Congruencias y solución de problemas
Instituto de Verano AFAMaC 2010 Arturo Portnoy
Congruencias ●
Supongamos que en este momento son las 10:00 am. ¿Qué hora será dentro de 2500 horas? ¿Y qué hora fue hace 2500 horas?
Congruencias ● ●
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Decimos que a≡b (mod n) si n|a-b. La congruencia induce una relación de equivalencia en los enteros. Encontrar las clases de equivalencia módulo 4.
Congruencias ●
Encontrar 2 enteros positivos y 2 negativos ≡ 38 (mod 3).
Congruencias ●
Propiedades algebráicas de la congruencia.
Congruencias ●
Encontrar el residuo módulo 5 de 37^4+49(801)+120.
Congruencias ●
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Principio de sustitución: en sumas y productos en una congruencia podemos sustituir cantidades congruentes. OJO: 12^6≡2^6 (mod 5) pero 2^6 no es congruente a 2^1 (mod 5).
Congruencias ●
Demostrar que módulo 3 y módulo 9, cualquier número es congruente a la suma de sus dígitos. Estos son los criterios de divisibilidad para el 3 y 9.
Congruencias ●
Encontrar el dígito de las unidades de 2(325)+3(8^7)+5104+123^5.
Congruencias ●
Encontrar el dígito de las unidades de 3^2008+3^2006.
Congruencias ●
Deducir el criterio de divisibilidad del 11, usando congruencias.
Congruencias ●
Se tienen 2003 tarjetas numeradas. Se remueven de 3 consecutivas en 3 consecutivas hasta quedar 2. Juan dice que quedó la tarjeta 1002. ¿Miente o dice la verdad?
Congruencias ●
Conjuntos de residuos: Zn.
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Operaciones en Zn.
Congruencias ●
Probar que en cualquier colección de 7 o más enteros siempre hay dos cuya suma o diferencia es divisible entre 11.
Congruencias ●
Escribir tabla de suma y producto para Z2, Z3, Z4, Z5 y Z6. Observar inversos aditivos y multiplicativos.
Congruencias ●
Encontrar el inverso multiplicativo de 3 módulo 17.
Congruencias ●
Encontrar el inverso multiplicativo de 12 módulo 15.
Congruencias ●
Aparear cada uno de los elementos invertibles bajo el producto de Z12 con sus inversos. Repetir para Z17.
Congruencias ●
Encontrar, si existen, las soluciones de 4x≡5 (mod 7).
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Repetir para 4x≡5 (mod 6).
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Repetir para 4x≡8 (mod 6).
Congruencias ●
Un vendedor de naranjas quiere saber cuantas naranjas tenía ayer. Solo recuerda que eran mas de 100 pero menos de 150 y que cuando hacía montones de 2, 3, 4, 5, 6 naranjas siempre sobraba 1.
Congruencias ●
Si S(n) denota la suma de los dígitos de un número natural n, encuentre todas las soluciones de n(S(n)-1)=2010, mostrando que son las únicas. (Problema 1, XII OMCC)
Congruencias ●
Solución de Marcos Pertierra (estudiante de OMPR).
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Sabemos que S(n)≡n (mod 9).
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n(S(n)-1)≡n(n-1)≡2010≡3 (mod 9).
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n²-n-3≡n²-n-12≡0 (mod 9).
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(n+3)(n-4)≡0 (mod 9).
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Por lo tanto, n≡6 (mod 9) o n≡4 (mod 9).
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Además, como n|2010, los únicos factores que satisfacen lo anterior son 6, 15, 67, 402, 670 y 1005. Probando cada uno vemos que el único que sirve es 402.
