PAKET 39 UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2010/2011
UTAMA
SMA/MA PROGRAM STUDI IPS/KEAGAMAAN
MATEMATIKA
Tim Pembahas : Jakim Wiyoto, S.Si. Rohmitawati, S.Si.
Reviewer : Sigit Tri Guntoro, M.Si. Marfuah, M.T.
1. Suatu barisan aritmetika diketahui suku ke-5 adalah 22 dan suku ke-12 adalah 57. Suku ke-15 barisan ini adalah … . A. 62 B. 68 C. 72 D. 74 E. 76
Alternatif Penyelesaian: Suku ke-n ( U n ) barisan aritmetika dinyatakan sebagai U n a n 1b dengan a adalah suku pertama barisan dan b adalah beda atau selisih dua suku yang berurutan. Suku ke-5 suatu barisan aritmetika adalah 22, U 5 a 5 1b 22 a 4b 22.................(i)
Suku ke-12 barisan tersebut sama dengan 57, U 12 a 12 1b 57 a 11b 57.................(ii )
Dari persamaan (i) dan (ii), diperoleh sutu sistem persamaan linier sebagai berikut.
a 11b 57 a 4b 22 Sistem persamaan linier di atas salah satunya dapat diselesaikan dengan cara substitusi. Perhatikan persamaan (ii), a 4b 22 a 22 4b...................(iii )
Substitusikan persamaan (iii) ke persamaan (i)
22 4b 11b 57 7b 57 22 b5
Untuk mencari nilai a , masukkan nilai b 5 ke persamaan (ii) atau persamaan (i).
a 4.5 22 a 20 22 a2 Penyelesaian untuk sistem persamaan di atas adalah a, b 2,5 , atau a 2 dan
b 5. Jadi suku ke-15 barisan aritmetika ini adalah U 15 a 15 1b 2 14.5 72
Jawab: C
2. Suku ketiga dan suku keenam barisan geometri berturut-turut adalah 18 dan 486. Suku kedelapan barisan tersebut adalah … . A. 4.374 B. 3.768 C. 2.916 D. 1.458 E. 1.384
Alternatif Penyelesaian: Suku ke-n ( U n ) barisan geometri dinyatakan sebagai U n ar n1 , dengan a adalah suku pertama dan r adalah rasio dua suku yang berurutan. Suku ketiga suatu barisan geometri adalah 18 dan suku keenam suatu barisan geometri adalah 486.
U 3 ar 31 18 ar 2 18........................(i) dan
U 6 ar 61 486 ar 5 486........................(ii )
Dari persamaan (i) dan (ii), diperoleh sutu sistem persamaan sebagai berikut. 5 ar 486 2 ar 18
Sistem persamaan linier di atas salah satunya dapat diselesaikan dengan cara substitusi. Perhatikan persamaan (i),
ar 2 18 a
18 ......................(iii ) r2
Substistusikan persamaan (iii) ke persamaan (ii), persamaan (ii) dapat ditulis menjadi 18 5 r 486 r2 Nilai r yang memenuhi
18 5 r 486 adalah r2
18 5 r 486 r2 486 r 5 r 2 18 3 r 27 r 3 Untuk mencari nilai a , masukkan nilai r 3 ke persamaan (ii) atau persamaan (i).
ar 2 18 a3 2 18 9a 18 a2 Untuk r 3 , diperoleh nilai a 2 Jadi suku kedelapan dari barisan ini adalah
U 8 ar 81 2.37 4374 Jawab: A
3. Suku kedua deret geometri dengan rasio positif adalah 10 dan suku keenam adalah 160. Jumlah 10 suku pertama deret tersebut adalah … . A. 5.215 B. 5.210 C. 5.205 D. 5.120 E. 5.115
Alternatif Penyelesaian: Suku kedua deret geometri dengan rasio positif adalah 10 U 2 ar 21 10 ar 10..........................(i)
Suku keenamnya adalah 160
U 6 ar 61 160 ar 5 160........................(ii ) Dari (i) diperoleh a a
10 . r
10 disubstitusikan ke (ii) r
ar 5 160 10 5 r 160 r r 4 16 r2 Untuk r = 2 , nilai a = 5
ar 10 a 2 10 a5 Jadi nilai nilai r dan a yang memenuhi adalah r = 2 dan a = 5
Jumlah 10 suku pertama deret tersebut
a 1 rn 1 r 5 210 1 2 1 51024 1 1 5115
Sn
Jawab: E
4. Seorang ayah akan membagikan 78 ekor sapi kepada keenam anaknya yang banyaknya setiap bagian mengikuti barisan aritmetika. Anak termuda mendapat bagian paling sedikit, yaitu 3 ekor dan anak tertua mendapat bagian terbanyak. Anak ketiga mendapat bagian sebanyak … . A. 11 ekor B. 15 ekor C. 16 ekor D. 18 ekor E. 19 ekor
Alternatif Penyelesaian: Pembagian 78 ekor sapi kepada 6 orang anak mengikuti barisan aritmetika. S n , jumlah n suku pertama suatu barisan aritmetika adalah Sn
n 2a n 1b 2
Jumlah 6 suku pertama dari barisan pembagian sapi tersebut 6 2.3 6 1b 2 78 36 5b
S6
78 6 3 b4
5b
Banyaknya sapi bagian anak ke-3 merupakan suku ke-3 dari barisan tersebut
U 3 a 2b 3 2.4 11 Jawab: A 1
2a 5 b 5 adalah … . 5. Bentuk sederhana dari 9 1 32a b A. 2ab
4
B.
2ab2
C. 2ab D. 2ab
1
E.
2ab4
Alternatif Penyelesaian: 2a 5 b 5 9 1 32a b
1
2a 5 b 5 5 9 1 2 a b
1
2.2 .a .a b b 2 .a b 2a 5 b 5 2 5 a 9 b 5
4
5
4
9
5
1 1
4 1
2ab
( 4 )( 1)
2ab
4
Jawab: A 6. Nilai dari 9 log 25.5 log 2 3 log 54 … . A. -3 B. -1 C. 0 D. 2 E. 3
Alternatif Penyelesaian: 9
log 25.5 log 2 3 log 54 3 log 5 2.5 log 2 3 log 2.27 2
2 .3 log 5.5 log 2 3 log 2.33 2 3 log 2 3 log 2 3 log 33 3 log 33 3.3 log 3 3 Jawab: E
5
7. Bentuk sederhana dari
3 7 2 6 3 4 2 adalah … .
A. 22 24 3 B. 34 22 3 C. 22 34 6 D. 34 22 6 E. 146 22 6
Alternatif Penyelesaian:
5
3 7 2 6 3 4 2 5 3.6 3 5 3.4 2 7 2 .6 3 7 2 .4 2 30.3 20 6 42 6 28.2 90 56 22 6 34 22 6 Jawab: D
8. Akar-akar persamaan kuadarat 3x 2 x 9 0 adalah x1 dan x 2 . Nilai A.
53 27
B.
3 27
C.
1 27
D.
3 27
E.
54 27
x1 x 2 …. x 2 x1
Alternatif Penyelesaian: Bentuk umum persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 dan x 2 adalah ax 2 bx c 0 , dengan
c b x1 x 2 dan x1 .x 2 . a a
Untuk persamaan kuadarat 3x 2 x 9 0 x1 x 2 x1 x 2 x2 x1 x1 x 2 2
2
x1 x 2 2 2 x1 x 2 x1 x 2 2
b c 2 a a c a 1 9 2 3 3 9 3 1 6 9 3 53 27 2
Jawab: A
9. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2 x 2 11x 5 0 adalah … . 1 A. x x 5 atau x , x R 2 1 B. x 5 x , x R 2 1 C. x x 5, x R 2 1 D. x x atau x 5, x R 2 1 E. x x 5, x R 2
Alternatif Penyelesaian: Pembuat nol dari 2 x 2 11x 5 0 adalah x 5 atau x
1 2
2 x 2 11x 5 0
x 52 x 1 0 x 5 0 x5
2 x 1 0 atau
x
1 2
Ditinjau untuk nilai 2 x 2 11x 5 untuk x
1 1 , x 5 , dan x 5 2 2
Untuk mengecek nilai 2 x 2 11x 5 untuk x x
1 diambil suatu nilai x di mana 2
1 . Misalkan diambil x 0 . Untuk x 0 2 x 2 11x 5 = 2
2.0 2 11.0 5 5 .
Untuk x Untuk
1 bernilai negatif. 2
1 x 5 , 2 x 2 11x 5 bernilai positif. 2
Untuk mengecek ambil x 1 2 x 2 11x 5 = 2.12 11.1 5 4 . Untuk x 5 , 2 x 2 11x 5 bernilai negatif.
Untuk mengecek ambil x 6 = 2 x 2 11x 5 = 2.6 2 11.6 5 11. Jadi 2 x 2 11x 5 0 atau dengan kata lain 2 x 2 11x 5 yang bernilai positif atau nol dipenuhi untuk x di mana
1 1 x 5 ditulis x x 5, x R . 2 2
Jawab: E 10. Akar-akar persamaan kuadrat 2 x 2 13x 7 0 adalah x1 dan x 2 . Jika x1 x 2 , maka nilai 2 x1 3x2 … . A. 12,5 B. 7,5 C. 12,5 D. 20 E. 22
Alternatif Penyelesaian: Akar-kar persamaan kuadrat 2 x 2 13x 7 0 2 x 2 13x 7 0
2 x 1x 7 0 2x 1 0 1 atau x 2 x 1 7 dan x 2
x70 x7
1 2
1 2 x1 3x 2 2.7 3. 2 3 14 2 12,5
Jawab: C
11. Persamaan simetri grafik fungsi kuadrat y 5x 2 20 x 1 adalah … . A. x 4 B. x 2 C. x 2 D. x 3 E. x 4
Alternatif Penyelesaian: Fungsi kuadrat y 5x 2 20 x 1 berbentuk parabola, simetrinya adalah garis vertikal sejajar sumbu Y dan melalui puncak parabola. Puncak parabola dapat ditinjau dari gradient garis singgung fungsinya. Puncak parabola terjadi di titik di mana gradient garis singgungnya sama dengan nol.
y 5x 2 20 x 1 10 x 20 10 x 20 0 10 x 20 x2 Jawab: B 12. Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat y 3x 2 x 2 dengan sumbu X dan sumbu Y adalah … .
2 A. 1,0 , ,0 , dan 0,2 3 2 B. ,0 , 1,0 , dan 0,2 3 2 3 C. ,0 , 1,0 , dan 0, 3 2
3 D. ,0 , 1,0 , dan 0,1 2 3 E. ,0 , 1,0 , dan 0,3 2
Alternatif Penyelesaian: Grafik fungsi y 3x 2 x 2 memotong sumbu X di y 0 . 3x 2 x 2 0
3x 2x 1 0 x
2 atau x 1 3
2 Jadi grafik fungsi y 3x 2 x 2 memotong sumbu X di ,0 dan 1,0 . 3 Grafik fungsi y 3x 2 x 2 memotong sumbu Y di x 0 . y 3.0 2 0 2 y 2
Jadi grafik fungsi y 3x 2 x 2 memotong sumbu Y di dan 0,2 . Jawab: B 13. Persamaan grafik fungsi kuadarat yang memotong sumbu X di titik 1,0 dan 3,0 serta melalui titik 1,16 adalah … . A. y 2 x 2 8x 6 B. y x 2 4 x 21 C. y x 2 4 x 5 D. y 2 x 2 8x 6 E. y 2 x 2 4 x 10
Alternatif Penyelesaian: Persamaan umum fungsi kuadrat adalah y ax 2 bx c Jika suatu fungsi kuadarat memotong sumbu X di titik 1,0 dan 3,0 serta melalui titik 1,16 maka fungsi tersebut memenuhi persamaaan (i), (ii), dan (iii) di bawah ini. 0 a.12 b.1 c 0 a b c.................................(i)
0 a.3 2 b.3 c 0 9a 3b c.............................(ii ) 16 a.(1) 2 b.(1) c 16 a b c.............................(iii )
Diperoleh sistem persamaan linier
abc0 9a 3b c 0 a b c 16 Sistem persamaan linier tersebut apabila ditulis dalam bentuk matriks adalah sebagai berikut
1 1 1 a 0 9 3 1 b 0 1 1 1 c 16 1 1 1 Matriks 9 3 1 disebut matriks koefisien, dan matriks 1 1 1
0 0 disebut matriks 16
hasil. Sistem persamaan linier ini bisa diselesaikan dengan aturan Crammer.
1 1 1 Misalkan sebut matriks koefisien 9 3 1 sebagai matriks A . 1 1 1 Determinan matriks A , A = 16 Matriks A 1 adalah matriks A dengan elemen pada kolom ke-1 diganti dengan elemen
0 1 1 matriks hasil. A 1 = 0 3 1 . 16 1 1 Determinan A 1 , A 1 = 32 Matriks A 2 adalah matriks A dengan elemen pada kolom ke-2 diganti dengan
1 0 1 elemen matriks hasil. A 2 = 9 0 1 . 1 16 1
Determinan A 2 , A 2 = 128
Matriks A 3 adalah matriks A dengan elemen pada kolom ke-3 diganti dengan elemen
1 1 0 matriks hasil. A 3 = 9 3 0 . 1 1 16 Determinan A 3 , A 3 = 96 . Menurut aturan Crammer,
a
A1 A
32 16 2
b
A2
c
A
A3 A
96 16 6
128 16 8
Jadi fungsi kuadrat tersebut di atas memenuhi persamaan y 2 x 2 8x 6 . Jawab: A
14. Diketahui f x A.
2 1 x 3
B.
2 1 x 3
C.
3 1 x 2
D.
3 x 1 2
E.
2 x 1 3
2 3x , jika f 2
1
adalah invers dari f , maka f
1
x … .
Alternatif Penyelesaian: Invers fungsi 2 3x 2 2 3 x 2 f x f x
2 3x 2 f x
3x 2 f x 2 x
2 f x 1 3 f
Invers dari f
1
,
x 2 x 1 3
Jawab: A
15. Seorang peternak ikan hias memiliki 20 kolam untuk memelihara ikan koki dan ikan koi. Setiap kolam dapat menampung ikan koki saja sebanyak 24 ekor, atau ikan koi saja sebangak 36 ekor. Jumlah ikan yang direncanakan akan dipelihara tidak lebih dari 600 ekor. Jika banyak kolam berisi ikan koki adalah x , dan banyak kolam berisi ikan koi adalah y , maka model matematika untuk masalah ini adalah … . A. x y 20,3x 2 y 50, x 0, y 0 B. x y 20,2 x 3 y 50, x 0, y 0 C. x y 20,2 x 2 y 50, x 0, y 0 D. x y 20,2 x 3 y 50, x 0, y 0 E. x y 20,3x 2 y 50, x 0, y 0
Alternatif Penyelesaian: Karena kolam yang dimiliki hanya 20, maka jumlah kolam yang dipakai untuk memelihara ikan koki dan ikan koi harus tidak lebih dari 20. x y 20
Setiap kolam dapat menampung ikan koki saja sebanyak 24 ekor, atau ikan koi saja sebangak 36 ekor. Jumlah ikan yang direncanakan akan dipelihara tidak lebih dari 600 ekor. 24 x 36 y 600 disederhanakan menjadi 2 x 3 y 50 .
Karena peternak tersebut akan memelihara ikan koki dan ikan koi, tentu saja ikannya tidak kurang dari nol.
x 0 dan y 0 . Model matematikanya x y 20,2 x 2 y 50, x 0, y 0 Jawab: C 16. Nilai minimum fungsi obyektif f x, y 3x 2 y dari daerah yang diarsir pada gambar adalah … . A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 E. 9
Alternatif Penyelesaian:
Nilai minimum fungsi obyektif f x, y 3x 2 y akan ditinjau di tiga titik yaitu di titik A, B, dan C. Titik A0,4 , titik B adalah titik potong garis 4 x 2 y 8 dengan garis 3x 3 y 9 , dan titik C 3,0 . Titik B adalah titik potong garis 4 x 2 y 8 dengan garis 3x 3 y 9 . 3x 3 y 9 3x 9 3 y x 3 y x 3 y disubstitusikan ke 4 x 2 y 8
4x 2 y 8
43 y 2 y 8 12 4 y 2 y 8 2 y 4 y2
4 x 2.2 8 y2
4x 4 8 4x 4 x 1
Jadi titik potongnya di B 1,2 . Di titik A0,4 f 0,4 3.0 2.4 8 . Di titik B1,2 f 1,2 3.1 2.2 7 . Di titik C 3,0 f 3,0 3.3 2.0 9 . Jadi nilai minimum fungsi obyektif f x, y 3x 2 y adalah 7.
Jawab: C
17. Seorang ibu memproduksi dua jenis keripik pisang, yaitu rasa coklat dan rasa keju. Setiap kilogram keripik rasa coklat mebutuhkan modal Rp10.000,00, sedangkan keripik rasa keju membutuhkan modal Rp15.000,00 per kilogram. Modal yang dimiliki ibu tersebut Rp500.000,00. Tiap hari hanya bisa memproduksi paling banyak 40 kilogram. Keuntungan tiap kilogram keripik pisang rasa coklat adalah Rp2.500,00 dan keripik rasa keju Rp3.000,00 per kilogram. Keuntungan terbesar yang dapat diperoleh ibu tersebut adalah … . A. Rp110.000,00 B. Rp100.000,00 C. Rp99.000,00 D. Rp89.000,00 E. Rp85.000,00
Alternatif Penyelesaian: Misalkan x : keripik pisang rasa coklat
y : keripik pisang rasa keju
Permasalahan di atas adalah masalah mengoptimalkan fungsi f x, y 2500 x 3000 y dengan batasan 10000 x 15000 y 500000 , x y 40 ,
x 0 , dan y 0 . Persamaan 10000 x 15000 y 500000 dapat disederhanakan menjadi 2 x 3 y 100 .
Sket grafik dan titik-titik potongnya sebagai berikut.
100 (1) Titik potong garis x 0 dengan garis 2 x 3 y 100 di A 0, 3 (2) Titik potong garis y 0 dengan garis x y 40 di B (20,20) (3) Titik potong garis x y 40 dengan garis 2 x 3 y 100 di C (40,0)
Ditinjau pada titik A, B, dan C yang memberikan f x, y 2500 x 3000 y maksimal.
100 100 100 100000 . Di A 0, , f 0, 2500.0 3000. 3 3 3 Di B (20,20), f 20,20 2500.20 3000.20 110000 . Di C (40,0), f 40,0 2500.40 3000.0 100000 . Jadi nilai optimum f x, y 2500 x 3000 y adalah 110.000 terjadi di titik B (20,20). Artinya keuntungan terbesar yang dapat diperoleh ibu adalah Rp110.000,00 dengan memproduksi kripik rasa keju dan rasa coklat masing-masing 20 kg per hari.
Jawab: A 3 3 2 4 4 10 , B ,dan C . Nilai determinan 18. Diketahui matriks A 4 1 2 1 9 12
dari matriks AB C adalah … . A. -7 B. -5 C. 2 D. 3 E. 12 Alternatif Penyelesaian: 3 4 10 3 2 4 AB C 4 1 2 1 9 12 3.4 (2).(2) 3.3 (2).(1) 4 10 4.4 (1).(2) 4.3 (1).(1) 9 12 16 11 4 10 18 13 9 12 16 4 11 10 18 9 13 12 12 1 9 1
Determinan matriks AB C = 12.1 1.9 = 3 Jawab: D
4 2 x 1 10 7 , B ,dan C . Jika 3A B C 19. Diketahui matriks A y x 1 3 9 2
maka x y … . A. -3 B. -2 C. -1 D. 1 E. 3
Alternatif Penyelesaian:
3A B C 4 3 x 12 3x
2 x 1 10 1 3 y 9 6 x 1 10 3 3 y 9 12 x 6 1 10 3x 3 3 y 9 7 10 12 x 3x 3 3 y 9
7 2 7 2 7 2 7 2
Dari kesamaan matriks di atas, diperoleh
3 y 2 12 x 10 dan y 1 x 2 Jadi x y 2 1 1 .
Jawab: D
4 3 7 18 X = adalah … . 20. Matriks X yang memenuhi 1 5 6 21 1 1 A. 6 9 1 9 B. 1 6 1 9 C. 1 6 1 9 D. 1 6 6 9 E. 1 1
Alternatif Penyelesaian Cara I 4 3 7 18 dan B . Misalkan matriks A 1 5 6 21
Perkalian matriks A matriks 2 2 dengan matriks X menghasilkan matriks B yang merupakan matriks 2 2 , maka matriks X merupakan matriks 2 2 . x Misalkan X 11 x 21
x12 . x 22
AX B 4 3 x11 x12 7 1 5 x 21 x 22 6 4 x11 3x 21 4 x12 3x 22 7 x11 5 x 21 x12 5 x 22 6
18 21 18 21
Dari kesamaan dua matriks di atas diperoleh suatu sistem persamaan linier 4 x11 3x 21 7..........................(i ) x 5 x 6......................(ii ) 11 21 4 x12 3x 22 18........................(iii ) x12 5 x 22 21......................(iv )
Dari (i) dan (ii)
(4 x11 3x 21 7) 1
4 x11 3x 21 7
( x11 5 x 21 6) 4 4 x11 20 x 21 24 17 x 21 17 x 21 1
x11 5.(1) 6 x11 5 6
Nilai x21 1 disubstitusikan ke persamaan (ii)
x11 1 Dari (iii) dan (iv) (4 x12 3x 22 18) 1
4 x12 3x 22 18
( x12 5 x 22 21) 4 4 x12 20 x 22 84 17 x 22 102 x 22 6
x12 5.6 21 Nilai x 22 6 disubstitusikan ke persamaan (iv) x12 30 21 x12 9 1 9 Jadi matriks X 1 6
Cara II 4 3 7 18 dan B . Misalkan matriks A 1 5 6 21
AX B 1
A AX A 1 B IX A 1 B X A 1 B
A 4.5 3 . 1 17 5 3 1 4 1 5 3 17 1 4 3 5 17 17 4 1 17 17
A 1 A 1
A 1
1 A
X A 1 B 3 5 7 18 17 17 4 6 21 1 17 17 3 5 3 5 .18 .21 .7 .6 17 17 17 17 1 4 1 4 .7 .6 .18 .21 17 17 17 17 5.7 3.6 5.18 3.21 17 17 1.7 4.6 1.18 4.21 17 17 1 9 1 6
Jawab: C 1 1 5 3 dan B . Invers matriks AB adalah 21. Diketahui matriks A 1 3 2 1
AB 1 ... . 1 A. 2 1 2
2 1
1 B. 2 1 2
2 1
1 2 2 C. 1 1 2
1 2 2 D. 1 1 2
1 1 2 E. 2 1 2
Alternatif Penyelesaian:
5 3 1 AB 2 1 1 5.1 3.1 2.1 1.1 2 4 1 1
1 3 5. 1 3. 3 2. 1 1. 3
Determinan AB = AB = (2).(1) (4).(1) = 2 1 4 1 2 1 1 4 2 1 2 1 2 2 1 1 2
AB 1
1 AB
Jawab: A 22. Diagaram berikut menyatakan jumlah anggota keluarga dari 50 siswa. Banyak siswa yang mempunyai jumlah anggota keluarga 5 orang adalah … . A. 13 siswa B. 14 siswa C. 15 siswa D. 16 siswa E. 17 siswa
Alternatif Penyelesaian: Banyak siswa yang mempunyai jumlah anggota keluarga 3 orang adalah 4 Banyak siswa yang mempunyai jumlah anggota keluarga 4 orang adalah 12
Banyak siswa yang mempunyai jumlah anggota keluarga 5 orang adalah p Banyak siswa yang mempunyai jumlah anggota keluarga 6 orang adalah 11 Banyak siswa yang mempunyai jumlah anggota keluarga 7 orang adalah 9 Banyak seluruh siswa = 4 12 p 11 9 50 . Jadi banyak siswa yang jumlah anggota keluarga 5 orang adalah p 50 (4 12 11 9) 14
Jawab: B 23. Nilai kebenaran pernyataan majemuk ~ p q ~ q pada tabel berikut adalah … . p
q
~ p q ~ q
B
B
…
B
S
…
S
B
…
S
S
…
A. SBSB B. BBBS C. BSBB D. BBBB E. BBSS
Alternatif Penyelesaian: P
q
~p
~q
~ pq
~ p q ~ q
B
B
S
S
B
B
B
S
S
B
B
B
S
B
B
S
B
B
S
S
B
B
S
B
Jawab: D
24. Ingkaran dari pernyataan: “18 habis dibagi 2 atau 9” adalah … . A. 18 tidak habis dibagi 2 dan tidak habis dibagi 9 B. 18 tidak habis dibagi 2 dan 9 C. 18 tidak habis dibagi 2 dan habis dibagi 9 D. 2 dan 9 membagi habis 18 E. 18 tidak habis dibagi 2 atau 9
Alternatif Penyelesaian: Ingkaran dari pernyataan: “18 habis dibagi 2 atau 9” adalah “18 tidak habis dibagi 2 dan 9”.
Jawab: B
25. Diketahui premis-premis: (1) Jika semua warga negara membayar pajak, maka banyak fasilitas umum dapat dibangun. (2) Tidak banyak fasilitas umum dapat dibangun. Kesimpulan yang sah dari kedua premis di atas adalah … . A. Semua warga negara tidak membayar pajak B. Ada warga negara tidak membayar pajak C. Semua warga negara membayar pajak D. Semua warga negara membayar pajak dan tidak banyak fasilitas umum dapat dibangun E. Semua warga negara tidak membayar pajak atau banyak fasilitas umum dapat dibangun
Alternatif Penyelesaian: Premis (1) berupa implikasi “Jika semua warga negara membayar pajak, maka banyak fasilitas umum dapat dibangun.” Implikasi ini terdiri dari anteseden berupa kalimat: “Semua warga Negara membayar pajak”, dan konsekunsi berupa kalimat: “Banyak fasilitas umum dapat dibangun.” Premis (2): “Tidak banyak fasilitas umum dapat dibangun.” merupakan negasi gari konsekuensi dari implikasi di atas.
Berdasarkan kaidah argumentasi modus tollens maka kesimpulan dari dua premis di atas adalah pernyataan yang merupakan negasi dari anteseden, yaitu: “Tidak semua warga negara membayar pajak.” Atau “Ada warga negara tidak membayar pajak.” Kaidah argumentasi modus tollens Premis (1) berupa implikasi p q Premis (2) berupa negasi dari konsekuen q Maka kesimpulannya adalah negasi dari anteseden p Keabsahan argumentasi modus tollens ditunjukkan dalam tabel nilai kebenaran berikut ini.
p
q
p
q
pq
B
B
S
S
B
B
S
S
B
S
S
B
B
S
B
S
S
B
B
B
Jawab: B 1 x 26. Nilai x yang memenuhi sistem persamaan 5 x
A.
2 3
B.
1 6
C.
1 7
D.
1 2
E.
31 4
1 10 y adalah … . 3 26 y
Alternatif Penyelesaian 1 1 x y 10.......................(i ) 5 3 26.......................(ii ) x y
3 x 5 x
3 30 y 3 26 y
3 5 56 x x 8 56 x 1 x 7 Jawab: C 27. Nilai maksimum f x, y 5x 4 y yang memenuhi pertidaksamaan x y 8, x 2 y 12 , x 0 dan y 0 adalah … .
A. 24 B. 32 C. 36 D. 40 E. 60
Alternatif Penyelesaian Sket grafik dan titik-titik potongnya sebagai berikut. (1) Titik potong garis y 0 dengan garis x y 8 di A (8,0). (4) Titik potong garis x 0 dengan garis x 2 y 12 di B (4,4). (5) Titik potong garis x y 8 dengan garis x 2 y 12 di C (0,6).
Nilai maksimum f x, y 5x 4 y ditinjau di titik A, B, dan C Di A (8,0), f 8,0 5.8 4.0 40 Di B (4,4), f 4, 4 5.4 4.4 36 Di C (0,6), f 0,6 5.0 4.6 24 Nilai maksimum f x, y 5x 4 y terjadi di A (8,0), dengan nilai maksimum 40.
Jawab: D
3x 2 14 x 8 ... . x 4 x 2 3x 4
28. Nilai lim A. 4 B. 2 C.
1 2
D. 2 E. 4 Alternatif Penyelesaian:
3x 2x 4 3x 2 14 x 8 lim 2 x 4 x 3x 4 x 4 x 4 x 1 3x 2 lim x 4 x 1 2
lim
Jawab: B
29. Nilai lim 5x 1 25 x 2 5 x 7 ... . x
A.
3 2
B.
2 3
C.
1 2
D.
1 2
E.
3 2
Alternatif Penyelesaian
lim 5 x 1 25 x 2 5 x 7 lim x x
5 x 12
lim lim
25 x 2 10 x 1 25 x 2
x
lim x
5 x 7
25 x 2 10 x 1 25 x 2 5 x 7
x
lim x
25 x 2 5 x 7
25 x 2 10 x 1
2
25 x 2 10 x 1
25 x 2 10 x 1
2
25 x 2 10 x 1
25 x 2 10 x 1 25 x 2 5 x 7 2 2 25 x 10 x 1 25 x 5 x 7
25 x 2 5 x 7
2
25 x 2 5 x 7 25 x 2 5 x 7 25 x 2 5 x 7
2
25 x 2 10 x 1 25 x 2 5 x 7 lim 2 2 x 25 x 10 x 1 25 x 5 x 7 15 x 6 lim x 10 1 5 7 x 25 x x 2 25 x x 2
6 15 x lim x 10 1 5 7 25 x x 2 25 x x 2 6 15 x lim x 10 1 5 7 25 x x 2 25 x x 2 15 0 25 0 0 25 0 0 15 10 3 2
Jawab: E
30. Grafik fungsi f x x 3 3x 2 9 x 15 turun dalam interval … . A. x 3 atau x 1 B. x 1 atau x 3 C. x 3 atau x 1 D. 1 x 3 E. 1 x 3 Alternatif Penyelesaian: Naik-turunnya grafik suatu fungsi dapat ditinjau dari gradient garis singgungnya. Apabila gradient garis singgung fungsi di suatu titik bernilai negatif maka grafik fungsi di titik tersebut turun. Sebaliknya apabila gradient garis singgung fungsi di suatu titik bernilai positif maka fungsi di titik tersebut naik. Gradien garis singgung grafik fungsi f x x 3 3x 2 9 x 15 adalah turunan fungsi tersebut.
f x x 3 3x 2 9 x 15
f x 3x 2 6 x 9 Pembuat nol dari 3x 2 6 x 9 3x 2 6 x 9 0
3x 3x 3 0 3x 3 0 x 30 atau x 1 x3
Ditinjau nilai f x 3x 2 6 x 9 untuk nilai x di x 1 , 1 x 3 , dan x 3 . Untuk meninjaunya, ambil salah satu titik dalam interval-interval tersebut. Untuk x 2 f 2 3.(2)2 6.(2) 9 15 . f 0 bernilai positif. Jadi untuk
1 x 3 , f x bernilai positif. Untuk x 0 f 0 3.0 2 6.0 9 9 . f 0 bernilai negatif. Jadi untuk
1 x 3 , f x bernilai negatif. Untuk x 4 f 4 3.4 2 6.4 9 15 . f 4 bernilai positif. Jadi untuk x 3 , f x bernilai positif.
Jadi f x x 3 3x 2 9 x 15 turun pada interval 1 x 3 . Jawab: D
31. Diketahui ( )
(
A.
(
)
B.
(
)
C.
(
)
D.
(
)
E.
(
)
) . Jika
adalah turunan pertama , maka
( )
Alternatif Penyelesaian : Misalkan ( ) Jika ( )
maka
* ( )+ maka
( )
( )
, ( )-
( )
Sehingga ( )
( ( ))
( )
, ( )= ( =
( ) )
(
) Jawaban : D
32. Untuk memproduksi suatu barang diperlukan biaya produksi yang dinyatakan dengan fungsi ( )
dalam ribuan rupiah. Agar biaya minimum maka
harus diproduksi barang sebanyak…. A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 E. 135
Alternatif Penyelesaian : ( ) Biaya produksi ( ) akan mencapai nilai minimum dari nilai x yang diperoleh dari ( )
.
( ) ( )
( )
, maka ( ) adalah nilai balik minimum.
Jadi agar biaya minimum maka harus diproduksi barang (x) sebanyak 45.
Jawaban : B
33. Dari angka 1, 2, 3, 4, dan 7 akan dibentuk bilangan yang terdiri dari tiga angka yang berbeda. Banyak bilangan berbeda yang dapat dibentuk dengan nilai masing-masing kurang dari 400 adalah…. A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 E. 84 Alternatif Penyelesaian : Bilangan yang akan dibentuk terdiri dari 3 angka yang berbeda. Dalam hal ini berarti ada tiga tempat yang harus diisi yaitu tempat ratusan, puluhan dan satuan.
Bilangan yang dibentuk terdiri dari 3 angka yang berbeda sehingga pemakaian angka tidak boleh berulang. 1. Tempat ratusan Bilangan yang terbentuk masing-masing kurang dari 400. Sehingga hanya dapat diisi oleh angka 1, 2, dan 3. Sehingga
.
2. Tempat puluhan Hanya dapat diisi oleh 4 angka pilihan, karena satu angka telah dipakai untuk tempat ratusan. Sehingga
.
3. Tempat satuan Hanya dapat diisi oleh 3 angka pilihan, karena satu angka telah dipakai untuk tempat puluhan. Sehingga
.
Jadi, banyaknya bilangan berbeda yang dapat dibentuk dengan nilai masing-masing kurang dari 400 adalah :
Jawaban : C
34. Banyak cara memasang 5 bendera dari negara yang berbeda disusun dalam satu baris adalah…. A. 20 B. 24 C. 69 D. 120 E. 132 Alternatif Penyelesaian : Masalah ini merupakan permutasi karena melibatkan susunan dari suatu elemen atau unsur yang disusun secara berbeda. Sehingga banyak cara memasang 5 bendera dari negara yang berbeda disusun dalam satu baris adalah: 5P5 =
.
Jadi ada 120 cara. Jawaban : D 35. Pada percobaan lempar undi 3 keping uang logam bersama-sama sebanyak 600 kali, frekuensi harapan muncul paling sedikit dua gambar adalah…. A. 500 B. 400 C. 300 D. 200 E. 100 Alternatif Penyelesaian : Frekuensi harapan suatu kejadian pada suatu percobaan yang dilakukan n kali didefinisikan sebagai perkalian dari peluang kejadian itu dengan n, dirumuskan dengan : ( )
( )
dengan P(E)
= peluang kejadian yang diharapkan
n(E)
= banyaknya anggota kejadian E
n(S)
= banyaknya anggota ruang sampel (banyaknya kejadian yang mungkin)
n
= banyaknya percobaan yang dilakukan
Dari soal diatas harapan muncul paling sedikit dua gambar dimana 3 keping uang logam di lempar bersama-sama, sehingga urutan angka dan gambar tidak berpengaruh maka S = {AAA,AAG,AGG,GGG} n(S) = 4 E ={AGG,GGG} n(E)=2 P(E) = = , n = 600
( )
( ) Jawaban : C
36. Kotak I berisi 4 bola biru dan 3 bola kuning. Kotak II berisi 2 bola biru dan 5 bola merah. Dari masing-masing kotak diambil sebuah bola secara acak. Peluang terambilnya kedua bola berlainan warna adalah…. A. B. C. D. E. Alternatif Penyelesaian : Dari kotak I diambil sebuah bola -
Peluang yang terambil bola biru =
-
Peluang yang terambil bola kuning =
Dari kotak II diambil sebuah bola -
Peluang yang terambil bola biru =
-
Peluang yang terambil bola merah =
Peluang terambilnya kedua boal berlainan warna, bearti ada 3 kemungkinan sebagai berikut :
1. Peluang terambil bola dari kotak I berwarna biru dan kotak II berwarna merah P1 = 2. Peluang terambil bola dari kotak I berwarna kuning dan kotak II berwarna biru P1 = 3. Peluang terambil bola dari kotak I berwarna kuning dan kotak II berwarna merah P1 = Dengan demikian peluang terambilnya kedua bola yang berlainan warna adalah : P1 + P + P =
= Jawaban : E
37. Dari 20 kuntum bunga mawar akan diambil 15 kuntum secara acak. Banyak cara pengambilan ada…. A. 15.504 B. 12.434 C. 93.024 D. 4.896 E. 816 Alternatif Penyelesaian : Banyak cara pengambilan 15 kuntum bunga dari 20 kuntum bunga : 20C15 =
= = 15.504 Jawaban : A
38. Modus dari data pada tabel distribusi frekuensi berikut adalah : Panjang Daun (mm)
Frekuensi
10 – 19
6
20 – 29
13
30 – 39
19
40 – 49
15
50 - 59
7
A. 34,50 B. 35,50 C. 35,75 D. 36,25 E. 36,50
Alternatif Penyelesaian : Menentukan modus dari sekelompok data yang tersusun dalam table distribusi frekuensi langkahnya sebagai berikut : 1. Menentukan kelas modus,yaitu kelas interval yang frekuensinya paling besar. Dari tabel terlihat kelas interval ke-3 mempunyai frekuensi paling besar yaitu 19. Jadi kelas modus adalah kelas interval ke-3. Sehingga :
2. Menentukan nilai modus [
]
dengan : = modus = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensikelas modus dengan dengan kelas sebelumnya
= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya = panjang kelas modus [
]
= 29,5 + 6 = 35,5 Jawaban : B 39. Rata-rata dari data yang disajikan dengan histogram berikut adalah ….
A. 41,375 B. 42,150 C. 43,125 D. 43,135 E. 44,250 Alternatif Penyelesaian : Dari histogram dapat dibuat tabel sebagai berikut : Batas Bawah Kelas Interval
Batas Atas Kelas Interval
Nilai Tengah Kelas Interval ( xi )
Frekuensi ( fi )
29.5 34.5 39.5 44.5 49.5 54.5
34.5 39.5 44.5 49.5 54.5 59.5
32 37 42 47 52 57
5 7 12 9 4 3
Selanjutnya dihitung nilai rata-rata :
̅ =
32 5
37 7
42 12
47 9
∑ ∑
52 4 57 3
5 7 12 9 4 3
= = 43,125 Jawaban : C 40. Simpangan baku data 6, 4, 5, 6, 5, 7, 8, 7 adalah…. A.
√
B.
√
C.
√
D.
√
E.
√
Alternatif Penyelesaian : Diketahui banyak data (n) = 8 ∑ ̅
̅ =
Selanjutnya akan dicari simpangan bakunya (S) sebagai berikut:
√
∑
= √ ((
(
̅)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) )
=√
=
√ Jawaban : D
