Pengantar Bentuk Tak Tentu Integral Tak Wajar
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu dan Integral Tak Wajar Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
“Do maths and you see the world”
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
Pengantar Bentuk Tak Tentu Integral Tak Wajar
Bentuk Tak Tentu?
Bentuk tak tentu? Bentuk apa?
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
Pengantar Bentuk Tak Tentu Integral Tak Wajar
Bentuk tak tentu yang dimaksud adalah bentuk limit dengan nilai “seolah-olah”: 0 ∞ ; ; 0 · ∞; ∞ − ∞; 00 ; ∞0 ; 1∞ 0 ∞
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
Pengantar Bentuk Tak Tentu Integral Tak Wajar
Contoh: lim
x→0
sin x x
dan
√ x − x −2 , x→4 x −4 yang apabila kita substitusikan titik limitnya, kita peroleh nilai lim
0 . 0
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
Pengantar Bentuk Tak Tentu Integral Tak Wajar
Pertanyaan: Berapakah nilai limit diatas?
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
Pengantar Bentuk Tak Tentu Integral Tak Wajar
Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Latihan
tentu tentu tentu tentu
0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞
Bentuk tak tentu 0/0
Kita akan menghitung lim
x→c
f (x) , g (x)
dengan lim f (x) = 0 = lim g (x).
x→c
x→c
Cara penyelesaiannya dengan mengubah bentuk f (x)/g (x) (menguraikan pembilang dan penyebut; merasional bentuk pecahan; menggunakan rumus trigonometri dll) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat dipakai.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
Pengantar Bentuk Tak Tentu Integral Tak Wajar
Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Latihan
tentu tentu tentu tentu
0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞
Contoh 1: hitunglah lim
x→0
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
sin x x
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
Pengantar Bentuk Tak Tentu Integral Tak Wajar
Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Latihan
tentu tentu tentu tentu
0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞
Solusi: sin x x→0 x = ··· lim
(gunakan Matlab untuk ilustrasi)
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
Pengantar Bentuk Tak Tentu Integral Tak Wajar
Contoh 2: hitunglah lim
x→4
Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Latihan
tentu tentu tentu tentu
0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞
√ x − x −2 x −4
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
Pengantar Bentuk Tak Tentu Integral Tak Wajar
Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Latihan
tentu tentu tentu tentu
0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞
Solusi: √ x − x −2 x→4 x −4 √ √ ( x − 2)( x + 1) √ √ = lim x→4 ( x − 2)( x + 2) √ x +1 = lim √ x→4 x +2 = 3/4 lim
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
Pengantar Bentuk Tak Tentu Integral Tak Wajar
Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Latihan
tentu tentu tentu tentu
0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞
Bentuk tak tentu ∞/∞ Misalkan kita akan menghitung lim
x→∞
f (x) , g (x)
dengan lim |f (x)| = ∞ = lim |g (x)|.
x→∞
x→∞
Cara penyelesaiannya dengan mengubah bentuk f (x)/g (x) (merasional bentuk pecahan; memunculkan bentuk 1/x n dengan n bilangan asli dll) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat dipakai.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
Pengantar Bentuk Tak Tentu Integral Tak Wajar
Contoh: hitunglah
Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Latihan
tentu tentu tentu tentu
0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞
√ x − x −2 lim x→∞ x −4
(Perhatikan bahwa jika kita substikan titik limitnya, kita dapatkan nilai limit berbentuk tak hingga per tak hingga)
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
Pengantar Bentuk Tak Tentu Integral Tak Wajar
Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Latihan
tentu tentu tentu tentu
0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞
Solusi: √ x − x −2 lim x→∞ x −4 √ √ ( x − 2)( x + 1) √ = lim √ x→∞ ( x − 2)( x + 2) √ x +1 = lim √ x→∞ x +2 √ x(1 + √1x ) = lim √ x→∞ x(1 + √2x ) q 1 + limx→∞ x1 q = 1 + 2 limx→∞ x1 =1 Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
Pengantar Bentuk Tak Tentu Integral Tak Wajar
Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Latihan
tentu tentu tentu tentu
0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞
Bentuk tak tentu 0 · ∞ Sekarang, pandang lim f (x)g (x),
x→c
dengan lim f (x) = 0; lim |g (x)| = ∞.
x→c
x→c
Kita dapat menghitung limit diatas dengan cara mengubah bentuk f (x)g (x) menjadi bentuk f (x) 1/g (x) sehingga diperoleh bentuk 0/0, atau menjadi bentuk g (x) 1/f (x) dengan bentuk ∞/∞. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
Pengantar Bentuk Tak Tentu Integral Tak Wajar
Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Latihan
tentu tentu tentu tentu
0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞
Contoh 1: hitunglah limπ
x−
x→ 4
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
π sec 2x 4
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
Pengantar Bentuk Tak Tentu Integral Tak Wajar
Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Latihan
tentu tentu tentu tentu
0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞
Solusi: π sec 2x 4 x→ 4 x − π4 = limπ x→ 4 cos 2x limπ
x−
= ··· = ··· = −1/2
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
Pengantar Bentuk Tak Tentu Integral Tak Wajar
Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Latihan
tentu tentu tentu tentu
0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞
Contoh 2: hitunglah 1 lim sin x x→∞ x
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
Pengantar Bentuk Tak Tentu Integral Tak Wajar
Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Latihan
tentu tentu tentu tentu
0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞
Bentuk tak tentu ∞ − ∞
Unutk menyelesaikan limit berbentuk ∞ − ∞, lim (f (x) − g (x)),
x→∞
dengan lim f (x) = ∞; lim g (x) = ∞,
x→∞
x→∞
caranya penyelesaiannya dengan mengubah menjadi bentuk ∞/∞.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
Pengantar Bentuk Tak Tentu Integral Tak Wajar
Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Latihan
tentu tentu tentu tentu
0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞
Contoh: hitunglah lim
x→∞
p x 2 + 2x − x
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
Pengantar Bentuk Tak Tentu Integral Tak Wajar
Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Latihan
tentu tentu tentu tentu
0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞
Solusi: tuliskan √ p p x 2 + 2x + x 2 2 x + 2x − x = x + 2x − x · √ x 2 + 2x + x 2 2 x + 2x − x =√ x 2 + 2x + x 2x =q x 2 1 + x2 + x =
2x q 2 x 1+ x +1
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
Pengantar Bentuk Tak Tentu Integral Tak Wajar
Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Latihan
tentu tentu tentu tentu
0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞
Jadi, lim
x→∞
p x 2 + 2x − x = 1
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
Pengantar Bentuk Tak Tentu Integral Tak Wajar
Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Latihan
tentu tentu tentu tentu
0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞
Dapatkah anda menghitung p x 2 − 3x + x ? lim x→−∞
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
Pengantar Bentuk Tak Tentu Integral Tak Wajar
Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Latihan
tentu tentu tentu tentu
0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞
Solusi: 3/2
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Latihan
Pengantar Bentuk Tak Tentu Integral Tak Wajar
tentu tentu tentu tentu
0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞
Latihan
Hitung
√ lim
x→∞
dan
x2 + x 2x − 1
√ lim
x→−∞
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
x2 + x . 2x − 1
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Latihan
Pengantar Bentuk Tak Tentu Integral Tak Wajar
Limit diatas berbentuk
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
tentu tentu tentu tentu
0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞
∞ ∞
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
Pengantar Bentuk Tak Tentu Integral Tak Wajar
Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Latihan
tentu tentu tentu tentu
0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞
Perhatikan bahwa kita dapat menuliskan q √ x 2 1 + x1 2 x +x = 2x − 1 x 2 − x1 dan • untuk x → ∞ berlaku · · · sehingga · · · • untuk x → −∞ berlaku · · · sehingga · · ·
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
Pengantar Bentuk Tak Tentu Integral Tak Wajar
Jadi, lim
x→∞
dan lim
x→−∞
Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Latihan
tentu tentu tentu tentu
0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞
x2 + x = 1/2 2x − 1 x2 + x = −1/2. 2x − 1
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
Pengantar Bentuk Tak Tentu Integral Tak Wajar
Integral Pada Selang Hingga Integral Pada Selang Tak Hingga
Integral Pada Selang Hingga Misalkan kita ingin menghitung Z 1 √ dx. x −1 Kita dapat (dengan mudah) menyelesaikannya dengan memisalkan y = x − 1 sehingga Z 1 √ dx x −1 Z = y −1/2 dy = 2y 1/2 + C √ =2 x −1+C Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
Pengantar Bentuk Tak Tentu Integral Tak Wajar
Integral Pada Selang Hingga Integral Pada Selang Tak Hingga
Namun, bagaimana jika kita ingin menghitung integral tentu Z 5 1 √ dx ? x −1 1
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
Pengantar Bentuk Tak Tentu Integral Tak Wajar
√1 x−1
Kita tahu bahwa fungsi f (x) = dengan lim+ √
x→1
Integral Pada Selang Hingga Integral Pada Selang Tak Hingga
kontinu pada selang (1, 5]
1 = ∞. x −1
Apabila kita menghitung integral pada selang [1, 5], maka tindakan yang dilakukan dikatakan sebagai perhitungan integral tak wajar.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
Pengantar Bentuk Tak Tentu Integral Tak Wajar
Integral Pada Selang Hingga Integral Pada Selang Tak Hingga
Jadi, Z
5
1 dx x −1 1 Z 5 1 √ = lim+ c→1 x −1 1 √ = lim+ 2 x − 1 √
c→1
=4
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
Pengantar Bentuk Tak Tentu Integral Tak Wajar
Integral Pada Selang Hingga Integral Pada Selang Tak Hingga
Integral Pada Selang Tak Hingga
Pada bagian sebelumnya, kita melihat salah satu bentuk integral tak wajar dimana integran bernilai tak hingga. Sekarang kita lihat bentuk lain dimana integran kontinu dan terdefinisi di domainnya, namun integral yang kita hitung memiliki (salah satu) batas tak hingga.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
Pengantar Bentuk Tak Tentu Integral Tak Wajar
Integral Pada Selang Hingga Integral Pada Selang Tak Hingga
Contoh 1: hitunglah Z
0
−∞
1 dx 1 + x2
yang mana kita tahu fungsi f (x) = selang (−∞, ∞).
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
1 1+x 2
kontinu dan terdefinisi di
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
Pengantar Bentuk Tak Tentu Integral Tak Wajar
Integral Pada Selang Hingga Integral Pada Selang Tak Hingga
Solusi: Z
0
1 dx 2 −∞ 1 + x Z 0 1 = lim dx a→−∞ a 1 + x 2 0 = lim tan−1 x a→−∞ a −1 − tan a = lim a→−∞
= −(−π/2)
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
Pengantar Bentuk Tak Tentu Integral Tak Wajar
Integral Pada Selang Hingga Integral Pada Selang Tak Hingga
Contoh 2: hitunglah Z 0
∞
√
1 dx x(x + 1)
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
Pengantar Bentuk Tak Tentu Integral Tak Wajar
Integral Pada Selang Hingga Integral Pada Selang Tak Hingga
Solusi: 1 Perhatikan bahwa fungsi f (x) = √x(x+1) kontinu pada selang (0, ∞) dengan lim+ f (x) = ∞. x→0
Selain itu, integral tak tentunya Z √ 1 √ dx = 2 tan−1 x + C x(x + 1)
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
Pengantar Bentuk Tak Tentu Integral Tak Wajar
Jadi, Z 0
∞
√
Integral Pada Selang Hingga Integral Pada Selang Tak Hingga
1 dx = · · · = π. x(x + 1)
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
Pengantar Bentuk Tak Tentu Integral Tak Wajar
Bagaimana dengan Z
Integral Pada Selang Hingga Integral Pada Selang Tak Hingga
∞
sin x dx, ? 0
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
