Aula Prática 4 - nhambiu.uem.mz

UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE – Faculdade de Engenharia

Transmissão de calor

3º Ano

Prof. Dr. Engº Jorge Nhambiu & Engº Paxis Roque

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Aula Prática 4

Regime transiente


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Problema -10.1 Placas de latão de 20 mm de espessura são aquecidas durante 15 minutos num forno onde o coeficiente de troca de calor por convecção é de 75 W/m2.°C C. Determine a temperatura da superfície das placas ao sair do forno, sabendo que as propriedades das placas à temperatura do forno são k = 98 W/m.°C, α = 32×10-6 m2/s. Utilize se possível, Utilize, possível os 3 métodos estudados para a solução deste problema.

Forno 800°C

Placas 30°C


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Problema -10.1 (Resolução I) Assume-se: 1.Condução de calor na placa é unidimensional uma vez que a placa é grande em relação à sua espessura e não há simetria térmica em relação ao plano central; 2.As propriedades térmicas da placa são constantes; 3.O coeficiente de transferência de calor é constante e uniforme em toda a superfície; 4 Se o número de Fourier é τ> 0,2 4.Se 0 2 uma solução aproximada pode se obtida usando as cartas de temperatura transiente. Prof. Dr. Engº Jorge Nhambiu & Engº Paxis Roque

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Problema -10.1 (Resolução II) O número ú d Biot determina-se de d d de: hL ((75 W/m 2 .°C)(0, )( , 02 m)) Bi = 0 015 = = 0, k (98 W/m.°C)

Ass co constantes sta tes λ1 e Α1 co correspondentes espo de tes ao número ú e o de Biot ot são retiradas da tabela abaixo. λ1 = 0,1204 e A1 = 1, 002


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Problema -10.1 (Resolução II)


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Problema -10.1 (Resolução III) O número de Fourier será: αt

((32 ×10−6 m 2 /s)(15 )( min × 60 s/min)) τ= 2 = = 72 > 0, 02 L (0, 02 m) 2

Portanto,, a curto p prazo uma solução ç aproximada p ((ou as cartas de temperatura transiente) é aplicável. Em seguida, a temperatura na superfície das placas, torna-se: θ ( L, t ) wall =

2 2 T ( x, t ) − T∞ = A1e − λ1 τ cos(λ1 L / L) = (1, 002)e − (0,1204) (72) cos(0,1204) = 0,349 Ti − T∞

T ( L, t ) − 800 = 0,349 ⎯⎯ → T ( L, t ) = 530,55 °C 30 − 800


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Problema -10.1 (Resolução IV) Este problema pode ser resolvido facilmente utilizando o sistema de análise concentrada visto q que Bi <0,1. α=

k ρC p

→ ρC p =

k

α

=

98 W/m ⋅°C 6 3 = 3, 06 × 10 W ⋅ s/m ⋅°C -6 2 32 × 10 m / s

hA hA h 75 W/m 2 ⋅°C -1 b= = = = = 0, 0012 s ρVC p ρ ( LA)C p L ρ C p (0, 02 m)(3, 06 × 106 W ⋅ s/m3 ⋅°C) T (t ) − T∞ = e − bt Ti − T∞ T (t ) = T∞ + (Ti − T∞ )e

− bt

= 800°C + (30-800°C)e

− (0,0012 s-1 )(900 s)

= 538,97 °C

Portanto, os resultados são aproximados.


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Problema -10.1 (Resolução V) O problema pode também ser reolvido usando as cartas de Heisler.


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Problema -10.1 (Resolução VI) O inverso do número de Biot é: 1 1 = = 66, 67 Bi 0, 015

e número de Fourier αt

(32 ×10−6 m 2 /s)(15 min × 60 s/min) τ= 2 = = 72 > 0, 02 2 L (0, 02 m)

Das cartas resulta que: θ ( L, t ) wall =

T ( x, t ) − T∞ = 0,33 Ti − T∞

T ( L, t ) − 800 = 0,33 , ⎯⎯ → T ( L, t ) = 545,9 , °C 30 − 800 Prof. Dr. Engº Jorge Nhambiu & Engº Paxis Roque

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Problema -10.2 (I) Um veio i cilindrico ili d i de d aço de d raio i 20 cm inicialmente i i i l a temperatura de 500ºC, é colocado num ambiente onde a temperatura do ar é de 100 ºC C para que possa arrefecer lentamente. As propriedades do aço à temperatura dada do ambiente são: k = 16 W/m·°C, ρ = 7900 kg/m3, Cp = 477 J/kg·°C, α = 4×10-6 m2/s. Determine a temperatura no centro do veio passados 30 minutos e a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento do veio, veio sabendo que o coeficiente de troca de calor por convecção é de 60 W/m2· Ar ºC. T∞ = 100°C

Veio de aço Ti = 500°C


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Problema -10.2 (Resolução I) Assume-se: 1 Condução de calor unidimensional, 1.Condução unidimensional visto que o veio é longo e existe uma simetria térmica relativamente ao eixo. 2.Propriedades térmicas constantes 3.Coeficiente de transferência de calor constante em toda superfície 4 Se o número de fourier é τ > 0,2 4. 0 2 pode-se utilizar a solução aproximada usando as cartas Heisler


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Problema -10.2 (Resolução II) O número de Biot determina-se de: hro (60 W/m 2 .°C)(0, 2 m) = = 0, 75 Bi = k (16 W/m. W/m °C)

As constantes λ1 e Α1 correspondentes ao número de Biot são retiradas da tabela apresentada no problema 8.10 λ1 = 1,118 e A1 = 1,163

O número de fourier será: αt

(4 ×10−6 m 2 /s)(30 × 60 s) τ= 2 = = 0,18 0 18 2 L (0, 2m)


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Problema -10.2 (Resolução III) que é muito próximo ao valor de 0,2. Portanto, uma solução aproximada p usando as cartas de temperatura p transiente p pode ser considerada, com o entendimento de que o erro envolvido será um pouco mais de 2 por cento. Em seguida, a temperatura no centro do veio torna-se: torna se θ 0,cyl

T0 − T∞ − λ12τ − (1,118)2 (0,18) = = A1e = (1,163)e = 0,928 Ti − T∞

T0 − 100 = 0,928 ⎯⎯ → T0 = 471,5 °C 500 − 100


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Problema -10.2 (Resolução IV) O máximo de calor que pode ser transferido a partir do cilindro por unidade de comprimento será: m = ρV = ρπ ro 2 L = (7900 kg/m3 )[π (0, 2 m) 2 (1 m)] = 316 kg Qmax = mC p [T∞ − Ti ] = (316 kg)(0, 477 kJ/kg.°C)(500 − 100)°C = 60.292,8 kJ

Uma vez que a constante J1= 0,4758 é determinado a partir do Quadro abaixo correspondente ao constante λ1=1,118, a t transferência f ê i de d calor l torna-se t real. l


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Problema -10.2 (Resolução V)

⎛ Q ⎞ ⎛ T0 − T∞ ⎞ J1 (λ1 ) ⎛ 471,5 − 100 ⎞ 0, 4758 = 1− 2⎜ = 0, 209 ⎜ ⎟ = 1− 2⎜ ⎟ ⎟ λ 500 100 1,118 Q T T − − ⎝ ⎠ ⎝ max ⎠cyl ⎝ i ∞⎠ 1 Q = 0, 209(60.292,8kJ) = 12630, 28 kJ


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Problema -10.3 (I) Uma maçã de 10 cm de diâmetro é conservada numa geleira durante uma hora. Determine a temperatura no centro e na superfície da maçã e a taxa de transferência de calor da maçã, sabendo que as propriedades da maçã são k = 0,450 W/m·° C, ρ = 840 kg/m g 3, Cp p = 3,8 kJ/kg·° J g C, e α = 1,3 × 10-7 m2 s. O coeficiente de transferência de calor por convecção é de 9 W/m2·°° C Prof. Dr. Engº Jorge Nhambiu & Engº Paxis Roque

Ar T∞ = -12°C

maçã Ti = 20°C

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Problema -10.3 (II) Assume-se 1.A condução de calor na maçã é unidimensional; 2.As propriedades térmicas da maçã são constantes; 3.O coeficiente de transferência de calor é constante e uniforme f em toda d a superfície; fí 4. Se o número de Fourier é τ> 0,2 uma solução aproximada usando as cartas de temperatura transiente é aplicável. aplicável


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Problema -10.3 (Resolução I) O número de Biot determina-se de: hro (9 W/m h W/ 2 .°C)(0, C)(0 05 m)) = = 1, 0 Bi = (0, 450 W/m.°C) k

As constantes λ1 e Α1 correspondentes p ao número de Biot são retiradas da tabela apresentada no problema 8.10 λ1 = 1,5708 , e A1 = 1,, 2732

O número de fourier determina-se de: αt

(1,3 × 10−7 m 2 /s)(1 h × 3600 s/h) τ= 2 = = 0,1872 2 r0 (0, 05 m) Prof. Dr. Engº Jorge Nhambiu & Engº Paxis Roque

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Problema -10.3 (Resolução II) A temperature no centro da maçã será: θ o , sph =

2 2 T0 − T∞ T − (−12) = A1e − λ1 τ ⎯⎯ → 0 = (1, 2732)e − (1,5708) (0,1872) = 0,802 ⎯⎯ → T0 = 13, 66°C Ti − T∞ 20 − (−12)

E a temperature na superfície da maçã determina-se de: θ (ro , t ) sph

T (ro , t ) − T∞ − λ12τ sin(λ1ro / ro ) = = A1e λ1ro / ro Ti − T∞

θ (ro , t ) sphh = (1, 2732)e − (1,5708)

2

(0,1872)

sin(1,5708 rad) = 0,510 1,5708

T (ro , t ) − (−12) = 0,510 ⎯⎯ → T (ro , t ) = 4,32°C 20 − (−12) Prof. Dr. Engº Jorge Nhambiu & Engº Paxis Roque

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Problema -10.3 (Resolução III) A taxa máxima de transferência de calor será: 4 ⎡4 ⎤ m = ρV = ρ π ro 3 = (840 kg/m3 ) ⎢ π (0, 05 m)3. ⎥ = 0, 439 kg 3 ⎣3 ⎦

Qmax = mC p (Ti − T∞ ) = (0, 439 kg)(3,8 kJ/kg.°C) [ 20 − (−12)] °C = 53, 48 kJ

Portanto, a taxa actual de transferência de calor calcula-se de: sin(λ1 ) − λ1 cos(λ1 ) Q = 1 − 3θ o , sph Qmax λ13 Q sin(1 5708 rad) − (1 sin(1,5708 (1,5708) 5708) cos(1,5708 cos(1 5708 rad) = 1 − 3(0,802) = 0,379 3 Qmax (1,5708) Q = 0,379Qmax = (0,379)(53, 48 kJ) = 20,3 kJ Prof. Dr. Engº Jorge Nhambiu & Engº Paxis Roque

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Trabalho Para Casa 04 (I) () Uma bola de aço com C=0,46 kJ/kg ◦C , k= 35 W/m ⁰C, de 5 cm de diâmetro e inicialmente a temperatura uniforme de 500 ◦C é subitamente colocada num ambiente controlado, onde a temperatura p é mantida a 100 ⁰C. O coeficiente de transferência de calor por convecção é 10 W/m2 ⁰C. Calcule o tempo necessário para que a bola atinja a temperatura de 149 ⁰C C.

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Trabalho Para Casa 04 ((II)) No mesmo gráfico represente a variação da temperatura com o tempo, com incrementos de tempo de 5 minutos, da bola de 5cm e de uma do mesmo material sob as mesmas condições, condições mas com o dobro do diâmetro, até a bola de 5 cm de diâmetro atingir a t temperatura t de d 149 ⁰C. ⁰C Comente os resultados. Enviar até as 5 horas de sexta-feira dia 26 de Março com o “subject”: TPC04 Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu

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