Com base na representação gráfica das funções f , g e h:
Matemática Ficha de Trabalho Exercícios e problemas sobre FUNÇÕES RACIONAIS 11ºano
Exercício 1 Considera a função real de variável real h, definida por h( x ) =
x+6 . x −3
a) Indica, caso existam:
a) Indica o domínio de h e os seus zeros.
a1) lim f ( x ) =
b) Indica as coordenadas do ponto de intersecção do gráfico de h com o eixo das
a2) lim f ( x ) =
x → +∞
x → −∞
ordenadas.
a3) lim f ( x ) =
c) Determina o conjunto solução da condição h( x ) ≥ x − 2
x → −1+
k e indica as equações das x−b
a4) lim f ( x ) =
9 e) O gráfico de h obtém-se do gráfico da função g, definida por g ( x ) = , por uma x
a6) lim g ( x ) =
d) Escreve a expressão analítica de h na forma a + assimptotas do gráfico
x → −1−
a5) lim f ( x ) = x → −1
x → +∞
a7) lim g ( x ) =
→
x → −∞
translação associada a um vector v . Indica as suas coordenadas.
a8) lim g ( x ) = x →0
b) Comenta a afirmação: “ lim h( x ) = 4 ” x →3
Exercício 2 Na figura está a representação gráfica de uma função f.
a) Atendendo aos dados, mostra que f ( x ) =
−x + 1 x+2
b)
pontos
Determina
as
coordenadas
dos
Exercício 4 Considera as funções reais de variável real g e h, definidas por:
g( x ) =
de
intersecção do gráfico de f com a recta de equação
h( x ) =
x 3 − x 2 − 14 x + 24 x2 − 4
b) Simplifica a expressão designatória que define a função h, e indica o domínio
c) Calcula, caso existam, os seguintes limites: x → +∞
e
a) Determina as equações das assimptotas do gráfico de g.
y = x − 1.
c1) lim f ( x )
x2 −1 8−x
c2) lim f ( x ) x → −∞
de validade da simplificação
c3) lim f ( x ) x → −2
c) Determina as soluções naturais da condição g ( x ) >
Exercício 5
Exercício 3
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1 x
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Considera a função definida por h( x ) =
2x + 3 . x −1
Qual das seguintes expressões analíticas pode definir a função cujo gráfico se encontra representado ao lado?
Podemos afirmar que: (A) D h = IR
e
(A) f ( x ) = 2 x + 3
D' h = IR
(B) D h = IR \ {1 } e
D' h = IR
(C) D h = IR \ {1 } e
D' h = IR \ { 2 }
(D) D h = IR \ { 2} e
D' h = IR \ {1 }
(C) f ( x ) =
Exercício 6
(B) f ( x ) = x 2 −
3 2
(D) f ( x ) =
2 x 3
1 x −3
Exercício 8
x−4 Considera a função f ( x ) = 2 . Podemos afirmar que o domínio da função é: x −1
Seja f ( x ) =
(A) D h = IR
O domínio da função f é:
(B) D h = IR \ {1 }
x +1 1− x 2
(A) IR \ { − 1 , 1 }
(B) IR \ {1 }
(C) IR \ { − 1 }
(D) IR
(C) D h = IR \ { − 1 , 1 } (D) D h = IR \ {1 , 4 }
Exercício 10 x +3 1 Seja f uma função real de variável real de domínio IR \ , definida por f ( x ) = . 2x − 1 2
Exercício 7 Sendo f uma função real de variável real, sabe-se que: •
f (1) = −1
O gráfico desta função tem por assimptotas as rectas de equações:
•
D h = IR \ { − 2}
(A) y =
•
Quando x → +∞ , y → 0
•
Quando x → −∞ , y → 0
1 1 ; x=− 2 2
(C) y = −
1 1 ; x=− 2 2
(B) y = − (D) y =
1 1 ; x= 2 2
1 1 ; x= 2 2
Então, o gráfico de f pode ser:
Exercício 11 A figura representa parte do gráfico de uma função f. Qual das seguintes expressões pode definir f? (A) f ( x ) = x + 1 + (C) f ( x ) =
x+2 x2 +1
2 x −1
(B) f ( x ) =
2 + x2 x −1
(D) f ( x ) =
x2 −1 x −1
Exercício 12
Exercício 8
Sejam A( x ) = x 2 + 3 x + 2 e B( x ) = 1 − x 2
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O gráfico da função f ( x ) =
II – Existem funções racionais que não têm zeros
A( x ) tem: B( x )
III – Todas as funções racionais têm pelo menos uma assimptota vertical
(A) três assimptotas
IV – Nem todas as funções racionais têm domínio IR
(B) duas assimptotas
As afirmações verdadeiras são:
(C) uma assimptota
(A) I e III
(B) I e IV
(C) II e IV
(D) II e III
(D) não tem assimptotas
Exercício 13
Exercício 18
1 : Dada a função, real de variável real, definida por f ( x ) = 2 x − 2x
Determina o domínio e os zeros de cada uma das seguintes funções: a) f ( x ) =
a) Determina o domínio e os zeros da função
x −1
b) f ( x ) =
5( x − 2) 2
x2 − 4
c) f ( x ) =
x 2 − 5x + 6
x2 − x x 2 − 4x + 3
b) Usando uma tabela de sinais, indica o intervalo em que f ( x ) ≥ 0 c) Verifica se o gráfico da função tem assimptotas e, em caso afirmativo, indica-as.
Exercício 19 Exercício 14
Considera as funções definidas por: 1
Dada a função, real de variável real, definida por f ( x ) = (A) IR \ { − 3 , 3
}
{
(B) IR \ − 3
x2 + 3
, o seu domínio é:
{
}
(C) IR \ − 3 , 3
}
(D) IR
f (x) =
3x 2 − 5x
g(x ) =
e
x2 − 9
2x − 6 x 2 − 5x + 6
Determina: a) o domínio de cada uma das funções dadas b) os zeros da função g
Exercício 15 O gráfico da função definida por f ( x ) = x +
1 x
c) as assimptotas do gráfico da função f tem:
d) os valores para os quais g ( x ) > 0
(A) assimptota vertical x = 0 e assimptota horizontal y = 0 (B) assimptota vertical x = 1 e assimptota oblíqua y = x (C) assimptota vertical x = 0 e assimptota oblíqua y = x
Exercício 20
(D) assimptota vertical x = 1 e não tem assimptotas não verticais
Considera as funções f e g, definidas por f ( x ) =
3x − 1 2−x e g(x ) = x+2 x
a) Resolve a inequação g ( x ) < x b) Determina para que valores de x a função f é positiva
Exercício 16 As assimptotas do gráfico da função definida por f ( x ) =
c) Se as funções f e g forem representadas no mesmo referencial, para que valores de
x −2 são: x2 − 4
(A) x = −2 ; x = 2 e y = 0
(B) x = −2 ; x = 2 e y = 2
(C) x = 2 e y = 2
(D) x = −2 e y = 0
x o gráfico de f está abaixo da assimptota horizontal do gráfico de g?
Exercício 21 Exercício 17
Considera as funções definidas por:
Considera as seguintes afirmações: f (x) =
I – A representação gráfica de uma função racional nunca é uma recta
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5x x+2
,
g ( x ) = 2x − 3
e
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h( x ) =
2 x
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a) Indica o domínio das funções f , g e h
b) Determina a e b, números reais, de modo que a recta
1 b) Calcula f e o valor para o qual a função f tende quando x → +∞ 5
assímptota não vertical do gráfico da função f.
y = 2ax − 3b seja a
c) Resolve a equação f ( x ) = g ( x ) d) Determina o intervalo de números reais tais que g ( x ) ≥ h( x )
Exercício 26
e) Indica as assimptotas do gráfico da função h.
Considera a função f definida por f ( x ) =
2x + 5 x +1
a) Resolve, por processos analíticos, a inequação f ( x ) ≥ 1 b) Utiliza as capacidades gráficas da tua calculadora para resolveres a equação
Exercício 22
f (x ) = π . Apresenta o resultado arredondado às centésimas.
Indica as assimptotas oblíquas dos gráficos das funções, caso existam: a) f ( x ) =
2x − 3x + 1 x+2 2
b) f ( x ) =
x −6 2x 2
Exercício 27 As rectas de equação
Exercício 23
x = −1 e y = 2 são assimptotas do gráfico da função f . Qual
das afirmações pode ser verdadeira?
2x 2 + x + 3 Considera a função f real de variável real definida por f ( x ) = . x +1
(A) f ( x ) = −1 +
a) Determina o domínio, os pontos de intersecção do gráfico com os eixos coordenados, as assímptotas e esboça o respectivo gráfico.
(C) f ( x ) = 2 −
5 x −2
5 x +1
(B) f ( x ) = 1 −
5 x −2
(D) f ( x ) = 2 +
5 x −1
b) Determinam, algebricamente, os valores de x de modo que f ( x ) ≤ 0 .
Exercício 24 A altura, em metros, de uma árvore, t anos após o momento em que foi plantada, é dada por h(t ) =
6t + 1 t +2
a) Com que altura a árvore foi plantada? A professora:
b) Qual foi a variação da altura da árvore nos primeiros nove meses após ter sido plantada?
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c) Faz um esboço do gráfico da função h (no contexto do problema) d) Para que valor tende a altura da árvore com o decorrer dos anos?
Exercício 25 Considera o ponto A( −1 ,−3) e a função racional f definida por f ( x ) =
3x 2 + 8x − 1 1− x
a) Mostra que o ponto A pertence ao gráfico da função f.
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