Schede di Analisi Matematica 1 Fulvio Di Sciullo Anno accademico 2015/2016 | Politecnico di Torino | Corso A5
Sommario Queste schede raccolgono la traccia seguita durante l'esercitazione, i testi degli esercizi svolti in aula ed ulteriori altri esercizi utili per l'esercitazione autonoma.
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Esercitazione 22/10/2015
Limiti di funzioni e di successioni Esercizio 7.1.
Si veri chino, mediante la de nizione, i seguenti limiti di successioni.
1 =0 n→∞ 1 + e n
1 + 2n 2 = +∞ n→∞ n
(a) lim
Esercizio 7.2.
(b) lim
Calcolare i seguenti limiti (x − 5)2 x →5 x 2 − 6x + 5 √ x −2 (f) lim 2 x →4 x − 5x + 4 1 (g) lim+ arctan x →0 x 1 x (h) lim− + x − 1 1 − x2 x →1
(a) lim x 3 − 1
(e) lim
x →2
(b)
lim sin(x ) · cos(x )
x →π/2
x3 − 1 x →1 x 4 − 1
(c) lim
x 2 − 8x + 15 x →3 x 2 − 10x + 21
(d) lim
Esercizio 7.3.
Si calcoli, al variare di p , q ∈ N: xp − 1 x →1 x q − 1 lim
2
7
Esercizio 7.4.
Calcolare i seguenti limiti
√
√
√ x +1− x (a) lim x →+∞ x p (b) lim 1 + 4 x 2 − 2x x →+∞ √ √ √ 3 (c) lim x 2 ( 3 1 + x − 3 x − 1)
(d)
x →+1
1−
x →0
2 − x2 − 1 (x − 1)2
√
1 + 4x 2 x2
Determinare λ ∈ R in modo tale che lim
p
x →+∞ Quiz 7.6
lim +
(e) lim
x →+∞
Esercizio 7.5.
Esercitazione 22/10/2015
x2 − 1
p
x2 + λ − x = 2
(RR). Sia f : R → R continua con f (10) = 2, allora necessariamente:
A) esiste ¯x ∈ R tale che f (¯x ) > 2
C) esiste ¯x < 10 tale che f (¯x ) > 0
B) esiste ¯x > 10 tale che f (¯x ) < 0
D) per ogni x ∈ R si ha che f (x ) < 2
Limiti notevoli ax − 1 = log(a) x →0 x
sin(x ) =1 x →0 x
(a) lim
(e) lim
1 − cos(x ) 1 = x →0 x2 2 x 1 (c) lim 1 + =e x →+∞ x
(f) lim
(1 + x )a − 1 =a x →0 x
(b) lim
(d) lim
x →0
loga (1 + x ) = loga (e ) x
lim
x →+∞
x −1 x −2
Esercizio 7.8.
lim
x →+∞
log(x ) = 0, ∀a ∈ R xa
x +2
x 3 + x 2 sin x + sin2 x x →0 x 4 + x 3 + x sin x
(b) lim
Calcolare i seguenti limiti al variare del parametro α ∈ R
(a) lim+ x α sin(x ) x →0
(h)
ex = +∞, ∀a ∈ R x →+∞ x a lim
(RR). Si calcolino i seguenti limiti
Esercizio 7.7
(a)
(g)
(b) lim+ x α (1 − cos(x )) x →0
Alcuni degli esercizi proposti sono tratti dai testi consigliati: (RR) C. Ravazzi, M. Righero, Quiz ed esercizi svolti di Analisi I, CLUT Editrice, Torino 2013. (Q) G. G. Quelali, Il bernoccolo del calcolo I, CLUT Editrice, Torino 2014. (MS) P. Marcellini, C. Sbordone, Esercizi di matematica, Liguori Editore.
