MA1201 MATEMATIKA 2A MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2013/2014 Semester II, 2013/2014 5 Maret 2014
Kuliah yang Lalu yang Lalu 10.1‐2 Parabola, Elips, dan 0. a abo a, ps, da Hiperbola pe bo a 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 10.5 Sistem 11.1 Sistem Koordinat Cartesius di R3 11 2‐4 11.2 4 Vektor, Hasilkali Vektor Hasilkali Titik, Hasilkali Titik Hasilkali Silang 11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva 11.6 Garis dan Garis Singgung di Ruang 11.8 Permukaan di Ruang 11.8 Permukaan 3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
2
Kuliah Hari Ini 10.1‐2 Parabola, Elips, dan 0. a abo a, ps, da Hiperbola pe bo a 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 10.5 Sistem 11.1 Sistem Koordinat Cartesius di R3 11.2‐4 11.2 4 Vektor, Hasilkali Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang 11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva 11.6 Garis dan Garis Singgung di Ruang 11.8 Permukaan di Ruang 11.8 Permukaan 3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
3
MA1201 MATEMATIKA 2A
11.1 SISTEM 11.1 SISTEM KOORDINAT CARTESIUS DI R3 • Memahami sistem koordinat Cartesius di R3 • Mengenali dan menggambar grafik per‐ per samaan di R3 3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
4
Apa yang Akan yang Akan Dipelajari Kelak kita akan membahas vektor di bidang (R2) dan di ruang (R3), dan setelah itu kita akan membahas pula fungsi bernilai vektor. Sistem koordinat Cartesius (dan polar) di R2 telah kita pelajari dengan baik. Sekarangg kita akan mempelajari p j sistem koordinat Cartesius di R3. 3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
5
Sistem Koordinat Cartesius di R3 Sistem Koordinat Cartesius di R3 terdiri dari 3 sumbu yang saling tegak lurus dan berpotongan di titik O, yang kemudian disebut sebagai titik asal. Ketiga sumbu tsb biasanya disebut sebagai sumbu‐x, sumbu‐y, dan sumbu‐z, dan membagi ruang menjadi 8 oktan. 3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
z (pos) (p )
O
y (pos)
x (pos.)
6
Sistem Koordinat Cartesius di R3 Setiap titik P di R3 dinyata‐ kan sebagai koordinat P(x,y,z), seperti pd gambar. Jarak antara 2 titik P(x1,y1,z1) dan Q(x2,y2,z2) diberikan ) diberikan oleh rumus|PQ| =
z
P
O
( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 ) . 2
2
2
y
x 3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
7
Persamaan Bola, Bidang, dan Bola, Bidang, dan Garis 1. Persamaan bola yang berpusat di P(a,b,c) dan berjari‐jari R adalah
( x a ) ( y b) ( z c ) R . 2. Persamaan umum bidang di R3 adalah 2
2
2
2
Ax By A B Cz C D, A B C 0. 3. Persamaan x a y b z c p q r menyatakan e yata a ga gariss lurus u us ya yang melalui g e a u T(a,b,c) (a,b,c) dan searah dengan vektor (p,q,r). 2
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
2
2
8
Contoh: Menggambar Bidang di R3 Contoh: Menggambar Gambarlah bidang yang memiliki persamaan
z
x 2 y 3 z 6.
R
Jawab: Bidang melalui titik i ik P(6,0,0), Q(0,3,0), P(6 0 0) Q(0 3 0) dan R(0,0,2).
Q O
y
P x 3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
9
Soal Gambarlah bidang di R3 yg memiliki persamaan
2 x 3 z 12.
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
10
MA1201 MATEMATIKA 2A
11.2 4 VEKTOR, HASILKALI 11.2‐4 VEKTOR, HASILKALI TITIK, TITIK, DAN HASILKALI SILANG • Memahami sifat‐sifat sifat sifat vektor di R2 dan R3 • Menghitung jumlah dua vektor, hasilkali vektor dengan skalar, dan skalar dan besar vektor • Menghitung hasilkali titik dan hasilkali silang dua vektor, dan vektor dan mengetahui sifat‐ sifat sifatnya
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
11
Apa dan Mengapa Vektor Kuantitas panjang, massa, dan panjang, massa, dan waktu merupakan skalar, yang dapat dinyatakan dengan sebuah bilangan. Kuantitas fisis lainnya seperti kecepatan dan gaya tidak hanya mempunyai panjang atau besar (magnitude) tetapi juga arah. Besaran atau kuantitas tsb dikenal sebagai vektor. Pemahaman tentang vektor juga diperlukan untuk mempelajari fungsi dengan b banyak k peubah. b h 3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
12
Vektor: Pendekatan Geometri Vektor: Pendekatan Secara geometri, vektor geometri, vektor dinyatakan sebagai anak panah, yang mempunyai titik awal (ekor) dan titik akhir (kepala), dan dituliskan dengan huruf tebal misalnya u atau v. kepala
u
v
ekor
Dua vektor dikatakan sama atau setara apabila kedua vektor tsb mempunyai panjang dan arah yang sama. Sbg contoh, u dan v di atas setara. 3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
13
Penjumlahan Dua Vektor Diberikan dua vektor, kita vektor kita dapat menghitung jumlahnya dengan dua cara: u
u
v u + v
u + v v
Cara Segitiga Cara Jajargenjang Cara Jajargenjang 3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
14
Perkalian dengan Skalar Kita juga dapat mengalikan vektor dgn skalar: Kita juga
u
2u
Selisih dua vektor, u vektor u – v, dimaknai v dimaknai sebagai hasil operasi u + (‐1)v. 3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
15
Vektor: Pendekatan Aljabar Vektor: Pendekatan Di R Di R2: vektor : vektor u dinyatakan sebagai pasangan terurut (u1,u u2). [Dalam ) [Dalam hal ini, ekor ini ekor vektor u adalah O(0,0) dan kepalanya adalah (u1,u u2).] )] Di R Di R3: vektor k u dinyatakan di k sebagai tripel (u1,u2,u3). 3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
(u1,u2)
O (u1,u2,u3)
O 16
Perkalian dengan Skalar dan Penjumlahan l h Di R Di R2: Jika : Jika u = (u (u1,u2), v ), v = (v (v1,v2), dan ), dan c c R, maka R, maka c u := (cu1,cu2) u + v + v := (u := (u1+v1,u u2+v2) Di R Di R3: Jika Jik u = (u ( 1,u2,u3), v ) = (v ( 1,v2,v3), dan ) d c R, R maka c u := (cu ( 1,cu2,cu3) u + v := (u1+v1,u2+v2,u3+v3) 3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
17
Vektor Basis Di R Di R2: vektor : vektor i = (1,0) dan = (1 0) dan j = (0,1) disebut = (0 1) disebut sebagai vektor basis (baku). Vektor u dapat dituliskan sebagai u = (u1,u2) = u1i + u2j. Di R3: vektor i = (1,0,0), j = (0,1,0), dan k = (0,0,1) merupakan vektor basis (baku). ( 1,,u2,,u3)) = u1i + u2jj + u3k. u = (u 3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
18
Besar atau Panjang Vektor Di R2: Di R
u
Di R i 3: u
u u . 2 1
2 2
u12 u 22 u 32 .
Catatan. Vektor yang panjangnya sama dengan 1 disebut vektor satuan.
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
19
Teorema (Sifat Aljabar Vektor) 1. 1 2. 3 3. 4.
u + v + v = v = v + u +u (u + v) + w = u + (v + w) u + 0 0 = 0 0 + u = u u + (‐u) = 0
5. a(bu) = (ab)u 5 a(bu) = (ab)u 6. a(u + v) = au + av 7. (a + b)u = au + bu ( b) b 8. 1u = u
9 au a u . 9.
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
20
Hasilkali Titik Di R Di R2: u v : u1v1 u 2 v 2 . Di R i 3: u v : u1v1 u 2 v 2 u 3 v 3 . Catatan: u u u . 2
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
21
Sifat Hasilkali Titik 1 u v v u 1. 2 u (v w ) u v u w 2. 3. c ( u v ) ( c u ) v 4. 0 v 0 3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
22
Teorema Jika θ adalah sudut tak negatif antara dua vektor tak nol u dan v, maka
u v u v cos . Definisi: Dua vektor u dan v tegak lurus jika dan hanya jika u v 0 .
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
23
Hasilkali Silang di R3 Definisi: Hasilkali Definisi: Hasilkali silang antara u dan v adalah u x v := (u2v3 – u3v2, u3v1 – u1v3, u1v2 – u2v1)
i
j
k
u1
u2
u3 .
v1
v2
v3
Dapat diperiksa bahwa u x v = –(v x u). 3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
24
Sifat Hasilkali Silang 1 u ( u v ) 0 v ( u v ). 1. ) yakni u x v tegak lurus pada u dan v. 2. u, v, dan u x v membentuk tripel tangan kanan. 3. u v u v sin . 3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
25
Sifat Hasilkali Silang 1 u (v w ) u v u w . 1.
) 2 k ( u v ) ( k u ) v u ( k v ). 2. 3. ( u v ) w u ( v w ).
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
26
Soal Buktikan bahwa: i bahwa: i x j x j = k, j = k j x k x k = i, k = i k x i x i = j. =j
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
27
