Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Cálculo Diferencial e Integral.
1
I semestre 2012 Prof. Juan José fallas.
Leyes de la lógica y reglas de inferencia Leyes de la lógica Implicación y disyunción (ID) Doble negación (DN) De Morgan (DM) Contrapositiva Regla de inferencia Modus Ponens (MP) Modus Tollens (MT) Silogismo disyuntivo (SD) Silogismo hipotético (SH) Adjunción (ADJ) Simpli…cación (SIMP) Adición (ADI)
Equivalencia P =) Q :P _ Q ::P P : (P _ Q) :P ^ :Q : (P ^ Q) :P _ :Q P =) Q :Q =) :P
Premisas P =) Q; P P =) Q; :Q P _ Q; :P P =) Q; Q =) R P; Q P ^Q P Q cualquier otra propos.
Conclusión Q :P Q P =) R P ^Q P; Q P _Q
Ejercicios1
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1. Redacte la contrapositiva y el recíproco de las siguientes proposiciones: (a) Si f es una función invertible, entonces es biyectiva. (b) Dos rectas oblicuas2 son perpendiculares si el producto de sus pendientes es (c) Sea f (x) = ax ; a > 0 y a 6= 1: Si a > 1; entonces f es una función creciente.
1:
2. Si P; Q; R son verdaderas y S; T son falsas, determine el valor de verdad de la proposición: [P =) (R =) T )] () [(:P ^ S) =) (Q =) :T )] 3. Determine, utilizando tablas de verdad, si cada proposición compuesta es tautología, contradicción o contingencia: (a) : (P =) Q) () (P ^ :Q) (b) (P _ Q) ! [Q =) (P ^ Q)] (c) [: (:P ^ R) _ Q] () [(:P _ R) ^ Q] 4. Use una tabla de verdad para determinar si bajo las premisas P =) Q y :P =) R es válido concluir Q _ R: Nota: Esto es equivalente a veri…car que [P =) Q ^ :P =) R] =) Q _ R sea una tautología. 1
Varios de los ejercicios son tomados de Murillo, M (2010). Introducción a la Matemática Discreta. Cartago, Editorial Tecnológica de Costa Rica. 2 Una recta es oblicua si tiene pendiente real y diferente de cero.
5. Se tiene que R es una proposición verdadera y que P y Q son proposiciones cualesquiera. Por medio de una tabla de verdad determine si la proposición [(:P _ Q) ^ R] =) (P ^ :Q) es una tautología, contradicción o contingencia. 6. Determine una asignación de valores de verdad para A; B; C; D y E que veri…que que [(A =) (B _ C)) ^ (C =) (D ^ E)) ^ :D] no implica tautológicamente a A =) E: Razone la asignación de tal manera que no tenga que construir una tabla de verdad. 7. Demuestre que : (S ^ :Q) a partir de :T; :P =) :S; y :P _ T . 8. Demuestre que R =) :Q a partir de : (R ^ S) y :S =) :Q: 9. Demuestre que : (S _ :Q) a partir de :S =) Q; : (T ^ R) ; S =) T ^ R: 10. Demuestre P a partir de (:P _ :Q) =) (R ^ S) ; R =) T; :T: 11. Demuestre U a partir de P ^ T; P =) Q; Q =) (R ^ S) ; :R _ :T _ U: 12. Por medio de las reglas de inferencia pruebe :T a partir de las siguientes premisas: P =) :Q; Q_:R; P ^ S y T =) R ^ S: 13. Determine la veracidad de las siguientes a…rmaciones cuanti…cadas: (a) 8n 2 IN n2 < 27 : h i (b) 8x 2 IR (3x + 1)2 > 0 :
(c) 9n 2 IN 2 < n3 + 1 < 8 :
(d) Dado que: A = 1; 2; 23
y B = 3; 2; 32
i. 9x 2 IN [x 2 A ^ x 2 B] : ii. 8x 2 A [x iii. @x 2 B
x 2
0] : 2Z^
x 2
2A :
14. Escriba la negación de cada una de las proposiciones cuanti…cadas: (a) 8n 2 IN n2 < 27 : (b) 9n 2 IN n3 + 2 = 11 : (c) 9r 2 Q r2 = 2 _ 2r + 1 < 0 :
3
Soluciones a los ejercicios 1. Solución: (a) Contrapositiva: Si f no es biyectiva, entonces no tiene inversa. Recíproco: Si f es biyectiva, entonces es invertible. (b) Contrapositiva: Si el producto de la pendientes no es 1; entonces las dos rectas oblicuas no son perpendiculares. Recíproco: Si el producto de las pendientes es 1; entonces las dos rectas oblicuas son perpendiculares. (c) Contrapositiva: Si f no es creciente, entonces 0 < a creciente, entonces a > 1:
1: Recíproco: Si f es una función
2. Es falsa pues: P
Q
R
S
T
:P
:T
R =) T
V
V
V
F
F
F
V
F
P =) (R =) T ) F
(:P ^ S)
(Q =) :T )
F
V
: (P =) Q) V F F F
P ^ :Q V F F F
(:P ^ S) =) (Q =) :T ) V
3. Respuestas: (a) Es tautología pues: P V V F F
Q F V V F
:Q V F F V
P =) Q F V V V
( ) V V V V
(b) Es una contingencia pues: P V V F F
Q F V V F
P _Q V V V F
P ^Q F V F F
Q =) (P ^ Q) V V F V
( ) V V F F
(c) Es una contingencia pues: P V V F F V F F V
Q V F V F V F V F
R F F V V V F F V
:P F F V V F V V F
:P ^ R F F V V F F F F
: (:P ^ R) V V F F V V V V
: (:P ^ R) _ Q V V V F V V V V
:P _ R F F V V V V V V
(:P _ R) ^ Q F F V F V F V F
( ) V V V V V F V F
( ) F
4. El razonamiento es válido pues corresponde a una implicación tautológica: P V V F F V F F V
Q V F V F V F V F
R F F V V V F F V
:P F F V V F V V F
P =) Q V F V V V V V F
:P =) R V V V V V F F V
P =) Q ^ :P =) R V F V V V F F F
Q_R V F V V V F V V
( ) V V V V V V V V
Comentario: nótese que la frase "si bajo las premisas P =) Q y :P =) R" lleva implícito que interesa solamente los casos en que las proposiciones "P =) Q" y ":P =) R" sean verdaderas y que el consecuente "Q _ R" también sea verdadero, para concluir que el razonamiento es válido. Para el ejemplo solo interesan las …las 1, 3, 4 y 5 de la tabla anterior. 5. Es una contingencia: P V V F F
Q V F V F
R V V V V
:P F F V V
:Q F V F V
:P _ Q V F V V
(:P _ Q) ^ R V F V V
P ^ :Q F V F F
( ) F V F F
6. Se quiere que [(A =) (B _ C)) ^ (C =) (D ^ E)) ^ :D] =) (A =) E) ( )
(
)
no sea una tautología. Para ello basta analizar el caso en que ( ) sea verdadera y que ( ) sea falsa. Para que ( ) sea verdadera debe darse que las proposiciones (A =) (B _ C)), (C =) (D ^ E)) y :D sean todas verdaderas. Inmediatamente se deduce que D debe ser falsa y por ende D ^ E también lo es. Luego, dado que D ^ E es falsa para que (C =) (D ^ E)) sea verdadera debe darse que C sea falsa. Luego, como C es falsa, entonces la veracidad de B _ C depende de B: Por otra parte, si se …ja B como falsa, entonces B _ C es falsa y para que (A =) (B _ C)) sea verdadera, entonces A debe ser falsa y esto provoca que (A =) E) es verdadera, independientemente del valor de verdad de E. Por ello B no puede ser falsa pues provoca que ( ) sea verdadera. Así, …je B como verdadera, entonces B _ C es verdadera y para que (A =) (B _ C)) sea verdadera, entonces A puede ser verdadera o falsa, sin embargo nótese que conviene asignar A como verdadera, para que la proposición A =) E resulte falsa luego de tomar E como falsa. En resumen, tómese: D falsa, C falsa, B verdadera, A verdadera, E falsa 7. Demuestre que : (S ^ :Q) a partir de :T; :P =) :S; y :P _ T 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
:T :P =) :S :P _ T :P :S :S _ Q : (S ^ :Q)
SD a 1 y 3 MP a 2 y 4 ADI a 5 DM y DN a 6
8. Demuestre que R =) :Q a partir de : (R ^ S) y :S =) :Q: 1. 2. 3. 4. 5.
: (R ^ S) :S =) :Q :R _ :S R =) :S R =) :Q
DM a 1 ID a 3 SH a 2 y 4
9. Demuestre que : (S _ :Q) a partir de :S =) Q; : (T ^ R) ; S =) T ^ R: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
:S =) Q : (T ^ R) S =) T ^ R :S Q :S ^ Q : (S _ :Q)
MT a 2 y 3 MP a 1 y 4 Adj 4 y 5 DM y DN a 6
10. Demuestre P a partir de (:P _ :Q) =) (R ^ S) ; R =) T; :T: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
(:P _ :Q) =) (R ^ S) R =) T :T :R :R _ :S : (R ^ S) : (:P _ :Q) P ^Q P
MT a 2 y 3 ADI a 4 DM a 5 MT a 1 y 6 DM y DN a 7 Simp a 8.
11. Demuestre U a partir de P ^ T; P =) Q; Q =) (R ^ S) ; :R _ :T _ U: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
P ^T P =) Q Q =) (R ^ S) :R _ :T _ U P Q R^S R T U
Simp a 1 MP a 2. y 5 MP a 3 y 6 Simp a 7 Simp a 1 SD a 4, 8 y 9
12. Por medio de las reglas de inferencia pruebe :T a partir de las siguientes premisas: P =) :Q; Q_:R;
P ^ S y T =) R ^ S:
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
P =) :Q Q _ :R P ^S T =) R ^ S P :Q :R :R _ :S : (R ^ S) :T
SIMP a 3 MP a 1 y 5 SD a 2 y 6 ADI a 7 DM a 8 MT a 4 y 9
13. A…rmaciones cuanti…cadas: (a) 8n 2 IN n2 < 27 : Falsa. La desigualdad n2 < 27 no se satisface para n 6: h i (b) 8x 2 IR (3x + 1)2 > 0 : Falsa. la desigualdad (3x + 1)2 > 0 no se satisface para x =
1 3 :
(c) 9n 2 IN 2 < n3 + 1 < 8 : Falsa. Para n = 1 se tiene que n3 + 1 = 2; para n = 2 se tiene que n3 + 1 = 9: Además, cualquier n 2 IN; n 3; satisface que n3 + 1 > 8:
(d) Dado que: A = 1; 2; 32
y B = 3; 2; 32
i. 9x 2 IN [x 2 A ^ x 2 B] : Verdadera, tómese x = 2: ii. 8x 2 A [x iii. @x 2 B 1 2 A:
x 2
0] : Verdadera. Todos los elemento de A son mayores o iguales que cero. 2Z ^
x 2
2 A : Falsa. Nótese que para x = 2 2 B se cumple que
14. Las negaciones: (a) 8n 2 IN n2 < 27 : Negación: 9n 2 IN n2
2 :
(b) 9n 2 IN n3 + 2 = 11 : Negación: 8n 2 IN n3 + 2 6= 1 : (c) 9r 2 Q r2 = 2 _ 2r + 1 < 0 : Negación: 8r 2 Q r2 6= 2 ^ 2r + 1
0
x =12Zy 2
