1 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS HIPERESTÁTICOS 1.1 PLANTEO DEL PROBLEMA La forma de resolver cualquier tipo de estructuras es determinar un modelo que es necesariamente una simplificación la más aproximada a la realidad. En efecto las vigas y las columnas no son líneas ya que tienen no sólo longitud sino alto y ancho, las losas no son superficies planas sin espesor y así. Lo que se trata de hacer es una abstracción que permita predecir lo más aproximadamente el comportamiento de la estructura y que al mismo tiempo permita dimensionar con suficiente seguridad las secciones de hormigón y de acero necesarias para garantizar la estabilidad con buenas condiciones de servicio y durabilidad. En este sentido es necesario resaltar que el modelo se debe aproximar a la realidad y no a la inversa. La estructura real no tiene por qué recibir órdenes del proyectista, sino que es éste quien debe tratar de encontrar un modelo que se acerque a la realidad de la mejor manera posible. En forma general se puede aceptar que un edificio de departamentos cuyo cálculo es el objeto de nuestro curso, desde el punto de vista estructural, se compone de un conjunto de barras y de placas interconectadas entre sí con vínculos inferiores que corresponden a los apoyos sobre el terreno natural, modelo al cual podemos denominar como pórtico espacial con el agregado de placas. Una imagen de este tipo de estructura elaborada con un programa que procesa este tipo de sistemas, se agrega a continuación.
Ahora bien, hasta la invención de las computadoras y los programas de cálculo estructural, la resolución de este sistema implicaba un nivel de dificultad y de trabajo material desde el punto de vista matemático que, en la práctica, hacían imposible su resolución. Sin embargo, aún hoy, cuando se dispone de estas poderosas herramientas de cálculo, sigue siendo dificultosa la resolución estática y el dimensionamiento de la estructura de un edificio de pocos pisos en forma completa. En efecto, si se adopta este camino los resultados pueden llevarnos a una serie de problemas. En primer lugar, las salidas pueden ser monstruosas, en especial en cuanto a los resultados de las losas ya que, para hacer una representación fiel de la estructura, se necesita particionar las losas en un gran número de pequeñas lositas y, consiguientemente las vigas en una gran cantidad de tramos de vigas, como se advierte en el gráfico siguiente donde se ha representado una planta del modelo anterior.
Por ello, aún en los casos en que se decida realizar el cálculo por computadora muchas veces resulta conveniente calcular las losas de cada planta por separado obteniendo las reacciones sobre las vigas. Ahora bien, si se eliminan las losas de la estructura queda un pórtico espacial que si bien es resoluble en forma completa, procedimiento que cada vez tiene mayor aceptación, tampoco está exento de dificultades. Entre otros aspectos porque aparecen esfuerzos de poca importancia como son las flexiones oblicuas y torsiones, esfuerzos que no se toman en cuenta pero que amplían las salidas. Por ello es que tradicionalmente se realizó una ulterior simplificación que consiste en subdividir el pórtico espacial en un conjunto de pórticos planos independientes
ya que se considera que los esfuerzos provocados por cargas gravitatorias sólo en forma muy leve se transmiten a los elementos transversales.1 A continuación y sobre el mismo modelo anterior se grafican un pórtico de fachada y otro longitudinal: Pórtico de fachada:
1
Incluso cuando se trata de esfuerzos de viento o de sismo que se verán en el curso posterior, se acepta, a los fines del cálculo, que tales acciones pueden absorberse por pórticos planos y no espacialmente.
Pórtico transversal:
Un pórtico plano es un tipo estructural más familiar con el cual se han encontrado en el curso anterior y de los cuales obtenían las reacciones para un estado de cargas dado y confecciones diagramas de característica. Claro que se trataba de pórticos isostáticos y en realidad un pórtico de edificio como lo indicados precedentemente que no es de muchos pisos ya sea de dos pisos es un sistema hiperestático. Por todo lo expuesto, haremos un repaso acerca de la resolución de sistemas hiperestáticos de barras y sus métodos de resolución, en particular, nos ocuparemos de las vigas continuas, que se ilustra a continuación.
Nos ocupamos de las vigas continuas porque estos pórticos planos permiten una última simplificación parcial que consiste en estudiar cada planta por separado, tomando en cuenta que los esfuerzos que absorben las columnas centrales es de escasa significación y pueden reemplazarse aproximadamente por apoyos fijos del tipo “cuchilla”. Es cierto que esto no ocurre con las vigas extremas y con las columnas de borde y, de hecho no se realiza tal simplificación. Pero dicha explicación queda pospuesta para el momento en que se aborde el análisis de los elementos flexocomprimidos. 2. SISTEMAS HIPERESTÁTICOS En primer lugar, haremos un recordatorio de una serie de ideas y conceptos que se han estudiado en el curso anterior. Un sistema estático es una cadena de barras con un cierto número de vínculos externos y una barra es un elemento estructural en el cual una dimensión predomina sobre las otras dos. Es decir, posee una longitud y una sección determinada.
Sistema Estático
Ahora bien, un sistema estático puede ser hipostático (también llamado mecanismo) cuando el número de vínculos no es suficiente para garantizar el equilibrio y cuando se aplica una fuerza se produce una aceleración del sistema o de una fracción del sistema. Es necesario señalar que en algunos casos existe “vínculo aparente”, es decir el sistema posee la cantidad de vínculos necesarios para garantizar el equilibrio pero, su disposición permite ciertos movimientos.
Sistema Hipostático
Sistema Hipostático
Vínculo aparente
El segundo caso, es el de los sistemas isostáticos cuya resolución ha sido vista en el curso anterior. En este caso, se pueden obtener las reacciones y determinar los esfuerzos característicos en cualquier punto del sistema a partir de las ecuaciones de la estática.
Sistema Isostático
Si en cambio, las reacciones de vínculo o la determinación de los esfuerzos característicos no pueden obtenerse a partir de ecuaciones estáticas, entonces se trata de sistemas hiperestáticos.
Sistema Hiperestático
Cuando se intenta una resolución matemática en el primero de los casos (“hipostáticos”) el sistema de ecuaciones resultante no tiene solución, por lo cual es imposible alcanzar el equilibrio. En el caso de los hiprestàticos, el sistema tiene infinitas soluciones que cumplen con la estática por lo cual es necesario idear procedimientos para poder obtener el resultado, que siempre es único. Como ejemplo indicaremos una serie de posibles resoluciones, todas ellas falsas, pero que permiten garantizar el equilibrio. P=2 t
A
Sol 1: Sol 2: Sol 3: Sol 4:
1.00
B
1.00
P=2 t
C
1.00
D
1.00
E
RA = 0t
RB = 0t
RC =4t
RD = 0t
RE = 0t
RA = 0t
RB = 1t
RC =2t
RD = 1t
RE = 0t
RA = 1t
RB = 1t
RC =0t
RD = 1t
RE = 1t
RA = 0.5t
RB = 1t
RC =1t
RD = 1t
RE = 0.5t
En todos los casos, la suma de las proyecciones verticales de las acciones y las reacciones es nula, lo mismo ocurre cuando se toman momentos para cualquier punto del plano y no hay acciones horizontales. Sin embargo, ninguna de estas soluciones es correcta ya que no cumplen con otras condiciones, por ejemplo, condiciones de deformación. En efecto, con estas reacciones los apoyos no tendrían descenso nulo que es su propia definición. Clasificación de los sistemas hiperestáticos Antes de analizar la forma en que se resuelven los sistemas hiperestáticos, es necesario tener presente algunos conceptos que ya fueron definidos en cursos anteriores y que ahora recordamos.
Para clasificar los sistemas hiperestáticos es necesario recordar previamente el concepto de grados de libertad. Los grados de libertad de un sistema es el número de movimientos independientes que admite. Y entendemos por movimiento independiente a aquel que no viene ligado a ningún otro. La cantidad de grados de libertad de una cadena abierta de chapas o de barras surge de la siguiente expresión: Grados de Libertad = nº de chapas + 2
A partir de aquí directamente abandonaremos las chapas para centrarnos en los sistemas de barras. Cuando se aplica una restricción de vínculo se restringen grados de libertad. Como recordamos los vínculos se clasifican según el número de grados de libertad que restringen, como se indica a continuación. Si el número de Grados de Libertad de una cadena de chapas o barras es mayor que a cantidad de vínculos, tenemos un sistema isostático. Si es igual tenemos un sistema isostático, recordando que estos vínculos no deben formar un “vínculo aparente”. Si el sistema posee mayor cantidad de restricciones de vínculo que grados de libertad, tenemos un sistema hiperestático. Ahora bien, estos sistemas se por según la cantidad de vínculos superabundantes que poseen y cuyo número se conoce como grado de hiperestaticidad. Grado de Hiperestaticidad 1
Nº de chapas = 2 Vìnculos externos = 5 Grados de Libertad = 4
Nº de chapas = 1 Vìnculos externos = 4 Grados de Libertad = 3
Grado de Hiprestaticidad = 5 - 4 = 1
Grado de Hiprestaticidad = 4 - 3 = 1
Grado de Hiperestaticidad 2
Nº de chapas = 1 Vìnculos externos = 5 Grados de Libertad = 3
Nº de chapas = 2 Vìnculos externos = 6 Grados de Libertad = 4
Grado de Hiprestaticidad = 5 - 3 = 2
Grado de Hiprestaticidad = 6 - 4 = 2
Se señala que en el caso de las vigas continuas, el grado de hiperestaticidad corresponde con el número de incógnitas que se necesitarían conocer para resolver el sistema como isostáticos. Ahora bien, también existen otros casos donde las barras se interconectan internamente entre sí. Incluso, en algunos casos, es posible determinar las reacciones de vínculo para un sistema de cargas dado. Pero no ocurre lo mismo con los esfuerzos característicos de todas las secciones. El ejemplo que se agrega a continuación es ilustrativo al respecto.
P = 2t
X
A RA = 1t
B RB = 1t
En este caso resulta muy sencillo obtener las reacciones de vínculo del sistema ya que se trata de una única chapa conformada por un número dado de barras de una configuración especial, por eso, desde el punto de vista exterior es isostático de resolución sencilla. Pero obtener M, N y Q para el punto X ya no resulta nada sencillo porque, en realidad, el sistema es hiperestático aunque no porque no se puedan obtener las reacciones sino porque lo que no se pueden obtener son los esfuerzos carácterísticos a partir de ecuaciones estáticas. Por lo tanto, cuando se trata de cadenas de barras que poseen excesiva cantidad de vínculos, hablamos de “hiperestaticidad externa”, en cambio cuando se trata de cadenas cerradas de barras, hablamos de “hiperestaticidad interna”. Resolución de Sistemas Hiperestáticos. A partir de aquí nos centraremos en un caso particular de los sistemas hiperestáticos que son las vigas continuas, dada su importancia para el cálculo de una estructura de hormigón armado y que la resolución de pórticos hiperestáticos presenta mayores dificultades. Las vigas continuas, por lo general consisten en una barra con una serie de apoyos ya sean empotramientos, apoyos fijos o móviles. Tal como se puede apreciar a continuación.
Como ya hemos señalado para la resolución de sistemas hiperestáticos no bastan las ecuaciones estáticas y es preciso considerar otras condiciones, como son las condiciones de deformación. De aquí surgió el primer método para resolver sistemas hiperestáticos que se basaban en el siguiente razonamiento: que pasa si se retiran todos los vínculos sobrantes, manteniendo exclusivamente aquellos necesarios para mantener el equilibrio y reemplazo los vínculos por fuerzas incógnitas. Bastaría con que determinara qué fuerzas debo aplicar en cada uno de los puntos donde antes hubo vínculos para que se cumpla la condición que impone el vínculo: que el descenso en esos puntos sea nulo. A continuación se ilustra gráficamente el problema. Por razones de simplicidad analizaremos el caso de una viga continua de dos tramos con un apoyo fijo y dos móviles con una carga distribuida uniforme.
De acuerdo a lo planteado anteriormente, retiramos en primer lugar el apoyo central y los reemplazamos por una fuerza X de dirección vertical.
Seguidamente determinamos la flecha que produce dicha fuerza X que se puede resolver por cualquier método de obtención de flecha y que resulta: 3 ( 2⋅l ) fX := X ⋅
48 ⋅ E ⋅ J
Donde, fX es la flecha en el punto medio, l la luz de cada tramo de viga, E es el módulo de elasticidad del material (hormigón, acero, etc.) y J es el momento de inercia de la sección. A continuación determinamos la flecha para una viga sin el apoyo central y una carga distribuida uniforme en toda la luz. También hay muchos métodos para resolver esta flecha cuyo resultado es: fq :=
4
5 ( 2 ⋅ l) ⋅q⋅ E ⋅J 384
Para que se cumpla la condición de equilibrio nulo, se debe cumplir la siguiente condición: fX– fq = 0 Que gráficamente significa lo siguiente:
Si resolvemos la ecuación, se obtiene que la fuerza X resulta:
X :=
5 ⋅ q ⋅ ( 2 ⋅ l) 8
Con este valor intermedio se obtienen las reacciones:
Ra :=
3⋅q⋅l 8
Rb :=
3⋅q⋅l 8
Y el momento en el apoyo resulta: 2
l Map := −q ⋅ 8 Con estos valores se pueden obtener los momentos máximos de los tramos. Mtr := q ⋅
2
l 14.22
Si recapitulamos vemos que para resolver el hiperestático utilizamos un sistema isostático geométricamente afín al cual se le han modificado las condiciones de vínculo. A este sistema se lo denomina fundamental. Los sistemas fundamentales pueden ser de diferente tipo según sea qué tipo de vínculo eliminan y qué incógnita ponen en evidencia. En este sentido hay que señalar que pueden ser vínculos internos, agregando articulaciones lo que permite colocar, por ejemplo, momentos flexores como incógnitas. A continuación se agregan un ejemplo de sistema fundamental de este tipo:
X1
X2
X3
Este método de resolución que hemos utilizado casi intuitivamente fue el primero en desarrollarse y se denomina método de las incógnitas estáticas o vulgarmente
método de las fuerzas. En este caso hay que aclarar que se denomina fuerzas a lo que son en realidad fuerzas y momentos, de ahí que el primero de los nombres sea el más correcto.
Ahora bien, este método de resolución de hiperestáticos es conveniente cuando se trata de hiperestáticos de pequeño grado de hiperestaticidad. Por ejemplo, el caso que hemos visto posee un grado de hiperestaticidad igual a 1. Cuando tenemos casos de mayor hiperestaticidad la dificultad matemática es creciente por lo cual se idearon otros métodos para resolver hiperestáticos. MÉTODO DE LAS DEFORMACIONES
Este método que tomaremos como base para la resolución de vigas continuas, es en cierta, manera especular con respecto al anterior. Pero tiene algunas diferencias que es necesario recalcar. En primer lugar, es necesario conocer los resultados de sistemas hiperestáticos de un tramo que fueron obtenidos por el método anterior y que se han tabulado. En particular, la magnitud que nos interesa son los momentos en los apoyos. En forma anexa a la resolución del trabajo práctico incluiremos una tabla con muchos casos ya resueltos. Este método de resolución trabaja también con un sistema fundamental. Es decir, con un sistema geométricamente afín con diferentes condiciones de vínculo. Sólo que en este caso no se trata de un sistema isostático sino un sistema con mayor grado de hiperestaticidad, por ello es importante conocer los resultados de los sistemas hiperestáticos de una barra. Tomemos un hiperestático de grado 2, es decir que posee dos incógnitas para resolver.
En efecto, el sistema fundamental se obtiene adicionando un empotramiento en cada nudo interno del sistema hiperestático como se puede apreciar a continuación.
En primer lugar se procede a cargar este sistema con el estado de cargas del sistema hiperestático y se obtienen los momentos a ambos lados de los nudos internos. La ventaja de haber colocado empotramientos en cada nudo permite que trabajar con un conjunto de barras aisladas de un único tramo.
A continuación se obtienen los momentos de apoyo de cada tramo para lo cual se deben conocer los resultados de los momentos de apoyo para el caso de vigas de un tramo. Estos son sistemas hiperestáticos por lo cual se deben haber resuelto previamente por otro método como puede ser el método de las fuerzas. Con el enunciado del trabajo práctico se incluye una tabla con la resolución de los casos más usuales. Como ejemplo se agregan los casos correspondientes a este ejercicio.
Con estos datos se obtienen los momentos en los nudos. Para diferenciar los momentos agregaremos un primer subíndice que indica el nudo en el cual se encuentran y un segundo que indica el otro extremo de la barra y el mismo criterio utilizaremos con los momentos generados por las cargas en el sistema fundamental. Por último, agregaremos un superíndice que indica que se trata de los momentos en el sistema fundamental.
Dado que las cargas, las luces y las condiciones de vínculo (un borde empotrado, otro articulado o ambos empotrados) son diferentes los momentos en los nudos no suelen coincidir, tal como se puede apreciar en el gráfico siguiente donde se encuentran volcados, no sólo los momentos extremos sino los momentos en todo el tramo. ¿Adonde va la diferencia de momentos? Pues bien, la absorbe el empotramiento.
En forma amplificada se grafica el apoyo C.
Con respecto al signo de los momentos en el apoyo hay que tomar en cuenta que en el apoyo los momentos son negativos y que en el empotramiento tenemos reacciones por lo cual a la izquierda del apoyo existe un momento positivo y a la izquierda un momento negativo. Ahora hay que tener en cuenta una idea conceptual más compleja porque escapa a nuestra experiencia práctica. Ciertamente, nos resulta claro que si aplico una fuerza o un momento a un elemento estructural, éste se desplaza o gira. Ahora vamos a tener que aceptar la operación inversa. Si yo tengo un elemento estructural y le aplico una deformación o un giro, aparecerán fuerzas o momentos, sin importarme cuál fue el origen de la deformación impuesta. En general, cuando le impongo un giro a una barra, aparecen momentos. Ahora bien, si le aplico un giro unitario y positivo (igual a +1, medido en radianes) aparecerán momentos a los cuales se denomina rigideces, Dicho de otra forma se denomina rigidez angular en el extremo de una barra al momento que aparece en la misma cuando se le impone un giro unitario y positivo.
Las rigideces angulares para los casos sencillos han sido calculadas y tabuladas, denominándose rigideces directas (µ) a aquellas inducidas en el nudo donde se impone el giro y rigideces cruzadas (m) a aquellas que aparecen en un nudo cuando el giro no se impone en dicho nudo.
El objetivo del método es obtener qué giros hay que imponerle a cada empotramiento para que se generen esfuerzos que se equilibren las diferencias de momentos que se produjeron en el sistema fundamental al recibir las cargas del hiperestático. Para ello, se sigue este camino: Se le impone a cada nudo un giro unitario y positivo manteniendo el resto de los nudos empotrados, lo que generará la aparición de estos momentos inducidos por un giro unitario, llamados rigideces. Para diferenciar las rigideces En el punto B:
En el punto C:
Para mejor aclaración se indicará los momentos en el fundamental bajo la acción de las cargas.
Posteriormente se plantean ecuaciones de equilibrio en cada nudo, tomando en cuenta que los giros en los nudos (θB; θC, etc..) son las incógnitas que debemos obtener. En el nudo B queda la siguiente ecuación: MºBA – MºBC + (µBA + µBC) θB + mBC θC = 0 En el nudo C queda la siguiente ecuación: MºCB – MºCD + mCB θB + (µCB + µCD) θC = 0 Una vez resuelto el sistema de ecuaciones se obtienen los giros en cada nudo que hacen que el sistema fundamental se asemeje a lo que ocurre en el hiperestático original. Ahora bien, cómo se pasa de giros a momentos. Para ello tenemos que recordar la definición de momento flexor que no era un par sino un par de pares. Es decir, había un momento a izquierda y otro a derecha. Pues bien se obtienen los momentos a partir de los momentos denominados términos de carga sumados a las rigideces multiplicados por los respectivos giros o bien a la izquierda o bien a la derecha pero no sumados todos porque darían cero. MhBA = MºBA+ µBA θB
→ Momento flexor en B
MhBc = -MºBC+ µBA θB + mBC θC
→ - (Momento flexor en B)
MhCB = MºCB+ µCB θB + mBC θC
→ Momento flexor en C
MhCD = -MºCD+ µCD θB
→ - (Momento flexor en C)
Más aún, es conveniente resolver el sistema a izquierda y a derecha por separado ya que tienen que tener igual valor con signos opuestos y de esta forma se puede verificar la corrección del resultado. En este punto, el hiperestático está resuelto pero les indicaremos una forma de obtener los esfuerzos característicos de cada barra, en forma separada. En primer lugar, se obtienen los diagramas de corte. Para ellos se resuelven barras simplemente apoyadas con las cargas y los momentos en los extremos. Esto nos permite utilizar el principio de superposición y resolver la viga dos veces. La primera, como viga simplemente apoyada con las cargas. La segunda, con los momentos en los extremos.
q
Mizq
Mder
=
q
+ Mizq
Mder
Para el caso de los momentos se puede aplicar la siguiente fórmula Qizq = (Mder-Mizq) / l Qder = (Mizq-Mder) / l Finalmente el momento de tramo puede obtener a partir del corte izquierdo y el momento. Para determinar el momento máximo de tramo se debe encontrar el punto en el cual se produce cuando el cambio de signo del diagrama de corte. El punto de momento máximo tiene dos posibilidades: a) El cambio de signo del diagrama de corte se puede producir por efecto de una carga concentrada lo que genera un punto de quiebre en el diagrama de momento flexor. b) El cambio de signo se produce porque el diagrama de corte corta al eje de la viga, lo que genera una tangente horizontal del diagrama de momentos. a)
a)
En el primer caso, se toman momentos a izquierda desde el punto de cambio de signo del diagrama de corte. En el segundo caso, hay que determinar la coordenada de corte nulo. Qizq– q . x = 0 x = Qizq / q Finalmente Mtr = Qizq . x – q . x² / 2 - Mizq OTROS MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE HIPERESTÁTICOS
El Método de las Fuerzas o de las Deformaciones son los métodos troncales y tradicionales, pero existen un gran número de métodos de resolución de hiperestáticos. Entre los más populares podemos nombrar al Método de Cross que en realidad es un derivado del método de las deformaciones y permite resolverlo en forma iterativa. También existen tablas para la resolución de hiperestáticos. Estas tablas brindan divisores que permiten obtener momentos y cortes. En el primer caso estos valores dividen a la carga multiplicada por la luz al cuadrado y en el segundo, la carga multiplicada por la luz. Lo que es necesario advertir es que su alcance está
limitado al caso de cargas iguales y luces iguales aceptando muy leves variaciones. Incluso la llamada adaptación del 15% corresponde a una reducción de los momentos de apoyo y el consiguiente aumento de los momentos de tramo. La ventaja que tienen es que en realidad son diagramas envolventes ya que si bien las cargas permanentes se aplican en todos los casos, las sobrecargas sólo se aplican alternadamente a fin de obtener los casos más desfavorables. Por eso se ingresa como dato la relación entre cargas permanentes y cargas totales, el esquema de cortes y momentos aparece quebrado. A ese diagrama que toma los casos más desfavorables de esfuerzos característicos, se los denomina diagramas envolventes. Por último hay que hablar de la resolución de sistemas hiperestáticos por computadoras. En la actualidad existen gran número de programas de resolución de pórticos no sólo planos sino también espaciales, que presentan muchas posibilidades de combinación de barras y también permiten intercalar articulaciones, etc. Incluso la generación ha mejorado sensiblemente ya que se puede dibujar la estructura y el programa la interpreta, reduciendo engorrosos ingresos de datos. También permiten obtener los diagramas de esfuerzos característicos. En realidad, la utilización de estas poderosas herramientas de cálculo ha desplazado el problema de la resolución de estos sistemas. Anteriormente la dificultad se centraba en la resolución, hoy día, el problema es analizar la validez de las hipótesis y la interpretación de los resultados obtenidos.
