¾ MÉTODO DOS ESFORÇOS - ims.eng.br

ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I

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¾ MÉTODO DOS ESFORÇOS Na resolução de estruturas hiperestáticas (aquelas que não podem ser resolvidas com as 3 equações fundamentais da estática , a saber : somatória forças verticais igual a zero , somatória forças horizontais igual a zero , somatória momento fletor referente a um ponto igual a zero) , nós podemos lançar mão do método dos esforços. Este processo de cálculo consiste na utilização de uma estrutura equivalente a que desejamos calcular, na qual substituímos um vínculo entre barras ou entre barra e apoio por um carregamento externo. Vejamos alguns exemplos de modificação abaixo : X

≡

≡

≡

X

X

X

X

X

≡ X

X

≡

≡ X

A estrutura equivalente deve ser isostática, caso a estrutura continue hiperestática após a primeira modificação, executamos outra modificação e assim por diante até encontrar uma estrutura equivalente isostática. A estrutura equivalente deve ser desdobrada em: ISOSTÁTICA BÁSICA – corresponde a estrutura equivalente com os carregamentos externos da viga original . CASO (1) – corresponde a estrutura equivalente com o carregamento originado pela primeira modificação. CASO (2) – corresponde a estrutura equivalente com o carregamento originado pela segunda modificação. CASO (n) – corresponde a estrutura equivalente com o carregamento originado pela enésima modificação. Vale um comentário quanto a numeração da estrutura: deve-se procurar numerar os nós da estrutura de forma que o ponto 1 coincida com a modificação 1 , o ponto 2 com a modificação 2 e assim por diante, e, caso seja possível, desaconselha-se duas modificações no mesmo nó.


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Para conseguirmos determinar as incógnitas que superam o número de equações fundamentais da Estática vamos usar equações de compatibilidade de deformação (seja esta deformação a flecha, o giro, ou o giro relativo). Ou seja , valendo a sobreposição de efeitos : -

na modificação do apoio móvel do nó “1” por uma força “X”, temos que a soma da flecha devida ao carregamento externo original com a flecha devida a força “X” será igual a zero (condição de apoio na estrutura original). δ1R = δ10 + δ11 → 0 = δ10 + δ11

-

na modificação do engastamento do nó “1” por um momento fletor “X” e um apoio fixo, temos que a soma do giro devido ao carregamento externo original com o giro devido ao momento “X” será igual a zero (condição de engastamento na estrutura original). ϕ1R = ϕ10 + ϕ11 → 0 = ϕ10 + ϕ11

-

na modificação da ligação rígida entre barras no nó “1” por uma articulação com momentos fletores relativos “X”, diremos que a soma do giro relativo devido ao carregamento externo original com o giro relativo devido aos momentos fletores relativos “X” será igual a zero (condição de ligação rígida - continuidade - na estrutura original). ϕR1R = ϕR10 + ϕR11 → 0 = ϕR10 + ϕR11 Os cálculos relativos a flecha, giro e giro relativo serão desenvolvidos com o Teorema de

Castigliano e auxílio da Tabela de Kurt Beyer. Para tanto devemos construir os diagramas de momento fletor da Isostática Básica e dos “n” Casos. Uma vez que o Teorema de Castigliano utiliza de um diagrama de momento gerado por um carregamento unitário, convém em cada Caso (“n”) colocarmos em evidência Xn tornando assim cada Caso (“n”) em um carregamento unitário multiplicado por Xn. Cria-se a equação de compatibilidade na seguinte forma : REAL = CASO (0) + X1 . CASO (1) + X2 . CASO (2) + ... + Xn . CASO (n)

Castigliano :

δ =∫

M o ⋅ M1 M ⋅ M1 M ⋅ M1 ⋅ dx , ϕ = ∫ o ⋅ dx , ϕ R = ∫ o ⋅ dx E⋅I E⋅I E⋅I

Encontradas as deformações por Castigliano , montamos um sistema linear devido as equações de compatibilidade com a seguinte forma :


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⎧ϕ 1R = ϕ 10 + X 1 .ϕ 11 + X 2 .ϕ 12 + ... + X n .ϕ 1n ⎪ϕ = ϕ + X .ϕ + X .ϕ + ... + X .ϕ ⎪ 2R 20 1 21 2 22 n 2n ⎨ .... ..... .... ..... ⎪ ... ⎪⎩ϕ nR = ϕ n 0 + X 1 .ϕ n1 + X 2 .ϕ n 2 + ... + X n .ϕ nn

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⎧0 = ϕ 10 + X 1 .ϕ 11 + X 2 .ϕ 12 + ... + X n .ϕ 1n ⎪0 = ϕ + X .ϕ + X .ϕ + ... + X .ϕ ⎪ 20 1 21 2 22 n 2n ⎨ .... ..... .... ..... ⎪ ... ⎪⎩0 = ϕ n 0 + X 1 .ϕ n1 + X 2 .ϕ n 2 + ... + X n .ϕ nn

Os valores encontrados nos fornecem os vínculos ou esforços internos aos quais se referem, tornando possível agora a resolução da estrutura original utilizando-se as 3 equações fundamentais da estática, seguindo o cálculo das reações de apoio e a construção dos diagramas de esforços internos solicitantes da estrutura original, a saber N (esforço normal) , V (esforço cortante) e M (momento fletor) .

EXERCÍCIO 01 : Na viga contínua esquematizada abaixo , calcular os diagramas de esforços internos solicitantes : 1,5 m

2,0 m 40 kN

30 kN 20 kN/m

3,0 m

4,0 m

E , I → constantes

Resolução :

Definição da viga equivalente e numeração da estrutura (Caso Real) : 1,5 m

2,0 m 40 kN

30 kN

ϕR1R = 0

X 0

20 kN/m

X 2

1 3,0 m

4,0 m


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Desmembramento da estrutura em Caso (0) – Isostática Básica e Caso (1) , com seus respectivos gráficos de momento fletor : 1,5 m

2,0 m 40 kN

30 kN

ϕR10

20 kN/m

CASO (0) 0

2

1 3,0 m

4,0 m

M0

kN.m

22,5 40,0

+ kN.m

M0

30,0

30,0

ϕR11

X . CASO (1) 1,0

1,0

0

2

1 3,0 m

4,0 m

M1

kN.m

1,0

Cálculo dos giros relativos ϕR10 , ϕR11 por Castigliano :

ϕ R10 = ∫ ϕ R10 =

M 0 .M 1 .dx E .I

1 1 ⎛ s.i.k s.i.k s.i.k s.i.k ⎞ + + .∫ M 0 .M 1 .dx = .⎜ .(1 + α ) + .(1 + β )⎟ 3 6 6 E.I E.I ⎝ 3 ⎠


ϕ R10 =

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385 1 ⎛ 3.22,5.1 4.40.1 3.30.1 4.30.1 ⎞ + + .⎜ .(1 + 0,5) + .(1 + 0,5)⎟ = + E .I ⎝ 3 3 6 6 3.E.I ⎠

ϕ R11 = ∫

ϕ R10 =

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M 1 .M 1 .dx E.I

1 1 ⎛ s.i.k s.i.k ⎞ 1 ⎛ 3.1.1 4.1.1 ⎞ 7 .∫ M 1 .M 1 .dx = .⎜ .⎜ + + ⎟= ⎟=+ E.I E.I ⎝ 3 3 ⎠ E.I ⎝ 3 3 ⎠ 3.E.I

Montagem sistema linear com equação de compatibilidade :

(R)=(0)+X.(1)

0=+

385 7 + X. 3.E.I 3.E.I

⇒ ⇒

ϕR1R = ϕR10 + X . ϕR11

X =−

385 3.E.I . = −55,00 3.E.I 7

∴ podemos assim afirmar que o momento fletor no apoio (1) assume o valor X . 1,0 kN.m , ou seja, vale –55,00 kN.m . O sinal negativo indica que ele assume sentido contrário ao escolhido na proposição do caso (1) .

Cálculo das Reações de Apoio e Diagrama de Esforços Internos Solicitantes

∑ M esq1 = −55,00 ⇒ − 55 = + RV 0 .3 − 40.1,5 − 20.3.1,5 ⇒ ∑ M dir1 = −55,00 ⇒ − 55 = + RV 2 .4 − 30.2 − 20.4.2 ⇒ R ∑ FV = 0 ⇒ + RV 0 + RV 1 + RV 2 − 40 − 30 − 7.20 = 0 ⇒ R ∑ FH = 0 ⇒ RH 2 = 0

RV 0 = +31, 67kN

V2

= +41, 25kN

V1

= +137, 08kN


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1,5 m

2,0 m 40 kN

30 kN 20 kN/m RH 2

0 RV 0

2

1 RV 1

3,0 m

RV 2

4,0 m

+ –

N

0

[kN]

68,75 31,67 + –

V

38,33

28,75

+

1,67

+

1,25

–

–

[kN] 41,25

68,33 55,00

–

M+

[kN.m]

25,00 42,50

EXERCÍCIO 02 : Na viga contínua esquematizada abaixo , calcular os diagramas de esforços internos solicitantes : 2,0 m 30 kN 20

40 kN/m

kN

/m

I 3,0 m

E → constante

3.I 3,0 m

3.I 1,0 m


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Resolução :

Definição da viga equivalente e numeração da estrutura (Caso Real) : 2,0 m 40 kN

ϕR1R = 0

30 kN 20

40

kN

/m

kN

/m 20 kN.m I 0

X

1

3.I

X

2

3,0 m

3,0 m

Desmembramento da estrutura em Caso (0) – Isostática Básica e Caso (1) , com seus respectivos gráficos de momento fletor : 2,0 m 40 kN 30 kN

ϕR10

40 kN/m

20 kN/m 20 kN.m

CASO (0)

I

3.I

0

1 3,0 m

2 3,0 m

M0

kN.m

22,5

+

45,0 20,0

kN.m

M0

20,0


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ϕR11

X . CASO (1) 1,0

1,0

0

2

1 3,0 m

3,0 m

M1

kN.m

1,0

Cálculo dos giros relativos ϕR10 , ϕR11 por Castigliano :

ϕ R10

2 1 M 0 .M 1 M 0 .M 1 M 0 .M 1 1 1 1 2 .dx = ∫ .dx + ∫ .dx = .∫ M 0 .M 1 .dx + =∫ .∫ M 0 .M 1 .dx E . I 3 . E . I E I E I E.I . 3 . . 1 0 0 1

ϕ R10 =

1 ⎛ s.i.k s.i.k 1 ⎛ s.i.k s.i.k ⎞ ⎞ .⎜ .(1 + α )⎟ + .⎜ + − ⎟ 6 6 ⎠ E.I ⎝ 3 ⎠ 3.E.I ⎝ 3

ϕ R10 =

305 1 ⎛ 3.22,5.1 3.1.20 ⎛ 2 ⎞ ⎞ 1 ⎛ 3.45.1 3.1.20 ⎞ .⎜ .⎜1 + ⎟ ⎟ + .⎜ + − ⎟=+ E.I ⎝ 3 6 ⎝ 3 ⎠ ⎠ 3.E.I ⎝ 3 6 ⎠ 6.E.I

ϕ R11

1 2 M 1 .M 1 M 1 .M 1 M 1 .M 1 1 1 1 2 .dx = ∫ .dx + ∫ .dx = . M 1 .M 1 .dx + =∫ . M 1 .M 1 .dx E.I E.I E.I ∫0 3.E.I 3.E.I ∫1 0 1

ϕ R10 =

1 ⎛ s.i.k ⎞ 1 ⎛ s.i.k ⎞ 1 ⎛ 3.1.1 ⎞ 1 ⎛ 3.1.1 ⎞ 4 .⎜ .⎜ .⎜ .⎜ ⎟+ ⎟= ⎟+ ⎟=+ E.I ⎝ 3 ⎠ 3.E.I ⎝ 3 ⎠ E.I ⎝ 3 ⎠ 3.E.I ⎝ 3 ⎠ 3.E.I


(R)=(0)+X.(1)

0=+

305 4 + X. 6.E.I 3.E.I

⇒ ⇒

ϕR1R = ϕR10 + X . ϕR11

X =−

305 3.E.I . = −38,12 6.E.I 4

∴ podemos assim afirmar que o momento fletor no apoio (1) assume o valor X . 1,0 kN.m , ou seja, vale –38,12 kN.m . O sinal negativo indica que ele assume sentido contrário ao escolhido na proposição do caso (1) .



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∑ M esq1 = −38,12 ⇒ − 38,12 = + RV 0 .3 − 30.1 − 20.3.1,5 ⇒ R = +27, 29kN ∑ M dir1 = −38,12 ⇒ − 38,12 = + RV 2 .3 − 40.4.2 ⇒ R = +93,96kN ∑ FV = 0 ⇒ + RV 0 + RV 1 + RV 2 − 30 − 3.20 − 4.40 = 0 ⇒ R = +128, 75kN ∑ FH = 0 ⇒ RH 0 = 0 V0

V2

V1

2,0 m 30 kN 20

40 kN/m

kN

/m

RH 0

I

0 RV 0

N

3.I

1 RV 1

3,0 m

3,0 m

3.I

2 RV 2

1,0 m

+ –

0

[kN]

66,04 40,00

27,29

V

+ –

+

+ 12,71

+

[kN]

–

–

42,71

53,96

62,71

1,35

1,365 38,12

20,00 –

M+

[kN.m]

18,62

16,42


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EXERCÍCIO 03 : Na viga contínua esquematizada abaixo , calcular os diagramas de esforços internos solicitantes : 24 kN/m 18 kN/m

4,0 m

3,0 m

3,0 m

1,0 m


Resolução :

Definição da viga equivalente e numeração da estrutura (Caso Real) :

ϕR2R = 0

24 kN/m

ϕR3R = 0 18

ϕ1R = 0

18 kN

kN

/m 9 kN.m

X1

X2

1

2

4,0 m

X3

X2

3

X3

4

3,0 m

3,0 m

Desmembramento da estrutura em Caso (0) – Isostática Básica e Caso (1) , com seus respectivos gráficos de momento fletor :

ϕR20

24 kN/m

ϕR30

18 kN

18 kN/m

CASO (0)

ϕ10

9 kN.m 1

3

2 4,0 m

3,0 m

4 3,0 m

M0

kN.m

48,00

20,25

+ M0

20,25 9,00 kN.m


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ϕ11

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ϕR31

ϕR21

X1 . CASO (1) 1,00

1

3

2 4,0 m

4 3,0 m

3,0 m

M1

kN.m

1,00

ϕ12

ϕR32

ϕR22

X2 . CASO (2) 1,00

1

2

4,0 m

1,00

3

4 3,0 m

3,0 m

M2

kN.m

1,00

ϕ13

ϕR23

1

2

ϕR33

X3 . CASO (3) 4,0 m

1,00

3

1,00

4

3,0 m

3,0 m

M3

kN.m

1,00

Cálculo dos giros relativos ϕR20 , ϕR30 , ϕR21 , ϕR22 , ϕR23 , ϕR31 , ϕR32 , ϕR33 , e dos giros ϕ10 , ϕ11 , ϕ12 ,

ϕ13,

por Castigliano :

ϕ10 = ∫

M 0 .M 1 1 1 ⎛ s.i.k ⎞ 1 ⎛ 4.48.1 ⎞ 64 .dx = .∫ M 0 .M 1.dx = .⎜ .⎜ ⎟=+ ⎟= E .I E.I E .I ⎝ 3 ⎠ E .I ⎝ 3 ⎠ E.I

ϕ11 = ∫

M 1.M 1 1 1 ⎛ s.i.k ⎞ 1 ⎛ 4.1.1 ⎞ 4 .⎜ .⎜ .dx = .∫ M 1.M 1.dx = ⎟=+ ⎟= E .I E .I E.I ⎝ 3 ⎠ E.I ⎝ 3 ⎠ 3.E.I


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ϕ12 = ϕ R 21 = ∫

M 1.M 2 1 1 ⎛ s.i.k ⎞ 1 ⎛ 4.1.1 ⎞ 2 .dx = .∫ M 1.M 2 .dx = .⎜ .⎜ ⎟=+ ⎟= E .I E .I E .I ⎝ 6 ⎠ E .I ⎝ 6 ⎠ 3.E.I

ϕ13 = ϕ R 31 = ∫

M 1.M 3 1 1 .dx = .∫ M 1.M 3 .dx = .0 = 0 E .I E .I E .I

ϕ R 20 = ∫

M 0 .M 2 1 1 ⎛ s.i.k s.i.k ⎞ 1 ⎛ 4.48.1 3.20,25.1 ⎞ .dx = .∫ M 0 .M 2 .dx = .⎜ .⎜ + + ⎟ ⎟= E .I E .I E .I ⎝ 3 3 ⎠ E .I ⎝ 3 3 ⎠

ϕ R 20 = +

337 4.E.I

ϕ R 22 = ∫

M 2 .M 2 1 1 ⎛ s.i.k s.i.k ⎞ 1 ⎛ 4.1.1 3.1.1 ⎞ 7 .dx = .∫ M 2 .M 2 .dx = .⎜ .⎜ + + ⎟=+ ⎟= E.I E.I E.I ⎝ 3 3 ⎠ E .I ⎝ 3 3 ⎠ 3.E.I

ϕ R 23 = ϕ R 32 = ∫ ϕ R 30 = ∫ ϕ R 30 =

M 0 .M 3 1 1 ⎛ s.i.k s.i.k s.i.k ⎞ .dx = .∫ M 0 .M 3 .dx = .⎜ + − ⎟ E .I E .I E .I ⎝ 3 3 6 ⎠

1 ⎛ 3.20,25.1 3.20,25.1 3.9.1 ⎞ 36 .⎜ + − ⎟= E .I ⎝ 3 3 6 ⎠ E.I

ϕ R33 = ∫

M 2 .M 3 1 1 ⎛ s.i.k ⎞ 1 ⎛ 3.1.1 ⎞ 1 .dx = .∫ M 2 .M 3 .dx = .⎜ .⎜ ⎟=+ ⎟= E .I E.I E.I ⎝ 6 ⎠ E.I ⎝ 6 ⎠ 2.E.I

M 3 .M 3 1 1 ⎛ s.i.k s.i.k ⎞ 1 ⎛ 3.1.1 3.1.1 ⎞ 2 .⎜ .⎜ .dx = .∫ M 3 .M 3 .dx = + + ⎟=+ ⎟= E.I E.I E.I ⎝ 3 3 ⎠ E.I ⎝ 3 3 ⎠ E.I


( R ) = ( 0 ) + X1 . ( 1 ) + X2 . ( 2 ) + X3 . ( 3 )

⇒

⎧0 = ϕ10 + X 1.ϕ11 + X 2 .ϕ12 + X 3 .ϕ13 ⎪ ⎨0 = ϕ R 20 + X 1 .ϕ R 21 + X 2 .ϕ R 22 + X 3 .ϕ R 23 ⎪0 = ϕ R 30 + X 1 .ϕ R 31 + X 2 .ϕ R 32 + X 3 .ϕ R 33 ⎩

resolvendo o sistema por forma matricial :

ϕ12 ϕ13 ⎤ ⎡ X 1 ⎤ ⎡ − ϕ10 ⎤ ⎡ ϕ11 ⎢ϕ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ R 21 ϕ R 22 ϕ R 23 ⎥ ⋅ ⎢ X 2 ⎥ = ⎢− ϕ R 20 ⎥ ⎢⎣ϕ R 31 ϕ R 32 ϕ R 33 ⎥⎦ ⎢⎣ X 3 ⎥⎦ ⎢⎣ − ϕ R30 ⎥⎦

⇒

0 ⎤ ⎡ X 1 ⎤ ⎡− 64,00⎤ ⎡ 1,33 0,67 ⎢0,67 2,33 0,50 ⎥ ⋅ ⎢ X ⎥ = ⎢ − 84,25⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0,50 2,00⎥⎦ ⎢⎣ X 3 ⎥⎦ ⎢⎣ − 36,00⎥⎦

X 1 = −36,47

∴ X 2 = −23,07 X 3 = −12,23

∴ podemos assim afirmar que : o momento reativo no engaste (1) assume o valor X1 . 1,0 kN.m , ou seja, vale –36,47 kN.m ; o momento fletor no apoio (2) assume o valor X2 . 1,0 kN.m , ou seja,


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vale –23,07 kN.m ; o momento fletor no apoio (3) assume o valor X3 . 1,0 kN.m , ou seja, vale –12,23 kN.m . O sinal negativo indica que os momentos assumem sentido contrário ao escolhido na

proposição dos casos .


∑ M esq 2 = −23,07

⇒

− 23,07 = −36,47 + RV 1 .4 − 24.4.2

∑ M esq3 = −12,23

⇒

− 12,23 = −36,47 + 51,35.7 − 24.4.2 + RV 2 .3 − 18.3.1,5

∑ M dir 3 = −12,23

⇒

− 12,23 = −18.4.2 + RV 4 .3

∑ M dir 2 = −23,07

⇒

− 23,07 = −18.7.3,5 + 43,92.6 + RV 3 .3

∑ FH

⇒

=0

RH1 = 0

⇒

RV 1 = +51,35kN

⇒ RV 2 = +75, 26kN

⇒ RV 4 = +43,92kN ⇒ RV 3 = +51, 47kN

RH 4 = 0

;

24 kN/m 18 kN/m

RH 4

RH 1

4,0 m

N

RV 3

RV 2

RV 1

RV 4 3,0 m

3,0 m

1,0 m

+ –

0

[kN]

51,35 30,61

V

+ –

+

28,08 +

18,00 +

+

–

– 2,14 m

23,39

25,92

44,65 36,47

1,70 m

[kN]

–

1,56 m

23,07 12,23

M

– +

9,00 [kN.m]

2,95 9,67 18,48


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EXERCÍCIO 04 : Na viga hiperestática esquematizada abaixo , calcular os diagramas de esforços internos solicitantes : 20 kN/m

4,0 m


Resolução : a) utilizando a flecha do apoio (1) para montagem da equação de compatibilidade :

Definição da viga equivalente e numeração da estrutura (Caso Real) : 20 kN/m

δ1R = 0 0

1

X

4,0 m

Desmembramento da estrutura em Caso (0) – Isostática Básica e Caso (1) , com seus respectivos gráficos de momento fletor : 20 kN/m

160

CASO (0) 0

δ10

M0

kN.m

δ11

M1

kN.m

1 4,0 m

X . CASO (1)

1

0

1,0 kN 4,0 m

4

Cálculo das flechas δ10 , δ11 por Castigliano :

δ 10 = ∫

M 0 .M 1 1 1 ⎛ s.i.k ⎞ 1 ⎛ 4.160.4 ⎞ 640 .dx = .∫ M 0 .M 1 .dx = .⎜ − .⎜ − ⎟= ⎟=− 4 ⎠ E .I ⎝ E.I E .I E.I ⎝ 4 ⎠ E.I


δ 11 = ∫

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M 1 .M 1 1 1 ⎛ s.i.k ⎞ 1 ⎛ 4.4.4 ⎞ 64 .dx = .∫ M 1 .M 1 .dx = .⎜ .⎜ ⎟= ⎟= E .I E.I E.I ⎝ 3 ⎠ E.I ⎝ 3 ⎠ 3.E.I


⇒

(R)=(0)+X.(1) 0=−

64 640 + X. E.I 3.E.I

⇒

δ1R = δ10 + X . δ11 X =+

640 3.E.I . = 30,00 E.I 64

∴ podemos assim afirmar que a reação vertical no apoio (1) assume o valor X . 1,0 kN , ou seja, vale 30,00 kN . O sinal positivo indica que ela assume o mesmo sentido escolhido na proposição do caso (1).

Cálculo das Reações de Apoio

∑M0 = 0

⇒

− M R 0 − 30.4 + 20.4.2 = 0

∑ FV

=0

⇒

+ RV 0 + 30 − 4.20 = 0

∑ FH

=0

⇒

RH 0 = 0

⇒

⇒

M R 0 = +40, 00kN

RV 0 = +50, 00kN

b) utilizando o giro do engaste (1) para montagem da equação de compatibilidade :

Definição da viga equivalente e numeração da estrutura (Caso Real) : 20 kN/m X

ϕ1R = 0 1

2 4,0


CASO

kN.m

M0

ϕ10 1

2 4,0

40

1 1,0 kN.m

X . CASO (1)

M1

ϕ11 1

2 4,0

kN.m


PROF. IBERÊ

16 / 37

Cálculo dos giros ϕ10 , ϕ11 por Castigliano :

ϕ 10 = ∫

M 0 .M 1 1 1 ⎛ s.i.k ⎞ 1 ⎛ 4.40.1 ⎞ 160 .dx = .∫ M 0 .M 1 .dx = .⎜ − .⎜ − ⎟= ⎟=− E .I E .I E .I ⎝ 3 ⎠ E .I ⎝ 3 ⎠ 3.E.I

ϕ 11 = ∫

M 1 .M 1 1 1 ⎛ s.i.k ⎞ 1 ⎛ 4.1.1 ⎞ 4 .dx = .∫ M 1 .M 1 .dx = .⎜ .⎜ ⎟= ⎟= E .I E.I E.I ⎝ 3 ⎠ E.I ⎝ 3 ⎠ 3.E.I


⇒

(R)=(0)+X.(1) 0=−

160 4 + X. 3.E.I 3.E.I

⇒

ϕ1R = ϕ10 + X . ϕ11 X =+

160 3.E.I . = 40,00 3.E.I 4

∴ podemos assim afirmar que o momento reativo no engaste (1) assume o valor X . 1,0 kN.m , ou seja, vale 40,00 kN.m . O sinal positivo indica que ela assume o mesmo sentido escolhido na proposição do caso (1) .

Cálculo das Reações de Apoio

∑M0 = 0

⇒

− 40 − RV 1 .4 + 20.4.2 = 0

∑ FV

=0

⇒

+ RV 0 + 30 − 4.20 = 0

∑ FH

=0

⇒

RH 0 = 0

⇒

⇒

RV 1 = +30, 00kN

RV 0 = +50, 00kN

20 kN/m

Diagramas de Esforços Internos Solicitantes

MR0 RH 0

0

RV 1

RV 0 4,0

N

+ –

0

[kN]

50,0

V

+ –

Nota : O exercício foi resolvido de duas

+ [kN] –

2,50 m

30,0

40,00

maneiras possíveis para demonstrar o método , no caso poderia ser utilizada a resolução a) ou b) , que resultaram iguais como podemos comprovar no item de cálculo das reações.

M +– 22,50


PROF. IBERÊ

17 / 37

EXERCÍCIO 05 : Na estrutura esquematizada abaixo , calcular as reações de apoio e os diagramas de esforços internos solicitantes : 32 kN/m

2,0 m

3,0 m

24 kN

E , I → constantes 6,0 m

Resolução :

Definição da estrutura equivalente e numeração (Caso Real) : 32 kN/m 24 kN 3

3,0 m

4

2

2,0 m

ϕ1R = 0


1

X1 6,0 m


18 / 37


CASO (0) 24 kN

3

4

∑F

H

=0

3,0 m

+ 24 − RH 1 = 0 R H 1 = 24

∑M 2

1

=0

+ RV 2 .6 + 24.5 − 32.6.3 = 0 RV 2 = 76

2,0 m

PROF. IBERÊ

76 kN

1

∑F

ϕ10

V

=0

RV 1 + 76 − 32.6 = 0

24 kN

RV 1 = 116

116 kN 6,0 m

3

3

0

4

4

144,00 120,00

2

3

4

M0

[ kN.m ]

1

120,00


PROF. IBERÊ

3

19 / 37

X1 . CASO (1)

4

3,0 m

∑F

H

RH 1 = 0

∑M

2

1

=0

2,0 m

+ RV 2 .6 − 1 = 0 RV 2 =

1

/6 kN 1

∑F

ϕ11

V

1,00

RV 1 =

1

/6 kN

6,0 m

3

3

4

1,00

4

1,00

1

1,00

0

2

M1

[ kN.m ]

Cálculo dos giros ϕ10 , ϕ11 , por Castigliano :

ϕ 10 = ∫ ϕ10 =

ϕ11 = ∫ ϕ11 =

M 0 .M 1 1 1 ⎛ s.i.k s.i.k s.i.k ⎞ .∫ M 0 .M 1 .dx = .⎜ .dx = − − ⎟ E.I E.I E.I ⎝ 3 3 2 ⎠

1 ⎛ 6.1.144 6.1.120 5.1.120 ⎞ 252 .⎜ − − ⎟=− E .I ⎝ 3 3 2 ⎠ E .I M 1 .M 1 1 1 ⎛ s.i.k ⎞ .dx = .∫ M 1 .M 1 .dx = .⎜ + s.i.k ⎟ E .I E.I E.I ⎝ 3 ⎠

7 1 ⎛ 6.1.1 ⎞ .⎜ + 5.1.1⎟ = + E.I ⎝ 3 E .I ⎠

1

6

=0

− RV 1 + 1 6 = 0

0

=0

1

6


PROF. IBERÊ

20 / 37


( R ) = ( 0 ) + X1 . ( 1 ) ⇒

0 = ϕ 10 + X 1 .ϕ 11

⇒

X1 = −

ϕ 10 ϕ 11

⎛ 252 ⎞ E.I X 1 = −⎜ − = 36,00 ⎟⋅ ⎝ E.I ⎠ 7 ∴ podemos assim afirmar que o momento reativo no engaste (1) assume o valor X1 . 1,0 kN.m , ou seja, vale 36,00 kN.m . O sinal positivo indica que o momento assume o mesmo sentido ao escolhido na proposição dos casos .


RV 1 = 116, 00 + 36, 00. ( − 1 6 ) = 110, 00 kN RH 1 = 24, 00 + 36, 00. ( 0 ) = 24, 00 kN RV 2 = 76, 00 + 36, 00. ( + 1 6 ) = 82, 00 kN

0

82,00

110,00

– – 82,00

N

[ kN ] 110,00

82,00

+

24,00

– 0

110,00

+ 2,56 m

V

[ kN ] 24,00


PROF. IBERÊ

21 / 37

84,00

84,00

0

105,06

2,56 m

M

[ kN.m ] 36,00

EXERCÍCIO 06 : Na estrutura esquematizada abaixo , calcular as reações de apoio e os diagramas de esforços internos solicitantes :

36 kN/m

2,0 m

2,0 m

18 kN

E , I → constantes 4,0 m

Resolução :

Definição da estrutura equivalente e numeração (Caso Real) :


PROF. IBERÊ

22 / 37

36 kN/m 18 kN 4

2,0 m

3

2,0 m

2

ϕ1R = 0

1

X1 4,0 m


CASO (0) 18 kN

4

∑F

3

2,0 m

H

=0

− 18 + R H 1 = 0 RH 1 = 18

∑M

2

1

=0

− RV 2 .4 − 18.4 + 36.4.2 = 0 54 kN

2,0 m


RV 2 = 54

∑F

V

18 kN

1

ϕ10

=0

RV 1 + 54 − 36.4 = 0 RV 1 = 90

90 kN

4,0 m


72,00

PROF. IBERÊ

23 / 37

3

4 4

3

0

72,00 72,00

2 3

4

M0

1

4

[ kN.m ]

X1 . CASO (1) 2,0 m

3

∑F

H

=0

RH 1 = 0

∑M

2

/4 kN

0

1,00

1

=0

+ RV 2 .4 − 1 = 0

2,0 m

1

1

RV 2 =

∑F

ϕ11

1

4

=0

V

RV 1 − 1 4 = 0 RV 1 =

1

/4 kN

4,0 m

1,00

3

1,00

4

3

4

0

2

1,00

1,00

M1 1

[ kN.m ]

1

4


24 / 37

Cálculo dos giros ϕ10 , ϕ11 , por Castigliano :

ϕ 10 = ∫ ϕ 10 =

ϕ 11 =

M 0 .M 1 1 1 ⎛ s.i.k s.i.k s.i.k ⎞ .dx = .∫ M 0 .M 1 .dx = .⎜ − − ⎟ E.I E.I E.I ⎝ 3 3 2 ⎠

1 ⎛ 4.1.72 4.1.72 4.1.72 ⎞ 144 .⎜ − + + ⎟=+ E.I ⎝ 3 3 2 ⎠ E .I

ϕ11 = ∫

PROF. IBERÊ

M 1 .M 1 1 1 ⎛ s.i.k ⎞ .dx = .∫ M 1 .M 1 .dx = .⎜ + s.i.k ⎟ E .I E.I E.I ⎝ 3 ⎠

1 ⎛ 4.1.1 16 ⎞ .⎜ + 4.1.1⎟ = + E.I ⎝ 3 3.E.I ⎠


( R ) = ( 0 ) + X1 . ( 1 ) ⇒

X1 = −

0 = ϕ 10 + X 1 .ϕ 11

⇒

X1 = −

ϕ 10 ϕ 11

144 3.E.I ⋅ = −27,00 E.I 16

∴ podemos assim afirmar que o momento reativo no engaste (1) assume o valor X1 . 1,0 kN.m , ou seja, vale 27,00 kN.m . O sinal negativo indica que o momento assume o sentido contrário ao escolhido na proposição dos casos .


RV 1 = 90, 00 − 27, 00. ( + 1 4 ) = 83, 25 kN RH 1 = 18, 00 − 27, 00. ( 0 ) = 18, 00 kN RV 2 = 54, 00 − 27, 00. ( − 1 4 ) = 60, 75 kN


PROF. IBERÊ

25 / 37

0

83,25

60,75

–

–

60,75

N

83,25

[ kN ]

83,25

+

18,00

– 60,75

0 – 1,69 m

V

18,00

[ kN ]

45,00

45,00

0

51,26

1,69 m

27,00

M

[ kN.m ]


PROF. IBERÊ

26 / 37


2,5 m

21 kN

1,0 m

13 kN/m

2,5 m

4,0 m

17 kN

4,0 m


Resolução :

Definição da estrutura equivalente e numeração (Caso Real) :

4

3

2,5 m

21 kN

1,0 m

13 kN/m

4,0 m

17 kN

2,5 m

δ1R = 0

ϕ2R = 0

1

2

X1 X2 4,0 m


PROF. IBERÊ

27 / 37

Desmembramento da estrutura em Caso (0) – Isostática Básica , Caso (1) e Caso (2) , com seus respectivos gráficos de momento fletor : 13 kN/m

4

3

2,5 m

21 kN

1,0 m

CASO (0)

∑F

H

=0

+ 17 − 21 + RH 2 = 0 RH 2 = 4

∑M

2,5 m

4,0 m

17 kN

RV 2 = 15,62 V

ϕ20

1

=0

− RV 2 .4 + 17.2,5 + 13.4.2 − 21.4 = 0

∑F δ10

1

=0

RV 1 + 15,62 − 13.4 = 0 RV 1 = 36,38

2

4,00 kN 15,62 kN

36,38 kN 4,0 m

42,50

3 3

4

20,00

4

4

26,00 42,50 1,00 3

0

4

0

1

M0

[ kN.m ]

2

2

21,00


PROF. IBERÊ

28 / 37

4

3

X1 . CASO (1)

∑F

H

=0

5,0 m

1 − RH 2 = 0 RH 2 = 1

∑M δ11

ϕ21

1

1,00 kN

RV 2 = 0

2

∑F

V

RV 1 = 0

5,00

5,00 3 3

1

=0

RV 1 + 0 = 0

0 4,0 m

5,00

=0

+ RV 2 .4 = 0

1,00 kN 0

1

4

M1

4

[ kN.m ]

2

5,00


PROF. IBERÊ

29 / 37

4

3

X2 . CASO (2)

∑F

H

=0

5,0 m

RH 2 = 0

∑M

1

=0

+ RV 2 .4 − 1 = 0 RV 2 =

δ12

ϕ22

1

∑F

V

/4 kN

1

/4 kN

4

=0

RV 1 − 1 4 = 0

2

0 1

1

RV 1 =

1

4

1,00 kN.m

4,0 m

3 3

4

1,00

4

1,00

2

1,00 0

1

M2

[ kN.m ]

Cálculo dos giros ϕ20 , ϕ21 , ϕ22 , e das flechas δ10 , δ11 , δ12 , por Castigliano :

δ 10 = ∫

M 0 .M 1 1 .dx = . M 0 .M 1 .dx E .I E.I ∫

δ 10 =

s.i s.i.k s.i s.i.k ⎤ 1 ⎡ s.i .⎢ .(2.k1 + k 2 ) + .(k1 + k 2 ) − + .(2.k1 + k 2 ) − E.I ⎣ 6 2 3 6 3 ⎥⎦

δ 10 =

1 ⎡ 2,5.42,5 4.5 8.26.5 1.21 5.20.5 ⎤ 192,02 .⎢ .(2.5 + 2,5) + .(42,5 + 1) − .(2.5 + 4 ) − =+ + ⎥ 2 3 6 E .I ⎣ 6 3 ⎦ E.I

δ 11 = ∫

M 1 .M 1 s.i.k ⎞ 1 1 ⎛ s.i.k .dx = .∫ M 1 .M 1 .dx = .⎜ + s.i.k + ⎟ E.I E .I E.I ⎝ 3 3 ⎠


δ 11 =

δ 12 = ϕ 21 = ϕ 20 = ∫

M 1 .M 2 1 1 ⎛ s.i.k s.i.k ⎞ .dx = .∫ M 1 .M 2 .dx = .⎜ − − ⎟ E.I E .I E .I ⎝ 2 2 ⎠

1 ⎛ 4.5.1 5.1.5 ⎞ 22,50 .⎜ − − ⎟=− E.I ⎝ 2 2 ⎠ E.I

M 0 .M 2 s.i.k s.i.k s.i.k ⎤ 1 1 ⎡ s.i .dx = .∫ M 0 .M 2 .dx = .⎢− .(2.k1 + k 2 ) + + − E.I E.I E.I ⎣ 6 3 2 2 ⎥⎦

1 ⎡ 4.1 4.1.26 5.20.1 1.21.1⎤ 44,50 =+ .⎢− .(2.1 + 42,5) + + − ⎥ E.I ⎣ 6 3 2 2 ⎦ E .I

ϕ 22 = ∫ ϕ 22 =

30 / 37

5.5.5 ⎞ 183,33 1 ⎛ 5.5.5 .⎜ + 4.5.5 + ⎟=+ E.I ⎝ 3 3 ⎠ E.I

δ 12 = ϕ 21 = ∫

ϕ 20 =

PROF. IBERÊ

M 2 .M 2 1 1 ⎛ s.i.k ⎞ .dx = .∫ M 2 .M 2 .dx = .⎜ + s.i.k ⎟ E.I E.I E.I ⎝ 3 ⎠

1 ⎛ 4.1.1 6,33 ⎞ .⎜ + 5.1.1⎟ = + E .I ⎝ 3 E.I ⎠


( R ) = ( 0 ) + X1 . ( 1 ) + X2 . ( 2 ) ⇒

192,02 183,33 22,50 ⎧ ⎪⎪0 = E.I + E.I . X 1 − E.I . X 2 ⎨ ⎪0 = 44,50 − 22,50 . X + 6,33 . X 1 2 ⎪⎩ E.I E.I E.I

⎧δ 1R = δ 10 + X 1 .δ 11 + X 2 .δ 12 ⎨ ⎩ϕ 2 R = ϕ 20 + X 1 .ϕ 21 + X 2 .ϕ 22

⎧− 192,02 = 183,33. X 1 − 22,50. X 2 ⇒ ⎨ ⎩− 44,50 = −22,50. X 1 + 6,33. X 2

⎧ X = −3,388 ⇒ ⎨ 1 ⎩ X 2 = −19,074

∴ podemos assim afirmar que o momento reativo no engaste (2) assume o valor X2 . 1,0 kN.m , ou seja, vale 19,07 kN.m ; e a reação horizontal no apoio (1) assume o valor X1 . 1,0 kN, ou seja , vale 3,39 kN. O sinais negativos indicam que o momento e a reação horizontal assumem o sentido contrário ao escolhido na proposição dos casos .


RV 1 = 36,38 − 3,388.0 − 19, 074. ( + 1 4 ) = 31, 61 kN RH 2 = 4, 00 − 3,388. ( −1) − 19, 074.0 = 7,39 kN RV 2 = 15, 62 − 3,388.0 − 19, 074. ( − 1 4 ) = 20,39 kN


PROF. IBERÊ

31 / 37

13,61

13,61

–

31,61

20,39

–

–

N

[ kN ]

31,61

20,39

31,61

+ 13,61 13,61

–

+

7,39

–

20,39

13,61

3,39 13,61

– 2,43 m

+

V

3,39

[ kN ]

7,39

25,55 3,14 25,55 3,14

12,86

10,49

8,48

1,57 m

M

19,07

[ kN.m ]


PROF. IBERÊ

32 / 37


I

2,0 m

20 kN/m

I 40 kN

2,0 m

6,0 m

I 2.I

E → constante 2,0 m

4,0 m

Resolução : Definição da estrutura equivalente e numeração (Caso Real) :

40 kN 20 kN/m 40 kN.m 3

2,0 m

4

I 40 kN

2.I

δ2R = 0 X2

ϕ1R = 0

1

X1 4,0 m

2,0 m

I 6,0 m

2


33 / 37

Desmembramento da estrutura em Caso (0) – Isostática Básica , Caso (1) e Caso (2) , com seus respectivos gráficos de momento fletor : 40 kN

CASO (0)

20 KN/m

∑F

40 kN.m 3

H

R H 1 = 40

40 kN

∑M

2,0 m

I 2.I

δ20

1

=0

− RV 2 .4 − 40.4 + 20.4.2 + 40.4 + 40 = 0 RV 2 = 50

2

∑F

V

=0

RV 1 + 50 − 20.4 − 40 = 0

50 KN

ϕ10

=0

− 40 + RH 1 = 0

2,0 m

4

I

6,0 m

PROF. IBERÊ

RV 1 = 70

1

40 KN 70 KN

240,00

4,0 m

4

3 3

4

40,00 240,00

0 120,00

4

3

1

M0

[ kN.m ]

2

80,00


PROF. IBERÊ

34 / 37

X1 . CASO (1) 3

∑F

2,0 m

4

I

H

RH 1 = 0

∑M

δ21

1

RV 2 =

2

∑F

/4 kN

RV 1 =

1

1

/4 kN 4,0 m

1,00

4

1,00

3

4

3

0

2

M1 1,00

1

4

RV 1 − 1 4 = 0

1

1,00

1

=0

V

0 ϕ11

=0

+ RV 2 .4 − 1 = 0

2,0 m

6,0 m

I 2.I

=0

[ kN.m ]

1

4


PROF. IBERÊ

35 / 37

X2 . CASO (2) 3

2,0 m

4

I

∑F

H

RH 1 − 1 = 0 RH 1 = 1

2,0 m

6,0 m

I

δ22

2.I

∑M

2

1

=0

− RV 2 .4 + 1.2 = 0

1,00

RV 2 = 0,5

0,5 kN

ϕ12

=0

∑F

V

1

=0

− RV 1 + 0,5 = 0

1,00 kN

RV 1 = 0,5 0,5 kN 4,0 m

3

6,00

4,00

4

4

3

4,00 6,00

2

M2

[ kN.m ]

1

Cálculo dos giros ϕ10 , ϕ11 , ϕ12 , e das flechas δ20 , δ21 , δ22 , por Castigliano : 3

2

1 1 ϕ10 = .∫ M 0 .M 1 .dx + .∫ M 0 .M 1 .dx = 1 .⎛⎜ s.i.k ⎞⎟ + 1 .⎡⎢ s.i .(2.k1 + k 2 ) − s.i.k ⎤⎥ 2.E.I 1 E.I 3 2.E.I ⎝ 2 ⎠ E.I ⎣ 6 3 ⎦ ϕ 10 =

1 ⎛ 6.240.1 ⎞ 1 ⎡ 4.1 4.40.1⎤ 2120 .⎜ .⎢ .(2.240 + 120) − = ⎟+ 2.E.I ⎝ 2 ⎠ E.I ⎣ 6 3 ⎥⎦ 3.E.I

1 1 1 1 ⎛ s.i.k ⎞ ϕ11 = .∫ M 0 .M 1 .dx + .∫ M 0 .M 1 .dx = .(s.i.k ) + .⎜ ⎟ E.I 3 E .I ⎝ 3 ⎠ 2.E.I 1 2.E.I 3

ϕ11 =

2

1 1 ⎛ 4.1.1 ⎞ 13 .(6.1.1) + .⎜ ⎟= 2.E .I E.I ⎝ 3 ⎠ 3.E.I


ϕ12 = δ 21

36 / 37

1 1 1 ⎛ s.i.k ⎞ 1 ⎡ s.i ⎤ .∫ M 1 .M 2 .dx + .∫ M 1 .M 2 .dx = .⎜ − .⎢− .(2.k1 + k 2 )⎥ = ⎟+ 2.E.I 1 E.I 3 2.E.I ⎝ 2 ⎠ E.I ⎣ 6 ⎦ 3

ϕ12 = δ 21 = δ 20

PROF. IBERÊ

2

1 ⎛ 6.6.1 ⎞ 1 ⎡ 4.1 59 ⎤ .⎜ − .⎢− .(2.6 + 4 )⎥ = − ⎟+ 2.E.I ⎝ 2 ⎠ E .I ⎣ 6 3.E.I ⎦ 3

2

1 1 = .∫ M 0 .M 2 .dx + . M 0 .M 2 .dx 2 .E .I 1 E.I ∫3

δ 20 =

1 ⎛ s.i.k ⎞ 1 ⎡ s.i s s.i ⎤ .⎜ − .⎢ .(k1 + k 2 ) − .(2.i1 .k1 + i1 .k 2 + i2 .k1 + 2.i2 .k 2 ) − .(2.k1 + k 2 )⎥ ⎟+ 2.E.I ⎝ 3 ⎠ E.I ⎣ 3 6 6 ⎦

δ 20 =

2.80 1 ⎛ 6.6.240 ⎞ 1 ⎡ 4.40 4 ⎤ .(2.4 + 2)⎥ .⎜ − .⎢ .(6 + 4) − .(2.6.240 + 240.4 + 120.6 + 2.4.120) − ⎟+ 6 6 2.E.I ⎝ 3 ⎠ E.I ⎣ 3 ⎦

δ 20 = −

14560 3.E.I 3

2

δ 22 =

1 1 .∫ M2 .M2 .dx + .∫ M2 .M2 .dx = 1 .⎛⎜ s.i.k ⎞⎟ + 1 .⎡⎢ s.i.k + s .(2.i1 .k1 + i1.k 2 + i2 .k1 + 2.i2 .k 2 )⎤⎥ 2.E.I 1 E.I 3 2.E.I ⎝ 3 ⎠ E.I ⎣ 3 6 ⎦

δ 22 =

1 ⎛ 6.6.6 ⎞ 1 ⎡ 4.4.4 4 ⎤ 476 .⎜ .⎢ + .(2.6.6 + 6.4 + 4.6 + 2.4.4)⎥ = ⎟+ 2.E.I ⎝ 3 ⎠ E.I ⎣ 3 6 ⎦ 3.E.I


( R ) = ( 0 ) + X1 . ( 1 ) + X2 . ( 2 ) ⇒

⎧ϕ 1R = ϕ 10 + X 1 .ϕ 11 + X 2 .ϕ 12 ⎨ ⎩δ 2 R = δ 20 + X 1 .δ 21 + X 2 .δ 22

2120 13 59 ⎧ ⎪⎪0 = 3.E.I + 3.E.I . X 1 − 3.E.I . X 2 ⎨ ⎪0 = − 14560 − 59 . X + 476 . X 1 2 ⎪⎩ 3.E.I 3.E.I 3.E.I

⎧− 2120 = 13. X 1 − 59. X 2 ⇒ ⎨ ⎩14560 = −59. X 1 + 476. X 2

⎧ X = −55,441 ⇒ ⎨ 1 ⎩ X 2 = +23,716

∴ podemos assim afirmar que o momento reativo no engaste (1) assume o valor X1 . 1,0 kN.m , ou seja, vale 55,44 kN.m , sendo que o sinal negativo indica que o momento assume sentido contrário ao escolhido na proposição dos casos ; e a reação horizontal no apoio (2) assume o valor X2 . 1,0 kN, ou seja , vale 23,72 kN , o sinal positivo indica que a reação horizontal assume o sentido o escolhido na proposição dos casos .


PROF. IBERÊ

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RV 1 = 70, 00 − 55, 441.0, 25 + 23, 716. ( −0,50 ) = 44, 28 kN RH 1 = 40, 00 − 55, 441.0 + 23, 716. ( −1, 00 ) = 16, 28 kN RV 2 = 50, 00 − 55, 441. ( −0, 25 ) + 23, 716.0,50 = 75, 72 kN

16,28

16,28

44,28 40,00 0

–

44,28

+

75,72

+ 16,28

16,28

– +

–

35,72

–

16,28

23,72

–

–

75,72

2,21 m 23,72

N

[ kN ]

V

44,28

16,28

40,00

42,24 25,12 42,24 14,88

6,78

2,21 m 47,44

M 55,44

[ kN.m ]

[ kN ]

¾ MÉTODO DOS ESFORÇOS - ims.eng.br

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