Contoh-contoh Soal dan Pembahasan Trigonometri untuk SMA

SMA - 1

Contoh-contoh Soal dan Pembahasan Trigonometri 1. Jika sudut α dan β lancip, cos α =

berapa nilai cos( α - β ) ?

4 24 dan cos β = , 5 25

Jawab : * diketahui cos α =

4 x ; dimana cos α = 5 r

r

y

⇒

x= 4 r=5

α

5 3

α x

r=

x2 + y2

4

r 2 = x2 + y2 y2 = r 2 - x2 = 25 – 16 =9 y = 9 = ± 3 karena sudut lancip berada di kuadran 1 maka nilai yang diambil adalah + 3

sehingga sin α =

3 y = r 5

* diketahui cos β =

24 x ; dimana cos β = 25 r

y2 = r 2 - x2 = 625 – 576 = 49 y=

49 = 7 Æ sudut lancip; sehingga sin β =

y 7 = r 25

Ditanyakan cos( α - β ) ⇒ dari rumus dijabarkan menjadi cos( α - β ) = cos α cos β + sin α sin β

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

SMA - 2 masukkan nilai-nilai di atas : =

4 24 3 7 . + . 5 25 5 25

=

96 21 117 + = 125 125 125

2. Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AB = 3 cm dan BC= 4 cm dan AC = 5 cm. Nilai Cos C adalah….. Jawab :

B 3 (c)

4 (a)

A

C

5 (b) gunakan aturan cosinus

c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C 2 ab cos C = a 2 + b 2 - c 2 cos C =

=

a2 + b2 − c2 2ab 4 2 + 5 2 − 32 38 19 = = 2.4.5 40 20

3. Diketahui cos A =

4 , berada di kuadran kedua, berapa nilai sin 2A …. 5

Jawab: berada di kuadran kedua berarti x nya negatif kuadran I Æ kuadran II Æ kuadran III Æ kuadran IV Æ

x = + ; y= + x=-;y=+ x=-;y=x = + ; y= -

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

SMA - 3

cos A =

4 −4 karena di kuadran kedua maka nilai cos A = 5 5

5 3

-4 cos A =

−4 x = 5 r

r 2 = x2 + y2 y2 = r 2 - x2 = 25 – 16 =9 y = 3 Æ sehingga sin A =

y 3 = r 5

sin 2A = 2 sin A cos A 3 −4 − 24 = = 2. . 5 5 25 4. Bentuk

1 − cos 4 x adalah identik dengan … 2

Jawab: 1 − cos 4 x 1 cos 4 x = 2 2 2 =

1 cos(2 x + 2 x) 2 2

=

1 cos 2 x cos 2 x − sin 2 x sin 2 x 2 2

=

1 cos 2 2 x − sin 2 2 x 2 2 WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

SMA - 4

=

1 (1 − 2 sin 2 2 x) 2 2

=

1 1 - + sin 2 2 x 2 2

= sin 2 2 x

5. Jika

3 1 − cos θ , maka θ = ………. = sin θ 3

jawab : (

1 − cos θ 2 3 ) = ( )2 sin θ 3

1 − 2 cos θ + cos 2 θ 1 = 2 3 sin θ 1 − 2 cos θ + cos 2 θ 1 = 2 3 1 − cos θ 1 – 2 cos θ + cos 2 θ =

⇒

1 – 2 cos θ + cos 2 θ =

1 ( 1- cos 2 θ ) 3

1 1 - cos 2 θ 3 3

2 4 - 2 cos θ + cos 2 θ = 0 3 3 4 2 cos 2 θ - 2 cos θ + = 0 3 3

x3

4 cos 2 θ - 6 cos θ + 2 = 0 pakai rumus ABC : Anggap cos θ = x diketahui a = 4 ; b = -6 dan c = 2 x1, 2 =

− b ± b 2 − 4ac 2a

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

SMA - 5

=

6 ± 36 − 32 6+2 6−2 1 ⇒ x1 = = 1 ; x2 = = 8 8 8 2 x1 = 1 ⇒ cos θ = 1 ; θ = 0 0 x2 =

1 1 ⇒ cos θ = ; θ = 60 0 2 2

Kita masukkan ke dalam persamaan :

θ = 00 1 − cos θ 3 1−1 = ⇒ = ~ ⇒ tidak memenuhi sin θ 3 0

θ = 60 0 1 1 1− 1 − cos θ 3 2 = 2 = = ⇒ 1 1 sin θ 3 3 3 2 2

1 3

=

1 3

x

3 3

=

3 ⇒ memenuhi 3

Sehingga nilai θ = 60 0

6. Bentuk

sin 6 x + sin 4 x senilai dengan …. cos 6 x + cos 4 x

Jawab : 1 1 2 sin (6 x + 4 x) cos (6 x − 4 x) sin 6 x + sin 4 x 2 2 = 1 1 cos 6 x + cos 4 x 2 cos (6 x + 4 x) cos (6 x − 4 x) 2 2 = tan

1 10x = tan 5x 2

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

SMA - 6 7. Persamaan grafik fungsi pada gambar adalah :

Jawab : untuk pemecahan soal spt ini agak sedikit banyak logika yang dipakai dibarengi dengan teori Urutan pemecahannya: - dari grafik di atas dapat ditentukan bahwa grafik adalah sinusoidal sehingga fungsinya adalah sinus atau cosinus (bukan tangen) - kita tentukan nilai maksimum dan minimum : maksimum adalah 1 dan minimum adalah -1 - kita lihat tabel sudut-sudut istimewa :

α

00

30 0

45 0

Sin

0

1

1

Cos

1

1

Tan

0

1

2 2 3

3 3

1

2

2 1

60 0 2

1

2

1

2 2 3

90 0 3

1 0 ~

kita lihat pada grafik apabila x = 15 0 menunjukkan nilai y= 0 ; karena grafik bergeser ke kanan 15 0 maka fungsi yang dipakai adalah ( x − 15) 0 (kalau bergeser kekiri fungsi yang dipakai ( x + 15) 0 ) kalau dimasukkan nilai 15 0 maka ( x − 15) 0 = 0 0 nilai yang memenuhi adalah fungsi sinus karena sin 0 0 = 0 fungsi grafik yang pertama kita dapat y=sin ( x − 15) 0 tetapi karena nilai minimumnya berada di kuadran pertama maka fungsi grafiknya pertamanya menjadi y= -sin ( x − 15) 0 . (di kuadran pertama standarnya adalah positif) WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

SMA - 7 Yang perlu diperhatikan lagi pada grafik memperlihatkan ½ perioda (1 perioda adalah 360 0 sehingga persamaan terakhirnya menjadi y= -sin 2 ( x − 15) 0 Kita coba masukkan nilai perpotongan di sumbu x yaitu 15 0 , 105 0 dan 195 0 x = 15 0 → y= -sin 2 ( x − 15) 0 = -sin 0 0 = 0 Æ benar x = 105 0 → y= -sin 2 ( x − 15) 0 = - sin 180 0 = - sin( 180 0 - α ) → α = 0 0 maka - sin 180 0 = -sin 0 0 = 0 Æ benar

Nilai minimum y= -1 yaitu di x = 60 0 x = 60 0 → y= -sin 2 ( x − 15) 0 = - sin 90 0 = - 1 Æ benar Nilai maximum y= 1 yaitu di x = 150 0 x = 150 0 → y= -sin 2 ( x − 15) 0 = - sin 270 0 = - sin( 180 0 + α )= sin α = 1 Æ benar

8. Persamaan sin x + cos x = 0 dengan 0 0 < x < 360 0 Jawab : sin x + cos x = 0 ⇔ (sin x + cos x) 2 = 0 2 ⇔ sin 2 x + cos 2 x + 2 sin x cos x = 0 ( sin 2 x + cos 2 x = 1 ; 2 sin x cos x = sin2x) ⇔ 1 + sin2x = 0 ⇔ sin2x = -1 Nilai yang memenuhi adalah 2x = 270 0 → x = 135 0 dan 2x = 630 0 → x = 315 0 (ingat sin (k. 360 0 + α ) = sin α ) (dan ingat teori mengenai nilai positif dan negative untuk setiap kuadran) Sehingga HP= { 135 0 , 315 0 }

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya