Điều khiển trượt cơ bản và trượt bậc cao Nguyễn Doãn Phước
[email protected] Tóm tắt: Trong thực tế của điều khiển và tự động hóa thì việc phải điều khiển hệ bất định là không thể tránh khỏi. Một trong các phương pháp giải quyết bài toán điều khiển hệ bất định như vậy là điều khiển trượt. Đây là phương pháp điều khiển được biết đến như một giải pháp điều khiển đơn giản, song lại mang đến một chất lượng bền vững rất cao. Mặc dù vậy, do tín hiệu điều khiển tạo ra từ bộ điều trượt lại là hàm không liên tục, nên sẽ tạo ra hiệu rung trong hệ thống. Đây là một hiệu ứng nguy hiểm và là nguyên nhân làm giảm tuổi thọ nhiều thiết bị trong hệ thống. Bởi vậy việc nghiên cứu giảm hiệu ứng rung trong hệ điều khiển trượt mang một ý nghĩa ứng dụng vô cùng quan trọng, kể cả cho tới ngày nay. Bài viết này tổng quan lại những kết quả cơ bản nhất của điều khiển trượt và giải pháp chống rung trong hệ thống trượt bằng điều khiển trượt bậc cao. Đây là giải pháp chống rung tổng quát được tập trung nghiên cứu trong những năm gần đây và cũng đã thu được nhiều kết quả ứng dụng mang tính thực tế cao, so với các giải pháp chống rung kinh điển khác.
I.
ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT CƠ BẢN
Theo dòng lịch sử được thống kê lại trong tài liệu [9] thì điều khiển trượt ra đời khoảng đầu những năm 1960. Khi đó nền móng đầu tiên của điều khiển trượt được xây dựng bởi Emelyanov (ảnh), một nhà điều khiển học người Nga, dưới tên gọi là phương pháp điều khiển hệ biến đổi cấu trúc (variable structure systems). Mặc dù xuất hiện sớm như vậy, song mãi đến khi có những ấn phẩm xuất bản bằng tiếng anh đầu tiên, chẳng hạn như [8] của Utkin năm 1977, tư tưởng điều khiển trượt mới vượt được ra khỏi biên giới nước Nga và dần được hoàn thiện, nâng tầm tổng quát cả về lý thuyết cũng như ứng dụng như chúng ta được biết đến ở ngày hôm nay, đặc biệt là các ứng dụng vào hệ phi tuyến bất định, hệ nhiều đầu vào, ra, hệ không liên tục, hệ phức hợp, hệ có số chiều vô hạn lần .... Bài tổng quan này sẽ tóm tắt lại những kết quả cơ bản nhất của điều khiển trượt cơ bản cũng như các gợi ý từ đó để đến được điều khiển trượt bậc cao, hiện đang được nhắc tới nhiều trong lĩnh vực điều khiển trượt chống rung (antichattering) cho hệ phi tuyến bất định. A. Điều khiển trượt cơ bản Xét hệ không dừng có tín hiệu vào u = (u1 , … , um )T , chứa thành phần bất định d (x , u , t ) , mô tả bởi: x = f (x , u , d , t )
(1)
trong đó x ∈ Rn là vector trạng thái, f (⋅) là vector các hàm liên tục và một mặt cong trơn (n − m ) chiều, thường được gọi là mặt trượt, mô tả bởi vector gồm m hàm trơn: T
s (x , t ) = (s1 (x , t ) , s 2 (x , t ) , … , sm (x , t ) ) = 0
(2)
chứa tất cả các quỹ đạo trạng thái mong muốn x (t ) của hệ (theo một chỉ tiêu chất lượng cho trước). Mặt trượt (2) trên thường gặp ở dạng tổng quát, vì nó có dạng không dừng (cấu trúc mặt trượt bị thay đổi theo thời gian).
Nhiều trường hợp, để đơn giản trong điều khiển sau này và khi điều kiện cho phép, người ta chỉ cần sử dụng mặt trượt dừng (có cấu trúc không biến đổi theo thời gian): T
s (x ) = (s1 (x ) , s 2 (x ) , … , sm (x )) = 0
(3)
Nhiệm vụ của điều khiển trượt là phải xác định tín hiệu điều khiển u để đưa hệ (1) tiến về mặt trượt (2) và giữ nó lại trên đó. Ta sẽ ký hiệu tín hiệu điều khiển cần tìm u đó là: ⎧⎪ueq khi s (x , t ) = 0 u=⎨ ⎪⎩uN khi s (x , t ) ≠ 0 trong đó:
(4)
− ueq là thành phần tín hiệu giữ x (t ) ở lại trên mặt trượt (equivalence principle), tức là nếu đã có: s (x 0 , t0 ) = 0 với x 0 = x (t0 ) thì ueq sẽ phải tạo ra được: s (x , t ) = 0 khi t ≥ t0 (5) Hình H1 minh họa vai trò của thành phần tín hiệu này đối với quỹ đạo trạng thái x (t ) của hệ.
− uN là thành phần tín hiệu làm cho x (t ) tiến về mặt trượt. Như vậy, ở trường hợp mặt trượt dừng (3), khi sử dụng hàm xác định dương: 1 V (s ) = sT s 2
thì đủ để x (t ) tiến về mặt trượt là tín hiệu điều khiển uN phải tạo ra được: V (s ) = sT s < 0 khi s (x ) ≠ 0
(6)
Điều kiện (6) này được gọi là điều kiện trượt và sử dụng với mặt trượt dừng (3). Khi đó các thành phần ueq , uN sẽ được xác định như sau: Điều khiển giữ trên mặt trượt
Khi hệ (1) là hệ rõ và có cấu trúc affine: x = f (x , t ) + H(x , t )u
1
trong đó
Δ = −Ls (x ) với L = LT > 0 tùy chọn
H(x , t ) = (h1 (x , t ) , … , hm (x , t ) )
(7)
là ma trận n × m , và mặt trượt là mặt cong trơn dừng (3), thì từ điều kiện (5) có: ∂s ⎡ f (x , t ) + H(x , t )ueq ⎤ ⎦ ∂x ⎣ Vậy nếu ma trận: 0 =s =
⎛ ∂s ⎞ ueq = ⎜ H(x , t )⎟ ⎝ ∂x ⎠
s (x ) với k > 0 tùy chọn s (x )
Xét hệ (1) có cấu trúc affine chứa thành phần bất định d (x , u , t ) ở đầu vào: x = f (x , t ) + H(x , t ) [u + d (x , u , t ) ]
(11)
thỏa mãn tính bị chặn: ∂s f (x , t ) ∂x
(8)
Điều khiển tiến về mặt trượt
Từ điều kiện đủ (6) trên cho mặt trượt dừng (3) và theo quy ước tương tự như trong tài liệu [8], [9] về sai lệch giá trị tín hiệu uN = ueq + Δ , được mô tả ở hình H1, thì:
(
H1: Xác định tín hiệu điều khiển tiến về mặt trượt
∼ uN
∂V ∂ s ⎡ f (x ,t ) + H(x ,t ) ueq + Δ + d ⎤⎥ ⎦ ∂s ∂x ⎣⎢ ∂V ∂ s = H(x ,t ) ( Δ + d ) < 0 ∂s ∂ x Rõ ràng, đủ để có bất đẳng thức trên nếu Δ thỏa mãn:
x2
Bởi vậy, giống như (8), người ta đã đi đến một số sai lệch giá trị sai lệch tín hiệu điều khiển Δ cho hệ (1), ký hiệu chi tiết là: Δ = (Δ1 , Δ 2 , … , Δm )T
(9)
với mặt trượt lý tưởng s (x , t ) = s (x ) dạng vector hàm dừng, thỏa mãn: ∂s H(x , t ) = I (ma trận đơn vị) ∂x như sau: − Bộ điều khiển relay:
Δk = −ak (x )sign (sk (x ) ) , k = 1, 2, … , m
(
min max Δ
d
)
∂V ∂ s H(x , t ) [ Δ + d ] ≤ 0, ∀x ∂ s ∂x
(12)
và đây cũng là công thức để xác định Δ . Chẳng hạn, khi ký hiệu vector Δ như ở (9) và ma trận H(x , t ) như ở (7), thì từ (12) sẽ có: ⎛ ∂V ∂ s ⎞ Δk = − ρ(x , t )sign ⎜ h (x , t )⎟ , k = 1, 2, … , m ⎝ ∂s ∂x k ⎠
C. Các vấn đề xung quanh mặt trượt và điều kiện trượt Mặt trượt
Mặt trượt (2) là mặt cong trơn có số chiều (n − m ) trong không gian trạng thái, chứa tất cả các quỹ đạo trạng thái mong muốn của hệ. Chẳng hạn như để có được chất lượng là ổn định tiệm cận toàn cục, mặt trượt được chọn chỉ cần là một trong các mặt cong trơn, dừng s (x ) trong không gian m chiều như sau: − Tuyến tính: s (x ) = x1 + Ax1 , x = col (x1 , x 2 ), x1 ∈ Rm
trong đó ak (x ) > 0, ∀x và ⎧1 khi s > 0 ⎪ sign(s ) = ⎨−1 khi s < 0 ⎪0 khi s = 0 ⎩ − Bộ điều khiển phản hồi tuyến tính:
d (x , u , t ) = 0 . Như vậy ta cũng sẽ có được ueq theo công
V=
x [∼ ueq ] ∼Δ
Thành phần ueq trong (4) được xác định với giả thiết
nguyên lý tương đương, ta làm như sau. Trước tiên chọn một hàm V (s ) xác định dương. Tiếp theo ta xác định Δ để có:
∇s s (x , t ) = 0
Tương tự như ở hệ rõ, nhiệm vụ của điều khiển trượt ở đây là phái xác định được tín hiệu điều khiển (4) để đưa hệ về mặt trượt dừng (3) và giữ nó lại trên đó.
Để xác định thành phần còn lại uN = ueq + Δ theo
)
x1
d (x , u , t ) ≤ ρ (x , t ), ∀u
thức (8).
∂s ∂s + x ∂ t ∂x ∂s ∂s ⎡ = + f (x ,t ) + H(x ,t ) ueq + Δ ⎤⎥ ⎦ ∂t ∂x ⎣⎢ ∂s ∂s ⎡ ∂s = + f (x ,t ) + H(x ,t )ueq ⎤⎦ + H(x ,t )Δ ∂ t ∂x ⎣ ∂x ∂s ∂s = + H(x ,t )Δ ∂ t ∂x
s (x ) =
2
Δ = −k
B. Xử lý thành phần bất định đầu vào
∂s H(x , t ) ∈ Rm ×m ∂x không suy biến thì: −1
− Bộ điều khiển vector đơn vị:
(10)
(13)
với A là ma trận đối xứng xác định dương tùy chọn, vì hiển nhiên khi đã có s (x ) = 0 , cũng sẽ có: x1 = − Ax1 ⇔ x1 (t ) = e −At x1 (0) → 0
− Phi tuyến:
s (x ) = x1 − f (x1 ) , x = col (x1 , x 2 ), x1 ∈ Rm
(14)
trong đó f (x1 ) là vector hàm m chiều, được chọn sao cho với nó luôn tồn tại hàm vô hướng, dừng V (x1 ) xác định dương thỏa mãn: LfV (x1 ) =
∂V f (x1 ) ∂x1
xác định âm, tức là LfV (x1 ) < 0, ∀x1 ≠ 0 .
(15)
Nếu chất lượng điều khiển mong muốn là điều khiển bám ổn định x1 (t ) → w (t ) , trong đó w (t ) là quỹ đạo đặt trước, thì mặt trượt sẽ là mặt cong trơn, ở dạng không dừng s (x , t ) , và có thể một trong các dạng sau: − Tuyến tính: s (x , t ) = x1 − w + A (x1 − w )
có A là ma trận hằng, đối xứng xác định dương tùy chọn. Ở đây, mở rộng hơn, ta cũng có thể chọn ma trận hàm A(t ) thay vì ma trận hằng A và cũng không bắt buộc phải đối xứng. Tuy nhiên ma trận hàm A(t ) này phải thỏa mãn điều kiện LaSalle là tất cả các giá trị riêng của: A(t ) + A(t )T
= e − f (e , t )
với e = x1 − w
trong đó f (e , t ) là vector hàm mà với nó tồn tại hàm vô hướng trơn, không dừng V (e , t ) thỏa mãn các điều kiện của định lý LaSalle [6], tức là:
γ 1 ( e ) ≤ V (e , t ) ≤ γ 2 ( e ) ∂ V ∂V + f (e , t ) ≤ −γ 3 ( e ) với γ 1 , γ 2 , γ 3 ∈ K∞ ∂t ∂e Điều đặc biệt, nếu các mặt trượt (13), (14) có số chiều đúng bằng bậc mô hình là n thì bài toán điều khiển tiến về mặt trượt sẽ trở thành bài toán điều khiển bám theo mô hình mẫu. Điều kiện trượt
Điều kiện trượt là điều kiện đủ để tín hiệu điều khiển đưa quỹ đạo trạng thái x (t ) của hệ về được đến mặt trượt, chẳng hạn khi sử dụng mặt trượt dừng (3) thì một trong những điều kiện trượt là công thức (6) đã dẫn ra ở trên. Tuy nhiên điều kiện trượt (6) sẽ là không đủ khi sử dụng với mặt trượt không dừng s (x , t ) = 0 , vì ở các hàm không dừng, điều kiện V (s , t ) → 0 chưa đủ để khẳng định cũng sẽ có V (s , t ) → 0 , thậm chí là chưa đủ để khẳng định hàm V (s , t ) sẽ tiến đến hằng số. Ta có thể thấy điều đó ở ví dụ: V (s (t ), t ) = V / (t ) = sin ( ln(t ) )
thì mặc dù có:
t
→ 0 khi t → ∞
song lại không có V / (t ) → hằng số. Ngược lại, từ V / (t ) đã tiến tới hằng số ta cũng không thể suy ra được V / (t ) → 0 , 1 chẳng hạn V / (t ) = sin(t 2 ) t Lý do cho sự không tương đương ở trên là vì V / (t ) có thể là hàm không liên tục đều. Bởi vậy, khi sử dụng mặt trượt dạng không dừng (2), ta phải xây dựng điều kiện trượt dựa trên định lý LaSalle, được trình bày trong [6]. Một trong những điều kiện trượt thường được sử dụng cho hệ phi tuyến bất định hàm dạng tổng quát chung (1), thỏa mãn điều kiện LaSalle [6], thay cho (6), là: ⎡ ∂s ∂s ⎤ k V = sT ⎢ + f (x , u , d , t ) ⎥ ≤ −η s ∂ ∂ t x ⎣ ⎦
(16)
trong đó η > 0 , k ∈ N tùy chọn. Từ điều kiện trượt (16) này, người ta sẽ xác định được bộ điều khiển phản hồi trạng thái u (x , t ) cần tìm. Để thuận lợi cho việc sử dụng công thức (16) trên vào việc xây dựng bộ điều khiển u (x , t ) , nhiều tài liệu đã đề xuất sử dụng (thống kê theo [9]): V (s ) =
đều nằm bên phải trục ảo (ma trận Hurwitz). − Phi tuyến: s (x , t ) = x1 − w − f (x1 − w , t )
cos ( ln(t ) )
V / (t ) =
1 2 s ⇒ ss ≤ −η s 2
(17)
cho trường hợp mặt trượt đơn và dừng, tức là s (x ) là hàm vô hướng, là sử dụng các mặt trượt với cấu trúc: s = −k12 λ (s ) − k 22 sgn(s )
(18)
trong đó λ (s ) là hàm tùy chọn thỏa mãn: s λ (s ) > 0, ∀s ≠ 0 .
vì hiển nhiên nó thỏa mãn bất đẳng thức bắt buộc (17) của điều khiển trượt. Chẳng hạn như một số công thức cụ thể của (18) có thể là: 1. s = −k 2 sgn(s ) 2. s = −k12s − k 22 sgn(s )
(19)
2 α
3. s = −k s , 0 < α < 1 Để minh họa ý nghĩa của việc sử dụng điều kiện trượt (18) cho việc xây dựng bộ điều khiển, ta xét bài toán điều khiển trượt cho hệ tuyến tính một đầu vào: x = Ax + bu với mặt trượt tuyến tính s (x ) = cT x có cT b ≠ 0 . Khi đó, từ gợi ý (19):
s = −k12s − k 22 sgn(s ) và s = cT x = cT ( Ax + bu )
ta được:
cT ( Ax + bu ) = −k12s − k 22 sgn(s ) Vậy bộ điều khiển trượt sẽ là:
(c
T
u=
)
A + k12cT x + k 22 sgn(cT x ) cT b
3
II.
s (x , t ) được gọi là điều khiển trượt bậc r ≥ 2 , nếu ở đó tín hiệu điều khiển u đồng thời tạo ra được:
ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT BẬC 2
A. Hiện tượng rung và kỹ thuật chống rung
Trong thực tế, do không tồn tại thiết bị tạo ra được hàm sign(⋅) định nghĩa bởi (10), mà thay vào đó là: ⎧1 khi x > ε ⎪ sgn(x ) = ⎨−1 khi x < − ε ⎪gi ÷ nguyª n gi¸ trÞ cò khi x ≤ ε ⎩
(20)
Như vậy phương pháp điều khiển trượt cơ bản vừa trình bày trước đây ở chương I chính là điều khiển trượt bậc 1, vì ở đó tín hiệu điều khiển u chỉ hướng tới s (x , t ) = 0 . a)
−ε
điều khiển, tức là chỉ có: u = uN
sgn(s ) s H2: Nguyên nhân của hiện tượng rung
s (x ) > 0
−ε
ε
x2
b)
sat(s )
nên cũng sẽ không có được thành phần ueq trong tín hiệu
Điều này tạo ra hiện tượng rung (chattering) trong hệ, khi mà u phải chuyển đổi dấu của giá trị với tần số vô cùng lớn để giữ được x (t ) trên mặt trượt s (x , t ) = 0 . Hình H2 minh họa nguyên nhân và hình H3 minh họa hiệu ứng của hiện tượng rung này với quỹ đạo dạng zick zack xung quanh mặt trượt. Do nguyên nhân của hiện tượng rung là bởi hàm lấy dấu thực tế (20) được dùng thay cho hàm lý tưởng (10) nên để chống rung người ta thường nghĩ ngay tới các hàm thay thế gần đúng cho (20). Các hàm này đều ở dạng liên tục và chỉ có ý nghĩa làm giảm tần số thay đổi dấu của tín hiệu điều khiển, chứ không thay đổi được biên độ của dao động.
= s (r −1) (x , t ) = 0
s (x , t ) = s (x , t ) =
s
ε
tanh(s )
−ε
H4: Giải pháp chống rung
B. Chuyển về bài toán điều khiển ổn định hệ bậc 1 và 2
Do ở điều khiển trượt bậc cao cần tới số lượng lớn thông tin, số chiều của mặt trượt giảm, nên để thuận lợi trong việc cài đặt, hiện nay người ta chủ yếu chỉ nghiên cứu sử dụng điều khiển trượt bậc 2 cho hệ (1) bất định hàm có một tín hiệu vào ( m = 1 ), tức là cho hệ: x = f (x , t ) + h (x , t )u
x (t ) x1
(21)
với f (x , t ) và h (x , t ) là hai vector hàm bất định. Tương ứng, mặt trượt trở thành mặt trượt đơn, có thể không dừng s (x , t ) , với: s (x , t ) = s (x , t ) = 0
(22)
Ghép chung hệ bất định có mô hình trạng thái (21) với mặt trượt s (x , t ) , lúc này giữ vai trò như tín hiệu đầu vào, thành hệ vào-ra: ⎧x = f (x , t ) + h (x , t )u ⎨ ⎩y = s (x , t )
s (x ) = 0
s
ε
(23)
thì bài toán điều khiển trượt bậc cao tương đương với bài toán điều khiển hệ (23) đạt được chất lượng: y =y =0 Trường hợp hệ có bậc tương đối bằng 1
s (x ) < 0 H3: Hiện tượng rung
Một số hàm liên tục vẫn thường được sử dụng để thay thế gần đúng cho hàm không liên tục (20) là: − Hàm khuếch đại bão hòa (hình H4a): ⎧sign(s ) khi s > ε ⎞ ⎪ = ⎟ ⎨s ⎠ ⎪ khi s ≤ ε ⎩ε − Hàm hyperbolic tangent (hình H4b): sgn(s ) ≈ tanh(as ) ⎛s sat ⎜ ⎝ε
Một kỹ thuật khác để làm giảm hiệu ứng rung là kỹ thuật trượt bậc cao. Phương pháp điều khiển trượt với mặt trượt
4
Để cụ thể hóa nhiệm vụ điều khiển làm cho quỹ đạo trạng thái x (t ) của hệ bất định (21) tiến được về mặt trượt bậc 2 (22) và ở lại trên đó, trước tiên ta biến đổi điều kiện trượt bậc hai (22) thành: ∂s ∂s ⎡ f (x ,t ) + h (x ,t )u ⎤⎦ + ∂t ∂x ⎣ ∂s (24) = + Lf s (x , t ) + Lh s (x , t )u ∂t Khi đó bài toán điều khiển trượt bậc hai nêu trên sẽ là tương đương với: s (x ,t , u ) =
Tìm bộ điều khiển u (x , t ) để mọi quỹ đạo trạng thái của hệ:
Bài toán 1:
s = a (x , t ) + b (x , t )u
với hai hàm bất định: a (x , t ) =
∂s + Lf s (x , t ) và b (x ,t ) = Lh s (x , t ) ∂t
(25)
trong đó u được xem như tham số của hai hàm bất định trên, luôn tiến về gốc s = s = 0 của mặt phẳng pha.
Tiếp theo, từ (24) ta có tiếp: s (x ,t , u , u ) =
∂s ∂s ∂s ⎡ f (x , t ) + h (x , t )u ⎤⎦ + + h (x ,t )u (26) ∂t ∂x ⎣ ∂x
Do đó, nếu đặt biến mới: z1 (t ) = s (x , t ) , z 2 (t ) = s (x , t )
(27)
sẽ còn được: ⎧z1 = z 2 ⎨ ⎩z 2 = ϕ (x , t , u ) + γ (x , t )u
(28)
∂s ∂s ϕ (x , t , u ) = + [ f (x , t ) + h (x , t )u ] ∂t ∂ x (29) ∂s h (x , t ) γ (x , t ) = ∂x Như vậy bài toán điều khiển trượt cho hệ (21) với điều kiện trượt bậc hai (22) trở thành bài toán điều khiển ổn định cho hệ (28). Hệ (28) này có u giữ vai trò như tham số mô hình, còn v = u mới chính là tín hiệu điều khiển. Bài toán điều khiển ổn định này được phát biểu như sau:
Tìm bộ điều khiển u (x , u , t ) để mọi quỹ đạo trạng thái của hệ (28) có các hàm bất định ϕ (⋅), γ (⋅) cho bởi (29), ổn định tiệm cận toàn cục.
Bài toán 2:
Trường hợp hệ có bậc tương đối bằng 2
Lh s (x , t ) = 0
thì người ta gọi nó là hệ có bậc tương đối bằng 2. Ngược lại hệ sẽ được gọi là có bậc tương đối bằng 1. Với hệ có bậc tương đối bằng 2 thì hai công thức (24) và (26) trở thành: ∂t
+ Lf s (x , t )
∂s ∂s + [ f (x , t ) + h (x , t )u ] ∂t ∂x Do đó bài toán điều khiển trượt (21), (22) với các biến mới (27) trở thành bài toán điều khiển ổn định cho hệ: s (x , t , u ) =
⎧z1 = z 2 ⎨ ⎩z 2 = ϕ (x , t ) + γ (x , t )u
(30)
trong đó:
ϕ (x , t ) =
∂s ∂s ∂s + f (x , t ) và γ (x , t ) = h (x , t ) ∂t ∂x ∂x
(31)
và từ đây ta có bài toán thứ ba tương đương với bài toán gốc ban đầu, phát biểu như sau: Tìm bộ điều khiển phản hồi trạng thái u (x , t ) để mọi quỹ đạo trạng thái của hệ (30) có các hàm bất định ϕ (⋅), γ (⋅) cho bởi (31), ổn định tiệm cận toàn cục.
Bài toán 3:
Nếu hai hàm bất định a (⋅), b (⋅) của hệ (25) trong bài toán 1 thỏa mãn:
Định lý 1 (Levant, 1993):
a (⋅) ≤ C và 0 < K1 ≤ b (⋅) ≤ K 2
(32)
u = −r1 sgn s − r2 sgn s
(33)
trong đó: K1 (r1 + r2 ) − C > K 2 (r1 − r2 ) − C K1 (r1 − r2 ) > C
và r1 > r2 > 0
(34)
sẽ là một nghiệm của bài toán. Chứng minh: Trước tiên ta xét tổng σ = s + s và giả sử rằng tại thời điểm đầu t = 0 có s (0) > 0, s (0) > 0 , tức là có σ (0) > 0 . Khi đó cũng có u = −r1 − r2 . Suy ra: s = ϕ (x , t ) − γ (x , t ) (r1 + r2 ) < C − K1 (r1 + r2 ) < 0
Như vậy s (t ) là liên tục và đơn điệu giảm với vận tốc hằng nhỏ hơn 0. Do đó phải tồn tại khoảng thời gian hữu hạn T1 để từ đó s (t ) < 0, t > T1 .
Nếu hệ (21) với mặt trượt bậc hai (22) còn thỏa mãn:
∂s
Bộ điều khiển trượt cho hệ bất định được Levant giới thiệu ở tài liệu [4] năm 1993, gọi là bộ điều khiển xoắn (twisting controller). Thực tế bộ điều khiển này đã được Levant bắt đầu đề cấp đến năm 1985 khi còn ở Nga dưới tên Levantosky, sau đó phát triển và hoàn thiện nó vào năm 1993, khi đã chuyển về Israel. Nội dung bộ điều khiển xoắn được phát biểu như sau:
thì bộ điều khiển:
trong đó:
s (x , t ) =
C. Bộ điều khiển xoắn (twisting)
Từ đây, và với: s < 0 khi t > T1
hàm s (t ) cũng liên tục, đơn điệu giảm với vận tốc hằng nhỏ hơn 0, nên cũng phải tồn tại điểm thời gian hữu hạn T2 để từ đó có: s (t ) < 0 khi t > T3 = T1 + T2
Điều này chỉ rằng chỉ sau một khoảng thời gian hữu hạn T3 hàm σ (t ) đã giảm về một giá trị âm. Do σ (t ) lên tục nên cũng phải tồn tại điểm thời gian hữu hạn 0 < T / < T3 để có σ (T / ) = 0 . Chứng minh hoàn toàn tương tự cho các trường hợp còn lại bao gồm z1 (0) < 0, z 2 (0) < 0 hay z1 (0) < 0, z 2 (0) > 0 và z1 (0) > 0, z 2 (0) < 0 ta sẽ đến được kết luận chung về sự tồn tại khoảng thời gian hữu hạn T để có σ (t ) = 0 khi t > T với mọi trạng thái đầu z1 (0) và z 2 (0) . Kể từ đây và với:
σ = s + s = 0 ⇔ s = −s ta cũng có s (t ) → 0 , do đó cũng có s (t ) → 0 .
■
So với lời chứng minh gốc trong tài liệu [4] thì phần chứng minh trên ít "toán học" hơn nên cũng sẽ dễ chấp nhận
5
hơn đối với những người làm ứng dụng kỹ thuật điều khiển. Tuy nhiên ở lời chứng minh gốc, tài liệu [4] còn khẳng định được bộ điều khiển (33) làm hệ ổn định toàn cục tại gốc s = s = 0 sau khoảng thời gian hữu hạn, thì lời chứng minh đơn giản trên chưa cho thấy được điều này. Ngoài ra, do bài toán 1 là tương đương với bài toán 2 và khi các hàm khả vi a (⋅), b (⋅) thỏa mãn các điều kiện bị chặn (32) cũng như u cũng bị chặn thì hai hàm bất định ϕ (⋅), γ (⋅) của bài toán 2 cũng bị chặn. Bởi vậy ta cũng đến được nghiệm của bài toán thứ 2 như sau: Định lý 2 (Levant, 1993):
Nếu hệ (28) có hai hàm bất định
ϕ (⋅), γ (⋅) thỏa mãn điều kiện bị chặn: ϕ (⋅) ≤ Φ và 0 < G1 ≤ γ (⋅) ≤ G 2
(35)
thì bộ điều khiển: ⎧−u khi u > 1 ⎪⎪ u = ⎨−Vm sgn(z1 ) khi z1z 2 ≤ 0 , u ≤ 1 ⎪ ⎪⎩−VM sgn(z1 ) khi z1z 2 > 0 , u ≤ 1 trong đó:
(36)
ϕ (⋅) +U γ (⋅) ≤ C , 0 < K1 ≤ γ (⋅) ≤ K 2
sẽ là một nghiệm của bài toán số 2 với khoảng thời gian quỹ đạo trạng thái của hệ về tới gốc tọa độ là hữu hạn. Chứng minh: Xem [4].
■
Có thể thấy được thêm ở định lý trên là với cấu trúc bộ điều khiển (36), khi u > 1 thì do có u = −u nên cũng có u (t ) = e −t u (0) . Bởi vậy chỉ sau khoảng thời gian hữu hạn
cũng sẽ có được điều kiện bị chặn u ≤ 1 . Hơn nữa, đối với bài toán 2, do tính bất định của các hàm
ϕ (⋅), γ (⋅) nên khi thay u bởi u , nó sẽ trở thành bài toán số 3. Do đó bộ điều khiển xoắn (33) cũng áp dụng được cho cả bài toán 3 với thay đổi nhỏ như [9] đã làm như sau: ⎧−Vm sgn(z1 ) khi z1z 2 ≤ 0 u=⎨ ⎩−VM sgn(z1 ) khi z1z 2 > 0 b)
s = z1
(37) s = z2
ϕ (⋅) < qU , 0 < q < 1 γ (⋅) thì bộ điều khiển: u = −λ z1 sgn(z1 ) + u1
s = z1
(38)
với λ > 0 đủ lớn, mà cụ thể là:
λ>
(K1α + C ) K 2 (1 + q ) 2 và K1α > C K1α − C K12 (1 − q )
cũng như:
⎪⎧−u khi u > U u1 = ⎨ ⎪⎩−α sgn(z1 ) khi u ≤ U
(39)
sẽ là một nghiệm của bài toán. Nói cách khác bộ điều khiển (38), (39) sẽ đưa quỹ đạo trạng thái của hệ (25) về gốc tọa độ s = s = 0 sau một khoảng thời gian hữu hạn. Chứng minh: Xem [5].
H5: Minh họa điều khiển xoắn và siêu xoắn trong mặt phẳng pha
6
Nhược điểm phản hồi trạng thái của bộ điều khiển xoắn sẽ được khắc phục bởi bộ điều khiển siêu xoắn. Nói cách khác, các bộ điều khiển siêu xoắn là những bộ điều khiển phản hồi đầu ra. Tên gọi siêu xoắn ở đây không có nghĩa là độ xoắn sẽ nhiều hơn mà chỉ có ý nghĩa nói rằng đó là bộ điều khiển phản hồi đầu ra. Nội dung phương pháp thiết kế bộ điều khiển siêu xoắn này như sau: Nếu với hai hàm bất định a (⋅), b (⋅) của hệ (25) trong bài toán 1 luôn tồn tại các hằng số dương q , C , G1 , G 2 , U sao cho:
s (x , t ) < s 0 và G1VM − Φ > G 2Vm + Φ
s = z2
D. Bộ điều khiển siêu xoắn (super twisting)
Định lý 3 (Levant, 2003):
Φ ⎪⎫ ⎪⎧ G VM > Vm > max ⎨4 2 , ⎬ ⎪⎩ s0 G1 ⎪⎭
a)
Từ cấu trúc bộ điều khiển này, phạm vi thay đổi giá trị của tín hiệu điều khiển chỉ thuộc 4 phần mặt phẳng ¼ kéo theo sự thay đổi tương ứng của dạng quỹ đạo trạng thái của hệ trong 4 phần mặt phẳng đó như minh họa ở hình H5a. Điều này tạo thành quỹ đạo chung của hệ có hướng xoay xung quanh gốc và tiến về gốc. Đó có thể là lý do tại sao bộ điều khiển (33) và (36) được [4] và [5] gọi là bộ điều khiển xoắn. Điểm đặc biệt nữa có chung trong cả hai bộ điều khiển xoắn ở trên là chúng đều là những bộ điều khiển phản hồi trạng thái, vì ngoài đầu ra s = z1 , chúng còn cần tới thông tin về dấu cả của trạng thái s = z 2 của hệ.
■
Điểm đặc biệt nữa của bộ điều khiển trên là với (39) thì giá trị tín hiệu điều khiển u luôn có xu hướng tiến về khoảng bị chặn [ −U ,U ] . Ngoài ra, do bài toán 1 và bài toán 2 là tương đương, nên định lý trên cũng áp dụng được cho bài toán 2 với lưu ý các hàm a (⋅), b (⋅) cần phải biến đổi thành ϕ (⋅), γ (⋅) và vai trò của u được thay bằng u . Nếu như hệ tương đương (23) lại có bậc tương đối bằng 2, thì ta chỉ cần biến đổi a (⋅), b (⋅) thành ϕ (⋅), γ (⋅) là đủ, vai trò của u được giữ nguyên.
Nếu hai hàm bất định ϕ (⋅), γ (⋅) trong hệ (30) của bài toán 3 thỏa mãn điều kiện bị chặn (35), thì bộ điều khiển:
Định lý 4:
⎧⎪u = −λ z ρ sgn(z ) + u 1 1 1 ⎨ ⎪⎩u1 = −α sgn(z1 ) trong đó:
α>
(40)
4ΦG 2 (α + Φ ) Φ , λ2 ≥ và 0 < ρ ≤ 0.5 G1 G13 (α − Φ )
sẽ là một nghiệm của bài toán. Chứng minh: Xem [4] và [5].
■
Tương tự là: Nếu hai hàm bất định ϕ (⋅), γ (⋅) trong hệ (30) của bài toán 3 thỏa mãn điều kiện bị chặn (35), thì bộ điều khiển phản hồi đầu ra:
Định lý 5:
⎧u = −r1 sgn v1 − r2 sgn v 2 ⎪⎪ 1/2 ⎨v1 = −1.5λ v1 − z1 sgn (v1 − z1 ) + v 2 ⎪ ⎪⎩v 2 = −1.1λ sgn (v1 − z1 )
sẽ là một nghiệm của bài toán. Nói cách khác bộ điều khiển (42) sẽ đưa quỹ đạo trạng thái của hệ (28) về tới gốc tọa độ z1 = z 2 = 0 sau khoảng thời gian hữu hạn. Chứng minh: Xem [1].
■
Trong công thức bộ điều khiển (42), hệ số α (t ) có tên gọi là hệ số điều biến (modulation factor), U là hệ số khuếch đại (gain factor) và tk là các thời điểm hiệu chỉnh bộ điều khiển mà ở đó có z 2 (tk ) = 0 . Hiển nhiên với tính bất định của các hàm ϕ (⋅), γ (⋅) thì khi thay u = v bởi u trong mô hình hệ (28), nó sẽ trở thành hệ (30). Do đó định lý trên hoàn toàn áp dụng được cho bài toán 3. Nói cách khác, bài toán 3 cũng có nghiệm: u (t ) = −α (t )U sgn [z1 (t ) − 0.5z1 (tk )]
Bên cạnh định lý 5 tài liệu [1],[2] còn cung cấp một số bộ điều khiển cận tối ưu tương đương khác. Chẳng hạn như: Định lý 7 (Bartolini và cộng sự, 1997):
(41)
Nếu hai hàm bất định
ϕ (⋅), γ (⋅) của hệ (30) trong bài toán 3 thỏa mãn điều kiện
bị chặn (35), thì bộ điều khiển: u (t ) = −α (t )U sgn [z1 (t ) − β z1 (tk ) ]
trong đó:
(43)
với: 1/2
⎪⎧α khi ( z1 (t ) − β z1 (tk ) ) z1 (tk ) ≥ 0 α (t ) = ⎨
λ = (G1 (r1 + r2 ) + Φ )
⎩⎪1 trong tr−êng hîp ng−îc l¹i
G1 (r1 − r2 ) > Φ G1 (r1 + r2 ) − Φ > G 2 (r1 − r2 ) − Φ và r1 > r2 > 0
⎛ 2Φ + G 2U (1 − β ) ⎞ , ∞⎟ ⎝ G1U (1 − β ) ⎠
α = [1 , ∞ ) ∩ ⎜
sẽ là một nghiệm của bài toán. Chứng minh: Xem [4] và [5].
■
E. Bộ điều khiển cận tối ưu
U>
Φ , 0 < β <1 G1
sẽ là một nghiệm của bài toán. Nói cách khác bộ điều khiển (43) sẽ đưa quỹ đạo trạng thái của hệ (30) về tới gốc tọa độ z1 = z 2 = 0 sau khoảng thời gian hữu hạn.
Đây là bộ điều khiển xấp xỉ tối ưu tác động nhanh phản hồi đầu ra cho hệ bậc hai, được xây dựng bởi Bartolini và các cộng sự [1]. Ở bộ điều khiển này ta cần phải xác định được thời điểm xuất hiện điểm cực trị của mặt trượt, tức là thời điểm mà tại đó có z 2 (t ) = 0 . Nội dung bộ điều khiển siêu xoắn được xây dựng nhờ tiêu chuẩn cận tối ưu theo thời gian như sau.
Chứng minh: Xem [1].
Định lý 6 (Bartolini và cộng sự, 1997):
A. Điều khiển trượt bậc 1 hệ switching
Nếu hai hàm bất định
ϕ (⋅), γ (⋅) của hệ (28) trong bài toán 2 thỏa mãn điều kiện
bị chặn (35), thì bộ điều khiển: u (t ) = v (t ) = −α (t )U sgn [z1 (t ) − 0.5z1 (tk ) ]
trong đó: ⎧⎪α khi z1 (tk ) [z1 (t ) − 0.5z1 (tk ) ] > 0 α (t ) = ⎨ ⎩⎪1 trong tr−êng hîp ng−îc l¹i
và hằng số U được chọn thỏa mãn: ⎧ Φ ⎫ 4Φ U > max ⎨ , ⎬ ⎩ 0.5G1 3G1 − 0.5G 2 ⎭⎪ ⎛
α ∈ ( 0 , 1] ∩ < ⎜1 , ⎝
3G1 ⎞ G 2 ⎟⎠
(42)
III.
■ VÀI ĐIỀU NÓI THÊM
Xét hệ phi tuyến có mô hình trạng thái [8]:
x −Tx + ux = 0, T > 0
(44)
với u = ±1 là tín hiệu đầu vào. Hình H6 là họ các đồ thị quỹ đạo pha của hệ ứng với u = −1 và hình H7 là ứng với u = 1 . Ở cả hai trường hợp này thì hệ đều là không ổn định. Chọn mặt trượt: s (x ) = ax + x với x = (x , x )T
với a > 0 là giá trị thích hợp để đồ thị s (x ) = 0 nằm ở vị trí như đường nét rời trong hình H6 so với vị trí của các đường quỹ đạo pha đi qua gốc tọa độ ứng với u = −1 . Mặt trượt s (x ) = 0 này khi kết hợp với trục tung x sẽ chia mặt phẳng pha thành 4 miền. Ghép 2 họ quỹ đạo pha trên lại với nhau ở từng miền riêng biệt trong 4 miền trên với thứ
7
tự xen kẽ nhau, ta có họ quỹ đạo pha mới như mô tả ở hình H8. Họ quỹ đạo pha này cho thấy hệ switching thu được là ổn định tiệm cận tại gốc. Từ đây ta suy ra được bộ điều khiển phản hồi trạng thái làm hệ (44) ổn định tiệm cận toàn cục tại gốc tọa độ là: u = −sign(sx ) x
Chất lượng rung thường được đánh giá qua các tham số: − Tần số dao động xung quanh mặt trượt của quỹ đạo trạng thái, ký hiệu là ωx . Tần số này càng cao, hiện tượng rung sẽ càng mạnh. − Biên độ dao động của quỹ đạo trạng thái xung quanh mặt trượt, ký hiệu là Ax . Khi ωx càng lớn, Ax sẽ càng nhỏ. Khi có ωx = ∞ sẽ có Ax = 0 . − Tần số thay đổi giá trị tín hiệu điều khiển u , ký hiệu là ωu . Khi ωu càng lớn, ωx sẽ càng cao, do đó hiện tượng rung càng mạnh. Hai tần số ωx của quỹ đạo trạng thái và ωu của tín hiệu điều khiển là tỷ lệ thuận với nhau. − Khoảng trượt Ωc trên mặt trượt. Khoảng trượt càng lớn, hiện tượng rung càng dài.
I x
B. Điều khiển trượt bậc 1 hệ truyền ngược chặt
Ví dụ thường gặp nhất để minh họa về điều khiển trượt cơ bản là bài toán điều khiển ổn định hệ truyền ngược chặt bất định, một đầu vào:
H6: Đồ thị quỹ đạo pha khi u = −1
⎧xi = x i +1 khi 1 ≤ i ≤ n − 1 ⎨ ⎩xn = f (x , t ) + h (x , t )u
x
trong đó f (⋅), h (⋅) là hai hàm bất định thỏa mãn điều kiện bị chặn:
II
f (x , t ) ≤ φ (x ) và 0 < ξ (x ) ≤ h (x , t )
x
(47)
Khi đó nếu sử dụng mặt trượt: s (x ) = a1x1 +
H7: Đồ thị quỹ đạo pha khi u = 1
x
I khi sx > 0
(46)
II khi sx < 0
+ an −1xn −1 + xn
với a1 , … , an −1 là những hệ số của một đa thức Hurwitz tương ứng, thì từ s (x ) = 0 ta cũng sẽ có x (t ) → 0 . Bởi vậy ta chỉ cần điều khiển sao cho quỹ đạo trạng thái của hệ (46) tiến về mặt trượt s (x ) = 0 và giữa nó ở lại trên đó là hệ sẽ ổn định tiệm cận. Một trong các bộ điều khiển thực hiện được nhiệm vụ trên là bộ điều khiển phản hồi trạng thái [6]:
s (x ) = 0
n −1
x
−φ (x ) − ∑ ai xi +1 − k 2 u=
i =1
ξ (x )
sgn (s (x ) )
với k tùy chọn, vì với nó ta có được điều kiện đủ (16) làm cho hệ tiến được về mặt trượt s (x ) = 0 là: II khi sx < 0
ss ≤ −k 2 s
I khi sx > 0
H8: Đồ thị quỹ đạo pha khi có bộ điều khiển switching (45)
Tuy nhiên khi cài đặt thực tế, do không tồn tại thiết bị tạo ra được hàm lý tưởng sign(⋅) cho bởi công thức (10), mà thay vào đó là hàm sgn(⋅) mô tả bởi công thức (20): u = − sgn(sx )
(45)
nên đã xảy ra hiện tượng rung. Hiện tượng này nhận biết trực quan được thông qua dạng zick zack của quỹ đạo trạng thái bám xung quanh mặt trượt s (x ) = 0 như ở hình H8.
8
Hơn thế nữa, bộ điều khiển này còn đưa được mọi quỹ đạo trạng thái của hệ về mặt trượt s (x ) = 0 trong một khoảng thời gian hữu hạn. C. Cài đặt bộ điều khiển xoắn và thuật toán drift
Bộ điều khiển xoắn phát biểu trong các định lý 1,2 là những bộ điều khiển phản hồi trạng thái, mà cụ thể là chúng cần tới cả thông tin về dấu của z 2 = z1 . Để chuyển chúng xấp xỉ thành bộ điều khiển phản hồi đầu ra giống như bộ điều khiển siêu xoắn, bên cạnh các bộ điều khiển (38), (40) hay (42) và (43), các tài liệu [4], [5] còn đưa ra những công thức
xấp xỉ của bộ điều khiển xoắn cho trong các công thức (36), (37) thông qua việc thay hàm lấy dấu của z1 bằng: 1
chỉ có thêm khả năng thu nhỏ được khoảng rung Ωc , chứ không có khả năng loại bỏ được hoàn toàn hiện tượng rung.
1
s
⎡z (t ) − z1 (tk − τ ) ⎦⎤ τ τ⎣1 k với τ > 0 được chọn đủ nhỏ. Bằng việc thay xấp xỉ trên, cũng như chỉnh sửa lại bộ điều khiển xoắn sao cho luôn giữ được khoảng dao động mặt trượt nhỏ, tức là giữ cho s nằm trong dải giá trị nhỏ, công thức (36) của bộ điều khiển xoắn cho bài toán 2 trở thành: z1 (tk ) ≈
Δk =
⎧−u khi u > 1 ⎪⎪ (48) u = ⎨−Vm sgn (Δk ) khi z1Δk ≤ 0 , u ≤ 1 ⎪ ⎪⎩−VM sgn (Δk ) khi z1Δk > 0 , u ≤ 1 Tương tự, bộ điều khiển xoắn (37) cũng được thay bằng: ⎧−Vm sgn (Δk ) khi z1Δk ≤ 0 u=⎨ ⎩−VM sgn(Δk ) khi z1Δk > 0
s
H10: Quỹ đạo pha với bộ điều khiển siêu xoắn
(49)
Hai bộ điều khiển xoắn thay thế (48), (49) này được các tài liệu [4], [5] gọi là thuật toán trôi (drift algorithm). Hình H9 minh họa hiệu ứng của thuật toán này. Nó cho thấy quỹ đạo pha s (s ) của mặt trượt luôn bám sát theo trục s và nếu càng gần gốc tọa độ, độ xoắn của đồ thị càng nhiều. Nguyên nhân là do trong hai công thức (48) và (49), tần số thay đổi giá giá trị tín hiệu điều khiển không liên tục u càng gần gốc tọa độ sẽ càng cao. Như vậy rõ ràng hiệu ứng rung thể hiện ở tham số ωu đã không được loại trừ. Nói cách khác, ở đây hiệu ứng rung chỉ có thể được cải thiện thông qua việc thu nhỏ khoảng rung Ωc . s
Ωc
H11: So sánh khoảng rung của trượt bậc 1 và bậc 2
E. Điều khiển trượt bậc cao (≥3)
Xét lại bài toán điều khiển trượt chống rung cho hệ affine bất định (21) với mặt trượt s (x , t ) . Điều kiện cần đạt được là mọi quỹ đạo trạng thái của hệ phải tiến tiệm cận được về đa tạp: s (x , t ) = s (x , t ) =
s
Ωc
= s (r −1) (x , t ) = 0
(50)
trong đó r ≥ 3 . Giả sử rằng hệ vào-ra, được ghép chung bởi hệ bất định (21) cho ban đầu và đa tạp trượt (50): ⎧x = f (x , t ) + h (x , t )u ⎨ ⎩y = s (x , t )
(51)
có bậc tương đối đúng bằng r , tức là: H9: Minh họa drift algorithm (48), (49)
D. Điều khiển trượt bậc 2 với bộ điều khiển siêu xoắn
Hình H10 minh họa quỹ đạo pha s (s ) của mặt trượt khi sử dụng bộ điều khiển siêu xoắn (phản hồi đầu ra) cho bởi các công thức (38) hoặc (40). Một lần nữa ở đây ta lại thấy càng về gần gốc tọa độ, quỹ đạo càng xoắn, tức là tần số thay đổi giá trị của tín hiệu điều khiển không liên tục u càng cao. Nói cách khác sẽ phải vẫn tồn tại hiện tượng rung ở gần gốc tọa độ. Nó chỉ giúp cải thiện hiện tượng rung bằng cách thu nhỏ khoảng rung Ωc , chứ không như [4], [5] đã khẳng định bằng các từ "attenuate" hay "avoid". Hình H11 là kết quả mô phỏng thực hiện việc so sánh khả năng giảm rung của hai bộ điều khiển trượt bậc 1 (hình bên trái) và trượt siêu xoắn (hình bên phải), được lấy từ [9]. Một lần nữa nó cho thấy trượt bậc 2, bên cạnh việc đã làm giảm được biên độ tín hiệu điều khiển trong khoảng rung thì cũng
⎧0 khi 0 ≤ k ≤ r − 2 Lh Lkf s (x , t ) = ⎨ ⎩≠ 0 khi k = r − 1
Vậy thì bằng phép đổi biến vi phôi [6]: zi +1 = Lif s (x , t ), 0 ≤ i ≤ r − 1
hệ vào ra (51) sẽ trở thành hệ truyền ngược chặt (46): ⎧zi = zi +1 khi 1 ≤ i ≤ n − 1 ⎨ ⎩zr = ϕ (z , t ) + γ (z , t )u
(52)
trong đó ϕ (⋅), γ (⋅) được xác định từ các hàm gốc ban đầu f (⋅), h (⋅) của (51) theo:
ϕ (x , t ) = Lrf s (x , t ) và γ (x , t ) = Lh Lrf −1s (x , t )
(53)
và tất nhiên, chúng cũng là các hàm bất định, nếu f (⋅), h (⋅) là bất định.
9
Suy ra, điều khiển trượt bậc cao (50), (51) là tương đương với điều khiển ổn định hệ (52), phát biểu như sau. Tìm bộ điều khiển phản hồi trạng thái u (x , t ) để mọi quỹ đạo trạng thái của hệ (52) có các hàm bất định ϕ (⋅), γ (⋅) cho bởi (53) là ổn định tiệm cận toàn cục với thời gian về gốc là hữu hạn.
Bài toán 4:
Ở đây ta cần lưu ý là mặc dù đã có phương pháp điều khiển trượt bậc 1 cho hệ truyền ngược chặt (52) như trình bày ở phần IIIB, song không thê sử dụng nó cho bài toán 4 vừa nêu trên. Lý do đơn giản là trượt bậc cao được sử dụng nhằm giảm hiệu ứng rung, trong khi lời giải ở mục IIIB lại không đáp ứng được điều này. Hiện tại, bên cạnh điều khiển trượt bậc 2 với các bộ điều khiển xoắn, siêu xoắn ... cũng đã có một số các bộ điều khiển bậc cao hơn 2 đã được công bố, chẳng hạn như trong tài liệu [1], [4] hay [5]. Chúng cùng được gọi dưới tên: − Hybrid 3-VSC (variable structure control) cho các bộ điều khiển trượt bậc 3. Bộ điều khiển này cần các thông tin phản hồi về, ngoài vector trạng thái x , còn có sgn(s ), sgn(s ) và sgn(s ) − Universal HOSM cho các bộ điều khiển trượt bậc cao r > 3 . Chúng sử dụng các thông tin phản hồi về
(
)
gồm x , s , s , … , s (r − 2) và sgn s (r −1) .
Đây là phương pháp liên quan tới việc thiết kế mặt trượt trơn nhằm có được tốc độ trượt lý tưởng trên mặt trượt về gốc tọa độ của quỹ đạo trạng thái theo quy luật của hàm lũy thừa, đồng thời tạo ra được thời gian quỹ đạo trạng thái tiến về mặt trượt là hữu hạn. Phương pháp này không liên quan tới việc giảm rung như điều khiển trượt bậc cao. Tuy nhiên nó có thể kết hợp với trượt bậc cao để cải thiện thêm chất lượng điều khiển. Phương pháp trượt terminal có nội dung như sau. Xét hệ truyền ngược chặt (46). Khi đó, tương ứng với bậc n của hệ, mặt trượt sn −1 (x , t ) của điều khiển trượt terminal được xây dựng truy hồi như sau: − Nếu n = 1 thì mặt trượt s1 (x , t ) sẽ là: s1 (x , t ) = x1
− Nếu n = i + 1, i = 1, 2, … ,n − 1 thì: β
si (x , t ) = si −1 + αi si −i1
với pi và pi < qi là hai số lẻ dương. qi
Ta có thể thấy mặt trượt này thuộc lớp các mặt trượt cho trong công thức (14), chẳng hạn như khi n = 2 thì với: β
β
s 2 (x , t ) = x1 + α 2x1 2 = x 2 + α 2x1 2
(54)
sẽ tồn tại hàm V (x ) = x12 thỏa mãn (15). Điều khiển trượt terminal được đề xuất lần đầu bởi Venkataraman và Gulati năm 1990 trong khuôn khổ nghiên cứu của phòng thí nghiệm về động cơ phản lực JPL và cho tới
10
⎧x1 = x 2 ⎨ T ⎩x 2 = f (x , t ) + h (x , t )u với x = (x1 , x 2 )
Mặt trượt terminal tương ứng cho hệ bậc hai là (54). Khi đó từ điều kiện trượt (17) ta sẽ có:
(
β −1
−η s ≥ ss = s f (x , t ) + h (x , t )u + α 2 β 2x1 2 x 2
)
Vậy bộ điều khiển trượt terminal phải thỏa mãn: ⎧≤ −η − f (x , t ) − α β x β2 −1x khi s > 0 ⎪ 2 2 1 2 (55) h (x , t )u = ⎨ β 2 −1 ⎪≥ − x − < η f ( , t ) α β x x khi s 0 2 2 2 1 ⎩ Chẳng hạn như khi có thêm các điều kiện bị chặn (47) thì một trong các bộ điều khiển trượt terminal thỏa mãn điều kiện (55) nêu trên sẽ là: β −1
u=
−k − φ (x ) − α 2 β 2x1 2
ξ (x )
x2
sgn(s )
với k > η tùy chọn.
F. Điều khiển trượt terminal
αi > 0, βi =
ngày nay nó đã được phát triển và sử dụng khá phổ biến trong các hệ thống điều khiển quá trình phi tuyến, các hệ tay máy... [theo WikipediA]. Để minh họa việc sử dụng mặt trượt terminal trên, ta xét một ví dụ về điều khiển trượt hệ bất định bậc hai như sau [7]:
IV.
KẾT LUẬN
Về chất lượng và ý nghĩa ứng dụng của điều khiển trượt cơ bản cũng như trượt bậc cao ta có thể tóm tắt như sau: − Điều khiển các hệ có cấu trúc biến đổi và hệ switching. − Điều khiển các hệ bất định hàm và hệ có nhiễu tác động. − Điều khiển động học không hệ vào-ra (51). Đây là vấn đề khá lý thú vì như ta đã biết ở tài liệu [6] rằng với bộ điều khiển phản hồi trạng thái tĩnh và liên tục ta không thể thay đổi được bậc tương đối của hệ phi tuyến, do đó không thể chuyển đổi một hệ pha không cực tiểu thành pha cực tiểu nhờ phản hồi trạng thái. Tuy nhiên bằng bộ điều khiển trượt phản hồi trạng thái và với một mặt trượt thích hợp ta lại có thể điều khiển hệ (51) ổn định ở chế độ động học không, tức là đã điều khiển được hệ (51) trở thành pha cực tiểu, mà không cần biết hệ vàora (51) ban đầu có phải là pha cực tiểu hay không. Đây cũng có thể sẽ là một cầu nối cho việc giải quyết một trong các bài toán còn dang dở của lý thuyết hệ phẳng. − Điều khiển bám theo mô hình mẫu, hoặc điều khiển bằng mô hình nội. − Không bao giờ đạt được chế độ trượt lý tưởng, mà chỉ có thể xấp xỉ trượt. − Trượt xấp xỉ bậc cao sẽ cải thiện được hiệu ứng rung theo nghĩa thu nhỏ được khoảng trượt Ωc về trong một lân cận gốc, chứ không có khả năng triệt tiêu được tần số rung ωu của tín hiệu điều khiển u trong Ωc . − Bài toán nâng cao chất lượng điều khiển trượt bậc cao liên quan tới công việc thiết kế mặt trượt thích hợp và điều này, bên cạnh điều khiển trượt terminal, có thể còn liên quan tới bài toán tích phân mặt cong trơn của hình học vi phân.
