O Método dos Elementos Finitos e a Engenharia Civil - Ipog

O Método dos Elementos Finitos e a Engenharia Civil

dezembro/2015

O Método dos Elementos Finitos e a Engenharia Civil Ademir José Moraes – [email protected] MBA Projeto, Execução e Controle de Estruturas e Fundações. Instituto de Pós-Graduação - IPOG Cuiabá-MT, 20 de junho de 2015. Resumo O presente artigo analisa as aplicabilidades do Método dos Elementos Finitos (MEF) dentro da Engenharia Civil, especialmente dentro do campo da Análise e Dimensionamento de Estruturas. Existem realmente vantagens na utilização deste modelo matemático? Quais são os benefícios oferecidos ao longo do tempo aos engenheros civis no seu trabalho de análise estrutural? Devido ao aumento da capacidade de processamento dos computadores nas últimas décadas, o Método dos Elementos Finitos tornou-se aplicável ao cotidiano do Engenheiro Civil, pois tornou possível o desenvolvimento de inúmeros softwares de análise estrutural acessíveis e, devido à sua extrema eficiência, auxiliar na importante tarefa de determinação de esforços, tensões e deslocamentos. O objetivo é descrever a metodologia teórica do MEF, seu desenvolvimento histórico e as principais aplicações encontradas dentro da Engenharia Civil. Para isso, será realizado uma extensa pesquisa bibliográfica em livros, teses e dissertações, apresentando um breve estudo a respeito do Método dos Elementos Finitos, seus principais conceitos e aplicações e sua importância para a Engenharia Civil. Conclui-se, portanto, que as aplicações do Método dos Elementos Finitos na Engenharia Civil são tantos e tão importantes que faz-se necessário que os profissionais da área conheçam ao menos suas aplicações e seus conceitos básicos. Palavras-chave: Método dos Elementos Finitos, Análise Estrutural, Métodos Numéricos, Engenharia de Estruturas. 1. Introdução Estudar a evolução histórica da teoria do Método dos Elementos Finitos, bem como suas aplicações práticas, é acompanhar a estupenda evolução tecnológica pela qual passou a humanidade a partir da segunda metade do século XX, e tal é a sua importância, que não há como negar o papel fundamental desenvolvido por este nesta evolução, pois, como veremos, suas contribuições foram imprescindíveis para evoluirmos para o atual estado da arte nas análises estruturais, seja no campo da construção civil, seja nas áreas de engenharia mecânica, naval, aeronáutica, etc. A importância do estudo conceitual da teoria do Método dos Elementos Finitos mostra-se cada vez mais relevante aos que se propõem a se aventurar no desafiante mundo da Análise de Estruturas, visto que estes conceitos estão presentes em praticamente todos os softwares disponíveis e que, sem dúvida, podem e devem ser utilizados como ferramentas indispensáveis no cotidiano do engenheiro estrutural. Desta maneira, é inconcebível que o analista de estruturas simplesmente utilize estes softwares sem entender os conceitos que foram utilizados na sua concepção, e pior ainda, sem que possua conhecimentos que possam questionar e até mesmo criticar os resultados ISSN 2179-5568 – Revista Especialize On-line IPOG - Goiânia - Edição nº 10 Vol. 01/ 2015 dezembro/2015


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apresentados pelo mesmo. Sobre isso, veja o que diz o Prof. Dr. Avelino Alves Filho, engenheiro mecânico e um dos precursores do estudo do Método dos Elementos Finitos no Brasil: “Se o engenheiro não sabe modelar o problema sem ter o computador, ele não deve fazê-lo tendo o computador.” (ALVES FILHO, 2012). 2. Histórico É consenso entre os autores, que o marco inicial da teoria do Método dos Elementos Finitos pode ser definido ao final do século XVIII, quando o matemático alemão Gauss, conhecido como “príncipe da Matemática”, tal a contribuição dos seus trabalhos para o desenvolvimento desta ciência, propôs a utilização de funções de aproximação para a solução de problemas matemáticos. (LOTTI, MACHADO, et al., 2006). Segundo Pavanello, (1997), Remontam a 1906 os primeiros princípios que posteriormente seriam consolidados no Método dos Elementos Finitos. Nesta época, pesquisadores propuseram um mecanismo de modelagem do contínuo por um modelo de barras elásticas, de tal forma que os deslocamentos nos nós representassem uma aproximação para os deslocamentos do contínuo.

Também há de se destacar o trabalho do matemático e físico suíço, Walter Ritz, que em 1909 desenvolveu um método numérico para determinar a solução aproximada de problemas de mecânica em sólidos deformáveis, denominado como Método de Ritz, que é uma das bases teóricas para o que conhecemos hoje como Método dos Elementos Finitos. No entanto, devido às limitações existentes, e pela dificuldade de processamento de equações algébricas, especialmente em equações com muitas variáveis, foi somente a partir da década de 1940, com o advento dos primeiros computadores movidos à válvula, e toda a evolução tecnológica possibilitada por estes, é que realmente as teorias puderam ser colocadas em prática. Atribui-se a um matemático americano judeu denominado Richard Courant, em uma nota de rodapé do seu livro “Methoden der Mathematischen Physik” (1924), escrito em alemão em coautoria com David Hilbert, os primeiros conceitos do que viria, décadas mais tarde, a ser conhecido como Método dos Elementos Finitos. Nesta nota, Courant propôs o primeiro procedimento computacional para a solução numérica de equações diferenciais parciais. No entanto, o primeiro a sugerir a nomenclatura tal qual a conhecemos hoje, Método dos Elementos Finitos, foi o professor de Engenharia Estrutural do departamento de Engenharia Civil, da Universidade da Califórnia, Ray. W. Clough, em um artigo publicado na década de 1960. O professor Clough já havia publicado, em 1956, em coautoria com alguns outros matemáticos e engenheiros, um artigo com todos os conceitos já aplicados, em um projeto de análise estrutural de aeronaves para a empresa americana Boeing, de modo a permitir uma melhor modelagem para a fuselagem dos seus aviões. De acordo com Campos (2005), Se, inicialmente, o FEM fora desenvolvido como um método de simulação baseado em computação para análise de estruturas aeroespaciais, no final dos anos 60 passou a ser utilizado para a simulação de problemas não estruturais em fluidos, ISSN 2179-5568 – Revista Especialize On-line IPOG - Goiânia - Edição nº 10 Vol. 01/ 2015 dezembro/2015


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termomecânica e eletromagnetismo.

Aconteceu, então, a partir da década de 1970, um crescimento exponencial do número de artigos publicados, bem como de softwares especializados na utilização do M.E.F. para determinação de esforços, entre os quais se pode citar o ANSYS, o NASTRAN, este último desenvolvido pela NASA.

2.1 Elementos Finitos no Brasil O estudo e aplicação prática da teoria do M.E.F. no Brasil iniciaram-se ainda na década de 60, mais especificamente com os trabalhos do professor Fernando Venâncio Filho, que foi o primeiro a publicar um artigo científico sobre o tema no país. A crescente demanda por tecnologia pela qual o Brasil passava nesta década, com a instalação das indústrias automobilísticas e aeronáutica, bem como a construção de Brasília alavancou ainda mais o interesse por métodos computacionais de análise estrutural. Como se pode verificar em Las Casas, (2002), “O primeiro computador dedicado ao cálculo científico foi instalado em 1960 na PUC-Rio, um Datatron B205 da Burroughs. O segundo computador foi instalado dois anos mais tarde, em São Paulo, desta vez um IBM 1620”. Na figura 1, abaixo, pode-se ver uma foto de um modelo idêntico ao instalado na PUC-Rio.

Figura 1 - Datatron 205. Primeiro computador utilizado no Brasil para cálculos científicos (UFRJ, 1969). Fonte: Datatron: Computer History (Disponível em: http://tjsawyer.com/b205home.htm. Acesso em maio/2015).

No entanto, ainda que estes computadores fossem utilizados mais para realização de cálculos trabalhosos e repetitivos, já nesta época foram implementados e desenvolvidos programas específicos de análise matricial e elementos finitos. Segundo o mesmo autor, foi desenvolvido, no final da década de 1960, no Instituto Tecnológico da Aeronáutica, um ISSN 2179-5568 – Revista Especialize On-line IPOG - Goiânia - Edição nº 10 Vol. 01/ 2015 dezembro/2015


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protótipo de programa computacional para análise estrutural do avião Bandeirantes, de fabricação nacional. Outro marco importante no campo da análise estrutural no Brasil foi a criação da COPPE (Centro de Pesquisas em Engenharia), da UFRJ, tornando-se em 1969, a primeira instituição brasileira credenciada a conferir o título de doutor. Desta época, destaca-se o trabalho do professor Luiz Lobo B. de Carneiro, primeiro professor do curso do Método de Elementos Finitos na COPPE. Em 1970, outro professor, Alcebíades de Vasconcellos Filho apresentou a primeira tese de doutorado da COPPE, com o tema que se propunha a discutir a análise de placas através do Método dos Elementos Finitos. (LAS CASAS, 2002) Vale ressaltar também o desenvolvimento, em 1973, do primeiro programa brasileiro de uso geral baseado no M.E.F, em Porto Alegre, pelo professor A. Ferrante. A esse programa deu-se o nome de Lorane, e seu desenvolvimento teve continuação também na COPPE-UFRJ. (LAS CASAS, 2002) Por fim, destaca-se também a realização, em 1977, do Primeiro Congresso Latino-Americano em Métodos Computacionais para Engenharia Civil, organizado no Rio de Janeiro pelo professor Ferrante, apresentando “o resultado de duas décadas de trabalho por alguns pioneiros na estruturação de uma comunidade de mecânica computacional no Brasil, com a importante colaboração de colegas do Cone Sul”. (LAS CASAS, 2002) 3. O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E A ENGENHARIA PREVENTIVA Com a crescente evolução e facilidade de acesso a sistemas computacionais com poder de processamento poderosíssimos, o Método dos Elementos Finitos tem se tornado uma excelente ferramenta na modelagem de sistemas estruturais visando a prevenção de problemas, tentando-se desta maneira, antever o comportamento estrutural dos elementos, fazendo assim um diagnóstico preventivo das peças mais susceptíveis a apresentar problema no futuro. A isso se tem chamado Engenharia Preventiva. A título de exemplo, serão ilustradas algumas estruturas com geometrias não usuais, cujos processos de determinação de esforços e previsão de possíveis problemas estruturais seriam muito dispendiosos, ou até mesmo inviáveis, caso não fossem utilizados os conceitos do Método dos Elementos Finitos. 3.2.1. Cobertura do Museu de Arte do Rio – Rio de Janeiro, Brasil. De acordo com Jazra, (2013), o Museu de Arte do Rio (MAR), considerada como a primeira obra da revitalização portuária da cidade do Rio de Janeiro a ser inaugurada, foi construído interligando dois prédios históricos existentes, através de duas passarelas translúcidas, além de uma cobertura suspensa, cuja ideia de partido arquitetônico era imitar a fluidez das ondas do mar. Com 66 metros de comprimento, 25 metros de largura e desníveis que chegavam a 1,5 metros, a estrutura, que possui em média apenas 15 cm de espessura, e está apoiada diretamente em 37 pilares, se mostrou um desafio para a equipe técnica, tanto em sua fase de projeto e dimensionamentos dos esforços, quanto em sua fase de execução. ISSN 2179-5568 – Revista Especialize On-line IPOG - Goiânia - Edição nº 10 Vol. 01/ 2015 dezembro/2015


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Desta maneira, somente através de softwares que se utilizam do Método dos Elementos Finitos é que se chegou ao modelo necessário para a determinação dos esforços, especialmente nas regiões de encontro da laje com os pilares, devido à fluidez e leveza da mesma, como se observa na figura 2.

Figura 2 Museu de Arte do Rio. Fonte: Pini Arquitetura. http://piniweb.pini.com.br/construcao/arquitetura/museu-de-arte-do-rio-e-inaugurado278759-1.aspx Acesso em abril/2015

Na figura 3, pode-se verificar o resultado da análise estrutural da cobertura, com o diagrama dos momentos fletores da estrutura.

Figura 3 - Cobertura do M.A.R. - Diagrama de Momentos Fletores. Fonte: Pini Arquitetura. http://piniweb.pini.com.br/construcao/arquitetura/museu-de-arte-do-rio-e-inaugurado278759-1.aspx Acesso em abril/2015

3.2.2. Ponte D. Luiz I, Porto, Portugal. Construída no final do século XIX, a ponte D. Luiz I, (figura 4) interliga as cidades de Porto e Vila Nova de Gaia, em Portugal, e trata-se de uma ponte de estrutura metálica, com dois tabuleiros, que passou por uma análise através do Método dos Elementos Finitos, de modo a determinar quais peças sofreram maior desgaste com o tempo, e, portanto, necessitavam de mais atenção durante o complexo processo de manutenção e eventual reforço estrutural da ISSN 2179-5568 – Revista Especialize On-line IPOG - Goiânia - Edição nº 10 Vol. 01/ 2015 dezembro/2015


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mesma.

Figura 4 - Ponte D. Luis I, Porto, Portugal. Fonte Estudos para a ponte Luis I. https://web.fe.up.pt/~azr/pontes/luis_con.htm. Acesso em abril/2015

O resultado da análise pode ser visto na figura 5, abaixo:

Figura 5 - Análise por M.E.F. revelou quais barras precisariam ser reforçadas. Fonte Estudos para a ponte Luis I. https://web.fe.up.pt/~azr/pontes/luis_con.htm. Acesso em abril/2015

4. IMPORTÂNCIA DO ENSINO NA GRADUAÇÃO É notório nos dias atuais, especialmente na última década, o crescente aumentos de cursos de graduação em Engenharia Civil no Brasil, movidos especialmente pela grande demanda por engenheiros, arquitetos e afins, devido principalmente aos avanços sociais e econômicos apresentados pelo Brasil desde o início do século. No entanto, devido a diversos fatores, os quais não será discutido o mérito neste trabalho, ocorre uma grande falta de padronização curricular, seja na quantidade de horas cursadas, seja no conteúdo prático e teórico ministrado aos alunos de graduação. Sobre a dificuldade em se aprofundar os estudos teóricos sobre análise estrutural nos cursos de graduação em Engenharia Civil, Bandeira e Chivante, (2006), dizem o seguinte: ISSN 2179-5568 – Revista Especialize On-line IPOG - Goiânia - Edição nº 10 Vol. 01/ 2015 dezembro/2015


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..., o uso exclusivo de equações de equilíbrio viabiliza a resolução de um grupo limitado de sistemas estruturais (os isostáticos). Já para a solução dos sistemas hiperestáticos, o uso de técnicas analíticas também limita sua aplicação, devido à necessidade de grande esforço físico para sua implementação e, em casos mais complexos, a necessidade de uma ferramenta computacional que viabilize a solução do problema.

Os autores ressaltam ainda, como dificuldade a ser enfrentada, a íntima interdisciplinaridade existente, e necessárias para o completo entendimento das teorias da análise estruturas, com disciplinas que muitas vezes não ganham a devida importância dos alunos de graduação, tais como cálculo diferencial, álgebra linear, mecânica dos sólidos, etc. Esta pequena pesquisa, resumida no Quadro 1 abaixo, tem a intenção de demonstrar que há, felizmente, uma crescente oferta de disciplinas mais aprofundadas sobre análise estrutural dentro das grades dos cursos de graduação, seja como matérias obrigatórias ou optativas, sendo que entre as mais destacadas estão as que discorrem sobre o Método dos Elementos Finitos. Ainda que este movimento seja menor do que o necessário, espera-se que trabalhos como dessa monografia ajudem nesse processo de conscientização. Instituição de Ensino Universidade de Cuiabá Universidade de Cuiabá UFMG UFMT IPOG-GO UFRJ

Curso Engenharia Civil Engenharia Mecânica Engenharia Civil Engenharia Civil Engenharia Civil Engenharia Civil

M.E.F Optativa Optativa Optativa

Quadro 1 – Ensino do M.E.F. na Graduação no Brasil Fonte: Elaborado pelo Autor (2015)

5. CONCEITUAÇÃO TEÓRICA Não é uma tarefa fácil encontrar uma única definição consolidada entre os diversos autores que discorreram sobre o tema ao longo do tempo, mas pode-se dizer, de maneira genérica, que se trata de uma técnica que se utiliza de métodos numéricos, onde, através do uso de equações diferenciais, podem-se obter soluções aproximadas. De acordo com Pavanello, (1997), “... o Método dos Elementos Finitos foi criado com o objetivo de se resolver os problemas de mecânica que não admitem soluções fechadas (de forma analítica)”. Em outras palavras, ele baseia-se em uma discretização de domínios, que podem ter geometrias irregulares arbitrárias, gerando assim elementos polinomiais básicos, que permitem, através da resolução das aproximações em seus nós, chegar-se a uma aproximação do comportamento da estrutura como um todo. Segundo Gesualdo(2010), Elementos mais simples têm formulação mais simples, caso de triângulos com 6 graus de liberdade (gl) – 3 nós -, ou retangulares com 8 gl – 4 nós. Contudo, modelar sistemas de contorno complexo pode exigir a combinação de diferentes formas de elementos.

Quanto maior a complexidade dos elementos a serem modelados, bem como quanto mais elementos forem definidos, ou seja, quanto mais discretizada a estrutura for, maior será o ISSN 2179-5568 – Revista Especialize On-line IPOG - Goiânia - Edição nº 10 Vol. 01/ 2015 dezembro/2015


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refinamento da malha, no entanto, maior também será o tempo computacional necessário para a resolução do problema, tendo em vista a maior complexidade matemática destes elementos. Na figura (6) abaixo, pode-se observar, de maneira simplificada, o emprego de elementos do tipo triangular e quadrangular, utilizados em modelagem de protótipos bidimensionais. A condição mínima, é que cada elemento, tenha, respectivamente, 3 (três) e 4(quatro) nós, definidos em seus vértices. Segundo Gesualdo (2010), pode-se ainda utilizar nós adicionais ao longo das arestas dos elementos, aumentando sua complexidade e permitindo representações polinomiais quadráticas, apresentado assim resultados mais refinados.

Figura 6 – Elementos e Nós Fonte (GESUALDO, 2010)

Embora preferível, em estruturas com geometrias diferenciadas, nem sempre é possível a utilização de elementos de forma regular, especialmente em regiões de encontro de malhas. Segundo Martha (1994), o “Método dos Elementos Finitos pode ser interpretado como uma generalização dos procedimentos adotados em uma análise estrutural convencional de sistemas reticulados”. Segundo o mesmo autor, a utilização de formulações matriciais em pórticos através do Método dos Deslocamentos, trata-se do próprio conceito do M.E.F. A diferença é que, enquanto a primeira utiliza-se somente dos nós ou elementos estruturais existentes, o segundo é uma idealização da estrutura por um número finito de elementos (regiões), que são utilizadas para representar um meio contínuo. Uma definição ainda mais simples: “... pode-se definir o MEF como um método matemático, no qual um meio contínuo é discretizado (subdividido) em elementos que mantém as propriedades de quem os originou” (LOTTI, MACHADO, et al., 2006). 5.1 Métodos de Análise Estrutural Dentre as diversas disciplinas existentes nas grades de graduação em Engenharia Civil, e que se referem aos mais variados aspectos da Engenharia de Estruturas, tais como Resistência dos Materiais, Estática das Estruturas, Estruturas de Madeira, Metálica, Concreto, etc..., verificase sempre em comum um grande número de fórmulas e tabelas, advindas de soluções analíticas extraídas das mais diversas teorias, tais como Teoria das Vigas, Teoria Geral de Placas e Cascas, Teoria da Elasticidade, entre outras. Em comum, a todas elas, é o fato de que são “o produto do tratamento matemático clássico baseado no estudo das “Equações Diferenciais”, que descrevem o Equilíbrio da Estrutura”. (ALVES FILHO, 2012, p. 3). ISSN 2179-5568 – Revista Especialize On-line IPOG - Goiânia - Edição nº 10 Vol. 01/ 2015 dezembro/2015


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Segundo o mesmo autor, é correto afirmar, que para a maioria dos engenheiros, o desenvolvimento dessas soluções requer conhecimentos matemáticos muito aprofundados e que não estão ao seu alcance, tornando-se assim muito mais cômodo o uso das expressões finais em seus trabalhos no dia-a-dia. No entanto, existem grandes limitações ao uso dessas soluções finais, pois estes métodos clássicos, também chamados de Métodos Analíticos, possuem soluções possíveis somente para alguns casos conhecidos, com geometrias simples e condições de apoio e carregamento previamente estudadas e tabeladas. Essas limitações levaram diversos pesquisadores buscar o desenvolvimento de “procedimentos aproximados, que pudessem ser aplicados em caráter geral, independente da forma da estrutura e da condição de carregamento, dentro da precisão aceitável do problema de engenharia”. (ALVES FILHO, 2012, p. 3). Essa alternativa aos procedimentos analíticos clássicos deu origem ao Método dos Elementos Finitos. 5.1.1 Sistemas Contínuos Na figura (7) abaixo pode-se observar exemplos de estruturas que podem ser facilmente solucionadas através de formulações e tabelas, através das denominadas Soluções Analíticas. No entanto, existe uma particularidade muito interessante em comum a todas as teorias que deram origem às soluções analíticas que conhecemos hoje: todas tratam as estruturas como um sistema contínuo, ou seja, elas permitem “determinar o deslocamento vertical y para todos os valores de x, isto é, a solução é obtida para os infinitos pontos da viga, por intermédio de uma função matemática”. (ALVES FILHO, 2012, p. 6). Diz-se então, que a estrutura que é objeto de análise através dos métodos analíticos é tratada com um sistema contínuo, ou seja, a solução é obtida para TODOS os pontos que o corpo da estrutura.

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Figura 7 – Tabela de Diagramas de Momento e Deformações Máximas (Exemplo de Soluções em Sistemas Contínuos) Fonte: : (GILBERT, LEET e UANG, 2009)

5.1.1 Sistemas Discretos Segundo Alves Filho (2012), em contraponto aos sistemas contínuos utilizados nos métodos analíticos, baseados no comportamento diferencial de um elemento infinitesimal da estrutura, de onde é possível entender o comportamento da peça como um todo, pode-se tomar mão de ISSN 2179-5568 – Revista Especialize On-line IPOG - Goiânia - Edição nº 10 Vol. 01/ 2015 dezembro/2015


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soluções aproximadas, que simulam o comportamento da estrutura através da montagem de elementos que tem uma dimensão finita (e não diferencial). Dessa maneira, é realizada uma subdivisão do sistema em um número finito de elementos, de maneira que a estrutura seja entendida como um agregado de elementos e conexões entre eles, denominados nós, formando o que é chamado de malha. Julga-se que o número de pontos discretos escolhidos (nós), seja suficiente determinar, embora de maneira aproximada, o comportamento estrutural do conjunto inteiro. Na figura (8) abaixo, verifica-se um exemplo de discretização de uma estrutura de um reservatório.

Figura 8 – Exemplo de Estrutura Real Discretizada em elementos e nós Fonte: (AJEJE, PENNA e PITANGUEIRA, 2011).

Um detalhe importante a se observar é referente à quantidade de elementos e consequentemente de nós a ser escolhida. Já se viu que, aumentando o refinamento da malha, ou seja, aumentando a quantidade de elementos a serem calculados, ganha-se consideravelmente na aproximação da solução exata, no entanto, isto demanda mais tempo de cálculo computacional, que pode crescer de maneira exponencial à medida que se aumenta o refinamento da malha. Cabe ao engenheiro, dependendo obviamente das propriedades do elemento, chegar a um equilíbrio nesta equação, obtendo uma solução aproximada satisfatório com o menor número possível de elementos discretizado, a fim de se economizar recursos computacionais. Na figura (9), verifica-se que à medida que se aumenta o número de nós, mais se aproxima da solução exata do problema.



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Figura 9 - Exemplo de Aproximação de funções contínuas por partes (discretização) Fonte: (AZEVEDO, 2014)

Na figura (10) abaixo, verifica-se um exemplo da convergência dos resultados se aproximando da solução exata, à medida que se aumenta o número de nós.

Figura 10 - Gráfico de Convergência da tensão em função do número de nós Fonte: (AZEVEDO, 2014)

5.2 Análise Matricial de Estruturas Segundo Cavalcanti (2006), Métodos consagrados de análise estrutural, tais como o método das forças e o método dos deslocamentos foram o alvo inicial das técnicas computacionais de análise estrutural. E com base em formulações e equações matemáticas fundamentadas e desenvolvidas no campo da álgebra matricial, nasceu a técnica computacional da análise matricial de estruturas, que posteriormente evoluiu para métodos mais consagrados, tais como diferenças finitas, elementos finitos e de contorno e mais recentemente, elementos discretos e operadores discretos.

O que se pretende, através da técnica de modelagem matricial de uma estrutura, é uma maneira de “traduzir” para o computador, as propriedades geométricas de uma estrutura, através de matrizes que representam as coordenadas dos seus vértices, bem como de que maneira se conectam cada uma de suas barras. Para exemplificar, pode-se verificar a montagem da treliça plana (tesoura) da estrutura abaixo ISSN 2179-5568 – Revista Especialize On-line IPOG - Goiânia - Edição nº 10 Vol. 01/ 2015 dezembro/2015


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(figura 11) em uma matriz de coordenadas dos nós e uma tabela de conexão destes, formando as barras, que é conceitualmente a maneira pela qual os computadores “enxergam” as estruturas, sejam elas simples com a deste exemplo, sejam pórticos espacial de edifícios com múltiplos andares.

Figura 11 - Estrutura com treliças metálicas planas (tesoura) Fonte: Elaborado pelo Autor (2015)

Inicialmente numeram-se os nós da estrutura (treliça) e monta-se uma matriz com as suas coordenadas, em função de um sistema de eixos (x e y) com origem no nó 1: Na figura exemplo:

(12)

abaixo,

verifica-se

a

sequência

dos

nós

da

estrutura

de

Figura 12 - Treliça Plana (Nós) Fonte: Elaborado pelo Autor (2015)

Desta maneira, a partir do nó 1 assumindo a coordenada de origem (0,0), o quadro (2) abaixo ISSN 2179-5568 – Revista Especialize On-line IPOG - Goiânia - Edição nº 10 Vol. 01/ 2015 dezembro/2015


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indica a posição de todos os outros nós da estrutura. Nó 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

X 0,00 1,50 3,00 4,50 6,00 7,50 9,00 1,50 7,50 3,00 6,00 4,50

Y 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,47 0,47 0,93 0,93 1,40

Quadro 2 - Tabela de Coordenadas dos Nós da Treliça (Figura 7) Fonte: Elaborado pelo Autor (2015)

Na figura (13) abaixo, verifica-se a sequência das barras da estrutura de exemplo:

Figura 13 - Numeração das Barras da Treliça Plana Fonte: Elaborado pelo Autor (2015)

Pode-se então, a partir da barra 1, que se inicia no Nó 1 e termina no Nó 2, determinar a posição de cada uma das barras da estrutura, conforme visto no Quadro (3), abaixo: Barra 1 2 3 4 5 6 7

Nó Inicial 1 1 2 2 3 3 4

Nó Final 2 8 3 8 4 10 5



8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

4 4 5 5 6 6 7 3 8 9 4 10 5 11

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11 12 6 9 7 9 9 8 10 11 10 12 11 12

Quadro 3 - Conexão das Barras com os Nós Fonte: Elaborado pelo Autor (2015)

5.3 Flexibilidade e Rigidez das Estruturas O entendimento da maneira como os esforços podem ser analisados em uma estrutura, como vimos acima, montada de forma matricial em um computador, depende da correta interpretação de como são formuladas as equações de flexibilidade e rigidez e de que maneira estas se relacionam com as ações e os deslocamentos presentes em uma estrutura. De acordo com Cavalcanti (2006), Os conceitos de flexibilidade e rigidez podem ser ilustrados com o auxílio da mola apresentada na Figura 09, onde a mesma é tracionada pela ação “A”, e devido a solicitação dessa mesma ação, a mola distende-se do comprimento “L” até o comprimento δ+L, sendo a ação “A” a responsável pelo alongamento (deslocamento) δ.

A figura (14), abaixo, demonstra simbolicamente a relação entre a força aplicada e o deslocamento.



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Figura 14 - Mola sujeita a tração Fonte: (CAVALCANTI, 2006)

Através dos conhecimentos da teoria da elasticidade, tem-se a lei da física que determina a deformação de um corpo causada pela ação de uma força sobre este. Esta é a chamada Lei de Hooke. Por ela, tem-se que: (1) Ou seja, adotando x como o deslocamento (δ) ocorrido devido à ação da força A, pode-se obter a constante elástica da mola, denominada K. Em outras palavras, na equação (1), quando adotamos um deslocamento unitário na mola, ou seja, (x=1), K representaria a força capaz de provocar esse deslocamento da mola. Ou seja, quanto maior for o valor de K, maior será a força necessária para provocar um deslocamento (distensão ou compressão) na mola, ou em outras palavras, mais rígida será a mola. Trazendo estes termos aos conceitos didáticos de análise estrutural, pode-se reescrever a equação (1) como sendo: (2) Desta maneira, pode-se deduzir que S representa a rigidez da mola, pois quanto maior esse valor, mais difícil será deformar a mola. De outro ponto de vista, pode-se relacionar assim as ações e deslocamentos, assumindo para a força A um valor unitário (A=1): (3) Desta maneira, quando maior o valor de F, maior será o deslocamento (δ), ou seja, mais fácil será deformar a mola. Por isso, deduz-se que o componente F representa a flexibilidade da mola. De acordo como Cavalcanti (2006), Quando estamos determinando o valor de S, a pergunta a ser respondida é a seguinte: qual é a força necessária para provocar um deslocamento unitário na mola, ao passo que na determinação do valor de F, a pergunta a ser respondida consiste em dizer qual é o valor do deslocamento que é provocado por uma ação unitária na mola.

Portanto, segundo o mesmo autor, tratam-se de grandezas inversamente proporcionais, como pode ser expresso pela expressão a seguir:



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(4) Desta maneira, pode-se estender estes conceitos a toda e qualquer estrutura que esteja trabalhando no regime elástico linear, simplificação que atende à maioria dos casos em que não se apresente pré-requisitos para análises não lineares, mais complexas e que dependem de outros fatores físicos e geométricos. Portanto, segundo Cavalcanti, (2006), pode-se fazer a seguinte analogia da mola com uma estrutura prismática, conforme a figura (15) abaixo:

Figura 15 - Barra Prismática sujeita à Tração Fonte: (CAVALCANTI, 2006)

Obtêm-se, portanto, da disciplina de Resistência dos Materiais, que o deslocamento axial (δ) da figura 15 pode ser representado por: (5)

Onde: δ é o deslocamento provocado pela ação A; L é o comprimento da barra; E é o módulo de elasticidade longitudinal do material que constitui a barra; α é a área da seção transversal da barra. Assumindo A=1, obtêm-se o deslocamento δ provocado por uma ação de valor unitário, ou seja, pode-se obter o coeficiente de flexibilidade da barra (F) quando submetida a uma força axial. Desta maneira, chega-se a seguinte equação: (6)



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De maneira análoga, e já sabendo que o coeficiente de rigidez é inversamente proporcional ao coeficiente de flexibilidade, obtêm-se: (7)

5.4 Matriz de Rigidez Assim, pode-se generalizar a obtenção dos esforços e deslocamentos nas estruturas através de uma matriz, através dos coeficientes de rigidez mostrados acima e das equações de equilíbrio e de compatibilidade, presentes na Teoria da Elasticidade. Veja por exemplo a mola e a barra prismática mostrada na figura (16) a seguir:

Figura 16 - Estruturas para montagem da matriz de rigidez Fonte: (AZEVEDO, 2014)

Colocando a estrutura em equilíbrio de forças, têm-se as equações resultantes explicitadas na figura (17), abaixo:



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Figura 17 - Equilíbrio de Forças na mola Fonte: (AZEVEDO, 2014)

Pode-se agora reescrever essa equação em forma matricial, de modo a obter a matriz de rigidez da mola, conforme demonstrado na figura (18), abaixo:

Figura 18 - Obtenção da Matriz de Rigidez da Mola Fonte: (AZEVEDO, 2014)



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Da mesma maneira, pode-se obter a matriz de rigidez da barra, conforme a figura (19) abaixo:

Figura 19 - Matriz de Rigidez da Barra Prismática Fonte: (AZEVEDO, 2014)

6. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Conclui-se dessa maneira este trabalho de conclusão de curso, cujo objetivo principal, é fomentar em quem tiver contato com o mesmo, o interesse pelo aprofundamento no estudo da análise de estruturas, e principalmente, do Método dos Elementos Finitos. Saber como os softwares comerciais de dimensionamento estrutural funcionam, mais do que uma simples obrigação, e uma necessidade latente àqueles que pretendem se tornar muito mais do que meros operadores de softwares, mas verdadeiros projetistas estruturais. Os resultados esperados, com a utilização do embasamento teórico e da pesquisa bibliográfica, para a elaboração de um exemplo prático, foram plenamente alcançados. Espera-se que esse trabalho seja uma semente, que apesar de pequena, possa produzir frutos para a engenharia brasileira. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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O Método dos Elementos Finitos e a Engenharia Civil - Ipog

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