njohurive me problemet praktike, përdorimi i metodave që aktivizojnë të menduarit e nxënësve. Duke mësuar cilindo kapitull, nxënësi duhet të kuptojë se me çfarë qëllimi mësohet ai, cila është më kryesorja, thelbësorja, si mund të shpjegohen rregullat dhe ligjshmëritë e përftuara, cila është lidhja ndërmjet materialit të ri dhe materialit që njihej më parë. Në zhvillimin e çdo teme mësimi, mësuesi duhet të sigurohet, nëpërmjet pyetjesh e ushtrimesh të zgjedhura me kujdes, për shkallën e përvetësimit të vetëdijshëm të materialit të ri nga nxënësit dhe vetëm më pas të fillojë punën për asimilimin e qëndrueshëm të tij. Njohuritë e fituara mekanikisht nga nxënësit, nuk kanë vlerë sepse ato nuk mund të zbatohen në probleme të ndryshme; ato harrohen shpejt. Është fakt se në kapituj të ndryshëm nxënësit detyrohen të mësojnë edhe ato njohuri të cilat mund të mos jenë interesante apo joshëse për ta. Pikërisht këtu merr rëndësi të jashtzakonshme “zëri i mësuesit”për të shpjeguar arsyen përse është e domosdoshme që të përvetësohet edhe ajo pjesë jo interesante, e cila “nuk ka ç’na duhet”. Si rezultante e këtij parimi është e duhet të jetë këmbëngulja e mësuesit në “punën zbuluese në miniaturë”nga nxënësit për të zgjidhur problemet ku ata zbulojnë gjëra të panjohura për ta. (Privilegj që e kanë pak ose aspak lëndë të tjera). Nëse mësuesi ka arritur të kultivojë veprimtarinë e vetëdijshme të nxënësve për të mësuar matematikën, atëherë para tyre është hapur rruga për punë të pavarur e krijuese, për vetiniciativë e kontroll.

MATEMATIKA 8

51

Është fakt që aktiviteti i vetëdijshëm i nxënësve në matematikë nuk ecën në mënyrë uniforme. Ai karakterizohet nga intensiteti në ndryshim. Ky intensitet varet jo vetëm nga përmbajtja e lëndës, por edhe nga niveli i klasës e, në mënyrë të veçantë nga personaliteti i mësuesit. Ndikim të madh këtu ka edhe vlerësimi me notë i mësuesit, aplikimi i metodave të ndryshme të mësimit, etj.

5.2 Parimi shkencor Parimi shkencor konsiston në faktin që nocionet shkencore, rregullat dhe në përgjithësi e tërë përmbajtja dhe zhvillimi i lëndës, të ketë mbështetje rigoroze shkencore. Ky parim kërkon që njohuritë që u jepen nxënësve të jenë të sakta shkencërisht, e të argumentohen, sigurisht në përshtatje me moshën e nxënësve. Ai kërkon, gjithashtu, pajisjen e nxënësve me metodat e njohjes shkencore në përshtatje jo vetëm me moshën, por edhe me nivelin e zhvillimit të tyre. Në këtë drejtim ndihmon së tepërmi formimi i shkathtësive për të kryer vrojtime, matje, eksperimente, për të formuluar hipoteza e për të realizuar vërtetime. Realizimi i parimit shkencor, vendos kërkesa të mëdha ndaj aspektit logjik të trajtimit të lëndës. Nxënësit duhet që të formulojnë qartë kushtet dhe përfundimet e teoremave; të dinë të formojnë teoremën e anasjellë dhe të kundërt të një teoreme të dhënë. Tek ata duhet të përpunohet aftësia për vërtetimin e çdo gjykimi, që lind në procesin e vërtetimit të teoremës, si dhe aftësia për të shkruar këto gjykime në trajtën simbolike. Në praktikën shkollore hasen edhe raste të tilla, kur nxënësit gjatë vërtetimit operojnë me fakte të tilla, të cilat vetë rrjedhin nga ajo që do të vërtetohet. Puna e kujdesshme e mësuesit ndaj gabimeve të tilla, edukon tek nxënësit kërkesën ndaj rigorozitetit logjik të gjykimeve. Por vëmë në dukje se konkluzionet duhen përgjithësuar pa vërtetim, nëse për nxënësit gjykimi korrespondues është i vështirë. Nënvizojmë edhe një fakt tjetër të rëndësishëm. Emërtimet, nocionet, rregullat, pohimet, herë-herë pësojnë ndryshime. Ato korrigjohen, plotësohen me njohuri të reja. Është kjo arsyeja se në këtë drejtim mësuesi duhet të “vet ripërtërihet”dhe kjo realizohet vetëm duke studiuar e duke u kualifikuar.

5.3 Parimi i trajtimit sistematik dhe asimilimit të materialit Ky parim nënkupton respektimin e varësisë që ekziston, së pari ndërmjet degëve të ndryshme të lëndës së matematikës (aritmetikë, algjebër, gjeometri) dhe së dyti ndërmjet kapitujve dhe temave brenda një dege. Tashmë dihet se fillimisht mësohet aritmetika, me elemente të pakta të gjeometrisë (aq sa për t’i njohur nxënësit me figurat kryesore dhe për të zgjeruar fushën e zbatimit të

52


aritmetikës). Më pas mësohen algjebra dhe gjeometria në plan, e më pas akoma elementet e gjeometrisë në hapësirë. Parimi i trajtimit sistematik nënkupton shtjellimin e kursit të matematikës në një vargëzim të përcaktuar logjik. Para studimit të cilësdo temë, nxënësi duhet të mësojë materialin, i cili është bazimi i tij logjik. Vetëm me një trajtim të renditur e të sistemuar mund të zhvillohet të menduarit logjik tek nxënësit. Trajtimi sistematik nuk mund të realizohet, nëse nxënësit nuk asimilojnë apo e harrojnë materialin, i cili është bazë për mësimin e një materiali të ri. Prandaj në mësimdhënien e matematikës një rol të rëndësishëm luan përsëritja sistematike e materialit. Sistemimi i njohurive të nxënësve mund të mos realizohet si rrjedhojë e një raporti të pavëmendshëm të tyre, ndaj shpjegimit të mësuesit, të një tempi tepër të shpejtë të shtjellimit të materialit të ri, të mosplotësimit të detyrave të shtëpisë dhe shkaqeve të tjera të ngjashme me këto. Në këtë mënyrë, realizimi i parimit të sistematizimit lidhet dhe me organizimin e procesit mësimor. Një rol të rëndësishëm luan sistemi në përzgjedhjen e ushtrimeve. Është e domosdoshme që ushtrimet të trajtohen me nivel rritje të vështirësisë. Përmbajtja e ushtrimit duhet të ketë karakter të përgjithshëm: duke zgjidhur ushtrimin, nxënësit duhet që jo vetëm të përforcojnë materialin e sapo mësuar, por të përsëritin edhe materialin që kanë mësuar kohë më parë. Shmangia e boshllëqeve në njohuritë e nxënësve dhe përgatitja e çmuar në përvetësimin e materialit të ri, është një nga detyrat themelore të veprimtarisë së mësuesit. Është e kuptueshme se ky parim, në një kuptim të gjerë, është atribut i programit të matematikës. Për këtë arsye mësuesi, pavarësisht nga klasa ku jep mësim në një vit shkollor, duhet të studiojë me kujdes programin e matematikës (madje edhe tekstet e klasave të tjera). Në një kuptim më të ngushtë ky parim është i rëndësishëm në paraqitjen dhe shpjegimin e materialit të ri brenda çdo ore mësimi. Është e pamjaftueshme që mësuesi të zotërojë mirë lëndën. Për çdo orë mësimi ai duhet të mendojë si ta ndërtojë mësimin, në ç’renditje duhet t’i japë njohuritë e reja, ç’mjete konkretizimi duhet të ndërtojë, si duhet t’i formulojë shkurt e qartë teoremat e përkufizimet; si do ta ndjekë ecurinë e arsyetimeve, çfarë do të shkruajë në dërrasën e zezë; çfarë ushtrimesh e problemash duhet të trajtojë për të treguar domosdoshmërinë e shtjellimit të një materiali të ri; çfarë ushtrimesh duhet të zgjidhë për të zbatuar njohuritë e reja. E pra, të gjitha këto nuk janë të shkruara në tekst. Ato duhet t’i përgatisë mësuesi. Mësuesi i ndërgjegjshëm, duke u konsultuar më parë me tekstin dhe me mësuesit më me përvojë mund të kërkojë gjithnjë rrugë efektive për mësimin. Ky parim duhet marrë në konsideratë edhe brenda kuadrit të një detyre të veçantë, e cila kërkon zgjidhje. P.sh., është gabim të fillohet zgjidhja e një detyre të caktuar (problem, ushtrim) nëse nuk bëhet më parë analiza e hollësishme e të dhënave dhe kërkesave të saj. Tashmë lidhur me këtë metodika e matematikës formulon rregullat e mëposhtme nga të cilat duhet të udhëhiqemi: Të kalohet: a) Nga e thjeshta tek e përbëra; b) Nga e lehta tek e vështira; c) Nga e afërta tek e largëta;

MATEMATIKA 8

53

d) Nga e njohura tek e panjohura. Por theksojmë se këto rregulla nuk janë të ndara nga njëra-tjetra. Me fjalë të tjera nxënia e thjeshtë është njëkohësisht edhe e lehtë, edhe e afërt, edhe e njohur, ndërsa nxënia e përbërë është edhe e vështirë, edhe e largët edhe e panjohur.

5.4 Parimi i demonstrimit dhe konkretizimit Realizimi i parimit të demonstrimit gjatë të mësuarit të matematikës konsiston në vëzhgimin e mjeteve, modeleve, figurave, pikturave të ndryshme, si dhe në shfrytëzimin e përvojës dhe përfytyrimeve, që kanë nxënësit. Domosdoshmëria e përdorimit të mjeteve demonstrative mbështetet nga të dhënat psikologjike. Dihet, se bazë e të menduarit abstrakt është të menduarit konkret. Mjetet demonstrative rritin interesin ndaj çështjes që mësohet dhe me këtë bashkëvepron mobilizimi i vëmendjes së nxënësve. Në mënyrë të veçantë ky parim duhet të zbatohet në klasat e ulëta. Konkretizimi ndihmon së tepërmi në formimin e koncepteve matematike dhe klasifikimin e tyre, zhvillon imagjinatën e nxënësve, lehtëson procesin e përvetësimit të materialit të ri, rrit interesin e nxënësve për njohuritë e reja dhe ndihmon për t’i bërë njohuritë e fituara më të qëndrueshme. Mjetet demonstrative janë të dobishme edhe në zbatimet praktike të njohurive të fituara. Zbatimet praktike kryesore të matematikës në shkollë janë zgjidhja e problemave. Në zgjidhjen e problemave, figurat, modelet, maketet, skemat apo grafikët në rastin më të mirë janë të domosdoshme e në rastin më të keq lehtësojnë të kuptuarit dhe zgjidhjen e problemit. Mjetet matematike mund të klasifikohen në tri grupe të mëdha: natyrore, figurative dhe simbolike. Mjete natyrore janë ato objekte reale të cilët kanë formën e konceptit matematik që studiohet, p.sh. klasa, dritarja, muret, kanalet e ndryshme, topi etj. Mjete figurative janë modelet e ndryshme të figurave të realizuara me letër apo karton, modelet e trupave gjeometrikë prej druri, teli, etj. Mjete simbolike janë figurat e ndryshme, grafikët, skemat, tabelat etj. Në aspektin e konkretizimit puna e mësuesit të matematikës është më e lehtë se e mësuesit të lëndëve të tjera. Themi kështu sepse mjetet e konkretizimit që përmendëm më lart ose gjinden në mjedisin rrethues, ose realizohen me lehtësi (nuk ndodh kështu të themi me lëndën e fizikës apo kimisë). Prandaj, mësuesi duhet të shfrytëzojë kryesisht mjedisin rrethues. Në gjeometri nxënësve u duhen treguar objekte reale që kanë formën e figurës që studiohet. P.sh., dërrasa e zezë, xhamat, dyshemeja, shërbejnë për konkretizimin e figurave plane dhe të hapësirës. Në studimin e simetrisë nxënësve u tregohen objekte reale që kanë simetri. Dihet se në matematikë përdoren gjerësisht mjetet simbolike të konkretizimit si figurat, grafikët, skemat, tabelat. Figura është një mjet konkretizimi tepër e fuqishme. Ajo e ndan formën gjeometrike të objektit që studiohet nga vetitë e tjera të tij dhe e paraqet atë në trajtë të pastër. Por theksojmë se konkretizimi simbolik jo gjithmonë është i qartë për nxënësit. Duke

54


paraqitur në vetvete një sistem shenjash konvencionale, konkretizimi simbolik në thelb është një gjuhë origjinale dhe për ta kuptuar atë, ashtu si edhe çdo gjuhë tjetër ajo duhet të mësohet. Le ta konkretizojmë këtë mendim me një shembull. Grafiku i funksionit konkretizon varësinë e një madhësie nga një madhësi tjetër. Kjo realizohet më anën e një sistemi shenjash konvencionale. Por praktika tregon se nuk janë të rralla rastet kur nxënësit nuk dinë “të lexojnë”grafikë, d.m.th., nuk dinë të thonë sipas grafikut bashkësinë e përcaktimit të funksionit, të dallojnë nëse ai është rritës apo zbritës etj. Nëse kjo ndodh në një masë të konsiderueshme, tregon se përdorimi i grafikëve është jo efektiv. Efektiviteti i mësimit varet shumë nga zgjedhja e përshtatshme e mjeteve të konkretizimit si dhe përdorimi i tyre i përshtatshëm në procesin mësimor. P.sh., përdorimi i figurave në gjeometri e stereometri, është një ndihmesë e madhe në zgjidhjen e problemeve. Mjete të përshtatshme në mësimet e matematikës janë edhe skemat e tabelat. Skemat që mund të paraqesin simbolikisht kushtet e problemave, shpesh ndihmojnë së tepërmi në të kuptuarit e mirë të problemit. Tabelat e ndryshme, të cilat përdoren për një kohë të përshtatshme, ndihmojnë për të përforcuar dhe mbajtur mend konceptet matematike dhe klasifikimin e tyre. Lidhur me mjetet e konkretizimit mësuesi duhet të ketë parasysh: • Mjetet e konkretizimit duhet të jenë të thjeshta, të pangarkuara me gjëra të tepërta dhe të ndërtuara me kujdes. • Mjetet duhet të jenë me përmasa të përshtatshme, në mënyrë që të shihen qartë nga të gjithë nxënësit. • Nxënësit mundësisht të përgatisin vetë mjete mësimi, sepse kur ndërtojnë vetë mjete për vërtetimin e fakteve të ndryshme, jo vetëm bëhen të aftë në përdorimin e mjeteve të punës, por përvetësojnë më mirë format hapësinore, vetitë e tyre dhe faktet e shqyrtuara në klasë. Figurat plane apo edhe ato të hapësirës që vizatohen në dërrasën e zezë, si nga mësuesi, ashtu edhe nga nxënësit me vizore apo me dorë të lirë, duhen ndërtuar me kujdes. Figura e mirë i ndihmon nxënësit për gjetjen e rrugës së drejtë të zgjidhjes së problemit. Konkretizimet duhet të përdoren më shumë në klasat e ulëta. Me kalimin nga klasa në klasë ato duhet të pakësohen gradualisht. Por theksojmë se edhe në klasat më të larta, shpesh herë konkretizimi është i domosdoshëm. Realizimi i parimit të demonstrimit nuk kufizohet vetëm me përdorimin e mjeteve demonstrative. Shtjellimi i materialit mund të quhet demonstrativ, nëse mësuesi në procesin e shpjegimit përdor përfytyrimin, i cili është krijuar tek nxënësit nga përvoja e jetës. Por përdorimi i mjeteve demonstrative duhet të jetë i menduar me kujdes. Këtu nuk duhet të udhëhiqemi nga parimi: sa më shumë aq më mirë. Një përdorim i vazhdueshëm i mjeteve demonstruese gjatë të mësuarit të teorisë dhe zgjidhjes së problemave pengon zhvillimin e përfytyrimeve hapësinore të nxënësve. Përdorimi i një numri të madh mjetesh demonstrative në të njëjtën orë mësimi, nuk është i përshtatshëm, sepse në këtë rast nxënësve u dobësohet vëmendja dhe bie interesi ndaj mjetit demonstrues.

MATEMATIKA 8

55

5.5 Parimi i asimilimit të qëndrueshëm të njohurive Ky parim kërkon që njohuritë e fituara nga nxënësit të mos harrohen. Të mësuarit e matematikës duhet të fillojë me qëllimin e caktuar në mënyrë që mësimi i përvetësuar një herë, të jetë pronë e përhershme e nxënësit. Në ndryshim nga shumë lëndë të tjera, mësimi i matematikës karakterizohet nga “varësia reciproke e nxënies dhe harresës së vështirësuar”. Kjo do të thotë që njohuritë matematike nuk mësohen në një ditë por, gjithashtu, nuk harrohen në një ditë. Zgjimi i kërshërisë së nxënësve për të përvetësuar e mbajtur mend sa më shumë “dije matematike”, varet së tepërmi nga aktivizimi i motiveve për të mësuar. Zotërimi i bazave të shkencës është i mundur vetëm me një kujtesë të ndërgjegjshme e të qëndrueshme. Mësimdhënia e matematikës është e domosdoshme të organizohet në mënyrë të tillë, që nxënësit të kenë mundësi, që pastaj të rikujtojnë materialin e mësuar, dhe ta përdorin atë për zgjidhjen e problemave. Vetëm në praninë e një fondi të caktuar të njohurive, nxënësit mund të zotërojnë njohuri të reja dhe të manifestojnë aftësi krijuese. Nga ana tjetër, njohuritë rezultojnë aq më të thjeshta, sa më shumë pavarësi dhe aktivitet që të tregojë nxënësi gjatë asimilimit të tyre. Njohuritë matematike janë të lidhura ngushtë me njëra-tjetrën. Kjo është edhe avantazh edhe disavantazh për mësuesin e matematikës. Është avantazh sepse materiali i mësuar mirë është bazë e sigurt për ecurinë e mëtejshme. Është disavantazh sepse mos dija e një pjesë të lëndës vështirëson së tepërmi të mësuarit e lëndës që vjen më pas. Sa më mirë të jetë përvetësuar materiali i mëparshëm, aq më të qëndrueshme janë dijet. Qëndrueshmëria e njohurive stimulohet nga përzgjedhja e kujdesshme e problemave të zbatimit. Për të siguruar qëndrueshmërinë e njohurive të nxënësve në organizimin e orës së mësimit mësuesi duhet të udhëhiqet nga tezat e mëposhtme: • Të mbajturit mend është në përpjesëtim të drejtë me përsëritjen. • Kujtesa ka natyrë seleksionuese: mbahet mend mirë ajo që është e rëndësishme e, sidomos, ajo që ngjall interes. • Njohuritë mbahen mend më mirë nëse zbulohen praktikisht. • Mbajtja mend stimulohet nga detajimi i materialit, jo sipas përmbajtjes kuptimore, por nëpërmjet veçimit të problematikave si titujt, tezat, çështjet, etj. • Materiali i paraqitur emocionalisht kujtohet më mirë. Tezat e mësipërme, në një farë mënyre, janë të vlefshme për çdo mësues e jo vetëm për mësuesin e matematikës. Por, veç këtyre, mësuesi i matematikës ka privilegjin dhe përgjegjësinë të ketë edhe disa shtesa. Nëse mësuesit të matematikës do t’i bëhej pyetja se cilat janë njohuritë që nxënësi duhet t’i mbajë mend detyrimisht, besoj se asnjëri nuk do ishte plotësisht i saktë në dhënien e përgjigjes. Ndodh kështu sepse përgjigja e kësaj pyetjeje mund të jepet vetëm duke u bazuar në përvojën e secilit (cilat janë p.sh., njohuritë e domosdoshme për të mësuar

56


mirë kapitullin e veprimeve me thyesat?). Ndodh kështu sepse është e pamundur që gjithçka që mësohet në shkollë të mbahet mend për një kohë të gjatë. Asimilimi i njohurive kujtohet aq më shumë, sa më me pikësynim të jenë perceptuar. Në procesin e një të kujtuari të kujdesshëm, vendoset lidhja ndërmjet materialit të ri dhe materialit të njohur më parë dhe shfaqet mundësia për analizën dhe përgjithësimin. Qëndrueshmëria e njohurive në një shkallë të lartë garantohet nga një përsëritje konstante e materialit të shtjelluar. Përsëritja jep mundësi që njohuritë të thellohen dhe të sistemohen. Gjatë studimit të matematikës, një vlerë shumë të madhe ka siguria në shprehitë llogaritëse, në shprehitë e përdorimit të transformimeve algjebrike dhe ndërtimeve të thjeshta gjeometrike. Për një kujtesë më të mirë duhet të përdoren mënyrat e ndryshme të perceptimit: me dëgjim (fjala e mësuesit, nxënësit), me shikim (përdorimi i figurave, fotove, leximi i librit) si dhe perceptimi me ndihmën e lëvizjeve (të shkruarit në fletore, ndërtimet gjeometrike, përgatitja e mjeteve demonstrative). Një kujtesë më të thjeshtë jep fjala e mësuesit. Materiali i shtjelluar kujtohet më mirë, nëse nxënësi herë pas here e përdor atë me fjalë që komentojnë zgjidhjen e detyrave dhe shembujve. Një kusht i domosdoshëm për një përvetësim të qëndrueshëm është vëmendja ndaj materialit të shtjelluar. Nëse nxënësit nuk kanë disiplinë gjatë mësimit, nuk mund të ketë dije të qëndrueshme. Një rëndësi të madhe ka interesi, me të cilin nxënësit mësojnë mësimet. Prandaj në mësimet e matematikës duhet që të kombinohen faktet historike, zgjidhja e problemave, me përmbajtje praktike, dhe nganjëherë edhe problema të karakterit krijues.

5.6 Parimi i trajtimit individual të nxënësve Ky parim nënkupton marrjen në konsideratë të veçorive specifike të nxënësve të veçantë apo grupeve të caktuara të nxënësve. Përvoja tregon se nxënësit edhe të një moshe, kanë veçori të ndryshme për sa i përket përgatitjes matematike, aftësive mendore, zhvillimit të imagjinatës, etj. Mësuesi i kujdesshëm zbulon cilësitë individuale të nxënësve dhe e drejton mësimdhënien e diferencuar pikërisht në drejtimet e përshtatshme. Gjatë procesit të mësimdhënies, nisur nga faktet e mësipërme, nxënësve të ndryshëm u duhen drejtuar pyetje dhe detyra të niveleve të ndryshme. Kjo nuk është e lehtë të realizohet, por asnjë mësuesi nuk i lejohet t’u japë të gjithë nxënësve të njëjtën detyrë. Në këtë drejtim, mundësi të shumta ofrojnë tipat e ndryshëm të mësimit, që janë: Mësimi i programuar, që përfaqëson një nga format më efektive të mësimdhënies moderne. Nëpërmjet tij, nxënësit përvetësojnë atë përmbajtje, ku qartësohet me detaje mënyra e të mësuarit, duke u njohur njëkohësisht me sukseset dhe rezultatet e arritura. Suksesi në këtë lloj mësimdhënie varet së tepërmi nga programuesi. Maja më e lartë e kësaj mësimdhënie është ajo që ka në bazë përdorimin e teknologjive të reja, përfshirë këtu edhe përdorimin e kompjuterit.

MATEMATIKA 8

57

Mësimi i diferencuar, është një koncept më i gjerë se ai i individualizuar. Ky mësim udhëhiqet nga nxënësit, të cilët shfaqin interes të veçantë ndaj matematikës. Mësimi problemor. “Të nxënit nëpërmjet problemave është forma më e lartë e të nxënit”. Për zgjidhjen e problemit, përcaktohet ecuria deri në arritjen e zgjidhjes përfundimtare. Por, kjo ka edhe anën e vet negative. Duke qenë se shpesh problemat janë të vështira, mund të shkaktojë mërzi tek nxënësit e deri në velje nga matematika. Aftësitë intelektuale të nxënësve gjithmonë njohin zhvillime të reja. Nxënësi, për të cilin kemi shfaqur vlerësimin se ka qenë i prapambetur në nxënie, në një periudhë tjetër mund të shfaqë interes të dukshëm për matematikën. Prandaj është e domosdoshme që mësuesi herë pas herë të testojë imtësisht aftësitë intelektuale të nxënësve. Është fakt që parimi i individualizimit nuk e ka fituar dukshëm “të drejtën e qytetarisë”. Shpesh herë, (për fat të keq) mësuesit nisen nga mesatarizimi i kërkesave “për të qenë brenda”. Në këtë mënyrë dëmtohen së tepërmi, veçanërisht nxënësit që kanë interes të veçantë për matematikën. Aplikimi i këtij parimi nënkupton mësues ambiciozë e me kërkesa ndaj vetes por, njëkohësisht, që kërkojnë edhe disa kushte të veçanta. Kujdes i veçantë duhet treguar për nxënësit me prirje. Ato duhen “ushqyer”vazhdimisht. Madje me materiale plotësuese. Sigurisht kjo kërkon punë suplementare nga mësuesi. E duhet parë jo vetëm si mundësi por edhe si detyrim. Nxënës të tillë “nuk duhet të na ikin nga duart”.

5.7 Parimi i racionalizimit dhe ekonomizimit Kohët e fundit ky parim ka marrë një rëndësi të veçantë. Kjo dukuri ka të bëjë me faktin që tendenca për zgjerimin dhe thellimin e programeve mësimore është në kontradiktë me kohën në dispozicion, e cila ka për tendencë të kufizohet gjithnjë e më shumë. Racionalizimi dhe ekonomizimi duhet parë veçanërisht në organizimin e mësimit, në përdorimin e metodave e të mjeteve mësimore. Mësuesi i matematikës duhet të përcaktojë qartë e saktë informacionin e domosdoshëm dhe informacionin e dorës së dytë. Një nga sekretet e suksesit në matematikë është insistimi i mësuesit në parësoren (thelbësoren) dhe veçimin e saj nga më pak e rëndësishmja. Duhet parë me dyshim ai mësues, i cili çdo nocioni, përkufizimi, algoritmi etj. i kushton të njëjtën rëndësi. Nuk mund të harxhohet e njëjta kohë si për parësoren ashtu edhe për dytësoren. Por racionalizimin dhe ekonomizimin në mësim duhet ta vështrojmë edhe nga aspekti i vëllimit të zgjedhjes dhe zgjidhjes së detyrave. Praktika e mjaft mësuesve tregon se pjesa më e madhe e kohës së orës mësimore, për shkak të zgjedhjes së papërshtatshme të detyrës, përcaktimit jo të mirë të objektivave, bëhet pengesë për ekonomizimin e kohës. Çdo qasje e mësimit të matematikës duhet realizuar në kohën më të shkurtër të mundshme, e me sa më pak energji, përndryshe e pëson cilësia e mësimdhënies. Duhet t’u shmangemi detajimeve të tepruara, të cilat jo vetëm marrin shumë kohë, por edhe harxhojnë shumë energji.

58


Për të realizuar mësimdhënie, bazuar në këto parime, mësuesi duhet të ketë cilësitë individuale të mëposhtme. • Niveli i përgatitjes për lëndën, njohuritë e thella për çështjet e kursit shkollor të matematikës, në kuptimin e njohjes së mjaftueshme me nivelin bashkëkohor të zhvillimit të shkencës së matematikës dhe jo vetëm brenda kornizave të shkollës së lartë, por edhe me njohjen individualisht me botimet e reja pedagogjike. • Interesi dhe domosdoshmëria e ngritjes së vazhdueshme e përgatitjes së tij shkencore. • Përgatitja dhe njohja e bazave të konceptimeve bashkëkohore psikopedagogjike të mësimit dhe edukimit të nxënësve. • Zotërimi i metodikës së mësimdhënies së matematikës, ngritja e efektivitetit të punës për mësimin dhe edukimin e nxënësve. Është e natyrshme që mësuesi fillestar, në themel të punës së tij ka tekstin mësimor. Është e rëndësishme që puna e tij të synojë në ndërgjegjësimin e nxënësve për të kuptuar çështjet më kryesore të asaj që studiohet. Për këtë mësuesi duhet të ketë të qartë të gjithë kursin shkollor të matematikës si dhe shpërndarjen e tij gjatë viteve. Pa dyshim që në materialin themelor përfshihen të gjitha konceptet fondamentale të kursit shkollor dhe përkufizimet e tyre, të gjitha formulat kryesore dhe temat e përcaktuara nga programi. Me qëllim që të përvetësohet sa më efektivisht zotërimi i metodikës së mësimdhënies, mësuesi, para fillimit të vitit shkollor duhet të zgjidhë apo të paktën të shohë, ushtrimet e problemat e teksteve, me të cilët ai do të punojë në vitin e ardhshëm. Vëmë në dukje edhe një rrethanë tjetër. Ekziston mendimi, se mësuesit fillestar i duhen dhënë për mësim disa klasa të një paraleleje, në mënyrë që të lehtësohet përgatitja e tij për mësimin. Si rregull, manualet metodike për mësimdhënien e matematikës, të shkruara si për mësuesit e matematikës, ashtu e dhe për mësuesit e ardhshëm, duke zbërthyer metodikën e mësimit të një çështjeje të programit, japin një metodë të caktuar, standarde, të llogaritur për një klasë të caktuar, e me një nivel mesatar të përgatitjes së nxënësve. Por metoda e mësimdhënies nuk është e përhershme e statike. Të gjitha klasat e të njëjtës paralele në një shkollë janë të ndryshme. Ata janë mësuar nga mësues të ndryshëm të klasave të mëparshme; nxënësit janë të ndryshëm për nga niveli i njohurive, nga zhvillimi e nga aspekte të tjera individuale (vëmendja, përqëndrimi etj.). Prandaj metodika e mësimdhënies duhet ndërtuar në përshtatje me klasën. Nëse mësuesi ka vetëm klasa paralele, atëherë puna me to, me të njëjtin plan përgatitjeje do të minimizojë një zotërim më të thellë e më të shpejtë të metodikës së mësimit dhe përpunimin e stilit vetjak. Ka mendime se puna e mësuesit në shkollë nuk futet në profesionet krijuese. Mendohet, në përgjithësi se mësuesi nga viti në vit trajton të njëjtin material, me përjashtim ndoshta të 7-8 viteve të parë të punës, kur ai nxjerr kontingjentin e parë të nxënësve. Është

MATEMATIKA 8

59

e vërtetë që teorema e Pitagorës, apo rregullat e veprimit me numrat racionalë nuk ndryshojnë nga viti në vit. Por, ndryshojnë klasat dhe mësuesi që punon në mënyrë krijuese në çdo klasë, e ndërton të mësuarit në përshtatje me përbërjen e klasës dhe në këtë mënyrë përpunon cilësitë më të mira të mësuesit e edukatorit. Ne i vëmë vetes si detyrë që në mënyrë të gjithanshme të aktivizojmë mendimin e vetë mësuesit, të aktivizojmë mësuesin e ri që të përcaktojë kriteret dhe parimet kryesore për analizën praktike dhe zgjedhjen e metodave të ndryshme të mësimdhënies së matematikës dhe në këtë mënyrë të synojë përsosjen e tij të vazhdueshme.

II.6

Metodat e mësimdhënies

Metodat dhe strategjitë e mësimdhënies varen jo vetëm nga mësuesi, por edhe nga karakteristikat dhe kërkesat për zbatim të kurrikulës së matematikës të hartuar në nivel qendror. Kurrikula e arsimit 9-vjeçar e koncepton matematikën si një lëndë të integruar brenda vetes, si një lëndë që studion marrëdhëniet, si një lëndë që formon një mënyrë të domosdoshme të menduari dhe si një mjet për të studiuar dhe kuptuar botën që na rrethon. Qëllimi i mësimdhënies së matematikës është të ndihmojë nxënësit të fitojnë shprehitë e zgjidhjes, në jetën e përditshme, të problemave matematike dhe jo matematike. Për të arritur këtë qëllim nxënësit duhet të aftësohen të llogarisin, të arsyetojnë, të shpjegojnë, të argumentojnë, të përdorin burime të ndryshme informacioni, të punojnë në grup, të përgjithësojnë. Përzgjedhja e metodave dhe strategjive të mësimdhënies bëhet duke pranuar që mësuesi i matematikës është ai që i ndihmon të gjithë nxënësit të “marrin”fuqinë e matematikës, të mendojnë matematikisht, të kuptojnë që matematika është e dobishme për këdo dhe kudo, të krijojnë besimin që mund ta kuptojnë dhe ta zbatojnë matematikën. Gjatë zgjedhjes së metodave të mësimit, mësuesi duhet të bazohet në aftësitë dhe njohuritë që nxënësit zotërojnë. Strategjitë e zgjedhura duhet të sjellin suksesin. Mësuesi duhet të jetë krijues për të përdorur metoda e teknika të reja. Pavarësisht nga preferencat vetjake, mësuesi vazhdimisht duhet të kërkojë mundësi për të zhvilluar më tej mjeshtëritë e mësimdhënies. Dihet se mësues i mirë është ai që i nxit dhe i motivon nxënësit të mësojnë matematikë. Studimet tregojnë se nxënësit e nxënë mirë matematikën vetëm nëse arrijnë të strukturojnë të kuptuarit matematik. Për të kuptuar sa e kanë mësuar matematikën, ata duhet të jenë në gjendje të veprojnë sipas foljeve zbulo, zëvendëso, transformo, zgjidh, zbato, vërteto, komuniko. Ata veprojnë sipas këtyre foljeve veçanërisht kur punojnë në grup, përfshihen në diskutime, bëjnë prezantime etj. Megjithëse është e rëndësishme që mësimdhënia e matematikës të mbështetet në zgjidhjen e problemave, formimi i dëshiruar matematik i nxënësve arrihet nëpërmjet kombinimit të disa llojeve të mësimdhënies.

60


Për të realizuar pritshmëritë e nxënësve, mësuesit, për qëllime të ndryshme, duhet të përdorin metoda të ndryshme. Disa prej tyre mund të përfshijnë gjithë klasën dhe drejtohen nga mësuesi, disa përfshijnë nxënësit në punë në grup dhe veprimtari bashkëpunuese dhe disa të tjera përfshijnë të nxënit zbulues, ku nxënësit punojnë në mjedise të ndryshme.

1. Metoda të mësimdhënies që përfshijnë gjithë klasën dhe drejtohen nga mësuesi a) Diskutimi. Mësuesi krijon një situatë matematikore dhe fton nxënësit për diskutim. Gjatë diskutimit flasin si mësuesi, ashtu dhe nxënësit. Në përgjithësi, diskutimet nisin nga pyetja e bërë nga mësuesi, megjithëse pranohet që të lindë një diskutim dhe nga pyetjet e ndryshme të nxënësve. Diskutimi shërben si mekanizëm i zhvillimit të menduarit matematik te nxënësit dhe për komunikimin e ideve të tyre te njëri-tjetri. Disa mësues e ngrenë cilësinë e diskutimit duke u kërkuar nxënësve t’i përgjigjen paraprakisht me shkrim pyetjes së bërë. Diskutimet janë më efektive nëse nxënësit nuk janë pasivë, jo vetëm dëgjojnë e nuk flasin. Ata duhet të dëgjojnë njeri-tjetrin, të bashkojnë idetë e tyre dhe t’i vlerësojnë ato. Disa mësues e fillojnë diskutimin duke u kërkuar nxënësve të shkruajnë rreth asaj që kanë mësuar, cilat janë idetë kyç ose çfarë nuk kuptojnë. b) Biseda(Pyetje-përgjigje). Me anë të kësaj metode, mësuesi u drejton pyetje nxënësve. Metoda pyetje-përgjigje përdoret si metodë efektive për të bërë një kontroll të shpejtë të nxënësit se sa e ka kuptuar ai një koncept, duke ua drejtuar pyetjen të gjithë nxënësve dhe shkruar të gjitha përgjigjet e tyre në tabelë. Megjithëse kjo metodë mund të përdoret për kontroll të shpejtë mbi një informacion aktual, jo të gjitha pyetjet mund të kenë një përgjigje të vetme ose të nivelit të ulët. Pyetjet duhet të nxitin nxënësit të shpjegojnë mënyrat e ndryshme të gjetjes së përgjigjes. Disa pyetje sfidojnë të menduarit e nxënësve, duke u kërkuar atyre të sqarojnë përgjigjet dhe t’i mbrojnë ato. c) Leksioni ose shpjegimi i mësuesit. Kjo është metoda mbizotëruese që përdoret nga shumica e mësuesve të matematikës. Leksionet janë më të përshtatshme në rastin e dhënies së informacionit nxënësve të motivuar në matematikë. Ata janë më efektivë nëse lidhen drejtpërsëdrejti me objektivat e mësimit, kur mësuesi përdor shembuj të përshtatshëm dhe shmang përdorimin e termave me kuptim jo të qartë. Shumica e leksioneve bazohen në filozofinë e mbushjes së zbrazëtisë së mendjes me informacion faktik. Kjo metodë vepron në kundërshtim me rezultatet e kërkimeve që tregojnë rëndësinë e përfshirjes së nxënësve aktivisht në procesin e përpunimit të informacionit dhe të vendosjes së lidhjes ndërmjet asaj që po mësojnë me ato që kanë mësuar. Një mangësi e madhe e metodës së leksionit është niveli i ulët i asaj që mbetet dhe fiksohet në mendjet e nxënësve pas leksionit.

MATEMATIKA 8

61

d) Demonstrimi. Mësuesi mund të përdorë mjete dhe instrumente të ndryshëm gjatë mësimdhënies. Demonstrimi përdoret shpesh i kombinuar me metodat e tjera të mësimdhënies. Demonstrimet efektive në klasë kërkojnë qartësi, entuziazëm, teknika të mira të të pyeturit dhe përfshirje të nxënësit.

2. Metoda e të nxënit zbulues Metoda e të nxënit zbulues mund të zbatohet me gjithë klasën, me grupe të vogla, ose me nxënës të veçantë. Kur zbatohet me gjithë klasën, mësuesi luan rolin udhëheqës. Në grupe të vegjël, të nxënit zbulues zbatohet zakonisht në disa tipa veprimtarish ose laboratorë të matematikës. Në mënyrë individuale, të nxënit zbulues përdoret gjatë zhvillimit të projekteve. Veprimtaritë zbuluese përfshijnë pjesë të rëndësishme të matematikës dhe vendosin lidhjen ndërmjet tyre. Si tematika të të nxënit zbulues mund të shërbejnë situata të jetës së përditshme.

3. Metoda e projekteve Metoda e projekteve i vë nxënësit të punojnë sa më shumë vetë. Kjo metodë u kërkon nxënësve të përcaktojnë teknikat që duhet të përdorin për të mbledhur të dhënat për projektin, dhe për të vendosur se cila është metoda më e mirë për mbajtjen dhe prezantimin e të dhënave. Projektet mund të shkruhen individualisht ose në grup dhe nxënësve u jepet kohë relativisht e gjatë për to. Disa herë mund të harxhohet koha e mësimit në klasë, por shumica e punës bëhet në shtëpi dhe gjatë kohës së lirë. Në varësi nga tema dhe qëllimi, disa projekte kërkojnë më shumë kohë disa më pak. Studimet kanë treguar se angazhimi individual i nxënësve në projekte i vendos ata në rolin e një matematicieni të vërtetë. Projektet janë në fakt “bota reale”dhe u tregojnë nxënësve disa fusha jashtë mureve të klasës në të cilat përdoret matematika. Detyra e përshkruar në kreun e objektivave specifike: “Numri i fëmijëve të familjeve të një pallati”, fare mirë mund të përdoret si teme për një projekt kurrikular. Temat e projekteve duhen zgjedhur të tilla që nxënësit të binden për rëndësinë e matematikës në jetën e përditshme e në shumë profesione, në shkenca dhe në teknologji, në mjekësi, në ekonomi, në problemet e mjedisit, në vendimmarrjet e qeverive. Si temë projekti mund të shërbejë edhe hulumtimi për veprën e një matematikani ose për zhvillimin e shkencës së matematikës.

4. Metoda e të nxënit bashkëpunues a) Puna në grup. Metoda e të nxënit bashkëpunues i vë të gjithë nxënësit të punojnë së bashku ose në grupe. Në rastin kur nxënësit ndahen në grupe, mësuesi bën kujdes që në grup të përfshihen nxënës të të gjitha aftësive dhe që problemet (zënkat) personale të evitohen deri në minimum. Mësuesi nxit të gjithë nxënësit në grup të japin kontributin e tyre, duke u përgjigjur pyetjeve brenda vetë grupit.

62


Ai mund t’i ndërrojë grupet, p.sh., çdo muaj. Roli i tij është të realizojë objektivat mësimore, të stimulojë diskutimet, të monitorojë grupet dhe të ndërhyjë vetëm kur është absolutisht e nevojshme. Mësues të ndryshëm mund të organizojnë në mënyra të ndryshme grupet e të nxënit bashkëpunues. Disa mësues parapëlqejnë t’i lenë nxënësit t’i zgjedhin vetë anëtarët e grupit, të paktën një herë të vetme. Disa mësues të tjerë parapëlqejnë t’i ndryshojnë grupet më shpesh, në varësi të veprimtarisë së planifikuar ditore. Por ka dhe mësues që i ngrenë grupet në varësi të ngjashmërisë së aftësive dhe formimit të nxënësve. Disa të tjerë përcaktojnë dhe rolet e secilit nxënës në grup: lehtësuesi (mban grupin në punë), regjistruesi (shkruan idetë), raportuesi (raporton në klasë), lexuesi (lexon problemin dhe kontrollon saktësinë e fakteve), mbajtësi i materialeve (përgatit materialet). b) Puna në çift. Me anë të kësaj metode, nxënësit punojnë në çift apo dy e nga dy. Çiftet punojnë së bashku në kontrollin e detyrave të shtëpisë, mbajtjen e shënimeve në orën e mësimit, në projekte dhe në raportim. Shpjegimi i koncepteve njeri-tjetrit i bën ata ta mësojnë më mirë atë dhe në më lehtë, pasi kanë “gjuhën”dhe “mënyrën”e përbashkët të menduarit dhe të shprehurit. Metoda e të nxënit në çift i përfshin nxënësit në një proces që lehtëson ngulitjen e koncepteve matematike. Të nxënit bashkëpunues ka ndikim pozitiv në arritjet e nxënësit dhe marrëdhëniet e tij me nxënësit e tjerë. Ai përmirëson qëndrimet e tij kundrejt grupeve me përkatësi etnike, kulturore të ndryshme nga e tija. Mbi të gjitha, puna në grup ndihmon nxënësit të përfshihen më aktivisht në procesin e të nxënit. Megjithatë, përdorimi vetëm i metodës së të nxënit bashkëpunues është i papërshtatshëm po aq sa dhe vetëm përdorimi i metodës së leksionit. Përdorimi i metodave të ndryshme e të shumëllojshme të mësimdhënies kërkon që mësuesi të luajë disa role, si: a) Profesionist, që demonstron jo vetëm mundësi të shumta për zgjidhjen e problemit por dhe aftësi të nivelit të lartë të të menduarit që çojnë në zgjidhjen e tij. b) Këshillues, që ndihmon një nxënës të veçantë, grupet e vogla ose gjithë klasën për të vendosur nëse puna e tyre është në “rrugën”e drejtë apo po ecën përpara ose jo. a) Moderator, që bën pyetje të cilat duhet të merren parasysh nga nxënësit, por të tilla që vendimmarrja t’u takojë atyre. c) Ndërmjetës, që mbështet nxënësit gjatë prezantimeve në klasë, i nxit ata të reflektojnë mbi veprimtaritë e tyre dhe ta zbulojnë vetë matematikën. d) Nxitës, që sfidon nxënësit për të qenë të sigurt se ajo çfarë po bëjnë është bindëse, e dobishme dhe se ata mund të mbrojnë përfundimet e tyre.

MATEMATIKA 8

II. 7.

63

Planifikimi i mësimit

Në zhvillimin e mësimeve, mësuesi duhet të udhëhiqet nga parimi që të ndërtojë veprimtarinë në mënyrë të tillë që të plotësohen rezultatet e të nxënit, mundësisht për të gjithë nxënësit. Mësuesi duhet ta ketë krejtësisht të qartë mënyrën e zhvillimit të orës së mësimit, duke u përpjekur që t’ia lehtësojë atë sa më shumë nxënësve. Kjo gjë realizohet me një përgatitje serioze e të dokumentuar. Kjo e fundit bëhet, jo për t’ia treguar drejtorit apo inspektorit, por sepse mësuesi (e sidomos mësuesi i ri) duhet të parashikojë me imtësi të gjitha etapat e orës së mësimit. Por, vëmë në dukje se mësimdhënia ka edhe aspektin e vet artistik. Mësuesi i mirë është ai, që në varësi të situatave që krijohen në klasë, të marrë vendime të ndryshme nga ato të parashikuara. Tashmë në opinionin e shëndoshë pedagogjik ekziston mendimi dhe bindja se planifikimi i mirë i mësimit nga çdo mësues, është i lidhur ngushtë me trajnimin e tij në këtë drejtim. Mësuesi duhet të planifikojnë me kujdes çdo orë mësimi. Kjo gjë është një kusht i nevojshëm për suksesin e orës së mësimit. Nuk mund të ketë impakt pozitiv një orë mësimi e planifikuar keq apo e paplanifikuar. Planifikimi i mirë e bën mësuesin më të përgjegjshëm për të arritur objektivat e që i cakton programi dhe objektivat që ai i vë vetes.

7.1 Planifikimi ka disa funksione • Planifikimi i krijon mundësi mësuesit që të përcaktojë mirë tipin e mësimit që ai synon në një orë të caktuar, duke realizuar lidhjen ndërmjet objektivave, me nivelin konkret aktual të nxënësve, si dhe me vendin që një mësim i caktuar zë në tërë programin lëndor. • Planifikimi i mirë ndihmon në përcaktimin e strukturës së orës së mësimit. Pra, nëpërmjet planifikimit, mësuesi përcakton me hollësi ecurinë e orës së mësimit. Në këtë kuadër, një nga momentet më të rëndësishëm është, si përcaktimi i kohës për secilën veprimtari, ashtu edhe të ritmit të zhvillimit të veprimtarive. • Planifikimi i mirë potencialisht ngre efektivitetin e orës së mësimit. Në një orë të mirë planifikuar, mësuesi përqendrohet në zhvillimin normal të veprimtarive dhe merr vendimet e duhura. Në mënyrë të veçantë ky moment është i rëndësishëm për mësuesit e rinj. Mësuesi i ri duhet të planifikojë deri edhe kohën se kur do të zbulojë mjetin e konkretizimit dhe jo t’ia lërë këtë spontanitetit. • Planifikimi i mirë bën që të gjitha materialet e duhura për orën e mësimit, të sigurohen në kohën e duhur. • Shënimet e hollësishme në fund të mësimit janë të vlefshme për planifikimin e mëtejshëm, jo vetëm në mësimet e ardhshme, por edhe në të njëjtin mësim në klasa të tjera. Në mënyrë të veçantë, mësuesit e rinj duhet të mbajnë shënim në fund të çdo ore mësimi për çështjet më të rëndësishme të trajtuara.

64


7.2 Sa kohë duhet të harxhojmë për një planifikim të mirë? Kjo varet jo vetëm nga mësuesi por edhe nga tema konkrete. Është një fakt i pamohueshëm. Sado me përvojë të jetë mësuesi, ai ndjehet më i sigurt kur ka planifikuar me hollësi ecurinë e orës së mësimit. Në këtë kuadër, duhet theksuar domosdoshmëria e fleksibilitetit në realizimin e objektivave. Mësimdhënia konsiderohet e suksesshme nëse mësuesi i përshtatet situatave të krijuara në klasë, madje edhe në rastin kur ato i kanë shpëtuar planifikimit. Në rastin e fundit do të rekomandonim ndryshimin e veprimtarive të parashikuara. Themelore nuk është të realizohet plani, por të veprohet sa më mirë në situatën e krijuar. Mësuesit e rinj, shpesh herë, ndonëse përgatiten me seriozitet në orën e mësimit, në zhvillimin e saj hasin në situata të reja. Këtyre mësuesve u këshillojmë të jenë fleksibël dhe të realizojnë përshtatje të orës së mësimit në lidhje me situatën e re të krijuar. Kalimi nga një veprimtari e parashikuar në një veprimtari tjetër të paparashikuar nuk duhet të konsiderohet dështim i orës së mësimit

7.3 Plotësimi i nevojave të nxënësve Është një nga drejtimet themelore të një planifikimi të mirë. Lidhur me këtë gjykimi realizohet mbi bazën e dy kritereve kryesore: Së pari, qartësia dhe shkalla e adekuatitetit të qëllimit dhe objektivave mësimore; Kjo ka të bëjë me specifikimin e objektivave mësimore të cilat mund të jenë një ose disa. Së dyti, marrja në konsideratë e nivelit dhe nevojave konkrete të nxënësve. Kjo ka të bëjë me varësinë reciproke të objektivave me njohuritë që nxënësit disponojnë si dhe me një parashikim të mundshëm të nivelit të ardhshëm të nxënësve (në fund të procesit). Plotësimi i nevojave të nxënësve, së pari nënkupton identifikimin e tyre. Kjo është një atribut vetëm i mësuesit. Mësuesi i suksesshëm është ai që identifikon mirë nevojat e nxënësve dhe, mbi këtë bazë, realizon planifikimin e mësimit. Është detyrë e mësuesit që të inkurajojë e stimulojë të nxënit e nxënësve. Nuk mund të vlerësohet planifikimi mësimor mbi kritere të përgjithshme që nuk marrin në konsideratë nxënësin e klasën konkrete. Në këtë kuadër, rëndësi të veçantë merr përcaktimi sa më i saktë i nivelit fillestar të nxënësve në një kapitull të caktuar. Kjo mund të realizohet me anën e testimeve paraprake dhe mbi këtë bazë të programohet puna. Si konkluzion i përgjithshëm, në këtë çështje, është: Në çdo hap të planifikimit mësimor të mbahen në konsideratë nxënësit konkretë. Mësuesi i mirë në çdo moment duhet të dijë se çfarë dinë e nuk dinë nxënësit e tij në një kapitull të caktuar.

MATEMATIKA 8

65

7.4 Elementet përbërëse të planifikimit Planifikimi i orës së mësimit përfshin katër elemente: • Përcaktimi i objektivave të orës së mësimit. • Përcaktimi i metodologjisë dhe, në përgjithësi, i procedurave të zhvillimit të mësimit. • Përcaktimi i mjeteve të zhvillimit të mësimit, ku përfshihen jo vetëm objektet e përgatitur apo ekzistues, por edhe problemet e ushtrimet e zgjedhura. • Vlerësimi i veprimtarive të nxënësve. Niveli i plotësimit të kërkesave për nxënien e tyre.

7.4.1 Përcaktimi i objektivave Një nga aspektet më të rëndësishme të objektivit të mësimit është përshkrimi i aspekteve të të nxënit. Objektivat e mësimit përshkruajnë arritjet e të nxënit. Ka rëndësi të madhe formulimi i saktë i objektivave mësimore, duke mos e konsideruar atë si një aspekt formal e organizativ. Në përcaktimin e objektivave, rëndësi e veçantë u duhet kushtuar lidhjes së tyre me punën e kaluar dhe të ardhshme. Ja disa shembuj objektivash të orëve të mësimit: 1) Në fund të orës së mësimit nxënësit të jenë të aftë të mbledhin e të zbresin dy thyesa me emërues të njëjtë. 2) Në fund të orës së mësimit nxënësit të formulojnë saktë teoremën e Pitagorës dhe ta zbatojnë atë për të gjetur hipotenuzën e trekëndëshit kënddrejtë, kur njihen të dy katetet. 3) Në fund të orës së mësimit nxënësit të dinë të zgjidhin ekuacionin e trajtës ax+b=0 në të tri rastet, në varësi të koeficientëve a dhe b. 4) Në fund të orës së mësimit nxënësit të dallojnë monomet e ngjashme. 5) Në fund të orës së mësimit nxënësit të jenë të aftë të shumëzojnë e pjesëtojnë dy fuqi me baza të njëjta etj.

7.4.2 Metodologjia e procedurat Pas përcaktimit të objektivave duhen përcaktuar strategjitë për realizimin e tyre. Për çdo objektiv ka procedura të shumta, por një procedurë e suksesshme për zbatimin e planit ditor është:

66


7.4.2.1 Hyrja. Perspektiva për të mësuar

Një hyrje e pazakontë e jo standarde mbetet e paharruar në mendjet e nxënësve dhe krijon premisa për suksese në mësimdhënie. Pavarësisht nga rëndësia e përmbajtjes apo aftësitë e nxënësve, nëse interesat e tyre nuk stimulohen gjatë etapave të mësimit, ata kanë pak shanse ta kuptojnë mirë lëndën. Në qëllimet mësimore duhet siguruar si orientimi i mësimit, ashtu edhe motivimi i nxënësve. Një mënyrë e tillë e fillimit të mësimit krijon premisa për përfshirjen aktive të nxënësve në të. Mënyra e prezantimit të problemit është po aq e rëndësishme sa edhe përmbajtja. Në mënyrë që të stimulohet interesi dhe motivimi i nxënësve, mësuesi duhet ta prezantojë atë me shumë shije. Mësuesi duhet të udhëhiqet gjithmonë nga ideja që ai të mendojë pozitivisht për nxënësit. Është e domosdoshme që objektivat të jenë të kuptueshme dhe interesante për nxënësit. Mënyra me të cilën mësuesi komunikon objektivat duhet të lidhet me nivelin intelektual të nxënësve.

7.4.2.2 Procedurat e mësimdhënies Gjatë zgjedhjes së metodave të mësimit mësuesi duhet të bazohet në aftësitë dhe njohuritë që nxënësit disponojnë. Strategjitë e zgjedhura duhet të sjellin suksesin. Kjo nuk do të thotë se mësuesi duhet të ngurojë për të përdorur metoda e teknika të reja. Pavarësisht nga preferencat vetjake, mësuesi vazhdimisht duhet të kërkojë mundësi për të zhvilluar më tej mjeshtëritë e mësimdhënies. Metodika e zgjedhur dhe e përdorur duhet t’i përshtatet nevojave të nxënësve. Gjatë zbatimit të procedurave të mësimdhënies duhet të mbahen në konsideratë: • Të përcaktohen qartë e saktë pyetjet që do të bëhen, formulimi i tyre si dhe përgjigjet që priten për ato çështje, të cilat konsiderohen si më të rëndësishme. • Materialet që janë planifikuar të demonstrohen, më parë duhen kontrolluar lidhur me gatishmërinë e tyre. • Nëse është planifikuar zgjidhja e një problemi, ai duhet të zgjidhet vetë më parë, për t’u garantuar që nuk ka gabime në të dhënat.

7.4.2.3 Zgjedhja e veprimtarive të nxënësve Kjo ofron mundësi të shumta për mësuesin. Vendimi për çdo veprimtari varet nga besimi i mësuesit lidhur me efektivitetin. Ky vendim duhet të marrë në konsideratë faktorët që lidhen me përmbajtjen e mësimit dhe veprimtaritë për zgjidhen, në përputhje me: • Natyrën e materialit mësimor. • Tipin e të nxënit të nxënësve. • Nivelin dhe nevojat e nxënësve. • Bazën materiale didaktike të shkollës.

MATEMATIKA 8

67

7.4.3 Materialet ndihmëse për mësimdhënien

Këto materiale kërkojnë mjeshtri për t’u përgatitur. Shpesh herë kjo nuk mund të realizohet nga një mësues i vetëm, por në bashkëpunim me shokë të tjerë të kolektivit. Është e rëndësishme që materialet e përgatitur të jenë në funksion të programit mësimor e të ndikojnë drejtpërdrejtë në efektivitetin e orës së mësimit. Kjo nënkupton që fillimisht duhet të testohet vlera e përgatitjes dhe përdorimit të tyre. Nga ana tjetër, cilësia dhe saktësia e përgatitjes duhet të jenë në qendër të vëmendjes. Po kështu, vëmendje kërkon përdorimi i gjuhës. Ajo as nuk duhet të jetë tepër e thjeshtë e as e vështirë. Fletët e punës apo ushtrimet duhet të jenë të përshkallëzuara. Planifikimi dhe përgatitja ecin paralelisht dhe ato duhet të jenë pjesë përbërëse organike e orës së mësimit.

7.4.4 Vlerësimi Përgatitja nënkupton edhe përgatitjen e materialeve për vlerësim. Në të vërtetë, vëzhgimi i përparimit të nxënësve gjatë viteve të shkollimit, realizohet nëpërmjet dokumentacioneve të rregullta. Në të përfshihen testet e ndryshme diagnostikuese, formuese e përmbledhëse të zhvilluara në momente të ndryshme. Pjesa më e madhe e vlerësimit bazohet në vëzhgimet e veprimtarisë së nxënësve në klasë. Kjo duhet të lidhet me vëzhgimin e zhvillimit të aftësive, shkathtësive e shprehive të nxënësve, të përcaktuara në planin mësimor. Kjo kërkon që të përgatiten vlerësime të përshtatshme që të përfshihen në planifikim. Në këtë planifikim duhet mbajtur në konsideratë: • Sa nxënës do të vlerësohen në një testim të caktuar? • Çfarë procedurash do të përdoren për vlerësimin e nxënësve? Në përcaktimin e materialeve vlerësuese, që do të përdoren gjatë veprimtarisë në klasë, kujdes i veçantë duhet treguar që ato të shfrytëzohen me efektivitet, në favor të të nxënit të nxënësve. Përpara se mësuesi të përgatisë materialet dhe procedurat vlerësuese, mësuesi duhet të ketë të qartë natyrën dhe saktësinë e kërkuar për vlerësim. Vlerësime të tilla duhet të jenë objektive e të ndërvarura në mënyrë të tillë, që çdo nxënës të vlerësohet në njëjtën mënyrë, duke shmangur kështu subjektivizmin.

7.4. 5. Motivimi

Një nga tiparet kryesore të një mësimdhënie të suksesshme është motivimi i nxënësve për mësimin. Sikurse dihet, të nxënit është një rezultante e bashkëveprimit të njeriut me mjedisin. Është detyrë parësore e mësuesit, që t’i tërheqë nxënësit në veprimtari, në mënyrë që të stimulojë tek ata dëshirën për të mësuar. Motivimi është një proces tepër i ndërlikuar. Mjaft autorë mendojnë se është e vështirë të motivosh të tjerët, për arsyen e thjeshtë, sepse çdo person është i motivuar në një drejtim të caktuar dhe, nga ana tjetër, motivimi i secilit është personal.

68


Mjaft nxënës kanë motivim për t’u marrë më matematikë. Kjo, veçanërisht për ata nxënës të cilëve u pëlqen matematika, por edhe për ata që aludojnë për profesione, që në njëfarë mënyre, kanë lidhje me matematikën (inxhinierë, ekonomistë, informatikanë etj.) Por, pjesa më e madhe e nxënësve nuk kanë dëshirë të bëjnë sforcime për të mësuar matematikë. Kjo ndodh pasi kanë pak besim se mund të kenë sukses në këtë lëndë. Deviza që duhet të udhëheqë çdo mësues matematike është, që “Çdo nxënës është i aftë për të nxënë”. Aftësia për të nxënë ekziston potencialisht te çdo nxënës, njëlloj si në vitet e para të jetës. Atëherë çfarë duhet të bëjë mësuesi që nxënësi të ndihet sa më i motivuar në mësimin e matematikës? Është detyrë e mësuesit të matematikës që ta bëjë lëndën të këndshme për nxënësit! Një porcion i konsiderueshëm suksesi, është kusht i nevojshëm që nxënësi të ndiejë kënaqësi në lëndën e matematikës dhe të ndihet i “shpërblyer”. Mënyra spirale e dhënies së koncepteve, e shoqëruar me interpretime të shumta dhe me larmi detyrash aplikative e me vështirësi në rritje, krijon truall të përshtatshëm për t’i dhënë secilit nxënës mundësinë e suksesit në matematikë. Problemi qëndron te mësuesi: sa i aftë është ai për të zbuluar potencialin e nxënësve të tij dhe për t’ia përshtatur detyrat e matematikës individualitetit të secilit. Nuk mund të pretendojmë që të gjithë nxënësit të jenë të mirë në matematikë. Duhet të pretendojmë që secili nxënës, herë pas here, të jetë i mirë, sikur edhe vetëm në një detyrë të caktuar, apo në një grup detyrash. Të jesh “i mirë”do të thotë të jesh “i suksesshëm”. Kjo mund të pretendohet për të gjitha lëndët, por matematika ka një avantazh në këtë drejtim. Duke qenë lëndë “e vështirë”, suksesi në të i jep nxënësit një kënaqësi më të madhe se sa ajo e arritur në ndonjë lëndë tjetër. Përdorimi i metodave bashkëkohore, të cilat nuk kufizohen thjesht në pyetje nga mësuesi dhe në përgjigje nga nxënësi, por që i bëjnë nxënësit të mësojnë, duke bërë apo duke zbuluar, janë shumë më tepër efektive sesa transmetimi si një grumbull rregullash e algoritmesh, të dala nga goja e mësuesit. Zbulimi është veprimtari që jo vetëm formon lidhjen ndërmjet asaj që dihet dhe asaj që zbulohet, por jep edhe kënaqësinë e një arritjeje, e të një suksesi. Me këtë mënyrë të nxëni, disa nxënës e provojnë më shpesh ndenjën e suksesit e disa të tjerë më rrallë, por vështirë se mbetet nxënës pa e provuar. Kështu shmanget frika ndaj matematikës dhe ndjenja e sikletshme, që provonin nxënësit kur jepnin përgjigje të gabuara. Vlen të theksohet se qëndrimi pozitiv i nxënësit ndaj lëndës, është faktor tepër i rëndësishëm në përparimin e tij. Motivimi i nxënësve në klasë varet jo vetëm nga ngarkesa emocionale, por edhe nga qëndrimi ndaj temës së mësimit, përvojës, interesave, vështirësive në të nxënë etj. Kjo arrihet kur detyrat që u jepen atyre janë pak mbi mundësitë e tyre. Strategjitë që përdoren në këtë rast, janë ato që mbështeten në motivimin e tyre dhe shpresën për sukses. Edhe në këtë kuadër, matematika ka avantazhin e saj në krahasim me lëndët e tjera. Kjo konsiston në shumëllojshmërinë e problemeve. Në to nxënësi zbulon një diçka të re, të paditur më parë prej tij. Por kjo vlen në rastin kur problemi shfaq interes tek nxënësi dhe pikërisht këtë e bën mësuesi i pasionuar e i përgatitur seriozisht. Mësuesi e shkolla duhet të bëjnë shumë që nxënësit të përfshihen në veprimtari të pavarur në

MATEMATIKA 8

69

matematikë. Nga ana tjetër, përfshirja aktive dhe sidomos bashkëpunimi ndërmjet tyre u shton nxënësve kënaqësinë. Ndihma e mësuesit duhet t’u transmetojë nxënësve sigurinë dhe besimin, se me përpjekjet e duhura ato mund të arrijnë suksesin e dëshiruar. Një mjet i fuqishëm motivimi është edhe stimuli që shfaqet nëpërmjet notës. Psikologjia moderne konkludon se shpërblimi dhe rezultatet të japin kënaqësi dhe forcojnë tendencën për t’u sjellë në një mënyrë të caktuar. Nga ana tjetër, mungesa e shpërblimit dobëson tendencën për t’u sjellë në një mënyrë të caktuar. Për fat të keq jo të gjithë mësuesit e zbatojnë këtë. Mësuesit, në mjaft raste, përforcojnë sjelljen jo të mirë. Me fjalë të tjera, mësuesi me lehtësi kritikon çdo sjellje të keqe dhe e ka të vështirë të shpërblejë sjelljen e mirë! A është motivimi element përbërës i planifikimit? Kësaj pyetjeje nuk është e lehtë t’i përgjigjesh. Në fund të fundit ajo është pjesë e padukshme e personalitetit të mësuesit. Motivimin mjaft mësues e bëjnë heshtazi, pa deklarata, pa e shënuar në ditar. Ne mendojmë se në ditar mund të shënohet motivimi që realizohet në fillim të mësimit. Gjatë zhvillimit të mësimit ai është një parim që vepron në mënyrë të vazhdueshme. Më tepër duhet konsideruar si frymë e orës së mësimit, në veprime konkrete të mësuesit si entuziazmi, gjestet, përfshirja e nxënësve në punë, nxitja e tyre nëpërmjet inkurajimeve, puna me grupe, marrëdhëniet e çiltra me nxënësit. Por motivimi më i madh arrihet nëpërmjet suksesit të nxënësve. Ta bësh nxënësin të motivuar do të thotë ta bësh atë të interesuar dhe të përfshirë në mësim për orën e caktuar, për temën e caktuar, për lëndën në përgjithësi. Si rekomandim konkret për motivimin në fillim të orës së mësimit propozojmë: Shtroni fillimisht një problem të tillë, i cili nuk mund të zgjidhet nga nxënësit me njohuritë që disponojnë për që është interesant dhe ia vlen të zgjidhet. P. sh., “Kemi mësuar si mblidhen thyesat me emërues të njëjtë. Por si do të operojmë për të mbledhur dy thyesa, që nuk kanë të njëjtin emërues, p.sh.,

1 1 dhe ? A ia vlen të merremi me këtë 4 5

problem? A na shtron praktika probleme të kësaj natyre?”

Pas kësaj nxënësve u thuhet objektivi i orës së mësimit. Në fund të kësaj ore (apo të 2-3 orëve) ne do të jemi të aftë të realizojmë mbledhjen e thyesave me emërues të ndryshëm!

II.8. Mbi vlerësimin formues në matematikë në klasën VIII Tre llojet më të përdorshme të vlerësimit në klasë (pa përfshirë vlerësimin me qëllim klasifikimi apo vendosje) janë: Vlerësimi diagnostikues, që synon të zbulojë shkaqet njohëse, fizike, emocionale, shoqërore të problemeve që kanë nxënësit, në mënyrë që të përcaktohen teknikat korrigjuese. Vlerësimi formues, i cili mbikëqyr përparimin gjatë procesit të të nxënit, siguron një feedback për të lehtësuar nxënësit dhe për të korrigjuar gabimet. Vlerësimi përmbledhës, që përcakton arritjet në përfundim të kreut, të vitit apo të

70


ciklit për të vendosur notat dhe për të bërë certifikimin. Vlerësimi përmbledhës mund të përdoret për të gjykuar efektshmërinë e mësimdhënies ose të procesit mësimor. Vlerësimi formues është vlerësimi i përditshëm dhe i vazhdueshëm që u bëhet nxënësve (e që shprehet me notë) për pyetjet, kërkesat e detyrat që u jepen në klasë, për detyrat e shtëpisë, për përgjigjet për testet kohëshkurtër etj. Ai ka për qëllim kryesor përmirësimin e cilësisë së të mësuarit dhe jo thjesht kontrollin apo diferencimin e nxënësve. Ky vlerësim duhet përdorur për feed-back gjatë procesit të mësimdhënies e të nxënies, sepse gjatë këtij lloj vlerësimi mësuesi nxjerr në pah dhe ndreq në mënyrë të shpejtë dobësitë dhe të metat e nxënësve. Përdorimi i këtij vlerësimi diktohet edhe nga fakti që, siç pranohet gjerësisht, ora e mësimit nuk është e motivuar dhe shpesh herë bëhet e pakëndshme, kur nuk përdoret vlerësimi formues, por pritet të mbarojë kreu dhe pastaj të bëhet vlerësimi (qoftë edhe me teste) i nxënësve. Gjatë vlerësimit formues, duke përdorur në mënyrë të vazhdueshme një numër teknikash vlerësimi të thjeshta e të shpejta, mësuesit mund e duhet të marrin informacion për atë që nxënësit kanë mësuar aktualisht, për atë që u mbetet të mësojnë dhe të përforcojnë. Duke u mbështetur në rezultatet e vlerësimit formues, mësuesit duhet t’i këshillojnë nxënësit se si të përmirësojnë të nxënit. Format më të përdorshme të vlerësimit formues në matematikë, janë: vlerësimi me notë për pyetjet në tabelë; vlerësimi për aktivizim në klasë, gjatë zbatimit të materialit të kaluar dhe parashtrimit të materialit të ri; vlerësim për aktivizimin me punën në grupe; vlerësim me teste kohëshkurtër për përvetësimin e një teme të caktuar; vlerësim për kryerjen e detyrave të shtëpisë. Vlerësimi formues nuk këshillohet të bëhet me të njëjtën teknikë vlerësimi, sepse nxënësit familjarizohen me të dhe i përgatisin përgjigjet pa i kuptuar çështjet. Mendoj se është e dobishme praktika e të mësuarit të nxënësve të teknikave për vetëvlerësim, që nxisin integrimin e të mësuarit në klasë dhe të mësuarit jashtë saj. Praktikimi i teknikave të vetëvlerësimit i ndihmon nxënësit gjithashtu të fitojnë shprehi për të menduarit dhe për të vlerësuarit vetjak. Në lëndën e matematikës konceptet synohet të formohen nëpërmjet trajtimit të situatave problemore. Itinerari i zotërimit të njohurive është menduar të jetë spiral dhe jo linear; ato mendohen të përvetësohen jo me paraqitjen e tyre të parë dhe as me përsëritje të thjeshtë, por pas plotësimeve dhe thellimeve nëpërmjet rimarrjes aktive. Gjatë vlerësimit formues duhet mbajtur parasysh se aktiviteti matematik i nxënësve, përfshin observimin (vëzhgimin), abstragimin, eksperimentimin dhe vërtetimin. Parashtrimi i përmbajtjes së re si rregull duhet të artikulohet me studimin e situatave të larmishme, që shërbejnë si motivim, si çështje që kërkojnë zgjidhje apo si mbështetje e zbatim i këtij parashtrimi dhe nxënësi duhet të vlerësohet, në mënyrë të vazhdueshme për sasinë dhe cilësinë e aktivizimit të tij në këto aspekte (të paktën një herë në 6-7 orë mësimi).

MATEMATIKA 8

71

Gjatë vlerësimit formues kujdes duhet t’i kushtohet përvetësimit të koncepteve dhe metodave kryesore të lëndës, si bazë e formimit matematik të nxënësve. Në këtë kuadër, gjatë vlerësimit formues duhet të mbajmë parasysh se nuk ka rëndësi riprodhimi i vërtetimit të një teoreme dhe zbatimi mekanik i saj në një situatë standarde, nëse nxënësi nuk ka të qartë thelbin e saj dhe nuk është i aftësuar për ta zbatuar atë në situata të larmishme, qoftë edhe të thjeshta. Si rregull, në çdo orë mësimi zgjidhen ushtrime (në radhë të parë zbatime të thjeshta) për të kuptuar thelbin e koncepteve dhe metodave matematike dhe si modele të punës së pavarur në shtëpi. Puna e pavarur me ushtrimet dhe zbatimet në klasë duhet të zërë jo më pak se 40% të kohës së mësimit. Gjatë shtjellimit të materialit mësimor mësuesi duhet të krijojë situata problemore të strukturuara për të vënë në lëvizje mendimin e pavarur të nxënësit. Strukturimi i pyetjeve të shtruara klasës bën që secili nxënës të angazhohet në punë të pavarur, sipas mundësive të veta, me një kohë të mjaftueshme për të përvetësuar përmbajtjen deri në një nivel të caktuar arritjeje, për të cilin ai mund të vlerësohet edhe në vend. Konceptimi i lëndës dhe mënyra e realizimit të saj duhet të thyejë kornizat tradicionale të orës së mësimit. Trajtimi i materialit të ri mësimor jo rrallë duhet të bëhet me tekst përpara, sepse nxënësit duhet të plotësojnë në të kërkesat që janë lënë qëllimisht pa u plotësuar, të zgjidhin ushtrimet apo të analizojnë shembujt. Në shumicën e temave, ora e mësimit duhet të përbëjë një sintezë të dhënies e të kontrollit të njohurive, të vlerësimit të dijeve e shkathtësive (shprehive) dhe vlerave tek nxënësit. Në këtë këndvështrim format tradicionale të kontrollit e të vlerësimit të nxënësve, që janë mbështetur në riprodhimin gojor të materialit mësimor, të lidhur me binomin mësues-nxënës (në tabelë) dhe me një numër të vogël nxënësish të vlerësuar janë të papranueshme. Kontrolli dhe vlerësimi formues i nxënësve duhet të jetë i larmishëm, i lidhur më tepër me veprimtarinë matematike të nxënësve në klasë, jo i mbështetur kryesisht në riprodhimin gojor të materialit mësimor, jo i kufizuar në një interval kohor të caktuar. Ai përfytyrohet i shkrirë me veprimtarinë matematike të nxënësve, duke siguruar pjesëmarrje të plotë të tyre në punë. Mësuesi duhet të jetë vazhdimisht në kontakt me punën e nxënësve në bankë gjatë gjithë orës së mësimit. Ai duhet të vrojtojë e të vlerësojë jo vetëm çka di nxënësi, por si e mëson, si vepron për ta zbatuar, si nxjerr përfundime etj. Në këtë mënyrë, gjatë këtij lloj vlerësimi nxënësi është më i çliruar nga emocionet dhe nga ana tjetër krijohen mundësi më të mëdha për kontakte e ndihmë të diferencuar tek nxënësit. Natyrisht, format e larmishme të kontrollit të shtrirë në trajtimin e materialit të ri (dhe vlerësimi përkatës) nuk përjashtojnë vlerësimin e nxënësit të ngritur në tabelë apo vlerësimin masiv të pjesshëm (me teste të shkurtra). Nxënësi duhet të regjistrojë në kujtesë një sërë faktesh të rëndësishme matematike. Por kjo nuk do të thotë që në të mësuarit e matematikës kujtesa e tij të ngarkohet tej mase me rregulla e formula të ndryshme, kur këto mund të gjenden nga manualet, tabelat dhe tekstet. Prandaj vlerësimi nuk duhet të bazohet në kujtesën mekanike; të mbahet parasysh se aftësimi i nxënësve për të kërkuar në këto materiale ndihmëse, formulat

72


dhe faktet që nevojiten për zgjidhjen e ushtrimeve ose për vërtetimin e pohimeve të ndryshme (veçanërisht kur ato u përkasin temave të zhvilluara më pare), pasqyron shkallën e formimit matematik të tij dhe duhet vlerësuar.

Procedura e vlerësimit Sistemi i vlerësimit që rekomandohet të zbatohet është krahasimi me standardet e vendosura. Një nga problemet më të shpeshta dhe më të ndërlikuara me të cilat ndeshen aktualisht dhe do të ndeshen deri në një të ardhme të afërt mësuesit, është gjykimi i statusit dhe i përparimit të nxënësit në intervale të ndryshme kohe, vënia e notave. Është e qartë që vlerësimi duhet të ndjekë qëllimet arsimore, objektivat mësimore, objektivat e vlerësimit. Vlerësimi duhet të mbështetet mbi një sasi të mjaftueshme të dhënash në të cilat duhet të përfshihen edhe këto elemente: vlerësimi me notë për përgjigjet në tabelë; vlerësimi i aktivizimit nga vendi; vlerësimi i ndihmesës gjatë punës në grup; testet në fund të kapitullit; testet në fund të vitit; provimet vjetore; provimi i lirimit.

Vlerësimi me notë

Siç dihet, nota përdoret për të paraqitur rezultatin e arritjeve dhe të përparimit akademik të nxënësit. Ajo ka për qëllim të dëshmojë për arritjet e nxënësit, për të drejtuar zhvillimin vetjak të nxënësit deri në diplomimin e tij, për të informuar prindërit për nivelin e përparimit të fëmijëve të tyre etj. Për këto arsye mendojmë që vlerësimi me notë është i domosdoshëm në klasat VI-IX. Nota nuk duhet vendosur si rezultante e arritjeve akademike dhe sjelljeve disiplinore të nxënësit, por vetëm e arritjeve akademike. Ajo duhet bazuar në standarde të caktuara dhe në burime të shumta. Vlerësimi me notë mund të përdoret edhe për të matur punën në grup dhe aktivizimin në klasë gjatë trajtimit të materialit mësimor. Për të bërë vlerësimin e punës në grup dhe aktivizimin në klasë shërben vetëkontrolli. Vlerësimi i punës në grup duhet të mbajë parasysh këto elemente: ndarja e informacionit me të tjerët; ndihmesa në ide; ndjekja e udhëzimeve; shfaqja e iniciativës gjatë zgjidhjes së problemeve në grup; dhënia e vlerësimeve për pikëpamjet e të tjerëve. Vlerësimi i përgjigjeve me gojë të nxënësve ka qenë dhe mbetet një sfidë për mësuesin. Për të vlerësuar përgjigjen për një pyetje të strukturuar duhet të mbahen parasysh të gjitha kërkesat në të cilat është ndarë ajo dhe peshën e secilës kërkesë. Në hapin e mëtejshëm vlerësohet realizimi i secilës kërkesë, duke përdorur metodën analitike dhe duke u bazuar në një përgjigje ideale të parapërgatitur (e cila gjithashtu strukturohet sipas

MATEMATIKA 8

73

kërkesave të pyetjes, duke parashikuar pikët e plota të mundshme për secilën kërkesë). Gjatë vlerësimit elementet e të shkruarit duhen vlerësuar jo të ndara nga përmbajtja.

Vlerësimi i nxënësit të pyetur në tabelë Nëse kërkojmë që të pyeturit e një nxënësi në tabelë në lëndën e matematikës të plotësojë synimet e një vlerësimi formues për të, duke qenë edhe në dobi të formimit matematik të klasës, duhet të mbahen parasysh disa kërkesa: 1. Pyetja (çështja që pyetet) duhet të jetë e ndryshme nga ajo që punon klasa në mënyrë të pavarur, por të ketë lidhje me ato çështje që po kontrollohen për klasën. 2. Të kërkojë kohë jo të madhe për t’u zgjidhur (jo më shumë së 10-15 minuta). 3. Të paraqesë interes për klasën dëgjimi i përgjigjes. 4. Të ketë kërkesa jo vetëm për kontrollin e njohurive të kaluara, por të trajtojë edhe elemente të materialit të ri (në trajtën e punës krijuese të nxënësit). 5. Disa elemente të përgjigjes së nxënësit në tabelë duhet të ndiqen (të dëgjohen) nga klasa (edhe sikur për këtë asaj t’i duhet të ndërpresë punën e vet). 6. Korrigjimet eventuale t’i kërkohen nxënësit, fillimisht për t’i realizuar vetë. 7. Vlerësimi i nxënësit me notë mund të bëhet për këtë ushtrim ose duke i dhënë akoma pyetje plotësuese në bankë. Vlerësimi i përgjigjes së nxënësit të pyetjeve në tabelë bëhet në bazë të gjykimit vetjak të mësuesit, por mbi bazën e standardeve të arritjes. Për të patur një vlerësim objektiv është mirë që pyetja të strukturohet në një numër të kufizuar kërkesash. Vlerësimi i përgjigjes të dhënë nga nxënësi që pyetet në tabelë ka si anë pozitive sepse lejon të maten aftësitë për arsyetim matematik (evidentimi i marrëdhënieve shkak-pasojë; zbatimi i aksiomave, teoremave dhe përdorimi i përkufizimeve gjatë argumentimit; aftësimi për të ngritur hipoteza dhe për t’i kontrolluar ato; nxjerrja e përfundimeve; vetëvlerësimi i arsyetimit të ndjekur) si dhe aftësitë për të komunikuar me gojë dhe me shkrim.

II. 9. Mbi organizimin e punës në klasë Mësuesi ka të drejtë të zgjedhë metodat dhe mekanizmat më të përshtatshëm për organizimin e mësimdhënies dhe mësimnxënies, me të vetmin kusht: respektimin e programit dhe realizimin e synimeve të tij. Është detyra e tij të organizojë klasën për realizimin e aspekteve të ndryshme të veprimtarisë së nxënësve në klasën e vet. Sa herë që është e mundur, çështjet e reja duhet të futen në kuadrin e një konteksti të caktuar (real apo matematik) dhe nëpërmjet një metode që parashikon hetimin e situatave. Ky kontekst duhet të zgjidhet i tillë që të ngjallë interesimin e masës së

74


nxënësve. Hetimi i situatës së parashtruar nxënësve, duhet të kombinohet me fjalën e mësuesit dhe diskutimin në klasë. Në hapin e parë kjo situatë duhet të jetë e strukturuar prej mësuesit, në mënyrë që të sigurohet përfshirja e masës së nxënësve në mësim. Një pjesë e kësaj pune rekomandohet të zhvillohet në grupe të vogla (2-3 nxënës). Mësuesi duhet t’i bashkojë këto grupe herë pas here, që ata të bëjnë përshkrimet dhe argumentimet e tyre për detyrat e vëna dhe për zbatimet e tyre, pa e mbyllur diskutimin ai duhet t’i udhëheqë nxënësit kur ka moskuptime ose gabime. Gjatë përvetësimit të lëndës nxënësit duhet të ndjehen të shpenguar e të inkurajuar që të japin mendime, të diskutojnë e të bëjnë pyetje. Ata duhet të edukohen si me shprehitë e punës së pavarur individuale, po ashtu edhe me ato të punës së përbashkët d.m.th., të punës në grup. Nxënësve duhet t’u jepet kohë e mjaftueshme për t’u menduar mirë; të vazhdojë edukimi i tyre me zakonin që të mos nguten, të mos përgjigjen përciptas, të ndalen kur nuk kuptojnë. Mësuesi nuk duhet të ngutet të korrigjojë e t’i presë fjalën nxënësit që gabon; pa mohuar rëndësinë e përgjigjes së saktë e rëndësishme është të evidentohet se si ka menduar nxënësi për të dhënë përgjigjen, prandaj mësuesi duhet të hapë butë-butë shtigje për vetëkorrigjim për nxënësin që gabon. Gjatë punës mësuesi duhet të mbajë parasysh që çdo nxënës të mos ngarkohet më tepër sesa mund të mbajë, të mos detyrohet ai që të kopjojë. Rekomandohet që parashtrimi i materialit mësimor në temat ku merr njohuri të reja, të ndjekë këtë ecuri didaktike: një shembull apo një ushtrim përgatitor synon të krijojë tek nxënësit, nëpërmjet hetimit të situatës, një hamendje të caktuar. Kjo kontrollohet më tej nëpërmjet shembujsh (a kundërshembujsh) dhe ushtrimesh (shpesh gjysmë të zgjidhur). Pas konsolidimit të hamendjes dhe formulimit të saj në trajtën e një përfundimi përgjithësues, në lëndë si matematika kalohet në vërtetimin e tij (këtu parashikohen shkallë të ndryshme rigoroziteti në klasa të ndryshme). Më tej kalohet në zbatime, fillimisht të thjeshta, por të larmishme. Duhet mbajtur mirë parasysh se për zotërimin e koncepteve dhe të metodave lëndore ka rëndësi të madhe larmia e interpretimeve dhe zbatimeve të tyre. Për këtë qëllim dhe në kuadrin e organizimit të punës së pavarur apo në grup të nxënësve, një rol qendror luan zgjedhja e çështjeve dhe problemeve që u parashtrohen atyre. Për të realizuar me sukses këtë zgjedhje duhet të mbahet parasysh.: a. A kanë të bëjnë ato më aftësitë që kërkohet të zhvillohen tek nxënësit? b. A është i kuptueshëm konteksti i tyre për një nxënës të klasës së shqyrtuar? c. Nëse jo, a janë dhënë tërë udhëzimet e njohurive për t’i zgjidhur? d. A ka zgjidhja e tyre vlera në pikëpamje të metodës? Nxënësve duhet t’u jepet mundësia të ushtrojnë dendur veprimtari të ndryshme, si krahasimi (për të zbuluar vetitë e përgjithshme dhe ato të veçantat), klasifikimi dhe modelimi si forma të abstragimit. Ata duhet të inkurajohen të vëzhgojnë dhe të përshkruajnë me modele të larmishme lëndore situata e modele të botës përreth si p.sh., nga botanika, arkitektura, bota e kristaleve etj. Theksi kryesor do të vihet në lidhjen

MATEMATIKA 8

75

e lëndës me botën në të cilin nxënësit jetojnë; duhet të evidentohet që lënda është e zhvilluar nga nevojat e botës reale dhe ajo lëndë që ata mësojnë ka zbatime të dobishme në një gamë të gjerë kontaktesh dhe për një kohë të gjatë. Në këtë mënyrë puna për përvetësimin e lëndës do të bëhet interesante për ta, sepse do të mbajë parasysh interesat e tashme dhe të ardhshme të nxënësve.

II.10. Problemat në matematikë Së pari, vëmë në dukje se nuk ka ndryshim esencial ndërmjet ushtrimit e problemit. Prandaj, në vijim, termat ushtrim e problem do t’i konsiderojmë të njëjtë. Problem quhet çdo çështje matematike, për zgjidhjen e së cilës nuk është i mjaftueshëm rikujtimi i thjeshtë i ndonjë pjese teorike, p.sh., i një përkufizimi, aksiome apo teoreme, rregulli apo vërtetimi. Zgjidhja e problemit është punë krijuese! Aty nxënësi zbulon një të vërtetë të panjohur për të. Pyetja: Sa drejtëza kalojnë nga një pikë e planit nuk është problem, për arsye, se përgjigja e saj jepet nga aksioma e njohur. Po kështu, çështja se si ndërtohet mesorja e një brinje të trekëndëshit, nuk është problem. Nxënësit përdorin njohuritë dhe aftësitë e tyre matematike që t’i ndihmojnë në gjetjen e zgjidhjeve të problemave në jetën e përditshme dhe për të marrë vendime bazuar në to. Zgjidhja e problemave duhet të jetë fokusimi kryesor në kurrikulin e sidomos në mësimdhënien e matematikës. Nëpërmjet tyre nxënësit provojnë fuqinë dhe domosdoshmërinë e matematikës në botën që i rrethon. Zgjidhja e problemave është një metodë hulumtimi, që duhet të kombinohet me pjesët e tjera të matematikës, për t’u dhënë nxënësve një përbërje konsistente për të mësuar dhe aplikuar matematikën. Udhëzimet në klasë duhet t’u bëjnë nxënësve të mundur që të eksperimentojnë me një gamë të gjerë përvojash të zgjidhjeve të problemave në një mjedis që i inkurajon përpjekjet e tyre. Mënyra ideale është, që nxënësit të ndajnë mendimet dhe strategjitë e tyre me shokët dhe mësuesit. Ata duhet të mësojnë një larmi mënyrash të shtrimit dhe zgjidhjes së problemave. Gjithashtu, ata duhet të vlerësojnë procesin e zgjidhjes së problemave aq shumë, sa duhet të vlerësojnë mënyrat e ndryshme të zgjidhjeve. Nxënësit duhet të marrin shumë përvoja, që përfshijnë shtrimin e problemave, bazuar në veprimtari të përditshme, në të dhëna të organizuara dhe ekuacione. Megjithëse problemat do të bazohen në situata konkrete dhe empirike, programi ka arritur një balancë ndërmjet problemave me situata nga jeta e përditshme, dhe problemave që dalin vetëm nga shqyrtimi i ideve matematike. Teksti, gjithashtu stimulon nxënësit në problema, që duan një përpjekje më të madhe për t’u zgjidhur.

76


10.1 Zgjidhja e problemave mund të kthehet në faktor nxitës Mund të themi, se çdo njeri provon kënaqësi gjatë zgjidhjes së problemave. Problemat konsiderohen jo vetëm si element integrues i aspekteve të ndryshme të kurrikulit, por ndihmojnë që të vendoset një raport autentik midis matematikës dhe realitetit. Ato u japin kuptimin e vërtetë koncepteve, teknikave, shprehive; ndihmojnë zhvillimin e dëshirës për të kuptuar, nxitin shpirtin krijues dhe pavarësinë e të menduarit, mundësojnë aftësimin e nxënësve për të strukturuar, organizuar, formalizuar e matematizuar. Por dihet, gjithashtu, që problemat përbëjnë edhe një pjesë kritike të të mësuarit, ku nxënësit jo rrallë hasin vështirësi gati të pakapërcyeshme për ta. Prandaj zgjidhja e problemave duhet të jetë pjesë e përvojës së çdo nxënësi. Problema ka të bëjë me një situatë, përballë së cilës nxënësi, në një farë mënyre, kapet në befasi dhe bagazhi i njohurive të tij nuk i mjafton që të përgjigjet menjëherë. Mendja e tij është para një sfide. Nxënësi duhet të kryejë një akt të ri, që ka si përbërës themelor të tij, intuitën dhe arsyetimin. Kyçi është që nxënësi të përballet me nivelin e përshtatshëm të sfidës. Kurrikuli ekzistues i matematikës parashtron përdorimin e tipave të ndryshme të problemave me situata stimuluese, strategjive të veçanta të zgjidhjeve dhe mënyrave të larmishme të organizimit të orës së mësimit (p.sh., punë grupi) në përputhje me veçoritë psikologjike të moshës. Për hartuesit e kurrikulit dhe mësuesit, problemat e matematikës kanë qenë gjithmonë një nga preokupimet kryesore. Kjo për faktin se ato konsiderohen si një nga pikat kyçe të matematikës shkollore. Për të dhënë një kuadër më të përgjithshëm dhe sintetik, problemat i klasifikojmë duke pasur parasysh këto dy karakteristika: Natyrën e problemit, që ka të bëjë me procesin e zgjidhjes dhe aftësitë që kërkon ose nxit ky proces dhe kontekstin e problemit, d. m. th., fushën konceptuale të zbatimit. Sipas karakteristikës apo përmasës së parë(natyra e problemit), një problem i dhënë, mund t’i takojë një tërësie të përfshirë ndërmjet dy skajeve: nga njëra anë kemi të gjitha problemat e zbatimit, për të ushtruar ose ngulitur njohuri apo teknika specifike, të cilat nuk kërkojnë ndonjë aftësi të veçantë dhe, në anën tjetër, kemi problemat më komplekse që kërkojnë hapa të shkallëzuara veprimi, formulime hipotezash, procedime e sistemime. Konteksti i problemit ka të bëjë me fushën e zbatimit. Edhe ai mund të përshkruhet si një tërësi ndërmjet dy skajesh: nga një anë e problemeve që i takojnë një fushe specifike e shumë të ngushtë zbatimi, nga ana tjetër, e problemeve me spektër të gjerë në të cilat integrohen shumë koncepte matematike, madje të ndërthurura edhe me koncepte të disiplinave të tjera. Problemi është një sfidë për nxënësit. Mjaft prej nxënësve ndaj situatave problemore mbajnë një qëndrim mosbesimi në forcat e tyre dhe shpesh dorëzohen, sepse i quajnë ato një detyrë që i kalon mundësitë e tyre. Në vend që të përpiqen të kuptojnë ç’kërkohet prej tyre, orvaten të zbatojnë mekanikisht skema apo shprehi që u sugjeron ndonjë fjalë në formulim dhe kapen rastësisht pas një veprimi çfarëdo. Ndodh kështu, sepse për nxënësit, dhe jo rrallë, (dhe kjo përbën një nga gabimet kryesore të mësimdhënies gjatë zgjidhjes

MATEMATIKA 8

77

së problemave) edhe për mësuesit, zgjedhja e veprimit është preokupimi kryesor. Një raport i tillë me problemin, tek shumë nxënës vë në lëvizje mekanizmin e kushtëzimit, në vend që t’i nxitë ata, që të analizojnë me qetësinë e duhur dhe me vëmendje formulimin dhe të arsyetojnë, ashtu siç veprojnë në situata të jetës së përditshme. Një prej vështirësive që hasin nxënësit në zgjidhjen e problemave është më tepër me natyrë gjuhësore sesa logjiko-matematike. Që nxënësi të zgjidhë saktë problemin, së pari ai duhet ta kuptojë atë nga ana gjuhësore, d.m.th., të kuptojë çdo fjalë të problemit. Një kuptim i cekët gjuhësor sjell vështirësi në zgjidhje. Të kuptuarit e asaj që lexohet, është një akt kompleks, në të cilin gërshetohen aftësitë për dekodimin gjuhësor, për analizë e sintezë. Që nxënësi ta zgjidhë saktë problemin është e nevojshme që ai ta kuptojë atë, të kuptojë informacionin që transmeton problemi. Në informacionin e një problemi dallohet informacioni kryesor dhe informacioni i dorës së dytë. Pikërisht mosdallimi i saktë i këtyre dy informacioneve është një pengesë tjetër për zgjidhjen e problemit. Përvojat kanë treguar se nxënësit sa e lexojnë problemin nxitojnë ta kategorizojnë dhe të aktivizojnë një skemë të veçantë për zgjidhjen e tij. Por, kur kjo zgjedhje është bërë e gabuar, atëherë ndodhin gabime edhe në vlerësimin e informacionit, në mënyrë që ta bëjë atë t’i përshtatet skemës së zgjedhur. Kështu mund të përdoret informacioni i dorës së dytë dhe të nënvleftësohet informacioni kryesor. Procesi i kërkimit të zgjidhjes lehtësohet kur nxënësit e marrin informacionin me një gjuhë të thjeshtë e skematike, që lejon të kapen më mirë raportet, të dallohet e panjohura nga të dhënat. Zakonisht procedura e zgjidhjes së problemave trajtohet sipas dy tipave: algoritmike dhe euristike. Nëpërmjet shkollimit nxënësit pajisen me një tog algoritmesh, të cilat i përdorin në zgjidhjen e tipave të caktuara të problemave. Algoritmi, si recetë e shkallëzuar për të arritur një qëllim të caktuar, po të zbatohet në mënyrë korrekte e garanton saktësinë e rezultatit të kërkuar. Por shumë problema, e jo vetëm në matematikë, janë të paqarta e nuk mund të zgjidhen me një algoritëm të caktuar, madje edhe ato, zgjidhja e të cilave bëhet thjesht me një algoritëm, duhen trajtuar, (të paktën fillimisht) me procesin euristik. Megjithëse euristika nuk garanton suksesin, ajo ka shans të logjikshëm për të çuar drejt suksesit. Në vitet e para të shkollës dhe, veçanërisht në klasën e parë kur nxënësit ende nuk i kanë fituar shprehitë e të lexuarit dhe sidomos të të kuptuarit të informacionit të dhënë me shkrim, problemat e parashtruara me veshje gjuhësore, paraqesin vështirësi shtesë. Në përputhje me shkallën e aftësive të nxënësve dhe veçoritë moshore të tyre, një rol të rëndësishëm marrin problemat pa fjalë ose me shumë pak fjalë. Informacioni i nevojshëm në to jepet nëpërmjet mjeteve grafike (figura, skica, etj.). Këto mjete mundësojnë paraqitjen e situatave nga më të ndryshmet dhe në mënyrë konkrete e të përshtatshme për perceptimin fëminor. Duke pasur shpesh karakterin e lojës ato ndodhen më afër natyrës së fëmijës dhe e vënë pa sforcime veprimtarinë e tij në lëvizje. Problemat e paraqitura me figurë janë të nevojshme për dy arsye: së pari, lejojnë përshkrimin, pra ushtrojnë të folurit, së dyti, kanë një shkallë më të madhe lirie për formulimin e kërkesës nga vetë nxënësit. Edukimi i kësaj cilësie, si një prej formave të zhvillimit të mendimit të pavarur e

78


krijues, është tipar karakteristik i zgjidhjes së problemave të matematikës. Mendimi kërkon një suport grafik. Të tillë mbështetje ia japin problemat e paraqitura me skica ose tabela. Tabelat mund të paraqesin një situatë të caktuar problemore, ku kërkohet të plotësohet informacioni i mangët në tabelë, në varësi të informacionit të dhënë në të. Në vitet e fundit të ciklit fillor dhe në shkollën 9 vjeçare, mbizotërojnë problemat në të cilat informacioni jepet me mjete gjuhësore, me fjalë. Gjatë zgjidhjes së problemave duhet pasur në vëmendje: • Të operohet me koncepte të përpunuara mirë dhe në raporte e marrëdhënie, rrethi i të cilave zgjerohet bashkë me përvojën vetjake të nxënësve; • Të evitohen vështirësitë shtesë në zbërthimin e informacionit; e thënë ndryshe, në problema të paraqiten situata të njohura për nxënësit; • Të formulohen me një gjuhë të qartë dhe mundësisht me fjali të shkurtra. Kujdes i posaçëm duhet t’i kushtohet dy momenteve themelore: a) Kuptimit të saktë të informacionit të problemit; dhe b) Strategjisë së zgjidhjes së tij. Këto shihen si dy hallka të pashkëputura dhe me lidhje të ndërsjellë ndërmjet tyre. Nxënësi mund të dijë të zbatojë drejt algoritmin e mbledhjes, zbritjes, shumëzimit apo pjesëtimit, por kur i shtrohet një problem që e ve përpara dilemës së zgjedhjes së veprimit të nevojshëm, shpesh herë pëson frenim. Zgjedhja e drejtë dhe e saktë kërkon kuptimin parimor të veprimit. Në mënyrë që problema të ndihmojë nxënësin, duhet bërë kujdes që kërkesa të jetë e formuluar sa më qartë dhe pa fjalë të tepërta. Një pjesë e nxënësve që hasin vështirësi në zgjidhjen e problemave, me kohë u krijohet një “alergji”ndaj tyre. Psikologjikisht kjo është një pengesë tjetër shtesë. Kjo “alergji”mund të luftohet nëpërmjet “defetishizimit”të problemave. Një rrugë e efektshme është angazhimi i nxënësve në hartimin vetë të problemave. Në jetën e përditshme informacioni që kemi për një problem të caktuar mund të ketë të dhëna të mangëta ose të dhëna të tepërta, prandaj në një program bashkëkohor shkollor, situata të tilla nuk duhen lënë jashtë vëmendjes. Në këtë vështrim, kurrikula e matematikës përpiqet t’i aftësojë nxënësit për verifikimin e informacionit dhe shqyrtimin e tij në funksion të detyrës që i është shtruar për zgjidhje. Nevoja e përditshme i shtyn njerëzit të ngrenë hipoteza, t’i provojnë, t’i verifikojnë e t’i modifikojnë. Mësimi i matematikës e pasqyron realitetin hipotetik nëpërmjet problemave, strategjia e zgjidhjes së të cilave njihet me termin “merr me mend dhe provo”. Nxënësit mund të jenë pak të interesuar për problemat thjesht matematike, por ata përfshihen tërësisht në problemat, të cilat janë jo thjesht matematike, dhe insistojnë derisa të kenë arritur një zgjidhje të suksesshme. Ky fakt duhet pasur në konsideratë nga mësuesi, për trajtimin e problemave të tilla që zgjojnë interes tek nxënësit. Një problemë konsiderohet e zgjidhur vetëm nëse realizohen tri kushte: 1) Zgjidhja të jetë pa gabim. 2) Zgjidhja të jetë e argumentuar.

MATEMATIKA 8

79

3) Zgjidhja të jetë e plotë. Kërkesat e mësipërme janë përjashtuese në kuptimin që cënimi i cilësdo prej tyre, bën që problema të mos konsiderohet e zgjidhur plotësisht. Por kërkesa të tjera ndaj problemës, (ndonëse jo me peshën e të mësipërmeve) janë edhe: 4) Zgjidhja të jetë e thjeshtë. 5) Zgjidhja të paraqitet në mënyrë racionale. 6) Të përgjithësohen problemat e veçanta. Le t’i komentojmë shkurt këto kërkesa:

10.1.1 Zgjidhja duhet të jetë pa gabime

Rëndësia praktike e kësaj kërkese është e qartë. Në jetën e përditshme secili do të ndeshet me problema të ndryshme, të cilat duhen zgjidhur. Në këto raste zgjidhja e gabuar ka rrjedhoja të dëmshme. (P.sh., nxënësi duhet të llogaritë përmasat e një trau që do të mbajë një peshë të caktuar). Nxënësit duhen edukuar që të jenë të vëmendshëm në çdo punë dhe ta kryejnë atë më përgjegjësi. Praktika tregon se ka nxënës mjaft të përgatitur teorikisht, por si pasojë e kujdesit të pakët bëjnë llogaritje të gabuara. Nxënësit duhen edukuar që gjithmonë të verifikojnë saktësinë e zgjidhjes së problemës. Është e pamjaftueshme që kjo të realizohet, duke verifikuar përgjigjen që jep teksti. Nxënësi duhet të mësohet me mënyrat e njohura të kontrollit e verifikimit.

10.1.2 Zgjidhja duhet të argumentohet

Në zgjidhjen e problemave duhet kërkuar argumentimi i çdo pohimi, i çdo veprimi, i çdo transformimi. Pra, në çdo hap nxënësi duhet të mësohet që të shoqërohet nga pyetja pse? Argumentimi realizohet duke iu referuar përkufizimeve, aksiomave, teoremave, rrjedhimeve e rregullave të ndryshme teorike. Mungesa e argumentimit të zgjidhjeve është një dukuri që ndeshet shpesh në shkollat tona. Më shumë ajo ndeshet në zgjidhjen e problemave të gjeometrisë.

10.1.3 Zgjidhja duhet të jetë e plotë

Nëse gjendet një zgjidhje e problemës, ajo nuk duhet konsideruar e zgjidhur plotësisht. Duhen gjendur të gjitha zgjidhjet e tjera të saj apo duhet provuar uniciteti i zgjidhjes. Sidomos kanë rëndësi studimi i rasteve kufitare.

10.1.4 Zgjidhja duhet të jetë e thjeshtë

Në shumë raste, problemat kanë disa mënyra zgjidhjeje. Nxënësit duhet ta zgjidhin atë me një nga mënyrat që ata mendojnë, por në këtë rast ato duhet të nxiten të kërkojnë mënyra më të lehta të zgjidhjes. Në këtë mënyrë ata edukohen të gjejnë rrugën më të shkurtër. Është fakt se nxënësit duhet të mësojnë metodat e përgjithshme të zgjidhjes së problemave. Por po kaq e rëndësishme është, që ata të fitojnë shprehi për të shfrytëzuar anët specifike të problemave.

80


10.1.5

Paraqitja racionale e zgjidhjes

10.1.6

Përgjithësimi i problemave

Zgjidhja e një probleme shoqërohet me të shkruarit e saj, vizatimin e një figure. Është e njohur sëmundja e të paraqiturit keq të zgjidhjes nga shumë nxënës. Në përgjithësi mësuesit nuk i kushtojnë rëndësi këtij aspekti. Praktikisht kjo është e dëmshme, jo vetëm nga pikëpamja edukative, por edhe për faktin se shpesh herë paraqitja jo e mirë bëhet shkak edhe për gabime.

Shpesh herë problema numerikë të zgjidhura është e udhës të përgjithësohen me shkronja. Zgjidhja e problemës, në rastin e përgjithshëm, jep mundësi për diskutime interesante e të dobishme për ngritjen e nivelit dhe kulturës matematike të nxënësve.

10.2 Si të punohet që nxënësit të mësojnë të zgjidhin problemat? 10.2.1 Cikli i problemave

Tashmë është e ditur se me një renditje të caktuar të ushtrimeve e problemave të zgjidhura në klasë, realizohet një përvetësim më i mirë i lëndës se sa me një renditje tjetër. Lind një pyetje jo pak e rëndësishme: si mund të arrihet një sistem i plotë i ushtrimeve e problemave që zhvillohen me nxënësit në një kapitull apo lëndë të caktuar? Apo: cila është zgjedhja optimale e ushtrimeve, në mënyrë që nxënësit t’i asimilojnë njohuritë thjesht, saktë e mirë? Duke analizuar sistemin e ushtrimeve e problemave të matematikës, mund të zbulohen në to, dy aspekte të ndryshëm cilësorë. Struktura e një grupi ushtrimesh e problemash është e tillë, që gjatë zgjidhjes së tyre zhvillohen vetëm shprehitë e përdorimit të drejtpërdrejtë të rregullave; ndërkohë, që zgjidhja e ushtrimeve e problemave e një grupi tjetër është e lidhur detyrimisht me realizimin e një kontrolli të vazhdueshëm, të provës së zgjidhjes madje, kjo e fundit, shpesh herë bëhet shprehi dhe realizohet vetvetiu. (Në mënyrë të pandërgjegjshme). Ja një dukuri e cila ndeshet shpesh në shkollat tona: Në orët e mësimit nxënësve u jepen njëri pas tjetrit ushtrime të tipit (2a-3b)⋅(2a+3b) duke vështirësuar njeri pas tjetrit monomet që bëjnë pjesë në të. (p.sh në vend të 2a jepet 3x2y , më pas 0,4x3y2z e kështu me radhë). Ky është një shembull klasik i ushtrimit të grupit të parë. Por, karakteri i proceseve të të menduarit ndryshon në mënyrë rrënjësore, në qoftë se në vend të këtij ushtrimi jepet i ashtuquajturi ushtrim i përmirësuar i tipit: (-3b)(+3b)=4a2-. Në këtë rast nxënësit i kërkohet të gjejë “të panjohurat”e ushtrimit. Studimet e zhvilluara tregojnë se zgjidhja e shembullit të dytë bazohet në kërkimin e hallkave të domosdoshme të një rrethi të mbyllur konkluzionesh nëpërmjet analizës së

MATEMATIKA 8

81

të shkruarit, gjë që transformon procesin fillestar të të menduarit në një proces më të ndërlikuar, më me përmbajtje e, për rrjedhojë, që zhvillon më mirë aftësitë e nxënësit. Problema të tilla që në një mënyrë të natyrshme zhvillojnë shprehitë e vetëkontrollit, përsosen jo spontanisht, por me ndërgjegje të plotë. Gjatë ushtrimeve të zakonshëm, siç dihet, vetëkontrolli për një kohë të gjatë nuk bëhet shprehi që realizohet nga nxënësit pa ia kërkuar e kujtuar. Shkaku për këtë qëndron në faktin, që zgjidhja e ushtrimit ose e problemës përfundon me dhënien e përgjigjes, ndërsa etapa e kontrollit realizohet vetëm pas kërkesës së mësuesit. (“zgjidhni”dhe “bëni provën”). Është një situatë krejtësisht tjetër gjatë zgjidhjes së ushtrimeve të përmirësuar: në këtë rast kontrolli është i paevitueshëm si një pjesë e një procesit ciklik. Transformimi i tillë i ushtrimit apo problemës, nga pikëpamja informative është më i plotë se sa i mëparshmi. Zgjidhja e ushtrimeve të përmirësuara, në një shkallë të konsiderueshme zhvillon tek nxënësit aftësinë për të zgjidhur edhe ushtrimet e tipit të parë, madje me metoda më ekonomike; pasi shkruhet një shembull, në procesin e zgjidhjes së tij provohen disa variante, e me mend mund të zgjidhen 3-4 ushtrime. Kjo shpjegon edhe rritjen e aktivitetit të nxënësit gjatë zgjidhjes së ushtrimeve të përmirësuara. Është e udhës që shumë problema të mos konsiderohen të përfunduara vetëm duke dhënë zgjidhjen e tyre, “pa u komentuar”ato. E një nga këto komente (ndoshta edhe më i rëndësishmi) është formulimi dhe zgjidhja e problemë së anasjellë, duke evidentuar atë informacion plotësues, që konsiston në relacionet e reja ndërmjet madhësive që marrin pjesë në problemën e dhënë. Kjo gjë realizohet duke futur në “të dhënat”e problemës fillestare ato që ishin “kërkesa”për të. Në një problemë matematike dallohen 3 elemente përbërëse: Ana e saj subjektive, që ka të bëjë me madhësitë reale konkrete, që marrin pjesë në të. Të dhënat numerike, të shprehura në shifra. Varësitë dhe veprimet, me anën e të cilave zgjidhet problema. Elementi më thelbësor, i cili përcakton edhe tipin e problemës (së bashku me çështjet që duhen kapërcyer për të arritur në zgjidhjen) është elementi i tretë. Gjatë zgjidhjes së problemave, variojnë subjektet dhe numrat, duke ruajtur të pandryshuara varësitë ndërmjet njëra-tjetrës. Është fakt që tekstet ekzistuese të matematikës, përmbajnë pak ose aspak problema me strukturë të anasjellë. Dhe, në rastin kur ato trajtohen, shihen në mënyrë të pavarur nga njëra-tjetra e në kohë të veçanta. Ne rekomandojmë si alternativë trajtimin e tyre të njëkohshëm. Ja një problemë e tillë:

82


PROBLEMA 1 Një nxënës ditën e parë lexoi 25 faqe të një libri, ditën e dytë 2 herë më shumë se ditën e parë dhe ditën e tretë 10 faqe më pak se ditën e dytë. Sa faqe lexoi nxënësi në ditën e tretë?

Zgjidhje:

25x2=50 faqe lexoi nxënësi në ditën e dytë. 50-10=40 faqe lexoi nxënësi në ditën e tretë. Le të formulojmë tani problemën e anasjellë sipas skemës: x faqe, 2 herë më shumë, 10 faqe, 40 faqe. Ja ajo: Një nxënës lexoi një libër për tri ditë. Ditën e dytë ai lexoi 2 herë më shumë faqe se ditën e parë dhe ditën e tretë lexoi 10 faqe më pak se ditën e dytë. Sa faqe lexoi nxënësi në ditën e parë, në qoftë se ditën e tretë ai lexoi 40 faqe?

Zgjidhje:

40+10=50 faqe lexoi nxënësi në ditën e dytë. 50:2=25 faqe lexoi nxënësi në ditën e parë. Skematikisht, zgjidhja e problemës së anasjellë jepet në Figurën 1.

25

2

50

10

40

Figura 1

Sipas kësaj skeme, zgjidhja e problemës së parë jepet nga shigjetat e holla, ndërsa e problemit të dytë nga shigjetat e theksuara. Zgjimi i interesave të nxënësve, ndaj metodës së transformimit të një probleme, në problemën e saj të anasjellë, para së gjithash përligjet me faktin, se me një rrugë të tillë, përcaktohen anët e ndryshme të përmbajtjes së problemës. Le të bëjmë një analizë të zgjidhjes së këtyre problemave: Sipas kësaj metode i njëjti numër (koncept, madhësi, figurë, etj.) merr pjesë në disa

MATEMATIKA 8

83

arsyetime të ndryshme dhe gjendet me rrugë që ndryshojnë esencialisht nga njëra-tjetra. Kështu, në problemën e parë numri 50 u gjet si prodhim (25x2=50), ndërsa në problemën e dytë i njëjti numër u gjet si shumë (40+10=50). Pra, në problemën e drejtpërdrejtë (i pari), numri 50 del si rezultat i rritjes së numrit disa herë, ndërsa në problemën e anasjellë (i dyti) ai del si rezultat i rritjes së numrit me disa njësi. Gjatë procesit të kthimit të problemës së dhënë, në problemën e tij të anasjellë, nxënësi zbulon dhe plotëson lidhjet reciprokisht të anasjella ndërmjet madhësive të problemës. Duke zgjidhur problemën e anasjellë, nxënësi vetvetiu gjykon dhe nxjerr përfundime, që dalin gjatë zgjidhjes së saj. Në këtë mënyrë ai zotëron lidhje të reja praktike, ndërmjet ideve (madje edhe atyre të reja), si dhe formave më të larta të gjykimeve. Vëmë në dukje se vlerësimi për zhvillimin e të menduarit të pavarur të nxënësve, nuk konsiston në praninë apo jo të problemave të anasjella, të marra si qëllim në vetvete: elementi më kryesor është procesi i transformimit të njërës problemë në tjetrën, d.m.th., në ato elemente “të padukshme, “të cilat zor se të vijnë në mendje, në një analizë logjike të të menduarit, e që lidhen me proceset e zgjidhjes së të dy problemave. Por theksojmë se lidhur me këtë dukuri ka mendime të kundërta. Disa mendojnë, që vetë nxënësi nuk mundet që të krijojë problema për vetveten. Që këtej ata arrijnë në përfundimin, që në kushtet shkollore është e mjaftueshme, nëse nxënësi mund të zgjidhë një problemë të gatshme, të caktuar nga mësuesi. Me një mendim të tillë, vështirë se mund të bihet dakord. Një fizikan i shquar ka thënë se fillimisht ai ka zbuluar atë që e njihnin të gjithë, më pas atë që e njihnin vetëm disa dhe së fundi atë që nuk e njihte asnjeri. Kështu rekomandohet që të jetë rruga e njohjes për nxënësit. Studimi i matematikës në shkollë, mund e duhet të realizohet në mënyrë të tillë, që ajo t’u paraqitet nxënësve si një varg zbulimesh të vogla, nga shkalla e të cilave mendja e nxënësit mund të ngjitet gjithnjë e më lart. Në secilin kapitull të matematikës, mund të konstruktohen problema të tilla sintetike për nxënësin, zgjidhja e të cilave të përmbajë elemente (sado fillestare) krijuese. Duke hartuar vetë një problemë, zgjidhja e saj, mund të jetë më e thjeshtë se e një probleme të gatshme, të huaj, produkt i një personi tjetër. Ja një fjalë e urtë që përligj këtë dukuri: “Në qoftë se ne e dimë se si është e lidhur një nyje dhe si është shtrënguar laku, ne e kemi më të lehtë se si ta zgjidhim atë”. Hartimi dhe zgjidhja e një probleme është më me përfitim nga pikëpamja didaktike, se sa zgjidhja e dy problemave të gatshme të të njëjtit tip; kjo për arsye se e para realizohet në një kohë më të shkurtër; rruga e parë ka të bëjë me thellimin në strukturën e problemës, ndërsa e dyta vetëm për t’u ushtruar. Kjo është arsyeja, që një kombinim i menduar i problemave analitike e sintetike e shkurton kohën për të mësuar një çështje të dhënë. Konsiderohet paradoksal, por praktika e ka provuar. Hartimi i problemave dhe zgjidhja e tyre gjithnjë të shpie në zhvillimin e varësisë së drejtpërdrejtë (A→B), në të anasjellën (B→A), dhe shfaqjen e varësisë së mbyllur (A→ B →A). Ta ilustrojmë këtë:

84


Le ta zëmë se do të zgjidhim problemën: “Babai dhe i biri harxhuan 600 lekë; babai harxhoi 2 herë më shumë lekë se i biri. Sa lekë harxhoi secili?” Zgjidhja e kësaj probleme realizohet me anën e ekuacionit: 2x+x=600 (E). Përgjigje: Babai harxhoi 400 lekë dhe i biri 200 lekë. Prova e zgjidhjes në thelb të shpie në hartimin e barazimit: 200⋅2+200=600 (B) Në këtë mënyrë skema abstrakte me tri hallka, është si më poshtë: Problema (P) → Ekuacioni (E) → Barazimi (B) Mund të zgjidhen qindra problema të tilla, por nga kjo mënyrë të menduari nuk do të pasurohen varësitë e ndërsjella të tipave: Barazim→Ekuacion→Problemë. Në mënyrë që të çohet lidhja e hapur e njëanshme P →E→B, në varësinë P→E→B→E→P, duhet që menjëherë pas zgjidhjes së problemës së mësipërme, t’u jepet nxënësve detyra që të hartojnë një problemë analoge, p. sh., duke u mbështetur në barazimin: 30⋅4+30=150 (B1) Nxënësit duhet të zbulojnë rolin e njëjtë të numrave 200 dhe 30 përkatësisht në barazimet (B) dhe (B1), dhe të kalojnë nga barazimi (B1) në ekuacionin (E1), duke zëvendësuar numrin 30 me ndryshoren a, e cila ka vlerën 30. 4a+a=150 (E1) Më pas mbetet që në ekuacionin (E1) të shtohet kushti përkatës i problemës (P1), d.m.th., të kalohet nga të shkruarit simbolik, në shprehjen me fjalë: “Beni bleu një libër dhe një fletore. Libri kushtoi 4 herë më shumë se fletorja. Beni pagoi gjithsej 150 lekë. Sa lekë kushtoi libri e sa lekë fletorja?” Praktika e të mësuarit, e cila trajton krahasimin e proceseve të hartimit dhe zgjidhjes së problemës, tregon se me një metodikë të tillë nxënësit kanë mundësi që shumë më shpejt të zgjidhin jo vetëm problemat “e programit”por edhe ato “jashtë programit”. Aftësia për të zgjidhur problemat dhe ajo për t’i hartuar ato janë të ndryshme. Nga e para nuk rrjedh apriori e dyta; por nga e dyta hapen mundësi për të parën! Gjithsesi kjo le të mbetet një alternativë! Ja edhe një shembull tjetër: Për një zotërim të thellë të konceptit “ekuacion”, rezultojnë të domosdoshëm ushtrime me sintezën e ekuacioneve me zgjidhje të caktuara, madje ekuacione të tillë që duhet të zgjidhen së bashku me ushtrime të tjerë analitikë, duke qenë pjesë përbërëse organike e tyre. Në këtë mënyrë nxënësit arrijnë të përftojnë ekuacionin nga identiteti. Një nga pyetjet më të vështira në metodikën e algjebrës është njohja e nxënësve me ekuacione, të cilët nuk kanë zgjidhje. Metodika ekzistuese u krijon nxënësve një situatë të papëlqyeshme; nxënësit e kanë të vështirë të kuptojnë arsyen përse nga dy ekuacione me strukturë të njëjtë, njeri prej tyre ka zgjidhje, ndërsa tjetri jo. Të kuptuarit e thelbit të kësaj pyetje arrihet me anën e hartimit të ekuacioneve me veti të dhënë. Mësuesi ka mundësi t’u tregojë nxënësve qartë e kuptueshëm se si mund të hartohen ekuacione, të cilët nuk kanë zgjidhje.

MATEMATIKA 8

85

P.sh., hartojmë ekuacione të cilët pas transformimeve na çojnë në barazimin jo të vërtetë (3=4). Në këtë raport bazohet vargu i transformimeve logjikisht të vërteta: 1. 3+x=4+x 2. (3+x) ·2=8+2x 3. (3+x) ·2=9+3x-x-1

(3 + x) ⋅ 2 9 + 3 x − x − 1 = 3 3 x +1 (3 + x) ⋅ 2 5. etj. = 3+ x − 3 3 4.

Të gjithë ekuacionet e përftuar në këtë mënyrë (1)-(5) janë të një vlefshëm (asnjeri prej tyre nuk ka zgjidhje). Nxënësit zgjidhin ekuacionin e fundit, të hartuar dhe binden që ai me të vërtetë të shpie në barazimin fillestar (3=4) Mjaft i rëndësishëm është edukimi i nxënësve me shprehjet “kontradiktor”dhe “jo kontradiktor”. Kjo gjë ka të bëjë shumë, e lidhet drejtpërdrejt me ekuacionin e fuqisë së parë me një ndryshore. Shpjegim mjaft i mirë mund të bëhet me anën e skemave të mëposhtme: (Fig. 2 dhe 3) Ekuacioni i fuqisë së parë ax+b=0

(b=0)

b#0

Jo kontradiktor a=0

a=0 Kontradiktor 0 . x+1=0

a#0 I përcaktuar 5 .x=0

I papërcaktuar 0 . x=0

a#0 I përcaktuar 3x+5=0

Fig. 2 Ekuacioni i fuqisë së parë ax+b=0

a≠0.

a=0

I përcaktuar

b=0 I papërcaktuar 0 x=0

b≠0 Kontradiktor 0 x+3=0

Fig. 3

b=0 I përcaktuar 3 x=0

b≠0 I papërcaktuar 3 x+5=0

86


Me këto skema i jepet përgjigje kësaj probleme, sido që të jetë ekuacioni. Në këtë mënyrë, duke studiuar ekuacionet e fuqisë së parë, është e udhës të gjenden ekuacione të tillë që të shpien: Në kontradiksion

Në papërcaktueshmëri

2x-8=x+x-5

2x-8=x+x-9+1

2x-2x=8-5

2x-2x=8-9+1

(2-2) ⋅x=3

(2-2)⋅x=0

0⋅x=3

0⋅x=0

Ekuacioni i fundit nuk ka zgjidhje. Rrjedhimisht ekuacioni i dhënë nuk ka zgjidhje.

Ekuacioni i fundit ka një numër të pafundmë zgjidhjesh. Rrjedhimisht ekuacioni i dhënë është i papërcaktuar.

II.11.Testet e arritjeve të nxënësve për kapituj të veçantë në lëndën e matematikës Testet janë instrumente matëse, që në fushën e arsimit shërbejnë për matjen e arritjeve dhe të qëndrimeve. Në enciklopedinë “The International Encyclopedia of Education”testi përcaktohet pikërisht si një instrument matës që përdoret për vlerësimin e të nxënit të nxënësve, për vlerësimin e kurrikulave, programeve, metodave të mësimdhënies, faktorëve organizativë etj. Sot përdoren rreth 20 tipa testesh: * teste të arritjeve * teste të aftësive * teste të prirjeve * teste të inteligjencës * teste të qëndrimeve * teste të forcës dhe të shpejtësisë etj. Ky klasifikim i testeve bëhet sipas vlefshmërisë së tyre (d.m.th., çfarë ata matin, përse shërbejnë).

MATEMATIKA 8

87

Testet e arritjeve janë teste që përdoren gjerësisht në sistemet arsimore të botës, për të vlerësuar rezultatet e mësimdhënies dhe të nxënit të nxënësve. Ato i shërbejnë si vlerësimit formues ashtu dhe atij diagnostikues dhe vlerësimit përmbledhës. Vlerësimi formal kalon nëpërmjet testimit duke filluar nga testet e thjeshtë (që i harton vetë mësuesi) deri tek testet e standardizuara. Në këto të fundit procedurat e administrimit udhëzimet e ndryshme që e shoqërojnë testin, mjetet (nëse do të përdoren), sistemi i pikëzimit dhe ai i konvertimit të pikëve në nota janë përzgjedhur prej hartuesit në mënyrë që ato të mund të administrohen dhe të korrigjohen njëlloj nga ekzaminues të ndryshëm në vende dhe në kohë të ndryshme. Këto teste duhet të ruajnë fshehtësinë deri në çastin e administrimit. Testet mund të jenë me shkrim ose teste zbatuese (të cilat të matin se ç’është në gjendje të bëjë nxënësi praktikisht); ato mund të vlerësojnë veprimtari konjitive, afektive ose psikomotore. Testet e arritjes janë instrumente kryesore për vlerësimin e të nxënit dhe matjen e efektivitetit të mësimdhënies; ato i shërbejnë vjeljes së informacionit për të gjykuar rreth arritjeve të një nxënësi në një drejtim të caktuar. Këto teste, kur hartohen mirë dhe përdoren si duhet dhe kur duhet, shërbejnë për të siguruar të dhëna objektive, që duke u kombinuar edhe me përshtypjet subjektive të mësuesit, mundësojnë arritjen e një vlerësimi më të plotë të nxënësve. Më poshtë shtjellohen njohuritë kryesore të domosdoshme për hartimin nga vetë mësuesi të testeve në lëndën e matematikës dhe kryesisht të testeve që vlerësojnë arritjet e nxënësve për një kapitull të lëndës. Vëmë në dukje që hartimi edhe i testeve të tilla është një punë jo e lehtë; mjeshtëria për realizimin e saj nuk zotërohet thjeshtë me marrjen e disa njohurive bazë dhe as me njohjen me një numër sado të madh shembujsh; është i nevojshëm një të ushtruar i mirë dhe një punë kryesisht në grup nga vetë mësuesit. Gjatë ndërtimit të testeve të arritjes për një kapitull të lëndës mësuesi i matematikës duhet të zbatojë disa parime të njohura: • Numri i pyetjeve në teste varet nga ajo çfarë do të testohet. • Është mirë që testet të mos hartohen me pyetje të shumë llojeve të ndryshme; në matematikë nuk rekomandohet përdorimi i pyetjeve ese, por i pyetjeve të strukturuara dhe i pyetjeve me përgjigje të shkurtër. • Pyetjet në test është mirë të radhiten sipas shkallës së vështirësisë së tyre. • Numri i pyetjeve të testit varet edhe nga koha në dispozicion; për një kapitull kjo kohë mesatarisht duhet të jetë 45 minuta (ndonëse për ciklin e ulët mund të jetë edhe 25-30 minuta dhe për vitet e fundit të shkollës së mesme edhe 60-90 minuta).

88


• Gjatë hartimit të një testi është shumë e rëndësishme vlefshmëria e pyetjeve të tij (d.m.th., garantimi i asaj që testi në tërësi duhet të vlerësojë ato koncepte, njohuri, aftësi e shprehi që ne i kemi vënë vetes si qëllim të kontrollojmë). 1. Hapi i parë për ndërtimin e testit do të jetë përcaktimi i listës së çështjeve që do të testohen me peshën përkatëse (% e pikëve që do të zënë secila çështje në test). 2. Hapi i dytë është përcaktimi i taksonomisë konjitive që do të përdoret (zbatohet) në test. Është e njohur gjerësisht taksonomia që përfshin këtë hierarki të niveleve: 1. Njohja 2. Të kuptuarit 3. Zbatimi 4. Analiza 5. Sinteza 6. Vlerësimi Në testet e hartuara nga I.E.A (International Association for the Evaluation of Educational Achievement) dhe të zbatuara gjatë studimit TIMSS në 45 vende të botës, është parapëlqyer një ndarje disi më e ndryshme në nivele: 1. Njohje 2. Përdorimi i procedurave rutinë 3. Hetim i situatës problemore 4. Arsyetim matematik 5. Komunikim Në testet e hartuara vitet e fundit nga A.V.A. janë mbajtur parasysh 3 nivele: • Për ciklin fillor të shkollës nëntëvjeçare: 1. Njohja dhe të kuptuarit 2. Zbatimi 3. Zbatimi në situatë të re. • Për ciklin e lartë të shkollës nëntëvjeçare dhe për gjimnazin: 1. Njohja dhe të kuptuarit 2. Zbatim dhe arsyetim 3. Zbatim në situatë të re (zgjidhje problemore dhe arsyetim). Shpërndarja e pyetjeve (pikëve) sipas këtyre niveleve është bërë afërsisht në raportet 2 : 2 : 1 (ose 40% : 40% : 20%).

MATEMATIKA 8

89

Në taksonominë e reduktuar të Blumit (me 3 nivele) niveli i parë (njohje dhe të kuptuar) përfshin pyetje ku kërkohet që nxënësi të zbatojë një procedurë rutinë, mjaft të ushtruar në klasë. P.sh. zgjidhja e një ekuacioni të thjeshtë është në fund të fundit një veprimtari ku nxënësi duhet vetëm të tregojë se e ka kuptuar programin e zgjidhjes së këtij tipi ekuacioni dhe di ta zbatojë atë saktë në situata të thjeshta. Por edhe në ushtrime të këtij niveli autorët po futin elemente të një veprimtarie disi komplekse, ku nxënësit disa herë i duhet ta “zhveshë’’ problemën nga pjesët matematike. P.sh. për të testuar ndryshesën ndërmjet numrave me shenjë (cikli i lartë i nëntëvjeçares) mund të shtrohet një kërkesë: “Gjej ndryshesën ndërmjet numrave 11 dhe -5”, por do të ishte më e pëlqyeshme që ajo të formulohet ndryshe: “Ndryshimi më i madh i temperaturës në Tiranë është shënuar në një ditë të muajit prill kur temperatura ndryshoi nga -5 në 11 gradë. Sa gradë ndryshoi temperatura?” Për hartimin e pyetjeve të nivelit të parë në testet e arritjeve për një kapitull në lëndën e matematikës, mësuesi paraprakisht duhet të ketë të qartë objektivat mësimore minimale për përvetësimin nga nxënësit të këtij kapitulli (këto nxirren nga studimi i standardeve të arritjes dhe standardeve të përmbajtjes, në rast se ato ekzistojnë, ose në bazë të udhëzimeve që jep programi). Niveli i dytë: Arsyetim dhe zbatim, përfshin pyetje ku nxënësit nuk i mjafton të kujtojë procedura rutinë, as të imitojë zgjidhje standarde. Ai duhet të ndjehet para një situate më komplekse, të cilën, sidoqoftë mund ta zgjidhë duke kombinuar njohuritë që disponon. P.sh., mësuesi sapo ka zhvilluar në klasë problemin (cikli i lartë i tetëvjeçares); “Në një trekëndësh dybrinjënjëshëm masa e këndit në kulm është 400. Gjej masën e këndeve të tjerë të trekëndëshit”dhe e ka përforcuar mirë atë. Atëherë në qoftë se ky problem përfshihet në test, por me një ndryshim të masës së këndit në kulm, i takon nivelit të parë. (sepse nxënësi vetëm duhet të ndjekë një procedurë që ia kanë dhënë të gatshme). Përkundrazi, në qoftë se po ky problem jepet në një test në fund të vitit ose shumë orë më pas, kur skema e zgjidhjes tanimë është harruar, atëherë i takon nivelit të dytë. Niveli i parë mund të karakterizohet si niveli i përgatitjes së detyruar. Ai fikson atë minimum të domosdoshëm që duhet të arrijnë të gjithë nxënësit dhe përcakton kufirin më të ulët të lejuar të rezultateve në përgatitjen matematike. Në standardet e arritjes (që janë përpunuar në disa vende) ai karakterizohet nga dhënia e shembujve të ushtrimeve që konceptohen pa mëdyshje nga kushdo që është i lidhur me procesin mësimor. Niveli i dytë fikson ato mundësi në përvetësimin e kursit të matematikës që është e detyruar t’u ofrojë shkolla. Ai karakterizon ato rezultate drejt të cilëve mund të synojnë dhe po të kenë dëshirë t’i arrijnë nxënësit që mësojnë kursin e formimit të përgjithshëm. Arritja e tij duhet të sigurohet nga përmbajtja e teksteve dhe cilësia përkatëse e mësimdhënies. Ky hap përfundon me hartimin e një tabele me dy hyrje (për çështjet mësimore dhe nivelet e taksonomisë konjitive). Hartimi i një testi të plotë ka ngjashmëri me ndërtimin e një godine të re: në fillim ndërtohet kërkesa e testit dhe më pas bëhet mbushja e saj. Projekti më i thjeshtë i një

90


testi paraqitet me anën e një tabele, rreshtat e së cilës evidentojnë çështjet mësimore që do të testohen, ndërsa shtyllat taksonominë e përdorur. 3. Përcaktimi i llojit të pyetjeve që do të përdoren në test është një element tjetër shumë i rëndësishëm. Në testet e arritjeve për kapituj të veçantë në lëndën e matematikës zakonisht nuk përdoren pyetjet-ese të pastrukturuara (ose me fund të hapur). Është e vërtetë që nëpërmjet këtyre pyetjeve mund të vlerësohen aftësitë e larta individuale të nxënësve (ato të analizës, sintezës, përgjithësimit, thellësisë së mendimit, etj.). Por, gjatë përgjigjes nxënësit shpenzojnë për to një kohë relativisht të madhe për një fushë relativisht të ngushtë të njohurive që kontrollon çdo pyetje e tillë. Gjithashtu edhe pikëzimi i përgjigjeve për to është i vështirë dhe subjektiv. Në mësimdhënien e sotme, strukturimi i informacionit që jepet dhe strukturimi i pyetjeve gjatë vlerësimit me teste janë kërkesa të pranuara gjerësisht. Strukturimi i një situate (zbërthimi i saj në elemente përbërëse) ka të bëjë me karakteristikat kryesore që meritojnë të studiohen. Shkalla me të cilën mësuesit do të zbërthejnë një situatë varet nga natyra dhe kompleksiteti i saj, nga niveli i të mësuarit dhe aftësitë individuale të nxënësve. Kur situata është shumë komplekse dhe aftësitë nuk janë të larta, duhet të rritet shkalla e strukturimit. Nga ana tjetër, lloji i situatës në të cilën nxënësi ndodhet kur vlerësohet nuk duhet të jetë krejtësisht i ndryshëm prej asaj në të cilën ai ka qenë gjatë të mësuarit. Një nga funksionet e pyetjeve të strukturuara është që ta mundësojnë këtë afrim, pra lidhjen ndërmjet mësimdhënies, të mësuarit dhe vlerësimit të arritjes. Në një pyetje të strukturuar nxënësit i kërkohet të njihet me informacionin që jepet në trungun e përbashkët të pyetjeve dhe më pas t’i përgjigjet një sërë pyetjesh, që lidhen me përmbajtjen e këtij trungu dhe që testojnë në mënyrë progresive njohuritë e nxënësit rreth çështjes. Si rregull niveli i vështirësisë së këtyre pyetjeve vjen duke u rritur. Pyetjet duhet të jenë të pavarura nga njëra tjetra dhe përgjigja e saktë për një pyetje nuk duhet të varet nga përgjigja e saktë e pyetjes paraardhëse. Kur kjo nuk është e mundur të realizohet (p.sh. në pyetjet e strukturuara që kërkojnë llogaritje), atëherë gabimi që rrjedh prej përgjigjes së gabuar në pyetjen e mëparshme nuk duhet të merret në konsideratë në pikëzimin e përgjithshëm. Shpesh strukturimi i një pyetjeje e ndan atë në disa pjesë që janë të niveleve të ndryshme. Një lloj pyetjesh që rekomandohet të përdoren për testet e kapitujve në matematikë janë pyetje me përgjigje të shkurtër, formulimi i të cilave kërkon një përgjigje të përcaktuar e të përpiktë. Këto pyetje kërkojnë nga 1 deri në 5 minuta kohë për t’u lexuar e për t’u përgjigjur. Këtu hyjnë pyetje në të cilat nxënësit i kërkohet të bëjë një figurë, të kryejë një njehsim, të paraqesë shkurt një argumentim, të plotësojë një pohim etj. Këto lloj pyetje kërkojnë më shumë se një miratim të thjeshtë apo një kujtesë mekanike. Ka më pak mundësi që nxënësit ta gjejnë përgjigjen me hamendje në krahasim me pyetjet me zgjedhje të shumëfishtë; ato pikëzohen me më shumë objektivitet se sa pyetjet ese.

MATEMATIKA 8

91

Megjithatë edhe këto lloj pyetjesh kanë si mangësi se mund të mos nxjerrin në pah aftësitë e plota të nxënësve dhe mund të mos zbulojnë dobësitë që nxënësit mund të kenë në këtë kapitull. Një lloj tjetër pyetjesh që duhet të zënë vend në testet për një kapitull në lëndën e matematikës janë edhe pyetjet objektive me zgjedhje të shumëfishtë. Siç dihet një pyetje është objektive nëse është formuluar në mënyrë të tillë që të merret një përgjigje e saktë, e vetme dhe e paracaktuar. Këto lloj pyetjesh e shmangin në shkallë të lartë subjektivitetin në pikëzim. Një pyetje objektive me zgjedhje të shumëfishtë përbëhet nga dy pjesë: • Nga trungu dhe përgjigjet ndër të cilat dallohet përgjigja çelës (përgjigja e vetme e saktë) • Përgjigjet hutuese Këto pyetje krijojnë mundësi që të mbulohet vlerësimi i një pjese të madhe të lëndës; ato mund të pikëzohen dhe korrigjohem më lehtë, mund të hartohen për çdo nivel të aftësive të nxënësve dhe për përgjigjen e tyre shpenzohet një kohë e shkurtër. Ato kanë mangësi se prej nxënësve kërkohet thjeshtë një akt miratimi dhe sjelljeje ndërmend, në to nuk përfshihen kërkesa dhe arsyetime e shpjegime dhe ekziston mundësia që nëpërmjet përgjigjes me hamendje nxënësit të arrijnë një rezultat më të lartë nga ai që zotërojnë realisht. Në teste që hartohen me pyetje të llojeve të ndryshme rekomandohet që pyetjet të grupohen sipas llojit të tyre p.sh. ato me zgjedhje të shumëfishtë bashkë etj. Zgjedhja e llojit të pyetjeve që do të përdoren në test është mirë të bëhet në përputhje me aparatin pedagogjik të teksteve ekzistuese, pra të bëhen lloje të tilla pyetjesh me formën e të cilave nxënësit janë familjarizuar. 4. Përcaktimi paraprak i kohëzgjatjes së testimit bëhet duke mbajtur parasysh që si rregull në pyetjet me zgjedhje të shumëfishtë për çdo pyetje (1 pikë) llogariten 60 sekonda; për pyetjet e tjera për çdo pikë të dhënë llogariten 90 sekonda. Koha për përgjigjen e testit në tërësi përcaktohet paraprakisht, duke mbajtur parasysh moshën e nxënësve, nivelin e shprehive të fituara nga nxënësit, shmangien e kopjimit prej tyre etj. Nëse gjatë testimit do të lejohet përdorimi i mjeteve si p.sh., makinë llogaritëse etj, kjo duhet të përcaktohet më parë dhe të jepen në fletën e testit udhëzimet sa dhe si do të përcaktohen këto mjete. Pyetjet duhet të jenë me një nivel të përshtatshëm vështirësie (kufiri i përshtatshëm është që 20% - 80% e nxënësve t’i përgjigjen saktë pyetjes).

92


5. Hartimi i testit të plotë 6. Akordimi i pikëve dhe i notës

Akordimi i pikëve për përgjigjet e sakta të pyetjeve të një testi është një moment i rëndësishëm dhe me mjaft përgjegjësi. Ai duhet të sigurojë zvogëlimin në minimum të subjektivitetit në vlerësimin e nxënësve dhe të krijojë mundësinë për krahasimin e dijeve të nxënësve. Sistemi i pikëzimit që përdoret më shumë është ai që quhet analitik. Dy nga elementet bazë të këtij sistemi janë: • Caktimi i pikëve për çështjen që testohet • Skema e pikëzimit (ku jepen kriteret e shpërndarjes së pikëve që janë akorduar për çështjen që do të testohet, duke patur parasysh për bazë përgjigjen e saktë që duhet të jepet për këtë çështje). Konvertimi i pikëve në notë zakonisht bazohet në vënien e notës në përputhje me përqindjet e përgjigjeve të sakta (P.P.S). Sipas këtij sistemi pasi përcaktohet përqindja e pikëve që do të shërbejnë si kufi i poshtëm i mjaftueshëm për kalimin e nxënësve (rekomandohet që ky kufi të jetë rreth 25%), caktohen intervalet e pikëve që duhet të marrin nxënësit për secilën prej notave 4-10. Shembull: Supozojmë që maksimumi i pikëve që mund të merret në një test të hartuar është 30 pikë. Atëherë kemi këtë skemë konvertimi të pikëve në nota: Për kufirin e përqindjes maksimale të notës pakaluese (24%) përcaktojmë numrin maksimal të pikëve (30x24% =7,2 ≈7 pikë). Pra 7 pikë është kufiri maksimal i pikëve për të cilin nxënësi nuk merr notë kaluese (pra merr notën 4). Pikët e mbetura 30-7=23 duhet të ndahen në 6 intervale (për t’u konvertuar me notat 5, 6, 7, 8, 9, 10). Kemi 23:6≈4 ose 23 = 5⋅ 4 + 3. Kështu çdo interval përbëhet nga 4 pikë me përjashtim të intervalit të fundit që do të përbëhet nga tre pikë. Kështu që konvertimi i pikëve në notë do të bëhet si më poshtë: Nota

Intervalet e pikëve

4 5 6 7

0-7 8-11 12-15 16-19

8

20-23

9

24-27

10

28-30

MATEMATIKA 8

93

Test për kreun “Ekuacione dhe inekuacione me një ndryshore” “Matematika 8” Koha: 45 minuta

1. Zgjidhni ekuacionin 2x-5=3 në bashkësinë E={-1, 2, 3, 4}. 2. A janë të njëvlershëm ekuacionet. a) 2x+x=5 dhe 3x=5; b)

x−3 = x − 1 dhe x-3=2x-1. 2

(2 pikë)

(2 pikë)

3. Zgjidhni ekuacionin. a) x2-5x+6=0; b) -2x2+5x-2=0. 4. Zgjidhni ekuacionin në lidhje me ndryshoren e treguar. a) y=3x-6 (në lidhje me x); b) S=6a2 (në lidhje me a, kur S>0 dhe a>0). 5. Zgjidhni inekuacionin. a) 2x-4>6; b) -2x+5>3 në Q; në N. 6. Zgjidhni ekuacionin (2x-1)(3x-1)-6x(x-5)=0. 7. Zgjidhni ekuacionin

x = x+5

.

(2 pikë) (2 pikë) (1 pikë) (1 pikë) (1 pikë) (2 pikë) (3 pikë) (4 pikë)

8. A mund t’i vendosim 158 mollë në tre shporta, në mënyrë që tek shporta e parë të ketë 5 mollë më pak se tek e dyta dhe 5 mollë më shumë se tek e treta? (4 pikë) 9. Zgjidhni ekuacionin x3-x=0. (3 pikë) 10. A ka zgjidhje inekuacioni x2-6x+9<0. (3 pikë)

Konvertimi i pikëve në nota: Nota Pikë

4 ≤7

5 8-11

6 12-15

7 16-19

8 20-23

9 24-27

10 28-30

94


Argumentimi i tekstit Çështjet kryesore të përmbajtjes me peshat e tyre

1. Shndërrime të njëvlershme të ekuacioneve me një ndryshore. 2. Ekuacioni i fuqisë së parë me një ndryshore në situata të ndryshme. 3. Ekuacione me ndryshore në emërues. 4. Ekuacioni i fuqisë së dytë me një ndryshore në situata të ndryshme. 5. Veçimi i një shkronje në një formulë. 6. Zgjidhja e inekuacionit të fuqisë së parë me një ndryshore.

17% 20% 13% 23% 7% 20%

Shpërndarja e pikëve sipas niveleve dhe çështjeve Çështja/niveli Çështja I Çështja II Çështja III Çështja IV Çështja V Çështja VI Gjithësej

Niveli I 2(a,b); 2 pikë 1; 2 pikë 3(a); 2 pikë 3(b);1 pikë 4(a,b); 2 pikë 5(a.b); 3 pikë 12 pikë

Niveli II

Niveli III 9; 3 pikë

8; 4 pikë 7; 4 pikë 3(b); 1 pikë 6; 3 pikë 12 pikë

Gjithsej 5 pikë 6 pikë 4 pikë 7 pikë

10; 3 pikë 6 pikë

2 pikë 6 pikë 30 pikë

Shkathtësitë minimale

Në përfundim të kapitullit nxënësit duhet të jenë në gjendje që: -të përcaktojnë direkt nëse një numër i dhënë është rrënjë e një ekuacioni me një ndryshore; -të zgjidhin në bashkësinë Q ekuacione të trajtës ax+b=cx+d; -të zbatojnë teoremat mbi shndërrimet e njëvlershme të ekuacioneve me një ndryshore në raste të thjeshta; -të zbatojnë teoremat mbi shndërrimet e njëvlershme të inekuacioneve me një ndryshore në raste të thjeshta; -të zgjidhin me anë të formulave për rrënjët ekuacione të trajtës ax2+bx+c=0 me koeficientë të plotë, kur a>0; -të veçojnë njërën nga shkronjat në formulat ax+by=c apo y=ax2 ; -të zgjidhin në Q inekuacione të trajtës ax+b>cx+d

`

II.12. Qëndrimi ndaj matematikës

12.1 Për një qëndrim pozitiv dhe përfshirës ndaj orës së mësimit të matematikës

Ora e mësimit është njësia më e vogël kohore e procesit mësimor. Organizimi e menaxhimi i saj kanë ndikim të drejtpërdrejtë në procesin mësimor. Të nxënit është i lidhur me

MATEMATIKA 8

95

qëndrimin e nxënësit ndaj lëndës që fillon që nga qëndrimi i tij ndaj orës së mësimit. Në mësimin e matematikës kjo e fundit është e pandarë nga veprimtaritë që bëhen në klasë. Mësuesit përpiqen që nxënësit të kenë një qëndrim pozitiv ndaj orës së matematikës, e të ndjejnë kënaqësi. Kjo e lehtëson mjaft punën dhe bashkëpunimin ndërmjet mësuesit dhe nxënësve. Duke e parë problemin në këtë këndvështrim, po përmendim disa faktorë që ndikojnë pozitivisht: Së pari, siç përmendëm më sipër, kënaqësia që fitohet nga zgjidhja e problemave; Së dyti, do të ishte mjedisi i krijuar, sepse një mjedis me nxënës dashamirës ndaj matematikës, ndikon pozitivisht ndaj kujtdo që bëhet pjesë e atij mjedisi; Së treti, vlen të përmendim edhe veprimtaritë, të cilat bazohen në mendimin e pavarur dhe zgjedhjen e lirë në të cilat, nga përvojat, është vënë re që nxënësit kënaqen dhe përfshihen tërësisht; Së katërti, sensi i humorit të mësuesit është një tjetër faktor që e bën mësimin të këndshëm dhe që nuk mund të lihet pa u përmendur. Nga përvojat e mësuesve dhe nga biseda të ndryshme të bëra me nxënës po theksojmë disa sugjerime për mësuesit e matematikës: • Përpiquni të bëni diçka të re në orën e mësimit; • Përdorni lojën si mjet didaktik; • I vini nxënësit të bëjnë veprimtari praktike në funksion të konceptit përkatës; • Zbatoni metodën e vrojtimit për të arritur në përfundimet që doni; • Përdorni shpesh punën në grupe, sepse nxënësit ndjejnë kënaqësi duke dëgjuar mendimet e idetë e njëri-tjetrit; • U ofroni nxënësve zgjidhje të fjalëkryqeve, rebuseve gjithnjë në funksion të objektivit mësimor; • Përdorni garën midis grupeve si formë nxitëse dhe zbavitëse; • Gjatë seancave me zgjidhje problemash, diskutoni me nxënësit, ose i vini nxënësit të diskutojnë ndërmjet tyre për zgjidhjet e propozuara. Secili mësues, gjatë përdorimit të sugjerimeve të mësipërme, sjell individualitetin e tij si në zgjedhjen që bën, ashtu edhe në mënyrën se si i zbaton ato në orën e mësimit. Duhet të synohet që qëndrimi pozitiv ndaj një ore mësimi të matematikës të mos mbetet një dukuri e veçuar. Duke e shpërndarë atë edhe në orë të tjera, inkurajojmë dashamirësinë ndaj lëndës së matematikës në tërësi.

12.2 Jo vetëm kënaqësi, por edhe interes Në çështjen e mësipërme trajtuam kënaqësinë që mund të ndjejë nxënësi në orën e matematikës dhe, në përgjithësi, duke nxënë matematikën. Megjithatë, ndërsa kënaqësia është e rëndësishme, akoma më e rëndësishme është të inkurajohet interesi për matematikën. Në një orë matematike, nxënësi mund të ndjejë kënaqësi nga ndonjë prej arsyeve të mësipërme, por mund të ndodhë që kjo të jetë e përkohshme. Ajo për të cilën duhet të përpiqemi, si mësues, është që nxënësi të merret me dëshirë me matematikën, për të arritur qëllimin që i ka vënë vetes. Mjetet dhe mënyrat për të arritur këtë qëllim janë një sintezë e atyre të përmendura në çështjet e mësipërme.

96


12.3 Nxënësi mund të vetë nxitet duke u ndërgjegjësuar për ecurinë e tij Çdo njeri duhet të jetë i përgjegjshëm për veten e tij. Shkolla duhet të luajë rolin e saj në këtë drejtim. Në veçanti mësuesi i matematikës, nëpërmjet procesit mësimor, duhet të synojë të ndërgjegjësojë nxënësit që të kuptojnë ecurinë tyre në matematikë. Disa sugjerime për këtë qëllim do të ishin: • U jepni paraprakisht përgjigjen e detyrës, në mënyrë që ata të kenë mundësi të kontrollojnë veten; • Lërini, madje inkurajoni nxënësit të konsultohen me shokun; • Aplikoni lojërat me shumë pjesëmarrës, sepse nëse veprimet e secilit do të jenë të varura nga ato të të tjerëve, rritet shkalla e ndërgjegjësimit; • Jepni detyra, në të cilat kuptohet lehtë nëse përgjigja është e gabuar, si p.sh., fjalëkryqet; • I vini nxënësit të hartojnë problema dhe tua japin shokëve për zgjidhje.

12.4 Të njohin dobinë e matematikës për të kuptuar botën që na rrethon Të njihesh me zbatimet e matematikës në botën që na rrethon është e rëndësishme, jo vetëm për të kuptuar dukuri të ndryshme të saj, por edhe për të pranuar faktin që matematika i shërben një qëllimi të caktuar. Për të njohur nxënësit me zbatimet e matematikës mund të përdoren një sërë mënyrash, si p.sh., të përshkruhen zbatimet e temës, e cila po trajtohet teorikisht; t’u jepen nxënësve detyra praktike me karakter zbatues, të bisedohet me nxënësit rreth programeve të ndryshme televizive që përdorin zbatimet matematike.

12.5 Kënaqësia estetike Shpesh matematikanët, kur diskutojnë ndërmjet tyre, përmendin kënaqësinë estetike që u jep matematika. Është një cilësi e matematikës që nuk mbetet privilegj vetëm i matematikanëve, por mund të futet edhe në mendjet e nxënësve nëpërmjet një trajtimi adekuat të matematikës shkollore. Kënaqësi estetike jep një rezultat i papritur. P.sh., pas gjetjes në planin koordinativ të pikave që u korrespondojnë disa çifteve të numrave, bashkimi i tyre herë formon vijë të drejtë, herë të lakuar e herë figura të ndryshme në trajtë të rregullt ose jo, por të paparashikuara nga nxënësit. Ata mezi presin ta kryejnë detyrën deri në fund. Ndërtimi i figurave gjeometrike, i modeleve pas zbulimit të ligjësive, konstruktimi i trupave gjeometrikë, ndërtimet stereometrike janë detyra që nxënësi i kryen me dëshirë dhe që e kënaqin atë estetikisht.

MATEMATIKA 8

97

Se çfarë mendon nxënësi për një lëndë është faktor tepër i rëndësishëm në përvetësimin e lëndës. Nëse nxënësi e pëlqen matematikën, ai do ta mësojë atë dhe nuk do t’i duket e vështirë. Pra, ta bëjmë të tillë! Në këndvështrimin e një qëndrimi standard ndaj matematikës, është e dëshirueshme që ne të përpiqemi që nxënësi të zotërojë një qëndrim dashamirës ndaj matematikës, e jo vetëm ndaj mësuesit. Vërtet mësuesi, si mësimdhënës apo si person mund ta afektojë një nxënës në mënyrë të favorshme. Nga kjo gjë ka kryesisht pasoja pozitive për trinomin: matematikë, mësues, nxënës. I vetmi rrezik qëndron në faktin që nxënësi mund të jetë i motivuar vetëm sepse i pëlqen mësuesi dhe standardi i tij i punës. Kështu, ai mund të bjerë me shpejtësi, nëse e ndërron mësuesin që i pëlqen me një mësues që nuk i pëlqen. Së fundi, nuk do të ishte e tepërt të kërkonim edhe përmirësimin e qëndrimit të vetë mësuesit ndaj lëndës së matematikës, sepse ai është një model që nxënësi përpiqet ta imitojë. Entuziazmi i mësuesit për lëndën, kënaqësia e tij për t’u marrë me të (që reflektohet në arritje të larta si mësimdhënës), vlerësimi që ai i bën vlerave utilitare të matematikës, kanë impakte pozitive edhe në qëndrimin e nxënësit ndaj matematikës e jo vetëm si lëndë shkollore.

98


III.

UDHËZIME PËR ZHVILLIMIN E MËSIMEVE

KREU I. THYESAT DHE NUMRAT DHJETORË Mësimi 1.1. THYESAT DHE NUMRAT DHJETORË Kuptime: Thyesa, numri dhjetor.

Veti: Numri dhjetor si rast i veçantë i thyesave. Metoda: Zbatimi dhe argumentimi i vetive nëpërmjet zgjidhjes së ushtrimeve. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: • Të krahasojnë dy thyesa (me emërues të njëjtë e me emërues të ndryshëm). • Të krahasojnë dy numra dhjetorë. • Të krahasojnë thyesa me numra dhjetorë. • Të gjejnë vlerën e një shprehje që përmban veprime me thyesa dhe numra dhjetorë.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit

Kjo orë mësimi nuk përmban njohuri të reja. Nëpërmjet zgjidhjes së ushtrimeve rikujtohen njohuritë për thyesat dhe numrat dhjetorë që janë trajtuar në klasat e mëparshme. Gjatë zgjidhjes së ushtrimeve duhen theksuar këto momente. • Thyesat krahasohen ndërmjet tyre duke i kthyer në emërues të njëjtë. • Thyesat krahasohen me numrat dhjetorë duke i kthyer tek njeri-tjetri (ose numrat dhjetorë kthehen në thyesa, ose thyesat kthehen në numra dhjetorë). • Në gjetjen e vlerës së shprehjes që përmban thyesa dhe numra dhjetorë ndiqen rigorozisht rendi i veprimeve (në fillim brenda kllapave). Gjithashtu kryhen më parë veprimet e shumëzimit e pjesëtimit (sipas radhës që janë shkruar) e më pas mbledhja e zbritja (gjithashtu sipas radhës që janë shkruar). Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 2 , 3.

Mësimi 1.2 NUMRA DHJETORË PERIODIKË Kuptime: Numri dhjetor periodik. Veti: Numri dhjetor periodik si numër racional. Metoda: Nëpërmjet shembujve përpunohet algoritmi i kthimit të numrit dhjetor periodik m në thyesa të trajtës . n të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: Shkathtësi: Në mbarim

MATEMATIKA 8

99

• Me anën e pjesëtimit, të kthejnë thyesat në numra dhjetorë periodikë. m • Të kthejnë numrat dhjetorë periodikë në thyesa të trajtës . (Në rastet kur perioda ka n deri në dy shifra)


Në klasën e shtatë nxënësit janë njohur me ekzistencën e numrave dhjetorë periodikë dhe gjithashtu me faktin që këtë numra bëjnë pjesë në bashkësinë e numrave racionalë Q. Është e udhës që me anë e disa shembujve (njëri prej tyre është trajtuar në tekst) të kthehen disa thyesa në numra dhjetorë (periodikë ose jo). Më pas kalohet në algoritmin m e kthimit të numrave dhjetorë periodikë në thyesa të trajtës . Fillimisht kjo realizohet n me numra dhjetorë periodikë me periodë prej një shifre (në tekst është marrë numri 2,77...). Është e rëndësishme që ushtrimet të zgjidhen me pjesëmarrjen e nxënësve. Vetëm pasi të përvetësohet mirë ky algoritëm mund të kalohet në shembullin e dytë. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1; 2; 3/a,b,c; 4.

Mësimi 1.3 PËRQINDJA Kuptime: Përqindja Veti: Përqindja si rast i veçantë i thyesës dhe numrit dhjetor. Metoda: Nëpërmjet shembujve realizohet gjetja e përqindjes kur jepet numri dhe gjetja e numrit kur jepet përqindja. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje. • Të gjejnë përqindjen e një numri. • Të gjejnë numrin kur jepet përqindja e tij. • Të përdorin përqindjen për krahasimin e madhësive të ndryshme. • Të përdorin përqindjen për zgjidhjen e problemave.


Përqindja është një rast i veçantë i thyesave dhjetore (thyesa me emërues 100). Është kjo arsyeja që përqindjet kanë të gjitha vetitë e thyesave dhjetore. Trajtimi i tyre nuk kërkon njohuri teorike plotësuese. Nga ana tjetër, për arsye të përdorimeve të gjera në shkollë e në jetë, është e rëndësishme që përqindjet duhen përvetësuar shumë mirë. Rekomandojmë që mësimi të zhvillohet siç është paraqitur në tekst. Fillimisht të punohen shembujt 1 dhe 2 dhe më pas problemi. Paraprakisht duhet theksuar fakti që krahasimi i raporteve është më lehtë të bëhet duke futur përqindjet.

100


Ushtrimet e ndryshme me përqindje janë të vlefshme edhe për përsëritjen e ushtrimeve përkatëse me thyesat. Është e këshillueshme që në orën e mësimit të zgjidhet edhe ndonjë nga problemet e përfshira në të. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1/a,b,c; 2/a,b; 3.

Mësimi 1.4

USHTRIME

Qëllimi i kësaj ore mësimi është risistemimi i njohurive për thyesat, numrat dhjetorë e përqindjet si edhe të veprimeve me to. Është e rëndësishme që nxënësit të përvetësojnë mirë faktin që thyesat, numrat dhjetorë dhe përqindjet janë trajta të ndryshme të paraqitjes së të njejtit numër racional. Për këtë arsye është i mundur gjithmonë kalimi nga njëra trajtë në tjetrën. Mësuesi duhet të ngulë këmbë që ky kalim të realizohet saktë nga të gjithë nxënësit. Rekomandojmë që ora e mësimit të zhvillohet sipas ecurisë të tekstit. Është e mundur gjithashtu puna me grupe, ku grupe të ndryshëm të realizojnë kalimet nga njëra trajtë në tjetrën e më pas të bëhet ballafaqimi i tyre. Shumë i rëndësishëm është problemi i zgjidhur, ku vihet në dukje se rritja e çmimit me një përqindje të caktuar dhe më pas ulja e tij me të njëjtën përqindje, nuk të shpie në çmimin fillestar. Theksojmë se mund të arrihet në një përvetësim të saktë të llogaritjeve me përqindje dhe zgjidhje të ndërgjegjshme të problemave, vetëm në qoftë se janë përvetësuar mirë thyesat, numrat dhjetorë dhe problemet që lidhen me to. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 2/a-d ; 3/a-d

Mësimi 1.5 INTERESI BANKAR Kuptime: Interesi bankar; kapitali (sasia e lekëve të depozituar). Fitimi. Veti: Varësia ndërmjet kapitalit, interesit dhe fitimit. Metoda: Nëpërmjet zgjidhjes së shembujve praktikë nxirren përfundime lidhur me veprime të thjeshta financiare. Shkathtësi: Në përfundim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: • Të llogaritin një nga madhësitë e panjohura që bëjnë pjesë në problemet financiare në banka.


Futja e kuptimit të përqindjes historikisht ka lindur e është realizuar pikërisht nga problemet e financave. Më pas është zgjeruar përdorimi i saj edhe në fusha të tjera. Rekomandojmë që mësimi të zhvillohet sipas ecurisë së tekstit. Në problemin e parë kërkohet llogaritja e fitimit kur jepet kapitali dhe përqindja. Në problemin e dytë duhet llogaritur kapitali kur jepet përqindja dhe fitimi. Një problem

MATEMATIKA 8

101

tjetër që mund e duhet të trajtohet është ai kur jepet kapitali dhe fitimi dhe duhet gjendur përqindja përkatëse. 100% a  Të gjithë këta probleme zgjidhen duke u bazuar në matricën   ku p është  p% x  100 a përqindja, a është kapitali dhe x është fitimi. Që këtej del formula p = x . Në të bëjnë pjesë tri madhësi të panjohura: a; p dhe x. Me dhënien e dy prej tyre gjendët e treta. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1/a,b

KREU II

BASHKËSITË

Mësimi 2.1 KUPTIMI I BASHKËSISË

Kuptime: Bashkësia; elementet e bashkësisë; diagrama e Ven-it; bashkësia boshe. Veti: Përkatësia e elementeve në lidhje me një bashkësi. Simbolet ∈ dhe ∉. Metoda: Paraqitja e bashkësive në trajta të ndryshme (me emërtim; përshkrim, diagramë të Ven-it). Shkathtësi: Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: • Të japin kuptimin e bashkësisë nëpërmjet shembujve; • Për një bashkësi të dhënë të dallojnë nëse një objekt është apo jo element i saj. • Të japin shembuj bashkësish me emërtim, përshkrim dhe diagramë të Ven-it. • Të gjejnë numrin elementeve të një bashkësie të fundme. • Të kalojnë nga njëra mënyrë e dhënies së bashkësive në mënyra të tjera.


Me konceptin e bashkësive nxënësit janë njohur në klasat e mëparshme. Duhet të bëhet e qartë për ta se koncepti i bashkësisë nuk përkufizohet, por sqarohet nëpërmjet shembujsh. (grumbull, tufë; grup etj). Është shumë i rëndësishëm fakti që ekzistenca e bashkësive presupozon që për çdo objekt të thuhet qartë nëse bën apo nuk bën pjesë në këtë bashkësi. Nëpërmjet aktivizimit të nxënësve mund të dallohen mënyrat e ndryshme të paraqitjes së bashkësive (me emërtim, përshkrim dhe diagramë të Ven-it). Rekomandojmë që të gjithë ushtrimet e kësaj ore mësimi të trajtohen nga nxënësit (në klasë ose në shtëpi) Gjithashtu mund të kërkohet prej nxënësve edhe të japin shembuj bashkësish duke theksuar përkatësinë e elementeve të saj.

102


Mësimi 2.2 BASHKËSIA dhe ndryshorja Kuptime: Ndryshorja; vlerat e ndryshores në një bashkësi të dhënë; mjedisi dhe cilësia karakteristike (dalluese). Barazimi i bashkësive; nënbashkësia e një bashkësie. Veti: Kuptimi i shënimit A={x∈A/...} ku x merr vlera nga bashkësia A (x nuk është element i bashkësisë A). Përfshirja si koncept në përkufizimin e bashkësive dhe nënbashkësisë së një bashkësie. Metoda: Përkufizimi dhe ilustrimi me shembuj. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: • Të paraqesin bashkësi të ndryshme duke futur kuptimin e ndryshores; • Të dallojnë mjedisin dhe cilësinë karakteristike për bashkësi të dhëna. • Të përkufizojnë nënbashkësinë e një bashkësie. • Të japin vetë shembuj bashkësish të barabarta dhe nënbashkësi të një bashkësie të dhënë.


Momenti i parë i rëndësishëm i kësaj ore mësimi është futja e ndryshores për përcaktimin e një bashkësie si një domosdoshmëri për të paraqitur bashkësi të veçanta. Duhet theksuar p.sh., që në shënimin e shembullit 1, M={x∈N/x ≤ 5}, vetë x nuk është element i bashkësisë M, por ai merr vlera nga bashkësia M. Në kuptimin e barazimit të bashkësive duhet theksuar se në bashkësi të tilla nuk ka rëndësi renditja e elementeve, por vetëm fakti që ato kanë të njëjtat elemente, pra çdo element i bashkësisë së parë është element i bashkësisë së dytë dhe anasjellas. Për të përvetësuar mirë kuptimin e nënbashkësisë së një bashkësie është e udhës që vetë nxënësit të gjejnë sa më shumë nënbashkësi të bashkësive të dhëna; gjithashtu rekomandojmë të rikujtohen me nxënësit bashkësitë N, Z dhe Q. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1/a,b,c; 2/a,b,c; 3/a,b,c,d.

Mësimi 2.3 PRERJA E BASHKËSIVE Kuptime: Elementet e përbashkëta të dy bashkësive. Prerja e dy bashkësive. Veti: x ∈ (A∩B) ⇒ x∈A ∧ x∈B; (A∩B) =F kur A dhe B nuk kanë asnjë element të përbashkët; (A∩B) =A kur A ⊂ B. Metoda: Nëpërmjet shembujsh bashkësish të ndryshme arrihet fillimisht në kuptimin e elementeve të përbashkëta dhe më pas në atë të prerjes së dy bashkësive. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: • Të japin shembuj bashkësish të cilat kanë ose nuk kanë elemente të përbashkëta. • Të dallojnë elementet e përbashkëta në dy bashkësi të dhëna në mënyra të ndryshme. • Të gjejnë prerjen e dy bashkësive të dhëna në mënyra të ndryshme.

MATEMATIKA 8

103


Rekomandojmë të ndiqet ecuria e propozuar në tekst. Për këtë arsye mësimi të zhvillohet me libër të hapur. Pas shembujve 1 dhe 2 mund të trajtohen shembuj të tjerë të krijuar nga vetë nxënësit. Për këtë qëllim të inkurajohen mendimet e tyre edhe sikur në fillim të ketë pasaktësi. Gjithashtu të jepen ushtrime për gjetjen e prerjes së bashkësive të dhëna me diagram të Ven-it. Duhet theksuar edhe rasti kur prerja e dy bashkësive është bashkësi boshe. (Bashkësitë nuk kanë elemente të përbashkëta). Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 2, 3. Ushtrimi 8 mund të jepet si detyrë shtëpie dhe në mësimin e ardhshëm të trajtohet në klasë. Zgjidhja e tij realizohet thjeshtë me anën e diagramave të Ven-it.

Mësimi 2.4

BASHKIMI I BASHKËSIVE

Kuptime: Bashkimi i dy bashkësive (A∪B). Veti: x ∈ (A∪B) ⇒ x∈A ∨ x∈B; Bashkimi i dy bashkësive A dhe B është bashkësia në të cilën bëjnë pjesë elemente të A (të cilat nuk janë elemente të B); elementet e B (të cilat nuk janë elemente të A) dhe elementet e përbashkëta të bashkësive A dhe B. Metoda: Nëpërmjet shembujsh konkretë arrihet në përkufizimin e bashkimit të dy bashkësive Shkathtësi: Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjejnë bashkimin e dy bashkësive të dhëna në mënyra të ndryshme. • Të dallojnë bashkimin e dy bashkësive nga prerja e tyre. • Të japin shembuj bashkësish të cilat kanë ose nuk kanë elemente të përbashkëta dhe të gjejnë bashkimin e tyre.


Edhe kjo orë mësimi të zhvillohet me libër hapur dhe sipas ecurisë së përcaktuar në tekst. Është e rëndësishme që të vihet në dukje gjetja konkretisht e bashkimit të dy bashkësive. Për këte fillimisht në bashkësinë (A∪B) futen të gjithë elementet e bashkësisë A dhe pastaj duke i kontrolluar një nga një (kur kjo është e mundur) shkruhen elementet e bashkësisë B, të cilët nuk janë elemente të A. Gjithashtu të ushtrohen nxënësit në gjetjen e bashkimit të dy bashkësive të dhëna me diagrama të Ven-it. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1; 4 dhe 5.

104


Mësimi 2.5 BASHKËSITË NUMERIKE Kuptime: Bashkësia e numrave natyrorë (N); Bashkësia e numrave të plotë (Z); bashkësia e numrave racionalë (Q). Veti: Përfshirja N⊂Z⊂Q e ilustruar me diagrama të Ven-it. (Fig. 2.7 në tekst) Metoda: Përkufizimi i bashkësive N, Z dhe Q me anë shembujsh duke inkurajuar mendimet e nxënësve. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: • Të përkufizojnë (me emërtim) bashkësitë N, Z dhe Q. • Të formulojnë dhe zbatojnë në ushtrime përfshirjen N⊂Z⊂Q • Të japin shembuj numrash që bëjnë pjesë në njërën ose disa prej bashkësive N, Z, Q.


Në këtë orë mësimi përsëriten fillimisht bashkësitë N, Z dhe Q, të cilat njihen prej nxënësve nga klasat e mëparshme. Fakti që N⊂Z⊂Q të dalë nga vetë nxënësit (me anë shembujsh) të inkurajuar nga mësuesi. Mësimi të zhvillohet me libër hapur duke inkurajuar mendimet e nxënësve dhe duke bërë ilustrime të shumta me anë shembujsh. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1,2 dhe 4.

Mësimi 2.6 BOSHTI NUMERIK Kuptime: Boshti numerik. Origjina e boshtit. Vlera absolute e numrit. Numrat e kundërt. Veti: Përkatësia e pikave të boshtit numerik me numrat racionalë. Vlera absolute e numrit si largesë e pikës përkatëse nga origjina e boshtit. Shuma e numrave të kundërt. Metoda: Përsëritje e kuptimit të boshtit, i cili njihet nga vitet e mëparshme. Përkufizimi i vlerës absolute të numrit dhe ilustrimi me shembuj. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjejnë në bosht pikat që u korrespondojnë numrave të ndryshëm racionalë. • Të gjejnë numrat racionalë që u korrespondojnë pikave të dhëna në bosht. • Të formulojnë vlerën absolute të numrit si largesë të tij nga origjina e koordinatave • Të përkufizojnë numrat e kundërt me anën e vlerës absolute. • Të gjejnë vlerën absolute të numrave të dhënë.


Pjesa e parë e kësaj ore mësimi është përsëritje e njohurive të trajtuara në klasën e shtatë. Por asaj i duhet kushtuar vëmendje e veçantë, prandaj rekomandojmë që të fillohet menjëherë me këtë çështje. Të trajtohen me kujdes ushtrimi 1 dhe shembujt 1 dhe 2 të tekstit.

MATEMATIKA 8

105

Më pas kalohet në kuptimin e vlerës absolute të numrit duke theksuar faktin që a ≥ 0 . Po këtu të vihen në dukje që numrat e kundërt (të cilët njihen nga klasa e shtatë) kanë vlera absolute të barabarta (sepse kanë të njëjtën largesë nga origjina e boshtit). Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 2,. 4/a.

Mësimi 2.7 USHTRIME Qëllimi i kësaj ore mësimi është të sistemojë njohuritë e kreut duke i përgatitur nxënësit për testimin . Në shembullin 1 të trajtuar arrihet në konkluzionin e rëndësishëm për mënyrën e gjetjes së largesës ndërmjet dy pikave në boshtin numerik. Gjithashtu duhet trajtuar detyrimisht shembulli 2, i cili bën fjalë për dendurinë e numrave racionalë (ndërmjet çdo dy numrave racionalë ndodhet një numër i pafundmë numrash racionalë). Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1,2,5,6.

KREU III. HYRJE NË GJEOMETRI Mësimi 3.1.

PIKA, DREJTËZA, SEGMENTI

Kuptime: Pika, drejtëza, plani, segmenti. Relacionet e incidencës dhe të radhitjes. Veti: 3 veti themelore (aksioma) që kanë të bëjnë me incidencën dhe radhitjen. Metoda: Induksioni Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë incidencën e një pikë në një drejtëz. • Të dallojnë radhitjen e tri pikave në një drejtëz. • Të ndërtojnë e të shënojnë saktë segmentin me skaje të dhëna. • Të zbatojnë, në raste direkte, tri veti themelore të drejtëzës.


Në klasën e tetë fillon trajtimi sistematik i njohurive gjeometrike, duke u bazuar në konceptet themelore dhe aksiomat. Vetë termat “kuptim themelor”dhe “aksiomë”nuk duhet të përmenden në këtë orë mësimi. Trajtimi i materialit sistemon njohuri gjeometrike, të marra nga klasat e mëparshme. Kujdes duhet të tregohet në përdorimin e saktë të simbolikës, sidomos në shënimin e segmentit. Në këtë njësi mësimore përmenden kuptime të shumta, mjaft prej të cilave janë koncepte

106


themelore. Për asnjë nga kuptimet (edhe për ato të përkufizueshmet) nuk duhet të jepet dhe as të kërkohet përkufizimi, duke shmangur formulimin e pyetjeve në trajtën “Ç’quhet”….? Është shumë i rëndësishëm fakti që nxënësit duhet t’i kuptojnë figurat gjeometrike si bashkësi pikash. Mësimi mund të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin e materialit në tekst. Frutdhënëse është metoda e bisedës. Ushtrimet që janë vënë në tekst, në materialin teorik, janë pjesë përbërëse e këtij materiali. Zgjidhja e tyre është e domosdoshme për përvetësimin e tij, prandaj ajo duhet të kryhet në klasë, duke organizuar punë me grupe. Në rubrikën e veçantë “Ushtrime”, të konsiderohen si ushtrime të nivelit minimal ato me numrat 1, 2, 3, 5, 6.

Mësimi 3.2.

GJYSMËDREJTËZA, GJYSMËPLANI, KËNDI

Kuptime: Gjysmëdrejtëza, gjysmëdrejtëza plotësuese, këndi, këndi i shtrirë. Veti: Vetia themelore (aksioma) mbi ndarjen e planit në dy gjysmëplane prej një drejtëze. Metoda: Induksioni Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të lexojnë e të shënojnë saktë gjysmëdrejtëzat dhe këndet. • Të dallojnë këndin e shtrirë. • Të dallojnë gjysmëdrejtëzën plotësuese të një gjysmëdrejtëze të dhënë.


Kjo njësi mësimore përmban një numër të konsiderueshëm konceptesh, prandaj shtjellimit të materialit i duhet kushtuar gjithë koha në dispozicion. Mësimi mund të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur paraqitjen e dhënë në tekst. Ndonëse kuptimi i gjysmëdrejtëzës jepet saktë (është dhënë me korsive përkufizimi), nuk duhet të kërkohet shprehja e tij me fjalë nga nxënësit. Por është me rëndësi që nxënësit të dallojnë dy gjysmëdrejtëzat (plotësuese të njëra-tjetrës), që përcaktohen në drejtëz me dhënien e një pike dhe t’i shënojnë saktë ato. Dalja në kuptimin e gjysmëplanit dhe evidentimi i vetisë themelore (aksiomës) që lidhet me të, bëhet në mënyrë induktive, me shembuj. Duhet të punohet me klasën ushtrimi vijues në materialin teorik, duke organizuar punë me grupe. Kujdes i veçantë duhet treguar për dhënien e kuptimit të këndit. Këndi nuk është përkufizuar si pjesë plani, por si figurë gjeometrike, e përbërë nga dy gjysmëdrejtëza, që kanë të njëjtën origjinë. Përvoja e mësimdhënies ka treguar se shënimi dhe leximi i këndit nëpërmjet tri pikave, nga të cilat ajo e mesit është kulmi, është problematik për mjaft nxënës, prandaj duhet trajtuar me kujdes, duke lënë kohën e mjaftueshme, e duke punuar disa ushtrime në klasë.

MATEMATIKA 8

107

Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ato me numrat 1, 2, 3, 5, 6.

Mësimi 3.3. KËNDEVE

KONGRUENCA E SEGMENTEVE DHE

Kuptime: Figura kongruente; mesi i segmentit; përgjysmorja e këndit Veti: Dy veti themelore (V-VI) lidhur me ndërtimin e segmentit (këndit) kongruent me një segment (kënd) të dhënë. Metoda: Ndërtime gjeometrike me vizore e kompas. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë nëse dy figura janë kongruente, duke i mbivendosur ato. • Të ndërtojnë segment kongruent me një segment të dhënë. • Të ndërtojnë kënd kongruent me një kënd të dhënë. • Të gjejnë mesin e një segmenti. • Të ndërtojnë përgjysmoren e një këndi. (Të gjitha ndërtimet të kryhen me vizore dhe me kompas).


Edhe trajtimit të materialit, të vendosur në këtë njësi mësimore, i duhet kushtuar gjithë ora e mësimit. Kuptimi i kongruencës është kuptim shumë i rëndësishëm. Të shfrytëzohen njohuritë mbi të që nxënësit zotërojnë nga klasat e mëparshme, sepse kështu mund të ekonomizohet koha. P.sh., mund të bëhet vetëm përshkrimi i veprimtarisë për mbivendosjen e figurave, sepse veprimtari të tilla nxënësit kanë kryer në klasën e shtatë. Vëmendja të përqendrohet në sqarimin e dy vetive themelore (aksiomave), që kanë të bëjnë me ndërtimin e segmentit kongruent me një segment të dhënë e me ndërtimin e një këndi kongruent me një kënd të dhënë. Të kryhen praktikisht ndërtime të tilla, që rezultojnë në rikujtesën dhe sistemimin e shkathtësive, të fituara në klasën e shtatë. Nxënësit të punojnë, në mënyrë të pavarur apo me grupe, për gjetjen e mesit të një segmenti të dhënë dhe për ndërtimin e përgjysmores së një këndi të dhënë (duke përdorur vizoren dhe kompasin). Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ato me numrat 1, 3, 5.

108


Mësimi 3.4. MATJA E SEGMENTEVE (GJATËSIA E SEGMENTIT) Kuptime: Segmenti njësi. Gjatësia e segmentit Veti: Vetia themelore (aksioma VI) lidhur me matjen e segmenteve. Metoda: Metoda e krahasimit. Metrika e segmenteve. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të kryejnë matjen e gjatësisë së segmentit me vizore të shkallëzuar. • Të përdorin, në raste direkte apo të thjeshta, vetinë themelore për matjen e segmenteve.


Nxënësit dinë, qysh në klasat më të ulëta, të kryejnë matjen e gjatësisë së segmentit me vizore të shkallëzuar. Megjithatë, deri këtu, ata nuk e kanë të qartë, se matja e segmenteve bazohet në krahasimin e tyre me një segment të marrë si njësi matje. Në këtë mësim ata kuptojnë se gjatësia e segmentit është një numër pozitiv, që tregon sa herë përmbahet segmenti njësi (apo nënfishat e tij) në segmentin që matet. Përmbajtja e vetisë themelore VI (aksiomës) sqarohet nëpërmjet shembujve. E rëndësishme është që nxënësit të ushtrohen në zbatime të drejtpërdrejta apo të thjeshta të saj, si nëpërmjet zgjidhjes së ushtrimeve të vendosura në materialin teorik (në klasë) apo nëpërmjet atyre të rubrikës “Ushtrime”, që mësuesi do të japë për detyrën e shtëpisë. Është e rëndësishme që nxënësit të kuptojnë dallimin midis shënimit [AB] (segmenti si objekt gjeometrik) dhe shënimit AB (gjatësia e segmentit, numër pozitiv). Është e rëndësishme që nxënësit të kuptojnë qartë e të fiksojnë në kujtesë që: a) dy segmente kongruente kanë gjatësi të barabarta; b) dy segmente me gjatësi të barabarta janë kongruentë. Njëvlershmëria e shënimeve [AB]=[CD] dhe AB=CD do të përdoret gjerësisht në shtjellimin e mëtejshëm të kursit. Ndër ushtrimet e rubrikës “Ushtrime”, si të nivelit minimal mund të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3, 5.

Mësimi 3.5. MATJA E KËNDEVE. KËNDET SHTUES Kuptime: Masa e këndit. Këndi i drejtë. Kënde të bashkëmbështetur Veti: Një veti themelore (aksiomë) VII, lidhur me matjen e këndeve me njësi matje gradën. Metoda: Metoda e krahasimit. Metrika e këndeve

MATEMATIKA 8

109

Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjejnë masën në gradë të një këndi me anë të raportorit. • Të zbatojnë, në raste direkte e të thjeshta, vetinë themelore (VII) për matjen e këndeve në gradë. • Të dallojnë në figura të thjeshta kënde të bashkëmbështetur. • Të përdorin, në raste të thjeshta, faktin që shuma e masave të këndeve të bashkëmbështetur është 1800 .


Mësimi është i ndarë në dy pjesë kryesore: matja e këndeve dhe këndet e bashkëmbështetur (dhe një veti e masave të tyre). Materiali ka ngarkesë jo të paktë vëllimore e konceptuale, prandaj trajtimit të tij i duhet kushtuar gjithë ora e mësimit, duke hequr dorë nga format tradicionale të kontrollit të dijes me nxënës të ngritur në tabelë. Ndonëse nxënësit dinë, qysh prej klasave të mëparshme, të gjejnë masën në gradë të një këndi të dhënë, me anë të raportorit, është pikërisht këtu që ata qartësojnë thelbin e procesit të matjes së këndeve (si krahasim me një kënd të dhënë, të marrë si njësi) dhe kuptimin e masës së këndit (numër që tregon sa herë njësia e matjes apo nënfishat e saj përmbahen në këtë kënd). Tërheqim vëmendjen në dy fakte: 1. Këndi 10 përcaktohet si kënd kongruent me

1 e këndit të shtrirë. 180

2. Këndi i drejtë përcaktohet si kënd me masë 900 . Përmbajtja e vetisë themelore VII (aksiomës) sqarohet nëpërmjet shembujsh. Ata mund të shoqërohen me të tjerë shembuj apo ushtrime gjysmë të zgjidhura, të përzgjedhur nga vetë mësuesi. Nxënësve duhet t’u qartësohen e t’u fiksohen në kujtesë dy fakte: a) Kënde kongruentë kanë masa të barabarta; b) Kënde me masa të barabarta janë kongruentë. Të këmbëngulet në përdorimin e saktë të shënimit për masën e këndit (objekt gjeometrik!) dhe . Në kuptimin e këndeve të bashkëmbështetur dilet nga shqyrtimi i një shembulli konkret. Mësuesi të vërtetojë shkurt, si në tekst, që shuma e masave të dy këndeve të bashkëmbështetur është 1800 . (Në orët pasuese riprodhimi i vërtetimit mund të kërkohet vetëm nga nxënësit e niveleve II-III). Të punohet në klasë me punë të pavarur individuale apo me grupe ushtrimi që pason. Në rubrikën “Ushtrime”, si të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 6.

110


Mësimi 3.6. PËRKUFIZIMI. AKSIOMA. TEOREMA Kuptime: Përkufizimi. Kuptime themelore. Aksioma. Teorema Veti: 7 vetitë themelore të shqyrtuara në mësimet e këtij kreu. Metoda: Arsyetimi Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë, ndër kuptimet e njohura, ato që janë kuptime themelore. • Të dallojnë, ndër fjalitë e njohura, ato që janë teorema. • Të dallojnë, ndër teoremat e njohura, kushtin dhe përfundimin.


Në këtë njësi mësimore sqarohen kuptime shumë të rëndësishme të kursit shkollor të matematikës. Nxënësit duhet të kuptojnë qartë, se të japësh përkufizimin e një kuptimi (jo themelor) do të thotë të japësh një përcaktim të qartë të tij, nëpërmjet kuptimeve të njohura që më parë. Veç shembullit të dhënë në tekst (për përkufizimin e kuptimit të këndeve të bashkëmbështetur), është mirë të trajtohen edhe shembuj të tjerë, të përzgjedhur nga mësuesi. Nxënësit duhet të fiksojnë në kujtesë faktin që kuptimet pikë, drejtëz, plan, bashkësi janë kuptime themelore. Kuptimi i aksiomës dhe teoremës është dhënë mbi bazën e kuptimit të “fjalisë matematike”, që mendohet i qartë për nxënësin nga përvoja matematike e shkollore e tij. Mësuesi të sqarojë se kërkesa për të vërtetuar fjali, nëpërmjet fjalish të njohura qysh më parë, nënkupton njohjen aprori të disa fjalive fillestare si të vërteta. Ka rëndësi të shmanget përcaktimi i gabuar që ndihet shpesh. “Aksiomë quhet fjalia matematike që nuk ka nevojë për vërtetim”. Nxënësit duhet të përdorin saktë formulimin “Aksiomë quhet fjalia matematike, vërtetësia e të cilës pranohet pa vërtetim”. Ata duhet të kuptojnë faktin që brendia e kuptimeve themelore sqarohet nëpërmjet aksiomave. Kuptimi i teoremës të jepet thjesht, si në tekst, si fjali matematike, për vërtetësinë e të cilës bindemi me anë të vërtetimit (d.m.th., me anë të arsyetimit, duke u bazuar në ligjet e logjikës dhe në teoremat e njohura më parë, gjatë kursit). Shembulli i dhënë në tekst, për dallimin e kushtit e të përfundimit në një teoremë të thjeshtë, të njohur, është mirë të pasurohet me të tjerë shembuj apo ushtrime gjysmë të zgjidhura, të përzgjedhur nga mësuesi. Për nxënësit e mirë mund të shtrohen kërkesa për riformulimin e teoremave të thjeshta, të njohura në trajtën standard “nëse ndodh p, atëherë ndodh q”. Në rubrikën “Ushtrime”, si të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3, 4.

MATEMATIKA 8

Mësimi 3.7. PINGULE

111

KËNDE TË KUNDËRT NË KULM. DREJTËZA

Kuptime: Kënde të kundërt në kulm. Drejtëza pingule. Veti: Dy kënde të kundërt në kulm janë kongruentë. Dy drejtëza pingule me një të tretë, nuk priten. Metoda: Metoda e vërtetimit “nga e kundërta” Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin kongruencën e dy këndeve të kundërt në kulm, në raste të thjeshta. • Të ndërtojnë pingulen me një drejtëz të dhënë, nga një pikë e dhënë. • Të përdorin, në raste të thjeshta, faktin që dy drejtëza pingule me një të tretë, nuk priten. • Të përdorin, në raste shumë të thjeshta, mënyrën e vërtetimit “nga e kundërta”.


Me kuptimin e këndeve të kundërt në kulm dhe teoremën për kongruencën e tyre, nxënësit janë njohur në klasën e shtatë. Prandaj mësuesi mund t’u japë nxënësve, qysh në orën e mëparshme, detyrën për t’i përsëritur këto njohuri në shtëpi. Kjo krijon mundësi që të përqëndrohet puna në materialin që faktikisht është i ri. Në këtë temë dhe në temat pasuese nis të specifikohet dhënia e përkufizimeve të kuptimeve të reja (objekte apo relacione). Përkufizimet e thjeshta duhen kërkuar të formulohen saktë nga nxënësit. Të përqendrohet vëmendja tek përkufizimi i dy drejtëzave pingule, që duhet dhënë siç është në tekst. Shpesh ky përkufizim jepet jo saktë e ndodh që krijohet edhe rreth vicioz me kuptimin e këndit të drejtë. Vërtetimi i teoremës mbi mosprerjen e dy drejtëzave pingule me një të tretë nuk është i thjeshtë për nxënësit. Nuk duhet kërkuar riprodhimi i vërtetimit. Vlera e vërtetimit, të paraqitur në tekst, qëndron në ilustrimin e metodës që përdoret për të bërë këtë vërtetim (metoda e vërtetimit nga e kundërta). Mësuesi të përqendrohet në sqarimin e thelbit të kësaj metode, duke trajtuar edhe ndonjë shembull tjetër të thjeshtë, të përzgjedhur prej tij. Në rubrikën “Ushtrime”, si të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1, 3, 6.

112


KREU 4 FUQITË Mësimi 4.1 FUQIA E NUMRIT

Kuptime: Fuqia. Baza . Eksponenti. Fuqitë e numrit 10. Veti: am ⋅ a  ⋅ a ⋅⋅⋅a ; a m ⋅ a n = a m + n ; n = a m − n (a ≠ 0; m > n); a n = a a n herë a an (a m ) n =a mn ; (a ⋅ b) n =a n ⋅ b n ; ( ) n = n b b

;

Fuqia me eksponent tek e një numri negativ është numër negativ. Fuqia me eksponent çift e një numri negativ është numër pozitiv. Metoda: Përsëritje. Ushtrime. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përkufizojnë fuqinë e n-të të një numri; • Të zbatojnë në ushtrime vetitë 1-5 të fuqive; • Të gjejnë fuqitë me eksponentë natyrorë të numrit 10.


Kjo orë mësimi nuk përfshin njohuri të reja. Është shumë e rëndësishme që të rikujtohet përkufizimi i fuqisë me eksponent natyror si edhe vetitë e fuqive. Kjo të realizohet nëpërmjet ushtrimeve dhe shembujve të trajtuara në tekst. Mësuesi të ngulë këmbë që nxënësit të përvetësojnë faktin lidhur me fuqitë me eksponent tek (çift) të numrave negativë. Shumë i rëndësishëm është ushtrimi 2 (në rubrikën ushtrime), për të cilin rekomandojmë të trajtohet në klasë me nxënësit. Pyetjet a-d të tij të trajtohen pasi të jetë plotësuar tabela, pra konkluzionet të nxirren në mënyrë induktive dhe më pas ata të përgjithësohen. Ushtrimet e tjerë të jepen si detyrë shtëpie.

Mësimi 4.2 FUQIA ME EKSPONENT ZERO. FUQIA ME EKSPONENT NEGATIV Kuptime: Veti:

Fuqia me eksponent zero. Fuqia me eksponent të plotë negativ.

0 n a= 1; a −=

1 an

(a ≠ 0; n ∈ N )

MATEMATIKA 8

113

Metoda: Induksion. Marrëveshje. Përgjithësim. Zbatim në ushtrime. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përkufizojnë kuptimet a0 dhe a-n mbi bazën e marrëveshjes. • Të zbatojnë këtë marrëveshje për llogaritjen e vlerave a0 dhe a-n për a≠0.


Mësimi të zhvillohet me libër hapur. Fillimisht, mësuesi të shpjegojë domosdoshmërinë e futjes së kuptimit të fuqisë me eksponent zero dhe eksponent negativ. 1 Më pas duhet qartësuar mirë që kuptimet = a 0 1;= a−n janë marrëveshje dhe jo n a vërtetime. Të trajtohen edhe ushtrimet e tekstit, në mënyrë që nxënësit të aftësohen për të bërë kalimet nga eksponenti negativ në thyesë dhe anasjellas, nga thyesa në eksponent negativ. 1 1 −3 = (P. sh., 3 5= dhe x −4 etj.) 5 x4 Ushtrimet e kësaj ore mësimi janë relativisht të thjeshtë dhe rekomandojmë që ato të trajtohen të gjithë (në klasë apo në shtëpi).

Mësimi 4.3 VEPRIME ME FUQITË Në këtë orë mësimi nuk trajtohen njohuri të reja. Rekomandojmë që fillimisht t’u shpjegohen nxënësve që vetitë 1-5 të fuqive, janë të vërteta edhe në rastin e eksponentit negativ apo zero. (mund të vërtetohet vetëm vetia 4, siç është trajtuar në tekst). Jemi të mendimit që nxënësve vetëm t’u thuhet që edhe vetitë e tjera kanë vend, pa pretenduar vërtetimin e tyre. Është e rëndësishme që nxënësit t’i zbatojnë këto veti dhe jo t’i formulojnë. Shembujt 3, 4 dhe 5 të tekstit kanë të bëjnë pikërisht me zbatimin e këtyre vetive. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1 dhe 2.

Mësimi 4.4 SHKRIMI SHKENCOR I NUMRIT Kuptime: Shkrimi shkencor i numrit. Forma standarde. Veti: Çdo numër N∈Q, mund të shkruhet në trajtën N=a⋅10m ku 1≤ a ≤10 dhe m∈Z. Metoda: Induksion. Zbatim në ushtrime. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të shkruajnë disa numra të veçantë (shumë të mëdhenj apo shumë të vegjël) në trajtë standarde.

114



Qëllimi i kësaj ore mësimi është të aftësojë nxënësit që të paraqesin disa numra të veçantë në trajtën a⋅10n (të ashtuquajtur trajtë standarde). Bëhet fjalë për numra që përdoren kryesisht në lëndë të tjera si kimi, fizikë, biologji, gjeografi etj. (p.sh., është praktike që masa e atomit të hidrogjenit të shkruhet në trajtën 1,7⋅10-24, ndërkohë që ta shkruash atë në trajtën e zakonshme do duheshin 23 zero). Nuk ka kuptim të shtrohet problemi i paraqitjes në trajtë standarde të numrave si 12; 158; 57,3 etj.

Mësimi 4.5

USHTRIME

Qëllimi i kësaj ore mësimi është të sistemohen njohuritë e mësimeve 1.1- 1.4 të këtij kreu, lidhur me fuqitë dhe veprimet me to. Veç shembujve 1 dhe 2 të tekstit, në varësi të kushteve të klasës, mësuesi të gjykojë e vendosë edhe për trajtimin e ushtrimeve të tjerë të paraqitur në rubrikën e ushtrimeve të kësaj ore mësimi. Shumë i rëndësishëm është ushtrimi 3 për krahasimin e fuqive me eksponentë të ndryshëm në rastet kur baza është më e madhe apo më e vogël se 1.

Mësimi 4.6

RRËNJA KATRORE

Kuptime: Rrënja katrore e numrit. Numrat racionalë dhe irracionalë. Vlerat e përafërta.


Futja e kuptimit të rrënjës katrore të numrit, rekomandojmë të bëhet bazuar në shembullin 1 të trajtuar në tekst. Është e rëndësishme që nxënësit të qartësohen e të përvetësojnë faktin që rrënjët katrore të shumë numrave ( si p.sh., 2; 23; 74 etj.) janë numra me të cilët nuk jemi ndeshur më parë (numra irracionalë). Nga ana tjetër rrënjët katrore të disa numrave janë numra racionalë 25 5 ( p.sh., = 9 3;= etj.) 49 7 . Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 2 dhe 3.

MATEMATIKA 8

115

Mësimi 4.7-4.8 MAKINA LLOGARITËSE Në realizimin e këtyre orëve të mësimit, nxënësit duhen porositur të sjellin makina llogaritëse (të paktën të ketë 1 makinë për 2-3 nxënës). Në përgjithësi nxënësit e klasës së tetë janë njohur me makinën llogaritëse dhe dinë ta përdorin atë. Për këtë arsye rekomandojmë që të jepen ushtrime për gjetjen e vlerës numerike të shprehjeve të ndryshme. Këtu mund të organizohet punë në grupe, ku grupet t’i japin ushtrime njeri- tjetrit (sidomos në orën e dytë me këtë tematikë). Për këto mund të përdoren ushtrimet e tekstit apo edhe ushtrime të tjerë.

Kreu V: KONGRUENCA E TREKËNDËSHAVE Mësimi 5.1. RASTI I PARË I KONGRUENCËS SË TREKËNDËSHAVE Kuptime: Trekëndësha kongruentë Veti: Rasti i parë i kongruencës së trekëndëshave Metoda: Metoda e vërtetimit me sintezë Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë në trekëndësha kongruentë brinjët (këndet) përkatësisht kongruente. • Të përdorin rastin e parë të kongruencës së trekëndëshave në situata të thjeshta matematikore.


Duke evokuar kongruencën e njohur të figurave, mësuesi të përqendrohet në dy momente: • Në trekëndësha kongruentë, brinjët (këndet) janë dy nga dy kongruente. • Në trekëndësha kongruentë, përballë brinjëve (këndeve) kongruente ndodhen kënde (brinjë) kongruentë. Për formimin lëndor të nxënësve është me rëndësi të evidentohet fakti që kongruenca e trekëndëshave, në shumë situata, mund të konstatohet (dhe të përdoret), duke matur e krahasuar vetëm disa elemente të tyre. Ushtrimi i vendosur para teoremës, për rastin e parë të kongruencës, duhet të punohet detyrimisht në klasë, sepse ai synon që të krijojë tek nxënësit një hamendje të caktuar dhe në drejtimin e duhur. Vërtetimi i teoremës mund të bëhet në tabelë nga mësuesi. Për t’i mësuar nxënësit të punojnë me librin, mund të kërkohet prej tyre më pas që të lexojnë në tekst vërtetimin e dhënë aty, si edhe zgjidhjen e paraqitur për shembullin pasues. Më tej, mësuesi mund të vërë si detyrë zgjidhjen në klasë, në punë me grupe, të ndonjë ushtrimi të thjeshtë.

116


Duke marrë parasysh ngarkesën e kësaj teme dhe rëndësinë e saj për gjithë kursin shkollor të matematikës, rekomandohet që shtjellimit të materialit të ri t’i kushtohet gjithë ora e mësimit, duke hequr dorë nga format tradicionale të kontrollit të dijes. Në rubrikën “Ushtrime”, si të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3.

Mësimi 5.2. VETI TË TREKËNDËSHIT DYBRINJËNJËSHËM Kuptime: Lartësitë, mesoret, përgjysmoret e trekëndëshit. Trekëndëshi dybrinjënjëshëm. Trekëndëshi barabrinjës. Veti: Këndet e bazës të trekëndëshit dybrinjënjëshëm janë kongruentë. Në trekëndëshin dybrinjënjëshëm, mesorja e hequr nga kulmi ndaj bazës është edhe përgjysmore, edhe lartësi e trekëndëshit. Metoda: Metoda e vërtetimit me sintezë. Metoda e bisedës. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të ndërtojnë lartësitë, mesoret, përgjysmoret e një trekëndëshi të çfarëdoshëm, duke përdorur mjetet e thjeshta të njohura. • Të përdorin, në raste të thjeshta, teoremën mbi këndet e bazës së trekëndëshit dybrinjënjëshëm. • Të vërtetojnë, në bazë të pyetjeve të strukturuara, vetinë e mesores së bazës të trekëndëshit dybrinjënjëshëm. • Ta përdorin këtë veti në raste shumë të thjeshta.


Kuptimet e lartësisë, mesores, përgjysmores së trekëndëshit dhe ndërtimet e tyre janë të njohura qysh nga klasa e shtatë. Prandaj rekomandohet që mësuesi, qysh në orën e mëparshme, t’u vërë nxënësve si detyrë përsëritjen në shtëpi të këtyre njohurive. Kjo mundëson përqendrimin në orën e mësimit, tek vërtetimet e teoremave për vetitë e trekëndëshit dybrinjënjëshëm dhe tek zbatimet e tyre. Teorema e parë (për kongruencën e këndeve të bazës së trekëndëshit dybrinjënjëshëm) mund të vërtetohet nga mësuesi në tabelë, duke aktivizuar nxënësit, me metodën e bisedës. Më tej, nxënësit punojnë me libër hapur. Fillimisht ata të lexojnë vërtetimin sintetik, të dhënë në tekst për teoremën e parë. Më tej nxënësit, me punë të pavarur individuale apo me grupe, të zgjidhin ushtrimin pasues. Në të, nëpërmjet një sistemi pyetjesh të strukturuara, synohet të kryhet vërtetimi i teoremës së dytë (vetia e mesores së bazë të trekëndëshit dybrinjënjëshëm). Formulimi i teoremës jepet në fund, duke përmbledhur gjithë punën e kryer. Tërheqim vëmendjen në faktin që shpesh vërehen formulime jo të sakta, kryesisht sepse nuk theksohet fakti që bëhet fjalë jo për cilëndo mesore, por për mesoren e bazës së trekëndëshit dybrinjënjëshëm.

MATEMATIKA 8

117

Në varësi të kohës, në klasë mund të trajtohet, me punë të pavarur individuale apo me grupe, edhe ndonjë zbatim shumë i thjeshtë i kësaj teoreme, përzgjedhur nga mësuesi. Në rubrikën “Ushtrime”, si të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1, 2, 3.

Mësimi 5.3. RASTI I DYTË I KONGRUENCËS SË TREKËNDËSHAVE Kuptime: Kongruenca e trekëndëshave Veti: Rasti II i kongruencës së trekëndëshave Metoda: Metoda e vërtetimit me sintezë. Metoda e bisedës. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin, në raste të thjeshta, rastin kënd-brinjë-kënd të kongruencës së trekëndëshave.


Ushtrimi i vënë në hyrje të mësimit, synon të evokojë tek nxënësit njohuritë për kongruencën e trekëndëshave, të marra në klasën e gjashtë. Vëmë në dukje se formulimet e teoremave, për rastin e parë e të dytë të kongruencës së trekëndëshave, nuk janë të thjeshta dhe ato duhen kërkuar nga nxënësit e niveleve II-III. E rëndësishme është që të gjithë nxënësit të dallojnë, në situata të drejtpërdrejta, plotësimin e kushteve të këtyre teoremave dhe të nxjerrin përfundime të thjeshta. Nxënësit e niveleve II-III duhet të mësojnë, qysh këtu shënimin e shkurtër të kushteve të teoremave të rastit të parë e të dytë të kongruencës së trekëndëshave dhe të përfundimeve të tyre, p.sh. [ AB ] = [ A1 B1 ]  ∠A =∠A1  ⇒ ∆ABC = ∆A1 B1C1 . ∠B =∠B1  Vërtetimi i teoremës për rastin e dytë të kongruencës të bëhet nga mësuesi në tabelë, duke aktivizuar nxënësit me metodën e bisedës. Në të njëjtën mënyrë të procedohet edhe për shembullin e dhënë në tekst. Vëmë në dukje që në orët pasuese të lëndës, nuk rekomandohet të kërkohet riprodhimi i vërtetimit të teoremës nga nxënësit. Ushtrimi i vendosur në tekst, në materialin teorik, është pjesë përbërëse e këtij materiali, prandaj duhet të punohet nga nxënësit në klasë, me punë të pavarur individuale apo me grupe. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ato me numrat 1, 2, 3.

118

Mësimi 5.4.


TEOREMA E ANASJELLË

Kuptime: Fjalia e anasjellë. Teorema e anasjellë Veti: Dy teorema të anasjella të vetive të trekëndëshit dybrinjënjëshëm. Metoda: Metoda e vërtetimit nga e kundërta. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të kthejnë teoremat e thjeshta, të njohura, në trajtën “nëse p, atëherë q”. • Për fjali matematike, të dhëna në trajtën “nëse p, atëherë q”, të formulojnë fjalinë e anasjellë. • Të përdorin, në raste të thjeshta, teoremat e anasjella për vetitë e trekëndëshit dybrinjënjëshëm.


Kuptimi i fjalisë së anasjellë të një fjalie matematike është shumë i rëndësishëm për formimin lëndor të nxënësit, prandaj atij i duhet kushtuar vëmendja e duhur. Kështu, para se të kalohet në shqyrtimin e teoremave të anasjella të vetive të trekëndëshit dybrinjënjëshëm, mësuesi duhet të punojë edhe disa shembuj e ushtrime të tjerë, për kuptimin e fjalisë së anasjellë. Bazë për suksesin është zotësia për të kthyer një fjali matematike të thjeshtë, të dhënë, në trajtën “nëse p, atëherë q”. Vërtetimi i teoremës së anasjellë: “Nëse në trekëndëshin ABC këndet pranë bazës AB janë kongruentë (∠A=∠B), atëherë ky trekëndësh është dybrinjënjëshëm (AC=BC)”, të bëhet nga mësuesi, duke aktivizuar nxënësit, me metodën e bisedës. Është me shumë rëndësi sqarimi i faktit që fjalia e anasjellë e një teoreme mund të mos jetë teoremë.

Po ashtu, është shumë i rëndësishëm sqarimi i vlerës së kundërshembullit (për të treguar që një fjali nuk është teoremë, mjafton të tregojmë një rast (një shembull) ku ajo nuk është e vërtetë). Dy ushtrimet e vendosura në materialin teorik, duhet të punohen në klasë, duke organizuar punën e pavarur individuale apo me grupe të nxënësve. Në rubrikën “Ushtrime”, si të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1, 2, 3.

Mësimi 5.5. RASTI I TRETË I KONGRUENCËS SË TREKËNDËSHAVE Kuptime: Kongruenca e trekëndëshave Veti: Rasti i tretë i kongruencës së trekëndëshave Metoda: Vërtetimi me sintezë. Vërtetimi nga e kundërta Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje:

MATEMATIKA 8

119

• Të zbatojnë, në raste të thjeshta, rastin e tretë të kongruencës së trekëndëshave.


Ushtrimi i dhënë në hyrje të mësimit, synon të evokojë njohuritë për rastin e kongruencës së trekëndëshave, që kanë tri brinjët përkatësisht kongruente, të marra në klasën e shtatë. Formulimi i rastit të tretë, të kongruencës së trekëndëshave, është relativisht i thjeshtë dhe mund t’u kërkohet gjithë nxënësve. Krahas kësaj duhet të vazhdojë puna për shënimin shkurt, në mënyrë simbolike, të kushteve dhe përfundimeve të teoremave. Vërtetimi i rastit të tretë të kongruencës së trekëndëshave është gjykuar si i vështirë për këtë moshë, prandaj nuk është dhënë në tekst. Shembulli i dhënë në libër të punohet nga mësuesi, duke aktivizuar nxënësit, me metodën e bisedës. Është me shumë vlera formuese zbatimi për ngurtësinë e konstruksionit trekëndor, formuar me listela, prandaj nuk duhet të anashkalohet. Më tej, mësuesi duhet të punojë, të paktën një ushtrim, të përzgjedhur prej tij, duke organizuar punën e pavarur individuale apo me grupe të nxënësve. Në rubrikën “Ushtrime”, si të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1, 2.

Mësimi 5.6.

USHTRIME

Synimi i mësuesit, për organizimin e kësaj ore mësimi, duhet të jetë përpunimi i njohurive dhe zhvillimi i aftësive të fituara në mësimet e mëparshme të kreut. Ai duhet t’u japë nxënësve paraprakisht, si detyrë, përsëritjen në shtëpi dhe sistemimin në mënyrë të përmbledhur, me shkrim të fakteve e vetive të mësuara në orët paraardhëse. Në orën e mësimit të alternohet e kombinohet puna e pavarur apo me grupe e nxënësve të klasës, për zgjidhjen e disa ushtrimeve të tekstit, me zgjidhjen e ushtrimeve të tjera nga nxënës të ndryshëm në tabelë. Secili nga ushtrimet, që jepen për t’u punuar, duhet të diskutohet e analizohet me klasën në tërësi. Kujdes duhet treguar ndërkaq për t’u lënë nxënësve kohë të mjaftueshme për t’u menduar, për t’u shprehur e për t’u vetëkorrigjuar. Si ushtrime të nivelit minimal (pra prioritare për t’u punuar nga klasa, me punë të pavarur individuale apo me grupe), të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 4. Është me rëndësi që trajtohet në klasë numri 7/b. Me anë të një kundërshembulli të tregohet që fjalia “Nëse dy brinjë dhe një kënd, të një trekëndëshi, janë përkatësisht kongruentë me dy brinjë e një kënd, të një trekëndëshi tjetër, atëherë këta trekëndësha janë kongruentë”. Është rasti që mësuesi t’u tërheqë vëmendjen nxënësve në formulimin e saktë të rastit I të kongruencës së trekëndëshave.

120

KREU VI:


SHPREHJE ME NDRYSHORE

Mësimi 6.1. SHPREHJET NUMERIKE Kuptime: Shprehja numerike. Vlera e shprehjes numerike. Metoda: Metodat e kryerjes së veprimeve aritmetike Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë shprehje të thjeshta, që nuk kanë vlerë numerike (nuk kanë kuptim). • Të zbatojnë radhën e përcaktuar të veprimeve, për të gjetur vlerën numerike të një shprehje të thjeshtë, me 1-2 kllapa.


Kuptimi i shprehjes numerike jepet me përshkrim e nëpërmjet shembujve. E njëjta rrugë është ndjekur për të dhënë kuptimin e shprehjes numerike, që nuk ka vlerë (nuk ka kuptim). Është shumë e rëndësishme që nxënësit të fiksojnë në kujtesë rregullën, për njehsimin e vlerës numerike të shprehjes numerike (me ose pa kllapa), që përmban veprime aritmetike (përfshirë ngritjen në fuqi), të kryera mbi numra racionalë dhe ta zbatojnë atë në raste të thjeshta. Pasi lexojnë në libër shembullin e dhënë, për gjetjen e vlerës së një shprehje numerike, nxënësit detyrimisht duhet të zgjidhin, me punë të pavarur individuale apo me grupe, ushtrimin e vendosur në pjesën teorike të tekstit. Mësuesi nuk duhet të mjaftohet me kaq, por të organizojë zgjidhjen në klasë të disa ushtrimeve të tjera nga rubrika “Ushtrime”. Nga ushtrimet e kësaj rubrike, të konsiderohen si të nivelit minimal ato me numrat 1, 2, 5, 6/a.

Mësimi 6.2.

SHPREHJE ME NDRYSHORE

Kuptime: Ndryshorja. Shprehja me 1 apo 2 ndryshore. Vlera e saj. Vlera e palejuar e ndryshores në shprehjen me një ndryshore. Metoda: Metodat e njehsimit Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjejnë vlerën e një shprehje të thjeshtë, me një ndryshore për vlerën e thjeshtë të dhënë të ndryshores. • Të gjejnë vlerën e palejuar të ndryshores në një shprehje të thjeshtë me një ndryshore.

MATEMATIKA 8

121


Edhe kuptimi i shprehjes me ndryshore është dhënë me përshkrim e nëpërmjet shembujve. E njëjta rrugë është ndjekur për të sqaruar kuptimin “vlera e shprehjes me një ndryshore, për një vlerë të caktuar të saj”. Duke ditur se kuptimi i ndryshores është i lidhur me atë të bashkësisë që përshkon, është me rëndësi e duhet theksuar marrëveshja “nëse nuk përmendet bashkësia që përshkon ndryshorja, do të nënkuptojmë që ajo është bashkësia e numrave racionalë Q”. Shumë i rëndësishëm është kuptimi i vlerës së palejuar të ndryshores, në një shprehje me një ndryshore, që jepet nëpërmjet shembullit. Mësuesi të japë edhe shembuj të tjerë e ushtrime gjysmë të zgjidhura për ta përpunuar këtë koncept. Nxënësit duhet të jenë të aftë të gjejnë vlerat e palejuara të ndryshores, në shprehje të trajtës

, ku a≠0; c≠0.

Ndër ushtrimet e rubrikës “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ato me numrat 1, 6, 7.

Mësimi 6.3. SHPREHJE IDENTIKE. SHNDËRRIME IDENTIKE TË SHPREHJEVE Kuptime: Shprehje identike në bashkësinë E. Identitet në E Veti: Vetitë e veprimeve aritmetike dhe të fuqive. Metoda: Shndërrime identike në një bashkësi të dhënë. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë, nëse dy shprehje të thjeshta janë identike në një bashkësi të fundme. • Të dallojnë, nëse dy shprehje shumë të thjeshta, me një ndryshore, janë identike në bashkësinë Q.


Në kuptimin e dy shprehjeve identike në një bashkësi, synohet të arrihet nëpërmjet shembujve dhe ushtrimeve. Ushtrimet e strukturuara me numrat 1 dhe 2, të vendosur në tekst në hyrje të mësimit, janë pjesë përbërëse e rëndësishme e materialit teorik, prandaj duhet të zgjidhen nga nxënësit në klasë, me punë të pavarur individuale apo me grupe. Rruga që është ndjekur në tekst parashikon dhënien, më parë, të kuptimit të dy shprehjeve identike në E dhe më pas, atë të identitetit në E. Të jepet saktë përkufizimi, si në tekst, duke shmangur formulimin e gabuar, që ndihet shpesh në shkolla. “Dy shprehje quhen identike nëse kanë vlera përgjegjëse të barabarta, për të gjitha vlerat e lejuara të ndryshoreve të tyre”. Të mbahet parasysh, se nuk ka shprehje identike (dhe as identitet) në përgjithësi, por ka

122


të tilla vetëm në një bashkësi të caktuar. Prandaj duhet theksuar marrëveshja: “Kur themi thjesht, që dy shprehje janë identike, pa përmendur bashkësi, nënkuptojmë që ato janë identike në bashkësinë e të gjithë numrave”. Qysh në këtë mësim, që të mos mbetet i mjegullt kuptimi i shndërrimit identik në Q, duhet theksuar fakti që, “kur zbatojmë vetitë e mbledhjes e shumëzimit, si edhe vetitë e fuqive me eksponentë natyrorë, ne kryejmë shndërrime identike në Q”. Është me rëndësi që nxënësit të ushtrohen për të përdorur kundërshembullin, kur duam të tregojmë që dy shprehje nuk janë identike në E. Dobia e shndërrimeve identike është evidentuar në tekst me një shembull për thjeshtimin e programit të shprehjes. Mësuesi duhet të organizojë në klasë punimin e shembujve apo ushtrimeve gjysmë të zgjidhura, lidhur me shndërrimet identike të shprehjeve me një ndryshore në E. Në rubrikën “Ushtrime”, si të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1, 2, 3, 4, 5.

Mësimi 6.4. SHNDËRRIME TË THJESHTA IDENTIKE TË SHPREHJEVE Kuptime: Shprehje identike në E. Veti: Vetitë e mbledhjes, shumëzimit dhe të fuqive me eksponentë natyrorë. Metoda: Metoda të shndërrimit identik të shprehjeve në E. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin, në raste të thjeshta, vetitë e mbledhjes, shumëzimit, të fuqive me eksponent natyrorë, për të kryer shndërrime identike të shprehjeve në bashkësinë Q.


Të ndiqet shtjellimi metodik i materialit që është paraqitur në tekst. Mësimi të zhvillohet me libër hapur. Materiali mësimor është strukturuar në disa paragrafë, të shënuar me numrat romakë I-VII. Në secilin paragraf jepet në fillim një veti (apo grup vetish) e një veprimi aritmetik dhe më pas shembuj të përdorimit të saj, për të kryer shndërrime identike të shprehjeve me ndryshore në Q, të ndjekur nga ushtrime (për punë të pavarur individuale apo me grupe në klasë) për përpunim të metodës. Mësuesi mund dhe duhet ta shtojë numrin e shembujve dhe të ushtrimeve, sipas gjykimit të tij dhe gjendjes së klasës. Shembulli i paragrafit VII (mbi përdorimin njëra pas tjetrës të disa vetive të veprimeve) është me rëndësi. Argumentimi hap pas hapi i vetive, që përdoren mund të kërkohet vetëm nga nxënësit shumë të mirë (niveli III). Për nxënësit e nivelit I-II është e mjaftueshme t’i kryejnë shkurt, por saktë, shndërrimet. Në rubrikën “Ushtrime”, si të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3, 5, 6.

MATEMATIKA 8

123

Mësimi 6.5. MONOMI. REDUKTIMI I MONOMEVE TË NGJASHËM Kuptime: Monomi. Trajta e rregullt e monomit. Monome të ngjashëm. Veti: Vetitë e shumëzimit dhe të ngritjes në fuqi me eksponentë natyrorë. Metoda: Reduktimi i monomeve të ngjashëm. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të kthejnë një monom të dhënë në trajtë të rregullt. • Të kryejnë reduktimin e monomeve të ngjashëm.


Në këtë njësi mësimore rimerren, sistemohen e thellohen njohuritë për monomin, të marra në klasën e shtatë. Prandaj rekomandohet që mësuesi, paraprakisht t’u vërë si detyrë nxënësve që të përsëritin në shtëpi këto njohuri. Për kuptimin e monomit ka shpesh paqartësi, prandaj mësuesi të ngulmojë që nxënësit të kuptojnë e të fiksojnë në kujtesë përkufizimin e dhënë në tekst: “Monom quhet shprehja, që merret duke kryer mbi numrat e ndryshoret vetëm veprimet e shumëzimit dhe të ngritjes në fuqi”. Është me rëndësi që monomet të kthehen në trajtë të rregullt e të përcaktohen koeficientët e tyre. Mësuesi të punojë në klasë shembuj e ushtrime të tjerë për këtë qëllim. Kuptimi i monomeve të ngjashëm është i rëndësishëm për kursin në tërësi. Të gjithë nxënësit duhet të aftësohen, për të dalluar monomet e ngjashëm në një shumë algjebrike monomesh, të kthyer në trajtë të rregullt. Pasi evokon njohuritë që nxënësit kanë prej klasës së shtatë, për reduktimin e monomeve të ngjashëm, mësuesi trajton përmbledhtas rregullën për kryerjen e këtij reduktimi (në dy hapa) dhe punon shembuj e ushtrime për zbatimin e tij. Në rubrikën “Ushtrime”, si të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 5, 6, 7.

Mësimi 6.6. POLINOMI. SHUMA DHE NDRYSHESA E POLINOMEVE Kuptime: Polinomi. Trajta e rregullt e tij. Veti: Vetitë e veprimeve aritmetike dhe të fuqive me eksponentë natyrorë. Metoda: Shndërrime identike. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të sjellin një polinom, me 1 a 2 ndryshore në trajtë të rregullt. • Të gjejnë shumën apo ndryshesën e dy polinomeve, në trajtë të rregullt me 1 apo 2 ndryshore.


124


Kuptimi i polinomit është dhënë duke u bazuar mbi atë të monomit. Po kështu, kthimi i polinomeve në trajtë të rregullt bazohet në dy procese: kthimin e monomeve në trajtë të rregullt dhe reduktimin e kufizave të ngjashme. Është e nevojshme që mësuesi të organizojë punën e pavarur individuale apo me grupe të nxënësve në klasë, për zgjidhjen e disa ushtrimeve (veç atij të vënë në tekst), me qëllim që nxënësit të fitojnë shkathtësitë e nevojshme, për kthimin e polinomeve me 1-2 ndryshore, kryesisht të fuqisë së dytë, në trajtë të rregullt. Shuma dhe ndryshesa e polinomeve të trajtohen thjesht si në tekst. Këtu duhet përqendruar vëmendja, nëpërmjet punimit të ushtrimeve, në dy aspekte: • hapja e kllapave, kur para tyre qëndron shenja (-) minus; • reduktimi i kufizave të ngjashme. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2/a, 5, 6.

Mësimi 6.7. SHUMËZIMI I MONOMIT ME POLINOM. NXJERRJA NË DUKJE E FAKTORIT TË PËRBASHKËT Kuptime: Monomi. Polinomi. Faktor në polinom. Veti: Vetitë e veprimeve aritmetike dhe të fuqive me eksponentë natyrorë. Metoda: Nxjerrja në dukje e faktorit të përbashkët. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të kryejnë shumëzimin e një monomi, në trajtë të rregullt me një polinom të trajtës së rregullt. • Të faktorizojnë polinome me 1 apo 2 ndryshore, duke kryer nxjerrjen në dukje të faktorit të përbashkët.


Materiali i vendosur në këtë njësi mësimore ka ngarkesë vëllimore, prandaj trajtimit të tij i duhet kushtuar gjithë ora e mësimit. Shumëzimi i monomit me një polinom (të trajtës së rregullt) të trajtohet thjeshtë, si në tekst, me anë të një shembulli. Pasi të formulohet rregulla përkatëse, nxënësit duhet të zgjidhin, me punë të pavarur individuale apo me grupe, ushtrimin e vendosur në materialin teorik dhe ndonjë ushtrim tjetër, të përzgjedhur nga mësuesi. Faktorizimi i polinomeve është një proces me rëndësi në kursin shkollor të matematikës. Njohuritë, që nxënësit kanë për këtë qysh prej klasës së shtatë, janë të pakta e fragmentare. Me këtë mësim fillon sistematizimi i tyre. Në kuptimin e nxjerrjes në dukje të faktorit të përbashkët, si edhe në mënyrën e realizimit të tij, të dilet në mënyrë induktive, nëpërmjet shembujsh (të punohet edhe një shembull tjetër gjysmë i zgjidhur, veç atij të dhënë në tekst) e ushtrimesh të thjeshta. Për shqyrtimin e rasteve më të vështira evokohet rregulla, që është shqyrtuar në klasën e shtatë. Që këtu e më tej mësimi mund të zhvillohet me libër hapur.

MATEMATIKA 8

125

Duke patur parasysh rregullën e dhënë me korsive, nxënësit të lexojnë me laps në dorë dy shembujt e zgjidhur, të dhënë në tekst e pastaj të zgjidhin me punë të pavarur individuale apo me grupe ushtrimin që pason. Në rubrikën “Ushtrime”, si të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 5, 6, 7.

Mësimi 6.8. SHUMËZIMI I DY POLINOMEVE Kuptime: Polinomi. Kufiza e tij. Veti: Vetitë e veprimeve aritmetike dhe të fuqive me eksponentë natyrorë. Metoda: Shndërrime identike. Induksioni Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të shumëzojnë dy polinome (binome, trinome) të trajtës së rregullt, me 1 apo 2 ndryshore.


Në nxjerrjen e rregullës, për shumëzimin e dy polinomeve, është ndjekur rruga induktive. Një ushtrim gjysmë i zgjidhur, i dhënë në hyrje, synon të krijojë tek nxënësit një hamendje të caktuar. Kjo përforcohet më tej nëpërmjet shembujsh e ushtrimesh gjysmë të zgjidhura. Më tej bëhet një sintezë e shkurtër dhe nxirret përfundimi përgjithësues. Më pas kalohet në zbatime, fillimisht të thjeshta, e më tej më komplekse. Rekomandojmë që për zhvillimin e mësimit të ndiqet rruga metodike e shtjellimit të materialit në tekst. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 4.

Mësimi 6.9. FAKTORIZIMI ME GRUPIM Kuptime: Faktorë në polinom. Veti: Veti të veprimeve aritmetike dhe të fuqive me eksponentë natyrorë. Metoda: Faktorizimi me grupim. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të faktorizojnë me grupim, polinome të thjeshtë me katër kufiza.


Rekomandojmë që mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin metodik të materialit në tekst. Thelbi i metodës qartësohet gradualisht para nxënësve, nëpërmjet shqyrtimit të ushtrimeve gjysmë të zgjidhura dhe shembujve, nga të cilët ka në sasi të mjaftueshme në tekst. Të mbahet parasysh se shembulli 3 (për zbërthimin e trinomit x2 -7x+12) nuk është për

126


nxënësit e nivelit I-II, prandaj të lexohet vetëm prej nxënësve të nivelit III. Është mirë që mësuesi t’u vërë në dukje nxënësve se faktorizimi me grupe mund të përdoret vetëm në raste të veçanta.

Në rubrikën “Ushtrime”, si të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1/a, 2, 3.

Mësimi 6.10.

USHTRIME

Ky mësim ka natyrë përsëritje. Rekomandohet që mësuesi t’u japë paraprakisht nxënësve, si detyrë shtëpie, hartimin e një përmbledhje të njohurive dhe rregullave kryesore të kreut. Kjo, së bashku me zgjidhjen e ushtrimeve në klasë, do të bëjë të mundur realizimin e rimarrjes dhe thellimit të njohurive kryesore dhe kuptimin e lidhjeve midis tyre (struktura e kreut). Në klasë mësimi të zhvillohet me libër hapur. Të organizohet kombinimi i punës së nxënësve të klasës (me punë të pavarur apo me grupe) me punën për zgjidhjen në tabelë, nga nxënës të ndryshëm të disa ushtrimeve të tjera. Secili nga ushtrimet e dhëna për zgjidhje të analizohet e të diskutohet me klasën. Ndër ushtrimet e vëna në tekst, të konsiderohen si të nivelit minimal (pra të përshtatshme për punën me klasën), ato me numrat 2, 3, 5, 7, 8.

KREU VII: NJOHURI TË TJERA GJEOMETRIKE MËSIMI 7.1. KRITERET E PARALELIZMIT TË DY DREJTËZAVE Kuptime: Drejtëza paralele. Kënde përgjegjës; kënde ndërrues të brendshëm. Veti: Dy teorema që shprehin kushte të mjaftueshme për paralelizmin e dy drejtëzave, nëpërmjet barazimit të këndeve përgjegjës apo ndërrues të brendshëm. Metoda: Vërtetimi me sintezë. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të ndërtojnë, me mjete të thjeshta, paralelen me një drejtëz të dhënë nga një pikë e dhënë. • Të emërtojnë këndet që formohen nga prerja e dy drejtëzave me një të tretë. • Të formulojnë e të përdorin, në raste të thjeshta, teoremat mbi paralelizmin e dy drejtëzave, që në prerje me një të tretë formojnë dy kënde ndërrues të brendshëm (përgjegjës) kongruentë.


Rekomandohet që mësuesi t’u vërë paraprakisht nxënësve, si detyrë në shtëpi, përsëritjen

MATEMATIKA 8

127

e njohurive, të marra nga klasa e shtatë, për ndërtimin e drejtëzës paralele me një drejtëz të dhënë, nga një pikë e dhënë dhe për emërtimin e këndeve (përgjegjës, ndërrues të brendshëm), që formohen nga prerja e dy drejtëzave me një të tretë. Në klasë, ai duhet të kërkojë nga nxënësit përkufizimin e njohur të dy drejtëzave paralele, duke bërë saktësimet eventuale (përvoja ka treguar që shpesh nxënësit harrojnë fjalët e rëndësishme “në plan”, kur formulojnë këtë përkufizim). Mësuesi të tërheqë klasën në një diskutim mbi mundësinë për të gjykuar për paralelizmin e dy drejtëzave, prej të cilit të evidentohet dobia e teoremave, që japin kushte të mjaftueshme për këtë. Teorema e parë pranohet pa vërtetim. Vërtetimi i teoremës së dytë është shtruar në tekst si ushtrim dhe në këtë mënyrë të procedohet edhe në klasë, duke organizuar punë me grupe. Më tej mësuesi mund të organizojë edhe zgjidhjen e ushtrimeve të tjera, të përzgjedhura nga ai vetë. Në rubrikën “Ushtrime”, si të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1,2.

Mësimi 7.2. VETI TË DREJTËZAVE PARALELE Kuptime: Drejtëzat paralele. Kënde ndërrues të brendshëm; kënde përgjegjës. Veti: Aksioma e paraleleve. Teoremat mbi këndet që formojnë dy drejtëza me një prerëse. Metoda: Vërtetimi me sintezë. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të formulojnë saktë aksiomën e paraleleve. • Të nxjerrin prej saj përfundime të thjeshta. • Të përdorin, në raste të drejtpërdrejta e të thjeshta, teoremat mbi këndet që formojnë dy drejtëza paralele me një prerëse.


Në hyrje të mësimit evokohen njohuritë që nxënësit kanë nga klasa e shtatë, për ekzistencën e një drejtëze paralele me një drejtëz të dhënë, hequr nga një pikë jashtë saj (duke përdorur faktin që dy drejtëza pingule me një të tretë janë jo-prerëse ndërmjet tyre). Shtrohet pyetja: A ka më tepër se një paralele me drejtëzën d, të hequr nga një pikë jashtë saj? Këtu është vendi që mësuesi, duke mbajtur në konsideratë komponentët epistemiologjike të mësimdhënies së matematikës, t’u flasë shkurt nxënësve për historikun e përpjekjeve, që çuan në pranimin e aksiomës së paraleleve. Të vihet në dukje se aksioma ka të bëjë me unicitetin e paraleles së hequr (ekzistenca e kësaj vërtetohet). Të angazhohet klasa në zgjidhjen e ushtrimit, që synon formulimin e teoremës së anasjellë të teoremës së njohur (kushtit të mjaftueshëm të paralelizmit). Vërtetimi i teoremës së tretë nuk është i thjeshtë dhe mund të mos trajtohet (sipas nivelit

128


të klasës). Por nxënësit duhet të fiksojnë në kujtesë e të përdorin gjerësisht formulimin e saj. Është e dobishme që nxënësit, me punë në grupe, të vërtetojnë teoremën e katërt, duke u bazuar tek teorema e tretë. Më tej mund të punohet, me punë me grupe, ndonjë zbatim i thjeshtë i teoremave të tretë e të katërt, përzgjedhur nga mësuesi. Në rubrikën “Ushtrime”, si të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 3, 4, 5/a.

Mësimi 7.3. SHUMA E MASAVE TË KËNDEVE TË TREKËNDËSHIT Kuptime: Këndi i jashtëm i trekëndëshit. Veti: Shuma e masave të këndeve të trekëndëshit është 1800 . Masa e këndit të jashtëm është sa shuma e masave të dy këndeve të brendshëm jo afërndenjës me të. Metoda: Vërtetimi me sintezë. Metoda e bisedës. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin, në raste të thjeshta, faktin që shuma e masave të këndeve të trekëndëshit është 1800 . • Të përdorin, në raste të thjeshta, faktin që masa e këndit të jashtëm është sa shuma e masave të dy këndeve të brendshëm jo afërndenjës me të.


Në hyrje, mësuesi mund t’u vërë në dukje përpjekjet, për të evidentuar matjen e shumës së masave të këndeve të trekëndëshit prej 1800 (Gauss). Vërtetimi i teoremës të kryhet nga mësuesi, duke aktivizuar nxënësit me metodën e bisedës. Për të mësuar nxënësit që të punojnë me librin, më tej mësimi mund të zhvillohet me libër hapur. Në libër nxënësit lexojnë vërtetimin e dhënë për teoremën dhe shembullin e zgjidhur, që pason. Ushtrimi, i vënë në materialin teorik, zgjidhet në klasë me punë në grupe. Pasi njihen me përkufizimin e këndit të jashtëm të trekëndëshit, nxënësit të tregojnë të gjithë këndet e jashtëm, për një trekëndësh të dhënë ABC. Vërtetimi i vetisë së këndit të jashtëm të trekëndëshit të bëhet me libër hapur, duke dhënë përgjigje për pyetjet e strukturuara, të vendosura në të. Më tej është mirë që nxënësit të zgjidhin, me punë në grupe, ndonjë ushtrim të thjeshtë njehsimi, zbatim të teoremës, përzgjedhur nga mësuesi. Në rubrikën “Ushtrime”, si të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3.

MATEMATIKA 8

129

Mësimi 7.4. KRAHASIMI I BRINJËVE DHE KËNDEVE TË TREKËNDËSHIT Kuptime: Mosbarazimi Veti: • Në trekëndësh, përballë brinjës (këndit) më të madhe, ndodhet këndi (brinja) më i madh. • Çdo brinjë e një trekëndëshi është më e vogël se shuma e dy brinjëve të tjera. Metoda: Metoda e vërtetimit nga e kundërta. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin, në raste të thjeshta, krahasimin ndërmjet brinjëve (këndeve) të trekëndëshit. • Të përdorin, në raste të thjeshta, mosbarazimin e trekëndëshit.


Paraprakisht, mësuesi t’u japë nxënësve, si detyrë në shtëpi përsëritjen e vetisë themelore (aksiomës) së dytë. Për krahasimin e brinjëve (këndeve) të trekëndëshit, nxënësit të vihen fillimisht në veprimtari praktike, për të nxjerrë përfundime që përgjithësohen tek teorema e parë. Është me rëndësi për zhvillimin logjik të tyre, zgjidhja e ushtrimit që pason, i cili duhet patjetër të trajtohet në klasë. Vërtetimi i teoremës së dytë (me metodën e vërtetimit nga e kundërta) të bëhet nga mësuesi, duke aktivizuar nxënësit, me metodën e bisedës. Pasi rikujtohet shkurt fakti (aksioma e dytë) që ndër tri pika, të ndodhura në një drejtëz, njëra dhe vetëm njëra ndodhet ndërmjet dy të tjerave. Mësuesi mund t’i vërë nxënësit në veprimtari praktike, për t’u bindur për faktin që çdo brinjë në trekëndësh është më e vogël se shuma e dy të tjerave. Përfundimi përgjithësues (teorema) të kërkohet të formulohet prej nxënësve. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 5.

Mësimi 7.5.

VETI TË TREKËNDËSHIT KËNDDREJTË

Kuptime: Trekëndëshi kënddrejtë. Hipotenuza e kateti. Veti: Teorema e drejtë dhe e anasjellë për katetin, që ndodhet përballë këndit 300 . Metoda: Metoda e ndërtimeve plotësuese në figura. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin, në raste të thjeshta, veti të veçanta për këndet e brinjët në trekëndëshin kënddrejtë. • Të përdorin, në raste të thjeshta, teoremën për katetin përballë këndit 300 dhe të anasjellën e saj.

130



Mësuesi të synojë që nxënësit, duke u nisur nga veti të përgjithshme të njohura të trekëndëshit, të zbulojnë e të formulojnë veti të veçanta për trekëndëshin kënddrejtë (p.sh. që shuma e këndeve të ngushtë të tij është 900, që hipotenuza është më e madhe se çdo katet etj.). Për këtë t’u vihen detyra nxënësve në klasë e të organizohet puna me grupe për zgjidhjen e tyre. Teorema mbi vetinë e katetit përballë këndit 300 të vërtetohet nga mësuesi në tabelë, duke aktivizuar nxënësit, me metodën e bisedës. Formulimi i teoremës së anasjellë të kërkohet fillimisht prej nxënësve, të cilët duhet të dallojnë në teoremën e parë kushtin dhe përfundimin. Më tej nxënësit, me punë në grupe, mund të zgjidhin ndonjë ushtrim zbatimi të thjeshtë, përzgjedhur nga mësuesi. Në rubrikën “Ushtrime”, si të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 7.

Mësimi 7.6. KONGRUENCA E TREKËNDËSHAVE KËNDDREJTË Kuptime: Kongruenca e trekëndëshave. Veti: Katër raste të kongruencës së trekëndëshave kënddrejtë. Metoda: Silogjizmi Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të nxjerrin tri raste të kongruencës së trekëndëshave kënddrejtë prej rasteve të njohur, të kongruencës së trekëndëshave. • Të zbatojnë, në raste të thjeshta, katër rastet e kongruencës së trekëndëshave kënddrejtë.


Rekomandohet që mësuesi, qysh orën e mëparshme, t’u vërë si detyrë në shtëpi nxënësve, përsëritjen e rasteve të kongruencës së trekëndëshave. Mbi këtë bazë ai mund të kërkojë, duke i shtruar si problema, që nxënësit në klasë të nxjerrin prej tyre, me punë të pavarur, rastin e parë dhe rastin e dytë të kongruencës së trekëndëshave kënddrejtë. Më tej mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke zgjidhur në bazë të pyetjeve të strukturuara, të vëna në të, ushtrimin për vërtetimin e rastit të tretë të kongruencës së trekëndëshave kënddrejtë (teorema e tretë). Pasi sqarohet thelbi i rastit të katërt të kongruencës së trekëndëshave kënddrejtë (teorema 4), është mirë që të punohet me grupe, ndonjë ushtrim zbatimi i thjeshtë, përzgjedhur nga mësuesi. Në rubrikën “Ushtrime”, si të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 4, 5.

MATEMATIKA 8

Mësimi 7.7.

131

RRETHI

Kuptime: Rrethi, rrezja, diametri, korda. Veti: Drejtëza, që kalon nga qendra e rrethit e që është pingule me një kordë, është përmesore e kësaj korde. Metoda: Vërtetimi me sintezë. Metoda e bisedës. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të japin përkufizimin e saktë të rrethit. • Të dallojnë në një rreth diametrat dhe kordat. • Të përdorin, në raste të thjeshta, vetinë e drejtëzës që kalon nga qendra e rrethit dhe është pingule me një kordë.


Duke evokuar njohuritë, që nxënësit kanë nga klasat e mëparshme, mësuesi të kërkojë prej tyre përkufizimin e rrethit. Mund të ndizet kështu një diskutim frutdhënës, deri sa të arrihet në përkufizimin e saktë (adekuat) të rrethit. Nëpërmjet një ushtrimi të thjeshtë, mësuesi kërkon që nxënësit të veçojnë në një rreth të ndërtuar, korda e harqe të ndryshme dhe e shfrytëzon këtë veprimtari për të nxjerrë nga nxënësit përkufizimin e kordës dhe atë të diametrit. Vërtetimin e teoremës, që shpreh vetinë e drejtëzës, që kalon nga qendra e rrethit dhe është pingule me një kordë, e bën mësuesi në tabelë, duke aktivizuar nxënësit me metodën e bisedës. Më pas, veç ushtrimit të vendosur në tekst lidhur me formulimin e fjalisë së anasjellë, është mirë që të punohet në klasë, me grupe, edhe ndonjë ushtrim i thjeshtë zbatimi, përzgjedhur nga mësuesi. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3.

Mësimi 7.8. TANGJENTJA NDAJ RRETHIT. VETI TË SAJ Kuptime: Tangjentja ndaj rrethit. Veti: Tangjentja ndaj rrethit nuk ka me të pika të tjera të përbashkëta, veç pikës së tangjencës. Dy veti të segmenteve të tangjenteve ndaj rrethit, të hequra nga një pikë jashtë tij. Metoda: Metoda e vërtetimit nga e kundërta. Metoda e bisedës. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të ndërtojnë tangjenten në një pikë të rrethit. • Të përdorin, në raste të thjeshta, dy vetitë e segmenteve të tangjenteve, të hequra ndaj rrethit nga një pikë jashtë tij.

132



Përkufizimi i tangjentes në një pikë të rrethit është dhënë në një trajtë jo të zakontë. Ai ka të mirën që është një përkufizim konstruktiv (inkludon në vetvete edhe ekzistencën, edhe mënyrën e ndërtimit të objektit që përkufizohet). Më tej, vërtetohet se tangjentja nuk ka me rrethin pika të tjera të përbashkëta, veç pikës së tangjencës. Vërtetimi i kësaj teoreme të bëhet nga mësuesi, duke aktivizuar nxënësit, me metodën e bisedës. Në të njëjtën mënyrë procedohet edhe për vërtetimin e teoremës mbi vetinë e segmenteve të tangjenteve, të hequra nga një pikë jashtë rrethit. Ushtrimi që pason (me natyrë vërtetimi) destinohet për nxënësit e mirë. Për masën tjetër të nxënësve të klasës, mësuesi të japë për punë me grupe, zgjidhjen e ndonjë ushtrimi të thjeshtë zbatimi, të përzgjedhur nga ai vetë. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 3.

Mësimi 7.9.

USHTRIME

Për këtë orë mësimi duhet të synohet përvetësimi i njohurive dhe përmirësimi i shkathtësive, të zhvilluara gjatë kreut. Mësuesi mund t’u japë më parë nxënësve, për detyrë, përgatitjen në shtëpi të përmbledhjes së sistemuar të fakteve kryesore, të trajtuara në mësimet 7.1-7.8. Mësimi të zhvillohet me libër hapur. Të kombinohet puna me grupe e nxënësve të klasës, për zgjidhjen e disa ushtrimeve, me zgjidhjen në tabelë të disa ushtrimeve të tjera, nga nxënës të ndryshëm. Zgjidhja e secilit nga ushtrimet e dhëna duhet të analizohet e diskutohet me klasën. Si ushtrime të nivelit minimal (të përshtatshëm për punën me grupe të nxënësve), të konsiderohen ata me numrat 4, 8, 10. Ushtrimet e zgjidhura nr.1, nr.9 të lexohen nga nxënësit në tekst.

KREU VIII: FORMULA TË RËNDËSISHME Mësimi 8.1.

KATRORI I BINOMIT

Kuptime: Binomi. Fuqia Veti: Vetitë e veprimeve aritmetike dhe të fuqive me eksponent natyror. Metoda: Vërtetimi i identiteteve. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje:

MATEMATIKA 8

133

• Të vërtetojnë identitetet për (a+b)2; (a-b)2. • T’i përdorin këto identitete në raste të thjeshta.


Identitetet për (a+b)2; (a-b)2 luajnë një rol të rëndësishëm në kursin shkollor të matematikës, prandaj shkathtësimi i nxënësve në përdorimin e tyre, duhet të vlerësohet maksimalisht nga mësuesi. Mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin metodik të paraqitur në tekst. Është e domosdoshme që nxënësit të zgjidhin, mundësisht individualisht, të gjitha ushtrimet e vendosura në materialin teorik. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Mësimi 8.2. FAKTORIZIME ME ANË TË FORMULËS SË KATRORIT TË BINOMIT Kuptime: Polinomi. Faktorë në polinom. Veti: Vetia simetrike e barazimit. Metoda: Vërtetimi i identiteteve. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë nëse një trinom mund të shkruhet si katror binomi. • Të bëjnë këtë zbërthim, kur është e mundur.


Mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin metodik, të paraqitur në tekst. Pas punimit të dy shembujve të parë, mësuesi duhet të synojë nxjerrjen e përfundimit përgjithësues. Që një trinom të shkruhet si katror binomi, duhet e mjafton që të plotësohen dy kushte: 1. Dy nga kufizat të jenë katrorë monomesh. 2. Kufiza e tretë të jetë sa dyfishi i prodhimit të këtyre monomeve. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 4.

Mësimi 8.3. NDRYSHESA E KATRORËVE. FAKTORIZIME Kuptime: Ndryshesa e katrorëve Veti: Vetitë e veprimeve aritmetike dhe të fuqive me eksponent natyror. Metoda: Vërtetimi i identiteteve. Metoda të faktorizimit.

134


Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të vërtetojnë identitetin a2-b2=(a-b)(a+b). • Ta përdorin atë, për të shkruar shkurt shumëzimin e dy shprehjeve të konjuguara. • Ta përdorin atë, për të bërë faktorizime të ndryshesave të katrorëve.


Vërtetimi i identitetit (a+b)(a-b)=a2 –b2 mund të kërkohet të bëhet nga nxënësit, duke organizuar punë të pavarur individuale apo me grupe. Më tej, mësimi mund të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin metodik, të dhënë në tekst. Nxënësit të lexojnë në të shembujt e dhënë të zgjidhur dhe të angazhohen, për të zgjidhur ushtrimet e vendosura në materialin teorik, fillimisht individualisht dhe kur është e nevojshme me grupe. Rekomandohet që në klasë të trajtohen edhe ushtrime të tjera, të përzgjedhura nga mësuesi. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 4, 6.

Mësimi 8.4. SHNDËRRIME IDENTIKE, DUKE PËRDORUR VETITË E THYESAVE Kuptime: Thyesa racionale. Shndërrimi identik në E. Veti: Vetitë e raporteve. Metoda: Shndërrime identike. Thjeshtimi i thyesave. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të bëjnë thjeshtime të thyesave, në raste të thjeshta, pas faktorizimeve në gjymtyrët e tyre, duke vënë edhe kushtet për ndryshoren.


Rekomandohet që mësuesi t’u japë paraprakisht, si detyrë në shtëpi, nxënësve përsëritjen e mësimit mbi shndërrimet identike të shprehjeve me ndryshore. Mësimi mund të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin metodik të materialit në tekst. Është shumë i rëndësishëm, për formimin lëndor të nxënësit, përfundimi: “Gjatë thjeshtimit të shprehjes, kur pjesëtojmë numëruesin dhe emëruesin me monom apo polinom, do të kemi parasysh se barazimi që merret është identitet për vlerat e ndryshores, që nuk e bëjnë pjesëtuesin zero”. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 4, 5.

MATEMATIKA 8

135

Mësimi 8.5. USHTRIME PËR PËRDORIMIN E MËNYRAVE TË NDRYSHME TË FAKTORIZIMIT Synimi i këtij mësimi është që të thellohen e të zhvillohen më tej aftësitë e fituara nga nxënësit në mësimet e mëparshme, për përdorimin e mënyrave të ndryshme të faktorizimit. Mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin e dhënë në tekst. Është me rëndësi këshilla që jepet në tekst, për ta filluar faktorizimin e një polinomi, nëse është e mundur, nga nxjerrja në dukje e faktorit të përbashkët. Leximi i vëmendshëm individual (në klasë) i shembujve të zgjidhur të tekstit duhet të pasohet detyrimisht nga ushtrime (për punë të pavarur individuale apo me grupe). Veç atyre që janë vënë në tekst, mësuesi mund të propozojë edhe zgjidhjen e ushtrimeve të tjera, të përzgjedhura prej tij. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 4, 6.

Mësimi 8.6.

USHTRIME

Në këtë mësim synohet përforcimi i aftësive të nxënësve për të bërë faktorizime. Mësimi të zhvillohet me libër hapur. Nxënësit të lexojnë në tekst ushtrimin e zgjidhur nr.7 (Vërtetimi i faktit që katrori i çdo numri tek është numër tek). Më pas kombinohet zgjidhja e disa ushtrimeve nga nxënësit e klasës (me punë të pavarur individuale apo me grupe), me zgjidhjen në tabelë të disa ushtrimeve të tjera, nga nxënës të ndryshëm. Secili nga ushtrimet e dhëna për zgjidhje duhet të analizohet e të diskutohet me klasën. Si ushtrime të nivelit minimal (të përshtatshme për punën e pavarur individuale apo me grupe) të konsiderohen ata me numrat 1; 2; 9/a, b; 10/a, b.

Kreu IX: EKUACIONE DHE INEKUACIONE ME NJË NDRYSHORE Mësimi 9.1. NDRYSHORE

EKUACIONE TË NJËVLERSHËM ME NJË

Kuptime: Ekuacioni me një ndryshore. Rrënja e tij. Ekuacione të njëvlershëm në E. Veti: Tri teorema mbi njëvlershmërinë e ekuacioneve në Q. Metoda: Metoda të zgjidhjes së ekuacioneve me një ndryshore. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë nëse një vlerë e ndryshores është rrënjë e ekuacionit. • Të kryejnë shndërrime të thjeshta, të njëvlershme në Q, për ekuacionin me një ndryshore, duke u bazuar në tri teoremat.

136



Kjo njësi mësimore ka ngarkesë të konsiderueshme konceptuale, prandaj trajtimit të materialit, të paraqitur në të, i duhet kushtuar gjithë ora e mësimit. Mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin metodik të materialit në tekst. Kujdes duhet treguar në vetë kuptimin e ekuacionit, për të cilin shpesh dëgjohen formulime të pasakta në shkolla. Të mbahet përkufizimi që është dhënë në tekst: “Barazimi me një ndryshore quhet ekuacion, nëse kërkohen vlerat e ndryshores që e kthejnë atë në barazim numerik të vërtetë”. Kuptimi i njëvlershmërisë së ekuacioneve (sikurse edhe ai i identitetit) shqyrtohet në një bashkësi të caktuar. Më poshtë, në trajtimin e lëndës, do të shqyrtohet kryesisht zgjidhja e ekuacioneve në bashkësinë Q, prandaj janë dhënë pa vërtetim tri teoremat mbi njëvlershmërinë e ekuacioneve me një ndryshore në Q. Është mirë që mësuesi të japë, për t’u punuar në klasë (me punë të pavarur individuale apo me grupe), edhe disa ushtrime të tjera (veç atyre që janë dhënë në materialin teorik) si zbatime të thjeshta të tri teoremave.

Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Mësimi 9.2. NDRYSHORE

EKUACIONI I FUQISË SË PARË ME NJË

Kuptime: Ekuacioni i fuqisë së parë me një ndryshore. Veti: Teoremat për njëvlershmërinë e ekuacioneve në Q. Metoda: Metoda e zgjidhjes së ekuacionit, që sillet në trajtën ax+b=0. Metoda e zgjidhjes së ekuacioneve të trajtës (x-a)(x-b)=0. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të zgjidhin, me argumentim, ekuacione të fuqisë së parë me një ndryshore. • Të zgjidhin ekuacione të trajtës (x-a)(x-b)=0.


Mësimi mund të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin metodik të materialit në tekst. Ushtrimi i vendosur në hyrje ka rëndësi konceptuale (midis të tjerash tregon që jo çdo ekuacion i trajtës ax=b është ekuacion i fuqisë së parë), prandaj duhet të zgjidhet e të diskutohet në klasë. Shpesh herë përkufizimi i ekuacionit të fuqisë së parë me një ndryshore formulohet jo saktë. Mësuesi të këmbëngulë në formulimin e dhënë në tekst. Nxënësit duhet të japin argumentimet, për njëvlershmërinë e shndërrimeve të bëra, për

MATEMATIKA 8

zgjidhjen e ekuacionit

137

2 + x x −1 − = x + 2 në tekst. 3 6

Mësuesi duhet t’u japë për të zgjidhur në klasë (me punë të pavarur individuale apo me grupe) edhe ndonjë ekuacion tjetër të kësaj trajte, me synimin e familjarizimit me programin për zgjidhjen. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 4.

Mësimi 9.3. EKUACIONE ME NDRYSHORE NË EMËRUES Kuptime: Vlera e palejuar e shprehjes. Rrënja e ekuacionit. Ekuacione me ndryshore në emërues. Veti: Vetia: Kur shumëzojmë dy anët e një ekuacioni me polinom, rrënjë të ekuacionit fillestar janë vetëm rrënjët e ekuacionit të dytë, për të cilat shumëzuesi është i ndryshëm nga zero. Metoda: Metoda e zgjidhjes së ekuacioneve me ndryshore në emërues.


Trajtimit të materialit të ri i duhet kushtuar gjithë ora e mësimit, për shkak të ngarkesës së konsiderueshme vëllimore e konceptuale që ai paraqet. Mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin e dhënë në tekst. Ushtrimi i hyrjes synon të krijojë tek nxënësit bindjen që, vlera e palejuar për shprehjen, në anën e majtë ose në anën e djathtë të ekuacionit, nuk ka sesi të jetë rrënjë e ekuacionit. Nxënësit këtu, përtej përkufizimit të thatë të rrënjës, thellojnë kuptimin e saj (vlerë e ndryshores që është e lejuar për secilën anë dhe që i bënë të dyja anët të barabarta). Ushtrimi pasues synon që nxënësit të nxjerrin përfundimin: “Kur shumëzohen dy anët e ekuacionit me shprehje, që nuk ka vlera të palejuara të ndryshores, rrënjë të ekuacionit fillestar janë vetëm ato rrënjë të ekuacionit të dytë, që nuk e bëjnë zero shumëzuesin”. Më poshtë është dhënë një shembull zgjidhje ekuacioni me ndryshore në emërues dhe vetëm pastaj është afishuar (duke bërë përgjithësim) programi i zgjidhjes. Ushtrimi i vënë në materialin teorik duhet të zgjidhet detyrimisht në klasë (me punë të pavarur individuale a me grupe). Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 3, 4.

Mësimi 9.4.

PROBLEMA

Synimi i këtij mësimi është të familjarizojnë nxënësit me programin e zgjidhjes së problemave (që çojnë në ekuacion me një ndryshore) dhe t’i aftësojnë ata, për zgjidhjen e problemave të tilla shumë të thjeshta. Mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin e dhënë në tekst. Pasi njihen me programin për zgjidhjen, nxënësit lexojnë me laps në dorë shembullin e zgjidhur.

138


Më tej, ata me punë të pavarur individuale apo me grupe, fillojnë zgjidhjen e problemës pasuese (për të janë treguar hapat që duhen ndjekur). Rekomandohet që më tej nxënësit të zgjidhin edhe ndonjë problemë tjetër, të përzgjedhur nga mësuesi. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 4.

Mësimi 9.5. EKUACIONI I FUQISË SË DYTË ME NJË NDRYSHORE Kuptime: Ekuacioni i fuqisë së dytë me një ndryshore. Dallori i tij. Veti: Formula për rrënjët e ekuacionit të fuqisë së dytë me një ndryshore. Metoda: Zgjidhja e ekuacioneve të fuqisë së dytë të formës standard apo të trajtave jo të plota. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të zgjidhin ekuacione të fuqisë së dytë të trajtave jo të plota ax2+c=0; ax2+bx=0. • Të njehsojnë dallorin e ekuacionit ax2+bx+c=0 dhe të gjykojnë për numrin e rrënjëve të ekuacionit, sipas shenjës së tij. • Të shkruajnë formulën për rrënjët (kur D < 0) dhe ta përdorin atë në raste të drejtpërdrejta.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit Rekomandohet që mësuesi t’u japë, paraprakisht detyrë në shtëpi nxënësve, zgjidhjen e disa ekuacioneve të fuqisë së dytë, të trajtave jo të plota (ax2 +c=0; ax2 +bx=0), për përsëritjen e metodave të njohura të zgjidhjes së tyre.

Përkufizimi i dhënë përfshin, në ekuacionet e fuqisë së dytë me një ndryshore, jo vetëm ata të trajtës standard ax2 +bx+c=0 (a≠0), por edhe ata që sillen në këtë trajtë me shndërrime të njëvlershme. Mësimi mund të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin metodik, të paraqitur në tekst. Veç ushtrimeve të vendosura në materialin metodik (që duhen zgjidhur të gjitha), mësuesi është mirë t’i japë klasës, për punë të pavarur individuale apo me grupe, edhe 1-2 ushtrime për zgjidhje ekuacionesh të trajtës standard ax2 +bx+c=0. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 4, 6.

Mësimi 9.6.

USHTRIME

Synimi i mësuesit, në këtë orë mësimi, duhet të jetë përforcimi i njohurive dhe zhvillimi i aftësive, për zgjidhjen e ekuacioneve me një ndryshore që janë fituar në mësimet e mëparshme të kreut. Për këtë qëllim rekomandohet që, qysh në orën paraardhëse, nxënësve t’u vihet si detyrë në shtëpi, hartimi i një përmbledhje të fakteve e vetive kryesore. Duhet të krijohet bindja se, rruga e zgjidhjes së ekuacioneve me një ndryshore është

MATEMATIKA 8

139

përdorimi i shndërrimeve të njëvlershme (që ruajnë rrënjët), për t’i sjellë ata në trajtat standard ax+b=0; ax2 +bx+c=0. Mësimi të zhvillohet me libër hapur. Të kombinohet zgjidhja e disa ushtrimeve në klasë (me punë të pavarur apo me grupe), me zgjidhjen e disa ushtrimeve të tjera në tabelë, nga nxënës të ndryshëm. Secili nga ushtrimet e dhëna për zgjidhje duhet të diskutohet e të analizohet.

Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3, 4/a.

Mësimi 9.7. VEÇIMI I NJË SHKRONJE NË NJË FORMULË Kuptime: Formulat Veti: Teoremat mbi njëvlershmërinë e ekuacioneve. Metoda: Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve të fuqisë së parë apo të dytë. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të veçojnë njërën nga shkronjat në formula të trajtës ax+by=c. • Të veçojnë njërën nga shkronjat në formula të trajtës ax2=c. • Të zgjidhin, kundrejt x, ekuacionin me koeficientë shkronjorë ax2+bx+c=0.


Veçimi i një shkronje në një formulë është një kërkesë, që haset shpesh gjatë studimit të lëndëve të tjera (sidomos të shkencave të natyrës) në shkollë. Prandaj mësuesi duhet ta trajtojë këtë kërkesë me shumë vëmendje e seriozitet. Mësimi mund të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin e dhënë në tekst. Nxënësit duhet të krijojnë përfytyrim të qartë për faktin që, për të bërë këtë veçim, formulën e konsiderojmë si një ekuacion me një ndryshore, ku si ndryshore të konsiderohet pikërisht kjo shkronjë, kurse shkronjat e tjera të konsiderohen si numra të njohur. Zgjidhet ky ekuacion, duke përdorur shndërrimet që janë parë, për të marrë ekuacione të njëvlershëm. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3/a, 4.

Mësimi 9.8. INEKUACIONE ME NJË NDRYSHORE. INEKUACIONE TË NJËVLERSHËM Kuptime: Inekuacione me një ndryshore. Zgjidhja e tij. Inekuacione me një ndryshore të njëvlershme në E. Veti: Katër teorema mbi njëvlershmërinë e inekuacioneve me një ndryshore në Q. Metoda: Shndërrime të njëvlershme të inekuacioneve me një ndryshore. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë nëse një numër i dhënë është zgjidhje e një inekuacioni me një ndryshore.

140


• Të formulojnë dhe të përdorin, në raste direkte, katër teoremat mbi njëvlershmërinë e inekuacioneve me një ndryshore. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Trajtimi i kuptimit të inekuacionit, me një ndryshore në kursin shkollor ka ngjashmëri, por ka edhe ndryshime, me trajtimin e kuptimit të ekuacionit. Nxënësit duhet të kenë përfytyrim të qartë për inekuacionin me një ndryshore dhe të formulojnë saktë përkufizimin e zgjidhjes së tij. Ata duhet të kuptojnë se, zgjidhja e inekuacionit me një ndryshore kryhet duke e shndërruar atë në një inekuacion të njëvlershëm, por më të thjeshtë, deri sa të arrijnë në një inekuacion, për të cilin bashkësia e zgjidhjeve dallohet qartë. Të ndiqet shtjellimi metodik i materialit siç është paraqitur në tekst. Mësuesi duhet të ndalet në sqarimin e teoremës së katërt (shumëzimi i të dyja anëve të inekuacionit me numër negativ, duke ndërruar kahun), sepse në përdorimin e saj vërehen dendur gabime. Ushtrimeve, të vendosura në materialin teorik, që janë zbatime direkte të teoremave, u duhet lënë koha e duhur për t’u punuar në klasë (në mënyrë individuale apo në grupe). Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 5, 6.

Mësimi 9.9. INEKUACIONI I FUQISË SË PARË ME NJË NDRYSHORE Kuptime: Inekuacioni i fuqisë së parë me një ndryshore. Veti: Teoremat mbi njëvlershmërinë e inekuacioneve me një ndryshore. Metoda: Shndërrime të njëvlershme në Q të inekuacioneve me një ndryshore. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të zgjidhin inekuacione të thjeshta të fuqisë së parë me një ndryshore, duke i sjellë ata në ndonjë nga trajtat x>c; x ≤ c ; x ≥ c ; x>c. • Të gjykojnë për bashkësinë e zgjidhjeve të inekuacionit 0·x

Të mbahet parasysh se kur thuhet shkurt “të zgjidhet inekuacioni me një ndryshore”, nënkuptohet “të zgjidhet ky inekuacion në bashkësinë Q”. Në këtë mësim nuk bëhet paraqitja e bashkësisë së zgjidhjeve në boshtin numerik, pasi ajo është bashkësi numrash racionalë dhe si e tillë nuk “mbush”asnjë lloj intervali numerik në bosht.

MATEMATIKA 8

141

Mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin metodik të materialit në tekst. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3.

Kreu X:

MATJET

Mësimi 10.1.

GABIMET NË MATJE

Kuptime: Vlera mesatare. Gabimi absolut. Gabimi relativ. Veti: Formula për gjetjen e vlerës mesatare. Mosbarazimi x m − ∆x < x < x m + ∆x . Metoda: Matjet e drejtpërdrejta. Matjet e tërthorta. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përcaktojnë gabimin absolut në matjet e drejtpërdrejta. • Të gjejnë vlerën mesatare, kur janë bërë disa matje të një madhësie. • Të shkruajnë mosbarazimin për vlerën e vërtetë të madhësisë x m − ∆x < x < x m + ∆x . • Të gjejnë gabimin relativ në një matje direkte.


Ky mësim është mjaft i rëndësishëm për formimin e përgjithshëm të nxënësit. Në të shprehet mjaft qartë ndihmesa e matematikës në veprimtarinë praktike të njeriut dhe në shkencat eksperimentale. Mësimi të zhvillohet, duke ndjekur shtjellimin e dhënë në tekst. Me rëndësi është që të trajtohen shembujt dhe të punohen, në mënyrë të pavarur apo me grupe, ushtrimet e vendosura në materialin teorik. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2.

Mësimi 10.2. KUPTIMI PËR SIPËRFAQEN. SIPËRFAQJA E DREJTKËNDËSHIT Kuptime: Sipërfaqja Veti: Aksioma e matjes së sipërfaqeve. Formula për sipërfaqen e drejtkëndëshit. Metoda: Matjet e tërthorta. Induksioni dhe deduksioni. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin në raste direkte aksiomën IX (matja e sipërfaqeve). • Të përdorin, në raste të thjeshta, formulën për sipërfaqen e drejtkëndëshit.


Me këtë mësim fillon trajtimi sistematik dhe i bazuar i matjes së sipërfaqeve të figurave plane. Lidhur me terminologjinë, mësuesi të mbajë parasysh, se me fjalën “sipërfaqe

142


e figurës”kuptohet numri pozitiv, që i lidhet asaj sipas një procedure të caktuar (që nis me aksiomën IX dhe vazhdon me teoremat që nxirren prej saj). Prandaj sqarimit të përmbajtjes së aksiomës IX i duhet kushtuar rëndësi. Formula e sipërfaqes së drejtkëndëshit është trajtuar në rrugën induktivo-deduktive. Një shembull gjysmë i zgjidhur synon të ngjallë te nxënësit një hamendje të caktuar, e cila finalizohet me nxjerrjen e përfundimit përgjithësues. Vërtetimi i teoremës është bërë me rrugën deduktive, duke u bazuar tek aksioma IX. Përtej shembullit të dhënë në tekst, mësuesi të organizojë zgjidhjen (me punë të pavarur individuale apo në grupe) e ndonjë ushtrimi të përzgjedhur prej tij. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 3, 5.

Mësimi 10.3.

SIPËRFAQJA E TREKËNDËSHIT

Kuptime: Trekëndëshi. Lartësia e trekëndëshit. Sipërfaqja Veti: Sipërfaqja e trekëndëshit kënddrejtë është sa gjysma e prodhimit të kateteve. Sipërfaqja e trekëndëshit është sa gjysma e prodhimit të një brinje me lartësinë e hequr mbi të. Metoda: Deduksioni. Metoda e bisedës. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin, në raste të thjeshta, formulën për sipërfaqen e trekëndëshit kënddrejtë. • Të përdorin, në raste të thjeshta, formulën për sipërfaqen e trekëndëshit të çfarëdoshëm.


Në tekst janë dhënë vërtetime sintetike, si për formulën për sipërfaqen e trekëndëshit kënddrejtë, ashtu edhe për formulën për sipërfaqen e trekëndëshit të çfarëdoshëm. Mësuesi t’i trajtojë ato me metodën e bisedës. Detyrimisht duhet vënë në dukje, se trekëndëshi i çfarëdoshëm ka tri lartësi, prandaj sipërfaqja e tij, sipas formulës së nxjerrë, mund të shprehet në tri mënyra. Veç shembullit dhe ushtrimit të vendosur në materialin teorik, është mirë që mësuesi të organizojë edhe zgjidhjen në klasë, me punë të pavarur individuale apo me grupe, edhe të ndonjë ushtrimi tjetër, të përzgjedhur prej tij. Trajtimit të materialit për këtë njësi mësimore i duhet kushtuar gjithë ora e mësimit. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3.

MATEMATIKA 8

Mësimi 10.4.

143

TEOREMA E PITAGORËS

Kuptime: Trekëndëshi kënddrejtë. Katrori. Sipërfaqja e figurës. Veti: Teorema e Pitagorës. Teorema e anasjellë e Pitagorës. Metoda: Deduksioni. Metoda e bisedës. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin në raste të thjeshta, teoremën e Pitagorës. • Të përdorin në raste të thjeshta, teoremën e anasjellë të Pitagorës.


Materiali i parashikuar për këtë njësi mësimore ka ngarkesë konceptuale e vëllimore, prandaj trajtimit të tij i duhet kushtuar gjithë ora e mësimit. Është mirë, që duke patur në konsideratë komponenten epistemiologjike të mësimdhënies së matematikës, mësuesi t’i njohë nxënësit shkurt me historikun e zbulimit të asaj, që sot njihet me emrin “Teorema e Pitagorës”. Vërtetimi i dhënë në tekst është sintetik; mësuesi ta trajtojë me metodën e bisedës. Duhen trajtuar të dy shembujt pasues përsëri me metodën e bisedës. Përvoja tregon se në zbatime nxënësit ngatërrojnë teoremën e Pitagorës me të anasjellën e saj. Prandaj sqarimit të kushtit dhe të përfundimit të teoremës së anasjellë të Pitagorës i duhet lënë vendi i duhur. Një shembull historik i zbatimit të kësaj është ndërtimi i këndit të drejtë, me anë të trekëndëshit “egjiptian”. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3.

Mësimi 10.5.

ZBATIME

Kuptime: Sipërfaqja e shumëkëndëshit. Diagonalja e tij. Veti: Shprehja e diagonales së katrorit nëpërmjet brinjës. Shprehja e sipërfaqes së trekëndëshit barabrinjës nëpërmjet brinjës. Metoda: Metodat për gjetjen e sipërfaqes së shumëkëndëshit. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të matin sipërfaqen e një shumëkëndëshi, duke e ndarë atë në mënyrë të përshtatshme në trekëndësha. • Të përdorin, në raste të thjeshta, formulat që shprehin diagonalen e katrorit nëpërmjet brinjës dhe sipërfaqen e trekëndëshit barabrinjës nëpërmjet brinjës.


Mësimi përmban tri çështje kryesore: a) Gjetjen e sipërfaqes së shumëkëndëshit. b) Shprehjen e diagonales së katrorit nëpërmjet brinjës. c) Shprehjen e sipërfaqes së trekëndëshit barabrinjës nëpërmjet brinjës.

144


Që të tria këto çështje mund të shtrohen si ushtrime para nxënësve, duke organizuar punën e pavarur individuale apo me grupe të tyre, për gjetjen e zgjidhjes. Rezultatet e arritura prej tyre të analizohen e diskutohen me të gjithë klasën. Në të njëjtën mënyrë të procedohet edhe për zgjidhjen e ushtrimeve të vendosura në materialin teorik. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 3, 4, 5.

Mësimi 10.6.

GJATËSIA E HARKUT TË RRETHIT

Kuptime: Këndi qendror. Masa e harkut. Gjatësia e harkut. Veti: Gjatësia e harkut no në rrethin me rreze R është . Metoda: Deduksioni Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të nxjerrin me argumentim formulën

.

• Ta përdorin këtë formulë në situata të thjeshta matematikore e praktike. • Të gjejnë nga kjo formulë vlerën e njërës ndryshore, kur njohin vlerat e dy të tjerave.


Mësimi të zhvillohet me metodën e bisedës, si për nxjerrjen e formulës, ashtu edhe për trajtimin e shembujve të zbatimit të saj. Të ndiqet shtjellimi metodik i materialit në tekst, duke nxjerrë në fillim gjatësinë e harkut prej 10. Përvoja tregon se shpesh nuk dallohen qartë konceptet masë e harkut dhe gjatësi e harkut, prandaj i duhet kushtuar vëmendje ndarjes së tyre. Pas punimit të shembujve, rekomandohet që mësuesi t’i japë klasës ndonjë ushtrim, për punë të pavarur individuale apo me grupe. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1/a, 2, 6.

Mësimi 10.7.

SIPËRFAQJA E SEKTORIT QARKOR

Kuptime: Sektori qarkor.

π R2n

Veti: Formula për sipërfaqen e sektorit qarkor S= . 360 Metoda: Deduksioni

MATEMATIKA 8

145

Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje:

• Të nxjerrin me argumentim formulën S=

π R2n

π R2n

360

.

• Të nxjerrin nga formula S= , vlerën e njërës ndryshore, kur njihen vlerat e dy 360 të tjerave. • Të përdorin këtë formulë në situata të thjeshta matematikore apo praktike.


Mësimi të zhvillohet me metodën e bisedës, si për nxjerrjen e formulës, ashtu edhe për trajtimin e shembujve. Të ndiqet shtjellimi i dhënë në tekst, duke nxjerrë në fillim sipërfaqen e sektorit qarkor, me kënd qendror 10. Ushtrimet e vendosura në materialin teorik të punohen në mënyrë të pavarur individuale apo me grupe në klasë. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3.

Mësimi 10.8.

USHTRIME

Synimi i mësuesit, për këtë orë mësimi, duhet të jetë përforcimi i njohurive dhe zhvillimi i aftësive të fituara në mësimet e mëparshme të kreut. Rekomandohet që ai, qysh në orën paraardhëse t’u vërë nxënësve, si detyrë shtëpie, përgatitjen e një përmbledhje të fakteve kryesore të kreut. Në klasë të kombinohet puna e nxënësve në grupe, për zgjidhjen e disa ushtrimeve, me zgjidhjen në tabelë të disa ushtrimeve të tjera, nga nxënës të ndryshëm. Secili nga ushtrimet e dhëna për zgjidhje duhet të analizohet e diskutohet me klasën. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 7, 10. Ushtrimi i zgjidhur nr.11 duhet të diskutohet në klasë.

KREU XI:

FUNKSIONI

Mësimi 11.1.

KUPTIMI I FUNKSIONIT

Kuptime: Lidhja e dy bashkësive (Relacioni). Funksioni. Bashkësia e përcaktimit. Bashkësia e vlerave. Funksioni numerik. Metoda: Dhënia e funksionit me diagram shigjetor, me tabelë, me formulë. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje:

146


• Të dallojnë nëse një lidhje funksionale, e dhënë me diagram shigjetor apo tabelë, është funksion. • Për funksionin e dhënë me diagram shigjetor apo tabelë, të gjejnë shëmbëllimin e çdo fytyre dhe të emërtojnë bashkësinë e përcaktimit dhe bashkësinë e vlerave. • Të japin me tabelë funksionin e dhënë me formulë, kur bashkësia e përcaktimit është e fundme.


Materiali i parashikuar për këtë njësi mësimore ka ngarkesë vëllimore e konceptuale, prandaj trajtimit të tij i duhet kushtuar gjithë ora e mësimit. Mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin metodik të materialit në tekst. Nxënësit të plotësojnë shembujt gjysmë të zgjidhur dhe të punojnë, në mënyrë individuale apo me grupe, ushtrimet e vendosura në materialin teorik. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 2, 3, 4, 5/a, b, 7.

Mësimi 11.2. GRAFIKU I FUNKSIONIT Kuptime: Çifti i radhitur i koordinatave të pikës. Grafiku i funksionit numerik. Veti: Kushti që një bashkësi pikash të mund të shërbejë si grafik funksioni numerik. Metoda: Ndërtimi i grafikut të funksionit të dhënë. Leximi i grafikut. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë, nëse një bashkësi pikash në planin xOy është grafik funksioni numerik. • Nga grafiku i dhënë i funksionit, të gjejnë shëmbëllimin e çdo fytyre dhe fytyrat për çdo shëmbëllim. • Nga grafiku i dhënë i një funksioni, të gjykojnë për bashkësinë e përcaktimit dhe bashkësinë e vlerave. • Të ndërtojnë grafikun e funksionit, dhënë me diagram shigjetor apo tabelë. • Të ndërtojnë grafikun e funksionit me bashkësi përcaktimi të fundme, dhënë me formulë shumë të thjeshtë.


Edhe trajtimit të materialit, të vendosur në këtë njësi mësimore i duhet kushtuar gjithë ora e mësimit, për shkak të ngarkesës së konsiderueshme vëllimore e konceptuale, që ai paraqet. Mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin metodik të materialit në tekst. Mësuesi të mbajë parasysh, se nuk është thelbësor riprodhimi i përkufizimit të grafikut të funksionit, por zotërimi i thelbit të tij që shfaqet në aftësimin për të ndërtuar grafikun e për të : "lexuar"grafikë të dhënë. Pikërisht në këto dy aspekte duhet të përqendrohet puna e tij. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3.

MATEMATIKA 8

Mësimi 11.3.

147

FUNKSIONI LINEAR

Kuptime: Funksioni linear. Veti: Grafiku i funksionit linear ( x ∈ Q ) është bashkësi pikash, që ndodhen në një drejtëz. Metoda: Ndërtimi i grafikut dhe leximi i tij. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë, nëse një funksion i dhënë me formulë është funksion linear. • Të ndërtojnë grafikun e funksionit linear ( x ∈ Q ), duke marrë dy pika të tij. • Të modelizojnë situata praktike, duke përdorur funksionin linear. • Të përdorin faktin që, grafiku i funksionit linear është bashkësi pikash, që ndodhen në një drejtëz, në situata matematikore apo praktike.


Është e rëndësishme që të dilet në kuptimin e funksionit linear nga shqyrtimi i situatave praktike, që modelohen me formulën y=ax+b, siç është vepruar në tekst. Këtu e më tutje të mbahet parasysh marrëveshja e rëndësishme: “Nëse nuk e përmendim bashkësinë e përcaktimit të funksionit, të dhënë me formulë, do të nënkuptojmë që ajo është Q”. Mësimi të zhvillohet me metodën e bisedës. Tërheqim vëmendjen në një formulim “Grafiku i një funksioni linear është një bashkësi pikash, që ndodhen në një drejtëz”. Nuk thuhet që “grafiku është drejtëz”, sepse bashkësia e përcaktimit është Q, kurse në drejtëz ka edhe një bashkësi të pafundme pikash, që i kanë abshisat irracionale. Veç trajtimit të shembujve, të vendosura në tekst (me metodën e bisedës), mësuesi t’i japë klasës për ushtrim, me punë të pavarur apo në grupe, ndërtimin praktik të grafikut të një funksioni linear, të dhënë me formulë, me bashkësi përcaktimi Q apo me bashkësi përcaktimi një pjesë të Q. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3.

Mësimi 11.4. RASTE TË VEÇANTA TË FUNKSIONIT LINEAR Kuptime: Funksioni konstant. Funksioni përpjesëtimor Veti: Veçoritë pozicionale të grafikëve të funksioneve y=b; y=ax. Metoda: Ndërtimi dhe leximi i grafikëve. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të ndërtojnë grafikun e funksionit y=b; y=ax me bashkësi përcaktimi Q apo nënbashkësi të Q. • Të përdorin veçoritë pozicionale të këtyre grafikëve, në situata të thjeshta matematikore apo praktike.

148



Është plotësisht e mundur që përfundimet për grafikët e funksioneve y=b, y=ax të nxirren nga vetë nxënësit, duke zbatuar njohuritë, që ata zotërojnë. Prandaj puna e pavarur, individuale apo në grupe, duhet të zërë vend kryesor në zhvillimin e këtij mësimi. Por është e rëndësishme që kjo veprimtari të mos mbetet e hallakatur; rezultatet përgjithësuese duhet të fiksohen, duke bërë diskutimin e arritjeve dhe përmbledhjen e tyre. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 4.

Mësimi 11.5.

STUDIMI I FUNKSIONIT LINEAR

Kuptime: Funksioni linear. Koeficienti këndor i drejtëzës. Veti: Veçori të pozicionit të grafikut të funksionit y=ax+b, që lidhen me shenjën dhe vlerën e a. Metoda: Ndërtimi dhe leximi i grafikëve. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjykojnë, në bazë të shenjës së a, mbi faktin nëse funksioni linear y=ax+b është rritës (zbritës). • Të gjykojnë, në bazë të vlerës së a, mbi pjerrësinë e grafikut të funksionit y=ax+b, ndaj boshtit Ox.


Mësimi të zhvillohet me libër hapur. Shtjellimi i mësimit në tekst synon që rezultatet përgjithësuese të nxirren nga nxënësit, me punë të pavarur apo me grupe. Kështu duhet të procedojë edhe mësuesi në orën e mësimit, duke u kujdesur që nxënësve t’u lihet kohë e mjaftueshme për të punuar dhe t’u jepet mundësia të shprehen e të vetëkorrigjohen. Në fund, për secilën kërkesë pas diskutimit, duhet të nxirren e të fiksohen konkluzionet përmbledhëse. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 2, 4, 5.

Mësimi 11.6.

USHTRIME

Synimi i mësuesit në këtë orë mësimi, duhet të jetë përforcimi i njohurive dhe zhvillimi i aftësive, të fituara nga nxënësit në orët e mëparshme të kreut. Paraprakisht nxënësit të kenë hartuar në shtëpi një përmbledhje të fakteve kryesore, të njohura prej tyre. Në klasë të kombinohet puna e pavarur, individuale apo në grupe, e nxënësve për zgjidhjen e disa ushtrimeve, me zgjidhjen në tabelë, nga nxënës të ndryshëm, i disa ushtrimeve të tjera. Secili nga ushtrimet e dhëna për zgjidhje duhet të analizohet e të diskutohet në klasë. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3, 4, 5.

MATEMATIKA 8

149

Mësimi 11.7. FUNKSIONI PËRPJESËTIMOR I ZHDREJTË y=

a x

(a ≠ 0)

Kuptime: Funksioni përpjesëtimor i zhdrejtë. Hiperbola. Veti: Veçori të grafikut të funksionit y =

a , për a>0; për a<0. x

Metoda: Ndërtimi dhe leximi i grafikëve Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të skicojnë me pika grafikun e funksionit y = • Të nxjerrin nga grafiku veti të thjeshta të tij.

a ( a ≠ 0 ). x

• Të modelojnë matematikisht, me anë të formulës y =

a , situata të thjeshta praktike. x


Është e rëndësishme që të dilet në kuptimin e funksionit përpjesëtimor të zhdrejtë, nëpërmjet shqyrtimit të situatave të thjeshta praktike, siç është vepruar në tekst. Trajtimi i materialit të bëhet duke aktivizuar nxënësit, me metodën e bisedës, si për faktet e reja, ashtu edhe për shembujt e dhënë të zgjidhur. Ushtrimi i vendosur në materialin teorik, shoqëruar edhe me ndonjë ushtrim tjetër, përzgjedhur nga mësuesi në fund të mësimit, duhet të punohet në klasë nga nxënësit, me punë të pavarur individuale apo në grupe. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 5.

Mësimi 11.8.

FUNKSIONI y=x2

Kuptime: Funksioni y=x2. Parabola. Veti: Veçori të grafikut të funksionit y=x2. Metoda: Ndërtimi dhe leximi i grafikëve. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të ndërtojnë me pika grafikun e funksionit y=x2. • Të nxjerrin prej grafikut, veti të thjeshta të këtij funksioni.


150


Mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin e materialit në tekst. Nxënësit të lexojnë shembujt e zgjidhur, të plotësojnë tabelat e shembujt gjysmë të zgjidhur, të punojnë në mënyrë të pavarur apo me grupe, për zgjidhjen e ushtrimeve të vendosura në materialin teorik. Tërheqim vëmendjen në përfundimin e dhënë në tekst: “Grafiku i funksionit, të dhënë me formulën y=x2 , x∈Q, është një bashkësi pikash, që ndodhen në një vijë që quhet parabolë”. Nuk është thënë “Grafiku është parabolë”, sepse kemi x∈Q, kurse në parabolë ndodhen edhe një pafundësi pikash me abshisa irracionale. Vetitë e funksionit y=x2 , x∈Q të nxirren jo nga studimi i formulës (rruga algjebrike), por nga shqyrtimi i grafikut të skicuar. Është mirë që mësuesi të trajtojë edhe ndonjë situatë praktike, që modelohet me formulën y=x2 . Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3.

Mësimi 11.9.

FUNKSIONI y=ax2 ( a ≠ 0 )

Kuptime: Funksioni y=ax2 ( a ≠ 0 ). Parabola Veti: Veçori të grafikut të funksionit y=ax2, për a>0; për a<0. Metoda: Ndërtimi dhe leximi i grafikëve. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të skicojnë grafikun e funksionit y=ax2, për vlera të plota të a. • Të nxjerrin nga grafiku veti të thjeshta të këtij funksioni. • Të modelojnë situata praktike, me anë të formulës y=ax2.


Është me vlera, për formimin lëndor e të përgjithshëm të nxënësit, shqyrtimi hyrës i disa situatave praktike, që modelohen matematikisht me anë të formulës y=ax2 . Rekomandohet që mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin e dhënë në tekst. Nxënësit të lexojnë shembujt e dhënë, të plotësojnë tabelat e shembujt gjysmë të zgjidhur dhe të punojnë, në mënyrë të pavarur apo në grupe, për zgjidhjen e ushtrimeve të vendosura në materialin teorik. Shembujt dhe ushtrimet synojnë në nxjerrjen e përfundimeve përgjithësuese. Është mirë të thuhet: “Grafiku i funksionit y=ax2 , x∈Q (ku a>0) është bashkësi pikash, që ndodhet në një vijë të përkulur (parabolë)”. Vetitë e funksionit y=ax2 (për a>0 dhe a<0) të nxirren prej shqyrtimit të grafikëve. Janë shumë të vlershëm shembujt praktikë nga jeta e përditshme, që jepen për ilustrimin e parabolës. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3.

MATEMATIKA 8

KREU XII

151

SHNDËRRIMET GJEOMETRIKE

Mësimi 12.1-12.2 KOORDINATAT E PIKËS NË PLAN. USHTRIME Kuptime: Boshtet e koordinatave. Koordinatat e pikës në plan. Kuadrantet. Veti: Shenjat e koordinatave të pikës në varësi të kuadrantit. Metoda: Përsëritje e njohurive nga klasat e mëparshme. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përkufizojnë kooordinatat e pikës në plan. Në një sistem koordinativ • Të gjejnë koordinatat e pikës kur jepet pika. • Të ndërtojnë pikën jepen koordinatat e saj. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Në këtë orë mësimi nuk trajtohen njohuri të reja. Nëpërmjet shembujve dhe me një pjesëmarrje të gjerë të nxënësve, mësuesi kujdeset që të kujtohen njohuritë e trajtuara në klasat e mëparshme. Të tilla janë gjetja e koordinatave të pikës (ushtrimi 1) dhe ndërtimi i pikës kur jepen koordinatat e saj (ushtrimi 2). Gjithashtu duhen kujtuar shenjat e koordinatave të pikës sipas kuadrantit në të cilin ndodhet pika. Po kështu duhet të trajtohet (mundësisht nga nxënësit) që pikat e boshtit të abshisave e kanë ordinatën zero dhe pikat e boshtit të ordinatave e kanë abshisën zero. Të gjithë ushtrimet e rubrikës “Ushtrime”mund të zgjidhen në klasë. Nëse kjo nuk realizohet disa mund të jepen për detyrë shtëpie. Në orën e dytë (Ushtrime) nëpërmjet zgjidhjes, përforcohen njohuritë lidhur me koordinatat e pikës në plan. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr.1,2 (Faqe 174)

Mësimi 12.3

VEKTORI DHE ZHVENDOSJA PARALELE

Kuptime: Vektori. Zhvendosja paralele e pikës. Fytyra, shëmbëllimi. Veti: Vektori si zhvendosje paralele. Shëmbëllimi i segmentit fytyrë në zhvendosjen  paralele me vektor a është segment paralel dhe kongruent me segmentin fytyrë. Metoda: Përkufizim. Deduksion. Zbatim në ushtrime. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përkufizojnë zhvendosjen paralele të pikës. • Të zbatojnë në ushtrime, teoremën lidhur me shëmbëllimin e segmentit në  zhvendosjen paralele me vektor a .

152



Nga klasa e shtatë nxënësit disponojnë njohuri lidhur me vektorin dhe koordinatat e tij, prandaj mësuesi vetëm se i kujton dhe i sistemon këto njohuri. Më pas trajtohet shembulli 1, ku pas ndërtimit të shëmbëllimit të segmenti, vihet re (me vëzhgim) se segmentet fytyrë dhe shëmbëllim janë paralelë dhe kongruentë. Pas kësaj vërtetohet teorema përkatëse, vërtetimi i të cilës është relativisht i thjeshtë. Ndërtimi i trekëndëshit shëmbëllim në një zhvendosje paralele si edhe kongruenca e tij me trekëndëshin fytyrë është rrjedhim i drejtpërdrejtë i teoremës së vërtetuar. Vërtetimi i saj mund të jepet vetëm për një kategori të caktuar nxënësish dhe nuk ka pse të kontrollohet në mësimin e ardhshëm. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1 dhe 2.

Mësimi 12.4

SHUMA E VEKTORËVE

Kuptime: Shuma e vektorëve.

  Veti: Koordinatat e vektorit shumë u + v janë shumë e koordinatave të vektorëve   u dhe v Metoda: Përkufizim. Induksion. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje:   • Të gjejnë koordinatat e vektorit shumë u + v kur jepen koordinatat e vektorëve   u dhe v . • Të zbatojnë këtë përfundim në zgjidhjen e ushtrimeve.


Mësimi të zhvillohet sipas ecurisë së propozuar në tekst. Përfundimi i arritur në zgjidhjen e shembullit të përgjithësohet! Klasa mund të ndahet në grupe të cilëve t’u jepen ushtrime për gjetjen e shëmbëllimeve të figurave të ndryshme në zhvendosje paralele (Figurat të jenë trekëndësha, ose katërkëndësha të njohur si katrorë, rombe, drejtkëndësha). Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1,2/a,c

Mësimi 12.5

SIMETRIA QENDRORE

Kuptime: Simetria qendrore. Fytyra shëmbëllimi. Veti: Pikat A dhe A1 janë simetrike në lidhje me pikën O, në qoftë se pika O është mesi i segmentit AA1. Shëmbëllimi i segmentit AB në simetrinë në lidhje më pikën O është segmenti A1B1

MATEMATIKA 8

153

paralel dhe kongruent me AB. Shëmbëllimi i këndit në simetrinë në lidhje me pikën O është kënd kongruent me të. Metoda: Përkufizim. Deduksion. Përgjithësim. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përkufizojnë shëmbëllimin e pikës dhe figurës në simetrinë qendrore. • Të zbatojnë përkufizimin dhe vetitë e figurave simetrike në simetrinë qendrore, në zgjidhjen e problemeve.


Nxënësit njihen me simetrinë qendrore nga klasat e mëparshme, kështu që kjo situatë e favorshme duhet shfrytëzuar nga mësuesi. Mësuesi, fillimisht kujton përkufizimin dhe kërkon nga nxënësit që të ndërtojnë pikat simetrike të disa pikave të dhëna (në lidhje me një pikë fikse). Më pas kalohet në vërtetimin e teoremës lidhur me figurën simetrike të segmentit. Vërtetimi i saj është i thjeshtë dhe mund të bëhet nga vetë nxënësit pasi mësuesi t’i udhëzojë ata për hapat e vërtetimit. Më pas kalohet në ndërtimin e shëmbëllimeve të disa figurave të thjeshta, si edhe formulohet pohimi për figurën simetrike të këndit. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1 dhe 2.

Mësimi 12.6

SIMETRIA BOSHTORE

Kuptime: Simetria boshtore. Fytyra shëmbëllimi. Veti: Pikat M dhe M1 janë simetrike në lidhje me drejtëzën d, në qoftë se pika MM1^d dhe MK=M1K (K është pika e prerjes së d me MM1). Shëmbëllimi i segmentit AB në simetrinë në lidhje me një drejtëz d është segmenti A1B1 kongruent me AB. Metoda: Përkufizim. Induksion. Përgjithësim. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përkufizojnë simetrinë boshtore të pikës dhe figurave. • Të zbatojnë vetitë e figurave simetrike në simetrinë boshtore, në zgjidhjen e problemave.


Edhe me simetrinë boshtore, nxënësit njihen nga klasat e mëparshme. Përsëritja e përkufizimit dhe gjetja e figurës simetrike të segmentit të realizohet nga të gjithë nxënësit në fletoret e tyre. Me anën e matjeve të drejtpërdrejta nxënësit të binden që segmentet fytyrë dhe shëmbëllim në simetrinë në lidhje me një drejtëz janë kongruentë. Po kështu të veprohet edhe për trekëndëshat simetrikë. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1,2 dhe 3.

154

Mësimi 12.7


ZBATIME

Qëllimi i kësaj ore mësimi është përdorimi i njohurive për simetrinë (qendrore e boshtore) në vërtetimin e teoremave të thjeshta apo në zgjidhje problemave (kryesisht me ndërtime). Në zgjidhjen e ushtrimit 1 arrihet në përfundimin se pikëprerja e diagonaleve të paralelogramit është qendër simetrie e tij. Pas kësaj është e udhës të ndërtohen figura të tjera që kanë apo nuk kanë qendra simetrie dhe ndërtimi i tyre t’iu kërkohet nxënësve. E njëjta procedurë të ndiqet edhe lidhur me drejtëzën e simetrisë së figurave. Të gjithë ushtrimet e kësaj ore mësimi janë relativisht të thjeshtë.

Mësimi 12.8

RROTULLIMI

Kuptime: Drejtimi orar dhe kundërorar. Rrotullimi. Fytyra shëmbëllimi. Këndi i rrotullimit. Veti: Shëmbëllimi i segmentit AB në rrotullimin me qendër dhe kënd të dhënë është segmenti A1B1 kongruent me AB. Metoda: Përkufizim. Ndërtim. Induksion. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të ndërtojnë shëmbëllimin e një figure të thjeshtë në rrotullimin me qendër dhe kënd të çfarëdoshëm.


Rekomandojmë që mësimi të zhvillohet me libër hapur dhe të procedohet sipas tij. Në qoftë se disponohet maketi i orës, të jepen ushtrime të ndryshme për gjetjen e shëmbëllimeve (duke ndryshuar pozicionin e fytyrës dhe këndit të rrotullimit). Pastaj në fletoren e vet duke përdorur vizoren dhe raportorin të kërkohet nga nxënësit që të ndërtojnë shëmbëllimin e segmenteve të ndryshëm dhe të binden (duke matur) që segmentet fytyrë dhe shëmbëllim janë kongruentë. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1 dhe 3.

Mësimi 12.9

ZGJERIMI I FIGURAVE

Kuptime: Zgjerimi. Koeficienti i zmadhimit. Vija e mesme e trekëndëshit. Veti: Përmasat e shëmbëllimit janë më të mëdha (më të vogla) se ato të fytyrës në qoftë se k>1 (k<1). Vija e mesme e trekëndëshit është paralele me brinjën e tretë dhe sa gjysma e saj.

MATEMATIKA 8

155

Metoda: Përkufizim. Ndërtim. Induksion. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të ndërtojnë shëmbëllimet e figurave të thjeshta në zmadhimin me koeficient të caktuar. • Të njohin vetinë e vijës së mesme të trekëndëshit dhe ta zbatojnë atë në situata të thjeshta.


Me zgjerimin e figurave nxënësit njihen nga klasa e shtatë, prandaj pjesa e parë e orës së mësimit ka karakterin e një përsëritje. Me anën e ndërtimeve të drejtpërdrejta, gjenden shëmbëllimet e figurave (kryesisht 1 trekëndësha) me qendër O dhe koeficient k=2 dhe k = . Më pas kalohet në vetinë e 2 vijës së mesme të trekëndëshit, e cila ka përdorim të gjërë në të ardhmen (në zgjidhjen e problemave). Rekomandojmë që mund të mos kërkohet vërtetimi i saj, por të njihet ajo mirë. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1 she 4.

Mësimi 12.10

USHTRIME

Në këtë orë mësimi nëpërmjet ushtrimeve ripërsëriten veprimet për gjetjen e shëmbëllimeve të figurave në shndërrime të ndryshme (simetri qendrore, boshtore, rrotullim, zhvendosje paralele, zgjerim). Është mjaft i rëndësishëm shënimi që evidenton shndërrimet izometrike dhe ato jo izometrike. Si ushtrime të nivelit minimal janë 2,3 dhe 6.

156


KREU XIII. EKUACIONE DHE SISTEME ME DY NDRYSHORE Mësimi 13.1. EKUACIONI I FUQISË SË PARË ME DY NDRYSHORE. GRAFIKU I TIJ Kuptime: Ekuacioni i fuqisë së parë me dy ndryshore. Zgjidhja e tij. Grafiku i tij. Veti: Grafiku i ekuacionit të fuqisë së parë me dy ndryshore është drejtëz. Metoda: Metoda e ndërtimit të grafikëve. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjejnë zgjidhje të ekuacionit të fuqisë së parë me dy ndryshore. • Të ndërtojnë grafikun e këtij ekuacioni.


Mësimi të zhvillohet me metodën e bisedës, duke ndjekur shtjellimin metodik të paraqitur në tekst. Mësuesi duhet të tregojë kujdes në sqarimin e këtyre çështjeve: 1. Barazimi me dy ndryshore quhet ekuacion nëse kërkohen zgjidhjet e tij. 2. Zgjidhja e një ekuacioni me dy ndryshore është një çift i radhitur numrash. 3. Ka një program, për të gjetur zgjidhje të ekuacionit të fuqisë së parë me dy ndryshore. 4. Bashkësia e zgjidhjeve të këtij ekuacioni është e pafundme. 5. Bashkësisë së zgjidhjeve i përgjigjet në xOy një bashkësi pikash, që quhet grafik. 6. Grafiku i ekuacionit të fuqisë së parë me dy ndryshore është drejtëz. Me metodën e bisedës të trajtohen edhe shembujt e zgjidhur, që janë vendosur në tekst. Ushtrimet në materialin teorik mund të shtohen me përzgjedhje të mësuesit dhe duhen zgjidhur në klasë, me punë të pavarur apo me grupe. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Mësimi 13.2. SISTEMI I DY EKUACIONEVE TË FUQISË SË PARË ME DY NDRYSHORE. ZGJIDHJA GRAFIKE E TIJ. Kuptime: Sistemi i dy ekuacioneve me dy ndryshore. Zgjidhja e tij. Veti: Zgjidhjes së sistemit i përgjigjet një pikë, që ndodhet në grafikët e dy ekuacioneve të sistemit. Metoda: Metoda grafike e zgjidhjes së sistemeve të dy ekuacioneve të fuqisë së parë me dy ndryshore.

Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje:

• Të dallojnë nëse një çift i radhitur numrash është zgjidhje e një ekuacioni me dy ndryshore.

MATEMATIKA 8

157

• Të përdorin faktin që zgjidhjes së sistemit i përgjigjet një pikë, që ndodhet në grafikët e dy ekuacioneve të tij. • Të zgjidhin sistemin e dy ekuacioneve të fuqisë së parë me dy ndryshore me mënyrën grafike.


Mësimi të zhvillohet me metodën e bisedës, duke ndjekur shtjellimin metodik të paraqitur në tekst. Mësuesi duhet të përqendrohet në këto çështje kryesore: 1. Sa herë kërkohen zgjidhjet e përbashkëta të dy ekuacioneve, kërkohet të zgjidhet sistemi i formuar prej tyre. 2. Zgjidhja e një sistemi është çifti i radhitur, që është zgjidhje për secilin nga ekuacionet e tij. 3. Zgjidhjes së sistemit i përgjigjet një pikë, që ndodhet në grafikët e dy ekuacioneve të tij. 4. Mënyra grafike e zgjidhjes së ekuacioneve konsiston në ndërtimin (në të njëjtin sistem koordinativ xOy) të dy grafikëve të ekuacioneve dhe në gjetjen e koordinatave të pikës së përbashkët të tyre. 5. Zgjidhja e gjetur me mënyrën grafike është e përafërt. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3.

Mësimi 13.3. ZËVENDËSIMIT

ZGJIDHJA E SISTEMEVE ME MËNYRËN E

Kuptime: Sistemi i dy ekuacioneve me dy ndryshore. Zgjidhja e tij. Veti: Kur në njërin ekuacion zëvendësojmë njërën ndryshore me shprehjen e saj, të nxjerrë nga ekuacioni tjetër, kryejmë shndërrim të njëvlershëm. Programi për zgjidhje me mënyrën e zëvendësimit. Metoda: Mënyra e zëvendësimit për zgjidhjen e sistemeve me dy ndryshore. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të shprehin në ekuacionin e fuqisë së parë ax+by=c njërën ndryshore, në varësi të tjetrës. • Të zgjidhin sisteme të thjeshtë dy ekuacionesh të fuqisë së parë me dy ndryshore me mënyrën e zëvendësimit.


Mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin e materialit në tekst. E rëndësishme është që nxënësit të kuptojnë programin për zgjidhjen e sistemit me mënyrën e zëvendësimit dhe ta përdorin atë në mënyrë të drejtpërdrejtë. Për këtë qëllim shërben ushtrimi i vendosur në fund të materialit, i cili duhet të zgjidhet në klasë, me punë të pavarur individuale apo me grupe. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 4.

158

Mësimi 13.4. MBLEDHJES


ZGJIDHJA E SISTEMEVE ME MËNYRËN E

Kuptime: Sistemi i ekuacioneve me dy ndryshore. Zgjidhja e tij. Veti: Programi për zgjidhjen e sistemeve të dy ekuacioneve të fuqisë së parë me dy ndryshore me mënyrën e mbledhjes. Metoda: Zgjidhja e sistemeve me mënyrën e mbledhjes. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të kryejnë shumëzimet e përshtatshme në të dyja anët e ekuacioneve të sistemit, për të bërë numra të kundërt koeficientët pranë njërës ndryshore. • Të zgjidhin, me mënyrën e mbledhjes, sisteme të thjeshtë dy ekuacionesh të fuqisë së parë me dy ndryshore.


Mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin metodik të materialit të paraqitur në tekst. Në të synohet që nëpërmjet një shembulli të zgjidhur dhe një ushtrimi të strukturuar, të zbulohet thelbi i mënyrës së mbledhjes për zgjidhjen e sistemeve. E rëndësishme është që nxënësit të kuptojnë programin e zgjidhjes, të fiksojnë në kujtesë sekuencën e hapave dhe të aftësohen për ta zbatuar atë. Këtij qëllimi i shërben ushtrimi i vendosur në fund të materialit, i cili duhet të zgjidhet në klasë, duke punuar në mënyrë të pavarur po me grupe. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3/a, b, 5.

Mësimi 13.5.

USHTRIME

Synimi i mësuesit në këtë orë mësimi duhet të jetë përforcimi i njohurive dhe zhvillimi i aftësive të fituara në orët e mëparshme të kreut. Nxënësit të kenë hartuar paraprakisht në shtëpi një përmbledhje të fakteve e procedurave kryesore të njohura. Mësimi të zhvillohet me libër hapur. Të punohen, me punë të pavarur individuale apo me grupe, duke diskutuar më pas përgjigjet, ushtrimet me numrat 1 dhe 2. Më tej, të kombinohet puna për zgjidhjen nga nxënësit, me punë të pavarur apo me grupe, të disa ushtrimeve të tekstit, me zgjidhjen në tabelë të disa ushtrimeve të tjera, nga nxënës të ndryshëm. Secili nga ushtrimet e dhëna për zgjidhje duhet të analizohet në klasë.

MATEMATIKA 8

Mësimi 13.6.

159

PROBLEMA

Kuptime: Barazimi me dy ndryshore. Veti: Vetitë e barazimeve me dy ndryshore. Programi i zgjidhjes së problemave me dy ndryshore. Metoda: Analiza dhe sinteza. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të kalojnë nga fjalitë në barazime me dy ndryshore. • Të shtrojnë sistemet e dy ekuacioneve me dy ndryshore, në bazë të të dhënave në problema të thjeshta. • Të zgjidhin këto sisteme e të japin zgjidhjen e problemës.


Mësimi të zhvillohet me libër hapur. Nxënësit të lexojnë në të shembullin e zgjidhur, duke fiksuar në kujtesë edhe hapat e programit që ndiqet për zgjidhje. Pastaj të zgjidhet, me punë të pavarur individuale apo me grupe, ushtrimi numër 2. Më tej, nxënësit, të ndarë në grupe, të punojnë disa nga problemat që vijojnë (numrat 3-7). Rezultatet e punës të secilit grup të paraqiten në tabelë dhe të diskutohen me klasën. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 3, 4.

KREU XIV Mësimi 14.1

GJEOMETRIA NË HAPËSIRË TRUPAT GJEOMETRIKË

Kuptime: Shumëfaqëshat. Prizmi i drejtë. Kuboidi. Kubi. Hapja e shumëfaqëshit. Veti: Primi i drejtë: Shumëfaqëshi me dy faqe shumëkëndësha të barabartë dhe faqet e tjera drejtkëndësha. Kuboidi dhe kubi si prizma. Metoda: Përkufizim. Përshkrim. Vëzhgim. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë shumëfaqëshat nga trupat e tjerë gjeometrikë (cilindri, koni, sfera). • Të dallojnë kuboidin dhe kubin si raste të veçantë prizmash të drejtë.


Qëllimi i kësaj ore mësimi është që nxënësit të rikujtojnë prizmin e drejtë si një rast i veçantë shumëfaqëshi. Në këtë orë mësimi është e udhës që nxënësit, sipas kushteve të ndërtojnë me karton trupa të ndryshëm dhe më pas të paraqesin hapjet e tyre. Gjithashtu rekomandohet që nxënësit të zbulojnë në mjedisin e klasës apo të shkollës trupa me formën e prizmit (kutia e shkrepëses, tulla, kuti ambalazhi etj.)

160


Mbi bazën e vëzhgimeve të drejtpërdrejta nxënësit të plotësojnë tabelën e ushtrimit 3 të tekstit. Me nxënësit mund të organizohet punë në grupe me pyetje të tilla si: - Çfarë figure është baza e një prizmi të rregullt trekëndor, katërkëndor? - A është kuboidi prizëm katërkëndësh i rregullt? - Po prizmi katërkëndësh i rregullt a është kuboid? - A është kubi prizëm katërkëndësh i rregullt? - Po prizmi katërkëndësh i rregullt a është kub? Etj.

Mësimi 14.2

SIPËRFAQET E TRUPAVE GJEOMETRIKË

Kuptime: Sipërfaqja anësore. Sipërfaqja e përgjithshme. Veti: Sipërfaqja e përgjithshme e kuboidit S= 2(a⋅b+a⋅c+b⋅c) ku a, b, c janë përmasat e tij. Metoda: Induksion. Zbatim në ushtrime. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të llogaritin sipërfaqen anësore dhe sipërfaqen e përgjithshme të trupave në formë prizmi të drejtë. • Të zbatojnë njohuritë nga vitet e mëparshme për sipërfaqen e figurave plane (paralelogram, trekëndësh, trapez etj) për t’i zbatuar në probleme njehsimi për sipërfaqet e trupave gjeometrikë.


Nxënësit e klasës së tetë tashme kanë njohuri për sipërfaqet e figurave gjeometrike (drejtkëndësh, katror, paralelogram, trekëndësh, trapez etj.). Ky fakt duhet shfrytëzuar për llogaritjen e sipërfaqeve të trupave gjeometrikë. Mësuesi duhet të ngulë këmbë që sipërfaqet e trupave të llogariten, nisur nga përfytyrimet konkrete që kanë nxënësit për trupat gjeometrikë. (P.sh., prizmi i drejtë përbëhet nga dy shumëkëndësha të barabartë dhe nga drejtkëndësha etj). Pra sipërfaqja e trupit është shuma e sipërfaqeve të faqeve të tij. Në rastin e kuboidit sipërfaqja përbëhet nga gjashtë faqe, të cilat janë dy nga dy të barabarta. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1,4/a-c.

Mësimi 14.3

VËLLIMI I PRIZMIT

Kuptime: Vëllimi i trupit. Veti: Vëllimi i kuboidit V= a⋅b⋅h= Sb⋅h. Vëllimi i kubit V=a3. Vëllimi i prizmit V=Sb⋅h Metoda: Induksion. Përgjithësim. Zbatim në ushtrime.

MATEMATIKA 8

161

Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin formulat për llogaritjen e vëllimit të prizmit në zgjidhjen e problemave.


Ndonëse njihen që nga klasa e shtatë, rekomandojmë që mësuesi të fillojë mësimin me njësitë e vëllimit si dhe kalimin nga njëra njësi në njësitë e tjera. Gjetja e vëllimit të kuboidit të trajtohet sipas modelit të dhënë në tekst (përmasat 5x5x6) dhe më pas të përgjithësohet sido që të jenë përmasat e tij. Ushtrimet e kësaj ore mësimi janë relativisht të thjeshtë. Disa nga ato (nr. 2, 5 dhe 6) me plotësimin e tabelave mund të përdoren me sukses për punë në grup. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 3 dhe 4.

Mësimi 14.4

VËLLIMI I PIRAMIDËS

Kuptime: Vëllimi. Veti: Vëllimi i piramidës është një e treta e vëllimit të prizmit me bazë dhe lartësi sa ato të piramidës. Metoda: Induksion. Përgjithësim. Zbatim në ushtrime. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin formulën për vëllimin e piramidës në zgjidhjen e ushtrimeve.


Rekomandojmë që paraprakisht të përgatitet me karton (nga mësuesi apo më mirë nga nxënësit) një piramidë trekëndore dhe një prizëm trekëndor me baza dhe lartësi të barabarta. Duke i mbushur ato më rërë konstatohet që vëllimi i prizmit është tri herë më i madh se vëllimi i piramidës. Ky konkluzion përgjithësohet në rastin e piramidës me bazë çfarëdo. Më pas të procedohet sipas ecurisë së propozuar në tekst. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1,3 dhe 4.

Mësimi 14.5

VËLLIMI I CILINDRIT

Kuptime: Vëllimi i cilindrit. Sipërfaqja e qarkut. Veti: Vëllimi i cilindrit jepet me formulën V=Sb⋅h=pR2⋅h Metoda: Induksion. Përgjithësim. Zbatim në ushtrime. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin formulën për vëllimin e cilindrit në zgjidhjen e ushtrimeve.

162



Edhe kjo orë mësimi është e udhës të zhvillohet me mjete konkretizimi. Nxënësit të ndërtojnë një cilindër dhe një prizëm të drejtë me bazë katrore. Lartësitë e tyre të merren nga 15 cm. Si bazë e prizmit të merret një katror me brinjë 10 cm, ndërsa si bazë e cilindrit një qark me diametër 11,3 cm. (Me këto të dhëna sipërfaqja e qarkut është afërsisht sa sipërfaqja e katrorit). Duke i mbushur ato me rërë, konstatohet se kanë vëllime të barabartë dhe meqë vëllimi i prizmit gjendet si prodhim i sipërfaqes së bazës me lartësinë e tij, po kaq është edhe vëllimi i cilindrit. Arrihet kështu në formulën V=Sb⋅h=pR2⋅h. Para se të fillojë zgjidhjen e ushtrimeve, mësuesi rikujton edhe një herë formulat për sipërfaqen e qarkut, perimetrin e rrethit, si edhe sipërfaqen anësore dhe sipërfaqen e përgjithshme të cilindrit (të cilat njihen që nga klasa e shatë). Këto formula rekomandohet që nxënësit t’i shkruajnë në fletë të veçanta dhe t’i mbajnë përpara gjatë zgjidhjes se ushtrimeve. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1/a,b dhe 2.

Mësimi 14.6

USHTRIME

Në këtë orë mësimi nuk jepen njohuri të reja. Mësuesi duhet të synojë që nëpërmjet zgjidhjes së ushtrimeve të bëhet një përmbledhje e njohurive të kreut. Për këtë qëllim të rikujtohen trupat e ndryshëm (kubi, kuboidi, prizmi, cilindri, piramida, cilindri etj) si edhe formulat për llogaritjen e sipërfaqeve dhe vëllimeve të tyre. Struktura e orës së mësimit të jetë si ajo e paraqitur në tekst. Zgjidhja e shembujve të bëhet nga vetë nxënësit.

Mësimi 14.7

PLANI DHE DREJTËZA

Kuptime: Plani. Drejtëza. Drejtëz paralele dhe prerëse me planin. Drejtëz që shtrihet në plan. Veti: Drejtëza d paralele me planin P. (d ∩P=F); Drejtëza d pret planin P në pikën A. (d∩P=A); Drejtëza d shtrihet në planin P. (d∩P=d); Drejtëza që ka dy pika në një plan shtrihet në këtë plan. Nëpër një pikë të çfarëdoshme të hapësirës kalon një numër i pafundmë planesh. Nëpër një drejtëz kalon një numër i pafundmë planesh. Metoda: Vëzhgim. Induksion. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përfytyrojnë planet duke konkretizuar paraqitje të ndryshme të tyre. • Të përshkruajnë raste të ndryshme të pozicionit reciprok të drejtëzës dhe planit.

MATEMATIKA 8

163

• Të tregojnë në mjedisin e klasës (shkollës) shembuj të pozicioneve të ndryshme të drejtëzës dhe planit.


Rekomandojmë që kjo orë mësimi të trajtohet tërësisht mbi bazën e përfytyrimeve dhe vëzhgimeve të nxënësve në mjedisin e klasës. Mësuesi të stimulojë mendimin e nxënësve për të gjetur e argumentuar pozicionet e ndryshme të drejtëzës dhe planit në klasë. Pyetje të tilla si gjeni një plan paralel me drejtëzën që bashkon një faqe anësore me tavanin e klasës etj. duhet të jenë lajtmotivi i kësaj ore mësimi. Shumë i rëndësishëm është përfytyrimi që drejtëza, e cila ka dy pika të përbashkëta me planin shtrihet në këtë plan. Rekomandojmë gjithashtu që edhe pyetjet e rubrikës “Ushtrime”të trajtohen mundësisht të gjitha në klasë, duke inkurajuar mendimet e nxënësve si edhe duke kërkuar argumentimet përkatëse që provojnë një pozicion të caktuar të drejtëzës dhe planit.

Mësimi 14.8 GJENDJA E NDËRSJELLË E DY DREJTËZAVE DHE DY PLANEVE NË HAPËSIRË Kuptime: Drejtëza paralele, prerëse të kithëta. Plane paralelë dhe prerës. Veti: Drejtëzat paralele shtrihen në një plan dhe nuk kanë asnjë pikë të përbashkët. Drejtëzat e kithëta nuk shtrihen në një plan. Dy plane ose janë paralelë ose priten sipas një drejtëze. Metoda: Vëzhgim. Përkufizim. Ilustrim. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë drejtëzat paralele, prerëse dhe të kithëta, në trupa gjeometrikë si edhe në mjedisin rrethues. • Të dallojnë planet paralelë dhe prerës në trupa gjeometrik si dhe në mjedisin rrethues.


Kjo orë mësimi është shumë e rëndësishme për përfytyrimet hapësinore të nxënësve. Përvoja tregon se shumë nxënës konsiderojnë si paralele dy drejtëza të cilat nuk kanë asnjë pikë të përbashkët. Kuptimi i drejtëzave të kithëta ndikon në një perceptim më të mirë të hapësirës. Paraqitja e pozicioneve të ndryshme të drejtëzave të realizohet konkretisht në një kuboid (i cili do të ishte e udhës që të ndërtohet prej teli). Edhe pozicionet e ndryshme të dy planeve, të ilustrohen me shembuj konkretë nga mjedisi rrethues. Rekomandojmë gjithashtu që në klasë të zgjidhen sa më shumë ushtrime nga rubrika “Ushtrime”e kësaj ore mësimi. Gjithashtu mund të jepen ushtrime të tilla:

164


• Gjeni sa më shumë çifte drejtëzash paralele (të kithëta, prerëse) në klasë. • Gjeni sa më shumë çifte planesh paralelë (prerës) në klasë etj. Me pyetje të kësaj natyre mund të zhvillohet me sukses puna në grup

Mësimi 14.9

DREJTËZ PINGULE ME PLANIN

Kuptime: Drejtëz pingule me planin. Pingulja, e pjerrëta, projeksioni i të pjerrëtës në plan. Veti: Drejtëza pingule me dy drejtëza prerëse të planit, (të cilat kalojnë nga pika e ndërprerjes) është pingule me planin. Varësia ndërmjet gjatësive të pingules (p), të pjerrëtës (l) dhe projeksionit të saj (d) është l2=p2+d2 (Teorema e Pitagorës). Metoda: Përshkrim. Induksion. Përkufizim. Zbatim në ushtrime. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë drejtëzën pingule me planin; • Të përkufizojnë drejtëzën pingule me planin, të pjerrët me planin dhe projeksionin e të pjerrëtës në plan. • Të tregojnë në mjedisin rrethues drejtëza pingule dhe të pjerrëta me një plan.


Mësimi të zhvillohet sipas ecurisë së propozuar në tekst. Me anën e dy trekëndëshave të vizatimit, të tregohet mënyra e ndërtimit të drejtëzës pingule më planin. Më pas të kalohet në përkufizimin e saj (si drejtëz, e cila është pingule me dy drejtëza të planit, të cilat kalojnë nga pika e ndërprerjes). Si ilustrim, përsëri të përdoret maketi i kuboidit me tela, si edhe ilustrime të tjera nga mjedisi i klasës (këmba e tavolinës është pingule me planin e dyshemesë, drejtëza e ndërprerjes së dy mureve anësore të klasës është pingule me dyshemenë e tavanin etj) Më pas, më anën e një shufre të drejtë, tregohet një drejtëz, e cila nuk është pingule me planin por e pret atë. Kjo është e pjerrët me planin. Është shumë e rëndësishme që nxënësit të gjejnë në raste të ndryshme projeksionin e një të pjerrëte në plan. Ushtrimi i zgjidhur në tekst ilustron varësinë ndërmjet gjatësive të pingules, të pjerrëtës dhe projeksionit të saj (Teorema e Pitagorës) Rekomandojmë që ushtrimi 3 /a,b,c të trajtohet në klasë ose në shtëpi. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1 dhe 2

MATEMATIKA 8

Mësimi 14.10

165

USHTRIME

Qëllimi i kësaj ore mësimi është përdorimi i njohurive të mësimeve 14.7-14.9 në zgjidhjen e ushtrimeve. Rekomandojmë që të ecet pikërisht sipas ecurisë së propozuar në tekst, pra njohuritë të rikujtohen nëpërmjet dhe gjatë zgjidhjes së ushtrimeve. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 2 dhe 3.

KREU XV.

STATISTIKË DHE PROBABILITET

Mësimi 15.1

STATISTIKA

Kuptime: Popullimi, individët, tipari. Tipari diskret dhe i vazhdueshëm. Efektivi. Denduria. Denduria e grumbulluar. Metoda: Përkufizime. Përsëritje e koncepteve. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjejnë dendurinë dhe dendurinë e grumbulluar në situata konkrete. • Të ndërtojnë tabela për sistemimin e të dhënave.


Njohuritë e kësaj ore mësimi përgjithësisht janë të njohura për nxënësit nga klasat e mëparshme. Është kjo arsyeja që rekomandojmë që përkufizimet të dalin gjatë trajtimit të shembujve të tekstit. Kujdes duhet treguar për dallimin ndërmjet efektivit dhe efektivit të grumbulluar, si edhe dendurisë dhe dendurisë së grumbulluar. Në të gjithë këtë kre ka shumë efektivitet që shembujt e ushtrimet të zgjidhen e të diskutohen duke organizuar punën në grup. Kjo jo vetëm që shkurton kohë për llogaritjet, por edhe stimulon debatin.

Mësimi 15.2- 15.3

PARAQITJA GRAFIKE

Kuptime: Grafiku. Shumëkëndëshi statistikor. Metoda: Induksion. Studim e diskutim shembujsh. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të paraqesin grafikisht shpërndarje statistikore. • Të ndërtojnë shumëkëndëshin statistikor për efektivat dhe efektivat e grumbulluar.

166



Edhe këto orë mësimi janë përsëritje e njohurive që nxënësit kanë marrë në klasat e mëparshme. Rekomandojmë që mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke organizuar punë me grupe, duke u nisur nga shembulli i shqyrtuar në mësimin paraardhës. Është e udhës që shumëkëndëshin statistikor të ndërtojnë të gjithë nxënësit në fletoren personale. Edhe detyrat e shtëpisë mund të jepen si punë në grup, ku veç shembujve të tekstit mund të jepen edhe shembuj të tjerë me të dhëna nga mjedisi ku banojnë nxënësit.

Mësimi 15.4

MESATARET

Kuptime: Moda, mesorja, mesatarja, amplituda. Veti: Moda është vlera me efektivin më të madh. Mesorja është vlera e mesit kur a + b + c + d + e + ⋅⋅⋅ . n Amplituda është diferenca ndërmjet vlerës më të madhe me vlerën më të vogël. Metoda: Vëzhgim; përkufizim; interpretim. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të llogaritin mesataren në një shpërndarje statistikore. • Të gjejnë modën, mesoren dhe amplitudën në një varg të dhënash. • Të interpretojnë këto karakteristika. efektivat renditen në rendin rritës. Mesatarja M =


Kuptim i ri, më të cilin nxënësit ndeshen për herë të parë, është vetëm ai i amplitudës, sepse me të tjerët nxënësit njihen nga klasat e mëparshme.. Gjatë gjithë orës të synohet që nxënësit të angazhohen në përpilimin dhe plotësimin e tabelave, kryesisht në punë me grupe (Disa nxënës llogaritin mesataren, disa mesoren, disa amplitudën etj). Ushtrimet janë relativisht të thjeshtë dhe mund të zgjidhen nga të gjithë nxënësit.

Mësimi 15.5-15.6

USHTRIME

Qëllimi i këtyre dy orëve është aftësimi i nxënësve për të sistemuar të dhëna e sidomos për t’i interpretuar ato. Njohuritë teorike të trajtuara janë relativisht të thjeshta dhe ky fakt duhet shfrytëzuar nga mësuesi për një angazhim total të nxënësve, jo vetëm për të diskutuar shembujt e tekstit, por edhe për t’u angazhuar në punë të drejtpërdrejtë, për të sistemuar e interpretuar të dhëna nga mjedisi i klasës, shkollës, zonës etj. Rekomandojmë gjithashtu që puna për grumbullimin dhe sistemimin e të dhënave të

MATEMATIKA 8

167

bëhet në grupe ku veç të tjerave, grupet të diskutojnë me njeri tjetrin rezultatet përkatëse. Jemi të mendimit që të gjithë ushtrimet janë relativisht të thjeshtë dhe mund të zgjidhen nga të gjithë nxënësit. Veçanërisht i rëndësishëm është shembulli 1 në mësimin 15.6. Me anën e grafikut duhet të nxiten nxënësit që “ta lexojnë”e “interpretojnë”atë. Edhe këtu nxënësit duhet të inkurajohen për t’i drejtuar pyetje njëri-tjetrit.

Mësimi 15.7-15.8

PROBABILITETI

Kuptime: Ngjarjet e rastit. Probabiliteti i ngjarjes. Hapësira e rezultateve. Ngjarja e pamundur dhe e sigurt. m n m- numri i rasteve që favorizojnë një ngjarje. n- numri i rezultateve të mundshme. Veti: p =

0≤ p ≤1

Metoda: Përkufizim; Zbatime në ushtrime. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të llogaritin probabilitetin e ngjarjeve në situata të thjeshta. • Të dallojnë ngjarjet e sigurta dhe ato të pamundura.


Duhet shfrytëzuar fakti që me probabilitetin nxënësit janë njohur në klasat e mëparshme. Shembujt më të përdorshëm në këtë rast janë ato me hedhjen e monedhës dhe të zarit kubik. Mësuesi duhet të ketë kujdes në trajtimin e ngjarjeve të pamundura dhe të sigurta (nëpërmjet shembujsh) si edhe të gjetjes së probabiliteteve përkatëse. Ushtrimet në këto orë janë mjaft të thjeshtë dhe praktika tregon se janë të pëlqyeshëm nga nxënësit, fakt që duhet të shfrytëzohet në dobi të efektivitetit të orës së mësimit (nxënësit duhet të inkurajohen për t’i bërë pyetje njeri tjetrit duke u nisur nga të dhënat).

Mësimi 15.9

PROBABILITETI STATISTIKOR

Kuptime: Denduria. Denduria relative. Veti: Denduria relative e konsideruar si probabilitet statistikor. Metoda: Induksion. Interpretime. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjejnë probabilitetin statistikor në situata të thjeshta. • Të interpretojnë probabilitetin statistikor për parashikime.

168



Së pari është e udhës që nxënësve t’u bëhet e qartë që shqyrtohen vetëm ngjarje njëlloj të mundshme. Për këtë qëllim të diskutohet me kujdes shembulli i hedhjes së kutisë së shkrepëses. Në hedhjen e zarit kubik dhe të monedhës kemi të bëjmë me ngjarje të tilla. Pra, 1 , apo probabiliteti i rënies së lekut në 6 1 hedhjen e monedhës është . Por kjo nuk do të thotë në asnjë mënyrë që po të hedhim 2 monedhën dy herë ajo një herë do bjerë lek e një herë stemë. Për këtë qëllim mund t’u jepet nxënësve si detyrë që në shtëpi të hedhin monedhën disa herë (rreth 100) dhe të mbajnë shënim rënien e lekut apo të stemës. Këto të dhëna të diskutohen në mësimin e ardhshëm. probabiliteti i rënies së një faqeje të zarit është

Mësimi 15.10

USHTRIME

Në këte orë mësimi, veç përsëritjes së koncepteve të probabilitetit, futen edhe kuptimet e ngjarjeve të kundërta. Nxënësit të inkurajohen që të japin shembuj ngjarjesh të tilla. Që këtej të dalë varësia ndërmjet probabiliteteve të ngjarjeve të kundërta p ( A) + p ( A) = 1 Shembulli 2 i faqes 143 të trajtohet me një pjesëmarrje të gjerë të nxënësve. Në varësi të kohës, mësuesi mund të trajtojë në klasë shembujt 3 dhe 4 të faqes 244.

IV. HORIZONTI I MËSUESIT 12. METODIKA E TRAJTIMIT TË KONCEPTEVE MATEMATIKE 1. Ç’është koncepti matematik. Që në fillim vëmë në dukje se konceptet matematike, pavarësisht nga abstraksioni që ato mbartin, pasqyrojnë vetitë dhe ligjshmëritë e botës reale. Le të shohim një shembull të futjes së një koncepti matematik. Konsiderojmë një dhomë në dyshemenë e të cilës

MATEMATIKA 8

169

është vendosur një top futbolli, i cili ka formën e një sfere. Ky proces në logjikë quhet perceptim. Ne dalim nga dhoma dhe tanimë nuk e shohim topin, por forma e tij ruhet në kujtesën tonë, sepse tashmë tek ne është krijuar përfytyrimi për topin. Ne kemi parë sfera të ndryshme si topa, portokalle, rruaza etj. Pa marrë në konsideratë cilësitë e veçanta të tyre (p.sh. topi është lëkurë me ajër brenda, portokalli është frutë, rruazat janë prej qelqi etj), në vetëdijen tonë ruhet vetëm veçoria e përbashkët e tyre që ka të bëjë me formën: kështu tek ne krijohet koncepti i përgjithshëm sferë. Në këtë mënyrë, koncepti i lidhur me një objekt apo me një fakt, në vetëdijen tonë realizohet si rezultat i përgjithësimit të bashkësisë së perceptimeve që lidhen me objekte, dukuri apo fakte. Koncepti, në ndryshim nga perceptimi dhe përfytyrimi, pasqyron dhe fikson në vetëdijen tonë jo të gjitha kriteret dhe veçoritë e objektit apo dukurisë, por vetëm ato që janë thelbësore dhe që i përkasin të gjithë objekteve me gjini të përbashkët. Koncepti i privohet atij vëzhgimi që ka të bëjë me procesin e perceptimit e përfytyrimit. Gjatë mësimdhënies së matematikës mësuesi duhet të synojë që tek nxënësit të krijohet një kuptim i saktë për konceptet. Për këtë ai duhet të fillojë nga disa detyra konkrete, që lidhen me vëzhgimet. Kështu që në shkollën fillore, trajtohen disa figura konkrete (segmenti, rrethi, trekëndëshi kënddrejtë etj), gjë që kushtëzon krijimin e përfytyrimeve lidhur me pjesë të barabarta të njësisë. Në klasat e mëvonshme mësuesi i shfrytëzon këto përfytyrime për krijimin e konceptit të thyesës. Madje edhe në klasat e larta mësuesi nuk mund të fillojë nga të numëruarit e kritereve të koncepteve, pa shpjeguar nëse ato i posedojnë përfytyrimet përkatëse. Kështu, duke trajtuar konceptin e funksionit, mësuesi paraprakisht trajton një sërë shembujsh të varësisë funksionale ndërmjet madhësive të ndryshme. Asimilimin e koncepteve të reja e ndihmon së tepërmi ajo punë përgatitore, e cila është zhvilluar me nxënësit e klasave më të ulëta. Kështu p.sh. nëse gjatë të mësuarit të aritmetikës, mësuesi në mënyrë të planifikuar shqyrton varësinë e një madhësie nga një madhësi tjetër, duke hartuar me nxënësit tabelën e vlerave të madhësive konkrete, duke i njohur ata me grafikë të thjeshtë (gjë që rekomandohet nga programet ekzistuese), me këtë ai i ka përgatitur nxënësit për asimilimin e konceptit të funksionit. Po kështu duhet të veprohet edhe për krijimin e koncepteve gjeometrikë. Koncepti si një nga format e të menduarit të saktë trajtohet hollësisht në logjikë. Në këto shënime ne po ndalemi vetëm në disa çështje të cilat i konsiderojmë si më themelore. Koncepti pasqyron kriteret e përgjithshme dhe thelbësore të objekteve reale; ai konsiderohet i saktë, nëse pasqyron drejtë realitetin. Kritere thelbësore quhen ato kritere, të cilat janë të domosdoshme për përkatësinë e objekteve të një gjinie të caktuar dhe ndryshojnë nga ato të objekteve të një gjinie tjetër. Në këtë mënyrë, kriteret thelbësorë karakterizojnë objekte të botës reale dhe japin mundësi për t’i njohur ato. Kritere jo thelbësore janë ato kritere, të cilat ndonëse ekzistojnë tek këto apo ato objekte të një gjinie të caktuar, nuk i karakterizojnë ato dhe nuk japin mundësi për të dalluar ato nga objekte të një gjinie tjetër. Çdo koncept ka përmbajtjen dhe vëllimin. Përmbajtje e konceptit quhet tërësia e

170


kritereve thelbësore të një rrethi të caktuar objektesh apo dukurish. Vëllimi i konceptit është tërësia e këtyre objekteve. Kështu p.sh. përmbajtja e konceptit “paralelogram”janë kriteret: katërkëndësh i rrafshët e i mysët, brinjët dy nga dy paralele, brinjët e kundërta dy nga dy të barabarta, diagonalet përgjysmojnë njëra-tjetrën etj. Vëllimi i konceptit “paralelogram”janë të gjitha paralelogramet, d.m.th. figurat që zotërojnë këto kritere. Ndërmjet përmbajtjes dhe vëllimit të konceptit ka një varësi të përcaktuar: sa më i gjerë të jetë koncepti, aq më i ngushtë është vëllimi dhe anasjellas, sa më i ngushtë të jetë koncepti aq më i gjerë është vëllimi. Në këtë mënyrë, duke futur në përmbajtjen e konceptit një kriter të ri, i cili nuk rrjedh nga kriteret e mëparshme, ne zgjerojmë përmbajtjen e konceptit, por ngushtojmë vëllimin e tij. Kështu, nëse në konceptin e paralelogramit futim edhe barazimin e brinjëve të njëpasnjëshme ne përftojmë konceptin e ri me vëllim më të ngushtë: në këtë të fundit nuk përfshihen paralelogramet ku brinjët e njëpasnjëshme nuk janë të barabarta. Çështja lidhur me vëllimin dhe përmbajtjen e koncepteve i përket jo vetëm objekteve gjeometrikë (figurave gjeometrike dhe vetive të tyre) por edhe koncepteve algjebrike, aritmetikë, të trigonometrisë etj. Konceptet krijohen si më poshtë: Merret në konsideratë një bashkësi objektesh, që zotërojnë disa kritere kryesore të përgjithshme. Më pas shmangen të gjithë kriteret individuale d.m.th., ato kritere të cilët i përkasin vetëm disa objekteve të veçantë, pra jo të gjithë objekteve nga bashkësia e dhënë dhe mbahen vetëm kriteret e përgjithshme d.m.th., ato të cilët i përkasin të gjithë objekteve të bashkësisë së dhënë. Tërësia e këtyre kritereve përcakton konceptin. P.sh për të formuar konceptin qen, duhen marrë në konsideratë dhe krahasuar ndërmjet tyre qen të ndryshëm. Çdo qen, zotëron një numër të konsiderueshëm kriteresh të ndryshme. P.sh., çdo qen ka një ngjyrë të caktuar. Por asnjë ngjyrë nuk mund të përfshihet në konceptin qen, për arsye se jo të gjithë qentë kanë të njëjtën ngjyrë. Prania e katër këmbëve është një kriter i përgjithshëm për të gjithë qentë e rrjedhimisht përfshihet në konceptin e qenit. Çdo koncept paraqet abstraksionin d.m.th., largimin nga disa kritere pa të cilët individi i veçantë nuk mund të ekzistojë. Kështu p.sh., qeni si koncept nuk ka as ngjyrë, as madhësi të caktuar, as racë etj, në një kohë që qen i veçantë pa këto kritere nuk mund të ekzistojë. Koncepti algjebrik “transformim identik”është më i gjerë se koncepti “thjeshtimi i thyesave”; vëllimi i konceptit të parë është më i madh sepse ai përfshin në vetvete edhe thjeshtimin e thyesave, edhe faktorizimin e polinomit edhe reduktimin e kufizave të ngjashme etj. Por edhe këtu koncepti me vëllimin më të madh “transformim identik”, ka përmbajtje më të ngushtë se koncepti me vëllim më të vogël “thjeshtimi i thyesave”. Me të vërtetë, çdo transformim identik krijon mundësi për ndarjen e komponentëve (që janë pjesë përbërëse e shprehjes), në të njëjtën shprehje, ndërsa thjeshtimi i thyesave pikërisht këtu konsiston; së bashku me këtë, thjeshtimi i thyesave ruan edhe vetinë e çdo transformimi identik- që është ruajtja e vlerës numerike për raste të caktuara të vlerës numerike të shkronjave që bëjnë pjesë në shprehje.

MATEMATIKA 8

171

Në mënyrë analoge, në aritmetikë mund të shqyrtohet koncepti: “pjesëtuesi më i madh i përbashkët”dhe “shumëfishi më i vogël i përbashkët” i numrave; në trigonometri – koncepti “funksioni trigonometrik”dhe “funksioni sinus”etj. Vëmë në dukje që nëse vëllimi i një koncepti përfshihet tërësisht në vëllimin e një koncepti tjetër që përfshin edhe objekte të tjerë, atëherë koncepti i parë quhet gjini në lidhje me të dytin, ndërsa i dyti quhet familje. Kështu p.sh., koncepti “romb”është gjini në lidhje me konceptin “paralelogram”, ndërsa koncepti “paralelogram” quhet familje në lidhje me konceptin “romb”. Po kështu koncepti “paralelogram “quhet gjini në lidhje me konceptin “katërkëndësh”. Në algjebër si shembull i konceptit familje mund të shërbejë koncepti “transformim identik”ndërsa si koncept “gjini”, “thjeshtimi i thyesave”.

2. Përkufizimet

Në matematikë sikurse edhe në çdo shkencë tjetër, jepen përkufizime lidhur me konceptet që studiohen. Në përkufizimet zbulohet përmbajtja e konceptit d.m.th., me anën e numërimit, zbulohen kriteret e tij thelbësorë. Duket sikur, mënyra më e thjeshtë dhe e natyrshme e dhënies së përkufizimeve është numërimi i të gjithë kritereve thelbësorë të atij objekti. Por një mënyrë e tillë për dhënien e përkufizimeve është e vështirë dhe herë-herë edhe e pamundur, sepse çdo objekt ka shumë kritere. Logjika përcakton mënyrën e dhënies së përkufizimeve, duke shmangur (evituar) këto mangësi. Përkufizimi i një koncepti jepet me anën e një koncepti tjetër më të gjerë, të cilit ai i përket, d.m.th., është pjesë e vëllimit të tij, dhe pastaj jepen ato kritere, nga të cilët koncepti i ri ndryshon nga konceptet e tjerë, që i takojnë vëllimit fillestar dhe që bëjnë pjesë në të. Një mënyrë e tillë e përkufizimit quhet përkufizim me anën e familjes më të afërt dhe ndryshimit në gjini.(herë herë në vend të gjinisë përdoret e ashtuquajtura veti specifike). Në mënyrë që përkufizimet të jenë të sakta nga pikëpamja logjike, ato duhet të përfshijnë vetëm kriteret e domosdoshme të konceptit në mënyrë që tërësia e të gjithë kritereve të jetë e mjaftueshme për të karakterizuar plotësisht konceptin. Kështu, ne e përkufizojmë paralelogramin si një katërkëndësh të tillë që brinjët e kundërta të jenë dy nga dy paralele. Përjashtimi qoftë edhe i njërit nga kriteret e numëruara, zgjeron vëllimin e konceptit, d.m.th., secili kriter është i domosdoshëm (p.sh., nëse nuk thuhet që paralelogrami ka katër brinjë, atëherë edhe gjashtëkëndëshi i rregullt përfshihet në përkufizim, sepse brinjët e tij të kundërta janë dy nga dy paralele). Nga ana tjetër, përfshirja e çdo kriteri tjetër nuk kërkohet. Nëse shtojmë një kriter të papërfshirë në përkufizimin e dhënë, atëherë vëllimi i konceptit zvogëlohet, sikurse e trajtuam më parë. Nëse shtojmë një kriter i cili rrjedh nga kriteret e dhëna në përkufizim atëherë, ndonëse, në këtë rast vëllimi nuk ndryshon, përfshirja e tij është e tepërt. P.sh., nuk ka pse të përfshihet në përkufizimin e paralelogramit, që brinjët e kundërta të jenë dy nga dy të barabarta, apo që ai është i mysët, sepse të dyja këto veti rrjedhin nga përkufizimi fillestar. Në këtë mënyrë, në

172


numrin e kërkesave ndaj një përkufizimi rigoroz, bën pjesë pavarësia e çdo kriteri të konceptit, nga kriteret e tjerë. Por, konceptet e veçantë është e vështirë të përkufizohen duke përdorur ato familje dhe ndryshimet e mundshme. Logjika fut përkufizimet gjenetike. Në përkufizimet gjenetike tregohet mënyra e formimit apo mënyra e lindjes së objektit të përcaktuar, e cila (mënyra) i përket vetëm objektit të dhënë dhe asnjë objekti tjetër. Përkufizimet gjenetike përdoren gjerësisht në kursin shkollor të gjeometrisë. Kështu, nganjëherë rrethi përkufizohet si një vijë e mbyllur e rrafshit, që formohet nga lëvizja e pikës B të drejtëzës AB rreth pikës së palëvizshme A”. Në të vërtetë, si rezultat e këtij procesi (lëvizjes së pikës B nuk mund të formohet asnjë figurë tjetër përveç rrethit). Në përkufizimin e mësipërm bëjnë pjesë koncepte, të cilët duhet të jenë të njohura për nxënësit apo që janë përkufizuar më parë, p.sh., “rreth”. Duhet theksuar edhe fakti që përkufizimi i mësipërm gjenetik mund të zëvendësohet me përkufizimin: “vija e mbyllur e lakuar e planit, të gjithë pikat e të cilës janë në largesë të njëjtë nga një pikë e atij plani”. Në këtë rast koncepti familje është “vija e mbyllur e planit”, ndërsa veti e veçantë është, pjesa e dytë e fjalisë. Lidhur me përkufizimet e ndryshme të të njëjtit koncept do të flasim më poshtë. Vëmë në dukje se formulimi me fjalë i përkufizimit jo gjithmonë përmban një theksim të qartë të familjes dhe kriterit gjini, por analiza e përkufizimit krijon mundësi për evidentimin e tyre. Nxënësit, jo gjithmonë janë në gjendje të shpjegojnë se si e kuptojnë përkufizimin dhe kërkesat e konceptit të cilat paraqiten në atë përkufizim. Por duhet të synohet që së pari ato të kuptojnë se përkufizimi është një fjali matematike, që krijon mundësi për të precizuar kuptimin e termit të përkufizuar apo për të formuluar kuptimin e tij. Nxënësit shpesh here ngatërrojnë përkufizimin me kriteret dhe nuk kuptojnë që përkufizimet nuk vërtetohen, ndërsa kriteret vërtetohen. I njëjti koncept mund të përkufizohet me mënyra të ndryshme, sepse mund të tregohet tërësia e kritereve të ndryshme thelbësorë, që kënaqin kërkesat e numëruara më lart. P.sh., paralelogrami mund të përkufizohet si një katërkëndësh i rrafshët i mysët, brinjët e të cilit janë dy nga dy të barabarta. Në këtë rast paralelizmi i brinjëve është rrjedhim i kritereve të mësipërm dhe nuk përfshihet në përkufizim. Zakonisht në trajtimet shkencore jepet ndonjë përkufizim i konceptit. Nëse futet edhe një përkufizim i ri, atëherë duhet të vërtetohet që të dy përkufizimet janë të njëvlershëm, që përmbajtja dhe vëllimi janë të njëjtë. Në përkufizimet nuk duhet të ketë “rreth vicioz”. Kjo kërkesë presupozon, që nuk mund të përkufizohet një koncept me anën e një koncepti tjetër i cili varet nga i përkufizuari. Shembuj të rrethit vicioz në përkufizim mund të shërbejnë “përkufizimet e mëposhtme” të hasura në periudha të ndryshme në shkollën tonë. 1a) Mbledhje është veprimi, me anën e të cilit gjendet shuma e disa numrave. 1b) Shuma është rezultati i mbledhjes.

MATEMATIKA 8

173

2a) Kënd i drejtë quhet këndi që përmban 90 gradë. 2b) Gradë quhet një e nëntëdhjeta pjesë e këndit të drejtë Siç shihet në të dy rastet koncepti i parë përcaktohet me anën e konceptit të dytë, i cili nga ana e tij përkufizohet me anën e konceptit të parë. Me zhvillimin e matematikës disa koncepte ndryshojnë. Sikurse edhe çdo shkencë, matematika depërton thellë në vetitë e sendeve dhe zbulon marrëdhënie të tjera ndërmjet objekteve të studiuar. Që këtej rrjedh domosdoshmëria e ndryshimit të përkufizimeve. Kështu, fillimisht koncepti numër ka pësuar ndryshime dhe është zgjeruar. Në matematikë, vazhdimisht janë futur numra të rinj: (natyrorë, thyesorë, zeroja, negativë, irracionalë etj). Përkufizimi i veprimeve, për një bashkësi të caktuar nuk mund të përdoret në bashkësi të tjera. Po kështu edhe në gjeometri: nëse koncepti i këndit fillimisht ka lindur si rezultat i pasqyrimit (përshkrimit) të vetive të këndeve në plan, më të vegjël se këndi i shtrirë, më pas u trajtuan këndet më të mëdhenj (deri tek këndi plotë). Zhvillimi i trigonometrisë kushtëzoi trajtimin e këndeve me drejtime të ndryshme (pozitivë e negativë) të madhësive të çfarëdoshme. Gjatë studimit të stereometrisë lindi kërkesa e trajtimit të këndeve ndërmjet dy drejtëzave të kithëta, ndërmjet drejtëzës e planit, si dhe ndërmjet dy apo disa planeve. Sa më i ri të jetë nxënësi, aq më me vështirësi ai kupton thelbin e përkufizimit: prandaj në klasat e ulëta futja e disa koncepteve shoqërohet me përshkrime shpjeguese. Shpesh herë përshkrimet jepen në aritmetikë, p.sh., “çdo numër i plotë është ose njësia, ose shuma e disa njësive”, “një pjesë, apo disa pjesë të njëjta të njësisë quhet thyesë”. Këto përshkrime shpjeguese nuk mund të jepen apo të konsiderohen si përkufizime. Përkufizimet përshkruajnë plotësisht koncepte të futur më parë, për të cilat është dhënë përkufizimi; përshkrimet mund të trajtohen njëkohësisht dhe me konceptet, të cilat janë futur më parë, me përfytyrimet nga përvoja e përditshme, nga vëzhgimet e trupave konkretë, modelet etj. Përkufizimet ndërtohen duke u bazuar në ligjet e logjikës dhe mësuesi duhet të ruhet nga gabimet duke përshkruar përkufizimet. Prandaj, duke i detyruar nxënësit të mësojnë fraza të tilla si “raporti është rezultat e krahasimit”apo “numri është rezultat i llogaritjeve apo matjeve”si dhe të tjera të ngjashme me këto, dhe t’i konsiderojë këto fraza si përgjigje të pyetjes se çfarë është raporti dhe çfarë është numri, d.m.th., që janë përkufizime të konceptit; kjo do të thotë që në mënyrë të ndërgjegjshme t’u kërkohet nxënësve një stil vicioz të menduari.

Konceptet bazë:

Në procesin e ndërtimit logjik të çdo disipline matematike, në mënyrë të paevitueshme futen disa koncepte të papërkufizuara. Koncepte të tilla quhen koncepte bazë, apo fillestarë. Domosdoshmëria e futjes së koncepteve bazë qartësohet, nëse dihet se me përkufizimin e ndonjë koncepti, duhet të përdoret një koncept tjetër i përkufizuar më parë. P.sh., duke i përkufizuar drejtëzat paralele si drejtëza që shtrihen në një plan dhe nuk priten, ne përdorim konceptet “drejtëz”, “plan”, “që priten”. Por për përkufizimin e

174


tyre duhet të përdoren koncepte të tjerë. Vargu i përkufizimeve nuk mund të jetë i pafundmë, prandaj disa koncepte është e detyrueshme që të konsiderohen koncepte bazë apo të papërkufizueshëm. Në kurset shkencore të gjeometrisë koncepte bazë zakonisht merren “pika”, “drejtëza”, “plani”, si dhe disa marrëdhënie si “shtrihet në”, “ndërmjet” etj. Në aritmetikë-koncepti “numër natyror”, “i barazimit” etj. Në kurset shkencore koncepte të tilla nuk përshkruhen, nuk ilustrohen: përmbajtja e tyre shtjellohet në aksioma. Kështu koncepti i pikës dhe drejtëzës përkufizohen nga një bashkësi aksiomash. Përkufizimi i konceptit nëpërmjet abstraksionit konsiston në faktin që koncepti “përkufizohet” si maksimumi i përbashkët i objekteve të një natyre të caktuar, të bashkuar në një klasë sipas ndonjë kriteri. I tillë është koncepti i numrit natyror. Çdo numër natyror në aritmetikën teorike trajtohet si karakteristikë e përgjithshme e bashkësive të fundme që krijojnë mundësi për korrespondenca reciproke të elementeve të tyre me njëra-tjetrën. Në kurset shkollore, konceptet bazë, gjithashtu nuk përkufizohen, por duke i përfshirë ato, mësuesi përdor objekte konkrete, që krijojnë mundësinë e përfytyrimit nga ana e nxënësve. Koncepti për numrin natyror formohet tek nxënësit që në mosha të ulëta dhe mësuesit në klasën e pestë i duhet vetëm të fusë terminologjinë dhe të shpjegojë që vargu i numrave 1, 2, 3,… mund të vazhdojë në mënyrë të pakufizuar. Për këtë mësuesi nuk operon me një apo disa aksioma, nuk tregon ndonjë veti të këtyre numrave, por shfrytëzon abstraksionin që tashmë është i pjekur tek nxënësit e moshës 10-11 vjeç lidhur me bashkësitë e vëzhguara. Cila është metodika e formimit dhe përkufizimit të koncepteve? Para së gjithash duhet patur në konsideratë, që përfytyrimi lidhur me përshkrimin duhet të ekzistojë në mendjen e nxënësit, deri sa të formulohet përkufizimi formal. Prandaj i duhet kushtuar vëmendje e madhe përpunimit lidhur me përfytyrimin përkatës tek nxënësit. Kështu në aritmetikë, koncepti për pjesëtuesin më të madh të përbashkët shtjellohet duke u bazuar në konceptin e pjesëtuesit të numrit në përgjithësi. Në algjebër koncepti i transformimit identik shtjellohet pas trajtimit paraprak të vlerave numerike të një shprehje algjebrike në trajta të ndryshme. Nganjëherë përfytyrimi fillestar lidhur me ndonjë objekt matematik është e udhës të jepet sipas një vargu krahasimesh të objekteve familje. Kështu, përfytyrimi për paralelogramin mund të sqarohet në trajtimin njëri pas tjetrit të katërkëndëshave të ndryshëm, e pastaj, duke u bazuar në përfytyrimin për figurën e dhënë formohet koncepti dhe përkufizimi i tij. Formimi i disa koncepteve mund të realizohet në një periudhë relativisht të gjatë; koncepte të tillë janë p.sh. ai i ekuacionit, funksionit etj.

MATEMATIKA 8

175

Nuk është e rastit që në klasat 6 e 7 fillimisht trajtohet varësia ndërmjet madhësive dhe mënyrat e ndryshme të shprehjes së këtyre varësive dhe vetëm në klasën e 8 programet parashikojnë futjen e konceptit të funksionit dhe studimin sistematik të funksioneve. Në procesin e formimit të konceptit, përkufizimi logjik formal ka një rëndësi të madhe, pasi krijon mundësi për të përcaktuar rigorozisht saktë objektin e një klase të përcaktuar. Nganjëherë studimi i konceptit fillon nga formulimi i përkufizimit, por kështu mund të ecet vetëm në atë rast, kur vetë formulimi i përkufizimit është i kuptueshëm, d.m.th., nxënësit e përfytyrojnë atë qartë. Kështu p.sh., duke kaluar në studimin e thyesave dhjetore, fillimisht mund të nisemi nga përkufizimi i thyesës së zakonshme. Ndodh kështu, sepse gjatë ushtrimeve me thyesat e zakonshme nxënësit kanë hasur edhe thyesa me emërues 10, kurse vetë përkufizimi i thyesës dhjetore është i thjeshtë dhe përvetësohet lehtë. Por shpesh herë nxënësi mundet të formulojë saktë përkufizimin, por më pas sqarohet, se ai nuk e zotëron atë. Një fakt i tillë vërteton se nxënësi nuk e ka përvetësuar konceptin përkatës apo që përkufizimi nuk është formuluar deri në fund. Janë të njohura gabimet e përhapura mjaft si ngatërrimi i koncepteve “përgjysmorja e trekëndëshit”, “mesorja e trekëndëshit”etj. Prandaj formulimi i përkufizimit të konceptit duhet të konkludojë procesin e formimit të konceptit. Kur koncepti tashmë është formuar në mendjen e secilit nxënës, mund të formulohet d.m.th., kur ata kanë sqaruar përmbajtjen e konceptit, atëherë është e udhës të përcaktohen kriteret themelorë të nevojshëm e të mjaftueshëm të konceptit dhe të formulohet përkufizimi. Dhe sigurisht, është me mjaft vlerë, nëse në procesin e formimit të përkufizimit të marrin pjesë aktive vetë nxënësit. Ky proces para së gjithash realizohet në trajtën e bisedës euristike. Përkufizimi duhet të përfshihet në sistemin e njohurive të nxënësve. Ato duhet të dinë dhe të kujtojnë përkufizimin; por duhet të nënvizojmë edhe njëherë se duhet të përpiqemi të evitojmë të mësuarit mekanik të përkufizimit, pa realizuar lidhjen me përfytyrimet e tij reale, pa kuptuar strukturën logjike të përkufizimit. Vëzhgimet e shumta tregojnë se nxënësit e shkollës 9 vjeçare, duke ditur përkufizimin e drejtëzave prerëse, nuk mund të tregojnë drejtëza të tilla në situatën reale ku jetojnë. (kushtet e dhomës). Veç kësaj përvoja tregon se, nëse janë realizuar kërkesat për formulimin e konceptit dhe në futjen e përkufizimit përkatës, përkufizimi i dhënë "vepron". Nëse përkufizimi përsëritet dhe mbi të operohet dhe gjatë vërtetimit të teoremave dhe gjatë zgjidhjes së problemave, si nga mësuesit ashtu edhe nga nxënësit, atëherë përkufizimi mbahet mend mirë dhe ideja e tij nuk humbet në vetëdijen e nxënësit.

176


3. Copëtimi i konceptit. Klasifikimi Copëtimi i konceptit trajtohet në kurset e logjikës, si një veprim logjik, i lidhur me vëllimin e konceptit. Të realizosh copëtimin e një koncepti, do të thotë të japësh disa koncepte të tjerë, të cilët së bashku përbëjnë vëllimin e konceptit të dhënë. Kështu p.sh., ne mund të ndajmë konceptin e thyesës aritmetike në konceptet “e rregullt” dhe “e parregullt”, konceptin “trekëndësh” në konceptet “trekëndësh këndngushtë”, “trekëndësh kënddrejtë” dhe “trekëndësh këndgjerë”. Duke realizuar copëtimin, ne mendojmë një kriter të caktuar, sipas të cilit realizojmë copëtimin. Logjika përcakton rregullat e copëtimit të koncepteve. Rregull themelor është ai që copëtimi realizohet sipas ndonjë kriteri, të ashtuquajtur bazë e copëtimit, i cili nuk mund të ndryshojë gjatë procesit të copëtimit. Në një copëtim të rregullt, i gjithë vëllimi i konceptit duhet të ndahet, d.m.th., asnjë pjesë nuk duhet të mbetet e papërfshirë në konceptet e rinj, ndërkohë që secili koncept i ri duhet të përjashtojë konceptet e tjerë. P.sh., nuk mund të ndahen thyesat e zakonshme, në thyesa të rregullta dhe në thyesa të pathjeshtueshme, apo nuk mund të ndahen trekëndëshat në trekëndësha kënddrejtë dhe në trekëndësha brinjëndryshëm. Në të dyja këto raste nuk ka një kriter ndarjeje; gjithashtu nuk janë respektuar edhe kërkesat e tjera. Në çdo shkencë, ndeshemi me futjen në një sistem të objekteve të trajtuar në të. Sistemi i ndarjes së objekteve në klasa duke u bazuar në vetitë e objekteve brenda një klase si dhe dallimet ndërmjet tyre nga klasat e tjera quhet klasifikim. Klasifikimi është një rast i veçantë i copëtimit të konceptit dhe realizohet sipas po atyre rregullave. Le të shohim p.sh., klasifikimin e paralelogrameve. Ai mund të realizohet me kritere të ndryshme: ose në varësi të vetive të brinjëve, ose në varësi të këndeve. Si bazë e copëtimit mund të shërbejë vetëm njeri prej tyre. P.sh., ndarja e paralelogrameve në varësi të pranisë së barazimit të brinjëve të njëpasnjëshme. Në këtë rast paralelogramet ndahen në dy klasa: paralelograme me brinjë të barabarta dhe paralelograme me brinjë të ndryshme. Secila klasë mund të ndahet përsëri në varësi të këndeve të tyre (janë apo jo ata kënde të drejtë).(Dihet se nëse një kënd i paralelogramit është i drejtë, atëherë të gjithë këndet e tij janë të drejtë). Klasifikimi mund të ilustrohet me skemën e mëposhtme:

MATEMATIKA 8

177

PARALELOGRAMET

Paralelogramet me brinjë të barabarta (rombet)

Paralelogramet me brinjë jo të barabarta

Rombet me kënd Rombet me kënd Drejtkëndëshat me Paralelogramet të drejtë(katrorët) jo të drejtë me brinjë jo të me brinjë jo barabarta barabarta dhe me kënde jo të drejtë Secili tip paralelogrami, ka vendin e tij dhe nuk bën pjesë në dy klasa. Vemë re se çdo tip i veçantë paralelogrami ka një emër, gjë që vështirëson klasifikimin e këtyre figurave. Mund të realizohet klasifikimi i paralelogrameve, duke e filluar ndarjen nga kriteri i ekzistencës së këndeve të drejtë, e më pas çdo tip të ndahet në klasa sipas pranisë apo jo të barazimit të brinjëve të tij. Një skemë të tillë mund të realizojë vetë lexuesi. Si përfundim ne marrim 4 tipa të veçantë, por në rastin e parë ne përftojmë katrorin si romb me kënd të drejtë, ndërsa në rastin e dytë katrorin e përftojmë si një drejtkëndësh me brinjë të barabarta. Nëse marrim në konsideratë të dy kriteret e copëzimit, atëherë klasifikimi mund të ilustrohet me skemën e mëposhtme: Sipas brinjëve Sipas këndeve

Brinjët e njëpasnjëshme të barabarta rombet)

Këndet e drejtë (drejtkëndëshat) katrori

Këndet jo të drejtë

Brinjët e njëpasnjëshme të ndryshme

178


4. Aksiomat dhe teoremat Në shtjellimin e çdo disipline të matematikës, e gjithë përmbajtja e saj duhet të trajtohet me anën e një sistemi rigorozisht logjik. Pavarësisht nga fakti, se si futet fillimisht ndonjë fakt, synohet që ai të vërtetohet, d.m.th., të nxirret nga rregullat dhe ligjet e logjikës nga njohuri tashmë të njohura. Këto njohuri shtjellohen me anën e fjalive matematike. Forma e të menduarit, sipas të cilës vërtetohet apo mohohet lidhur me objektet e kriteret e tyre quhet gjykim. Në çdo fjali matematike shtjellohet njëfarë gjykimi lidhur me konceptet matematike. Një fjali matematike e cila vërtetohet quhet teoremë. Vërtetimi i çdo teoreme realizohet duke u bazuar në fjali të tjera matematike vërtetimi i të cilave tashmë është realizuar. Por, për të vërtetuar këto fjali të reja duhet të mbështetemi në disa fjali të tjera të vërtetuara më parë. E meqë procesi i vërtetimeve duhet të ketë një fillim, rrjedh që ndonjë fjali do të jetë e para. Që këtej del se në themel të çdo shkence duhet të merren si të vërteta pa u vërtetuar disa fjali. Fjali të tilla quhen aksioma. Domosdoshmëria e ekzistencës së aksiomave në një ndërtim logjik njihet që nga koha e Greqisë së vjetër d.m.th., më shumë se 2000 vjet më parë. Por vetëm në shekullin XIX e veçanërisht në shekullin XX, aksiomat themelore të disiplinave matematike të veçanta janë studiuar thellësisht. Tërësia e të gjitha aksiomave, që shërbejnë si bazë e një shkence të caktuar, quhet sistem i aksiomave. Ky sistem duhet të realizojë tri kërkesa. 1. Sistemi i aksiomave duhet të jetë jo kontradiktor. Kjo do të thotë, që asnjë aksiome nuk mundet të bjerë në kundërshtim me aksiomat e tjera, asnjë rrjedhim i ndonjë aksiome nuk duhet të kundërshtojë asnjë rrjedhim të aksiomave të tjera. 2. Sistemi i aksiomave duhet të jetë i pavarur. Kjo do të thotë që asnjë aksiomë nuk mund të jetë rrjedhim i aksiomave të tjera. Nëse një aksiomë mund të jetë rrjedhim i aksiomave të tjera, atëherë ajo duhet të përfshihet në grupin e teoremave. 3. Sistemi i aksiomave duhet të jetë i mjaftueshëm për vërtetimin e çdo situate të shkencës së dhënë. Prandaj gjatë vërtetimit të ndonjë fjalie nuk duhet të mbështetemi në përvojën apo faktin nëse është apo jo evident; ajo duhet të bazohet në teoremat e mëparshme apo aksiomat. Hartimi i një sistemi të tillë aksiomash, e në mënyrë të veçantë vërtetimi që ai plotëson kërkesat e mësipërme, përbën në vetvete një detyrë tepër të vështirë. Shtjellimi i matematikës, ku si bazë futen disa koncepte themelorë, si dhe sistemi i përcaktuar i aksiomave, ndërsa të gjitha konceptet e tjerë përcaktohen rigorozisht, ndërsa të gjitha fjalitë e tjera vërtetohen rigorozisht, quhet aksiomatik. Ai nuk mundet të përfshihet edhe në klasat e larta të shkollës. Të kuptuarit e tij kërkon një zhvillim të lartë matematik e logjik. Një trajtim i tillë largohet së tepërmi nga konkretizimi, nga mënyra e lindjes së koncepteve të rinj, dhe shtjellon vetëm varësi në abstraksion. Por vetëm nën dritën e ndërtimit të një disipline matematike si një sistem logjik shfaqet

MATEMATIKA 8

179

roli i aksiomave dhe ndryshimi i tyre nga teoremat. Fakti, që një fjali është aksiomë, rrjedh jo vetëm nga kushti që ajo është evidente, por edhe nga fakti që në sistemin e ndërtimit të kësaj shkence, ajo është një nga konceptet themelore, fillestare dhe nuk mund të jetë rrjedhojë e të tjerave. Këto fjali fillestare, janë marrë nga praktika shumëvjeçare dhe pasqyrojnë lidhje shumë të përgjithshme dhe ligjësi të botës reale. Siç dihet, në çdo teoremë dallohet kushti, bashkësia e përcaktimit dhe përfundimi. Vërtetimi i teoremës konsiston, që në bashkësinë e përcaktimit, të vërtetohet që nëse kushti i teoremës plotësohet, atëherë në mënyrë logjike rrjedh përfundimi i saj. Forma e të menduarit, me anën e të cilës nga dy apo më shumë gjykime ne përftojmë një gjykim të ri në logjikë quhet konkluzion. Logjika trajton trajta të ndryshme të konkluzioneve dhe fikson ato rregulla e ligje, me anën e të cilave nga të dhënat e vërteta (kushtet) arrihet në konkluzione të sakta. Vërtetimi i teoremës realizohet me anën e një sërë konkluzionesh, duke u udhëhequr nga vetitë e përgjithshme e duke arritur në përfundime të pjesshme; konkluzione të tilla quhen deduktive. P.sh., gjatë vërtetimit të teoremës për barazimin e diagonaleve të drejtkëndëshit ne përdorim vetinë e përgjithshme të çdo paralelogrami- barazimin e brinjëve të kundërta, kriterin e barazimit të trekëndëshave kënddrejtë, varësinë ndërmjet këndeve e brinjëve në trekëndëshat e barabartë. Gjithashtu gjatë vërtetimit të vetisë së mësipërme të pjesës ne bazohemi në përkufizimin e pjesës dhe në vetitë e përgjithshme (ligjet) e mbledhjes. Dihet se duke patur një teoremë mund të formulohen nga ajo disa teorema të tjera (e anasjella, e kundërta dhe e kundërta e të anasjellës). Zakonisht për formulimin e teoremës së anasjellë, përfundimi i teoremës së drejtë bëhet kusht i teoremës së re, ndërsa kushti i saj bëhet përfundim. Për formulimin e teoremës së kundërt, mohohet kushti i teoremës së dhënë dhe rrjedhimisht mohohet edhe përfundimi i saj. Le të shohim varësinë ndërmjet këtyre teoremave në skemën duke shënuar kushtin e teoremës së drejtë me A dhe përfundimin e saj me B.

Teorema e drejtë

Teorema e anasjellë

Në qoftë se A, atëhere B

Në qoftë se B, atëhere A

Teorema e kundërt

Teorema e anasjellë e teoremës së kundërt

Në qoftë se jo B atëhere jo A

Në qoftë se jo A atëhere jo B

180


Duke parë me vëmendje këto teorema, ne vëmë re, se teorema e drejtë dhe teorema e anasjellë e teoremës së kundërt shprehin të njëjtën varësi, d.m.th., nga vërtetësia e njërës rrjedh vërtetësia e tjetrës. Me të vërtetë: supozojmë se teorema e anasjellë e teoremës së kundërt nuk është e vërtetë d.m.th., “në qoftë se jo B, atëherë mund të ndodhë A”. Por në këtë rast nga teorema e parë kemi: “në qoftë se A atëherë B’”dhe ky konkluzion kundërshton supozimin, e rrjedhimisht nuk mund të jetë i vërtetë. P.sh., nëse është e vërtetë që çdo numër natyror, që mbaron me zero, plotpjesëtohet me 5, nga kjo nuk rrjedh që nëse numri plotpjesëtohet me 5, ai mbaron me zero. Është e qartë, që një varësi e tillë ekziston ndërmjet teoremës së anasjellë dhe asaj të kundërt: ato janë ose të dyja të vërteta, ose të dyja të rreme. Që këtej rrjedh, që nuk është e domosdoshme që çdo herë të vërtetohet secila nga të katër teoremat, mjafton të vërtetohen vetëm dy prej tyre. Por vërtetësia e një teoreme jo detyrimisht sjell vërtetësinë e teoremës së saj të anasjellë apo të kundërt. Kështu, nga teorema “në qoftë se numri mbaron me zero, ai plotpjesëtohet me 5 “nuk rrjedh që “nëse numri plotpjesëtohet me 5, atëherë ai mbaron me zero”sepse ekzistojnë numra, që nuk mbarojnë me zero e që plotpjesëtohen me 5. Nëse si teoremë të drejtë pranojmë teoremën: “Nëse numri mbaron me zero, atëherë ai plotpjesëtohet me 10” atëherë e vërtetë është edhe teorema e anasjellë: ”nëse numri plotpjesëtohet me 10, atëherë ai mbaron me zero”. Në këtë rast vërtetësia e teoremës së anasjellë (e rrjedhimisht edhe teoremës së kundërt) bazohet në faktin që me 10 plotpjesëtohen vetëm ata numra që mbarojnë me zero. Le të shohim më hollësisht çështjen që lidhet me formimin e teoremave të anasjella. Më sipër ne formuam teoremën e anasjellë, me anën e ndryshimit të kushtit të teoremës së drejtpërdrejtë me përfundimin, ndërsa përfundimin me kushtin dhe u bindëm që me një mënyrë të tillë jo gjithmonë mund të formohet teorema e anasjellë e vërtetë, pasi ajo mund të mos jetë e vërtetë. Por, kushti i shumë teoremave mund të jetë i ndërlikuar, d.m.th., përbëhet nga disa kërkesa. Duke ndarë kushtin, ne mund të formojmë teoremën e anasjellë, të vërtetë me anën e përfshirjes në përfundim vetëm të një pjese të kushtit të teoremës së drejtë. Si shembull po marrim një teoremë të aritmetikës: “Nëse secili nga dy të mbledhshëm plotpjesëtohet me një numër, atëherë edhe shuma e tyre plotpjesëtohet me atë numër”. Nëse ndryshojmë kushtin me përfundimin, përftojmë teoremën e anasjellë e cila nuk është e vërtetë: “Nëse shuma e dy të mbledhshmëve plotpjesëtohet me një numër, atëherë secili prej tyre plotpjesëtohet me atë numër”. Kushti i teoremës së drejtë përbëhet nga dy pjesë: 1) i mbledhshmi i parë plotpjesëtohet me një numër dhe 2) i mbledhshmi i dytë plotpjesëtohet me po atë numër. Le të përfshijmë në kusht njërin nga këta, ndërsa tjetrin e futim në përfundim. Përftojmë teoremën e anasjellë të mëposhtme: “Nëse shuma e dy të mbledhshmëve dhe njeri prej tyre plotpjesëtohet me një numër, atëherë edhe i mbledhshmi i dytë plotpjesëtohet me po atë numër.”Kjo teoremë është e vërtetë dhe është e njëvlershme me teoremën e njohur, lidhur me plotpjesëtueshmërinë e ndryshesës me një numër. Nëse kushtin, dhe njëkohësisht edhe përfundimin e një teoreme mund t’i ndajmë, atëherë

MATEMATIKA 8

181

mund të formojmë disa teorema, të anasjella me teoremën e dhënë. Le të shohim një shembull. Teorema e drejtë: Brinjët e kundërta të paralelogramit janë kongruente: Le të shkruajmë kushtin dhe përfundimin skematikisht: Kushti Përfundimi Në katërkëndëshin ABCD 1) AB // CD 1) AB=CD 2) BC // AD 2) BC=AD Le të formojmë teoremën e parë të anasjellë, duke ndërruar vendet e dy kushteve e të dy përfundimeve: Kushti Përfundimi Në katërkëndëshin e mysët ABCD: 1) AB=CD 1) AB // CD 2) BC=AD 2) BC // AD Përftojmë kriterin e parë të paralelogramit. Teoremën e dytë të anasjellë mund të formojmë, duke futur në kusht pikën e parë, ndërsa pikën e dytë të kushtit ta zëvendësojmë me pikën e parë të përfundimi. Përftojmë kështu teoremën: Kushti Përfundimi Në katërkëndëshin e mysët ABCD: 1) AB // CD 1) BC // AD 2) AB=CD Përftojmë kriterin e dytë të paralelogramit (pika e dytë e përfundimit nuk është përfshirë sepse ajo rrjedh nga pika e parë). Teoremën e tretë e formojmë, duke vendosur në kusht pikën e parë, ndërsa pikën e dytë e zëvendësojmë me pikën e dytë të përfundimit. Përftojmë kështu: Kushti Përfundimi Në katërkëndëshin e mysët ABCD: 1) AB // CD ?

2) BC=AD

Nuk formohet teoremë e anasjellë; asnjë nga situatat që mbeten nuk janë të nevojshme; si rrjedhojë e njëvlershmërisë së pikës të parë e të dytë të kushtit (dhe përfundimit), ndërrimet e tjera nuk japin asgjë të re. I propozojmë lexuesit që në mënyrë analoge të formojnë teoremat të ndryshme të anasjella lidhur me vijën e mesme të trapezit. Në kursin shkollor të gjeometrisë shpesh ndeshemi me formimin e disa teoremave të anasjella. Përmendim qoftë edhe teoremat e anasjella lidhur me diametrin pingul me kordën. Tërheqim vëmendjen në faktin që në tekst nuk janë dhënë të gjitha teoremat e anasjella, gjë që zbulohet lehtë nëse operohet sipas skemës së mësipërme.

5. Puna përgatitore për vërtetimet

Nga praktika shkollore, dihet se nxënësit kuptojnë me vështirësi vërtetimin e teoremave. Këto vështirësi konsistojnë: Shpesh për nxënësit është e paqartë, çfarë është dhënë dhe

182


çfarë do të vërtetohet. Veçanërisht kuptohet me vështirësi domosdoshmëria e vërtetimit të kësaj apo asaj situate, po kështu me vështirësi vendosen lidhjet e kushtit dhe përfundimit; nxënësit rrallë kuptojnë përzgjedhjen e rrugëve dhe mënyrave të vërtetimit. Për të lehtësuar kapërcimin e këtyre vështirësive, në fillimet e studimit të algjebrës e gjeometrisë duhen trajtuar disa ushtrime të veçanta për t’i njohur ata me faktin që ndërmjet gjykimeve ka të vërtetë e jo të vërtetë (gjë që duhet vërtetuar, qoftë vërtetësia, qoftë jo vërtetësia); nganjëherë vërtetësia e gjykimeve tona, zbulohet lehtë, nganjëherë kjo arrihet nëpërmjet gjykimesh e kushtesh të cilët nuk krijojnë dyshime. Për të filluar këtë punë niset nga gjykimet e vërteta e jo të vërteta. Këshillojmë që të fillohet nga faktet që janë afër nxënësve si: Ismail Qemali është kryeministri i parë i Shqipërisë, Tirana është kryeqytet etj. Më pas: çdo numër çift ka një pjesëtues të thjeshtë. Me të vërtetë, numri çift plotpjesëtohet me 2 dhe 2 është numër i thjeshtë. Në çdo katërkëndësh të mysët shuma e këndeve të brendshëm është më e vogël se 8 kënde të drejtë. Me të vërtetë çdo kënd i brendshëm i një shumëkëndëshi të mysët është më i vogël se dy kënde të drejtë, kështu që shuma e tyre është më e vogël se tetë kënde të drejtë. Duke zgjedhur çështje të tilla, u shpjegohet nxënësve, përse është e domosdoshme që çdo gjykim të vërtetohet. Bashkë me këtë, një punë e tillë zhvillon tek nxënësit shprehinë e studimit të çështjeve të thjeshta. Gradualisht nxënësit do të përsosin shprehitë e tyre në studimin e konkluzioneve matematike, duke u stërvitur në zgjedhjen e fjalive më të ndërlikuara gjatë gjithë kursit shkollor. Praktika na bind, se në fazat e para të studimit të gjeometrisë dhe algjebrës për bazimin e konkluzioneve matematike, është e udhës t’u kushtohet vëmendje vëzhgimit, provës, përzgjedhjes së shembujve numerike dhe në fund vërtetimit të teoremës për konkluzionin përfundimtar lidhur me vërtetësinë. Në këtë mënyrë mund të shtjellohet p.sh., në algjebër shumëzimi i fuqive me baza të njëjta, apo ngritjes së fuqisë në fuqi; fillimisht trajtohen shembuj numerikë dhe vetëm më pas vërtetohet teorema në trajtën e përgjithshme. Dihet se sa lehtësohet vërtetimi i teoremës lidhur me shumën e këndeve të brendshëm të trekëndëshit, nëse fillimisht kjo realizohet në rrugë praktike. Si rezultat i këtyre nxënësit gradualisht zotërojnë metodat e vërtetimit deduktiv, roli i hipotezave paraprake dhe konkluzioneve bazuar në rastet e veçanta dhe shembujve zvogëlohet. Por edhe në klasat e larta puna përgatitore para vërtetimit të teoremave lehtëson nxënësin për kuptimin e ecurisë së gjykimeve gjatë vërtetimit të teoremave në rastin e përgjithshëm. Gjatë mësimnxënies së matematikës mësuesi duhet të synojë që të mos anashkalojë asnjë hallkë në njohjen e fjalive matematike, sepse vetëm rruga dialektike e njohjes krijon mundësi për të zbuluar thelbin e një ligji matematik. Si shembull po japim formulat e Viete-s. (Formula e njohur për gjetjen e rrënjëve të ekuacionit të gradës së dytë).

MATEMATIKA 8

183

Hallka e parë në këtë çështje është zgjidhja e një sërë ekuacionesh të gradës së dytë dhe gjetja në këto raste e varësisë ndërmjet rrënjëve të ekuacionit dhe koeficienteve të tij. Hallka e dytë është gjetja e formulës që shpreh këtë varësi. Hallka e tretë është përdorimi i formulës për zgjidhjen e problemeve dhe për studimin e funksioneve dhe ekuacioneve. Nëse nuk përfillet hallka e parë, dhe mësuesi menjëherë merret me nxjerrjen e formulës, atëherë nxënësit në rastin më të mirë e mbajnë mend atë, por në zgjidhjen e ushtrimeve do të veprojnë mekanikisht; në këtë rast të kuptuarit e thelbit të ligjit do të jetë jo i plotë, formula mund të harrohet shumë shpejt. Nëse nuk përfillet hallka e dytë, atëherë prishet parimi themelor i matematikës që “gjithçka që nuk vërtetohet në rastin e përgjithshëm, nuk mund të konsiderohet si e vërtetuar në përgjithësi”. Ky rast do të ishte për nxënësit një shembull, që ligjet e matematikës mund të merren edhe pa vërtetim. Nëse mësuesi i përfill të dy hallkat për gjetjen e varësisë, por ligji i gjetur nuk përdoret për zgjidhjen e problemeve, atëherë nxënësi mendon që konkluzioni i gjetur nuk ka ndonjë vlerë praktike. Është e vështirë që të jepet një rast i tillë, por nëse shmanget hallka e parë dhe e dytë dhe u propozohet nxënësve të zgjidhen probleme, duke përdorur formulën e gatshme, sigurisht në këtë rast nuk mund të bëhet fjalë për kuptimin e thelbit të ligjit. Nxënësit do të krijojnë dyshimin se ku u gjet ky ligj dhe përse ai është i vërtetë!

LIBËR PËR MËSUESIN MATEMATIKA 8 - Botime Pegi

Recommend Documents