PAT 1 (มี.ค. 59)
1 7 Jun 2017
PAT 1 (มี.ค. 59)
รหัสวิชา 71 วิชา ความถนัดทางคณิตศาสตร์ (PAT 1) วันเสาร์ ที่ 5 มีนาคม 2559 เวลา 13.00 - 16.00 น. ตอนที่ 1 ข้ อ 1 - 30 ข้ อละ 6 คะแนน 1. กาหนดให้ 𝑝, 𝑞 และ 𝑟 เป็ นประพจน์ใดๆ พิจารณาข้ อความต่อไปนี ้ (ก) (~𝑝 → 𝑞) → (~𝑞 → 𝑝) เป็ นสัจนิรันดร์ (ข) (𝑝 → 𝑞) ↔ (~𝑝 ∧ 𝑞) ไม่เป็ นสัจนิรันดร์ (ค) (𝑝 → 𝑞) ∨ (~𝑟 → ~𝑞) สมมูลกับ 𝑝 → 𝑟 ข้ อใดต่อไปนี ้ถูกต้ อง 1. ข้ อ (ก) และ ข้ อ (ข) ถูก แต่ ข้ อ (ค) ผิด 2. ข้ อ (ก) และ ข้ อ (ค) ถูก แต่ ข้ อ (ข) ผิด 3. ข้ อ (ข) และ ข้ อ (ค) ถูก แต่ ข้ อ (ก) ผิด 4. ข้ อ (ก) ข้ อ (ข) และ ข้ อ (ค) ถูกทังสามข้ ้ อ 5. ข้ อ (ก) ข้ อ (ข) และ ข้ อ (ค) ผิดทังสามข้ ้ อ
2. ในการสารวจนักเรี ยนห้ องหนึง่ เกี่ยวกับความชอบเรี ยนวิชาคณิตศาสตร์ วิชาภาษาอังกฤษ และวิชาภาษาไทย พบว่า นักเรี ยนในห้ องนี ้ชอบเรี ยนวิชาดังกล่าวอย่างน้ อย 1 วิชา และ มี 24 คน ชอบเรียนวิชาคณิตศาสตร์ มี 22 คน ชอบเรียนวิชาภาษาอังกฤษ มี 21 คน ชอบเรียนวิชาภาษาไทย มี 21 คน ชอบเรียนเพียงวิชาเดียว และ มี 4 คน ชอบเรี ยนทังสามวิ ้ ชา จานวนนักเรี ยนทีช่ อบเรี ยนวิชาภาษาอังกฤษ หรื อวิชาภาษาไทย แต่ไม่ชอบเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เท่ากับข้ อใดต่อไปนี ้ 1. 16 คน 2. 17 คน 3. 18 คน 4. 19 คน 5. 20 คน
2 PAT 1 (มี.ค. 59)
3. ให้ 𝑚, 𝑛, 𝑟 และ 𝑠 เป็ นจานวนเต็มบวกที่แตกต่างกันทังหมด ้ โดยที่ 1 < 𝑚 < 𝑟 𝑚 𝑛 𝑟 ให้ 𝑎 > 1 และ 𝑏 > 1 สอดคล้ องกับ 𝑎 = 𝑏 และ 𝑎 = 𝑏 𝑠 พิจารณาข้ อความต่อไปนี ้ (ก) 𝑚 + 𝑛 < 𝑟 + 𝑠 (ข) 𝑚𝑛 < 𝑟 𝑠 𝑚
𝑟
(ค) (𝑛𝑠) > (𝑛𝑠) ข้ อใดต่อไปนี ้ถูกต้ อง 1. ข้ อ (ก) และ ข้ อ (ข) ถูก แต่ ข้ อ (ค) ผิด 3. ข้ อ (ข) และ ข้ อ (ค) ถูก แต่ ข้ อ (ก) ผิด 5. ข้ อ (ก) ข้ อ (ข) และ ข้ อ (ค) ผิดทังสามข้ ้ อ
4. ให้ 1. 4.
𝜋 8
𝑎 = (sin2 ) (sin2 𝑏 2 − 4𝑎 = 0 4𝑎2 + 𝑏 2 = 1
3𝜋 ) 8
และ
𝑏 = (sin2
2. 5.
2. ข้ อ (ก) และ ข้ อ (ค) ถูก แต่ ข้ อ (ข) ผิด 4. ข้ อ (ก) ข้ อ (ข) และ ข้ อ (ค) ถูกทังสามข้ ้ อ
3𝜋 )− 8
𝜋 8
(sin2 )
4𝑏 2 − 8𝑎 = 3
ข้ อใดต่อไปนี ้ถูกต้ อง 3. 16𝑎2 − 8𝑏2
= 1
4𝑎2 + 4𝑏 2 = 1
5. กาหนดให้ 𝐴𝐵𝐶 เป็ นรูปสามเหลีย่ มทีม่ ีมมุ 𝐶 เป็ นมุมแหลม ถ้ า 𝑎, 𝑏 และ 𝑐 เป็ นความยาวด้ านตรงข้ ามมุม 𝐴 มุม 𝐵 และมุม 𝐶 ตามลาดับ โดยที่ 𝑎4 + 𝑏4 + 𝑐 4 = 2(𝑎2 + 𝑏2 )𝑐 2 แล้ วมุม 𝐶 สอดคล้ องกับสมการในข้ อใดต่อไปนี ้ 1. sin 2𝐶 = cos 𝐶 2. 2 tan 𝐶 = cosec 2 𝐶 3. sec 𝐶 + 2 cos 𝐶 = 4 4. 4 cosec 2 𝐶 − cos2 𝐶 = 1 5. tan2 𝐶 + 2 cos(2𝐶) = 2
PAT 1 (มี.ค. 59)
6. กาหนดให้ 𝑃(𝑆) แทนเพาเวอร์ เซตของเซต 𝑆 ให้ 𝐴, 𝐵 และ 𝐶 เป็ นเซตใดๆ พิจารณาข้ อความต่อไปนี ้ (ก) ถ้ า 𝐴 ∩ 𝐶 ∈ 𝐵 แล้ ว 𝐴 ∈ 𝐵 ∪ 𝐶 (ข) ถ้ า 𝐴 ∩ 𝐶 ⊂ 𝐵 แล้ ว 𝐵 = (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) (ค) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) ⊂ 𝑃(𝐴) ∪ 𝑃(𝐵) ข้ อใดต่อไปนี ้ถูกต้ อง 1. ข้ อ (ก) ถูกเพียงข้ อเดียว 2. ข้ อ (ข) ถูกเพียงข้ อเดียว 3. ข้ อ (ค) ถูกเพียงข้ อเดียว 4. ข้ อ (ก) ข้ อ (ข) และ ข้ อ (ค) ถูกทังสามข้ ้ อ 5. ข้ อ (ก) ข้ อ (ข) และ ข้ อ (ค) ผิดทังสามข้ ้ อ
7. กาหนดเอกภพสัมพัทธ์คือ { 𝑥 ∈ ℝ | 0 < |𝑥| < 2 } เมื่อ ℝ แทนเซตของจานวนจริง ให้ 𝑃(𝑥) แทน | |𝑥|𝑥− 𝑥 | ≤ 0 และ 𝑄(𝑥) แทน |𝑥 − √(𝑥 − 1)2 | < 3 พิจารณาข้ อความต่อไปนี ้ (ก) ∃𝑥[𝑄(𝑥)] → ∀𝑥[𝑃(𝑥)] มีคา่ ความจริ งเป็ น จริ ง (ข) ∀𝑥[𝑃(𝑥) ∧ 𝑄(𝑥)] มีคา่ ความจริ งเป็ น จริ ง (ค) ∀𝑥[~𝑃(𝑥)] ∨ ∀𝑥[𝑄(𝑥)] มีคา่ ความจริ งเป็ น เท็จ ข้ อใดต่อไปนี ้ถูกต้ อง 1. ข้ อ (ก) และ ข้ อ (ข) ถูก แต่ ข้ อ (ค) ผิด 2. ข้ อ (ก) และ ข้ อ (ค) ถูก แต่ ข้ อ (ข) ผิด 3. ข้ อ (ข) และ ข้ อ (ค) ถูก แต่ ข้ อ (ก) ผิด 4. ข้ อ (ก) ข้ อ (ข) และ ข้ อ (ค) ถูกทังสามข้ ้ อ 5. ข้ อ (ก) ข้ อ (ข) และ ข้ อ (ค) ผิดทังสามข้ ้ อ
8. กาหนดให้ 𝑥 และ 𝑦 เป็ นจานวนจริ งบวกที่สอดคล้ องกับ 2 log 2 𝑦 = 4 + log √2 𝑥 และ 4(𝑥+1) + 2 = ข้ อใดต่อไปนี ้ถูกต้ อง 1. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 17 2. 𝑥 3 + 𝑦 3 = 9 4. 𝑦 2 = 𝑥 + 4 5. 𝑥 + 2𝑦 = 7
4
9(√2)
𝑦
3.
𝑥2 = 𝑦 − 1
3
4 PAT 1 (มี.ค. 59)
9. ค่าของ 4 sin 40° − tan 40° ตรงกับข้ อใดต่อไปนี ้ 1. cos 405° 2. sin 420° 4. tan(−120°) 5. cot(−135°)
3.
sec(−60°)
10. กาหนดให้ ℝ แทนเซตของจานวนจริ ง ให้ 𝑓 เป็ นฟั งก์ชนั ซึง่ มีโดเมนและเรนจ์เป็ นสับเซตของจานวนจริ ง และ 𝑔 : ℝ → ℝ โดยที่ 𝑔(1 + 𝑥) = 𝑥(2 + 𝑥) และ (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑥 2 + 1 สาหรับ 𝑥 ∈ ℝ พิจารณาข้ อความต่อไปนี ้ (ก) { 𝑥 ∈ ℝ | (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) } เป็ นเซตว่าง (ข) (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) + 1 ≥ 0 สาหรับทุกจานวนจริง 𝑥 ≥ −1 (ค) (𝑓 + 𝑔)(𝑥) ≥ 1 สาหรับทุกจานวนจริ ง 𝑥 ≥ −1 ข้ อใดต่อไปนี ้ถูกต้ อง 1. ข้ อ (ก) ถูกเพียงข้ อเดียว 2. ข้ อ (ข) ถูกเพียงข้ อเดียว 3. ข้ อ (ค) ถูกเพียงข้ อเดียว 4. ข้ อ (ก) ข้ อ (ข) และ ข้ อ (ค) ถูกทังสามข้ ้ อ 5. ข้ อ (ก) ข้ อ (ข) และ ข้ อ (ค) ผิดทังสามข้ ้ อ
11. ให้ 𝐶 เป็ นวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยูท่ ี่จดุ 𝐴 เส้ นตรง 3𝑥 + 4𝑦 = 35 สัมผัสวงกลมที่จดุ (5, 5) ถ้ าไฮเพอร์ โบลา รูปหนึง่ มีแกนตามขวางขนานกับแกน 𝑦 มีจดุ ศูนย์กลางอยูท่ ี่จดุ 𝐴 ระยะระหว่างจุดศูนย์กลางกับโฟกัสจุดหนึง่ เป็ น สองเท่าของรัศมีของวงกลม 𝐶 และเส้ นตรง 3𝑥 − 4𝑦 = 2 เป็ นเส้ นกากับเส้ นหนึง่ แล้ วสมการไฮเพอร์ โบลารูปนี ้ ตรงกับข้ อใดต่อไปนี ้ 1. 9𝑥 2 − 16𝑦 2 + 32𝑥 + 36𝑦 + 596 = 0 2. 9𝑥 2 − 16𝑦 2 − 32𝑥 − 36𝑦 + 596 = 0 3. 9𝑥 2 − 16𝑦 2 + 32𝑥 + 36𝑦 − 596 = 0 4. 9𝑥 2 − 16𝑦 2 − 36𝑥 − 32𝑦 + 596 = 0 5. 9𝑥 2 − 16𝑦 2 − 36𝑥 + 32𝑦 + 596 = 0
PAT 1 (มี.ค. 59)
12. ให้ ℝ แทนเซตของจานวนจริง ถ้ า 𝐴 เป็ นเซตคาตอบของอสมการ √𝑥 + 2 < √3 − 𝑥 + √2𝑥 − 1 แล้ ว 𝐴 เป็ นสับเซตของเซตในข้ อใดต่อไปนี ้ 1. { 𝑥 ∈ ℝ | |2𝑥 − 1| < 1 } 2. { 𝑥 ∈ ℝ | |𝑥 − 2| < 1 } 3. { 𝑥 ∈ ℝ | |𝑥 − 1| < 2 } 4. { 𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 2 + 2 < 3𝑥 } 5. { 𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 2 < 2𝑥 }
13. กาหนดให้ 𝑃 เป็ นพาราโบลารูปหนึง่ มีสมการเป็ น 𝑥 2 + 4𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0 และพาราโบลา 𝑃 ตัดแกน 𝑥 ที่จดุ 𝐴 และจุด 𝐵 ถ้ า 𝐸 เป็ นวงรี ทมี่ ีจดุ ยอดอยูท่ ี่จดุ 𝐴 และจุด 𝐵 และผลบวกของระยะทางจากจุดยอดของพาราโบลา 𝑃 ไปยังโฟกัสทังสองของวงรี ้ 𝐸 เท่ากับ 2√13 หน่วย แล้ วสมการวงรี 𝐸 ตรงกับข้ อใดต่อไปนี ้ 1. 𝑥 2 + 4𝑥 + 9𝑦 2 = 5 2. 3𝑥 2 + 12𝑥 + 5𝑦 2 = 15 3. 5𝑥 2 + 20𝑥 + 9𝑦 2 = 25 4. 6𝑥 2 + 24𝑥 + 25𝑦 2 = 30 5. 9𝑥 2 + 36𝑥 + 16𝑦 2 = 45
5
6 PAT 1 (มี.ค. 59)
14. กาหนดสมการจุดประสงค์
𝑃 = 7𝑥 − 5𝑦
𝑥 + 3𝑦 − 12 ≥ 0 ,
และอสมการข้ อจากัดดังนี ้
3𝑥 + 𝑦 − 12 ≥ 0 ,
𝑥 − 2𝑦 + 17 ≥ 0
และ
9𝑥 + 𝑦 − 56 ≤ 0
พิจารณาข้ อความต่อไปนี ้ (ก) ถ้ า (𝑎, 𝑏) เป็ นจุดมุมที่สอดคล้ องกับอสมการข้ อจากัดและให้ คา่ 𝑃 มากที่สดุ แล้ ว 𝑎2 + 𝑏2 = 40 (ข) ผลต่างระหว่างค่ามากที่สดุ และค่าน้ อยที่สดุ ของ 𝑃 เท่ากับ 70 (ค) ถ้ า 𝐴 และ 𝐵 เป็ นพิกดั ของจุดมุมที่สอดคล้ องกับอสมการข้ อจากัด โดยที่ 𝑃 มีคา่ มากที่สดุ ทีจ่ ดุ 𝐴 และ 𝑃 มีคา่ น้ อยที่สดุ ทีจ่ ด ุ 𝐵 แล้ วจุด 𝐴 และ 𝐵 อยูบ่ นเส้ นตรง 7𝑥 + 5𝑦 = 52 ข้ อใดต่อไปนี ้ถูกต้ อง 1. ข้ อ (ก) และ ข้ อ (ข) ถูก แต่ ข้ อ (ค) ผิด 2. ข้ อ (ก) และ ข้ อ (ค) ถูก แต่ ข้ อ (ข) ผิด 3. ข้ อ (ข) และ ข้ อ (ค) ถูก แต่ ข้ อ (ก) ผิด 4. ข้ อ (ก) ข้ อ (ข) และ ข้ อ (ค) ถูกทังสามข้ ้ อ 5. ข้ อ (ก) ข้ อ (ข) และ ข้ อ (ค) ผิดทังสามข้ ้ อ
15. กาหนดให้ 𝐴 และ 𝐵 เป็ นจุดสองจุดบนเส้ นตรง 𝑦 = 2𝑥 + 1 ถ้ าจุด 𝐶(−2, 2) เป็ นจุดที่ทาให้ และ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐴 ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐵 = 0 แล้ วสมการของวงกลมที่ผา่ นจุด 𝐴, 𝐵 และ 𝐶 ตรงกับข้ อใดต่อไปนี ้ 1. 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑦 − 4 = 0 2. 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑦 − 12 = 0 3. 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 4 = 0 4. 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 12 = 0 5. 𝑥 2 + 𝑦 2 − 8 = 0
̅̅̅̅| = |𝐶𝐵 ̅̅̅̅ | |𝐶𝐴
PAT 1 (มี.ค. 59)
16. ถ้ าพาราโบลารูปหนึง่ มีแกนสมมาตรทับกับแกน 𝑦 และผ่านจุดปลายของส่วนของเส้ นตรง 2𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0 เมื่อ 𝑥 สอดคล้ องกับสมการ |√𝑥 2 − 𝑥| + |3 − 𝑥 − |𝑥 − 3|| = 0 แล้ วความยาวของเลตัสเรกตัม ของพาราโบลาเท่ากับข้ อใดต่อไ่ ปนี ้ 1. 89 2. 49 3. 29 4. 9 5. 18
17. ให้ 𝑓 เป็ นฟั งก์ชนั โดยที่
𝑥+𝑏−4 𝑓(𝑥) = {𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑎 2𝑏𝑥 − 𝑎
, , ,
𝑥≤𝑎 𝑎<𝑥≤𝑏 𝑥>𝑏
เมือ่ 𝑎 และ 𝑏 เป็ นจานวนจริง
และ 𝑓 เป็ นฟั งก์ชนั ต่อเนื่องบนเซตของจานวนจริง พิจารณาข้ อความต่อไปนี ้ (ก) (𝑓 ∘ 𝑓)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎 − 𝑏 (ข) 𝑓(𝑎 + 𝑏) = 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) (ค) 𝑓 ′ (𝑓(2)) = 𝑓(𝑓 ′ (2)) ข้ อใดต่อไปนี ้ถูกต้ อง 1. ข้ อ (ก) และ ข้ อ (ข) ถูก แต่ ข้ อ (ค) ผิด 2. ข้ อ (ก) และ ข้ อ (ค) ถูก แต่ ข้ อ (ข) ผิด 3. ข้ อ (ข) และ ข้ อ (ค) ถูก แต่ ข้ อ (ก) ผิด 4. ข้ อ (ก) ข้ อ (ข) และ ข้ อ (ค) ถูกทังสามข้ ้ อ 5. ข้ อ (ก) ข้ อ (ข) และ ข้ อ (ค) ผิดทังสามข้ ้ อ
18. กาหนดให้ ℝ เป็ นเซตของจานวนจริ ง ให้ 𝑓 : ℝ → ℝ และ 𝑔 : ℝ → ℝ เป็ นฟั งก์ชนั โดยที่ 𝑓(𝑥 + 3) = 𝑥 + 4 และ (𝑓 −1 ∘ 𝑔)(𝑥) = 3𝑥𝑓(𝑥) − 3𝑥 − 4 สาหรับจานวนจริ ง 𝑥 ถ้ า 𝐴 เป็ นเรนจ์ของ 𝑔 ∘ 𝑓 และ 𝐵 เป็ นเรนจ์ของ 𝑓 ∘ 𝑔 แล้ ว 𝐴 − 𝐵 เป็ นสับเซตของช่วงในข้ อใดต่อไปนี ้ 1. (0, 2) 2. (−2, 1) 3. (−3, 0) 4. (−4, −2) 5. (−6, −3)
7
8 PAT 1 (มี.ค. 59)
19. กาหนดให้ ℝ แทนเซตของจานวนจริ ง ถ้ า 𝐴 = { 𝑥 ∈ ℝ | 32𝑥+10 − 4(3𝑥+6 ) + 27 ≤ 0 } แล้ วเซต 𝐴 เป็ นสับเซตของช่วงในข้ อใดต่อไปนี ้ 1. (−9, −4) 2. (−5, −2) 3. (−3, 3) 4. (0, 5) 5. (2, 10)
20. กาหนดให้
𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … , 𝑎𝑛 , …
25
n 1
n 1
เป็ นลาดับเลขคณิตของจานวนจริ ง
𝑛 โดยที่ 𝑎𝑛 = 1900 และ 4𝑎𝑛−1 =8
1. 4.
2. 5.
298 499
21. ถ้ าข้ อมูล 10 จานวน คือ ข้ อมูล
𝑥1 , 𝑥2 , …, 𝑥10
2 𝑥12 , 𝑥22 , 𝑥32 , …, 𝑥10
ค่าของ 𝑎100 ตรงกับข้ อใดต่อไปนี ้ 3.
302
400
598
เมื่อ
𝑥1 , 𝑥2 , …, 𝑥10
เป็ นจานวนจริง โดยที่คา่ เฉลีย่ เลขคณิตของ
10
เท่ากับ 70 และ (𝑥𝑖 − 3)2 = 310
แล้ วค่าความแปรปรวนของข้ อมูล 1. 6 4. 54
i 1
3𝑥1 − 1 , 3𝑥2 − 1 , … , 3𝑥10 − 1
2. 5.
18 63
ตรงกับข้ อใดต่อไปนี ้ 3. 45
PAT 1 (มี.ค. 59)
22. ให้ 𝑥1 , 𝑥2 , …, 𝑥20 เป็ นข้ อมูลที่เรี ยงค่าจากน้ อยไปหามาก และเป็ นลาดับเลขคณิตของจานวนจริง ถ้ าควอร์ ไทล์ที่ 1 และเดไซล์ที่ 6 ของข้ อมูลชุดนี ้เท่ากับ 23.5 และ 38.2 ตามลาดับ แล้ ว ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ เท่ากับข้ อใดต่อไปนี ้ 1. 9.75 2. 10.25 3. 10.50 4. 11.50 5. 11.75
23. นาย ก. และนางสาว ข. พร้ อมด้ วยเพื่อนผู้ชายอีก 3 คน และเพื่อนผู้หญิงอีก 3 คน นัง่ รับประทานอาหารรอบโต๊ ะกลม โดยที่ นาย ก. และนางสาว ข. นัง่ ตรงข้ ามกัน และมีเพื่อนผู้หญิง 2 คนนัง่ ติดกันกับ นางสาว ข. จะมีจานวนวิธีจดั ทีน่ งั่ รอบโต๊ ะกลมดังกล่าวได้ เท่ากับข้ อใดต่อไปนี ้ 1. 30 วิธี 2. 72 วิธี 3. 96 วิธี 4. 120 วิธี 5. 144 วิธี
24. กาหนดให้
𝑎𝑛 =
2 − 4𝑛2 −1
1 𝑛 3
(− )
1. อนุกรมลูเ่ ข้ าและมีผลบวกเท่ากับ 3. อนุกรมลูเ่ ข้ าและมีผลบวกเท่ากับ 5. อนุกรมลูอ่ อก
สาหรับ 𝑛 = 1, 2, 3, … 5 4 5 6
อนุกรม 𝑎𝑛 ตรงกับข้ อใดต่อไปนี ้ n 1
2. อนุกรมลูเ่ ข้ าและมีผลบวกเท่ากับ 34 4. อนุกรมลูเ่ ข้ าและมีผลบวกเท่ากับ 16
9
10 PAT 1 (มี.ค. 59) 𝑥𝑦
, 𝑥+𝑦 ≠0 𝑥 ∗ 𝑦 = {𝑥+𝑦 0 , 𝑥+𝑦 =0 𝑎 ∗ 𝑏 = 1 , 𝑎 ∗ 𝑐 = 2 และ 𝑏 ∗ 𝑐 = 3
25. สาหรับ 𝑥 และ 𝑦 เป็ นจานวนจริงที่ไม่เป็ นศูนย์ นิยาม
ถ้ า 𝑎, 𝑏 และ 𝑐 เป็ นจานวนจริงที่ไม่เป็ นศูนย์ โดยที่ แล้ วข้ อใดต่อไปนี ้ถูกต้ อง 1. 𝑎 + 𝑏 < 𝑐 2. 𝑎 < 𝑏 + 𝑐 4. 𝑏 < 𝑐 < 𝑎 5. 𝑐 < 𝑎 < 𝑏
3.
𝑎<𝑏<𝑐
𝑎 0 1 0 𝐴−1 = [ ] และ 𝐵−1 = [ ] เมื่อ 𝑎 และ 𝑏 เป็ นจานวนจริ งที่ไม่เป็ นศูนย์ −2 1 𝑏 1 8 −2 โดยที่ (𝐴𝑡 )−1𝐵 = [−3 ] ค่าของ det(2𝐴 + 𝐵) เท่ากับข้ อใดต่อไปนี ้ 1 1. 3 2. 6 3. 9
26. กาหนดให้
4.
5.
12
14
27. กาหนดข้ อมูล 𝑥 และ 𝑦 มีความสัมพันธ์ ดังนี ้ 𝑥
1
3
4
5
7
𝑦
0
3
6
7
9
โดยที่ 𝑥 และ 𝑦 มีความสัมพันธ์เชิงฟั งก์ชนั แบบเส้ นตรง ถ้ า 𝑦 = 8 แล้ วค่าของ 𝑥 เท่ากับข้ อใดต่อไปนี ้ 1. 5.94 2. 5.86 3. 7.1 4. 7.23 5. 8
PAT 1 (มี.ค. 59)
28. กาหนดให้ ℝ เป็ นเซตของจานวนจริ ง ให้ 𝑓 : ℝ → ℝ และ 𝑔 : ℝ → ℝ เป็ นฟั งก์ชนั ที่มีอนุพนั ธ์ทกุ อันดับ และ สอดคล้ องกับ 𝑔(𝑥) = 𝑥𝑓(𝑥) และ 𝑔′ (𝑥) = 4𝑥 3 + 9𝑥 2 + 2 สาหรับทุกจานวนจริ ง 𝑥 พิจารณาข้ อความต่อไปนี ้ (ก) ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ 𝑓 เท่ากับ 6 (ข) ค่าตา่ สุดสัมพัทธ์ของ 𝑓 เท่ากับ 2 (ค) อัตราการเปลีย่ นแปลงของ (𝑓 + 𝑔)(𝑥) เทียบกับ 𝑥 ขณะที่ 𝑥 = 1 เท่ากับ 12 ข้ อใดต่อไปนี ้ถูกต้ อง 1. ข้ อ (ก) และ ข้ อ (ข) ถูก แต่ ข้ อ (ค) ผิด 2. ข้ อ (ก) และ ข้ อ (ค) ถูก แต่ ข้ อ (ข) ผิด 3. ข้ อ (ข) และ ข้ อ (ค) ถูก แต่ ข้ อ (ก) ผิด 4. ข้ อ (ก) ข้ อ (ข) และ ข้ อ (ค) ถูกทังสามข้ ้ อ 5. ข้ อ (ก) ข้ อ (ข) และ ข้ อ (ค) ผิดทังสามข้ ้ อ
29. กล่องใบหนึง่ บรรจุลกู แก้ วสีแดง 2 ลูก ลูกแก้ วสีขาว 3 ลูก และลูกแก้ วสีเขียว 3 ลูก สุม่ หยิบลูกแก้ วออกมาจากกล่อง 8 ครัง้ ครัง้ ละลูกโดยไม่ต้องใส่คน ื ความน่าจะเป็ นที่สมุ่ หยิบลูกแก้ ว 8 ครัง้ โดยครัง้ ที่ 1 ได้ ลกู แก้ วสีขาวหรื อหยิบครัง้ ที่ 8 ไม่ได้ ลกู แก้ วสีแดง เท่ากับข้ อใดต่อไปนี ้ 29 1. 34 2. 58 3. 56 4. 78 5. 67
30. กาหนดให้
2
4
𝐴 = 4 − √3 , √3
𝐵=
1 √3 1 4 √3 − √ √3
√3 −
ค่าของ 𝐴 − 𝐵 + 𝐶 เท่ากับข้ อใดต่อไปนี ้ 1. −√3 2. √3 4. 1 5. 0
และ
𝐶=
2 4
√3( √3 +
3.
1 √√3
)
+4
−1
3
√27
11
12 PAT 1 (มี.ค. 59)
ตอนที่ 2 ข้ อ 31 - 45 ข้ อละ 8 คะแนน 31. ให้ 𝐴 แทนเซตคาตอบของสมการ 25 + 3(15)|𝑥| = 5|𝑥| + 25(3|𝑥|+1 ) เมื่อ 𝑥 เป็ นจานวนจริ ง และให้ 𝐵 = { 3𝑥 + 5𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 } ค่ามากที่สดุ ในเซต 𝐵 เท่ากับเท่าใด
32. ให้ 𝐴 แทนเซตของจานวนเต็มทังหมดที ้ ่สอดคล้ องกับสมการ ผลบวกของสมาชิกทังหมดในเซต ้ 𝐴 เท่ากับเท่าใด
|√𝑥 − 1 − 2| + |√𝑥 − 1 − 3| = 1
33. กาหนดให้ 𝑧 เป็ นจานวนเชิงซ้ อน โดยที่ แล้ วค่าของ |2𝑧 + 1|2 เท่ากับเท่าใด
และ
|𝑧| = |𝑧 − 1 + 𝑖|
(1−2𝑖)𝑧
Re(
3−𝑖
)=0
เมื่อ
𝑖 2 = −1
PAT 1 (มี.ค. 59) 2
𝑥 3 +𝑥 2 +𝑥 𝑑𝑥 2 4 𝑥|𝑥+2|−𝑥 −2
34. ค่าของ
เท่ากับเท่าใด
35. กาหนดให้ {𝑎𝑛 } และ {𝑏𝑛 } เป็ นลาดับของจานวนจริง โดยที่ 3𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 และ 2𝑛 𝑏𝑛 = 𝑎𝑛 สาหรับ 𝑛 = 1, 2, 3, … ถ้ า 𝑎5 = 2 แล้ ว อนุกรม 𝑏1 + 𝑏2 + 𝑏3 + … มีผลบวกเท่ากับเท่าใด
36. ให้ 𝑎 และ 𝑏 เป็ นจานวนจริ งที่สอดคล้ องกับ ค่ามากที่สดุ ของ 𝑎4 + 𝑏4 เท่ากับเท่าใด
𝑎(𝑎 + 𝑏 + 3) = 0
และ
2(𝑏 − 𝑎) = (𝑎 + 𝑏 + 1)(2 − 𝑏)
13
14 PAT 1 (มี.ค. 59)
37. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ ของนักเรี ยนห้ องหนึง่ จานวน 30 คน มีการแจกแจงปกติ และมีคา่ เฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 64 คะแนน นักเรี ยนชายห้ องนี ้มี 18 คน คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ ของนักเรี ยนชายห้ องนี ้ มีคา่ เฉลีย่ เลขคณิต เท่ากับ 64 คะแนน และความแปรปรวนเท่ากับ 10 ส่วนคะแนนสอบของนักเรียนหญิงมีสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน เท่ากับ 5 คะแนน ถ้ านางสาว ก. เป็ นนักเรี ยนคนหนึ่งในห้ องนี ้ สอบได้ เปอร์ เซ็นไทล์ที่ 22.66 ของนักเรี ยนทังห้ ้ อง แล้ ว คะแนนสอบของนางสาว ก. เท่ากับเท่าใด เมื่อกาหนดพื ้นทีใ่ ต้ เส้ นโค้ งปกติ ระหว่าง 0 ถึง 𝑧 ดังนี ้ 𝑧
0.5
0.6
0.75
1.0
1.25
พื ้นที่
0.1915
0.2257
0.2734
0.3413
0.3944
38. กาหนด 0 < 𝜃 < 90° และ sin 𝜃 ให้ 𝐴 = arcsin (√1+sin ) 2𝜃 ถ้ า
𝐴 + 𝐵 = 2𝐶
แล้ วค่าของ
,
𝐵 = arctan(1 − sin 𝜃)
3 sin4 𝜃 + cos4 𝜃
และ
𝐶 = arctan √sin 𝜃 − sin2 𝜃
เท่ากับเท่าใด
2 −2 1 𝐴 = [𝑎 𝑏 2] เมื่อ 𝑎 และ 𝑏 เป็ นจานวนจริ ง 1 2 2 𝑡 ถ้ า 𝐴𝐴 = 9𝐼 เมื่อ 𝐼 เป็ นเมทริ กซ์เอกลักษณ์ที่มมี ิติ 3 × 3 แล้ วค่าของ 𝑎2 − 𝑏2 เท่ากับเท่าใด
39. กาหนดให้
PAT 1 (มี.ค. 59)
40. กาหนดให้
𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑎𝑥 + 𝑏
เมื่อ 𝑎 และ 𝑏 เป็ นจานวนจริง ถ้ าอัตราการเปลีย่ นแปลงเฉลีย่ ของ 𝑓(𝑥) เทียบ 1
กับ 𝑥 เมื่อค่าของ 𝑥 เปลีย่ นจาก −1 เป็ น 1 เท่ากับ −2 และ
1
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 2
𝑓(3+ℎ)−𝑓(3−ℎ) แล้ วค่าของ lim เท่ากับเท่าใด ℎ h0
41. ให้ ℝ แทนเซตของจานวนจริง ให้ 𝑟1 = { (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ | 𝑦 ≥ 0 และ 𝑥 2 − 𝑦 2 − 2𝑥 + 4𝑦 ≤ 3 } และ 𝑟2 = { (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ | 𝑦 ≥ 0 และ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 ≤ 33 } ถ้ าโดเมนของเซต 𝑟1 ∩ 𝑟2 คือช่วงปิ ด [𝑎, 𝑏] เมื่อ 𝑎 และ 𝑏 เป็ นจานวนจริ ง โดยที่ 𝑎 < 𝑏 แล้ วค่าของ 𝑎2 + 𝑏2 เท่ากับเท่าใด
42. ค่าของ lim x 2
|𝑥 2 −𝑥−2| 3
2− √𝑥 2 +4
เท่ากับเท่าใด
15
16 PAT 1 (มี.ค. 59)
43. ให้ 𝑛 เป็ นจานวนเต็มบวก ถ้ า 𝐴 เป็ นเซตของข้ อมูล 2𝑛 จานวน คือ 1, 2, 3, … , 𝑛 , −1, −2, −3, … , −𝑛 โดยทีค่ วามแปรปรวนของข้ อมูลในเซต 𝐴 เท่ากับ 46 แล้ วค่าเฉลีย่ เลขคณิตของ 13 , 23 , 33 , … , 𝑛3 เท่ากับเท่าใด
44. กาหนดให้ 𝑎̅, 𝑏̅ และ 𝑐̅ เป็ นเวกเตอร์ ในสามมิติ โดยที่ 𝑎̅ + 𝑏̅ = 𝑡𝑐̅ โดยที่ 𝑡 เป็ นจานวนจริ งบวก ถ้ า 𝑎̅ = 𝑖̅ + 𝑗̅ + 𝑘̅ , |𝑏̅| = |𝑎̅|2 , |𝑐̅| = √2 และ 𝑎̅ ∙ 𝑏̅ + 𝑏̅ ∙ 𝑐̅ + 𝑐̅ ∙ 𝑎̅ = 9 แล้ วค่าของ 𝑡 เท่ากับเท่าใด
45. นิยาม 𝑆 × 𝑆 × 𝑆 = { (𝑎, 𝑏, 𝑐) | 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑆 } เมื่อ 𝑆 เป็ นเซตใดๆ กาหนดให้ 𝑆 = {1, 2, 3, 4, 5} 𝑐 จงหาจานวนสมาชิก (𝑎, 𝑏, 𝑐) ในเซต 𝑆 × 𝑆 × 𝑆 ทังหมด ้ โดยที่ (3 + 𝑎)(𝑏 ) หารด้ วย 4 ลงตัว
PAT 1 (มี.ค. 59)
เฉลย 1. 1 2. 3 3. 4 4. 1 5. 2 6. 5 7. 2 8. 1 9. 4 10. 2
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
แนวคิด 1. 1 ก. ใช้ วธิ ีสมมติให้ เป็ นเท็จ
↔
31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40.
4 3 5 1 5 2 2 1 5 5
(~𝑝 → 𝑞) → (~𝑞 → 𝑝) F T → F T → F ~F ได้ 𝑞 ≡ F , 𝑝 ≡ F ~F → F T →F F
→
20 9 396 3 70
𝑝 → 𝑞 ≡ ~𝑝 ∨ 𝑞
เกิดข้ อขัดแย้ ง ดังนัน้ เป็ นสัจนิรันดร์
ต้ องดูวา่ หน้ า หลัง สมมูลกันหรื อไม่
ไม่สมมูลกัน ดังนัน้ ไม่เป็ นสัจนิรันดร์
→
𝑎 𝑏 4 𝑐
ก. ถูก
ข. ถูก
(𝑝 → 𝑞) ∨ (~𝑟 → ~𝑞) (~𝑝 ∨ 𝑞) ∨ (~(~𝑟) ∨ ~𝑞) ~𝑝 ∨ 𝑞 ∨ 𝑟 ∨ ~𝑞 (𝑞 ∨ ~𝑞) ∨ ~𝑝 ∨ 𝑟 T ∨ ~𝑝 ∨ 𝑟 T หรื อ กับอะไรก็ได้ T T
2. 3 นักเรี ยนชอบอย่างน้ อย 1 วิชา → ข้ างนอกสามวง = 0 ชอบ 3 วิชา = 4 คน → จะได้ ตรงกลาง = 4 𝑀
→
ค.
𝑝→𝑞 ≡ ~𝑞 → 𝑝 ~𝑝 ∨ 𝑞 ≡ ~(~𝑞) ∨ 𝑝 ~𝑝 ∨ 𝑞 ≡ 𝑞 ∨𝑝
กาหนด 𝑎, 𝑏, 𝑐 ตามรูป
41. 42. 43. 44. 45.
34 45 5 3 97.2 641 61 0.75 3 48
แทนในตัวหน้ า
ขัดแย้ ง
ข.
21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.
5 3 3 4 1 3 1 4 2 5
17
ไม่สมมูล
≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡
→
ค. ผิด
ชอบวิชาเดียว = 21 คน → จะได้ สว่ นที่แรเงา = 21 𝑀
𝐸
𝐸
จะได้ นกั เรียนทังหมด ้ = 𝑇
𝑝→𝑟 ~𝑝 ∨ 𝑟 ~𝑝 ∨ 𝑟 ~𝑝 ∨ 𝑟 ~𝑝 ∨ 𝑟 ~𝑝 ∨ 𝑟
𝑇
21 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 4
= 25 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
…(1)
แต่จากสูตร Inclusive – Exclusive จะได้ นกั เรี ยนทังหมด ้ = 𝑛(𝑀) + 𝑛(𝐸) + 𝑛(𝑇) − 𝑛(𝑀 ∩ 𝐸) − 𝑛(𝐸 ∩ 𝑇) − 𝑛(𝑀 ∩ 𝑇) + 𝑛(𝑀 ∩ 𝐸 ∩ 𝑇) = 24 + 22 + 21 − (𝑎 + 4) − (𝑏 + 4) − (𝑐 + 4) + 4 = 59 − 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 …(2)
18 PAT 1 (มี.ค. 59)
(1) = (2) จะได้ 25 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 59 − 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 2𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐 = 34 ้ = 25 + 17 = 42 คน 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 17 → แทนใน (1) จะได้ นกั เรี ยนทังหมด 𝑀
โจทย์ถามนักเรียนที่ชอบ 𝐸 หรื อ 𝑇 แต่ไม่ชอบ 𝑀 → คือส่วนที่แรเงา ดังรูป ซึง่ จะหาได้ จาก จานวนนักเรี ยนทังหมด ้ ลบด้ วย จานวนนักเรี ยนทีช่ อบ 𝑀 𝑀
𝐸
𝑀
𝐸
𝑀
−
3. 4 ก. จาก
𝑇
ชอบคณิต 24 คน
−
𝑚 < 𝑟
𝑇
=
18 คน
ตอบ 18
→
ยกกาลังด้ วยฐาน 𝑎 ทังสองฝั ้ ่ง ไม่ต้องกลับ น้ อยกว่า เป็ น มากกว่า เพราะ 𝑎 > 1 𝑎𝑚 = 𝑏 𝑛 และ 𝑎𝑟 = 𝑏 𝑠 ตัดฐาน 𝑏 ทังสองฝั ้ ่ง ไม่ต้องกลับ น้ อยกว่า เป็ น มากกว่า เพราะ 𝑏 > 1
𝑎𝑚 < 𝑎𝑟 𝑏𝑛 < 𝑏 𝑠 𝑛
𝑇
𝐸
=
𝑇
ทังหมด ้ 42 คน
𝐸
< 𝑠
ดังนัน้ 𝑚 < 𝑟 และ 𝑛 < 𝑠 บวกสองอสมการนี ้ จะได้ วา่ 𝑚 + 𝑛 < 𝑟 + 𝑠 ข. จาก 1 < 𝑚 < 𝑟 และ 0 < 𝑛 < 𝑠 (โจทย์ให้ ทกุ ตัวเป็ นจานวนเต็มบวก) จะได้ 𝑚𝑛 < 𝑟 𝑠 → ข. ถูก ค. จาก 0 < 𝑛 < 𝑠 หารด้ วย 𝑠 ตลอด จะได้ 0 < 𝑛𝑠 < 1 จาก 1 < 𝑚 < 𝑟 𝑛 จะได้ → ค. ถูก
𝑛 𝑚 (𝑠 )
4𝜋 8
=
𝜋 2
→
ใช้ โคฟั งก์ชนั จะได้
𝜋
3𝜋 ) 8 𝜋 𝜋 2 (sin 8 cos 8 ) 𝜋 𝜋 2 2 sin cos
𝑎 = (sin2 8 ) (sin2 =
8
= ( =
จะได้
2
(
=
(
𝑎=
1 8
√2 2
8
𝜋 4
sin 2 √2 2
2
และ
2
) =
𝑏=
2
1 8
√2 2
4
→
=
1 8
( ) − 4( ) =
3.
16 (8) −
𝜋
= cos 8
3𝜋 𝜋 ) − (sin2 8 ) 8 𝜋 𝜋 (cos 2 8 ) − (sin2 8 ) 𝜋 cos 4
ใช้ สตู ร cos 2𝜃
√2 2
=
แทนในตัวเลือกแต่ละข้ อ
2 1 − 4 2 2 1 √2 8( 2 ) = 4
1.
1 2
= =
2 4
3𝜋 8
𝑏 = (sin2
ใช้ สตู ร sin 2𝜃
2
sin
sin 2𝜃 = 2 sin 𝜃 cos 𝜃 cos 2𝜃 = cos 2 𝜃 − sin2 𝜃
)
)
ก. ถูก
ยกกาลังด้ วยฐาน 𝑠 ทังสองฝั ้ ่ง ต้ องกลับ น้ อยกว่า เป็ น มากกว่า เพราะ 𝑛𝑠 < 1
𝑛 𝑟 > (𝑠 )
4. 1 สังเกตว่า 𝜋8 กับ 3𝜋 รวมกันได้ 8
→
= 0 →
ถูก
−4 ≠ 1 →
ผิด
√2 2
2
1 8 2
2.
4( ) − 8( ) = 2 − 1 ≠ 3 →
4.
4 (8) + ( 2 ) =
1 2
√2
1 1 +2 16
≠ 1 →
ผิด ผิด
PAT 1 (มี.ค. 59)
5.
1 2
√2
2
4 (8) + 4 ( 2 ) =
1 + 16
19
ผิด
2 ≠ 1 →
5. 2 มี 𝑎4 + 𝑏4 + 𝑐 4 จะลองใช้ กฎของ cos ที่ 𝐶 แล้ วยกกาลังสองดู ดังนี ้ 𝑐2 = 2𝑎𝑏 cos 𝐶 = (2𝑎𝑏 cos 𝐶)2 = 4𝑎2 𝑏 2 cos 2 𝐶 = 4𝑎2 𝑏 2 cos 2 𝐶 = 4𝑎2 𝑏 2 cos 2 𝐶 = 4𝑎2 𝑏 2 cos 2 𝐶 =
𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 cos 𝐶 𝑎2 + 𝑏 2 − 𝑐 2 (𝑎2 + 𝑏 2 − 𝑐 2 )2 𝑎4 + 𝑏 4 + 𝑐 4 + 2𝑎2 𝑏 2 − 2𝑏 2 𝑐 2 − 2𝑎2 𝑐 2 โจทย์กาหนด 2(𝑎2 + 𝑏 2 )𝑐 2 + 2𝑎2 𝑏2 − 2𝑏 2 𝑐 2 − 2𝑎2 𝑐 2 2𝑎2 𝑐 2 + 2𝑏 2 𝑐 2 + 2𝑎2 𝑏 2 − 2𝑏 2 𝑐 2 − 2𝑎2 𝑐 2 2𝑎2 𝑏 2 1 2
cos 2 𝐶 = cos 𝐶 =
1 √2
±
โจทย์ให้ 𝐶 เป็ นมุมแหลม ดังนัน้ cos 𝐶 = +√12 จะได้ 1. sin 2(45°) = cos 45° 1
3.
6. (ก)
√2 2
+
√2 2(2)
2 tan 45° = cosec 2 45° 2
4.
= 4
×
= (√2)
2
4 cosec 2 45° − cos2 45° = 1 2 4 (2) − = 1
×
4
tan2 45° + 2 cos 2(45°) = 2 1 +2 ( 0 ) = 2
×
5 𝐴∩𝐶∈𝐵
คือ
เช่น 𝐴 = {1, 2} , แต่จะได้ 𝐴
ต้ องเข้ าไปอยูใ่ นปี กกาของ 𝐵 𝐶 = {2, 3} จะได้ 𝐴 ∩ 𝐶 = {2} → ถ้ าให้
𝐴∩𝐶
∈ 𝐵∪𝐶 {1, 2} ∈ { {2} } ∪ {2, 3} {1, 2} ∈ { 2 , 3 , {2} }
(ข)
2.
×
sec 45° + 2 cos 45° = 4 √2
5.
=
𝐶 = 45°
𝐴∩𝐶⊂𝐵
จะวาดได้ ดงั รูป
𝐴
จึงจะได้ วา่
𝐴∩𝐶∈𝐵
× 𝐶
𝐵
𝐵 = { {2} }
จะตรวจสอบข้ อนี ้ โดยใช้ วิธีกาหนด “สมาชิกตัวแทน” ให้ ทกุ ส่วน ดังรูป
𝐴 1
3 2
จะได้ 𝐴 = {1, 2, 3} , 𝐵 = {2, 3, 4, 6} , และ 𝐵 = (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) ดังนัน้
𝐶 5 4 7
6 𝐵
𝐶 = {3, 4, 5}
{2, 3, 4, 6} = {1, 2, 3, 4, 6} ∪ {3, 4} {2, 3, 4, 6} = {1, 2, 3, 4, 6} ×
(ค) ปกติแล้ ว 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) จะใหญ่กว่า 𝑃(𝐴) ∪ 𝑃(𝐵) เพราะใน 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) จะมีสบั เซตที่ “บางตัวมาจาก 𝐴 และ บางตัวมาจาก 𝐵” ในขณะที่ 𝑃(𝐴) ∪ 𝑃(𝐵) คือ การนา “สับเซตทีม่ าจาก 𝐴 รวมกับ “สับเซตที่มาจาก 𝐵” ซึง่ จะไม่ มีสบั เซตทีเ่ กิดร่วมกัน ระหว่าง 𝐴 กับ 𝐵
20 PAT 1 (มี.ค. 59)
เช่น ถ้ าให้ ดังนัน้
𝐴 = {1} , 𝐵 = {2}
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) 𝑃({1, 2}) { ∅, {1}, {2}, {1,2} } { ∅, {1}, {2}, {1,2} }
จะได้
𝐴 ∪ 𝐵 = {1, 2}
หมายเหตุ : ถ้ า ข้ อ ค. สลับข้ างสับเซต เป็ น 𝑃(𝐴) ∪ 𝑃(𝐵) ⊂ 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) จะถูก
⊂ 𝑃(𝐴) ∪ 𝑃(𝐵) ⊂ 𝑃({1}) ∪ 𝑃({2}) ⊂ { ∅, {1} } ∪ { ∅, {2} } ⊂ { ∅, {1}, {2} } ×
สับเซตที่มีสมาชิกมาจากทัง้ 𝐴 และ 𝐵
7. แก้
2 0 < |𝑥| < 2
หาเอกภพสัมพัทธ์
→ 0 < |𝑥|
จริ งเสมอยกเว้ น 𝑥 = 0
และ
|𝑥| < 2 −2 < 𝑥 <2 →
เอกภพสัมพัทธ์ คือ
(−2, 0) ∪ (0, 2)
จะแก้ อสมการ เพื่อหาว่า 𝑃(𝑥) กับ 𝑄(𝑥) เป็ นจริ งเมื่อ 𝑥 มีคา่ เป็ นอย่างไร 𝑃(𝑥) : จะแบ่งกรณีคิดที่ 𝑥 ≥ 0
กรณี 𝑥 ≥ 0 จะได้ | |𝑥| − 𝑥 | 𝑥 | 𝑥 −𝑥| 𝑥 0 𝑥
0
และ
𝑥<0
เพื่อใช้ สมบัติ
𝑥 |𝑥| = { −𝑥
, 𝑥≥0 , 𝑥<0
ในการกาจัดค่าสัมบูรณ์
กรณี 𝑥 < 0 จะได้ |𝑥| = −𝑥
|𝑥| = 𝑥
| |𝑥| − 𝑥 |
≤ 0
𝑥 | −𝑥 − 𝑥 | 𝑥 |−2𝑥|
≤ 0 ≤ 0
𝑥 2 |𝑥|
≤ 0
𝑥 2 (−𝑥)
เป็ นจริ งเสมอโดยไม่ขึ ้นกับค่า 𝑥
𝑥
−2
≤ 0 ≤ 0 ≤ 0 ≤ 0 |𝑥| = −𝑥
≤ 0 ≤ 0
ตัดได้ เพราะ 𝑥 ≠ 0
เป็ นจริ งเสมอโดยไม่ขึ ้นกับค่า 𝑥 จะเห็นว่า ไม่วา่ เป็ นกรณีไหน จะได้ 𝑃(𝑥) เป็ นจริ งเสมอ ดังนัน้ ∃𝑥[𝑃(𝑥)] ≡ T และ 𝑄(𝑥) : จาก |𝑥 − √(𝑥 − 1)2 | < 3 จะได้ วา่ −3 < 𝑥 − √(𝑥 − 1)2 < 3 −3 < 𝑥 − |𝑥 − 1|
จะแบ่งคิดเป็ นกรณีที่
𝑥≥1
และ
𝑥<1
กรณี 𝑥 ≥ 1 จะได้ 𝑥 − 1 ≥ 0 ดังนัน้ |𝑥 − 1| = 𝑥 − 1 −3 −3 −3 −3
< 𝑥 − |𝑥 − 1| < 𝑥 − (𝑥 − 1) < 𝑥−𝑥 +1 < 1
< < < <
3 3 3 3
เป็ นจริ งเสมอโดยไม่ขึ ้นกับค่า 𝑥 แต่กรณีนี ้ 𝑥 ≥ 1 → จะได้ 𝑥 ∈ [1, ∞)
เพื่อกาจัดค่าสัมบูรณ์
∀𝑥[𝑃(𝑥)] ≡ T
< 3
|𝑥 − 1|
กรณี 𝑥 < 1 จะได้ 𝑥 − 1 < 0 ดังนัน้ |𝑥 − 1| = −(𝑥 − 1) −3 −3 −3 −2 −1
< 𝑥 − |𝑥 − 1| < 𝑥 − (−(𝑥 − 1)) < 𝑥+𝑥−1 < 2𝑥 < 𝑥 → 𝑥 ∈ (−1, 2)
แต่กรณีนี ้ 𝑥 < 1
→
เหลือ
< < < < <
3 3 3 4 2
𝑥 ∈ (−1, 1)
รวมสองกรณี จะได้ คาตอบคือ [1, ∞) ∪ (−1, 1) = (−1, ∞) จะเห็นว่า ในเอกภพสัมพัทธ์ (−2, 0) ∪ (0, 2) มีทงค่ ั ้ าที่อยูใ่ นเซตตาคอบ (−1, ∞) (เช่น 𝑥 = 1) และค่าที่ไม่อยูใ่ นเซตคาตอบ (−1, ∞) (เช่น 𝑥 = −1.5) ดังนัน้ ∃𝑥[𝑄(𝑥)] ≡ T แต่ ∀𝑥[𝑄(𝑥)] ≡ F
PAT 1 (มี.ค. 59)
(ก) ∃𝑥[𝑄(𝑥)] → ∀𝑥[𝑃(𝑥)] ≡ T → T ≡ T → (ก) ถูก (ข) เนื่องจากเมื่อ 𝑥 = −1.5 จะได้ 𝑄(𝑥) เป็ นเท็จ ทาให้ 𝑃(𝑥) ∧ 𝑄(𝑥) ดังนัน้ ∀𝑥[𝑃(𝑥) ∧ 𝑄(𝑥)] ≡ F → (ข) ผิด (ค) ∀𝑥[~𝑃(𝑥)] จะเป็ นจริ งเมื่อ 𝑥 ทุกตัว ทาให้ 𝑃(𝑥) เป็ นเท็จทังหมด ้ แต่ 𝑥 ทุกค่าทาให้ 𝑃(𝑥) เป็ นจริ ง ดังนัน้ ∀𝑥[~𝑃(𝑥)] ≡ F จะได้ ∀𝑥[~𝑃(𝑥)] ∨ ∀𝑥[𝑄(𝑥)] ≡ F ∨ F ≡ F → (ค) ถูก 8.
≡ 𝑃(𝑥) ∧ F ≡ F
1
9.
4
4𝑥
4(𝑥+1) + 2 = 9(√2)
2 log 2 𝑦 =
4 + log
𝑥
4(𝑥+1) + 2 = 9(√2)
= 4 + 2 log 2 𝑥 = 2 + log 2 𝑥 = log 2 4 + log 2 𝑥 = log 2 4𝑥 = 4𝑥
4𝑥 ∙ 41 + 2 = 9 (24 )
𝑥=1
1. 4.
𝑦
4 + log √2 𝑥
2 log 2 𝑦 log 2 𝑦 log 2 𝑦 log 2 𝑦 𝑦
แทน
4
2 log 2 𝑦 =
จะได้
1 22
𝑦 = 4(1) = 4 →
12 + 42 = 17 42 = 1 + 4 ×
1
4𝑥
4 ∙ 22𝑥 + 2 = 9 ∙ 2𝑥 4 ∙ 22𝑥 − 9 ∙ 2𝑥 + 2 = 0 (4 ∙ 2𝑥 − 1)(2𝑥 − 2) = 0 1 2𝑥 = , 2 4 2𝑥 = 2−2 , 21 𝑥 = −2 , 1
โจทย์ให้ 𝑥 เป็ น 𝑅 +
แทนในตัวเลือก 2. 13 + 43 = 9 × 5. 1 + 2(4) = 7 ×
3.
12 = 4 − 1 ×
4
4 sin 40° − tan 40° sin 40°
= 4 sin 40° − cos 40° = = = = = =
=
4 sin 40° cos 40° − sin 40° cos 40° 2(2 sin 40° cos 40°) − sin 40° cos 40° 2 sin 80° − sin 40° cos 40° sin 80° + sin 80° − sin 40° cos 40°
= = =
80°+40° 80°−40° sin 2 2
sin 80° + 2 cos
=
cos 40° sin 80° + 2 cos 60° sin 20° cos 40°
1 2
sin 80° + 2( ) sin 20° cos 40° sin 80° + sin 20° cos 40° 80°+20° 80°−20° cos 2 2
2 sin
cos 40° 2 sin 50° cos 30° cos 40° 2 sin 50° ( cos 40°
=
√3
หาค่าตัวเลือกในแต่ละข้ อ ว่าข้ อไหนได้ √3 1.
cos 405° = cos(360° + 45°) = cos 45° =
2. 3.
sin 420° = sin(360° + 60°) = sin 60° = sec(−60°) =
1 cos(−60°)
=
1 cos 60°
=
1 1/2
√2 2 √3 2
× ×
= 2 ×
√3 2
)
จากโคฟังก์ชนั จะได้ sin 50° = cos 40°
21
22 PAT 1 (มี.ค. 59)
4. 5.
tan(−120°) = tan(−180° + 60°) = tan 60° = √3 → cot(−135°) =
10. 2 หา 𝑔(𝑥) : จาก
1 tan(−180°+45°)
=
𝑔(1 + 𝑥) = 𝑥(2 + 𝑥) → 𝑔( 𝑔( 𝑔( 𝑔(
หา 𝑓(𝑥) : จาก
1 tan(−135°)
𝑎 𝑎 𝑎 𝑥
) ) ) )
= = = =
=
1 1
ตอบข้ อ 4.
= 1 ×
1+𝑥 = 𝑎 𝑥 = 𝑎−1
(𝑎 − 1)(2 + 𝑎 − 1) (𝑎 − 1)(𝑎 + 1) 𝑎2 − 1 𝑥2 − 1
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑥 2 + 1 𝑓( 𝑔(𝑥) ) = 𝑥 2 + 1 𝑓(𝑥 2 − 1) = 𝑥 2 + 1 𝑓( 𝑏 ) = 𝑏 + 1 + 1 𝑓( 𝑏 ) = 𝑏 + 2 𝑓( 𝑥 ) = 𝑥 + 2
(ก) แก้ สมการ
ให้
=
1 tan 45°
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) 𝑔(𝑓(𝑥)) 𝑔(𝑥 + 2) (𝑥 + 2)2 − 1 𝑥 2 + 4𝑥 + 4 − 1 4𝑥
= = = = = =
ให้
→ 𝑥2 − 1 = 𝑏 𝑥2 = 𝑏+1
เนื่องจาก
𝑥2 ≥ 0
; 𝑏 ≥ −1 ; 𝑥 ≥ −1
สอดคล้ องกับเงื่อนไข 𝑥 ≥ −1 → สมการมีคาตอบ ดังนัน้ ไม่เป็ นเซตว่าง (ข) จากทีเ่ คยทาฝั่งซ้ ายของข้ อ ก. จะได้ (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = (𝑥 + 2)2 − 1 เมื่อ 𝑥 ≥ −1 แทนในข้ อ ข. จะได้ (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) + 1 ≥ 0 = −2
→
(𝑥 + 2)2 − 1 + 1 ≥ 0 (𝑥 + 2)2 ≥ 0
(ค)
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) ≥ 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) ≥ 𝑥 + 2 + 𝑥2 − 1 ≥ 𝑥2 + 𝑥 ≥ 𝑥(𝑥 + 1) ≥ + −1
−
+ 0
1 1 1 0 0 →
𝑏 = 𝑥2 − 1 ≥ 0−1 ≥ −1
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) 𝑥2 + 1 𝑥2 + 1 ; 𝑥 ≥ −1 𝑥2 + 1 𝑥2 + 1 −2 1
𝑥
ดังนัน้
→
ก. ผิด
; 𝑥 ≥ −1 → จริ ง (ผลยกกาลังสอง ≥ 0 เสมอ) →
ข. ถูก
; 𝑥 ≥ −1
จะเห็นว่า เมื่อ
𝑥 ≥ −1 จะมีชว่ ง (−1, 0) ทีไ่ ม่เป็ นคาตอบของอสมการ →
ค. ผิด
PAT 1 (มี.ค. 59)
11.
23
5
ให้ วงกลมมีจดุ ศูนย์กลางที่ 𝐴(ℎ, 𝑘) จะวาดได้ ดงั รูป จัดรูปเส้ นตรง 3𝑥 + 4𝑦 = 35 3 35 3 𝑦 = − 4 𝑥 + 4 → ความชัน = − 4 จาก รัศมี ⊥ เส้ นสัมผัส จะได้ ความชันรัศมี × ความชันเส้ นสัมผัส = −1
(ℎ, 𝑘)
(5, 5)
𝑘−5 ℎ−5
×
−
3 4
= −1
3𝑘 − 15 5 4ℎ − 3𝑘
3𝑥 + 4𝑦 = 35
= 4ℎ − 20 = 4ℎ − 3𝑘 = 5 …(1)
โจทย์ให้ 𝐴(ℎ, 𝑘) เป็ นจุดศูนย์กลางของไฮเพอร์ โบลาด้ วย และโจทย์ให้ เส้ นกากับเส้ นหนึง่ คือ 3𝑥 − 4𝑦 = 2 เนื่องจากเส้ นกากับจะผ่านจุดศูนย์กลางเสมอ ดังนัน้ 𝐴(ℎ, 𝑘) ต้ องแทนใน 3𝑥 − 4𝑦 = 2 แล้ วเป็ นจริ ง 3(1) − 4(2) : (5, 5)
แปลว่ารูปต้ องเป็ นแบบนี ้ (แต่ก็ยงั ทาแบบเดิมได้ อยู)่
แทนใน (2) :
(2, 1)
ดังนัน้ วงกลม มีจดุ ศูนย์กลาง 𝐴(2, 1) และรัศมี
=
3ℎ − 4𝑘 7𝑘 𝑘 3ℎ − 4(1) ℎ
= = = = =
2 7 1 2 2
…(2)
ระยะจาก (2, 1) ไป (5, 5)
= √(5 − 2)2 + (5 − 1)2 = √32 + 42 = 5
จะได้ ไฮเพอร์ โบลา มีจดุ ศูนย์กลาง (ℎ, 𝑘) = (2, 1) และระยะโฟกัส 𝑐
=
สองเท่ารัศมี
โจทย์ให้ แกนตามขวางขนานแกน 𝑦 → เป็ นไฮเพอร์ โบลาแนวตัง้ มีรูปสมการคือ เนื่องจากเส้ นกากับ 3𝑥 − 4𝑦 = 2 มีความชัน = 34 → จะได้ 𝑎𝑏 = 34 ดังรูป 3 𝑥 4
และจาก
𝑎 =
𝑎2
−
(𝑥−ℎ)2 𝑏2
3𝑏 4
3𝑏 2
25𝑏2 16 5𝑏 4
𝑏
𝑏
ℎ, 𝑘, 𝑎, 𝑏
= 102 = 102 = 10 = 8
→
จะได้
3(8) 4 (𝑦−1)2
𝑎 =
จะได้ สมการไฮเพอร์ โบลาคือ
62 𝑦 2 −2𝑦+1 62
= 6 − −
(𝑥−2)2 82 𝑥 2 −4𝑥+4 82 2 (𝑥 2
= 1
𝑎
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 = 102
( 4 ) + 𝑏2
แทนค่า
1
−2 =𝑦
= 2(5) = 10
(𝑦−𝑘)2
= 1 = 1
42 (𝑦 2 − 2𝑦 + 1) − 3 − 4𝑥 + 4) = 16𝑦 2 − 32𝑦 + 16 − 9𝑥 2 + 36𝑥 − 36 = −9𝑥 2 + 16𝑦 2 + 36𝑥 − 32𝑦 − 596 = 9𝑥 2 − 16𝑦 2 − 36𝑥 + 32𝑦 + 596 =
242 576 0 0
ความชัน = 𝑎𝑏
24 PAT 1 (มี.ค. 59)
12. 3 สังเกตว่า ตัวในรูททางขวาสองตัว บวกกัน จะเท่ากับ ตัวในรูทฝั่งซ้ าย → 3 − 𝑥 + 2𝑥 − 1 ดังนัน้ ถ้ าให้ 𝑎 = 3 − 𝑥 และ 𝑏 = 2𝑥 − 1 จะได้ อสมการคือ √𝑎 + 𝑏 < √𝑎 + √𝑏
= 𝑥+2
𝑎 + 𝑏 < 𝑎 + 2√𝑎√𝑏 + 𝑏 0 < 2√𝑎√𝑏
เนื่องจาก ในรูทต้ อง ≥ 0 และ ผลรูท ≥ 0 จะเห็นว่า อสมการ 0 < นัน่ คือ 3 − 𝑥 > 0 และ 2𝑥 − 1 > 0 1 1 → จะได้ 𝐴 = (2 , 3) 3 > 𝑥 𝑥 > 2 1.
4.
|2𝑥 − 1| < 1 −1 < 2𝑥 − 1 < 1 0 < 2𝑥 < 2 0 < 𝑥 < 1 ×
− 1
+
เป็ นจริ งเมื่อ
3.
|𝑥 − 2| < 1 −1 < 𝑥 − 2 < 1 1 < 𝑥 < 3 ×
5.
𝑥2 + 2 < 3𝑥 𝑥 − 3𝑥 + 2 < 0 (𝑥 − 1)(𝑥 − 2) < 0 2
+
2.
2√𝑎√𝑏
×
|𝑥 − 1| < 2 −2 < 𝑥 − 1 < 2 −1 < 𝑥 < 3
จะได้ (12 , 3) เป็ นสับเซตของข้ อ 3. 𝑥2 < 2𝑥 𝑥 − 2𝑥 < 0 𝑥(𝑥 − 2) < 0 2
+
− 0
2
𝑎 > 0 และ 𝑏 > 0
+
×
2
13. 3 โจทย์ให้ จุดยอดของวงรี อยูท่ ี่ จุดตัดแกน 𝑥 ของพาราโบลา หาจุดที่พาราโบลาตัดแกน 𝑥 → แทน 𝑦 = 0 ในสมการพาราโบลา :
𝑥 2 + 4𝑥 + 3(0) − 5 = 0 𝑥 2 + 4𝑥 − 5 = 0 (𝑥 + 5)(𝑥 − 1) = 0 𝑥 = −5 , 1
ดังนัน้ จุดยอดของวงรี คือ (−5, 0) และ (1, 0) → เป็ นวงรี แนวนอน จุดศูนย์กลางวงรี จะอยูต่ รงกลางระหว่างจุดยอด → ได้ จดุ ศูนย์กลาง (ℎ, 𝑘) = ( −5+1 , 0) = 2 และถ้ าให้ ระยะโฟกัสของวงรี = 𝑐 จะได้ จดุ โฟกัสทังสองคื ้ อ (−2 + 𝑐 , 0) และ (−2 − 𝑐 , 0) โจทย์ให้ ผลบวกของระยะจากจุดยอดพาราโบลา ไปยังโฟกัสทังสองของวงรี ้ = 2√13 หาจุดยอดพาราโบลา → จัดรูป 𝑥 2 + 4𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0 𝑥 2 + 4𝑥 + 4 (𝑥 + 2)2
ดังนัน้ ระยะจาก (−2, 3) ไปยัง (−2 + 𝑐 , 0)
(−2, 0)
= −3𝑦 + 5 + 4 = −3(𝑦 − 3) →
จะได้ จดุ ยอด คือ (−2, 3) บวก ระยะจาก (−2, 3) ไปยัง (−2 − 𝑐 , 0) เท่ากับ 2√13
2
2
√((−2) − (−2 + 𝑐)) + (3 − 0)2 + √((−2) − (−2 − 𝑐)) + (3 − 0)2 = 2√13 √( −2 √
โจทย์ถามสมการวงรี
+ 2 − 𝑐 )2 + 𝑐2 +
→
ต้ องหา 𝑎, 𝑏
32 + √( −2 9 +√ 2 2√𝑐 + 9 𝑐2 + 9 𝑐
+ 2 + 𝑐 )2 + 𝑐2 +
32 9
= 2√13 = 2√13 = 2√13 = 13 = 2
PAT 1 (มี.ค. 59)
จากจุดยอดวงรี (−5, 0) และ และจาก 𝑎2 − 𝑏2 = 𝑐 2
(1, 0)
จะได้ แกนเอกยาว
1 − (−5) = 6
ดังนัน้
𝑎 =
6 2
25
= 3
32 − 𝑏 2 = 22 5 = 𝑏2
แทน
และ
(ℎ, 𝑘) = (−2, 0)
𝑎 = 3 , 𝑏2 = 5
ในสมการวงรี แนวนอน
(𝑥−ℎ)2 𝑎2 (𝑥+2)2 32 𝑥 2 +4𝑥+4 9
+ + +
(𝑦−𝑘)2
= 1
𝑏2 (𝑦−0)2
= 1
5 𝑦2 5
= 1
5𝑥 2 + 20𝑥 + 20 + 9𝑦 2 = 45 5𝑥 2 + 20𝑥 + 9𝑦 2 = 25
14. 4 หาจุดตัดแกนของเส้ นตรง วาดกราฟ และแทนจุดที่ไม่ได้ อยูบ่ นเส้ นกราฟ (0, 0) เพื่อแรเงา จะได้ ดงั รูป L3 : 𝑥 − 2𝑦 + 17 ≥ 0
L1 : 𝑥 + 3𝑦 − 12 ≥ 0
จุดตัดแกน
𝑥 𝑦
0 4
จุดตัดแกน
12 0
𝑥 𝑦
จุด (0, 0) → อสมการเป็ นเท็จ แรเงาส่วนขวาบนที่ไม่มี (0, 0)
0 17 2
−17 0
จุด (0, 0) → อสมการเป็ นจริง แรเงาส่วนขวาล่างที่มี (0, 0) L2 L4
L4 : 9𝑥 + 𝑦 − 56 ≤ 0
L2 : 3𝑥 + 𝑦 − 12 ≥ 0
จุดตัดแกน
𝑥 𝑦
0 12
4 0
L3 L1
จุด (0, 0) → อสมการเป็ นเท็จ แรเงาส่วนขวาบนที่ไม่มี (0, 0)
หาพิกดั ของจุดมุม
F E
G
จุดตัดแกน 𝑥
0
𝑦
56
L1 : 𝑥 + 3𝑦 L2 : 3𝑥 + 𝑦 3(1) − (2): 8𝑦 𝑦 แทนใน (1): 𝑥 + 9 𝑥 จะได้ พิกดั E(3, 3)
= = = = = =
หา F → ต้ องแก้ L2 กับ L3 12 12 24 3 12 3
…(1) …(2)
L3 : 𝑥 − 2𝑦 L4 : 9𝑥 + 𝑦 (3) + 2(4): 19𝑥 𝑥 แทนใน (4): 45 + 𝑦 𝑦 จะได้ พิกดั G(5, 11)
= −17 = 56 = 95 = 5 = 56 = 11
L2 : 3𝑥 + 𝑦 = 12 L3 : 𝑥 − 2𝑦 = −17 (2) − 3(3): 7𝑦 = 63 𝑦 = 9 แทนใน (2): 3𝑥 + 9 = 12 𝑥 = 1 จะได้ พิกดั F(1, 9)
…(2) …(3)
หา H → ต้ องแก้ L1 กับ L4
หา G → ต้ องแก้ L3 กับ L4 …(3) …(4)
L1 : 𝑥 + 3𝑦 L4 : 9𝑥 + 𝑦 9(1) − (4): 26𝑦 𝑦 แทนใน (1): 𝑥 + 6 𝑥 จะได้ พิกดั H(6, 2)
9
0
จุด (0, 0) → อสมการเป็ นจริง แรเงาส่วนซ้ ายล่างที่มี (0, 0)
H
E, F, G, H
หา E → ต้ องแก้ L1 กับ L2
56
= = = = = =
12 56 52 2 12 6
…(1) …(4)
26 PAT 1 (มี.ค. 59)
เอาจุดมุมทังสี ้ ่ ไปแทนใน สมการจุดประสงค์ E(3, 3) F(1, 9) G(5, 11) H(6, 2)
→ → → →
𝑃 𝑃 𝑃 𝑃
= = = =
𝑃 = 7𝑥 − 5𝑦
7(3) − 5(3) = 6 7(1) − 5(9) = −38 7(5) − 5(11) = −20 7(6) − 5(2) = 32
→ min → max
(ก) จุดที่ให้ คา่ มากสุด คือ (6, 2) → 𝑎 + 𝑏 = 62 + 22 = 40 → (ก) ถูก (ข) ค่ามากสุด = 32 , ค่าน้ อยสุด = −38 → ผลต่าง = 32 − (−38) = 70 → (ข) ถูก (ค) ดูวา่ จุดทีใ่ ห้ คา่ 𝑃 มากสุด กับ น้ อยสุด แทนในสมการ 7𝑥 + 5𝑦 = 52 แล้ วเป็ นจริ งหรื อไม่ มากสุดที่ (6, 2) : 7(6) + 5(2) = 52 จริ ง น้ อยสุดที่ (1, 9) : 7(1) + 5(9) = 52 จริ ง → (ค) ถูก 2
2
15. 1 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐶𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 แสดงว่า 𝐶𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ 𝐶𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ดังนัน้ ∆𝐴𝐵𝐶 เป็ น ∆ มุมฉาก จาก 𝐶𝐴 ̅̅̅̅ เป็ นเส้ นผ่านศูนย์กลางวงกลม และจากสมบัติของครึ่งวงกลม จะได้ 𝐴𝐵 ให้ จดุ ศูนย์กลางคือ 𝐷(ℎ, 𝑘) จะวาดได้ ดงั รูป เนื่องจาก 𝐷(ℎ, 𝑘) อยูบ่ นเส้ นตรง 𝑦 = 2𝑥 + 1 ดังนัน้ (ℎ, 𝑘) ต้ องสอดคล้ องกับสมการเส้ นตรง → 𝑘 = 2ℎ + 1 …(∗) ̅̅̅̅ ⊥ 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ด้ วย และจาก 𝐶𝐴 = 𝐶𝐵 จะได้ 𝐶𝐷 ̅̅̅̅ × ความชัน 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = −1 จากสมบัติความชันเส้ นตังฉาก ้ จะได้ ความชัน 𝐶𝐷
𝑦 = 2𝑥 + 1 𝐴 𝐶(−2, 2)
𝑦 = 2𝑥 + 1
จาก (∗)
𝑘−2 ℎ−(−2) 2ℎ+1−2 ℎ+2
×
2
= −1
×
2
= −1
4ℎ − 2 ℎ
𝐷(ℎ, 𝑘)
𝐵
= −ℎ − 2 = 0
แทน ℎ = 0 ใน (∗) จะได้ 𝑘 = 2(0) + 1 = 1 → จะได้ จดุ ศูนย์กลางคือ 𝐷(0, 1) และจะได้ รัศมี = 𝐶𝐷 = √(−2 − 0)2 + (2 − 1)2 = √4 + 1 = √5 จะได้ สมการวงกลมคือ (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 2 (𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 1)2 = √5 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑦 + 1 = 5 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑦 − 4 = 0
2
16. 3 โจทย์ให้ แกนสมมาตรทับแกน 𝑦 ดังนัน้ จะเป็ นพาราโบลาคว่าหงาย มีรูปสมการคือ (𝑥 − ℎ)2 เนื่องจากแกนสมมาตรจะผ่านจุดยอดเสมอ ดังนัน้ จุดยอดจะอยูบ่ นแกน 𝑦 ด้ วย และเนื่องจากจุดบนแกน 𝑦 จะมีพกิ ดั 𝑥 เป็ น 0 เสมอ ดังนัน้ จุดยอด 𝑉(ℎ, 𝑘) จะมี ℎ = 0 → แทนในสมการจะได้ 𝑥 2
= 4𝑐(𝑦 − 𝑘)
= 4𝑐(𝑦 − 𝑘) …(∗)
PAT 1 (มี.ค. 59)
27
ถัดมา แก้ สมการ |√𝑥 2 − 𝑥| + |3 − 𝑥 − |𝑥 − 3|| = 0 จะเห็นว่า ทัง้ |√𝑥 2 − 𝑥| และ |3 − 𝑥 − |𝑥 − 3|| เป็ นค่าสัมบูรณ์ ซึง่ จะ ≥ 0 ดังนัน้ ถ้ า |√𝑥 2 − 𝑥| กับ |3 − 𝑥 − |𝑥 − 3|| บวกกันได้ 0 แสดงว่า ทังคู ้ ต่ ้ องเป็ น 0 พร้ อมๆกัน เท่านัน้ √𝑥 2 − 𝑥 = 0 และ 3 − 𝑥 − |𝑥 − 3| = 0 √𝑥 2 |𝑥|
− |𝑥 − 3| = 𝑥 − 3 |𝑥 − 3| = −(𝑥 − 3)
= 𝑥 = 𝑥
เป็ นจริ งเมื่อ
เป็ นจริ งเมื่อ
𝑥≥0
ถัดมา หาจุดปลายของ
2𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0 →
เนื่องจาก
(0, 2)
และ
0≤𝑥 ≤3
0 ≤ 𝑥 ≤ 3
ดังนัน้ จุดปลายจะเกิดที่
𝑥=0
𝑥 2 = 4𝑐(𝑦 − 𝑘) 32 = 4𝑐(0 − 𝑘) 9 = 4𝑐(0 − 2)
แต่ 𝑐 ≠ 0 (เพราะ 𝑐 คือระยะโฟกัส) ดังนัน้ จะสรุปได้ วา่ 𝑘 = 2
9
→ 𝑐 เป็ นลบ แสดงว่าเป็ นพาราโบลาควา่
−8 = 𝑐
ดังนัน้ ความยาวลาตัสเรคตัม
= |4𝑐| 9
= |4 (− )| = 8
17. 1 𝑓 ต่อเนื่อง แสดงว่า 𝑓 ต้ องมีคา่ เท่ากันตรงบริ เวณรอยต่อของแต่ละสมการ ที่รอยต่อตรง 𝑥 = 𝑎 จะได้ ที่รอยต่อตรง 2
𝑥 + 𝑏 − 4 = 𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎 𝑎 + 𝑏 − 4 = 𝑎2 + 𝑏𝑎 + 𝑎 𝑏 − 4 = 𝑎2 + 𝑏𝑎 𝑏−4 = 0 + 0 𝑏 = 4
จะได้
𝑎=0, 𝑏=4 →
แทน (ก)
𝑎, 𝑏
และ
แทนใน
𝑓(𝑥)
จะได้
𝑥=𝑏
𝑥 𝑓(𝑥) = {𝑥 + 4𝑥 8𝑥
ในตัวเลือกในแต่ละข้ อ จะได้ ดงั นี ้ (ข) (𝑓 ∘ 𝑓)(0 − 4) = 0 − 4
2
𝑥=𝑏
9 2
จะได้
2
𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎 𝑏2 + 𝑏2 + 𝑎 2𝑎 𝑎
= = = =
2𝑏𝑥 − 𝑎 2𝑏 2 − 𝑎 0 0
, 𝑥≤0 , 0<𝑥≤4 , 𝑥>4
𝑓
𝑓(𝑓(−4))
สูตรแรก 𝑓( −4 ) สูตรแรก −4
(ค) ดิฟจะได้
𝑥=3
สองจุดนี ้ต้ องแทนในสมการพาราโบลา (∗) แล้ วเป็ นจริง
(3, 0) →
𝑥 2 = 4𝑐(𝑦 − 𝑘) 02 = 4𝑐(2 − 𝑘)
𝑥=𝑎
และ
𝑥 = 3 : 2(3) + 3𝑦 − 6 = 0 𝑦 = 0
𝑥 = 0 : 2(0) + 3𝑦 − 6 = 0 𝑦 = 2
ดังนัน้ พาราโบลาผ่านจุด
จะได้
𝑥−3 ≤ 0 𝑥 ≤ 3
= −4 = −4 = −4
1 , 𝑓′(𝑥) = {2𝑥 + 4 , 8 ,
𝑥≤0 0<𝑥≤4 𝑥>4
𝑓(0 + 4) = 𝑓(0) + 𝑓(4) ใช้ สตู รแรกหา 𝑓(0) 𝑓( 4 ) = 0 + 𝑓(4) 𝑓( 4 ) = 𝑓(4)
ดังนัน้
𝑓 ′ (𝑓(2)) 𝑓 ′ (22 + 4(2)) ) 𝑓 ′ ( 12 8 8
= = = = =
𝑓(𝑓 ′ (2)) 𝑓(2(2) + 4) 𝑓(8) 8(8) 64 ×
28 PAT 1 (มี.ค. 59)
18. 4 จัดรูป 𝑓(𝑥) และจาก
ดังนัน้
→
ให้
𝑘 = 𝑥+3 𝑘−3= 𝑥
(𝑓 −1 ∘ 𝑔)(𝑥) 𝑓 −1 (𝑔(𝑥)) 𝑓 −1 (𝑔(𝑥)) 𝑓 −1 (𝑔(𝑥)) 𝑔(𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑔(𝑥)
= = = = = = =
จะได้
𝑓(𝑥 + 3) = 𝑥 + 4 𝑓( 𝑘 ) = 𝑘 − 3 + 4 → 𝑓( 𝑘 ) = 𝑘 + 1
จะได้ เรนจ์
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = = = = ≥
𝑓(𝑔(𝑥)) 𝑓(3𝑥 2 − 3) 3𝑥 2 − 3 + 1 3𝑥 2 − 2 −2 2 (เพราะ 𝑥 ≥ 0)
= [−3 , ∞) = 𝐴
𝐴 𝐵 𝐴−𝐵
จะได้
→
จะได้ เรนจ์
𝐴 − 𝐵 = [−3 , −2)
= [−2 , ∞) = 𝐵
ซึง่ จะเป็ นสับเซตของข้ อ 4
−2
−3
19. 2 จัดสมการให้ อยูใ่ นรูปของ 3𝑥+5
:
32𝑥+10 − 4(3𝑥+6 ) + 27 ≤ 2(𝑥+5) 𝑥+5 1) 3 − 4(3 ∙ 3 + 27 ≤ (3𝑥+5 )2 − 12(3𝑥+5 ) + 27 ≤ (3𝑥+5 − 3)(3𝑥+5 − 9) ≤ +
−
ดังนัน้
+ 9
3
จะได้ 20.
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1
3𝑥𝑓(𝑥) − 3𝑥 − 4 3𝑥(𝑥 + 1) − 3𝑥 − 4 3𝑥 2 + 3𝑥 − 3𝑥 − 4 3𝑥 2 − 4 ย้ ายข้ าง 𝑓 −1 ไปเป็ น 𝑓 ที่อีกฝั่ง 𝑓(3𝑥 2 − 4) จาก 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 3𝑥 2 − 4 + 1 3𝑥 2 − 3
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(𝑥 + 1) = 3(𝑥 + 1)2 − 3 ≥ −3 2 (เพราะ (𝑥 + 1) ≥ 0) →
ดังนัน้
0 0 0 0
3 31 1 −4
≤ ≤ ≤ ≤
3𝑥+5 3𝑥+5 𝑥+5 𝑥
𝐴 = [−4 , −3]
≤ ≤ ≤ ≤
9 32 2 −3
ซี่งจะเป็ นสับเซตของข้ อ
2
5 25
จากสูตร 𝑆𝑛 จะได้ 𝑎𝑛 n 1
=
25 (2𝑎1 2 2𝑎1 2
n 1
= 8
จะได้
𝑎1 40 𝑎1 40
+ +
÷ 4 ตลอด ให้ ตาแหน่งเลื่อน
(1) − (2) :
𝑎1 1
+
24𝑑 2
+
𝑎1 + 𝑎1 𝑛 กระจาย 4𝑎𝑛−1
อนุกรมเลขคณิต
+ (25 − 1)𝑑) = 1900 =
12𝑑
1900 25
= 76 = 76 − 12𝑑 …(∗)
𝑎2 𝑎 𝑎 + 432 + 443 41 𝑎1 +𝑑 𝑎 +2𝑑 𝑎 +3𝑑 + 142 + 143 41 𝑎1 41
+
𝑎1 +𝑑 42
+
𝑎1 +2𝑑 43
𝑑 4
+
𝑑 42
+
𝑑 43
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑 𝑛 𝑆𝑛 = (2𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑)
+…
= 8
+…
= 8 …(1)
+
𝑎1 +3𝑑 43
+ …
+ … = 2 …(2) = 6
2
PAT 1 (มี.ค. 59)
𝑎1 1
(1) − (2) :
𝑑 4
+
𝑑 42
+
𝑑 43
+
+ …
= 6
อนุกรมเรขาคณิตอนันต์ พจน์แรก = 𝑑4 , อัตราส่วนร่วม = 14 จะได้
แทน ดังนัน้
𝑆∞ =
𝑑 4
1 1− 4
𝑎1 + 3𝑎1 + 3(76 − 12𝑑) + 228 − 36𝑑 + 210 6 𝑑 = 6 ใน (∗) จะได้ 𝑎1 = 76 − 12(6) =
=
𝑑 4
4
×3 =
𝑑 3
𝑑 3
= 6 × 3 ตลอด = 18 จาก (∗) = 18 = 18 = 35𝑑 = 𝑑
𝑑 𝑑 𝑑
4
𝑎100 = 𝑎1 + (100 − 1)𝑑 = 4 + ( 99 )6 = 598
21. 4 จะหาความแปรปรวนของ จากค่าเฉลีย่ ของ และจาก จาก (1)
𝑥1 , 𝑥2 , …, 𝑥10
2 𝑥12 , 𝑥22 , 𝑥32 , …, 𝑥10
ก่อน แล้ วค่อยขยายผลไปสู่
เท่ากับ 70 จะได้
∑(𝑥𝑖 − 3)2 ∑(𝑥𝑖2 − 6𝑥𝑖 + 9) ∑ 𝑥𝑖2 − 6 ∑ 𝑥𝑖 + ∑ 9 700 − 6 ∑ 𝑥𝑖 + 10(9) 480 80
∑ 𝑥𝑖2 10
3𝑥1 − 1 , 3𝑥2 − 1 , … , 3𝑥10 − 1
ดังนัน้
= 70
= 310 = 310 = 310 ∑ 𝑐 = 𝑁𝑐 = 310 = 6 ∑ 𝑥𝑖 = ∑ 𝑥𝑖 → ดังนัน้ 𝑥̅ =
จาก (1) และ (2) จะได้ ความแปรปรวนของ
𝑥1 , 𝑥2 , …, 𝑥10 =
∑ 𝑥2 𝑁
∑ 𝑥𝑖 𝑁
∑ 𝑥𝑖2 = 700 …(1)
=
− 𝑥̅ 2 =
80 = 8 10 700 − 82 10
…(2) = 6
ข้ อมูล 3𝑥1 − 1 , 3𝑥2 − 1 , … , 3𝑥10 − 1 เกิดจากการเอาข้ อมูล 𝑥1 , 𝑥2 , …, 𝑥10 มาคูณ 3 แล้ วลบ 1 การบวกลบ จะไม่ทาให้ 𝑠 เปลีย่ น แต่การคูณ 3 จะทาให้ คา่ 𝑠 เพิ่มเป็ น 3 เท่า เนื่องจาก ความแปรปรวน = 𝑠 2 ดังนัน้ การคูณ 3 จะทาให้ ความแปรปรวนเพิ่มเป็ น 32 เท่า = 9 เท่า ดังนัน้ ความแปรปรวนของ 3𝑥1 − 1 , 3𝑥2 − 1 , … , 3𝑥10 − 1 = 9 × ความแปรปรวนของ 𝑥1 , 𝑥2 , …, 𝑥10 = 9×6
22.
= 54
3
Q1 จะอยูต ่ วั ที่
1 4
∙ (𝑁 + 1) =
1 4
∙ (20 + 1) = =
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑
โจทย์ให้
Q1 = 23.5
ดังนัน้
ตัวที่ 5.25 ตัวที่ 5
+ 0.25(ตัวที่ 6 − ตัวที่ 5)
= 𝑥1 + (5 − 1)𝑑 + 0.25 𝑑 = 𝑥1 + 4.25 𝑑
𝑥1 + 4.25𝑑 = 23.5 𝑥1 = 23.5 − 4.25𝑑 …(∗)
ลาดับเลขคณิต พจน์เพิ่มทีละ 𝑑
29
30 PAT 1 (มี.ค. 59)
D6 จะอยูต ่ วั ที่
6 ∙ 10
(𝑁 + 1) =
6 ∙ 10
(20 + 1) = =
ตัวที่ 12.6 ตัวที่ 12
+ 0.6(ตัวที่ 13 − ตัวที่ 12)
= 𝑥1 + (12 − 1)𝑑 + 0.6 𝑑 = 𝑥1 + 11.6 𝑑
โจทย์ให้ D6 = 38.2 ดังนัน้ 𝑥1 + 11.6𝑑 = แทน 𝑥1 = 23.5 − 4.25𝑑 จาก (∗) จะได้
38.2 23.5 − 4.25𝑑 + 11.6𝑑 = 38.2 7.35𝑑 = 14.7 𝑑 = 2 แทนใน (∗) จะได้ 𝑥1 = 23.5 – 4.25(2) = 15
1 โจทย์ถาม ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ ซึง่ มีสตู รคือ Q3−Q → โจทย์ให้ Q1 = 23.5 แล้ ว แต่ยงั ต้ องหา Q 3 เพิ่ม 2 Q 3 จะอยูต ่ วั ที่ 34 ∙ (𝑁 + 1) = 34 ∙ (20 + 1) = ตัวที่ 15.75 = ตัวที่ 15 + 0.75(ตัวที่ 16 − ตัวที่ 15)
= 𝑥1 + (15 − 1)𝑑 + 0.75 𝑑 = 𝑥1 + 14.75 𝑑 = 15 + 14.75(2) = 44.5
𝑥1 = 15 , 𝑑 = 2
ดังนัน้ ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์
=
Q3 −Q1 2
=
44.5 − 23.5 2
= 10.5
23. 5 มีทงหมด ั้ 2 + 3 + 3 = 8 คน เอา นาย ก. ตอกไว้ หวั โต๊ ะไม่ให้ วงหมุน 1 ข. ต้ องนัง่ ตรงข้ าม ก. จะวาดได้ ดงั รูป 3 ตาแหน่ง A กับ B ต้ องเป็ นหญิง → มีหญิง 3 คน ดังนัน้ A เลือกได้ 3 แบบ A → เหลือหญิง 2 คน เลือกให้ B ได้ 2 แบบ ที่เหลือ หญิง 1 คน + ชาย 3 คน รวม เป็ น 4 คน เลือกนัง่ ใน 4 ที่นงั่ ที่เหลือ ได้ 4! แบบ ดังนัน้ จานวนวิธี = 3 × 2 × 4! = 144 แบบ 24.
ก
2 4
ข
B
1
n 1
n 1
1 𝑛
2
2
1 𝑛
𝑎𝑛 = (4𝑛2−1 − (− 3) ) = 4𝑛2−1 − (− 3)
จะเห็นว่า
2 4𝑛2 −1
ดังนัน้ 4𝑛22−1 n 1
n 1
แยกเป็ นผลลบเพื่อทาเทเลสโคปิ คได้
1
n 1
→
2 4𝑛2 −1
=
…(∗) 2 (2𝑛−1)(2𝑛+1)
=
1 2𝑛−1
1
= (2𝑛−1 − 2𝑛+1) n 1
= =
1 1 − 2(1)+1 2(1)−1 1 1 − 3 1
+ +
1 1 − 2(2)+1 2(2)−1 1 1 − 5 3
+ +
1 1 − 2(3)+1 2(3)−1 1 1 − 7 5
ตัดกันได้ หมด เหลือเทอมแรก = 1 กับเทอมสุดท้ ายที่เข้ าใกล้ 0 =
1
+ … + …
1
− 2𝑛+1
PAT 1 (มี.ค. 59)
𝑛
และ (− 13) n 1
1 1
1 2
−
=
1 3
เป็ นอนุกรมเรขาอนันต์ที่มี
1
n 1
≠0
2 2 n 1 4𝑛 −1
= =
ดังนัน้
3
1
𝑆∞ =
𝑎∗𝑐 =
เปลีย่ นตัวแปร ให้
𝑎𝑐 𝑎+𝑐 1 2 1 2
n 1
−
1 4
(− )
=
5 4
ต้ องมาจากสูตรแรก จะได้
1 𝑎
= 2 = =
𝑎∗𝑏 =
𝑏∗𝑐 =
𝑎+𝑐 𝑎𝑐 1 1 +𝑎 𝑐
1 𝑏
𝐴= , 𝐵= , 𝐶= 𝐵+𝐴 = 1 𝐶+𝐴 = 𝐶+𝐵 =
𝑎𝑏 𝑎+𝑏 1 1
=
𝐵
=
𝑎+𝑏 𝑎𝑏 1 1 + 𝑏 𝑎
…(1)
= 3 = =
𝑏+𝑐 𝑏𝑐 1 1 +𝑏 𝑐
…(3)
จะได้ ระบบสมการ (1), (2), (3) ดังนี ้
…(3)
+
แทนค่าหา 𝐴 กับ 𝐶 จะได้
1 2
1 2 1 3
1 𝑐
=
…(2)
(1) − (2) : 𝐵 − 𝐶 = 1 −
(3) + (4) : 2𝐵
…(2)
𝑏𝑐 𝑏+𝑐 1 3 1 3
= 1
…(1)
1 2 1 3
𝐵−𝐶 =
𝑎1 1−𝑟
1 𝑛
1
ทานองเดียวกัน
1
− (− 3)
1
𝑎∗𝑏
1
𝑎1 = − 3 , 𝑟 = − 3
= −3 × 4 = −4
1 3
1−(− )
แทนใน (∗) จะได้ 𝑎𝑛
25. 5 จาก 𝑎 ∗ 𝑏 = 1
1 3
= (− 3) + (− 3) + (− 3) + … →
31
(1) :
…(4) 1 2
= =
5 12
+𝐴 = 1 𝐴 =
5 6 5 12
(2) : 𝐶 + 𝐶
7 12
= =
7 12 1 2 1 7 − 12 2
1
= − 12
7 5 1 12 12 จะได้ 𝐴 = 12 , 𝐵 = 12 , 𝐶 = − 12 ดังนัน้ 𝑎 = 7 , 𝑏 = 5 , 𝑐 = −12 → แทนในตัวเลือก 7 5 1. 12 + < −12 → ผิด ฝั่ งซ้ ายเป็ นบวก จะมากกว่าฝั่ งขวาทีเ่ ป็ นลบ 12 7 5 2. 12 < 12 + (−12) → ผิด ฝั่ งซ้ ายเป็ นบวก แต่ฝั่งขวาเป็ นลบ 12 3. 4. 5. ต้ องเรี ยงลาดับ 𝑎, 𝑏, 𝑐 จะเห็นว่า −12 < 12 < ดังนัน้ 𝑐 < 𝑎 < 𝑏 → ตอบ ข้ อ 5 7 5
26. จาก
2 (𝐴𝑡 )−1 𝐵 (𝐴𝑡 )−1 (𝐴−1 )𝑡 𝑎 0𝑡 [ ] −2 1
8 −3 8 = [ −3 8 = [ −3 8 = [ −3 = [
−2 ] 1 −2 ] ∙ 𝐵−1 1 −2 ] ∙ 𝐵−1 1 −2 1 0 ][ ] 1 𝑏 1
ย้ ายข้ าง 𝐵 (𝐴𝑡 )−1 = (𝐴−1 )𝑡
แทนค่าที่โจทย์ให้
(เพราะ 𝐴𝑡 ∙ (𝐴−1 )𝑡 = (𝐴−1 ∙ 𝐴)𝑡 = I 𝑡 = I
32 PAT 1 (มี.ค. 59)
𝑎 −2 [ ] 0 1
= [
8 − 2𝑏 −3 + 𝑏
−2 ] 1
→
เทียบสมาชิกตัวต่อตัว จะได้
𝑎 = 8 − 2𝑏
และ
𝑎 = 8 − 2(3) = 2
0 = −3 + 𝑏 3= 𝑏
2 0 𝐴−1 = [ ] −2 1 1 𝑎 𝑏 −1 𝑑 −𝑏 1 1 1 0 2 0 −1 1 0 [ ] = 𝑎𝑑−𝑏𝑐 [ ] ดังนัน้ 𝐴 = [−2 1] = (2)(1)−(−2)(0) [2 2] = 2 [2 2] 𝑐 𝑑 −𝑐 𝑎 แทน 𝑏 = 3 จะได้ 𝐵−1 = [13 01] −1 1 1 0 1 0 ดังนัน้ 𝐵 = [13 01] = (1)(1)−(3)(0) [ ] = [ ] −3 1 −3 1 1 0 2 0 ดังนัน้ 2𝐴 + 𝐵 = 2 ∙ 12 [12 02] + [−3 ] = [ ] → det จะได้ (2)(3) − (−1)(0) = 6 1 −1 3
แทน
𝑎=2
จะได้
27. 2 ต้ องการทานาย 𝑥 เมื่อรู้ 𝑦 = 8 → ต้ องใช้ รูปสมการ 𝑋̂ = จะได้ ระบบสมการคือ ∑ 𝑥 = 𝑎𝑛 + 𝑏 ∑ 𝑦 …(1)
𝑎 + 𝑏𝑦 …(∗)
(สลับ 𝑥, 𝑦 กับแบบปกติที่เคยใช้ )
∑ 𝑥𝑦 = 𝑎 ∑ 𝑦 + 𝑏 ∑ 𝑦 2 …(2)
มี (𝑥, 𝑦) อยู่ 5 คู่ → 𝑛 = 5
หาค่าทีต่ ้ องใช้ จากตารางที่โจทย์ให้ จะได้
แทนในระบบสมการ จะได้
20 131 5 × (1) : 100 (2) − (3) : 31 0.62
𝑥
1
3
4
5
7
→ ∑ 𝑥 = 20
𝑦
0
3
6
7
9
→ ∑ 𝑦 = 25
𝑥𝑦
0
9
24
35
63
→ ∑ 𝑥𝑦 = 131
𝑦2
0
9
36
49
81
→ ∑ 𝑦 2 = 175
= 5𝑎 + 25𝑏 …(1) = 25𝑎 + 175𝑏 …(2) = 25𝑎 + 125𝑏 …(3) = 50𝑏 = 𝑏 → แทนหา 𝑎 →
แทนค่า 𝑎, 𝑏 ใน (∗) จะได้ สมการทานายคือ 𝑋̂ = 0.9 + 0.62𝑦 ดังนัน้ เมื่อ 𝑦 = 8 จะทานาย 𝑥 ได้ = 0.9 + 0.62(8) = 5.86 28. 1 อินทิเกรต
(1) ÷ 5 4 = 𝑎 + 5𝑏 4 = 𝑎 + 5(0.62) 0.9 = 𝑎
𝑔′ (𝑥) = 4𝑥 3 + 9𝑥 2 + 2 4
3
4𝑥 9𝑥 จะได้ 𝑔(𝑥) = 4 + 3 + 2𝑥 + 𝑐 = 𝑥 4 + 3𝑥 3 + 2𝑥 + 𝑐 …(∗) จาก 𝑔(𝑥) = 𝑥𝑓(𝑥) แทน 𝑔(𝑥) จาก (∗) จะได้ 𝑥 4 + 3𝑥 3 + 2𝑥 + 𝑐 =
𝑥𝑓(𝑥) 04 + 3(03 ) + 2(0) + 𝑐 = (0) 𝑓(0) 𝑐 = 0
แทน
𝑐=0
ใน (∗) จะได้
𝑔(𝑥) = 𝑥 4 + 3𝑥 3 + 2𝑥 = 𝑥𝑓(𝑥) 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 2 = 𝑓(𝑥)
÷ 𝑥 ตลอด …(∗∗)
แทน 𝑥 = 0
PAT 1 (มี.ค. 59)
ก. และ ข. หาค่าสัมพัทธ์ของ 𝑓 ต้ องดูเครื่ องหมายของ 𝑓 ′ (𝑥) จาก 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 2 → ดิฟจะได้ 𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥 2 + 6𝑥 = 3𝑥(𝑥 + 2)
ขึ ้น
ลง
ขึ ้น
+
−
+
−2
สูงสุดสัมพัทธ์ที่ ต่าสุดสัมพัทธ์ที่
𝑥 = −2 𝑥= 0
0
ดังนัน้ ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ = 𝑓(−2) = (−2)3 + 3(−2)2 + 2 = 6 → ก. ถูก ค่าตา่ สุดสัมพัทธ์ = 𝑓(0) = (0)3 + 3(0)2 + 2 = 2 → ข. ถูก ค. อัตราการเปลีย่ นแปลงของ (𝑓 + 𝑔)(𝑥) ขณะที่ 𝑥 = 1 คือ (𝑓 + 𝑔)′ (1) นัน่ เอง (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 2 + 𝑥 4 + 3𝑥 3 + 2𝑥 = 𝑥 4 + 4𝑥 3 + 3𝑥 2 + 2𝑥 + 2
ดิฟ จะได้ ดังนัน้
(𝑓 + 𝑔)′ (𝑥) = 4𝑥 3 + 12𝑥 2 + 6𝑥 + 2 (𝑓 + 𝑔)′ (1) = 4(1)3 + 12(1)2 + 6(1) + 2 = 24 →
29. 5 จากสูตร Inclusive – Exclusive จะได้ 𝑃(ครัง้ ที่ 1 สีขาว หรื อ ครัง้ ที่ 8 ไม่ได้ สแี ดง)
ค. ผิด
= 𝑃(ครัง้ ที่ 1 สีขาว) + 𝑃(ครัง้ ที่ 8 ไม่ได้ สแี ดง) − 𝑃(ครัง้ ที่ 1 สีขาว และ
ครัง้ ที่ 8 ไม่ได้ สแี ดง) จะหยิบได้ ทงหมด ั้ 8! แบบ
จานวนแบบทังหมด ้ : มีลกู แก้ ว 2 + 3 + 3 = 8 ลูก หยิบทีละลูก 8 ครัง้ แบบไม่ใส่คืน → 𝑃(ครัง้ ที่ 1 สีขาว) : มีสขี าว 3 ลูก ดังนัน้ ครัง้ ที่ 1 เลือกได้ 3 แบบ ที่เหลือ 7 ครัง้ เหลือลูกแก้ วในกล่อง 7 ลูก จะหยิบได้ 7! แบบ ดังนัน้ 𝑃(ครัง้ ที่ 1 สีขาว) = 38!∙ 7! = 38 𝑃(ครัง้ ที่ 8 ไม่ได้ สแี ดง) : มีสอี ื่นๆที่ไม่ใช่สแี ดง = 3 + 3 = 6 ลูก ดังนัน้ ครัง้ ที่ 8 เลือกได้ 6 แบบ ที่เหลือ 7 ครัง้ เหลือลูกแก้ วในกล่อง 7 ลูก จะหยิบได้ 7! แบบ ดังนัน้ 𝑃(ครัง้ ที่ 8 ไม่ได้ สแี ดง) = 68!∙ 7! = 34 𝑃(ครัง้ ที่ 1 สีขาว และ ครัง้ ที่ 8 ไม่ได้ สแี ดง) : มีสขี าว 3 ลูก ดังนัน้ ครัง้ ที่ 1 เลือกได้ 3 แบบ เหลือสีขาว 2 ลูก ดังนัน้ เหลือสีอื่นๆที่ไม่ใช่สแี ดง = 2 + 3 = 5 ลูก ดังนัน้ ครัง้ ที่ 8 เลือกได้ 5 แบบ ที่เหลือ 6 ครัง้ เหลือลูกแก้ วในกล่อง 6 ลูก จะหยิบได้ 6! แบบ ดังนัน้ 𝑃(ครัง้ ที่ 1 สีขาว และ ครัง้ ที่ 8 ไม่ได้ สแี ดง) = 3 ∙ 8!5 ∙ 6! = 15 56 21 + 42 − 15 48 6 จะได้ 𝑃(ครัง้ ที่ 1 สีขาว หรื อ ครัง้ ที่ 8 ไม่ได้ สแี ดง) = 38 + 34 − 15 = = = 56 56 56 7
33
34 PAT 1 (มี.ค. 59)
30.
5
ให้
𝑥 = √3
4
𝐴 = =
2 4
√3 2 𝑥
4
2
2
4
4
4
1
จะได้
𝑥 2 = √3 = 34 = 32 = √3
และ
𝑥 4 = √3 = 34 = 3
4
− √3
→
จะเปลีย่ น
1 √3 − √3 1 4 √3 − √ √3
𝐵 =
𝐶 =
1
− 𝑥
𝑥2 − 2 𝑥
=
=
1
𝑥−√ 2 𝑥
=
𝑥
1 𝑥
𝑥−
1 𝑥
=
2 4
√3( √3 +
1 ) √√3
2 4
√3( √3 +
1 √√3
)
𝑥 + 2
1 √𝑥2
3
√27
+4
3
√3
3
𝑥4
2 𝑥2(
+4
)
1
+ 𝑥3 +𝑥
𝑥2( 𝑥 + ) 𝑥 2 + 𝑥3 + 𝑥
𝑥
1
=
𝑥+𝑥
2
1
2
𝐴 − 𝐵 + 𝐶 = (𝑥 − 𝑥) − (𝑥 + 𝑥) + (𝑥 3 + 𝑥 + 𝑥) 2 𝑥 1 𝑥
= = = =
31.
=
1 𝑥
(𝑥 − )(𝑥 + )
=
ดังนัน้
=
1 − 2 𝑥 1 − 𝑥
𝑥2
ให้ อยูใ่ นรูปของ 𝑥
𝐴, 𝐵, 𝐶
−𝑥
1
−𝑥 − 𝑥 +
−𝑥
+
𝑥 2 +1 − 𝑥 2 (𝑥 2 +1)
2 +𝑥 𝑥 3 +𝑥 2 𝑥(𝑥 2 +1)
+
2
+
2
𝑥4 = 3
𝑥(𝑥 2 +1) 𝑥 2 +1 − 𝑥 4 − 𝑥 2 𝑥(𝑥 2 +1)
=
3 − 𝑥4 𝑥(𝑥 2 +1)
=
3−3 𝑥(𝑥 2 +1)
= 0
34
25 + 3(15)|𝑥| = 5|𝑥| + 25(3|𝑥|+1 ) 25 + 3(3 ∙ 5)|𝑥| = 5|𝑥| + 25(3|𝑥| ∙ 31 ) 25 + 3 ∙ 3|𝑥| ∙ 5|𝑥| = 5|𝑥| + 75 ∙ 3|𝑥| ให้ 𝑎 = 3|𝑥| และ 𝑏 = 5|𝑥| 25 + 3 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 + 75 ∙ 𝑎 0 = 𝑏 − 25 − 3𝑎𝑏 + 75𝑎 0 = (𝑏 − 25) − 3𝑎(𝑏 − 25) 0 = (𝑏 − 25)(1 − 3𝑎) 1 𝑏 = 25 หรื อ 𝑎 = 3 5|𝑥| = 52 |𝑥| = 2 𝑥 = 2 , −2
จะเห็นว่า 𝑥 = 2 จะทาให้
3𝑥 + 5𝑥
3|𝑥| = 3−1 |𝑥| = −1
ไม่มีคาตอบ (ค่าสัมบูรณ์เป็ นลบไม่ได้ ) มีคา่ มากกว่า 𝑥 = −2 ดังนัน้ ค่ามากสุดของ
3𝑥 + 5𝑥
คือ
32 + 52 = 34
PAT 1 (มี.ค. 59)
32. 45 เปลีย่ นตัวแปร ให้
จะได้ สมการคือ
√𝑥 − 1 = 𝑎
เพื่อให้ ร้ ูเครื่ องหมายของ
และ
𝑎−2
= = = = =
𝑎−3
𝐴 เอาแต่จานวนเต็ม →
3−𝑖
= = = =
และถอดเครื่ องหมายค่าสัมบูรณ์ได้ ด้ วยสมบัติ
= = = =
หรื อ 𝑎 = 3
→
1 1 1 1
เขียนใหม่ได้ เป็ น
จะได้ ผลบวกของจานวนเต็มตังแต่ ้ 5 ถึง 10 =
|𝑘| = {
𝑘 −𝑘
กรณี (3) : 𝑎 ≥ 3 จะได้ 𝑎 − 2 และ
, 𝑘≥0 , 𝑘<0
𝑎−3 ≥0
|𝑎 − 2| + |𝑎 − 3| 𝑎−2 + 𝑎−3 2𝑎 𝑎
จริ งเสมอ ดังนัน้ กรณี 2 ≤ 𝑎 < 3 เป็ นคาตอบของอสมการได้ ทกุ ตัว
2≤𝑎<3
|𝑧| |𝑥 + 𝑦𝑖| |𝑥 + 𝑦𝑖| √𝑥 2 + 𝑦 2 𝑥2 + 𝑦2 2𝑥 − 2𝑦 𝑥−𝑦
(1−2𝑖)𝑧
3
|𝑎 − 2| + |𝑎 − 3| 𝑎 − 2 + (−(𝑎 − 3)) 𝑎−2 −𝑎 + 3 1
1 1 1 −4 2
33. 5 ให้ 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 จะได้
และจะได้
(3)
กรณี (2) : 2 ≤ 𝑎 < 3 จะได้ 𝑎 − 2 ≥ 0 แต่ 𝑎 − 3 < 0
ใช้ ไม่ได้ เพราะกรณีนี ้ 𝑎 < 2 รวมทัง้ 3 กรณี จะได้ คาตอบคือ
(2) 2
กรณี (1) : 𝑎 < 2 จะได้ 𝑎 − 2 และ 𝑎 − 3 เป็ นลบ |𝑎 − 2| + |𝑎 − 3| −(𝑎 − 2) + (−(𝑎 − 3)) −𝑎 + 2 −𝑎 + 3 −2𝑎 𝑎
|𝑎 − 2| + |𝑎 − 3| = 1
(1)
จะแบ่งกรณีตามค่า 𝑎 เป็ น 3 กรณี ดังรูป
35
= = = =
1 1 6 3
ใช้ ได้ (𝑎 ≥ 3 คือเป็ น 3 ได้ ) 2 2 4 5
≤ 𝑎 ≤ √𝑥 − 1 ≤ 𝑥−1 ≤ 𝑥
≤ 3 ≤ 3 ≤ 9 ≤ 10
5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 45
= | 𝑧 −1+𝑖 | = |𝑥 + 𝑦𝑖 − 1 + 𝑖| = |𝑥 − 1 + (𝑦 + 1)𝑖| = √(𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 1)2 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 + 𝑦 2 + 2𝑦 + 1 = 2 = 1 …(1)
(1−2𝑖)(𝑥+𝑦𝑖) 3+𝑖 ∙ 3+𝑖 3−𝑖 (3+𝑖−6𝑖+2)(𝑥+𝑦𝑖)
= =
9−(−1) (5−5𝑖)(𝑥+𝑦𝑖)
𝑥+𝑦𝑖−𝑥𝑖+𝑦 2 (𝑦−𝑥) 𝑥+𝑦 2
+
2
𝑖
ส่วนจริง ส่วนจินตภาพ
10 (1−𝑖)(𝑥+𝑦𝑖)
→
2
โจทย์ให้ สว่ นจริง = 0 ดังนัน้
𝑥+𝑦 2
= 0
𝑥 + 𝑦 = 0 …(2) (1) + (2) : 2𝑥 = 1 1 𝑥 = 2 →
แทนใน (2) จะได้
1 2
+𝑦 = 0 1
𝑦 = −2
จะได้
1
1
|2𝑧 + 1|2 = |2 ( − 𝑖) + 1| 2 2 = | 1 − 𝑖 = | 2 − 𝑖
2
+ 1|2 |2 = 22 + 12 = 5
→
ดังนัน้
𝑧 =
1 2
1
− 2𝑖
36 PAT 1 (มี.ค. 59)
34. 3 ถอดเครื่ องหมายค่าสัมบูรณ์ |𝑥 + 2| ก่อน โจทย์จะอินทิเกรตในช่วง 𝑥 = −4 ถึง 𝑥 = −2 ซึง่ ในช่วงนี ้จะเห็นว่า 𝑥 + 2 ≤ 0 ดังนัน้ |𝑥 + 2| จะเปลีย่ น 𝑥 + 2 ให้ เป็ นบวกโดยการคูณลบเข้ าไป จะได้ |𝑥 + 2| = −(𝑥 + 2) หมายเหตุ : สมบัติคา่ สัมบูรณ์
𝑘 |𝑘| = { −𝑘
, 𝑘≥0 , 𝑘<0
จะย้ ายกรณี 𝑘 = 0 ไปไว้ สตู รล่าง เป็ น ดังนัน้
𝑥 3 +𝑥 2 +𝑥 𝑥|𝑥+2|−𝑥 2 −2
, 𝑘>0 , 𝑘≤0
ก็ได้ เพราะเมื่อ 𝑘 = 0 จะได้
𝑥 3 +𝑥 2 +𝑥 −𝑥 2 −2
−𝑥 2 −2𝑥
𝑥 3 +𝑥 2 +𝑥 −2𝑥 2 −2𝑥−2
=
𝑥(𝑥 2 +𝑥+1)
=
𝑥
= −2
−2(𝑥 2 +𝑥+1)
2
𝑥 3 +𝑥 2 +𝑥 2 −2 𝑑𝑥 𝑥|𝑥+2|−𝑥 4
ดังนัน้
2
𝑥
= − 𝑑𝑥 = − 2 4
𝑥 2 −2 | 4 −4
= (−
(−2)2 )− 4
(−
(−4)2 ) 4
= −1 + 4 = 3
𝑎𝑛 1 𝑎 3 𝑛
แสดงว่า ลาดับ {𝑎𝑛 } จะมีพจน์ถดั ไป (𝑎𝑛+1) จะเท่ากับ พจน์ก่อนหน้ า (𝑎𝑛 ) คูณ 13 ดังนัน้ 𝑎𝑛 เป็ นลาดับเรขาคณิตที่มี อัตราส่วนร่วม 𝑟 = 13 โจทย์ให้ 𝑎5 = 2 → จะแทน 𝑛 = 5 ในสูตรลาดับเรขาคณิต 𝑎𝑛 = 𝑎1 𝑟 𝑛−1 จะได้ 𝑎5 = 𝑎1 𝑟 5−1 𝑎𝑛+1 =
1 4
2 = 𝑎1 ( ) 3 162 = 𝑎1
จะได้ สตู รพจน์ทวั่ ไปของลาดับ และจาก จะได้ ดังนัน้
1 𝑛−1
{𝑎𝑛 } คือ 𝑎𝑛 = 𝑎1 𝑟 𝑛−1 = 162(3) 1 𝑛−1
2𝑛 𝑏𝑛 = 𝑎𝑛 = 162(3) 𝑏𝑛
162 2𝑛 3𝑛−1 162 … = 21 30
=
𝑏1 + 𝑏2 + 𝑏3 +
เนื่องจาก |𝑟| = |16| < 1
𝑘 = −𝑘
𝑥 3 +𝑥 2 +𝑥 𝑥(−(𝑥+2))−𝑥 2 −2
= =
35. 97.2 จาก 3𝑎𝑛+1 =
𝑘 |𝑘| = { −𝑘
→
162
162
+ 22 31 + 23 32 + …
จะได้ ผลบวกอนุกรมอนันต์
จะเป็ นอนุกรมอนันต์ ที่มี และมี 𝑎
𝑆∞ = 1 −1 𝑟 =
81 1−
𝑎1 = 𝑟 =
162 21 30 1 21 31
6
1 6
( 𝑏 + 1)(2 − 𝑏) 2𝑏 − 𝑏 2 + 2 − 𝑏 0 0 → ได้ คาตอบคือ
=
= 81 × 5 = 97.2
36. 641 จาก 𝑎(𝑎 + 𝑏 + 3) = 0 จะได้ 𝑎 = 0 หรื อ 𝑎 + 𝑏 + 3 = 0 กรณี 𝑎 = 0 : แทน 𝑎 = 0 ใน 2(𝑏 − 𝑎) = (𝑎 + 𝑏 + 1)(2 − 𝑏) 2(𝑏 ) = 2𝑏 = 2 𝑏 +𝑏−2 = (𝑏 + 2)(𝑏 − 1) = 𝑏 = −2 , 1
= 81
𝑎 0 0
𝑏 −2 1
1 6
PAT 1 (มี.ค. 59)
กรณี
ย้ ายข้ าง จะได้ 𝑎 = −𝑏 − 3 แทนในอีกสมการ จะได้ 2(𝑏 − 𝑎) = (𝑎 + 𝑏 + 1)(2 − 𝑏) 2(𝑏 − (−𝑏 − 3)) = ((−𝑏 − 3) + 𝑏 + 1)(2 − 𝑏) 2(𝑏 + 𝑏 + 3) = (−𝑏 − 3 + 𝑏 + 1)(2 − 𝑏) )(2 − 𝑏) 2( 2𝑏 + 3) = ( −2 2𝑏 + 3 = −2 + 𝑏 𝑏 = −5 𝑏 = −5 เพื่อหา 𝑎 → จะได้ 𝑎 = −𝑏 − 3 → ได้ คาตอบคือ = −(−5) − 3 = 2
𝑎+𝑏+3=0:
แทน
𝑎 0 0 2
𝑏 −2 1 −5
𝑎 2
𝑏 −5
รวมทัง้ 2 กรณี จะได้ ทงหมด ั้ 3 คาตอบ ซึง่ จะพอกะๆได้ วา่ (𝑎, 𝑏) = (2, −5) จะทาให้ 𝑎4 + 𝑏4 มีคา่ มากกว่าคาตอบอื่นๆ (เลขติดลบ ยกกาลัง 4 จะกลายเป็ นบวก) ดังนัน้ ค่ามากที่สดุ ของ 𝑎4 + 𝑏4 = 24 + (−5)4 = 16 + 625 = 641
37. 61 นางสาว ก. = 𝑃22.66 ของทังห้ ้ อง แสดงว่า พื ้นที่ทางซ้ ายของ ก. คือ 0.2266 ดังรูป แต่พื ้นที่ที่ใช้ เปิ ดตาราง ต้ องเป็ นพื ้นที่ที่วดั จากแกนกลาง (ตรงบริ เวณที่แรเงา) พื ้นที่ครึ่งซ้ าย = 0.5 → จะได้ พื ้นที่ที่แรเงา = 0.5 − 0.2266 =
0.2266
0.2734
ก เปิ ดตาราง พื ้นที่ = 0.2734 จะได้ 𝑧 = 0.75 = 0.5 − 0.2266 = 0.2734 แต่ นางสาว ก อยูฝ่ ั่งซ้ าย จะมี 𝑧 ติดลบ → จะได้ 𝑧ก = −0.75 โจทย์ถามคะแนนของ นางสาว ก. → ต้ องหา 𝑥̅ กับ 𝑠 ของทังห้ ้ อง (นางสาว ก. = 𝑃22.66 ของทังห้ ้ อง) แล้ วใช้ สตู ร 𝑧ก = 𝑥ก𝑠−𝑥̅ เพื่อย้ อนหา 𝑥ก จาก 𝑧ก = −0.75 …(∗) 𝑁 𝑥̅ +𝑁 𝑥̅ ทังห้ ้ อง 30 คน เป็ นชาย 18 คน จะเป็ นหญิง = 30 − 18 = 12 คน → แทนในสูตร 𝑥̅รวม = ช 𝑁ช +𝑁ญ ญ ช
64 =
จะเห็นว่า
18(64)+12𝑥̅ ญ 18+12
30(64) = 18(64) + 12𝑥̅ญ 12(64) = 12𝑥̅ญ 64 = 𝑥̅ญ 𝑥̅รวม = 𝑥̅ช = 𝑥̅ญ = 64
ดังนัน้ จะหา
2 𝑠รวม ได้ จากสูตร 𝑠รวม =
=
2 𝑁ช 𝑠ช2 + 𝑁ญ 𝑠ญ 𝑁ช +𝑁ญ
(18)(10)+(12)(52 )
=
แทน
ญ
𝑥̅รวม = 64 , 𝑠รวม = 4
ใน (∗) จะได้
โจทย์ให้ ความแปรปรวนชาย 𝑠ช2 = 10 และ ให้ 𝑠ญ = 5
18+12 480 30
= 16
−0.75 = −3 61
𝑥ก −64 4
= 𝑥ก − 64 = 𝑥ก
→
จะได้
𝑠รวม = √16 = 4
37
38 PAT 1 (มี.ค. 59)
38. 0.75 ย้ ายข้ างฟังก์ชนั
จะได้ ดงั นี ้
arc
sin 𝜃
𝐴 = arcsin (
√1+sin2 𝜃 sin 𝜃
sin 𝐴 =
tan 𝐵 =
1 − sin 𝜃
√1+sin2 𝜃
ทาให้
ใช้ สามเหลีย่ ม
→
sin 𝜃 เป็ นบวก → ข้ าม
sin = ฉาก
√1 + sin2 𝜃
sin 𝜃 √1+sin2 𝜃
…(2)
เป็ นบวก
ได้ โดยไม่ต้องสนใจเครื่ องหมายบวกลบ sin 𝜃
𝐴 2
𝐴 + 𝐵 = 2𝐶 →
ใส่ tan ตลอด จะได้
tan 𝐴 = ชิด =
tan(𝐴 + 𝐵)
=
tan 2𝐶
tan 𝐴+tan 𝐵 1−tan 𝐴 tan 𝐵
=
2 tan 𝐶 1−tan2 𝐶
sin 𝜃 1
= sin 𝜃
…(3)
จาก (1), (2), (3)
sin 𝜃 + (1−sin 𝜃) 1−sin 𝜃(1−sin 𝜃)
=
2√sin 𝜃−sin2 𝜃 1−(sin 𝜃−sin2 𝜃)
1 1−sin 𝜃+sin2 𝜃
=
2√sin 𝜃−sin2 𝜃 1−sin 𝜃+sin2 𝜃
= = = = =
2√sin 𝜃 − sin2 𝜃 4(sin 𝜃 − sin2 𝜃) 0 0 1 → จะได้ 𝜃 = 30°
1 1 4 sin2 𝜃 − 4 sin 𝜃 + 1 (2 sin 𝜃 − 1)2 sin 𝜃
ดังนัน้
ข้ าม
จะได้
2
= (1 + sin 𝜃) − sin 𝜃 = 1
จาก
√sin 𝜃 − sin2 𝜃
tan 𝐶 =
…(1)
ทาเป็ น tan ให้ เหมือน 𝐵 กับ 𝐶 0 < 𝜃 < 90°
𝐶 = arctan √sin 𝜃 − sin2 𝜃
𝐵 = arctan(1 − sin 𝜃)
)
2
3 sin4 𝜃 + cos4 𝜃 = 3 sin4 30° + cos4 30° 1 4
= 3 (2)
39. 3 จาก 2 [𝑎 1 2 [𝑎 1
𝐴 −2 𝑏 2 −2 𝑏 2
1 2 2] [−2 2 1 1 2 2] [−2 2 1
𝐴𝑡 𝑎 𝑏 2 𝑎 𝑏 2
√3
4
+ (2)
=
3 16
9
+ 16 =
12 16
=
3 4
= 0.75
= 1 2] 2 1 2] 2
9𝐼 1 0 0 = 9[0 1 0] 0 0 1 9 0 0 = [0 9 0] 0 0 9
เลือกคูณแค่บางแถว / บางหลัก ให้ หา 𝑎, 𝑏 ได้ ก็พอ จะเอาแถว 2 ที่มี 𝑎 กับ 𝑏 มาคูณ หลัก 1 กับ หลัก 3 ของ 𝐴𝑡 ที่ร้ ูทกุ ตัว ? [2𝑎 − 2𝑏 + 2 ?
? ? ?
? 9 𝑎 + 2𝑏 + 4] = [0 ? 0
0 0 9 0] 0 9
2𝑎 − 2𝑏 + 2 = 0 …(1) 𝑎 + 2𝑏 + 4 = 0 …(2)
PAT 1 (มี.ค. 59)
39
(1) + (2) : 3𝑎 + 6 = 0 𝑎 = −2
แทนค่า 𝑎 ใน (2) : ดังนัน้
−2 + 2𝑏 + 4 = 0 𝑏 = −1
𝑎2 − 𝑏 2 = (−2)2 − (−1)2 = 3
40. 48 อัตราการ ปป เฉลีย่ จาก −1 ถึง 1 𝑓(1) − 𝑓(−1) 1 − (−1) 2
แทนค่า 𝑎 จะได้
1
และจาก
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑥4 4
= −2
14 4 1 4
3(1)2 + 2 3 −2 +
( −
+ 𝑎 − 𝑏 = −4 = −6 = −3
𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 + 𝑏
= 2
1
= −2
(13 +𝑎(1)+𝑏) − ((−1)3 +𝑎(−1)+𝑏)
1+𝑎+𝑏 +1 2𝑎 𝑎
= −2
−
3𝑥 2 2
+ 𝑏𝑥 |
1
= 2
−1 (−1)4 4 1 −4
𝑏(1) ) − ( 𝑏 2𝑏 𝑏
แทนค่า 𝑏 จะได้
3(−1)2 2 3 +2
−
+𝑏
= 2 = 2 = 1
𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 + 1
𝑓(3+ℎ)−𝑓(3−ℎ) 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) lim โจทย์ถาม lim ซึ ง ่ จะคล้ า ยๆกั บ นิ ย ามของอนุ พ น ั ธ์ ℎ ℎ h0 h0
จาก
+ 𝑏(−1) ) = 2
= 𝑓 ′ (𝑥)
𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 + 1 𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥 2 − 3
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ดังน้ น lim ℎ h0 𝑓(3+ℎ)−𝑓(3) ℎ h0 𝑓(3+ℎ)−𝑓(3) lim ℎ h0
lim
= 3𝑥 2 − 3
จาก (1) แทน ℎ ด้ วย −ℎ จะได้
แทน 𝑥 = 3
= 3(32 ) − 3 =
24
lim
𝑓(3+(−ℎ))−𝑓(3)
h0
…(1)
−ℎ → 0
−ℎ
มี ความหมายเหมือนกันกับ ℎ → 0 lim
𝑓(3+(−ℎ))−𝑓(3)
−ℎ −𝑓(3−ℎ)+𝑓(3) lim ℎ h0 h0
𝑓(3+ℎ)−𝑓(3) −𝑓(3−ℎ)+𝑓(3) + ℎ ℎ 𝑓(3+ℎ) − 𝑓(3−ℎ) lim ℎ h0
(1) + (2) : lim
h0
= 24
= 24 = 24
= 48 = 48
𝑓(3+ℎ)−𝑓(3−ℎ) หมายเหตุ : ข้ อนี ้ ช่วงครึ่งหลัง จะใช้ โลปิ ตาลก็ได้ (เพราะ lim อยูใ่ นรูป 00 ) ℎ h0
ใช้
ดิฟบน ดิฟล่าง
𝑓(3+ℎ)−𝑓(3−ℎ) จะได้ lim ℎ h0
= lim
(𝑓′ (3+ℎ))(1) − (𝑓′ (3−ℎ))(−1) 1
h0
= =
′ (3)
𝑓 + 𝑓 ′ (3) 3(3)2 − 3 + 3(3)2 − 3
= 48
…(2)
40 PAT 1 (มี.ค. 59)
41. 20 จะวาดกราฟ 𝑟1 กับ 𝑟2 แล้ วดูสว่ นซ้ อนทับเพื่อหา 𝑟1 ∩ 𝑟2 วาดกราฟอสมการ ต้ องวาดกราฟสมการ (เปลีย่ นเครื่ องหมายเป็ น เท่ากับ) ก่อน แล้ วค่อยสุม่ จุด - แรเงาพื ้นที่ 𝑥 2 − 𝑦 2 − 2𝑥 + 4𝑦 (𝑥 2 − 2𝑥) − (𝑦 2 − 4𝑦) (𝑥 2 − 2𝑥 + 1) − (𝑦 2 − 4𝑦 + 4) (𝑥 − 1)2 − (𝑦 − 2)2
= = = =
3 3 3+1−4 0
𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 (𝑥 2 − 2𝑥) + 𝑦 2 (𝑥 2 − 2𝑥 + 1) + 𝑦 2 (𝑥 − 1)2 + 𝑦 2
เป็ นสมการเส้ นกากับ ของไฮเพอร์ โบลา 2
= = = =
33 33 33 + 1 34
เป็ นสมการวงกลม ซึง่ จะวาดได้ ดงั รูป
2
(𝑥 − 1) − (𝑦 − 2) = 1
ซึง่ จะวาดได้ ดงั รูป
(F) (E)
(A) (D)
(1, 2)
(1, 0)
(B)
(C)
สุม่ จุด - แรเงาพื ้นที่ บริเวณ
สุม่ จุด
(A)
(1, 3)
(B)
(2, 2)
(C) (D)
(0, 0) (0, 2)
→
กราฟแบ่งระนาบออกเป็ น 4 ส่วน
𝑥 2 − 𝑦 2 − 2𝑥 + 4𝑦 1 − 9 − 2 + 12 2 4 − 4 − 4 + 8 4 0 − 0 − 0 + 0 0 0 − 4 − 0 + 8 4
≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
3 3 3 3 3 3 3 3 3
→
กราฟแบ่งระนาบออกเป็ น 2 ส่วน
บริเวณ
สุม่ จุด
(E)
(0, 0)
(F)
(0, 10)
×
≤ ≤ ≤ ≤ ≤
33 33 33 33 33 ×
บริ เวณ (E) เท่านัน้ ที่ทาให้ อสมการเป็ นจริ ง ดังนัน้ จะได้ กราฟ 𝑟2 เป็ นส่วนที่แรเงาดังรูป (𝑟2 มี 𝑦 ≥ 0 ด้ วย → เหลือเฉพาะส่วนที่อยูเ่ หนือ แกน Y)
×
บริ เวณ (A) กับ (C) เท่านัน้ ที่ทาให้ อสมการเป็ นจริ ง ดังนัน้ จะได้ กราฟ 𝑟1 เป็ นส่วนที่แรเงาดังรูป (𝑟1 มี 𝑦 ≥ 0 ด้ วย → เหลือเฉพาะส่วนที่อยูเ่ หนือแกน Y)
(1, 0)
(1, 2)
ดังนัน้ จะได้ 𝑟1 ∩ 𝑟2 ดังรูป หาโดเมน ต้ องหาพิกดั 𝑥 ของ K, L, M, N (ถ้ าวาดรูปได้ สดั ส่วน จะเห็นว่าหาแค่ K กับ L ก็พอ)
𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 0 + 0 − 0 0 0 + 100 − 0 100
K M
L N
PAT 1 (มี.ค. 59)
หา M, N → หาจุดตัดแกน X ของสมการกราฟ 𝑟1 : (แทน 𝑦 = 0)
𝑥 2 − 𝑦 2 − 2𝑥 + 4𝑦 𝑥 2 − 0 − 2𝑥 + 0 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 (𝑥 + 1)(𝑥 − 3) 𝑥 = −1 , 3
หา K, L → หาจุดตัดของสมการกราฟ 𝑟1 กับ 𝑟2 :
𝑥 2 − 𝑦 2 − 2𝑥 + 4𝑦 = 3 …(1) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 = 33 …(2) 2𝑦 2 − 4𝑦 𝑦2 − 2𝑦 2 𝑦 − 2𝑦 − 15 (𝑦 + 3)(𝑦 − 5) 𝑦 = −3 , 5
(2) − (1) :
แทน 𝑦 = 5 ใน (2) :
M −2 −1
2
𝑥 + 5 − 2𝑥 𝑥 2 − 2𝑥 − 8 (𝑥 + 2)(𝑥 − 4) 𝑥 = −2, 4
= = = =
3 3 0 0
30 15 0 0
(𝑟2 ต้ องมี 𝑦 ≥ 0)
= 33 = 0 = 0
จากพิกดั 𝑥 ของ K, L, M, N จะวาดได้ ดงั รูป ซึง่ จะเห็นว่าส่วนที่แรเงา คลุมค่าทางแกน X ตังแต่ ้ −2 ถึง 4 ดังนัน้ โดเมน ของ 𝑟1 ∩ 𝑟2 = [−2, 4] จะได้ 𝑎2 + 𝑏2 = (−2)2 + 42 = 20
L
K
2
= = = =
N 3 4
42. 9 ก่อนอื่น พิจารณาเครื่ องหมายบวกลบของ
𝑥 2 − 𝑥 − 2 เพื่อถอดค่าสัมบูรณ์กอ่ น (𝑥 − 2)(𝑥 + 1)
𝑥 → 2−
คือ 𝑥 น้ อยกว่า 2 นิดๆ ซึง่ จะทาให้
𝑥 − 2 เป็ นลบ และ ทาให้ 𝑥 + 1 เป็ นบวก
ดังนัน้ 𝑥 2 − 𝑥 − 2 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 1) = (ลบ)(บวก) = ลบ จากสมบัติ |𝐴| = −𝐴 เมื่อ 𝐴 < 0 จะได้ |𝑥 2 − 𝑥 − 2| = −(𝑥 2 − 𝑥 − 2) ดังนัน้ lim
|𝑥 2 −𝑥−2| 3
2 x 2 2− √𝑥 +4
= lim x 2
= lim x 2
−(𝑥 2 −𝑥−2) 3
2− √𝑥 2 +4
→
ถ้ าแทน 𝑥 = 2 จะได้ 00 ดังนัน้ ต้ องจัดรูปให้ 𝑥 − 2 ตัดกันก่อน 3
3
2
3
3
2
−(𝑥+1)(𝑥−2) 22 +2 √𝑥 2 +4+ √𝑥 2 +4 3
2− √𝑥 2 +4
∙
22 +2 √𝑥 2 +4+ √𝑥 2 +4 3
= lim
2
3
−(𝑥+1)(𝑥−2)(22 +2 √𝑥 2 +4+ √𝑥 2 +4 ) 8−(𝑥 2 +4)
x 2
=
เศษ → แยกตัวประกอบ ส่วน → คูณให้ เข้ าสูตร (น − ล)(น2 + นล + ล2 ) = น3 − ล3
3
3
2
3
3
2
3
3
2
3
3
2
(𝑥+1)(𝑥−2)(22 +2 √𝑥 2 +4+ √𝑥 2 +4 ) lim 𝑥 2 −4 x 2 (𝑥+1)(𝑥−2)(22 +2 √𝑥 2 +4+ √𝑥 2 +4 ) (𝑥−2)(𝑥+2) x 2
= lim = lim
(𝑥+1)
(22 +2 √𝑥 2 +4+ √𝑥 2 +4 ) (𝑥+2)
(2+1)
(22 +2 √22 +4+ √22 +4 ) (2+2)
x 2
=
=
(3)(4+4+4) 4
= 9
41
42 PAT 1 (มี.ค. 59)
43. 396 จะเห็นว่า ถ้ าเอาทุกตัวใน 𝐴 มาบวกกัน ตัวบวก กับตัวลบ จะหักกันหมดพอดี 0 ดังนัน้ 𝑥̅ ของข้ อมูลใน 𝐴 = ∑𝑁𝑥𝑖 = 2𝑛 = 0 โจทย์ให้ ความแปรปรวน = 46
→
∑ 𝑥𝑖 2
จากสูตรความแปรปรวน
12 +22 +32 + … +𝑛2 + (−1)2 +(−2)2 +(−3)2 + … +(−𝑛)2 2𝑛
𝑁
(ลบ)2 กลายเป็ นบวก จับคูก่ บ ั กลุม่ หน้ า
= 46
2𝑛 2
12 + 22 + 3 + … + 𝑛 2
= 46𝑛
𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1) 6
= 46𝑛
(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) 2𝑛2 + 3𝑛 − 275 (2𝑛 + 25)(𝑛 − 11)
= 276 = 0 = 0
𝑛 = −
ดังนัน้ ค่าเฉลีย่ เลขคณิตของ
25 , 2
13 , 23 , 33 , … , 𝑛 3 =
จะได้
จาก
|𝑏̅| = |𝑎̅|2
จาก
𝑎̅ + 𝑏̅ = 𝑡𝑐̅
จะได้
13 +23 +33 + … +𝑛3 𝑛 2
𝑛 2
( (𝑛+1))
=
𝑛
2
11 2
( (11+1)) 11
=
112 ∙122 1 ∙ 4 11
|𝑎̅| = √12 + 12 + 12 = √3 2
|𝑏̅| = √3 = 3 2
จะได้
|𝑎̅ + 𝑏̅| 2 |𝑎̅|2 + |𝑏̅| + 2𝑎̅ ∙ 𝑏̅ 2 √3 + 32 + 2𝑎̅ ∙ 𝑏̅ 12 + 2𝑎̅ ∙ 𝑏̅ 6 + 𝑎̅ ∙ 𝑏̅ 𝑎̅ ∙ 𝑏̅
พยายามสร้ างอีกสมการให้ มี
ตัด 𝑛 ได้ เพราะ 𝑛 เป็ นจานวนเต็มบวก ≠ 0
(𝑛 เป็ นจานวนเต็มบวก)
11
=
= 𝑖̅ + 𝑗̅ + 𝑘̅
จะได้ สมการคือ
− 02 = 46
2(12 +22 +32 + … +𝑛2 )
44. 3 จาก 𝑎̅
− 𝑥̅ 2
𝑎̅ ∙ 𝑏̅ →
𝑢̅ ∙ 𝑢̅ = |𝑢̅|2
จาก
→
ดังนัน้
|𝑎̅| = √3 , |𝑏̅| = 3 , |𝑐̅| = √2
= |𝑡𝑐̅|2 = 𝑡 2 |𝑐̅|2 = = = =
2
𝑡 2 √2 2𝑡 2 𝑡2 𝑡2 − 6
…(1)
𝑎̅ ∙ 𝑏̅ + 𝑏̅ ∙ 𝑐̅ + 𝑐̅ ∙ 𝑎̅ 𝑎̅ ∙ 𝑏̅ + 𝑎̅ ∙ 𝑐̅ + 𝑏̅ ∙ 𝑐̅ 𝑎̅ ∙ 𝑏̅ + (𝑎̅ + 𝑏̅) ∙ 𝑐̅ 𝑎̅ ∙ 𝑏̅ + ( 𝑡𝑐̅ ) ∙ 𝑐̅ 𝑎̅ ∙ 𝑏̅ + 𝑡(𝑐̅ ∙ 𝑐̅) 𝑎̅ ∙ 𝑏̅ + 𝑡 |𝑐̅|2 2 𝑎̅ ∙ 𝑏̅ + 𝑡 √2 𝑎̅ ∙ 𝑏̅
= = = = = =
9 9 9 9 9 9
สลับที่การ dot , สลับที่การบวก โจทย์ให้ 𝑎̅ + 𝑏̅ = 𝑡𝑐̅
= 9 = 9 − 2𝑡
…(2)
(1) = (2) : 𝑡2 − 6 = 9 − 2𝑡 2 𝑡 + 2𝑡 − 15 = 0 (𝑡 + 5)(𝑡 − 3) = 0 (โจทย์ให้ 𝑡 เป็ นบวก) 𝑡 = −5 , 3
= 396
PAT 1 (มี.ค. 59)
45. 70 จะเห็นว่า ถ้ าฐาน 3 + 𝑎 เป็ นเลขคี่แล้ ว เอาไปยกกาลังอะไรก็ตาม ผลลัพธ์จะเป็ นเลขคี่เสมอ และจะไม่มีทางทาให้ 𝑐 (3 + 𝑎)(𝑏 ) หารด้ วย 4 ลงตัวได้ ดังนัน้ 3 + 𝑎 ต้ องเป็ นเลขคู่ → 𝑎 = 1, 3, 5 เท่านัน้ กรณี 𝑎 = 1 หรื อ 5 : จะได้ 3 + 𝑎 = 4 หรื อ 8 → จะเห็นว่า ฐาน หารด้ วย 4 ลงตัว เมื่อเอาจานวนที่หารด้ วย 4 ลงตัว ไปยกกาลังอะไรก็ตาม ผลลัพธ์ก็จะยังหารด้ วย 4 ลงตัวเสมอ 𝑐 ดังนัน้ (3 + 𝑎)(𝑏 ) จะหารด้ วย 4 ลงเสมอ ไม่วา่ 𝑏 กับ 𝑐 เป็ นอะไรก็ตาม ดังนัน้ กรณีนี ้ 𝑎 เป็ นได้ 2 แบบ (1 หรื อ 5) , 𝑏 กับ 𝑐 เป็ นอะไรก็ได้ (1, 2, 3, 4, 5) ได้ 5 แบบ จะได้ จานวนแบบ = 2 × 5 × 5 = 50 แบบ กรณี 𝑎 = 3 : จะได้ 3 + 𝑎 = 6 = 2 × 3 → จะเห็นว่า ฐาน มี 2 เป็ นตัวประกอบแค่ตวั เดียว 𝑐 แต่ (3 + 𝑎)(𝑏 ) จะหารด้ วย 4 ลงตัวได้ ต้ องมี 2 เป็ นตัวประกอบ 2 ตัวขึ ้นไป (เพราะ 4 = 2 × 2) ดังนัน้ กรณีนี ้ เลขชี ้กาลัง 𝑏𝑐 ต้ องมากกว่า 1 เพื่อให้ มี 2 เป็ นตัวประกอบมากขึ ้นอีกนิด (เช่น 62 , 63 , 64 , … ทุกตัวจะมี 2 เป็ นตัวประกอบมากพอทีจ่ ะหารด้ วย 4 ลงตัวแล้ ว) เนื่องจาก 𝑏𝑐 จะมากกว่า 1 เมื่อ 𝑏 > 1 ในขณะที่ 𝑐 เป็ นอะไรก็ได้ ดังนัน้ กรณีนี ้ 𝑎 เป็ นได้ 1 แบบ (3) , 𝑏 > 1 เป็ นได้ 4 แบบ (2, 3, 4, 5) , 𝑐 เป็ นอะไรก็ได้ ได้ 5 แบบ จะได้ จานวนแบบ = 1 × 4 × 5 = 20 แบบ รวมทังสองกรณี ้ จะได้ จานวนแบบทังหมด ้ = 50 + 20 = 70 แบบ เครดิต ขอบคุณ คุณ สารศิลป์ ทับทิมทอง คุณ Gtr Ping จาก GTRmath และ คุณ สนธยา เสนามนตรี สาหรับข้ อสอบ ขอบคุณ เฉลยคาตอบ จากคุณ คณิต มงคลพิทกั ษ์ สขุ ผู้เขียน Math E-Book ขอบคุณ เฉลยวิธีทา จาก คุณ Gtr Ping จาก GTRmath และ คุณ วัชระ บัวใหญ่ และ คุณ มิกกี ้ นารี รัตน์ ขอบคุณ คุณ สารศิลป์ ทับทิมทอง คุณ สนธยา เสนามนตรี คุณ Terasut Numwong คุณ Watee Meemouse เจ้ าของเพจ จงติวบ่อยบ่อย คุณ Tae Potae คุณครูเบิร์ด จาก กวดวิชาคณิตศาสตร์ ครูเบิร์ด ย่านบางแค 081-8285490 ที่ช่วยตรวจสอบความถูกต้ องของเอกสาร ครับ
43
