Cilindro 1. (Ueg 2013) Uma coluna de sustentação de determinada ponte é um cilindro circular reto. Sabendo-se que na maquete que representa essa ponte, construída na escala 1: 100, a base da coluna possui 2 cm de diâmetro e 9 cm de altura, o volume, em m3 de concreto utilizado na coluna, é: (Use π 3,14) a) 2,826 b) 28,26
c) 282,6
d) 2826
2. (Ufmg 2013) O lucro bruto de uma empresa é a diferença entre a receita obtida com as vendas e o custo de produção. Um determinado fabricante de cerveja só vende latas cilíndricas de alumínio, fechadas, cheias de cerveja, com 12 cm de altura e 3 cm de raio. O custo da produção de certo número de latas cheias de cerveja é de 1 real por litro de cerveja e mais p reais por metro quadrado de alumínio utilizado na fabricação das latas. A receita da empresa por cada litro de cerveja vendido é de dois reais por litro. Considerando estas informações, a) DETERMINE a receita gerada pela venda de cada lata de cerveja. b) DETERMINE o custo total de produção de cada lata de cerveja em função de p. c) DETERMINE o valor máximo do preço p do alumínio para que o fabricante não tenha prejuízo. 3. (Espm 2012) Dois copos cilíndricos têm o mesmo volume. Seus diâmetros internos medem 6cm e 8cm, respectivamente. Se a soma das suas alturas é igual a 24cm, a diferença entre elas é de: a) 5,34 cm b) 8,12 cm c) 5,78 cm d) 7,66 cm e) 6,72 cm 4. (Ufpb 2012) Sr. Ptolomeu construirá em sua chácara um jardim de formato circular com 16 m de diâmetro. Contornando o jardim, haverá uma calçada, medindo 1 m de largura por 0,1 m de altura, conforme figura a seguir:
Supondo que o preço médio do m3 da calçada a ser construída é de 100 reais, conclui-se que a despesa do Sr. Ptolomeu com a construção da calçada será, aproximadamente, de: a) 685,30 reais b) 653,80 reais c) 583,30 reais d) 533,80 reais e) 835,30 reais www.nsaulasparticulares.com.br
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5. (Insper 2012) Na figura a seguir, a base inferior do cubo de aresta a está inscrita na base superior do cilindro circular reto de altura a.
A distância entre o vértice V do cubo e o centro da base inferior do cilindro é igual a a) b) c) d) e)
5a 3 . 2 5a 2 . 2 3a 3 . 2 a 3 . 2 3a 2 . 2
6. (Ueg 2012) Em uma festa, um garçom, para servir refrigerante, utilizou uma jarra no formato de um cilindro circular reto. Durante o seu trabalho, percebeu que com a jarra completamente cheia conseguia encher oito copos de 300ml cada. Considerando-se que a altura da jarra é de 30cm, então a área interna da base dessa jarra, em cm, é a) 10 b) 30 c) 60 d) 80 7. (Ucs 2012) A água colhida por um pluviômetro cilíndrico de 40 cm de diâmetro, durante uma chuva torrencial, é depois colocada em um recipiente também cilíndrico, cuja circunferência da base mede 24π cm. Qual é a altura que a água havia alcançado no pluviômetro, se no recipiente ela alcançou 200 mm de altura? a) 1,2 cm b) 12 cm c) 3,6 cm d) 7,2 cm e) 72 cm
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8. (Unifesp 2012) Por motivos técnicos, um reservatório de água na forma de um cilindro circular reto (reservatório 1), completamente cheio, será totalmente esvaziado e sua água será transferida para um segundo reservatório, que está completamente vazio, com capacidade maior do que o primeiro, também na forma de um cilindro circular reto (reservatório 2). Admita que a altura interna h(t), em metros, da água no reservatório 1, t horas a partir do instante em que se iniciou o processo de esvaziamento, pôde ser expressa pela função 15t 120 h(t) t 12 a) Determine quantas horas após o início do processo de esvaziamento a altura interna da água no reservatório 1 atingiu 5 m e quanto tempo demorou para que esse reservatório ficasse completamente vazio. b) Sabendo que o diâmetro interno da base do reservatório 1 mede 6 m e o diâmetro interno da base do reservatório 2 mede 12 m, determine o volume de água que o reservatório 1 continha inicialmente e a altura interna H, em metros, que o nível da água atingiu no reservatório 2, após o término do processo de esvaziamento do reservatório 1. 9. (Ulbra 2012) A Gestão Ambiental visa ao uso de práticas que garantem a conservação e a preservação da biodiversidade, a reciclagem das matérias-primas e a redução do impacto ambiental das atividades humanas sobre os recursos naturais. Consciente da importância de reaproveitar sobras de madeira, uma serraria que trabalha apenas com madeira de reflorestamento resolveu calcular a sobra de madeira na confecção de peças cilíndricas. Para confeccionar uma peça cilíndrica, a serraria faz os cortes adequados em um prisma quadrangular de arestas da base 5 cm e altura 0,8 m e obtém um cilindro de 5 cm de diâmetro e 0,8 m de altura. A sobra de madeira na fabricação de mil destas peças é, em cm 3 (utilize π = 3,14), a seguinte: a) 4,3 x 10-5. b) 430. c) 4,3 x 105. d) 1 570. e) 2 000. 10. (Ufba 2012) Um reservatório em forma de cilindro circular reto de raio da base r = 0,80m e altura H metros tem capacidade para 1984 litros de combustível e, para enchê-lo, são utilizados álcool e gasolina na proporção de um litro de álcool para quatro litros de gasolina. O gráfico – em que h indica, em cm, a altura do nível de combustível contido no reservatório – descreve a variação desse nível durante um período de dez horas.
Considerando-se π 3,1 e que não houve entrada e saída simultâneas de combustível do reservatório, pode-se afirmar: 01) O reservatório, quando cheio, contém 396,8 litros de álcool. 02) O reservatório estava cheio quando t = 6. 04) Em t = 0, havia no reservatório 600 litros de combustível. 08) Em t = 2, o combustível que havia no reservatório ocupava menos da metade de sua capacidade. 16) No intervalo de tempo entre t = 6 e t = 9, houve um consumo médio de combustível de 198,4 litros por hora. 32) No intervalo de tempo entre t = 4 e t = 6, houve crescimento do consumo de combustível. www.nsaulasparticulares.com.br
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11. (Unisc 2012) Uma indústria de tonéis produz 4000 unidades mensais. Estes tonéis são cilindros equiláteros de 1 metro de altura. Para pintar a superfície lateral desses cilindros, é utilizada uma tinta cujo rendimento é de 200 gramas por m2 . Calculando a quantidade de tinta consumida a cada mês, encontramos um valor próximo de Observação: Utilize o valor da constante π Pi 3,14 a) 1.500 kg. b) 1.800 kg. c) 1.900 kg. d) 2,2 toneladas. e) 2,5 toneladas. 12. (Ufmg 2012) João comprou um balde em forma de um cilindro circular reto, cujo diâmetro da base D, e cuja altura H medem, cada um deles, 30 cm. Ele precisa introduzir, nesse balde, verticalmente, uma peça metálica, também em forma ver de um cilindro circular reto, cujo diâmetro da base d, e cuja altura l medem, respectivamente, 20 cm e 27 cm. Suponha que o balde contém água até um nível h. Considerando essas informações, a) Calcule o volume total do balde, em cm3. b) Calcule o volume total da peça metálica, em cm3.
2 dela ficassem 3 fora do balde, o nível da água subiria até atingir a borda, sem transbordar. Suponha que, em seguida, a peça foi introduzida, de modo que a metade dela ficou fora do balde. Determine o volume da água que transborda, nesse caso.
c) João observou que, se a peça fosse introduzida no balde, de modo que
13. (Acafe 2012) Uma piscina cilíndrica, cujas medidas são indicadas na figura abaixo, é cheia com uma mangueira a uma taxa de 1.570 L por hora. Com base nestes dados, e considerando π 3,14, analise as afirmações a seguir.
I. A função h(t), em que h indica a altura alcançada pela água dentro da piscina em metros e t o tempo em horas, é uma função do segundo grau. II. O enchimento da piscina será interrompido quando a piscina estiver completamente cheia; neste caso, pode-se dizer que a função h(t) tem como domínio o conjunto D t | 0 x 12,56. III. O tempo total de enchimento desta piscina será de 12 horas e 56 minutos. Assinale a alternativa correta. a) Apenas I e II são verdadeiras. b) Apenas II e III são verdadeiras. c) Todas as afirmações são verdadeiras. d) Apenas a afirmação II é verdadeira.
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14. (G1 - ifsc 2012) A lata abaixo deverá ser produzida a partir de uma chapa de metal que possui 0,8 g por centímetro quadrado de área.
Sabendo que essa lata não possui tampa, é CORRETO afirmar que a massa de cada lata desse tipo será de: a) 2900π g. b) 5250π g. c) 10400π g. d) 13000π g. e) 8240π g. 15. (Ufpr 2012) As duas latas na figura abaixo possuem internamente o formato de cilindros circulares retos, com as alturas e diâmetros da base indicados. Sabendo que ambas as latas têm o mesmo volume, qual o valor aproximado da altura h?
a) 5 cm. b) 6 cm. c) 6,25 cm. d) 7,11 cm. e) 8,43 cm. 16. (Acafe 2012) Um posto de combustíveis abastece mensalmente seu reservatório cilíndrico subterrâneo, cujas medidas estão indicadas no esquema a seguir.
Considerando que o reservatório esteja vazio e que será abastecido com 80% de sua capacidade por um caminhão tanque, a uma vazão de 10 L por segundo, em aproximadamente quantos minutos o reservatório será abastecido? a) 59 min. b) 51 min. c) 47 min. d) 48 min.
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17. (Udesc 2011) A figura ilustra duas moedas brasileiras, a de R$ 1,00 e a de R$ 0,50, descritas a seguir.
Moeda de R$ 1,00 — As faces da moeda são compostas por dois círculos concêntricos. O diâmetro do círculo maior é igual a 2,8cm e o diâmetro do círculo menor é igual a 1,8cm. A espessura desta moeda é igual a 1,5mm. Moeda de R$ 0,50 — As faces da moeda são compostas por um círculo de diâmetro igual a 2,2cm. A espessura desta moeda é igual a 3mm. Com base nestas informações, analise as proposições abaixo. I. O volume de metal necessário para cunhar a região situada entre os círculos concêntricos da moeda de R$ 1,00 é aproximadamente 0,1725 cm3 . II. Para cunhar uma moeda de R$ 1,00 é necessário aproximadamente 0,069 cm3 de metal a mais que para cunhar uma moeda de R$ 0,50. III. A área entre os círculos concêntricos da moeda de R$ 1,00 é 0,34 cm2 maior que a do círculo interno. Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. b) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. c) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. d) Todas as afirmativas são verdadeiras. e) Todas as afirmativas são falsas. 18. (Uftm 2011) Um paralelepípedo reto-retângulo, de volume V1, e um cilindro circular reto, de raio R = 0,5 m e volume V2, têm a mesma altura h = 4 m.
Se
V1 2 , então a medida x da aresta da base do paralelepípedo é igual a V2
a) 5 2.
b)
5 2 . 2
c)
2 . 2
d)
2 . 4
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e)
10 . 4
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19. (G1 - ifal 2011) Arquimedes, para achar o volume de um objeto de forma irregular, mergulhou-o num tanque cilíndrico circular reto contendo água. O nível da água subiu 10 cm sem transbordar. Se o diâmetro do tanque é 20 cm, então o volume do objeto é:
a) b) c) d) e)
1.000 2.000 3.000 4.000 5.000
20. (Ufrgs 2011) Um tipo de descarga de água para vaso sanitário é formado por um cilindro com altura de 2 m e diâmetro interno de 8 cm. Então, dos valores abaixo, o mais próximo da capacidade do cilindro é a) 7L. b) 8L. c) 9L. d) 10L. e) 11L.
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Gabarito: Resposta da questão 1: [B] O volume da coluna na maquete é dado por 2
2 π 9 3,14 1 9 28,26cm3 28,26 106 m3 . 2
Como a escala da maquete é de 1: 100, segue que o volume pedido é tal que 28,26 106 1 3 V 28,26 m . 100 V 3
Resposta da questão 2: a) Volume da lata: V π 32 12 108 πcm3 0,108 πL. Receita por lata = 2 (0,108π) 0,216π reais. b) Calculando a superfície da lada: S 2π 3 12 2.π.32 90 πcm2 0,009 πm2. Custo total da lata de cerveja: C 0,108π 1 p 0,009π 0,009π 12 p c)
RC 0 0,216π 0,009π 12 p 0 0,009p 0,108 p 12
Resposta: 12 reais. Resposta da questão 3: [E]
π.32.x π.42.y 9x 16y 9x 16y resolvendo o sistema ,x 15,36 e y 8,64 x y 24 fazendo x y,temos: 15,36 8,64 6,72.
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Resposta da questão 4: [D] V = Ab . h V = π (92 – 82 ).0,1 V = 3,14.(81 – 64).0,1 V = 3,14.17.0,1 V = 5,338m3 Resposta da questão 5: [E] Considere a figura, sendo A o pé da perpendicular baixada de V sobre a base inferior do cilindro e C o centro da mesma.
Como AC é igual à metade da diagonal da face do cubo, vem que AC
a 2 . Além disso, 2
VA 2a e, portanto, pelo Teorema de Pitágoras, obtemos a 2 VC VA AC VC (2a) 2 2
2
2
2
2
2
2
VC 4a2 VC
9a2 2
VC
3a 2 . 2
a2 2
Resposta da questão 6: [A]
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Ab área da base 1mL 1cm3 Volume da jarra 8 30mL 2400mL 2400cm3 Ab .30 2400 Ab 80cm2 Resposta da questão 7: [D] Seja r o raio da base do recipiente. Se a circunferência da base do recipiente mede 24π cm, então 24π 2π r r 12 cm. Logo, o volume de água transferido para o recipiente é dado por π 122 20cm3 . Por outro lado, como o diâmetro da base do pluviômetro mede 40 cm, segue que o raio da sua 40 20 cm. 2 Portanto, se h é a altura que a água atingiu no pluviômetro, então
base mede
π 202 h π 122 20 h
144 7,2cm. 20
Resposta da questão 8: a) Queremos calcular t, para o qual h(t) 5 m. Desse modo, 5
15t 120 t 12 3t 24 t 6 h. t 12
Por outro lado, para que o reservatório 1 fique vazio, deveremos ter h(t) 0. Assim, 0
15t 120 15t 120 0 t 8 h. t 12
b) Para determinarmos a altura do reservatório 1 basta calcularmos h(0). Logo, 15 0 120 10 m. 0 12 Se D 6 m é o diâmetro interno do reservatório 1, segue que o volume de água que esse reservatório continha inicialmente é dado por h(0)
2
2
D 6 h(0) 10 90 m3 9 104 L, 2 2 Portanto, como o raio interno da base do reservatório 2 mede
12 6 m, temos que a altura 2
atingida pela água nesse reservatório foi de 90 62 H H 2,5 m. Resposta da questão 9: [C] A sobra de madeira na fabricação de uma peça, em cm3, é dada por 2
5 3,14 52 80 π 80 2000 1 4 2 2000 0,215 430. www.nsaulasparticulares.com.br
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Portanto, na fabricação de 1.000 peças, a sobra de madeira é 430 1000 4,3 105. Resposta da questão 10: 01 + 08 + 16 = 25. Verdadeira. Como são utilizados álcool e gasolina na proporção de um litro de álcool para 1984 quatro litros de gasolina, segue que o reservatório, quando cheio, contém 396,8 5 litros de álcool. Falsa. Do gráfico, temos que, para t 6, a altura do nível de combustível contido no reservatório é h 70cm 7dm. Logo, o volume de combustível nesse instante é: π 82 7 3,1 64 7 1.388,8dm3 1.388,8 L 1.984 L. 04. Falsa. Para t 0, temos que h 30cm 3dm. Logo, havia no reservatório: π 82 3 3,1 64 3 595,2dm3 595,2 L 600 L. 08. Verdadeira. Devemos calcular a altura do combustível no cilindro para t 2. A reta que passa pelos pontos (0, 30) e (4, 60) tem valor inicial 30 e taxa de variação
15 60 30 15 . Logo, sua equação é y x 30. Segue que para x 2, temos 40 2 2 15 y 2 30 45cm 4,5dm. 2 Portanto, para t 2, o combustível que havia no reservatório ocupava 1984 π 82 3 3,1 64 4,5 892,9dm3 892,9 L L 992 L, ou seja, menos da metade 2 de sua capacidade. 16. Verdadeira. Entre t 6 e t 9, houve um consumo médio de combustível de
π 82 (4 7) 3,1 64 3 198,4 dm3 h 198,4L h. 96 3 32. Falsa. A função h, que expressa a altura de combustível no cilindro em função do tempo, é crescente no intervalo ]4, 6[. Logo, como não houve entrada e saída simultâneas de combustível do reservatório nesse intervalo, segue que o volume de combustível aumentou, não havendo, portanto, crescimento do consumo de combustível. Resposta da questão 11: [E] A área total a ser pintada é dada por 1 4000 π 1 4000 3,14 m2 . 2 Portanto, como o rendimento da tinta é 200 g m2 tinta é 4000 3,14
1 kg m2 , segue que o consumo mensal de 5
1 2.512kg 2,5 ton. 5
Resposta da questão 12: a) Vbalde πR2H Vbalde π(15)2 30 Vbalde 6750π cm3 b) VPeça πR2H VPeça π(10)2 27 VPeça 2700π cm3
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1 1 VPeça Vagua 6750 (2700π) Vagua 5850πcm3 3 3 1 2700π Vpeça 6750cm3 5400π cm3 2 2
c) Vagua Vbalde Vbalde
Portanto, transborda: 5850π 5400π 450π cm3 . Resposta da questão 13: [D] 4 2 m e a vazão da mangueira é 2 1,57 1.570 L h 1,57 m3 h, segue que π 22 h(t) 1,57 t h(t) t, ou seja, f é uma 4π função linear. II. Verdadeira. Quando a piscina estiver totalmente cheia, teremos h(t) 1,57. Logo,
I. Falsa. Como o raio da base da piscina é
1,57 t t 12,56 s. 4π Portanto, como a piscina começa a ser enchida em t 0, segue que o domínio de h é D {t | 0 x 12,56}. III. Falsa. De (II) vem 12,56 h 12 h 0,56 60min 12 h 33,6min 12 h 33min 0,6 60 s 12 h 33min 36 s 12 h 56min. 1,57
Resposta da questão 14: [A] Área da superfície externa da lata: A = π 252 + 2 π 25 60 = 625 π + 3000 π = 3625 π cm2. Cálculo da massa da lata: 0,8 3625 π = 2900 π g. Resposta da questão 15: [D] VI = VII
π.62.h π.82.4 64.4 h 36 h 7,11 cm Resposta da questão 16: [C] 2
9 3 A capacidade do reservatório é dada por π 5 3,14 5 35,325 m3 35325 L. 2 4
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Sabendo que o reservatório será abastecido com 80% de sua capacidade, segue que o caminhão tanque despejará 0,8 35325 28.260 litros no cilindro e, portanto, levará 28260 2826 2.826 segundos ou 47 minutos para realizar o abastecimento. 10 60 Resposta da questão 17: [B] I. Verdadeira. O volume de metal necessário para cunhar a região situada entre os círculos concêntricos da moeda de R$ 1,00 é dado por (1,42 0,92 ) 0,15 (1,96 0,81) 0,15 0,1725 cm3 .
II. Falsa. Para cunhar uma moeda de R$ 1,00 são necessários 1,42 0,15 0,294 cm3, enquanto que na moeda de R$ 0,50 o volume de metal necessário é de 1,12 0,3 0,363 cm3 . Portanto, para cunhar uma moeda de R$ 1,00 são necessários 0,363 0,294 0,069 cm3 de metal a menos do que para cunhar uma moeda de R$ 0,50.
III. Verdadeira. A área entre os círculos concêntricos da moeda de R$ 1,00 é dada por
(1,42 0,92 ) 1,15 cm2, enquanto que a área do círculo interno é 0,92 0,81 cm2 . Logo, a diferença entre essas duas áreas é 1,15 0,81 0,34 cm2 . Resposta da questão 18: [C]
x2 .h 2
π.(0,5) .h
2 1 2 x2 x π 2 2
Resposta da questão 19: [A] O volume do objeto é dado por 2
20 10 1.000 cm3 . 2
Resposta da questão 20: [D] Se a altura do cilindro mede 2 m 20dm e o diâmetro 8cm 0,8dm, então a capacidade do 2
0,8 3 cilindro é dada por 20 3,14 0,16 20 10,048dm 10 L. 2
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