COSE DI MATEMATICA - dalessandrovocino.it

“Cose di Matematica “

“ COSE DI MATEMATICA “

RACCOLTA DI PROCEDIMENTI RISOLUTIVI DI PROBLEMI ARITMETICI E GEOMETRICI

A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE

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“Cose di Matematica “ La matematica è una disciplina difficile e spesso tanto odiata, lo so!!!! Con questa mia raccoltaguida spero di fornire agli alunni interessati e volenterosi un valido aiuto nella risoluzione dei problemi. Prima di sfogliare la raccolta,soffermatevi su alcuni consigli pratici per come studiare la matematica. CONSIGLI PRATICI PER COME STUDIARE LA MATEMATICA Premessa:  La matematica fornisce strumenti essenziali per molti settori della scienza e della tecnologia. E, quindi,studiare la matematica vuol dire stare al passo coi tempi.  La matematica concorre alla formazione dello studente in quanto favorisce l’abitudine all’analisi e alla sintesi,sviluppa la capacità di ragionamento coerente ed argomentato,favorisce ed educa l’intuizione e la fantasia stimolando lo spirito critico.  Lo studio della matematica richiede impegno e partecipazione attiva. Il lavoro a scuola:  Ascoltare cercando di riconoscere i punti essenziali dello schema della lezione che l’insegnante sta svolgendo e porre attenzione ai passaggi e ai connettivi logici per cogliere la struttura del ragionamento.  Prendere appunti perché aiuta a concentrarsi e facilita l’ascolto. Gli appunti saranno tanto più facili da prendere e più rigorosi quanto più ti impegnerai ad imparare il significato dei termini e dei numerosi simboli convenzionali che l’insegnante usa continuamente. Se l’argomento è svolto interamente nel libro di testo è interesse dello studente fissare solo lo schema, mentre è sempre importante riportare con cura gli esercizi svolti in classe che normalmente rappresentano esercizi-tipo e possono essere utilizzati in fase di studio, per riconoscere le situazioni più significative. Se, invece, il testo o non riporta, o riporta solo parzialmente l’argomento svolto, gli appunti dovranno essere più rigorosi anche se sempre schematici. In essi devono essere riportate le definizioni dei concetti fondamentali e le proprietà fondamentali (con le relative dimostrazioni se vengono svolte ).E’ importante seguire l’insegnante con attenzione e chiedere di ripetere una definizione o un concetto che non si è riusciti a riportare negli appunti con esattezza. L’insegnante di matematica scriverà spesso alla lavagna durante la spiegazione. Nel prendere appunti ricorda di annotare non solo quello che viene scritto, ma anche quello che viene detto: sono generalmente i dettagli che ti permetteranno di capire proprio i passaggi più difficili o i nessi logici meno evidenti oppure i consigli per evitare gli errori più frequenti.  Seguire le esercitazioni svolte in classe perché possono essere di aiuto per il successivo lavoro domestico di rielaborazione degli appunti, di ripasso e di svolgimento delle esercitazioni assegnate. Gli esercizi in classe possono servire come: rinforzo alla acquisizione degli strumenti fondamentali completamento delle spiegazioni degli argomenti nuovi collegamento tra argomenti diversi.  Seguire le interrogazioni con attenzione perché costituiscono un momento di ripasso, possono confermare o completare lo schema di riferimento già acquisito nel lavoro domestico. Il lavoro a casa  Repetita iuvant: “E’ necessario che lo studio sia regolare”. Per lo studio dell’argomento spiegato in classe dovrai:


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“Cose di Matematica “  ripercorrere la spiegazione dell’insegnante confrontando gli appunti con la teoria esposta nel libro di testo, evidenziando eventuali difformità per le quali dovrai chiedere spiegazioni al docente  ripetere la risoluzione degli esercizi risolti in classe come esempi e gli eventuali esercizi guidati del libro di testo  risolvere gli esercizi assegnati. I tuoi obiettivi dovranno essere:  memorizzare le definizioni e chiarire i concetti;  mettere in evidenza i punti critici e cercare di chiarirteli;  porre impegno a ricostruire il percorso logico;  memorizzare/applicare concetti e metodi;  prendere nota delle richieste di chiarimenti.  Il ripasso: E’ importante la memorizzazione degli strumenti operativi per la buona riuscita delle applicazioni.  Il libro di testo: Il libro di testo è diviso in due parti: la parte dedicata alla acquisizione della teoria che deve servire per l’individuazione precisa delle definizioni e delle proprietà la cui memorizzazione deve essere accurata e mantenuta nel tempo. La parte dedicata alle applicazioni che deve essere utilizzata per verificare tutto il percorso già seguito in classe e per favorire il lavoro di assimilazione di definizioni e proprietà.  L’esercitazione: Prima di avviare la risoluzione di un esercizio:  verifica di conoscere la teoria cui è riferito;  controllane l’esatta trascrizione del testo ;  leggi con attenzione consegne, dati e premesse;  creati uno schema di risoluzione individuando, ad ogni passaggio, la priorità delle operazioni da eseguire. Impegnati per arrivare all’esatto risultato con un controllo scrupoloso dell’esattezza sia del percorso risolutivo che del calcolo. Se i risultati sono errati ripercorri a ritroso il percorso risolutivo per vedere prima se ci sono errori di calcolo letterale o numerico, di distrazione oppure di impostazione teorica (quest'ultimo tipo di attività è fondamentale perché la scoperta di un'errata applicazione della teoria impone di rivedere criticamente la stessa per comprenderla più chiaramente). Se i risultati sono esatti, esplora la possibilità di percorrere vie alternative di risoluzione, magari cambiando punto di vista concettuale, oppure, osservando la soluzione ottenuta, vedere se era un caso in cui era persino possibile una soluzione a colpo d'occhio. Ricorda che quella indicata non è una sequenza da seguire rigidamente, ma caso per caso un'operazione può essere tralasciata o diventare fondamentale, si impara con l'esercizio. Qualche consiglio Chiedi sempre ai compagni o all’insegnante la verifica degli esercizi non riusciti. Nessuno sa risolvere tutti i problemi e tutti ne sanno risolvere qualcuno, pertanto bisogna imparare ad insistere di fronte a quei problemi che sembrano di difficile risoluzione, magari ritornandoci sopra qualche giorno dopo, per provare almeno qualche volta la soddisfazione di averli risolti e rinforzare così la propria autostima. Ricorda che ... in matematica ci sono anche problemi che non si possono risolvere. Il grafico che segue sintetizza quanto esposto; ricorda che per un positivo percorso di studio la qualità dell’esercitazione da te svolta è essenziale: dovrai, quindi, elaborare un tuo personale schema di lavoro. Buona matematica a tutti!


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“Cose di Matematica “ RACCOLTA DI PROCEDIMENTI RISOLUTIVI DI PROBLEMI ARITMETICI E GEOMETRICI Per risolvere un PROBLEMA si deve:    

Leggere attentamente il TESTO del problema. Individuare i DATI del problema,cioè le informazioni contenute nel problema stesso. Individuare le INCOGNITE,cioè ciò che si deve calcolare. Impostare il PROCEDIMENTO del problema,cioè stabilire quali operazioni si devono eseguire e in quale ordine.  Effettuare i CALCOLI per giungere al risultato. La successione delle operazioni da eseguire per risolvere un problema si dice ALGORITMO del problema. A volte può capitare che in un problema ci siano DATI NASCOSTI,cioè non espressi da numeri (una dozzina di uova che corrisponde a 12;Claudia ha il doppio degli anni di Marco che vuol dire che bisogna moltiplicare gli anni di Marco per due;angoli supplementari che vuol dire che la loro somma è 180° ecc …). Un PROBLEMA può essere risolto con metodi diversi. In tutti i metodi proposti,nell'analisi del problema,si distingueranno due fasi. Una prima fase detta TOP – DOWN (dall'alto verso il basso) consiste nel partire dalla fine,cioè dall'incognita. Fissando l'obiettivo da raggiungere e scendendo verso il basso si suddivide logicamente il problema in procedimenti più semplici,fino ad incontrare i dati. Con questa fase si individua un percorso risolutivo,con formule e procedimenti,si formulano ipotesi e si pongono delle domande,in successione:  quali valori servono per calcolare il risultato finale?  conosco questi valori?  se non li conosco,quali valori servono per calcolarli?  e così via per fasi successive. La seconda fase è quella risolutiva. Percorrendo a ritroso,percorso BOTTOM –UP (dal basso verso l'alto) si eseguono i calcoli corrispondenti per giungere al risultato richiesto e quindi all'obiettivo finale del problema. I calcoli per giungere al risultato si eseguiranno procedendo dal basso verso l’alto seguendo la FRECCIA.


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“Cose di Matematica “ METODO TRADIZIONALE Problema : Il signor Rossi compera 7 dozzine di uova e spende 18 euro. Poiché 14 uova si rompono,si chiede a quanto dovrà rivendere ciascun uovo rimasto affinché possa realizzare un guadagno di 3 euro. DATI INCOGNITE Uova = 7 dozzine ricavo per la vendita di un uovo ? Spesa = 18 euro Uova rotte = 14 Guadagno = 3 euro

1) 2) 3) 4)

PROCEDIMENTO ricavo unitario = ricavo complessivo : n° uova rimaste ricavo complessivo = G + S = n° uova rimaste = 7 dozzine – uova rotte 1 dozzina = 12 uova

CALCOLI = 21 : 70 = 0,30 euro = 18 +3 = 21 euro = 7x12 – 14 = 84- 14 = 70

METODO DELLE ESPRESSIONI Lo stesso problema può essere risolto con una espressione: ( 18+3 ) : ( 7x12 – 14 ) =

ricavo n° uova complessivo vendute 21 : 70 = 0,30 euro

METODO GRAFICO RICORDA

Sia in geometria che in aritmetica si parla spesso di GRANDEZZE, ma cosa sono? Per GRANDEZZA s’intende tutto ciò che si può misurare ( l’età di una persona,il peso di un oggetto, la lunghezza di una strada,la capacità di un recipiente,l’ampiezza di un angolo,ecc…). MISURARE UNA GRANDEZZA significa confrontarla con una grandezza “ campione” omogenea,cioè della stessa specie,detta UNITA’ DI MISURA, e stabilire quante volte quest’ultima è contenuta nella grandezza data. Così, per esempio, se scegliamo il segmento u come unità di misura,diremo che la lunghezza di AB disegnato qui sotto è 6 u perché l’unità di misura è contenuta in esso 6 volte.


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“Cose di Matematica “ 1° TIPO DI PROBLEMA Si conosce la somma di due grandezze e la misura di una;trovare il valore della grandezza mancante ( INCOGNITA). Ricorda che: a+b = somma a = somma – b Problema: La somma di due segmenti misura cm 18 e uno è di cm 7.Trova la misura dell'altro segmento. DATI INCOGNITE AB + CD = 18 cm (AD) CD = 7 cm AB?

PROCEDIMENTO AB = SOMMA – CD =

CALCOLI AB = 18 – 7 = 11 cm

2° TIPO DI PROBLEMA Si conosce la differenza di due grandezze e la misura di una;si vuole trovare il valore della grandezza mancante (INCOGNITA). Ricorda che: Minuendo – Sottraendo = Differenza Minuendo = Differenza + Sottraendo Sottraendo = Minuendo – Differenza Problema: La differenza di due numeri è 5 e il maggiore è 12. Trova il numero minore. DATI INCOGNITE a–b=5 a = 12 b?

PROCEDIMENTO b = a – differenza = A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE

CALCOLI b = 12 – 5 = 7 Pagina 7

“Cose di Matematica “ Problema: La differenza di due segmenti è cm 4 e il minore misura cm 16. Quanto misura il segmento maggiore? DATI INCOGNITE Differenza = AB – CD = 4 cm ( DE) CD = 16 cm AB?

PROCEDIMENTO AB = differenza + CD =

CALCOLI AB = 4 + 16 = 20 cm

3° TIPO DI PROBLEMA Si conosce la somma di due o più grandezze e che una grandezza è multipla o sottomultipla dell'altra o delle altre secondo un certo valore. Trovare il valore delle grandezze. Si procede così: - Si trova quante volte la grandezza minore è contenuta nella somma ( n° delle unità); - Si divide la somma per tale numero e si trova il valore della grandezza minore (denominata u); - Si moltiplica il valore della grandezza minore ( u ) per le volte che è contenuta nella maggiore e si trova il valore della grandezza più grande.

Problema: La somma di due numeri è 24. Sapendo che uno è il triplo dell'altro,trova i due numeri. DATI a + b = 24 b = 3a


INCOGNITE a? b?

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“Cose di Matematica “ PROCEDIMENTO 1) 2) 3) 4)

a = 1u x 1 = b = 1u x 3 = 1u = somma : n° unità n° unità = 1 + 3 = 4

CALCOLI a=6x1=6 b = 6 x 3 = 18 1u = 24 : 4 = 6 n° unità = 4

Problema:La somma di tre segmenti è 70 cm. Il secondo è triplo del primo e il terzo è doppio del secondo. Calcola la misura dei tre segmenti. DATI AB+CD+EF = 70 cm CD = 3 AB EF = 2 CD

PROCEDIMENTO 1) 2) 3) 4) 5)

AB = 1u x 1 = CD = 1u x 3 = EF = 1u x 6 = 1u = somma : n° unità n° unità = 1+3+6 = 10

INCOGNITE AB ? CD ? EF ?

CALCOLI AB = 7 x 1 = 7 cm CD = 7 x 3 = 21 cm EF = 7 x 6 = 42 cm 1u = 70 : 10 = 7 cm n° unità = 10

Problema: La somma di due angoli è 80° e uno è 1/4 dell'altro. Calcola le ampiezze dei due angoli. DATI α + β = 80° α = 1/4 β

INCOGNITE

equivale a dire che β = 4α


α? β?

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PROCEDIMENTO 1) α = 1u x 1 = 2) β = 1u x 4 = 3) 1u = somma : n° unità 4) n° unità = 1+ 4 = 5

CALCOLI α = 16 x 1 = 16° β = 16 x 4 = 64° 1u = 80° : 5 = 16° n° unità = 5

4° TIPO DI PROBLEMA Si conosce la differenza di due grandezze e una è multipla o sottomultipla dell'altra secondo un certo valore. Trovare il valore delle due grandezze. Si procede così: - Si trova quante volte la grandezza minore è contenuta nella differenza (n° unità). - Si divide la differenza per tale numero e si trova il valore della grandezza minore (denominata u). - Si moltiplica il valore della grandezza minore (u) per le volte che è contenuta nella maggiore e si trova il valore della grandezza più grande. Problema: La differenza tra due numeri è 400 cm e uno è il triplo dell'altro. Trova i due numeri. DATI b – a = 400 b = 3a


INCOGNITE a?

b?

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“Cose di Matematica “ PROCEDIMENTO 1) a = 1u x 1 = 2) b = 1u x 3 = 3) 1u = differenza : n°unità 4) n° unità = 3 – 1 = 2

CALCOLI a = 200 x 1 = 200 b = 200 x 3 = 600 1u = 400 : 2 = 200 n° unità = 2

5° TIPO DI PROBLEMA Si conosce la somma e la differenza di due grandezze. Trovare il loro valore. Si procede così:  dalla somma si sottrae la differenza e si trova così il doppio della grandezza minore  si divide per due il risultato trovato e si trova il valore della grandezza minore  alla somma si addiziona la differenza e si trova il doppio della grandezza maggiore  si divide per due il risultato trovato e si trova il valore della grandezza maggiore equivale a dire : ( S + D ) : 2 grandezza maggiore (S–D ):2 grandezza minore Problema: La somma di due segmenti è 126 cm e la loro differenza di 22 cm. Trova la misura dei due segmenti. DATI AB + CD = 126 cm AB – CD = DE = 22 cm

PROCEDIMENTO 1) 2)

AB = ( S + D ) : 2 = CD = ( S – D ) : 2 =


INCOGNITE AB ? CD ?

CALCOLI AB = ( 126 + 22 ) : 2 = 148 : 2 = 74 cm CD = ( 126 – 22 ) : 2 = 104 : 2 = 52 cm

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“Cose di Matematica “ 6° TIPO DI PROBLEMA Si conosce la somma di due grandezze e che una supera l'altra di un certo valore. Si procede come nel 5° tipo Problema: La somma di due angoli è 100° e uno supera l'altro di 20°. Calcola le ampiezze dei due angoli. (Dire che uno supera l'altro di 20° significa che la loro differenza è di 20°). DATI α + β = 100°

INCOGNITE α?

β = α + 20° cioè β – α = 20° (diff. tra le ampiezze dei due angoli)

PROCEDIMENTO 1)

β=(S+D):2= oppure β = α + 20° =

2)

α=(S–D):2=

β?

CALCOLI β = ( 100° + 20°) : 2 = 60° oppure β =40° + 20° = 60° α = ( 100° - 20° ) : 2 = 40°

Problema: Un padre e un figlio hanno complessivamente 52 anni. Sapendo che il padre supera di 7 anni il doppio dell'età del figlio,calcola le due età.( Vuol dire che tra il doppio dell'età del padre e l'età del figlio c'è la differenza di 7 anni). DATI

INCOGNITE

P + F = 52 anni

P?

P = 2F + 7 anni cioè P – 2F = 7 anni(differenza)

F?


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PROCEDIMENTO

CALCOLI

1)

P = 2F + 7 =

P = 2 x 15 + 7 = 30 +7 = 37 anni

2)

F=(S–D):3=

F = ( 52 – 7 ) : 3 = 45 : 3 = 15 anni

Problema: La somma di tre segmenti misura 326 cm. Se il primo supera il secondo di 36 cm e il secondo supera il terzo di 40 cm, quanto misura ciascun segmento? DATI AB +CD + EF = 326 cm AB = CD + 36 cm CD = EF + 40 cm 

se alla somma si sottraggono le differenze,si ha il triplo del segmento più corto;dividendo per tre si ottiene la misura del segmento più corto.

PROCEDIMENTO 1) 2) 3)

INCOGNITE AB ? CD ? EF ?

AB = CD + 36 cm = CD = EF + 40 cm = EF = ( S – D ) : 3 =


CALCOLI AB = 110 + 36 = 146 cm CD = 70 + 40 = 110 cm EF = ( 326 – 36 – 40 – 40 ) : 3 = 210 : 3 = 70 cm

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“Cose di Matematica “ PROBLEMI CON LE FRAZIONI 1° TIPO – Problemi diretti Si dice problema diretto un problema in cui si conosce il valore dell'intero e si vuole trovare una o più parti dello stesso. Si procede così: - Si divide il valore dell'intero per il valore del DENOMINATORE e si trova il valore dell'unità frazionaria. - Si moltiplica il valore dell'unità frazionaria per il NUMERATORE e si trova la parte.

Problema: Un segmento AB misura 60 cm. Calcola la misura del segmento CD che è 3/4 di AB. DATI AB = 60 cm CD = 3/4 AB

PROCEDIMENTO 1) CD = 1u x 3 = 2) 1u = AB : 4 =

INCOGNITA CD ?

CALCOLI CD = 15 x 3 = 45 cm 1u = 60 : 4 = 15 cm ( unità frazionaria 1/4)

Problema: Francesco ha 9 anni. Maria,la sorella,ha 2/3 dei suoi anni. Quanti anni ha Maria? DATI Francesco = 9 anni Maria = 2/3 di Francesco


INCOGNITA Età di Maria ?

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“Cose di Matematica “ PROCEDIMENTO 1) M = 1u x 2 = 2) 1u = F : 3 =

CALCOLI M = 3 x 2 = 6 anni 1u = 9 : 3 = 3 anni ( unità frazionaria 1/3)

Problema: Un segmento AB è lungo 18 cm. Calcola la misura di un altro segmento CD che sia lungo i 9/2 di AB. DATI AB = 18 cm CD = 9/2 di AB


INCOGNITA CD ?

CALCOLI CD = 9 x 9 = 81 cm 1u = 18 : 2 = 9 cm ( unità frazionaria 1/2)

2° TIPO – Problemi inversi Si dice problema inverso un problema in cui si vuole calcolare il valore dell'intero conoscendo il valore di una o più parti dello stesso. Si procede così : - Si divide il valore della parte per il NUMERATORE e si trova il valore dell'unità frazionaria. - Si moltiplica il valore dell'unità frazionaria per il DENOMINATORE e si trova il valore dell'intero.

Problema: Un segmento AB è lungo 30 cm ed esso è i 2/5 di un altro segmento CD. Quanto misura CD? DATI AB = 30 cm AB = 2/5 CD


INCOGNITA CD ?

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CALCOLI CD = 15 x 5 = 75 cm 1u = 30 : 2 = 15 cm (unità frazionaria 1/5)

Problema: Un automobilista percorre 200 Km,che corrispondono ai 4/7 del viaggio che deve percorrere per andare da Milano a Pisa. Quanti chilometri è lungo l'intero tragitto?

DATI AB = 200 Km AB = 4/7 MP

PROCEDIMENTO 1) MP = 1u x 7 = 2) 1u = AB : 4 =


INCOGNITA MP ?

CALCOLI MP = 50 x 7 = 350 Km 1u = 200 : 4 = 50 Km

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“Cose di Matematica “ 3° TIPO – Problemi con la somma Si conosce la somma di due grandezze e che una è una data frazione dell'altra. Si procede così: - Si somma N e D,trovando così le parti di cui è costituita la somma ( n° unità). - Si divide il valore della somma per il risultato precedente e si trova l'unità frazionaria ( u ). - Si moltiplica il valore dell'unità frazionaria per il N e per il D e si trova la misura delle due grandezze.

Problema: La somma di due numeri è 56 e uno è 3/4 dell'altro. Calcola il valore dei due numeri.( Indica i due numeri con x e y ). DATI x + y = 56 x = 3/4 y

PROCEDIMENTO 1) 2) 3) 4)

x = 1u x 3 = y = 1u x 4 = 1u = somma : n°u n°u = 3 +4 = 7


INCOGNITE x? y?

CALCOLI x = 8 x 3 = 24 y = 8 x 4 = 32 1u = 56 : 7 = 8 (unità frazionaria 1/4 b) n°u = 7 ( N + D )

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Problema: La somma di due angoli è 180°( oppure due angoli sono supplementari) e uno è 3/5 dell'altro. Calcola l'ampiezza dei due angoli.

DATI α + β = 180° α = 3/5 β


α = 1u x 3 = β = 1u x 5 = 1u = somma : n°u n°u = 3 + 5 = 8


INCOGNITE β? α?

CALCOLI α = 22°30' x 3 = 67°30' β = 22°30' x 5 = 112°30' 1u = 180 : 8 = 22°30'(unità frazionaria 1/5 β) n°u = 8 (N+D)

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4° TIPO – Problemi con la differenza Si conosce la differenza di due grandezze e che una e una frazione dell'altra. Si procede così: - Si sottrae dal D il N o viceversa,trovando così le parti di cui è costituita la differenza (n°unità). - Si divide il valore della differenza per il risultato precedente e si trova l'unità frazionaria ( u ). - Si moltiplica il valore dell'unità frazionaria per il N e il D e si trova il valore delle due grandezze.

Problema: Un segmento CD è 3/8 del segmento AB. Trova la misura dei due segmenti sapendo che la loro differenza è 80 cm. DATI CD – AB = 80 cm AB = 3/8 CD

PROCEDIMENTO

1) 2) 3) 4)

CD = 1u x 3 = AB = 1u x 8 = 1u = differenza : n° u n° u = 8 – 3 = 5


INCOGNITE AB ? CD ?

CALCOLI

CD = 16 x 3 = 48 cm AB = 16 x 8 = 128 cm 1u = 80 : 5 = 16 cm(unità frazionaria 1/8 AB) n°u = 5 ( D – N )

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“Cose di Matematica “ 5°TIPO – Reticolo A – Si conosce il rapporto frazionario tra la base e l'altezza di un rettangolo o di un parallelogramma e si conosce l'area. Si vuole trovare la misura dell'altezza e della base. Si procede così : - Si trova il numero dei quadratini,avente come lato l'unità frazionaria,in cui si può scomporre l'area del quadrilatero,moltiplicando il numeratore per il denominatore. - Si divide l'area del quadrilatero per il risultato precedente e si trova l'area di un quadratino. - Si estrae la radice quadrata dell'area di un quadratino (u2) e si trova l'unità frazionaria ( il lato del quadratino). - Si moltiplica il valore dell'unità frazionaria per il NUMERATORE e il DOMINATORE e si trovano così le due misure cercate. Problema: L'area di un rettangolo è di 720 cm2. Sapendo che la base è 9/5 dell'altezza,trova il perimetro del rettangolo. DATI A = 720 cm2 b = 9/5 h

INCOGNITE

PROCEDIMENTO 1) 2p = ( b + h ) x 2 = 2) b = 1u x 9 = 3) h = 1u x 5 = 4) 1u = lato quadratino = √A rettangolo : n°quadratini 5) n°quadratini = 9 x 5 = 45

2p ?

CALCOLI 2p = (36+20) x 2 = 112 cm b = 4 x 9 = 36 cm h = 4 x 5 = 20 cm 1u =√720:45 =√16 = 4 cm n°quad.= 45

N.B.: Per calcolare la base e l'altezza del rettangolo si può utilizzare il metodo delle proporzioni. Indicando con X la base e con Y l'altezza si ha: X:Y= 9:5 XY = 720 Moltiplicando il primo rapporto per X si ha : X2 : XY = 9:5 sostituendo XY=720 si ha : 2 2 X : 720 = 9:5 X = 720 x 9 :5 = 1296 X = √1296 = 36 cm di conseguenza 36Y = 720 Y = 720 : 36 = 20 cm A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE

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“Cose di Matematica “ B – Si conosce il rapporto frazionario tra la base e l'altezza di un triangolo oppure tra le due diagonali di un rombo e si conosce l'area del triangolo o del rombo. Si vuole trovare la misura dell'altezza e della base oppure della due diagonali. Si procede così : - Si costruisce il rettangolo equivalente al doppio del triangolo o al doppio del rombo e si trova il numero di quadratini,aventi come lato l'unità frazionaria in cui si scompone l'area del quadrilatero ottenuto,moltiplicando il numeratore per il denominatore. - Si divide la doppia area del triangolo o del rombo per il risultato precedente e si trova l'area di un quadratino. - Si estrae la radice quadrata dell'area di un quadratino e si trova l'unità frazionaria (il lato del quadratino). - Si moltiplica il valore dell'unità frazionaria per il NUMERATORE e il DENOMINATORE e si trovano così le due misure cercate. Problema: L'area di un triangolo rettangolo è di 294 cm2 e un cateto è i 4/3 dell'altro. Calcola la misura dei due cateti e la misura del perimetro. DATI A = 294 cm2 C = 4/3 c

PROCEDIMENTO 1) 2p = i + C + c = AC + AB + BC = 2) i = √ C2 + c2 = 3) C = 1u x 4 = 4) c = 1u x 3 = 5) 1u = lato quadr.=√Atriangolo x 2 : n°quadratini= 6) n° quadratini = 4 x 3 = 12

INCOGNITE C? c? 2p ?

CALCOLI 2p = 35 + 21 + 28 = 84 cm i = √ 282 + 212 =√ 1225 = 35 cm C = 7 x 4 = 28 cm c = 7 x 3 = 21 cm 1u = √ 294 x 2 : 12 = √ 49 = 7 cm n°quadr.= 12

N.B. : Per calcolare i due cateti si può applicare ,come nel precedente problema,il metodo delle proporzioni. Bisogna,però,moltiplicare l'area del triangolo per 2 (il triangolo,come si vede in figura,è equivalente alla metà del rettangolo).


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“Cose di Matematica “ Problema: In un rombo l'area è di 2400 cm2 e la diagonale minore è 3/4 della maggiore. Calcola la misura delle due diagonali. DATI A = 2400 cm2 d = 3/4 D

PROCEDIMENTO 1) d = 1u x 3 = 2) D = 1u x 4 = 3) 1u = lato quadr.= √Arombo x 2 : n°quadr. = 4) n° quadratini = 4 x 3 = 12

INCOGNITE D? d?

CALCOLI d = 20 x 3 = 60 cm ( BD) D = 20 x 4 = 80 cm ( AC ) 1u = √2400 x 2 : 12 = √400 = 20 cm n°quadr. = 12

N.B. : Per calcolare le due diagonali si può applicare ,come nel precedente problema,il metodo delle proporzioni. Bisogna,però,moltiplicare l'area del rombo per 2 (il rombo,come si vede in figura,è equivalente alla metà del rettangolo).


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“Cose di Matematica “ Schema risolutivo di un problema di geometria piana Problema: Un rettangolo ha il perimetro di 50 cm e l'altezza è 1/4 della base. Calcola il perimetro di un quadrato equivalente al rettangolo. DATI 2p(ABCD) = 50 cm AB = 1/4 AD A(ABCD) = A(EFGH)

PROCEDIMENTO 1) 2p(EFGH) = EF x 4 = 2) EF = √A(EFGH) = √A(ABCD) = √AB xAD = 3) AB = 1u x 1 = 4) AD = 1u x 4 = 5) 1u = 2p (ABCD) : n°u 6) n°u = 1+4+1+4 = 10

INCOGNITE 2p(EFGH) = ?

CALCOLI 2p(EFGH) = 10 x 4 = 40 cm EF = √20x 5 = 10 cm AB = 5 x 1 = 5 cm AD = 5 x 4 = 20 cm 1u = 50 : 10 = 5 cm n°u = 10

Il problema può essere risolto in altro modo,applicando la proprietà del comporre delle proporzioni (classi II ): 1) 2) 3) 4) 5)

2p(EFGH) = EF x 4 = EF = √A(EFGH) = √A(ABCD) = √AB x AD = AB→ (AB+AD) : AB = (1+4) : 1 = AD→ (AB+AD) : AD = (1+4) : 4 = AB +AD = 2p : 2 =


2p(EFGH) = EF x 4 = 10 x 4 = 40 cm EF = √20 x 5 = √100 = 10 cm AB = ( 25 x 1 ) : 5 = 5 cm AD = ( 25 x 4 ) : 5 = 20 cm AB +AD = 50 : 2 = 25 cm

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“Cose di Matematica “ Il problema può essere risolto in altro modo,applicando il metodo delle equazioni (classi III): 1) 2) 3) 4) 5)

2p(EFGH) = EF x 4 = 2p(EFGH) = EF x 4 = 10 x 4 = 40 cm EF = √A(EFGH) = √A(ABCD) = √AB x AD = EF = √20 x 5 = √100 = 10 cm AB = 1/4 AD AB = 1/4AD = 5 cm AD = X ; AB = 1/4 X AD = 20 cm ; AB = 1/4AD = 5 cm X → X + 1/4 X = 2p : 2 = X +1/4 X =50 :2; 5X = 25 x 4;X= 100 =20cm 5 Problema: Un rettangolo ha l'area di 315 cm2 e l'altezza è 7/5 della base. Calcola l'area di un quadrato isoperimetrico al rettangolo. DATI A(ABCD) = 315 cm2 AB = 7/5 AD 2p(ABCD) = 2p(EFGH)

PROCEDIMENTO 1) A(EFGH) = EF 2 = 2) EF = 2p(EFGH) = 2p(ABCD) : 4 = 3) 2p(ABCD) = ( AB + AD) x 2 = 4) AB = 1u x 5 = 5) AD = 1u x 7 = 6) 1u = lato quadratino = √A quadratino = 7) A quadratino = A(ABCD) : n° quadratini = 8) n° quadratini = 7 x 5 = 35


INCOGNITE A(EFGH) = ?

CALCOLI A(EFGH) = 182 = 324 cm2 EF = 72 : 4 = 18 cm 2p(ABCD) = ( 21 + 15) x 2 = 72 cm AB = 3 x 7 = 21 cm AD = 3 x 5 = 15 cm 1u = lato quadratino = √ 9 = 3 cm A quadratino = 315 : 35 = 9 cm2 n° quadratini = 7 x 5 = 35

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“Cose di Matematica “ Il problema può essere risolto in altro modo,applicando le proprietà delle proporzioni: 1) 2) 3) 4) 5) 6)

A(EFGH) = EF 2 = A(EFGH) = 182 = 324 cm2 EF = 2p(EFGH) = 2p(ABCD) : 4 = EF = 72 : 4 = 18 cm 2p(ABCD) = ( AB + AD) x 2 = 2p(ABCD) = ( 21 + 15) x 2 = 72 cm AB = X AB = 21 cm AD = Y AD = 15 cm AB = 7/5 AD cioè AB: AD = 7 : 5 Quindi X : Y = 7 : 5 con XY = 315 Moltiplichiamo il primo rapporto per X X2 : XY = 7 : 5 sostituiamo XY = 315 X2 : 315 = 7 : 5 calcoliamo X2 = ( 315 x 7) : 5 = 441 cm2 X = √ 441 = 21 cm di conseguenza : 21 Y = 315 Y = 315 : 21 = 15 cm

Il problema può essere risolto in altro modo,applicando il metodo delle equazioni: 1) A(EFGH) = EF 2 = A(EFGH) = 182 = 324 cm2 2) EF = 2p(EFGH) = 2p(ABCD) : 4 = EF = 72 : 4 = 18 cm 3) 2p(ABCD) = ( AB + AD) x 2 = 2p(ABCD) = ( 21 + 15) x 2 = 72 cm 4) AD = X AB = 21 cm 5) AB = 7/5 X AD = 15 cm 6) Siccome AB x AD = 315 impostiamo l'equazione X . 7/5 X = 315 7/5 X2 = 315 7 X2 = 315 . 5 X2 = ( 315 . 5 ) : 7 = 225 X = √ 225 = 15 cm (AD) 7/5 X =7/5 di 15 = (15 :5) x 7 = 21 cm (AB)

Problema: In un triangolo rettangolo la differenza delle lunghezze dei due cateti misura 20 cm e uno è i 3/4 dell'altro. Calcola il perimetro e l'area del triangolo. DATI AC – AB = 20 cm AB = 3/4 AC AC = cateto maggiore AB = cateto minore


INCOGNITE 2p ? A? C c

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PROCEDIMENTO 1) A = (C x c) :2 = 2) 2p = C + c + i = 3) i = √ C2 + c2 = 4) C = 1u x 4 = 5) c = 1u x 3 = 6) 1u = differenza : n° unità 7) n° unità = 4 – 3 = 1

CALCOLI A = ( 80 x 60 ) : 2 = 2400 cm2 2p = 100 + 80 + 60 = 240 cm i = √ 802 + 602 = √6400+3600 =√ 10000 = 100 cm C = 20 x 4 = 80 cm c = 20 x 3 = 60 cm 1u = 20 : 1 = 20 cm n° unità = 1

Il problema può essere risolto in altro modo,applicando la proprietà dello scomporre: 1) A = (C x c) :2 = 2) 2p = C + c + i = 3) i = √ C2 + c2 = 4) C→( C -c ) : C = (4 -3 ) : 4 C = ( 20 x 4) : 1 = 80 cm 5) c→( C -c ) : c = (4 – 3) : 3 c =(20 x 3 ) : 1 = 60 cm

A = ( 80 x 60 ) : 2 = 2400 cm2 2p = 100 + 80 + 60 = 240 cm i = √ 802 + 602 = √6400+3600 =√ 10000 = 100 cm C = 80 cm c = 60 cm

Il problema può essere risolto in altro modo,applicando il metodo delle equazioni: 1) A = (C x c) :2 = A = ( 80 x 6 0 ) : 2 = 2400 cm2 2) 2p = C + c + i = 2p = 100 + 80 + 60 = 240 cm 3) i = √ C2 + c2 = i = √ 802 + 602 = √6400+3600 =√ 10000 = 100 cm 4) C = X C = 80 cm 5) c = 3/4 X c = 60 cm 6) Siccome C -c = 20 impostiamo l'equazione X - 3/4 X = 20.4 4X – 3X = 20.4 X = 80 cm ( C) 3/4 di 80 = (80 : 4) x 3 = 60 cm (c) A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE

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“Cose di Matematica “ Problema: Nel triangolo ABC i due angoli alla base misurano rispettivamente 45° e 60°. Sapendo che il lato BC misura 24 cm,calcola perimetro e area del triangolo. DATI Â = 45° Ĉ = 60° BC = 24 cm

INCOGNITE 2p ? A?

N.B. Il triangolo ABH è un triangolo rettangolo isoscele,pertanto AH = BH. Ovvero,è la metà di un quadrato di lato AH e AB è ipotenusa del triangolo ed è diagonale del quadrato. Il triangolo BHC è la metà di un triangolo equilatero,pertanto HC è la metà di BC.

1) 2) 3) 4) 5) 6)

PROCEDIMENTO A(ABC)=( AC x BH): 2 = 2p = AC + BC + AB = AB = √AH2+ BH2= oppure AH x 1,414 = AC = AH + HC = HC = BC : 2 = AH = BH = √ BC2 – HC2= oppure= BC x 0,866=


CALCOLI A = (32,78 x 20,78):2 =340,58 cm2 2p = 32,78+24+29,38 =86,16 cm AB= 20,78 x 1,414 = 29,38 cm AC= 20,78 + 12 = 32,78 cm HC= 24 : 2 = 12 cm AH=BH=24 x 0,866 = 20,78 cm

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“Cose di Matematica “ Problema: Nel trapezio ABCD gli angoli adiacenti alla base maggiore son ampi rispettivamente 45° e 60°. Sapendo che la base minore,congruente all'altezza, misura 90 cm,calcola perimetro e area del trapezio. DATI α = 45° β = 30° CD = AH = CK = DH = HK = 90 cm

INCOGNITE 2p ? A?

N.B. Il triangolo ADH è triangolo rettangolo isoscele ed è la metà di un quadrato,pertanto il lato AH è uguale a DH e AD è diagonale del quadrato. Il triangolo BCK è la metà di un triangolo equilatero e il lato CK è la metà di BC. Nel problema di cui sopra,la figura HDCK è un quadrato essendo CD congruente a DH.

PROCEDIMENTO 1) A = [(AB+CD) x DH] : 2 = 2) 2p = AB+CD+AD+BC = 3) AB = AH+HK+KB = 4) AD =AH x 1,414 =√AH2+DH2 = 5) BK = BC x 0,866 =√BC2- CK2= 6) BC = CK x 2 =


CALCOLI A = [( 335,88+90) x 90] :2 = 19164,6 cm2 2p = 335,88+90+127,26+180 = 733,14 cm AB = 90+90+155,88 = 335,88 cm AD = 90 x 1,414 = 127,26 cm BK = 180 x 0,866 = 155,88 cm BC = 90 x 2 = 180 cm

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“Cose di Matematica “ Problema: In una circonferenza di centro O e raggio lungo 58 cm,la corda AB dista dal centro 40 cm. Calcola perimetro e area del triangolo di vertice O e base AB. DATI AO = raggio = 58 cm OH = 40 cm

INCOGNITE 2p(AOB) ? A(AOB) ?

N.B. Il triangolo formato dai due raggi OB e OA e dalla corda AB è isoscele. La distanza OH della corda AB dal centro è l'altezza del triangolo AOB. PROCEDIMENTO 1) A(AOB) = ( AB x OH ) : 2 = 2) 2p(AOB) = AO x 2 + AB = 3) AB = AH x 2 = 4) AH = √AO2 - OH2 =

CALCOLI A(AOB) = ( 84 x 40 ) : 2 = 1680 cm2 2p(AOB) = 58 x 2 + 84 = 200 cm AB = 42 x 2 = 84 cm AH = √582- 402 = √3364 – 1600 = √1764 = 42 cm

Problema: Nella circonferenza di centro O e raggio lungo 50 cm,i raggi passanti per gli estremi della corda AB formano un angolo di 120°. Calcola perimetro e area del triangolo AOB. DATI INCOGNITE AO = OB = 50 cm 2p(AOB) ? AÔ B = 120° A(AOB) ? N.B. Il triangolo OHA è la metà di un triangolo equilatero( OAC),pertanto i lati OA,AC,OC sono congruenti e quindi OH è la metà di AO e AH è l'altezza del triangolo AOC.


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“Cose di Matematica “ PROCEDIMENTO 1) A(AOB) = (AB x OH) : 2 = 2) 2p(AOB) = AO x 2 + AB = 3) AB = AH x 2 = 4) AH = AO x 0,866 = oppure AH = √AO2- OH2 = 5) OH = AO : 2 =

CALCOLI A(AOB) = (86,6 x 25) : 2 = 1082,5 cm2 2p(AOB) = 50 x 2 + 86,6 = 186,6 cm AB = 43,3 x 2 = 86,6 cm AH = 50 x 0,866 = 43,3 cm AH = √502- 252 =√2500 – 625 =√1875 = 43,3 cm OH = 50 : 2 = 25 cm

Problema: In una circonferenza di centro O e raggio lungo 34 cm,la corda AB è perpendicolare al diametro CD. Sapendo che la corda dista 16 cm dal centro O,calcola perimetro e area del quadrilatero ACBD (approssima ai centesimi). DATI r = OC =OD = 34 cm OH (distanza della corda dal centro) = 16 cm

INCOGNITE 2p(ACBD) ? A(ACBD) ?

N.B. IL quadrilatero ACBD è formato da due triangoli rettangoli congruenti ACD e CBD (sono triangoli rettangoli perché inscritti in una semicirconferenza; l'angolo alla circonferenza Â e l'angolo al centro Ô sono corrispondenti,quindi se Ô è di 180°, Â sarà di 90° e quindi il quadrilatero ACBD ha le diagonali perpendicolari,pertanto l'area si calcolerà come nel rombo.

PROCEDIMENTO A(ACBD) = (CD x AB) : 2 = 2p(ACBD) = (AC + AD) x 2 = AB = AH x 2 = AD = √ CD2 – AC2 = AC =√ CH2 + AH2 = AH → CH : AH = AH : HD ( 2° T. Euclide) AH = √ CH x HD = 7) HD = CD – CH = 8) CD = 2 x OC = 9) CH = OC + OH = 1) 2) 3) 4) 5) 6)


CALCOLI A(ACBD) = ( 68 x 60) : 2 = 2040 cm2 2p(ACBD) = (58,3 + 34,98) x 2 = 186,56 cm AB = 30 x 2 = 60 cm AD = √682 – 58,32 = √1224 = 34,98 cm AC =√ 502 + 302 = √3400 = 58,3 cm AH = √ 50 x 18 = √ 900 = 30 cm HD = 68 – 50 = 18 cm CD = 34 x 2 = 68 cm CH = 34 + 16 = 50 cm

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“Cose di Matematica “ Problema: Il punto P della tangente condotta a una circonferenza di centro O e diametro ungo 80 cm dista dal punto di tangenza 96 cm. Calcola perimetro e area del triangolo OPT. DATI RT = diametro = 80 cm PT = 96 cm

INCOGNITE 2p(OPT) ? A(OPT) ?

N.B. Il triangolo OPT è rettangolo in T perché come da proprietà nota,il segmento di tangente PT è perpendicolare al raggio OT,pertanto la distanza OP è ipotenusa del triangolo OPT.

PROCEDIMENTO 1) A(OPT) =(C x c ) : 2 = (OT x PT) : 2 = 2) 2p(OPT) = OT + PT + OP = 3) OP = √ PT2 + OT2 = 4) OT = RT : 2 =


CALCOLI A(OPT) = (40 x 96) : 2 = 1920 cm2 2p(OPT) = 40 +96 + 104 = 240 cm OP = √962 + 402 = √10816 = 104 cm OT = 80 : 2 = 40 cm

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Problema: Sia dato un quadrato di lato 6 cm. Da un vertice del quadrato, usato come centro del cerchio, è disegnato un cerchio con raggio uguale al lato del quadrato. Calcola la misura del contorno e dell’area della zona in colore delimitata dai due lati del quadrato e dall’arco di circonferenza.

DATI AD=BC=CD=AB= r = 6 cm

INCOGNITE Contorno ( parte colorata) ? Area (parte colorata) ?

N.B. L'arco di circonferenza BD sottiene l'angolo al centro Ĉ di 90°,quindi è un quarto dell'intera circonferenza avente come raggio il lato del quadrato.


A(ABD) = Aquadrato – Acerchio : 4 = Contorno(ABD) = AB x 2 + BDarco = Aquadrato = AB2 = Acerchio = AB2 x 3,14 ( π ) = BDarco = (AB x 2 x 3,14 ) : 4 =


CALCOLI A(ABD) = 36 – 113,04 : 4 = 36 – 28,26= 7,74cm2 Contorno(ABD) = 6 x 2 + 9,42 = 21,42 cm Aquadrato = 6 x 6 = 36 cm2 Acerchio = 6 x 6 x 3,14 = 113,04 cm2 BDarco = ( 6 x 2 x 3,14 ) : 4 = 9,42 cm

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Problema: Sia dato un quadrato di lato 8 cm. Da un vertice del quadrato, usato come centro del cerchio, è disegnato un cerchio con raggio pari alla metà del lato del quadrato. Calcola la misura del contorno e dell’area della zona in colore delimitata da due lati del quadrato e dall’arco di circonferenza. DATI AB = BC = AD =CD = 8 cm EC = CF = r = AB : 2

INCOGNITE A ( parte colorata) ? Contorno (parte colorata) ?

N.B. L'arco EF sottiene l'angolo Ĉ di 90°,quindi è 1/4 di circonferenza avente come raggio EC che è la metà del lato del quadrato. Lo stesso vale se si considera il settore circolare delimitato dall'arco ( 1/4 di cerchio).

1) 2) 3) 4) 5) 6)

PROCEDIMENTO Area = Aquadrato - Asettore EF = Contorno = AB+AD+DF+BE+ EFarco = Aquadrato = AB2 = Asettore = ( EC2 x 3,14 ) : 4 = EFarco = (2 x 3,14 x EC) : 4 = EC = BC : 2 =


CALCOLI Area = 64 – 12,56 = 51,44 cm2 Contorno = 8+8+4+4+6,28 = 30,28 cm Aquadrato = 82 = 64 cm2 Asettore = ( 42 x 3,14) : 4 = 12,56 cm2 EFarco = (2 x 3,14 x 4 ) : 4 = 6,28 cm EC = 8 : 2 = 4 cm

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“Cose di Matematica “ Problema: Sia dato un quadrato di lato 12 cm. Da due vertici opposti del quadrato, usati come centro del cerchio, sono disegnati due cerchi con raggio pari alla metà del lato del quadrato. Calcola la misura del contorno e dell’area della zona in colore che si viene a formare. DATI AB=BC=CD=DA= 12 cm AH=AG=EC=CF= raggio= AB: 2 AH=HB=BE=DF=DG

INCOGNITE Area ( parte colorata) ? Contorno ( parte colorata) ?

N.B. I due archi,HG e EF sono congruenti e sottendono angoli al centro Â e Ĉ di 90°,quindi formano una semicirconferenza. Lo stesso vale se si considerano i settori circolari corrispondenti che formano un semicerchio.

1) 2) 3) 4) 5) 6)

PROCEDIMENTO Area = Aquadrato – Asemicerchio = Contorno = BH x 4 + Semicirconferenza = Aquadrato = AB2 = Asemicerchio = ( EC2x 3,14 ) : 2 = Semicirconferenza = ( EC x 2 x 3,14 ) :2 = EC = AB : 2 =


CALCOLI Area = 144 – 56,52 = 87,48 cm2 Contorno = 6 x 4 + 18,84 = 42,84 cm Aquadrato = 122 = 144 cm2 Asemicerchio = ( 62 x 3,14) : 2 = 56,52 cm2 Semicirc.= (6 x 2 x 3,14 ):2 = 18,84 cm EC= 12: 2 = 6 cm

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Problema: Un circo è formato da un corpo centrale rettangolare e da due semicerchi costruiti verso l’esterno usando come diametro i due lati più corti del rettangolo. Sapendo che le dimensioni del rettangolo misurano 120 m e 83 m, calcola la superficie e il contorno della figura ponendo π (pi greco) = 3,14. DATI

INCOGNITE

AD = BC = 83 m CD = AB = 120 m

PROCEDIMENTO 1) 2) 3) 4) 5) 6)

A = AABCD + Acerchio = 2p = C + AB x 2 = AABCD = AB x AD = Acerchio = π x AE2 = C = 2 π x AE = AE = AD : 2 =


2p ? A?

CALCOLI A = 9960 + 5407,865 = 15367,865 m2 2p = 260,62 + 120 x 2 = 500,62 m AABCD = 120 x 83 = 9960 m2 Acerchio = 41,52 x 3,14 = 5407,865 m2 C = 2 x 3,14 x 41,5 = 260,62 m AE = 83 : 2 = 41,5 m

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Problema: Un volto è costituito da un rettangolo lungo 16 m e alto 8 m in cui è stato ricavato un semicerchio con il centro posto a metà del lato più lungo e alto 7 m. Calcola la misura del contorno e dell’area del volto (zona in colore) che si viene a formare, ponendo π (pi greco) = 3,14. DATI AD = BC = 8 m AB = CD = 16 m r=7m

PROCEDIMENTO 1) A = AABCD – A semicerchio = 2) Contorno = AD x 2 + CD + π r +( AB – 2r) = 3) AABCD = AD x DC = 4) Asemicerchio = πr2 / 2 =


INCOGNITE Contorno (zona colorata) ? A ( zona colorata) ?

CALCOLI A = 128 – 76,93 = 51,07 m2 Cont =8x2+16+7x3,14+(16-14)= 55,98m AABCD = 8 x 16 = 128 m Asemicerchio = (3,14 x 72) : 2=76,93 m2

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Problema: Calcola la misura degli angoli alla circonferenza e la lunghezza dell’arco corrispondenti ad un angolo al centro di 100°, sapendo che il raggio della relativa circonferenza misura 18 cm. DATI α = 100° AO =BO = r = 18 cm

INCOGNITE β? γ? ABarco ?

PROCEDIMENTO

CALCOLI

1) ABarco = ( C x α) : 360° = 2) β = γ = α : 2 =

ABarco = (3,14 x 2 x 18 x100°) : 360 = 31,4 cm β = γ = 100° : 2 = 50°

N.B. Gli angoli β e γ sono angoli corrispondenti uguali perché sottendono uno stesso arco.


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“Cose di Matematica “ Problema: Calcola l’ampiezza dell’angolo al centro corrispondete ad un arco lungo 8 π cm, sapendo che la circonferenza ha il raggio che misura 60 cm. DATI ABarco = 8π cm r = AO = BO = 60 cm

INCOGNITE α?

PROCEDIMENTO

CALCOLI

1) α = (360° x AB arco) :C = 2) C = 2πr =

α = ( 360 x 8π) : 376,8 = 24° C = 6,28 x 60 = 376,8 cm

Problema: Calcola la misura del raggio di una circonferenza sapendo che ad un suo settore di 80π cm2 corrisponde un angolo al centro di 18°. DATI Asettore = 80π cm2 α = 18°

PROCEDIMENTO 1) r = √Acerchio : π = 2) Acerchio = (Asettore x α) : 360° =


INCOGNITE r?

CALCOLI r = √4π : π = 2 cm Acerchio = (80π x 18°) : 360°= 4π cm2

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“Cose di Matematica “ Problema: In una circonferenza di raggio 20 cm, l’area di un settore circolare è di 80 cm2. Calcola la lunghezza dell’arco corrispondente allo stesso angolo centro. DATI r = 20 cm Asettore = 80 cm

PROCEDIMENTO 1) L = 2 Asettore : r =

INCOGNITE Larco ?

CALCOLI L = 2 x 80 :20 = 8 cm

Problema: Calcola l’area e il contorno della figura in colore sapendo che il diametro del cerchio massimo è di 40 cm. ( Indico con d il diametro,con R il raggio del cerchio massimo e con r il raggio dei cerchi minimi congruenti; con A1 ,C1 l'area e circonferenza del cerchio massimo, con A2,C2 , A3, C3, l'area e circonferenza dei due cerchi minimi congruenti). DATI d = 2R = 40 cm


INCOGNITE Afigura colorata ? Contornofigura colorata ?

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A = π R2 – πr2x 2 = Contorno = C1+ C2 x 2 = C1 = 2πR= C2 =C3 = 2πr = r=R:2= R = d :2 =

CALCOLI A = π202 – 2π102 = 400π – 200π =200π = 628 cm2 Contorno = 125,6 + 2 x 62,8 = 251,2 cm C1 = 2 x 3,14 x 20 = 125,6 cm C2 =C3 = 2 x 3,14 x 10 = 62,8 cm r = 20 : 2 = 10 cm R = 40 : 2 = 20 cm

Problema: Calcola l’area e il contorno della figura data sapendo che la distanza tra il punto A e il punto B è di 6 cm e che il segmento BD è i 2/3 di AB. DATI AB = CD = 6 cm BD = AC = 2/3 AB EC = AC = DF

INCOGNITE A? 2p ?

N.B.: AEC ed BDF sono due settori circolari uguali con angolo al centro di 90° e quindi formano un semicerchio;i due archi AE ed AE formano,pertanto, una semicirconferenza. PROCEDIMENTO 1) 2) 3) 4) 5) 6)

A = AABCD + Asemicerchio = 2p = AB x 2 + EC x 2 + C/2 AABCD = AB x AC = Asemicerchio = πr2/2 = C = 2πr :2 = AC = 2/3 AB =


CALCOLI A = 24 + 25,12 = 49,12 cm2 2p = 6 x 2+4 x 2+12,56 = 32,56 cm AABCD = 6 x 4 = 24 cm2 Asemicerchio =16π/2 = 8π = 25,12 cm C = 4 x 3,14 = 12,56 cm AC = 2/3 di 6 = 4 cm

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Problema: Calcola l’area e il contorno della figura in colore sapendo che il lato di uno dei quattro quadrati su cui è stata costruita misura 10 cm. DATI lato quadrato = 10 cm

INCOGNITE Afigura colorata ? Contornofigura colorata ?

Indico con C1,C2, C3, e con A1,A2,A3 circonferenza e cerchio di raggio 5 cm,10 cm e 15 cm. Usando il pieno e il vuoto posso sommare solo i due semicerchi di raggio 5 cm e 15 cm.

PROCEDIMENTO 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

C =C1/2+2C2/2+C3/2 = A = A1/2 +A3/2 = C1=2πr1= C2= 2πr2= C3= 2πr3= A1=πr12 = A3 =πr32 =


CALCOLI C = 5π+20π+15π = 40π cm = 125,6 cm A= 12,5π+112,5π = 125π cm2 = 392,5 cm2 C1 =10π cm C2= 20π cm C3= 30π cm A1 =52 π =25π cm2 A3 = 152π =225 π cm2

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Problema: Calcola l’area e il contorno della figura in colore sapendo che il diametro AB misura 6 cm. DATI AB = 6 cm CB = AD = 4 cm AC = BD = 2 cm

INCOGNITE Afigura colorata ? Cfigura colorata ?

N.B.: Osservando i pieni e i vuoti,per ottenere l'area della figura colorata si può sottrarre l'area del cerchio di raggio 1 cm all'area del cerchio di raggio 2 cm. Indico con A1 e C1 area e circonferenza del cerchio con diametro AD e con A2 e C2 area e circonferenza del cerchio di diametro AC.


A = A1 – A2 = C = C1 + C2 = A1 = πr12 = A2 = πr22 = C1 = 2πr1 = C2 = 2πr2 =


CALCOLI A = 4π – π = 3π cm2 = 9,42 cm2 C = 4π+2π = 6π cm = 18,84 cm A1 = 4π cm2 A2 = π cm2 C1 = 4π cm C2 = 2π cm

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Problema: Calcola il contorno e l’area della zona in colore della figura sapendo che il lato AB del quadrato ABCD misura 5 cm. DATI AB = 5 cm


N.B.:Osservando i pieni e i vuoti, si nota che il contorno corrisponde alla misura di due circonferenze di diametro 5 cm. Per calcolare l'area,devo ragionare sulla quarta parte della figura ( quadrato di lato 2,5 cm e corrispondente doppio segmento circolare colorato). L'area del segmento circolare è data dalla differenza tra l'area del settore di raggio 2,5 cm e l'area di metà quadrato di lato 2,5 cm.L'area della figura colorata si calcolerà moltiplicando per 8 l'area di ciascun segmento circolare.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

PROCEDIMENTO Cfigura colorata = 2 x ( 2πr) = Afigura colorata = Aseg.circolare x 8 = Aseg.circolare = Asettore – (Aq : 2) = Asettore = Acerchio : 4 = Acerchio = πr2 = Aq = r2 = r = AB : 2 =


CALCOLI Cfigura colorata = 2 x 2 x 3,14 x 2,5 = 31,4 cm Afigura colorata = 1,78 x 8 = 14,24 cm2 Aseg.circolare = 4,9 - ( 6,25 : 2) = 4,9 – 3,125 =1,78 cm2 Asettore = 19,625 : 4 = 4,9 cm2 Acerchio = 2,5 x 2,5 x 3,14 = 19,625 cm2 Aq = 2,5 x 2,5 = 6,25 cm2 r = 5 : 2 = 2,5 cm

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Problema: Calcola l’area e il contorno della zona rappresentata in colore nella figura sapendo che il raggio dei cerchi misura 2 cm e che i quattro cerchi sono tutti congruenti e tangenti tra loro. DATI r = 2 cm


N.B. : Come si può notare, il contorno della figura colorata corrisponde alla lunghezza di una circonferenza ( ciascun arco è la quarta parte di essa). Per calcolare l'area sottrarrò l'area del cerchio all'area del quadrato di lato 4 cm ( l'area di quattro settori corrispondono ad un intero cerchio). PROCEDIMENTO 1) C = 2πr = 2) A = Aquadrato – Acerchio = 3) Aq = l x l = 4) Ac = π r2 =


CALCOLI C = 2 x 3,14 x 2 = 12,56 cm A = 16 – 12,56 = 3,44 cm2 Aq = 4 x 4 = 16 cm2 Ac = 3,14 x 2 x 2 = 12,56 cm2

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Problema: Calcola l’area e il contorno della zona rappresentata in colore nella figura sapendo che la somma delle due dimensioni del rettangolo è 28 cm e la loro differenza è di 4 cm e che il semicerchio ha il diametro coincidente con la dimensione minore del rettangolo e che il quarto di cerchio ha il raggio che è pari alla metà della dimensione maggiore del rettangolo.

DATI h + b = 28 cm h – b = 4 cm r1 = b : 2 r2 = h : 2

PROCEDIMENTO 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

A = A rettangolo - (A1/2 + A2/4) = C = h + h/2 + C1/2 + C2/4 = A rettangolo = b x h = A1 = π (b/2)2 = A2 = π (h/2)2 = C1 = 2πb/2 = C2 = 2πh/2 = h = (s + d) : 2 = b = (s – d ) : 2 =



CALCOLI A = 192 - ( 56,52+50,24) = 192 – 106,76 = 85,24 cm2 C = 16+8+18,84+12,56 = 55,4 cm A rettangolo = 16 x 12 = 192 cm2 A1 = 3,14 x 36 = 113,04 cm2 A2 = 3,14 x 64 = 200,96 cm2 C1 = 2 x 3,14 x 6 = 37,68 cm C2 = 2 x 3,14 x 8 = 50,24 cm h = (28 + 4) : 2 = 16 cm b = (28 – 4): 2 = 12 cm

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“Cose di Matematica “ Problema: Calcola l’area e il contorno della zona rappresentata in colore nella figura sapendo che la somma delle due dimensioni del rettangolo è 60 cm e la loro differenza è di 12 cm e che i semicerchi hanno il diametro coincidente con le dimensioni del rettangolo.

DATI AD + AB = 60 cm AD – AB = 12 cm

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11)

PROCEDIMENTO A = AABCD + A1 + A2 + A3 = 2p = C1+C2+C3+AD = AABCD = AD x AB = A1 = A2 = r12π : 2 = A3 = r32π : 2 = C1 = C2 = 2πr1 : 2 = C3 = 2πr3 : 2 = r1 = r2 = h/2 = r3 = b/2 = h = (s- d) : 2 = b = (s+d) : 2 =

INCOGNITE Afigura colorata ? 2p figura colorata ?

CALCOLI A = 864 + 226,08 x 2 + 508,68 = 1824,84 cm2 2p = 37,68 x 2 +56,52 + 36 = 167,88 cm AABCD = 36 x 24 = 864 cm2 A1 = A2 = 12 x 12 x 3,14 : 2 = 226,08 cm2 A3 =18 x 18 x 3,14 : 2 = 508,68 cm2 C1 = C2 = 2 x 3,14 x 12 : 2 = 37,68 cm C3 = 2 x 3,14 x 18 : 2 = 56,52 cm r1 = r2 = 24 : 2 = 12 cm r3 = 36:2 = 18 cm h = (60- 12) : 2 = 24 cm b = (60+12) : 2 = 36 cm

N.B. : Per calcolare la misura della base e dell'altezza si può applicare il metodo delle equazioni. b + h = 60 b – h = 12 Se indico h = X sarà b = 12 + X e quindi X + 12 + X = 60 risolvendo si ha : 2X = 60 – 12 X = 48/2 = 24 cm (altezza) 12 + 24 = 36 cm (base)


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“Cose di Matematica “ Schema risolutivo di un problema di geometria solida

Problema: Un cubo ha lo spigolo di 4 cm. Calcola l'area della sua superficie totale e il suo volume. DATI s = 4 cm

PROCEDIMENTO 1) V = s3 = 2) S.tot. = 6 x s2 =

INCOGNITE S.tot.? V?

CALCOLI V = 43 = 4 x 4 x 4 = 64 cm2 S.tot. = 6 x 42 = 6 x 16 = 96 cm2

Problema: Un cubo ha il volume che misura 125 cm3. Calcola l'area della sua superficie totale. DATI V = 125 cm3

INCOGNITE S.tot. ?

N.B.: Osservare la figura del problema precedente. PROCEDIMENTO 1) S.tot. = 6 x s2 = 2) s = 3√ V =

CALCOLI S.tot. = 6 x 25 = 150 cm2 s = 3√125 = 5 cm

Problema: Calcola il volume e la diagonale di un cubo con l'area della sua superficie totale di 864 cm2. DATI S.tot. = 864 cm2

INCOGNITE V?

N.B.: Osservare la figura del problema precedente. PROCEDIMENTO 1) V = s3 = 2) s = √S faccia = 3) Sfaccia = S.tot. : 6 =


CALCOLI V = 123 = 1728 cm3 s = √144 = 12 cm S faccia = 864 : 6 = 144 cm2

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“Cose di Matematica “ Problema: Calcola di un cubo,la cui superficie di una faccia misura 49 cm2,la superficie totale,la diagonale,il suo volume e il peso,sapendo che è fatto di argento (ps = 10,5g/cm3). DATI Sfaccia = 49 cm2

INCOGNITE S.tot. ? d? V? P? N.B.: Osservare la figura del problema precedente. PROCEDIMENTO 1) P = V x ps = 2) V = s3 = 3) S.tot.= 6 x s2 = 4) d = s √3 = 5) s = √S faccia =

CALCOLI P = 343 x 10,5 = 3601,5 g = 3,6015 Kg V = 73 = 343 cm3 S.tot. = 6 x 72 = 294 cm2 d = 7√3 cm = 12,12 cm s = √49 = 7 cm

Problema: Un parallelepipedo rettangolo ha i due spigoli di base che misurano 8 cm e 3 cm e la sua altezza misura 5 cm. Calcola la superficie totale e il suo peso sapendolo fatto di sughero (ps 0,25 g/cm3). DATI a = 8 cm b = 3 cm c = 5 cm ps = 0,25 g/cm3

PROCEDIMENTO 1) P = V x ps = 2) V = a x b x c = 3) St = Sl + 2 Sb = 4) Sl = ( 2a + 2b) x c = 5) Sb = a x b = A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE

INCOGNITE S.tot. ? P?

CALCOLI P = 120 x 0,25 = 30 g V = 8 x 3 x 5 =120 cm3 St = 110 + 2 x 24 = 110 + 48 = 158 cm2 Sl = ( 16 + 6) x 5 = 22 x 5 = 110 cm2 Sb = 8 x 3 = 24 cm2 Pagina 48

“Cose di Matematica “ Problema:Un parallelepipedo rettangolo ha i due spigoli di base che misurano 6 cm e 8 cm e la diagonale che misura 26 cm. Calcolane la superficie totale e il suo volume. DATI INCOGNITE a = 6 cm St ? b = 8 cm V? d = 26 cm


V=axbxc= St = Sl + Sb = Sl = (2a +2b) x c = Sb = a x b = c = √dp2- db2 = db = √a2+b2 =

CALCOLI V = 6 x 8 x 24 = 1152 cm3 St = 672 + 48 = 720 cm2 Sl = (12 +16) x 24 = 28 x 24 =672 cm2 Sb = 6 x 8 = 48 cm2 c = √262-102 = √676 – 100 = √576 = 24 cm db = √62+82 =√36+64 =√100 = 10 cm

Problema: Un parallelepipedo retto ha per base un rombo che ha un perimetro di 102 cm ed una diagonale di 24 cm. Sapendo che il suo volume è di 27000 cm3 e che è fatto di alluminio (ps 2,6 g/cm3) calcolate il peso del parallelepipedo e l’area della sua superficie totale. DATI 2p rombo = 102 cm V = 27000 cm3 ps = 2,6 g/cm3


INCOGNITE St ? P?

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“Cose di Matematica “ PROCEDIMENTO 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

P = V x ps = St = Sl + 2Sb = Sl = 2p x h = h = V : Sb = Sb = (D x d ) : 2 = D = ( √l2 – d/22) x 2 = l = 2p :4 =

CALCOLI P = 27000 x 2,6 =70200 g = 70,200 Kg St = 5100 + 2 x 540 = 5100 + 1080 = 6180 cm2 Sl = 102 x 50 = 5100 cm2 h = 27000 : 540 = 50 cm Sb = (45 x 24) : 2 =540 cm2 D = (√25,52 – 122 ) x 2= (√650,25 – 144) x 2 = 45 cm l = 102 : 4 = 25,5 cm

Problema: Il perimetro di base di un parallelepipedo rettangolo è di 140 cm e una dimensione di base è i 2/5 dell’altra. Sapendo che l’altezza del parallelepipedo è di 10 cm, calcola il volume del solido e il suo peso sapendolo fatto di oro (ps 19,3 g/cm3).

DATI 2p = 140 cm a = 2/5b c = 10 cm ps = 19,3 g/cm3

PROCEDIMENTO 1) P = V x ps = 2) V = a x b x c = 3) Per calcolare a e b imposto un'equazione:

INCOGNITE V? P?

CALCOLI P = 10000 x 19,3 = 193000 g = 193 Kg V = 20 x 50 x 10 = 10000 cm3

b = X a = 2/5 X X + 2/5X = 140 : 2 7X = 350 X = 50 cm ( b) 2/5 di 50 = 20 cm (a)


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“Cose di Matematica “ Problema: Una dimensione di base di un parallelepipedo rettangolo è 18 cm ed è 6/5 dell’altra dimensione di base. L’area totale del solido è 1860 cm2. Calcola quanto vale l’altezza e la diagonale del solido. DATI a = 18 cm a = 6/5 b St = 1860 cm2

PROCEDIMENTO 1) d = √a2+b2c2 = 2) c = Sl : (2a + 2b) = 3) Sl = St – 2 Sb = 4) Sb = a x b = 5) b = 5/6 di 18 =

INCOGNITE c? d?

CALCOLI d = √182+152+202 = √324+225+400 = 30,8 cm c = 1320 : ( 36 + 30 ) = 1320 : 66 = 20 cm Sl = 1860 – 2 x 270 = 1860 – 540 = 1320 cm2 Sb = 18 x 15 = 270 cm2 b = 18 : 6 x 5 = 15 cm

Problema: La superficie di base di un parallelepipedo rettangolo misura 864 cm2 e la sua diagonale misura 51 cm. Sapendo che le dimensioni di base sono una i 2/3 dell’altra, calcola la superficie totale e il suo peso sapendolo fatto di sughero (ps 0,25 g/cm3). DATI Sb = 864 cm2 d p = 51 cm a = 2/3 b ps = 0,25g/cm3


INCOGNITE St ? P?

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“Cose di Matematica “ PROCEDIMENTO 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

CALCOLI

P = V * ps = P = 23328*0,25 = 5832 g = 5,832 Kg V=a*b*c= V = 24*36*27 = 23328 cm3 St = Sl + 2Sb = St = 3240 + 2*864 = 3240 + 1728 = 4968 cm2 Sl = (2a+2b) * c = Sl = (2*24 + 2*36) * 27 = 120*27 = 3240 cm2 2 2 c = √dp - db = c =√512- 43,32 =√2601- 1872 = 27 cm db = √a2+b2 = db = √362+242 = √1296+576 = √ 1872 cm = 43,3 cm Per calcolare a e b imposto un'equazione: b=X a = 2/3X X*2/3X = 864 2/3X2 = 864 2X2 =864*3 X2 = 864*3 /2 X2 = 1296 X = √1296 = 36 cm ( b) 2/3 di 36 = 24 cm ( a )

Problema: Un prisma alto 5 cm ha per base un triangolo rettangolo che ha i cateti che misurano 6 cm e 8 cm. Calcola la misura della superficie totale e del volume del solido.

DATI h = 5 cm c = 6 cm C = 8 cm

1) 2) 3) 4) 5) 6)

PROCEDIMENTO V = Sb * h = St = Sl + 2Sb = Sl = 2p*h = Sb = (C*c) : 2 = 2p = C + c + i = i = √C2+c2 =


INCOGNITE St ? V?

CALCOLI V = 24* 5 = 120 cm3 St = 120 + 2*24 = 120 + 48 = 168 cm2 Sl = 24*5 = 120 cm Sb = (8*6): 2 = 24 cm2 2p = 6 + 8 + 10 = 24 cm i = √82+62 = √64+36 =√100 = 10 cm

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“Cose di Matematica “ Problema: Un prisma retto avente per base un triangolo isoscele ha l’altezza di 15 cm, il perimetro di base è di 32 cm e la base del triangolo isoscele di base è 6/5 del lato. Calcola l’area totale del prisma retto dato. DATI h = 15 cm 2p = 32 cm b = 6/5 l


St = Sl + 2*Sb = Sl = 2p*h = Sb = ( b*h): 2 = h = √ l2- (b/2)2 = Per calcolare il lato e la base imposto un'equazione:

INCOGNITE St ?

CALCOLI St = 480 + 2*48 = 480 + 96 = 576 cm2 Sl = 32*15 = 480 cm2 Sb = (12*8): 2 = 48 cm2 h = √ 102- 62 =√100- 36 =√64 = 8 cm

l = X b = 6/5 X X + X + 6/5 X = 32 5X + 5X + 6X = 160 16X = 160 X = 10 cm ( lato) 6/5 di 10 = 12 cm ( base)


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“Cose di Matematica “ Problema:Un prisma retto ha per base un rombo il cui perimetro è di 12 cm e la cui diagonale minore misura 3,6 cm. Sapendo che l’area laterale è di 60 cm2, calcola l’area totale e il volume del prisma. DATI 2p = 12 cm d2 = 3,6 cm Sl = 60 cm2


V = Sb * h = St = Sl + 2*Sb = h = Sl : 2p = Sb =( d1 * d2) : 2 = d1 = 2* [ √l2- (d2/2)2] = l = 2p : 4 =


INCOGNITE St ? V?

CALCOLI V = 8,64* 5 = 43,2 cm3 St = 60 + 2* 8,64 = 77,28 cm2 h = 60 : 12 = 5 cm Sb = (3,6*4,8 ) : 2 = 8,64 cm2 d1 = 2* [ √32- 1,82] = 2*√ 9- 3.24 = 2*2,4 = 4,8 cm l = 12 : 4 = 3 cm

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“Cose di Matematica “ Problema:Un prisma retto ha per base un trapezio rettangolo le cui basi misurano rispettivamente 40 cm e 56 cm e l’altezza 30 cm. Calcolate l’area della superficie totale, il volume del prisma e il suo peso, sapendo che è alto 120 cm e che è fatto di vetro (ps 2,5 g/cm3). DATI B = 56 cm B = 40 cm h trapezio = 30 cm h prisma = 120 cm ps(vetro) = 2,5 g/cm3

PROCEDIMENTO 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

P = V*ps = V = Sb*h = St = Sl + 2*Sb = Sl = 2p*h = Sb = [( B+b)*h] : 2 = 2p = B+b+h+l = l = √h2+ (B-b)2 =


INCOGNITE St ? V? P?

CALCOLI P = 172800*2,5 = 432000 g = 432 Kg V = 1440*120 = 172800 cm3 St = 3200 + 2*1440 = 6080 cm2 Sl = 160*120 = 3200 cm2 Sb = (56+40)*30 : 2 = 1440 cm2 2p = 56+40+30+34 = 160 cm l = √302+162 = √900+256=34 cm

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“Cose di Matematica “ Problema: Un prisma retto a base quadrata ha la superficie di base pari a 16 cm2. Il prisma dato è equivalente a un parallelepipedo con le dimensioni di base di 5 cm e 16 cm e con una superficie laterale di 882 cm2. Calcola la superficie totale del prisma retto dato. DATI Sb prisma = 16 cm2 V prisma = V parallelepipedo

INCOGNITE St prisma ?

a = 5 cm b = 16 cm Sl parallelepipedo = 882 cm2

PROCEDIMENTO 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

St prisma = Sl + 2*Sb = Sl prisma = 2p*h = 2p = l*4 = l = √Sb = h = V : Sb = V prisma = V parallelepipedo V parallelepipedo = a*b*h = h = Sl parallelepipedo : (2a+2b) =


CALCOLI St prisma = 1680 +2*16 = 1680+32 = 1712 cm2 Sl prisma = 16*105 = 1680cm2 2p = 4*4 = 16 cm l = √16 = 4 cm h = 1680 : 16 =105 cm V prisma = 1680 cm3 V parallelepipedo = 5*16*21 = 1680 cm3 h = 882 : 42 = 21 cm

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Problema: Una piramide retta a base quadrangolare ha il perimetro di base di 120 cm e ha una altezza di 20 cm. Sapendo che la piramide è di alluminio (ps = 2,7 g/cm3), calcolane la sua superficie totale, il volume e il peso.

DATI 2p = 120 cm h = 20 cm ps = 2,7 g/cm3

PROCEDIMENTO 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

P = V*ps = V = (Sb*h) : 3 = St = Sl + Sb = Sl = (2p*a) : 2 = Sb = l2 = a = √h2 +abase2 = abase = l : 2 = l = 2p : 4 =



CALCOLI P = 6000*2,7 = 16200 g = 16,2 Kg V = (900*20) : 3 = 6000 cm3 St = 1500 + 900 = 2400 cm2 Sl = (120*25) : 2 = 1500 cm2 Sb = 302 = 900 cm2 a = √202 +152 =√400 +225 = √625 = 25 cm abase = 30 : 2 = 15 cm l = 120 : 4 = 30 cm

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“Cose di Matematica “ Problema: Il perimetro di base e l’altezza di una piramide che ha per base un triangolo equilatero misurano rispettivamente 81 cm e 21 cm. Calcola la superficie totale della piramide. DATI H piramide = 21 cm 2p = 81 cm

PROCEDIMENTO 1) St = Sl + Sb = h triangolo = 2) Sl = 2p*a : 2 = 3) Sb = l2 0,433 = 4) a = √h2 + a base = 5) a base = h triangolo : 3 = 6) h triangolo = l*0,866 = 7) l = 2p : 3 =


INCOGNITE St ?

CALCOLI St = 907,2 + 315,66 = 1222,86 cm2 Sl = 81*22,4 : 2 = 907,2 cm2 Sb = 272*0,433 = 315,657 cm2 a = √212 +7,82 =√441+ 60,84 =√501,84 = 22,4 cm abase = 23,38 : 3 = 7,79 cm = 7,8 cm h triangolo = 27*0,866 = 23,38 cm l = 81 : 3 = 27 cm

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“Cose di Matematica “ Problema: Un quadrato ha il lato che misura 14 cm ed è la base di una piramide di marmo (p.s. 2,8 g/cm3) la cui altezza misura 24 cm. Calcola: a) il volume e il peso della piramide; b) l’area della superficie totale della piramide; c) l'area della superficie totale del parallelepipedo rettangolo equivalente alla piramide e avente le dimensioni di base di 8 cm e 28 cm. DATI l = 14 cm p.s.= 2,8 g/cm3 h piramide = 24 cm a = 8 cm b = 28 cm V parallelepipedo = V piramide

PROCEDIMENTO 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13)

St parallelepipedo = Sl + 2*Sb = Sl = (2a+2b)*h = h = V : Sb = Sb = a*b = V parallelepipedo = V piramide P piramide = V*ps = V piramide = Sb*h : 3 = St piramide = Sl + Sb = Sl piramide = 2p*a :2 = 2p = l*4 = Sb = l*l = a = √h2 + abase = abase = l : 2 =


INCOGNITE V piramide ? P piramide ? St piramide ? St parallelepipedo ?

CALCOLI St parallelepipedo = 504+2*224 = 504+448= 952 cm2 Sl = (16 + 56)* 7 = 504 cm2 h = 1568 : 224 = 7 cm Sb = 8*28 =224 cm2 V parallelepipedo = V piramide = 1568 cm3 P piramide = V*ps = 1568* 2,8 = 4390,4 g = 4,4 Kg V piramide = Sb*h : 3 = 196*24 : 3 = 1568 cm3 St piramide = Sl + Sb = 700 + 196 = 896 cm2 Sl piramide = 2p*a :2 = 56*25 : 2 = 700 cm2 2p = 14*4 = 56 cm Sb = 14*14 = 196 cm2 a = √242 +72 = √576+49 = √625 = 25 cm abase = 14 : 2 = 7 cm

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Problema: Calcola la misura della superficie totale di una piramide regolare a base esagonale di sughero (ps=0,25 g/cm3) che pesa 2700 g e che ha un’altezza di 12 cm. DATI ps = 0,25 g/cm3 P = 2700 g h = 12 cm

INCOGNITE St ?

PROCEDIMENTO 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

St = Sl + Sb = Sl = 2p*a : 2 = apiramide = √h2+a2 = aesagono = l*0,866 = 2p = l*6 = l = √Sb:2,598 = Sb = 3V : h = V = P : ps =

CALCOLI St = 2939,376 + 2700 = 5639,376 cm2 Sl = 193,38*30,4 : 2 = 2939,376 cm2 a = √122+27,912 = √144+778,96=√922,96 = 30,4 cm a = 32,23*0,866 = 27,91 cm 2p = 32,23*6 = 193,38 cm l = √2700:2,598 = 32,23 cm Sb = 3*10800 : 12 = 2700 cm2 V = 2700 : 0,25 =10800 cm3


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“Cose di Matematica “ Problema: Una piramide retta ha per base un trapezio isoscele il cui perimetro è 200 cm. Il trapezio è circoscritto ad un circonferenza lunga 48π cm.Sapendo che l’area della superficie totale della piramide è 5000 cm2, calcola il volume del solido. DATI 2p = 200 cm C = 48π cm St = 5000 cm2

PROCEDIMENTO 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13)

V = (Sb*h) : 3 = Sb = 2p*r : 2 = hpiramide = √ a piramide2 – r2 = apiramide = hfaccia triangolare = h faccia triangolare = 2Afaccia triangolare : b = Afaccia triangolare = Sl : 4 = Sl = St – Sb = Sb = (B+b)*htrapezio : 2 = bfaccia triangolare = lato lato = (B + b ) : 2 = htrapeio = r*2 = r = C : 2π = B+b = 2p : 2 =

INCOGNITE V?

CALCOLI V = 2400*10 : 3 = 8000 cm3 Sb = 200*24 : 2 = 2400 cm2 h piramide = √ 262- 242 =√676- 576=√100 =10cm a piramide = h faccia triangolare = 26 cm h faccia triangolare = 2*650 : 50 = 26 cm Afaccia triangolare = 2600 : 4 = 650 cm2 Sl = 5000 – 2400 = 2600 cm2 Sb = 100*48 : 2 = 2400 cm2 b faccia triangolare = 50 cm lato = 100 : 2 = 50 cm h trapeio = 24* 2 = 48 cm r = 48π : 2π = 24 cm B+b = 200 : 2 = 100 cm

Una delle due facce laterali uguali ha area pari a un quarto della laterale totale. Per la condizione Di circoscrittibilità dei quadrilateri la somma delle due basi è uguale alla somma dei due lati obliqui .Quindi il semiperimetro corrisponde alla somma delle due basi e dei due lati obliqui.


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Problema: Un solido è composto da due piramidi rette aventi la base in comune; questa è un rombo che ha il perimetro di 180 cm e una diagonale lunga 72 cm. Sapendo che gli apotemi delle due piramidi misurano ambedue 36 cm calcola il volume del solido. DATI 2p =180 cm D = 72 cm apotema = 36 cm

PROCEDIMENTO 1) V solido = 2* (Sb*h): 3 = 2) h = √apiramide2- abase2 = 3) a base =( D/2*d/2):lato = 4) Sb = D*d : 2 = 5) d = 2*(√l2- D/22 = 6) lato = 2p :4 =

INCOGNITE V solido ?

CALCOLI V sol. = 2*(1944*28,8) : 3 = 37324,8 cm3 h = √362- 21,62 = √1296 – 466,56 = 28,8 cm a base = (36*27) : 45 = 21,6 cm Sb = 54*72 : 2 = 1944 cm2 d = 2*(√ 452- 362) = 2*(√2025-1296) = 2*27 = 54 cm l = 180 : 4 = 45 cm

L'apotema di base corrisponde all'altezza relativa all'ipotenusa di ciascun triangolo rettangolo formato dalle diagonali del rombo,pertanto per calcolare la sua misura si utilizzerà la formula ( C*c ) : i. Il cateto maggiore corrisponde alla metà diagonale maggiore , il cateto minore corrisponde a metà diagonale diagonale minore e l'ipotenusa al lato del rombo.


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Problema: Un cono di gesso (ps 2 g/cm3) alto 16 cm ha un raggio di base di 12 cm. Calcola la superficie, il volume e il suo peso (usa 3,14 per π). DATI ps = 2 g/cm3 h = 16 cm r = 12 cm π = 3,14


P = V*ps = V = (π r2*h) : 3 = St = Sl + Sb = Sl = πr*a = Sb = π r2 = a = √h2 + r2 =


CALCOLI P = 2411,52*2 = 4823,04 g = 4,823 Kg V = (3,14*144*16) : 3 = 2411,52 cm3 St = 7536 + 452,16 = 1205,76 cm2 Sl = 3,14*12*20 = 7536 cm2 Sb = 3,14*122 = 452,16 cm2 a = √162 +122 = 20 cm

Problema: Un cono ha un volume di 2560π cm3. Calcola la superficie totale del solido sapendo che il suo diametro di base è di 32 cm. DATI V = 2560π cm3 d = 32 cm


INCOGNITE St ?

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PROCEDIMENTO 1) St = Sl + Sb = 2) Sl = πr*a= 3) a = √h2+ r2 = 4) h = 3V :π r2 = 5) Sb = π r2 = 6) r = d : 2 =

CALCOLI St = 1708,16 + 803,84 = 2512 cm2 Sl = 3,14*16*34 = 1708,16 cm2 a = √302 + 162 = √900+256 =√1156 = 34 cm h = 3*2560*3,14 : 803,84 = 30 cm Sb = 3,14 * 162 = 256*3,14 = 803,84 cm2 r = 32 : 2 = 16 cm

Problema: Un parallelepipedo a base quadrata ha lo spigolo di base di 30 cm, l’altezza di 45 cm e presenta una cavità conica con la base inscritta in una base del parallelepipedo. Sapendo che il volume del solido è 35.790 cm3, determina l’altezza del cono e l’area totale del solido. DATI spigolo di base = 30 cm h parallelepipedo = 45 cm V = 35.790 cm3


INCOGNITE h cono ? S solido ?

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“Cose di Matematica “ PROCEDIMENTO 1) S solido = St paral. – Sb cono + Sl cono = 2) St parallelepipedo = Sl +2Sb = 3) Sl parallelepipedo = 2p*h = 4) 2p = l*4 = 5) Slcono = πr*a = 6) a = √h2 + r2 = 7) h cono = 3V : πr2 = 8) Sb cono = πr2 = 9) r = l : 2 = 10) V cono = V parallelepipedo – V solido= 11) V parallelepipedo = Sb* h = 12) Sb parallelepipedo = l*l =

CALCOLI S solido =7200 – 706,5 + 1177,5 = 7671 cm2 St parallelepipedo = 5400 + 2*900 = 7200 cm2 Sl parallelepipedo = 120*45 = 5400 cm2 2p = 30*4 = 120 cm Sl cono = 3,14*15*25 = 1177,5 cm2 a = √202 +152 = 25 cm hcono = 3*4710 : 3,14*152 =14130:706,5 = 20 cm Sb cono = 15*15*3,14 = 706,5 cm2 r = 30 : 2 = 15 cm V cono = 40500 – 35790 = 4710 cm3 V = 900*45 = 40500 cm3 Sb = 30*30 = 900 cm2

Problema: Un trapezio isoscele ha l’area di 900 cm2, l’altezza di 20 cm e la base maggiore è doppia della minore. Determina: a) il perimetro del trapezio; b) l’area della superficie totale del solido ottenuto dalla rotazione completa del trapezio attorno alla base maggiore; c) il volume del solido ottenuto; d) il peso di questo solido, espresso in kg, supposto costituito di un materiale che ha un peso specifico di 7,8 g/cm3. DATI S trapezio = 900 cm2 h = AH = 20 cm CD = 2AB ps = 7,8 g/cm3

INCOGNITE 2p ? S solido ? V solido ? P solido ?

L'altezza del trapezio corrisponde al raggio del cilindro e del cono.Le proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore corrispondono alle altezze dei due coni congruenti e la base minore corrisponde all'altezza del cilindro.I lati obliqui del trapezio corrispondono alle apoteme dei coni congruenti generati nella rotazione.


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“Cose di Matematica “ PROCEDIMENTO 1) P = V solido ps = 2) V solido = V cilindro + 2Vcono = 3) Ssol. =(2πr*h)cil.+2(πr*a)cono = 4) V cilindro = πr2*h = 5) V cono = (πr2*h) : 3 = 6) 2p = B+b+ 2 l = 7) a = lato obliquo = √h2 + r2 = 8) h cono = (B – b) : 2 = 9) h cilindro = b = 10) B = (B+b) : 3*2 = 11) b = (B+b) :3 = 12) B + b = 2Strapezio : h trapezio =

CALCOLI P = 50240* 7,8 = 391872 g = 391,872 kg V solido =37680+2*6280 = 50240 cm3 Ssol. = 2π*20*30 +2π*20*25=2200π=6908 cm2 V cilindro = 3,14*202 *30 = 37680 cm3 V cono = 3,14*202 *15 : 3 = 6280 cm3 2p = 60 + 30 + 2*25 = 140 cm a = √152 + 202 = 25 cm h cono = (60 – 30) : 2 = 15 cm h cilindro = 30 cm B = 90 : 3*2 = 60 cm b = 90 : 3 = 30 cm B + b = 2*900 : 20 = 90 cm

Problema: In un trapezio isoscele l’altezza misura 24 cm; la base minore e la maggiore sono rispettivamente i 7/12 e i 25/12 dell’altezza. Determina: a) il perimetro del trapezio; b) l’area del trapezio; c) l’area della superficie totale del solido ottenuto dalla rotazione completa del trapezio attorno alla base minore; d) il volume del solido ottenuto; e) il peso di questo solido supposto che sia di vetro (ps = 2,5 g/cm3). DATI h = 24 cm b = 7/12 h B = 25/12 h ps = 2,5 g/cm3

INCOGNITE 2p ? A ? S solido ? V solido ? P solido ?

L'altezza del trapezio corrisponde al raggio del cilindro e del cono.Le proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore corrispondono alle altezze dei due coni congruenti e la base minore corrisponde all'altezza del cilindro.I lati obliqui del trapezio corrispondono alle apoteme dei coni congruenti generati nella rotazione.


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“Cose di Matematica “ PROCEDIMENTO

CALCOLI

1) P = Vsol*ps = 2) V = Vcil – 2Vcono = 3) S solido = Sl cilindro + 2Slcono = 4) Sl cilindro = 2πr*h = 5) Sl cono = πr*a = 6) A trapezio = (B+b)*h : 2 = 7) 2p = B + b +2*l = 8) h cono = (B – b) : 2 = 9) r = h trapezio 10) h cilindro = B = 11) a = l = √r2+[(B – b):2]2 = 12) B = 25/12*h = 13) b = 7/12*h =

P = 68728,32*2,5 = 171820,8 g = 171,8208 Kg V = 242*50*π – 2*242*π*18 : 3 = 21888 π = 68728,32 cm2 S solido = 7536 + 2* 2260,8 = 12057,6 cm2 Sl cilindro = 2*3,14*24*50 = 7536 cm2 Sl cono = 3,14*24*30 = 2260,8 cm2 A trapezio = (50+14)*24 : 2 = 768 cm2 2p = 50+14+2*30 = 124 cm h cono = 18 cm r = 24 cm h cilindro = B = 50 cm a = l = √242+182 = √576+324 = √900 = 30 cm B = 25/12*24 = 50 cm b = 7/12*24 = 14 cm

Problema:Un trapezio rettangolo ha la base minore lunga 26 cm, la base maggiore lunga 35 cm e l’altezza è 6/13 della base minore. Determina l’area del trapezio, il perimetro del trapezio, l’area della superficie totale del solido ottenuto dalla rotazione completa del trapezio attorno alla base maggiore, il volume del solido ottenuto ed il peso di questo solido supposto costituito di un materiale che ha peso specifico di 0,5 g/cm3. DATI DC = 26 cm AB = 35 cm CH = 6/13 DC ps = 0,5 g/cm3

INCOGNITE 2p ? A ? S solido ? V solido ? P solido ?

L'altezza del trapezio corrisponde al raggio del cilindro e del cono.La proiezionie del lato obliquo sulla base maggiore corrisponde all'altezza del cono e la base minore corrisponde all'altezza del cilindro.Il lato obliquo del trapezio corrisponde all'apotema del cono.


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“Cose di Matematica “ PROCEDIMENTO 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14)

P = (Vcil + Vcono)*ps = Vcil = πr2*h = Vcono = πr2*h : 3 = S solido = Slcil + Slcono + Sbcil = Sl cil = 2πr*h = Sl cono = πr*a = Sb = πr2 = A trapezio = (B+b)*h : 2 = 2p = B+ b + h + l = a =l = √h2+(B – b)2 = h cono = B – b = h cil = b = r = h trapezio = h trapezio = 6/13b =

CALCOLI P =(11756,16 + 1356,48)*0,5 = 6556,32 g = 6,6 Kg Vcil = 452,16*26 = 11756,16 cm3 V cono = 144*3,14* 9 : 3 = 1356,48 cm3 S solido = 1959,36+565,2+452,16 = 2976,72 cm2 Sl cil = 6,28*12*26 = 1959,36 cm2 Sl cono = 3,14*12*15 = 565,2 cm2 Sb = 144*3,14 = 452,16 cm2 A trap = (35+26)*12 : 2 = 366 cm2 2p = 35 +26 +15 +12 = 88 cm a = l = √122+92 = √144 + 81 = √225 = 15 cm h cono = 35 – 26 = 9 cm h cil = 26 cm r = 12 cm h trap = 6/13*26 = 12 cm

Problema:Un trapezio rettangolo ha il perimetro di 120 cm ed il lato obliquo lungo 30 cm. L’altezza del trapezio è uguale alla base minore e la base minore supera la base maggiore di 18 cm. Determina la lunghezza delle basi del trapezio, l’area del trapezio, l’area della superficie totale del solido ottenuto facendo ruotare di un giro completo il trapezio intorno alla base minore, il volume del solido ottenuto, il peso di questo solido supposto costituito di un materiale che ha peso specifico di 2,5 g/cm3. DATI 2p = 120 cm l =BC = 30 cm h = b =CH = CD B – b = 18 cm ps = 2,5 g/cm3


INCOGNITE B? b? A? S solido ? V solido ? P solido ?

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“Cose di Matematica “ PROCEDIMENTO 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11)

P = (V cil – V cono)*ps = V cil = πr2*h = V cono = πr2*h : 3 = S tot = 2πr*h +πr*a +πr2 = A trap = (B+b)*h : 2 = a =l = h cono = B – b = h cil = B = r = h trapezio = h trapezio = b b = [(2p – l) – ( B – b )] : 3 =

CALCOLI P =20736*3,14*2,5 = 162777,6g = 162,78 Kg V cil = 576π *42 = 24192 π cm3 V cono =576 π *18 :3 = 3456 π cm3 S tot = 6,28*24*42+3,14*24*30+3,14*576=3312π cm2 A trap = (24 +18+24)*24 :2 = 864 cm2 a = l = 30 cm h cono = 18 cm h cil = B = 24+18 = 42 cm r = 24 cm h trap = 24 cm b = [(120 – 30) – 18] : 3 = 24 cm

Problema: Un trapezio rettangolo ha l’altezza di 6 cm. La somma delle basi è di 36 cm e la base minore corrisponde ai 7/11 della base maggiore. Calcola il perimetro e l’area del trapezio. Calcola l’area della superficie del solido generato dalla rotazione completa del trapezio intorno alla base minore, il volume e il suo peso (ps=2,5g/cm3). Il solido di rotazione viene immerso completamente in un recipiente contenente dell’acqua, a forma di prisma regolare quadrangolare avente lo spigolo di base interno di 25 cm. Calcola di quanti centimetri si innalza il livello d’acqua. DATI h = 6 cm B + b = 36 cm b = 7/11 B ps = 2,5g/cm3 spigolo base prisma = 25 cm


INCOGNITE 2p ? A ? S solido ? V solido ? Psolido ? Innalzamento liquido ?

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“Cose di Matematica “ PROCEDIMENTO

CALCOLI

1) Innalzamento liquido = Vsol : Sb prisma = Innal. Liquido = 2185,4 : 252 = 3,49 cm 2) P = V solido *ps = P = 696*3,14*2,5 = 5463,6 g = 5,46Kg 3) V solido = V cil – V cono = V solido = 792π – 96π = 696π cm3 4) V cil = πr2*h = V cil = 36π*22 = 792π cm3 2 5) V cono = πr *h : 3 = V cono =36*8π : 3 = 96π cm3 6) S solido = 2πr*h + πr*a +πr2= S solido =(12*22+6*10+36)π = 360π cm2 7) A trap = (B+b)*h : 2 = A = 36*6 : 2 = 108 cm2 8) 2p = B+b+h+l = 2p = 22 + 14 + 6 +10 = 52 cm 9) a = l = √r2+(B – b )2 = a = l = √ 62+ 82 = 10 cm 10) h cil = B = h cil = 22 cm 11) h cono = B – b = h cono = 22 – 14 = 8 cm 12) r = h trap = r = 6 cm 13) Per calcolare le due basi si può procedere con il metodo frazionario,con la proprietà del comporre oppure con l'equazione. B=X b = 7/11 X X +7/11X = 36 18/11X = 36 X = 22 cm (B) b = 36 – 22 = 14 cm (b)

Problema: Un portacandele ha la forma di parallelepipedo a base quadrata. Al centro della faccia superiore è scavata una cavità cilindrica del diametro 8 cm. Sapendo che lo spigolo di base misura 10 cm, che l’altezza del solido è di 30 cm e l’altezza del cilindro scavato è di 25 cm. Calcola il volume del solido e il volume della cera che può contenere la cavità. Realizzando il solido in bronzo 14% (ps 8,9 g/cm3 ) quando peserebbe il solido? DATI d cilindro = 8 cm spigolo = 10 cm h prisma = 30 cm h cilindro = 25 cm ps = 8,9 g/cm3


INCOGNITE V solido ? V cera ? P solido ?

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“Cose di Matematica “ PROCEDIMENTO 1) 2) 3) 4) 5) 6)

P = Vsolido ps = V solido = V paral. – V cilindro = V paral. = Sb*h = Sb = l2 = V cilindro = πr2*h = r=d:2=

CALCOLI P = 1744*8,9 = 15521,6 g = 15,522 V solido = 3000 – 1256 = 1744 cm3 V paral. = 100*30 =3000 cm2 Sb = 10*10 = 100 cm2 V cilindro = 16*25*3,14 = 1256 cm3 r = 8 : 2 = 4 cm

Problema: Un prisma quadrangolare regolare presenta una cavità a forma di piramide, essa pure quadrangolare regolare; l’apotema della piramide misura 13 cm e lo spigolo di base 10 cm mentre l’altezza del prisma è di 80 cm e il suo spigolo di base misura 24 cm. Calcola la misura dell’area della superficie totale del solido cavo, la misura del volume del solido e il suo peso sapendolo realizzato in bronzo 14% (ps 8,9 g/cm3). DATI a = 13 cm l = 10 cm h prisma = 80 cm l base = 24 cm ps = 8,9 g/cm3

PROCEDIMENTO 1) P = V * ps = 2) V = V prisma - V piramide = 3) V piramide = Sb*h : 3 = 4) V prisma = Sb*h = 5) S solido =St prisma – Sb piramide + Sl piramide = 6) St prisma = Sl +2Sb = 7) Sl piramide =2p*a : 2 = 8) Sl prisma = 2p*h = 9) Sb prisma = l*l = 10) Sb piramide = l*l = 11) h piramide = √a2 – l/2 2 =


INCOGNITE S solido ? V solido ? P solido ?

CALCOLI P = 45680*8,9 = 406552 g = 406,552 Kg V solido = 46080 – 400 = 45680 cm3 V piramide = 100*12 : 3 = 400 cm3 V prisma = 576*80 = 46080 cm3 S solido = 8832 – 100 +260 = 8992 cm2 St prisma = 7680+2*576 = 8832 cm2 Sl piramide =10*4*13 : 2 = 260 cm2 Sl prisma = 24*4*80 = 7680 cm2 Sb prisma = 24*24 = 576 cm2 Sb piramide = 10*10 = 100 cm2 h piramide = √132 – 5 2 = 12 cm

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“Cose di Matematica “ Problema: Un cubo è sormontato da una piramide retta a base quadrangolare coincidente con una faccia del cubo. Il solido ha un’altezza complessiva di 50 cm e lo spigolo del cubo misura 15 cm. Calcola il volume del solido e il suo peso sapendolo fatto di cristallo (ps 3,5 g/cm3). DATI h solido = 50 cm spigolo cubo = 15 cm ps = 3,5 g/cm3


P = V * ps = V = V cubo + V piramide = V cubo = s*s*s = h piramide = h totale - h cubo =


INCOGNITE V solido ? P solido ?

CALCOLI P = 6000*3,5 = 21000 g = 21 Kg V = 3375 + 2625 = 6000 cm3 V cubo = 15*15*15 = 3375 cm3 h piramide =50 – 15 = 35 cm

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“Cose di Matematica “ Problema: Un cilindro è sormontato da un cono retto con la base coincidente con una base del cilindro. Il solido ha un’altezza complessiva di 42 cm, il cono è alto 24 cm e il suo raggio di base misura 10 cm. Calcola la misura del superficie totale, il volume del solido e il suo peso sapendolo fatto di cristallo (ps 3,5g/cm3). DATI INCOGNITE hsolido = 42 cm St ? hcono = 24 cm Vsolido ? r = 10 cm P? ps 3,5g/cm3

PROCEDIMENTO 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

P = V * ps = V = V cilindro + V cono = St = Sb + Sl cilindro + S cono = Sb = πr2 = Sl cilindro = 2πr*h = Sl cono = π r * a = a = √h2 +r2 = h cilindro = h solido - h cono =


CALCOLI P = 8164*3,5 = 28574 g = 28,574 Kg V =314*18 + 314*24 : 3 = 5652+2512 = 8164 cm3 St = 314 + 1130,4 +816,4 = 2260,8 cm2 Sb = 100*3,14 = 314 cm2 Sl cilindro = 6,28*10*18 = 1130,4 cm2 Sl cono = 3,14*10*26 = 816,4 cm2 a = √242 +102 =26 cm h cilindro = 42 – 24 = 18 cm

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Problema: Un triangolo rettangolo, con i cateti di 3 cm e 4 cm, ruota attorno all’ipotenusa. Calcola la misura del superficie totale, il volume del solido e il suo peso sapendolo fatto di cristallo (ps 3,5g/cm3). DATI c = 3 cm C = 4 cm ps 3,5g/cm3

PROCEDIMENTO 1) P = V * ps = 2) V = V cono 1 + V cono 2 = 3) V cono 1 = πr2*h1 : 3 = 4) V cono 2 = πr2*h2 : 3 = 5) St = Sl cono 1 + Sl cono 2 = 6) Sl cono 1 = πr*a1 = 7) S lcono 2 =πr*a2 = 8) h1 = i - h2 = 9) h2 = √a22 – r2 = 10) a1 = c = 11) a2 = C = 12) r = h relativa all'ipotenusa = 13) h relativa all'ipotenusa = C * c : i = 14) i = √C2 +c2 =


INCOGNITE St ? V? P ?

CALCOLI P = 30,15*3,5 = 105,525g V = 10,85 + 19,30 = 30,15 cm3 V cono 1 = 3,14*5,76*1,8 : 3 = 10,85..cm3 V cono 2 = 3,14*5,76*3,2 : 3 = 19,30..cm3 St = 30,144 + 22,608 = 52,752 cm2 Sl cono 1 = 3,14*2,4*4 = 30,144 cm2 Sl cono 2 = 3,14*2,4*3 = 22,608 cm2 h1 = 5 – 3,2 = 1,8 cm h2 =√16 – 5,76 = 3,2 cm a1 = 3 cm a2 = 4 cm r = 2,4 cm h relativa all'ipotenusa = (3*4) : 5 = 2,4 cm i = √16+9 = 5 cm

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Problema: Un cubo, con uno spigolo 40 cm, è sormontato da un cono retto con la base inscritta nella faccia superiore del cubo. Sapendo che l’apotema del cono misura 29 cm, calcola la superficie totale e il volume del solido. DATI s = 40 cm a = 29 cm

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

PROCEDIMENTO V sol.= V cubo + V cono = S sol. = 6* Sb cubo – Sb cono + Sl cono = V cubo = s3 = V cono = πr2 h : 3 = Sl cono = π r * a = Sb cono = πr2 = Sb cubo = s2 = h cono = √a2 – r2 = r=s:2=


INCOGNITE S sol. ? V sol.?

CALCOLI Vsol. = 64000 + 2800*3,14 = 72792 cm3 S sol. = 6*1600 – 400π+580π = 10165,2 cm2 V cubo = 40*40*40 = 64000 cm3 V cono = 400π*21 : 3 = 2800π cm3 Sl cono = 20*29 π = 580π cm2 Sb cono = 400π cm2 Sb cubo = 40*40 = 1600 cm2 h cono = √292 – 202 = 21 cm r = 40 : 2 = 20 cm

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