equação de 2º grau - incompleta - Prefeitura do Rio

EDUARDO PAES PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO CLAUDIA COSTIN SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO REGINA HELENA DINIZ BOMENY SUBSECRETARIA DE ENSINO MARIA DE NAZARETH MACHADO DE BARROS VASCONCELLOS COORDENADORIA DE EDUCAÇÃO ELISABETE GOMES BARBOSA ALVES MARIA DE FÁTIMA CUNHA COORDENADORIA TÉCNICA SÍLVIA MARIA SOARES COUTO ORGANIZAÇÃO E ELABORAÇÃO FRANCISCO RODRIGUES DE OLIVEIRA GIBRAN CASTRO DA SILVA SIMONE CARDOZO VITAL DA SILVA REVISÃO

O que temos neste Caderno Pedagógico:  Racionalização de denominadores  Relação entre potência e raiz  Equações  Equação de 2º.grau ● Introdução ● Raízes ● Coeficientes ● Equações incompletas ● Equações completas – Fórmula de Bhaskara ● Discriminante ● Soma e produto das raízes

FÁBIO DA SILVA MARCELO ALVES COELHO JÚNIOR DESIGN GRÁFICO

 Irracionais na reta numérica

EDIOURO GRÁFICA E EDITORA LTDA. EDITORAÇÃO E IMPRESSÃO

 Triângulo retângulo

 Semelhança de polígonos  Relações métricas no triângulo retângulo  Teorema de Pitágoras  Tratamento da informação

Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014

Ginástica de cérebro Exercitar os neurônios pode ser um bom modo de solucionar problemas de memória ou dificuldades para aprender. E existe até academia para isso... Texto: Rachel Tôrres - Adaptado

jujubamld.blogspot.com

A fila do caixa está grande? O dentista atrasou a consulta? Sem problemas. Uma estudante tem sempre à mão um recurso para as horas vazias. Desde a infância, a jovem é viciada em jogos de raciocínio: coleciona quebra-cabeças e não abre mão do tabuleiro de campo minado. Só sai de casa acompanhada por um jogo de cálculo sudoku, o cubo mágico ou uma palavra cruzada. Quem a vê com essas companhias, porém, nem sempre entende. “O sudoku, então, é o mais rejeitado!”, brinca. É aí que, armada de paciência professoral, ela se oferece para explicar como pode ser interessante preencher os quadradinhos com números. Para a menina, os exercícios de lógica são pura diversão. E há quem leve ainda mais a sério que ela, a “malhação” de neurônios oferecida por essas atividades. Há pessoas que até frequentam uma academia para exercitar as ideias – uma rede de escolas de ginástica cerebral criada por um engenheiro do ITA (o Instituto Tecnológico de Aeronáutica, referência no país em ciências exatas). Para aperfeiçoar a concentração e o raciocínio, o método usa alguns desses jogos, como o sudoku e as cruzadas, e opções clássicas como o ábaco, a primeira calculadora criada pelo homem. 4


RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES É incrível como a Matemática pode ser vista como diversão!

Agora, multiplique numerador e

Observe! Racionalizar o 3 denominador em pode ser fácil! 2

denominador por esse número.

Legal! Basta encontrar uma fração equivalente 3 a 2 com denominador racional.

AGORA, É COM VOCÊ

Para obter uma fração equivalente, basta multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número.

3 equivale à metade de3 2 . 2

!!!

Racionalize os denominadores de

2 5 6 b) 3 a)

Qual é o número que multiplicado por 2 torna o denominador igual a 2?

c)

___________ 5

12 3


RELAÇÃO ENTRE POTÊNCIA E RAIZ As propriedades do expoente inteiro

3 2

É uma potência com expoente fracionário.

Você sabe calcular 4 ?

aplicam-se ao expoente fracionário.

AGORA, É COM VOCÊ

!!!

1) Calcule: 1 2

3 2

a ) 25  1

Comparando... 3 2

1

c) 27 3 

2² 

4 x 

3 2

 x  23  x  x  8

ou

d ) 10 000 4 

2) Indique se as igualdades são falsas ou verdadeiras:

2

 32   4   x2     ou

2

4

3

 

b) 9 

4 x 3

 4 2

3

2

x 4 → 2

3

2

4

3



a) 7  7 3

64  8

1 3

3 2

b) 5  3 5 2 1

c) 3 11  113

 2 8 3

d ) 3  32

3) Calcule:

a)

FIQUE LIGADO!!!

1 3

2 3

100 100  10 1 1

b)8 3  30  2  4

m n



1 2



a  n am 6


A - Movendo 2 palitos, tire o lixo de dentro da pá.

C - SUDOKU

guiagratisbrasil.com

B - Mova somente 3 palitos para formar apenas 3 quadrados.

guiagratisbrasil.com

Não poderá sobrar palito algum. Todos os quadrados têm o mesmo tamanho.

1

7

5

9

4

3

6

8

2

9

6

3

7

8

2

1

5

4

2

4

8

6

1

5

3

7

9

4

5

1

2

3

6

7

9

8

7

2

6

8

9

4

5

3

1

3

8

9

5

7

1

2

4

6

5

3

4

1

2

8

9

6

7

8

1

7

3

6

9

4

2

5

6

9

2

4

5

7

8

1

3

Veja mais jogos com palitos clicando aqui  http://www.youtube.com/watch?v=abHXg156AvU

D - Observe a sequência, complete a igualdade de cada figura abaixo e responda à pergunta final.     



 

 

1=1² 1 + 3 =___= __²

  

  

  

1 + 3 + 5 = ___ = __²

   

   

   

   

1 + 3 + 5 + 7 = ___ = __²

   

   

   

   

   

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = ___ = __²

Se n representa um número natural qualquer, quanto vale a soma: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + ... + (2n  1) ? _____ 7


EQUAÇÕES A Matemática possui muitas curiosidades.

FIQUE LIGADO!!!

Você sabia que 1,5 + 3 é igual ao triplo de 1,5?

Lembrando... Equacionar uma situação é escrever, matematicamente, a situação, através de uma igualdade algébrica.

AGORA, É COM VOCÊ

!!!

Verificando... 1) Qual é o número y para que 6 + y = 6 . y? 1,5 + 3,0 4,5

1,5 x 3 4,5

3 3 ou multiplicada por , 5 5 dá, nos dois casos, o mesmo resultado?

2) Qual é a fração que, somada com

Será que existe um número que somado a 5 seja igual ao seu quíntuplo?

Interessante, não?

3) Na expressão abaixo, existem dois números reais que podem ser colocados no lugar de . Quais são eles?

Equacionando...

( + 3)² = 64

Consideremos esse número como x: x + 5 = 5x Resolvendo... x  1,25 4x = 5 

4) Na expressão abaixo, existem dois números reais que podem ser colocados no lugar de . Quais são eles?

Verifique se esse número é, realmente, 1,25.

(  2)² = 81 8


EQUAÇÃO DE 2.º GRAU - INTRODUÇÃO Dividi 4 por um número e encontrei um resultado igual a 4 menos esse número.

Numa equação de 2.º grau, o maior expoente da incógnita (letra) é 2.

AGORA, É COM VOCÊ

Equacionando a situação, temos:

4  4  x  4  4 x  x²  x²  4 x  4  0 x

!!!

1) O grau de um polinômio é determinado pelo maior expoente da variável.

Esta é uma equação de 2.º grau?

Sendo assim, 3x² - 5x + 4 é um polinômio do _______ grau, pois o maior

FIQUE LIGADO!!!

expoente da variável é ______. Logo, 3x² - 5x + 4 = 0 é uma equação de _______ grau. Observe as equações abaixo e determine seu grau.

Equação de 2º grau de incógnita x é toda equação do tipo:

a) 2x³ + x² + 5x – 3 = 0  _______

ax² + bx + c = 0

b) 5x – 7 = 0  ___________

onde a, b, c são números reais e a  0.

c) x² - 5x + 2 = 0  ___________

Verifique se os números 2 e 4 atendem à situação acima, 2) Arrume a equação da forma mais simples e determine seu

substituindo x, na igualdade, por esses números.

grau. a)(x + 3)(x – 5) = 7  _______________ = 0  ____ grau b) 3x – 5 = 2x – 2  _____________ = 0  ______ grau 9


EQUAÇÃO DE 2.º GRAU - RAÍZES AGORA, É COM VOCÊ

Fiquei intrigada! Como pode haver dois valores diferentes que servem para a mesma equação?

!!!

1)

O quadrado de um número, somado a 9, é igual a 25. Que número é esse?

Uma equação de 2.º grau tem, no máximo, 2 resultados, que são chamadas de raízes da equação. Esses valores podem ser iguais ou diferentes.

FIQUE LIGADO!!!

2) Considere a equação do 2.º grau: x² + 3x  10 = 0. a) 2 é solução dessa equação?

Raiz de uma equação é o valor que a incógnita assume, tornando a igualdade verdadeira.

b) 2 é solução dessa equação?

4) Substitua os valores de x pelos dados abaixo, na equação x²  3x  10 = 0, e determine quais deles são raízes dessa equação.

c) 5 é solução dessa equação? d) 5 é solução dessa equação?

3) Verifique se 3 e 3 são soluções da equação z²  3z = 0.

10

x=5

 _____________________________

x=2

 _____________________________

x=0

 _____________________________

x = 2

 _____________________________

x = 5

 _____________________________


EQUAÇÃO DE 2.º GRAU - COEFICIENTES Algumas equações aparecem escritas em ordem decrescente do expoente da incógnita, como x² - 5x + 6 = 0.

Essas equações se apresentam na forma normal ou reduzida.

Há equações com menos termos em que não aparecem todas as potências da incógnita. clipart

É que essas equações são incompletas. Por exemplo, 6x³  3x² – 4x + 2 = 0 é uma equação do 3º grau completa pois todos os coeficientes são diferentes de zero. Já x4 – 10 =0 é uma equação do 4º grau incompleta, pois os coeficientes de x³, x² e x são nulos.

Entendi! Quando o coeficiente é zero, a incógnita não aparece e a equação é considerada incompleta. Legal! Glossário: termo independente – é o valor que aparece sem a incógnita (letra), na equação.

O que são coeficientes? São as constantes que acompanham a incógnita (letra). Observe!

Introdução à equação de 2.º grau 11


EQUAÇÃO DE 2.º GRAU 4) Verifique se 2 é raiz das equações abaixo:

AGORA, É COM VOCÊ

!!!

a) x² - 2x = 1 b) 3x²  1 = 11

1) Determine os coeficientes nas equações abaixo: a) 7x² + 5x + 8 = 0  a = _____ b = ____ c = ____ b) y² ─ y ─ 1 = 0

 a = _____ b = ____ c = ____

c) z² + 3z = 0

 a = _____ b = ____ c = ____

d) 3x² ─ 4 = 0

 a = _____ b = ____ c = ____

e) 5x² = 0

 a = _____ b = ____ c = ____

c) x³ = 2 d) ( x  1) ( x  3) ( x  4) = 2

5) Podemos afirmar que 2 e 3 são raízes da equação 3x² + 2x  21 = 0?

2) Numa equação do tipo ax² + bx + c = 0, o que acontece se a = 0, porém b ≠ 0 e/ou c ≠ 0? ___________________________________________

3) Coloque as equações na forma reduzida e coloque, nos

6) Classifique as afirmações em V (verdadeiras) ou F (falsas):

parênteses, I se a equação for incompleta e C se a equação

a) O número 9 é raiz da equação x²  9x + 9 = 0.

for completa .

b) As raízes da equação 6x²  5x + 1 = 0 são

(

) 3x(x  7) = x²  5

(

) 5x + 4x² = 3x(x + 2)  x  3  _________

(

) (x + 2)² = x + 4  _________________

1 2

e

1 . 3

 ______________

12


EQUAÇÃO DE 2º GRAU - INCOMPLETA A Escola de Dona Mercedes está sendo reformada.

A área de lazer continua quadrada?

Essa é uma equação de 2º grau.

Não. Ampliaram 1 m no comprimento e reduziram 1 m na largura.

Isso mesmo! Observe!

Precisamos cercar essa área. Sabendo que (+3)² = 9 ou (3 )² = 9.

x² = 9  x = 3 ou x =  3 Como x + 1 e x 1 representam medidas, x só pode ser 3. Medidas dos lados: x + 1 = 4 e x  1 = 2 Sabendo que a nova área mede 8 m² e considerando a medida

Para cercar essa área, serão necessários 2.(4 + 2) = 12 m de cerca.

do lado do terreno inicial como x,

AGORA, É COM VOCÊ

x1 x +1

!!!

E se a nova área medisse 15 m², quantos metros de cerca seriam necessários.

equacionamos a situação: ( x + 1 ) . ( x  1 ) = 8  x²  1 = 8  x² = 9 13


EQUAÇÃO DE 2.º GRAU - INCOMPLETA Temos um produto de dois fatores ( 4x e x  3 ) igual a zero.

Augusto e Beto precisam cercar um terreno. O terreno era quadrado, mas ampliaram para 12 metros no comprimento.

A superfície do terreno ficou 5 vezes maior que a área do terreno quadrado.

O que acontece quando dois fatores geram um produto igual a zero? _________________ 4x = 0  x = 0



x3=0  x=3

a) Qual é o valor de x que serve para essa situação? _____ b) Determine a medida de cada lado do terreno. __________ c) Quantos metros de cerca serão necessários para cercar todo o terreno? ________

x

AGORA, É COM VOCÊ

x + 12 Área do terreno quadrado  x²

1) O produto de um número pela soma desse número mais

Equacionando...

x ( x + 12 ) = 5x²

!!!

3, é igual ao quádruplo do quadrado desse número.



x² + 12x = 5x²

Determine quais os números que podem atender a essa

Reduzindo a equação...

igualdade.

4x²  12x = 0 Fatorando o polinômio 4x²  12x, temos 4x ( x  3 ) = 0 14


AGORA, É COM VOCÊ

EQUAÇÃO DE 2.º GRAU - INCOMPLETA

!!!

1) Determine as raízes das equações abaixo: a) x² - 49 = 0 

c) 9x² = 54x

 ___________________________________ ____________________________________

b) 2x² - 32 = 0  c) 5x² - 50 = 0 

d) (x – 5)(x – 6) = 30  _________________________

d) 2x² + 18 = 0 

____________________________

2) Fatore as expressões algébricas a seguir:

e) x (x + 2) = 2x + 25  ___________________________ _________________________

a) x² + 7x = __________ b) 3y²  12y = ___________

5) Observe, na atividade 4, as equações incompletas e suas

c) 12z + 9z² = ____________

raízes.

3) Resolva as equações a seguir:

a) O que acontece quando a equação é incompleta porque

a) 3x ( x + 2) = 0  _________________________

b = 0? _____________________________________ b) O que acontece quando a equação é incompleta porque

b) x (2x + 5) = 2x  _____________________________

c = 0? _______________________ 6) A área do retângulo abaixo é de 75 cm². Determine o seu

4) Agora, resolva essas equações:

perímetro.

a) 5x²  10x = 0  ______________________________ ______________________________

y+5 y5

b) 3x²  7x = x(2x – 4)  _________________________ _________________________ _________________________ 15


FIQUE LIGADO!!!

EQUAÇÃO DE 2.º GRAU

Forma geral da equação de 2.º grau:

!!!

1) Escreva a equação de 2.º grau do tipo ax² + bx + c = 0,

ax² + bx + c = 0 • em que x é a incógnita que pode ser

AGORA, É COM VOCÊ

em que os coeficientes sejam a = 3, b = -2 e c = 7. representada por

qualquer letra ( y, z, w... );

__________________ 2) Na equação py² + 3y – 2 = 0, quais devem ser os

• a, b e c são valores constantes, chamados de ____________.

valores de p para que ela seja de 2.º grau? _______________________________________________

As equações de 2.º grau podem ser completas ou incompletas.

3) Em ( m – 3 )w² - 5w + 4 = 0, quais devem ser os valores

a) Em ax² + bx + c = 0, se a  0, b  0 e c  0, podemos afirmar

de m para que a equação seja de 2.º grau?

que é uma equação de 2.º grau ___________. c < 0, a equação será ___________, a do tipo ax² + c = 0, e suas raízes serão __________________.

b) Porém, se a  0, b = 0 e

c) Se a ≠ 0, b = 0 e

4) Na equação do exercício 3, o valor de m pode ser 2?

c > 0, as raízes ______________________. a

d) Quando a  0, b  0 e c = 0, a equação será também _____________, do tipo ax² + bx = 0, e uma de suas raízes será _____________.

5) Em 2z² - 3z + ( n – 2 ) = 0, determine n de modo que uma de suas raízes seja zero.

e) Quando a = 0, temos uma equação do tipo bx + c = 0. Esta é uma equação do ____ grau.

6) Em 2z² - 3z + ( k + 1 ) = 0, determine k de modo que uma de suas raízes seja zero.

16


EQUAÇÃO DE 2.º GRAU

Quantos metros de moldura vou precisar?

Preciso que o senhor aumente em 1m o comprimento e a largura do mural quadrado do pátio e coloque uma moldura. A superfície do mural terá 9 m² de área.

7) A equação ( 2m − 6 )x² + 6x + 3 = 0 é do 1.º grau. Sendo assim, podemos afirmar que o valor de m é _____.

8) Na equação x² + ( 2p + 6)x  p = 0, o valor de p pode ser 3, para que as raízes sejam reais, opostas ou simétricas?____ Por quê? ____________________________.

O cálculo da área do quadrado é lado ao quadrado.

y+1

y+1 9) A equação (n  3)x² + 5x + (n²  9) = 0 é do 2.º grau e uma de

( y + 1)² = 9

suas raízes é zero. Determine o valor de n.

y+1=3

y+1=3  y=2 y + 1 = 3  y =  4

y =  4  y + 1 = 4 + 1 =  3  não pode ser a medida do lado do mural. y = 2  y + 1 = 2 + 1 = 3  o lado do mural mede 3 m. Logo, ele vai precisar de 4 . 3 = 12 m de moldura.

17


AGORA, É COM VOCÊ

EQUAÇÃO DE 2º GRAU

!!!

2) Determine um número cujo quadrado de sua soma com 3 resulte em 36.

1) Fatore o trinômio e resolva as equações: a) x² - 2x + 1 = 4

3) Sabendo que a área do retângulo mede 4 cm, equacione

b) x² + 6x + 9 = 49

sua área, na forma reduzida. x x 3 c) 4y² - 4y + 1 = 25

Essa equação é completa. O trinômio não é um quadrado perfeito. Acho que terei que usar a Fórmula de Bhaskara para resolvê-la.

d) 9z² + 12z + 4= 64

Bhaskara foi matemático, professor, astrólogo e astrônomo indiano, o mais importante matemático do século XII e último matemático medieval importante da Índia. Adaptado - http://www.xtimeline.com

18


EQUAÇÃO DE 2º GRAU – FÓRMULA DE BHASKARA d) Temos, então, a igualdade: (2ax + b )² = b² - 4ac

Vamos descobrir juntos a fórmula de Bhaskara? A ideia é genial: tentar escrever ax² + bx + c como um produto. Vamos lá!

e) Extraindo a raiz quadrada dos dois membros, encontramos 2ax + b =  b ²  4ac

Agora, é só isolar o x!

Considerando a equação de 2.º grau como ax² + bx + c = 0, onde a  0. a) Subtraímos c de ambos os membros da equação: ax² + bx + c - c = 0 – c, tem-se ax² + bx =  c.

f) Subtraímos b de ambos os membros: 2ax + b – b =  b²  4ac  b, isto é, 2ax = b  b²  4ac

b) Multiplicamos os dois membros da equação por 4a: ( ax² + bx ) . 4a = – c . 4a, tem-se 4a²x² + 4abx =  4ac.

g) Dividindo ambos os membros por 2a, tem-se

c) Adicionamos b² a ambos os membros: 4a²x² + 4abx + b² = -4ac + b², tem-se 4a²x² + 4abx + b² = b²  4ac. Que legal!!! Com esse processo, transformamos o 1.º membro da equação em um trinômio quadrado perfeito! 4a²x²

+

4abx

+

Esta é a Fórmula de Bhaskara! Para achar os valores de x, basta substituir os valores de a, b e c da equação na fórmula.

b²

↓

↓

↓

2ax

2 . 2ax . b

b

x =  b  b²  4ac 2a

Logo, 4a²x² + 4abx + b² = ( 2ax + b )² 19


EQUAÇÃO DE 2º GRAU - COMPLETA O quadrado de um número, diminuído do seu triplo, é igual a 40. Vamos resolver a equação x²  3x  4 = 0, utilizando a fórmula de Bhaskara.

Equacionando x²  3x = 40 → x² − 3x − 40 = 0. Os coeficientes são : a = 1, b = −3 e c = −40. Vamos calcular o radicando primeiro?

Sendo a equação geral de 2.º grau ax² + bx + c = 0, então em x²  3x  4 = 0

O radicando b²  4ac é chamado de discriminante da equação e é representado pela letra grega delta (∆).

a = 1, b =  3 e c =  4. Substituindo, na fórmula,  b  b ²  4ac x 2a

 x

  3 

 32  4 1  4

Calculando ∆,

2 1

  b²  4ac     3  4 1  40    169 2

x

x

3  9  16 2

3  25 2

3  25 2 8 x 4 2 3 5  x 2 2 x  1 2  x

Aplicando à fórmula de Bhaskara: x

b  2a

 x

  3  169 3  13  x 2 1 2

x 8 x  5

As raízes são 8 ou  5.

São as raízes da equação 1 e 4.

Verifique se esses valores estão corretos, substituindo cada um na equação.

EQUAÇÕES DE 2.º GRAU 20


EQUAÇÃO DE 2º GRAU - COMPLETA AGORA, É COM VOCÊ

2) O quadrado de um número, acrescido de 4, é igual a

!!!

seu quíntuplo. Determine esse número.

1) Determine as raízes das equações a seguir: a) x²  5x + 6 = 0

b) 2y² + 3y  14 = 0

3) A área do retângulo é igual à área do quadrado. Observe as figuras abaixo e determine suas dimensões: x 3

x 1 2x  2

x 1

c) (2x + 3) (x  1) = 3

21


EQUAÇÃO DE 2º GRAU - DISCRIMINANTE III) Quais são as raízes de x² – 2x + 10 = 0?

Agora, serão propostas três equações de 2.º grau para que você as resolva. Use a fórmula de Bhaskara. Preste atenção a cada ∆ e relacione com as raízes encontradas. Você fará uma incrível descoberta!

O valor de  é positivo ou negativo? __________

I) Determine as raízes de x² – 4x + 4 = 0.

Por que as raízes não são reais? _______________________________________________ _______________________________________________

Vou sempre calcular o ∆ antes de resolver a equação. Assim, já sei que tipo de raízes vou encontrar.

Que valor encontrou para ? ______ Como são as raízes? _________ II) Resolva a equação: x² + x – 12 = 0

FIQUE LIGADO!!! Discriminante da equação de 2.º grau Se ∆ = 0, suas raízes são reais e iguais. Se ∆ > 0 (positivo), suas raízes são reais e diferentes. O valor que você encontrou para  é positivo ou negativo? __________________

Se ∆ < 0 (negativo), suas raízes não são reais.

As raízes são iguais ou diferentes? ____________ 22


EQUAÇÃO DE 2.º GRAU - DISCRIMINANTE Agora, eu sei porque ∆ se chama discriminante. Ele indica se as raízes de uma equação de 2.º grau são reais e iguais, reais e diferentes ou se não são reais.

AGORA, É COM VOCÊ

4) O valor de k, para que a equação 2w² – 2w – k = 0 tenha raízes reais e diferentes, pode ser zero?

!!!

1) Complete a sentença abaixo, determinando o tipo de raízes. A equação 2y² – y – 8 = 0 possui raízes _________________ , porque o discriminante () é ____________________. 5) Podemos afirmar que a equação 3 x ² – 4 x + 1 = 0 possui raízes reais e diferentes? _____ Por quê? 2) De que tipo são as raízes da equação: w² + 10w + 25 = 0? Justifique sua resposta.

6) Na equação 4 x ² – (p + 1) x + (p – 2) = 0, determine os valores de p, para que a equação tenha raízes reais e iguais.

3) Sabendo que a equação x² – 2x + (m – 3) = 0 tem raízes reais e iguais, qual é o valor de m?

23


EQUAÇÃO DE 2.º GRAU – SOMA DE RAÍZES Mostre para nós o que você descobriu.

Fiz uma experiência e descobri algo incrível.

Vamos testar?

Determine as raízes de z² − 7z – 30 = 0. clipart

Sabemos que a equação geral de 2.º grau é Verificando...

a x ² + b x + c = 0.

a) z1 + z2 = _____________

Através da fórmula de Bhaskara, as raízes podem ser assim

b) Utilizando a regra que encontramos...  7    b  7 b   a 1 a

encontradas: x1 

 b  b ²  4ac 2a

e

x2 

 b  b ²  4ac 2a

Se somarmos as raízes, temos: x1 + x2 =  b  b²  4ac   b  b²  4ac 2a 2a

Não é que deu certo? z² − 7z – 30 = 0.

AGORA, É COM VOCÊ

!!!

Como os denominadores são iguais, podemos colocar a soma

Determine a soma das raízes das equações:

toda sobre o mesmo denominador.

a) 9x²  9x + 2 = 0

b) 4y² + 4y  3 = 0

 2b  b x1 + x2 =  b  b²  4ac  b  b²  4ac   2a a 2a

24


EQUAÇÃO DE 2.º GRAU – PRODUTO DE RAÍZES Descobriu mais alguma coisa?

Sim! Veja que interessante! clipart

Vamos testar com a mesma equação? z² − 7z – 30 = 0

clipart

As suas raízes são 3 e 10. Verificando... a) z1 . z2 = ___________

Agora, vamos multiplicar as raízes:  b  b ²  4ac  b  b ²  4ac x1  x2   2a 2a  b  b ²  4ac   b  b ²  4ac x1  x2  2a  2a





b) Utilizando a regra encontrada...

 AGORA, É COM VOCÊ

Como, no numerador, há um produto da soma pela diferença,

1) Determine o produto das raízes nas equações:

temos: x1  x2

!!!

 b 2   

b ²  4ac 4a ²



2

 x1  x2 

a) 9x²  9x + 2 = 0

b2  b²  4ac  4a²

Retirando os parênteses:

2) Determine a soma e o produto das raízes em

b 2  b 2  4ac x1  x2  4a² Simplificando:

x1  x2 

b) 4y² + 4y  3 = 0

2y²  3y + 1 = 0

4ac c  4a ² a 25


EQUAÇÃO DE 2.º GRAU – SOMA E PRODUTO DE RAÍZES 5) Em uma equação de 2.º grau, a soma de suas raízes é 5 e o

Uma equação do 2.º grau é da forma

produto dessas raízes é – 14. Sabendo que o coeficiente do

ax² + bx + c =0, com a  0.

termo em x² é 1, então essa equação é ______________ AGORA, É COM VOCÊ

!!!

1) Assinale o par de números que são raízes de uma equação de 2.º grau, cuja soma dessas raízes é – 7, o produto é 12 e

6) Determine a soma e o produto das raízes das equações do tipo ax² + bx + c = 0 a seguir.

onde o coeficiente de x² é um (a = 1). ( )2e6

( )–8e1

( )–3e–4

a) z² − 7z – 30 = 0

b) 4x²  12x + 9 = 0

2) Determine a soma (S) e o produto (P) das raízes das equações: a) x² – 6x – 7 = 0

(S) = ______ (P) = ______

b) 3y² + 4y + 1 = 0

(S) = ______ (P) = ______

3) Se a soma das raízes da equação x² – ( 2k – 3)x – 12 = 0 é igual a 7, determine o valor de k:

7) Descubra o produto das raízes da equação x²  3mx + 4m = 0, sabendo que a soma de suas raízes é 6.

4) Na equação 4y² – 8y + 4p = 0, o produto de suas raízes é 1. Determine o valor de p.

26


EQUAÇÃO DE 2.º GRAU – COMPOSIÇÃO Nossa! Na atividade 5 da página anterior, montamos uma equação!

Será que podemos compor equações a partir das raízes?

Veja como pensei!

Pensando... x-3=0  x=3 e

x + 4 = 0  x = 4

Então: (x  3) (x + 4) = 0  x² + x  12 = 0 Escreva uma equação de 2.º grau (ax² + bx + c = 0) que tenha Utilizando o produto de binômios, formados com os simétricos das raízes, também encontramos a equação.

raízes 3 e -4. Consideremos o coeficiente a = 1. A soma das raízes é 3 + (4) = 1. b b Como a soma das raízes é =  ,   1  b  1 a 1 O produto das raízes é 12. c c  12  c  12. Como o produto das raízes é = , a 1

AGORA, É COM VOCÊ

!!!

Componha a equação ax² + bx + c = 0, em que a = 1 e suas

A equação é x² + x  12 = 0.

raízes são 5 e 3.

Resolva a equação e verifique se as raízes são 3 e 4.

Descobri! Se considerarmos a = 1, podemos compor uma equação de 2º grau usando a fórmula: x²  Sx + P = 0, sendo S a soma das raízes e P o produto delas. 27


EQUAÇÃO DE 2.º GRAU – CÁLCULO DE RAÍZES PELA SOMA E PELO PRODUTO AGORA, É COM VOCÊ

clipart

A minha última descoberta foi a mais incrível! Através da soma e do produto, é bastante simples achar as raízes das equações de 2.º grau, se as raízes forem números inteiros.

!!!

Descubra os dois números inteiros que atendam às condições propostas a seguir: a) se somados dão 6 e se multiplicados resultam em 5? ______. b) cujo produto é 15 e cuja soma é  8. São eles: ____ e _____ . c) cujo produto é  30 e cuja soma é -1. São eles: _______.

Vamos brincar um pouco? Diga 2 números que, somados, deem 7 e cujo produto seja 10.

FIQUE LIGADO!!! Se o produto de 2 números for

Soma 7: 0 e 7, 1 e 6, 2 e 5, 3 e 4.

positivo, os números têm sinais iguais.

O par, cujo produto é 10, é 2 e 5.

negativo, os números têm sinais diferentes.

Montando o produto, temos: (x – 2 ) (x – 5 ) = 0  x²  2x  5x + 10 = 0

Se os 2 números possuem

x²  7x + 10 = 0

sinais iguais, a soma é o resultado da adição módulos com o mesmo sinal desses números.

Resolva a equação e verifique se as raízes são 2 e 5.

de seus

sinais diferentes, a soma é o resultado da subtração de seus módulos com o sinal do número com maior módulo. Lembre-se de que • o módulo ou valor absoluto de um número real é o próprio número, se ele for positivo. • o módulo ou valor absoluto de um número real será o seu simétrico, se ele for negativo. 28


EQUAÇÃO DE 2.º GRAU – CÁLCULO DE RAÍZES PELA SOMA E PELO PRODUTO 2) Determine as raízes da equação x² + 3x  28 = 0, utilizando a soma e o produto das raízes.

clipart

Mas como podemos utilizar a soma e o produto para descobrir as raízes de uma equação de 2.º grau?

clipart

Sabemos que uma equação do tipo ax² + bx + c = 0, em que a = 1 pode ser determinada por x²  Sx + P = 0, onde S é a soma e P o produto das raízes.

AGORA, É COM VOCÊ

!!!

1) Utilizando a soma e o produto das raízes, determine as raízes das seguintes equações:

3) Agora que você está craque, resolva, mentalmente, as

a) x²  9x + 18 = 0.

equações a seguir. a) x²  9x + 14 = 0 b) y² + 6y + 8 = 0

b) 2z² + 4z  30 = 0.

c) z²  z  12 = 0 d) w² + 5w  6 = 0 e) x² + 4x + 4 = 0

29


LOCALIZAÇÃO DE NÚMEROS IRRACIONAIS NA RETA NUMÉRICA Agora, resolva a equação y²  2 = 0. Localize, aproximadamente, suas raízes na reta numérica. clipart

É um pouco mais de 1,4.

Observe as setas. Quais delas apontam para os valores mais próximos das raízes dessa equação?

Entre que inteiros está clipart

2?

1 1

Sendo a equação y ²  3 y  0 , determine suas raízes e

4 2

assinale, na reta, a localização mais próxima dessas raízes.

Eu utilizei a calculadora.

30


SEMELHANÇA DE POLÍGONOS Trace, num papel quadriculado, uma figura similar à figura abaixo.

Essas duas fotos são semelhantes.

clipart

Observe os trapézios ACFD e BCFE. Meça os ângulos de cada trapézio.

Essas duas fotos não são semelhantes.

Os ângulos correspondentes têm a mesma medida? _____ BC  ___________________________ Determine a razão AC BE EF e . Verifique se a razão é a mesma em CF DF

Podemos concluir que os trapézios ACFD e BCFE são semelhantes.

FIQUE LIGADO!!! Descobrimos que dois trapézios são semelhantes quando seus ângulos correspondentes são congruentes (têm a mesma medida) e seus lados correspondentes são proporcionais.

Em Matemática, para que a redução de uma figura seja semelhante à figura original é necessário que se mantenham as devidas proporções. 31


SEMELHANÇA DE POLÍGONOS AGORA, É COM VOCÊ

!!!

3) Verifique se os trapézios abaixo são semelhantes. Justifique sua resposta.

1) As figuras abaixo são semelhantes. Sendo assim, determine

6cm

3cm

as medidas x e y. y

6cm

8cm

4 cm

6 cm

x

10cm

20 cm 15 cm

10cm

Encontramos a razão de semelhança, observando as duas figuras:

4) Um quadrado cujo lado mede 7 cm e um losango cujo 2) Sabendo que a razão de semelhança entre dois quadrados é

lado também mede 7 cm são semelhantes?

3 e que o lado do maior desses quadrados mede 16 cm, 4 podemos afirmar que o lado do menor quadrado mede ___cm.

32


SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Trace, em uma folha de papel quadriculado, um triângulo cujos lados meçam 3 cm, 4 cm e 5 cm.

Trace, em uma folha de papel quadriculado, dois triângulos retângulos como o modelo abaixo.

Observe abaixo.

Meça seus lados e ângulos e verifique se são semelhantes. F C

A

Multiplique por 2 as medidas dos lados do triângulo traçado e

60° 3cm

60° B

D

E 5cm

construa, na folha de papel quadriculado, o novo triângulo.

Recorte os triângulos e sobreponha seus ângulos correspondentes. O que descobriu? _____________________________________________________ _____________________________________________________ _____________________________________________________

33

É possível desenhar quadriláteros, pentágonos, hexágonos e outros polígonos com lados proporcionais e ângulos diferentes. Porém, com os triângulos não é possível desenhá-los desta maneira.


SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS AGORA, É COM VOCÊ

!!!

2) De acordo com a figura abaixo, responda:

1) Determine as medidas dos lados dos triângulos ABC e 1 CDE, sabendo que são semelhantes numa razão de . 3 A

4

A 10cm

B

D

6cm 3cm B

AC   ___ __ CE



 C 4cm

E

a) Os triângulos ABE e DCE são semelhantes?

b) Qual é a razão de semelhança entre os triângulos ABE e DCE?

c) Qual é a medida de DE ?

d) Qual é a medida de BE ?

34


TRIÂNGULO RETÂNGULO A Preciso reforçar esse teto!

H H

Qual será a medida da viga de sustentação?

A A C B B H Analisando o triângulo retângulo ABC... a) Qual é o nome dado ao ladoBC ? ________________

redesul.am.br

b) Qual é o cateto maior? ________________ c) Qual é o cateto menor? ________________ d) O triângulo HBA é semelhante ao triângulo ABC?

todaoferta.uol.com.br

O triângulo ABC é retângulo em Â. AH é a altura relativa à hipotenusa.

e) O triângulo HAC é semelhante ao triângulo ABC?

C A H

A

B

B

H

C

f) Os triângulos HBA e HAC são semelhantes?

Um triângulo é chamado de retângulo quando um de seus ângulos é reto, isto é, mede 90º. Seus lados possuem nomes especiais. A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto. Os catetos são os lados que formam o ângulo de 90º. 35


C

TRIÂNGULO RETÂNGULO AGORA, É COM VOCÊ

!!!

d) O lado BD, do triângulo ABD, corresponde ao lado ________ do triângulo BCD, porque ambos os lados são

Observe o triângulo retângulo ABC, de ângulo reto em B e

opostos ao ângulo .

determine o que se pede.

. e) O lado AD, do triângulo ABD, corresponde ao lado _____

B 

do triângulo BCD, porque ambos os lados são opostos aos



ângulos  e  , sabendo que  = .

6 A



4 D



f) Se o lado BD mede 6 cm e o lado CD mede 4 cm, então

C

o lado AD mede ______.

a) Podemos afirmar que a medida do ângulo  é igual à medida BD ___  CD BD

de ? _____ Por quê? ___________________________________________________



___ ___  ___ ___

 ___ x  ___  ___  x  ____

___________________________________________________ b) Podemos afirmar que o triângulo ABD é semelhante ao triângulo BCD? _____ Por quê?

TRIÂNGULO RETÂNGULO

___________________________________________________ ___________________________________________________ c) O lado AB, do triângulo ABD, corresponde ao lado ________ do triângulo BCD, porque ambos os lados são opostos ao ângulo reto.

36


RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULO A 1.ª relação eu descobri. Se eu somar as medidas das projeções dos catetos, obtenho a hipotenusa. • Então, a = ____+ _____  (1.ª relação)  Nomeando as medidas dos segmentos que compõem o

Comparando os dois triângulos maiores. A A

triângulo retângulo... 

São elas:

b

c

a → a medida da hipotenusa b → a medida de um cateto

B

c → a medida do outro cateto

b

h C H

a

m

C

Como os triângulos ABC e HAC são semelhantes, percebo a

h → a medida da altura

igualdade com os lados correspondentes.

A altura divide a hipotenusa em dois segmentos (m e n), que

AC BC  HC AC

são as projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.



b a  m b

Multiplicando meios e extremos...

m → é a medida da projeção ortogonal de b.

b . b = a . ___ → _________

n→ é a medida da projeção ortogonal de c.

A 2.ª relação mostra que o quadrado do cateto b é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto. • Então, b² = am  (2.ª relação)

Já sei que, ao traçar a altura relativa à hipotenusa, num triângulo retângulo, obtenho três triângulos retângulos semelhantes. Agora, vou verificar as relações que posso obter com as medidas de seus lados. 37


RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO RETÂNGULO Comparando o triângulo maior com o menor.

A

Comparando os triângulos menores...

A

A b

c

c

h c

B

C

H n Como os triângulos ABC e HBA são semelhantes, percebo a a

B



h

n

b

h

B

igualdade com os lados correspondentes. AB BC  HB AB

A

m

H

H

C

Como os triângulos HBA e HAC são semelhantes, percebo a igualdade com os lados correspondentes.

c a  n c

HA BH  HC HA

Multiplicando meios e extremos... c . c = a . ___ → _________



h n  m h

Multiplicando meios e extremos... h . h = m . n→ _____________

A 3.ª relação mostra que o quadrado do cateto c é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto. • Então, c² = a.n  (3.ª relação)

A 4.ª relação mostra que o quadrado da medida da altura é igual ao produto das projeções dos catetos. • Então, h² = mn  (4.ª relação)

38


RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO RETÂNGULO Retomando o projeto (página 34) ... Comparando os dois triângulos maiores novamente... A

A

A

3m

b

c B

a

b

h C

H

4m

m

B

C

C

H

5m

BC AB  AC AH



a c  b h De acordo com as medidas da figura acima, complete e

Multiplicando meios e extremos...

calcule a medida do comprimento da viga de sustentação.

a . ___= ____ . c → ____________

a) Considerando as representações das medidas dos elementos de um triângulo retângulo... Na 5.ª relação, descobri que o produto da medida da hipotenusa, pela medida da altura relativa a ela, é igual ao produto das medidas dos catetos.  Então, ah = bc  (5.ª relação)

a = ____

b = ___

c = ___

h = ____

b) Utilizando a 5.ª relação... ah = bc

_______________________________

c) A viga de sustentação deve medir ________ m.

A 5.ª relação é que irá nos ajudar a resolver o projeto da viga no telhado que precisa ser reforçado.

39


TEOREMA DE PITÁGORAS A área do quadrado claro é a². Para achar a área do quadrado claro, podemos calcular a área do quadrado grande e tirar a área desses 4 triângulos retângulos escuros.

 que Pitágoras é conhecido pelo famoso teorema que leva seu nome? Era filósofo e astrônomo, além de matemático?

Imagem retirada de http://www.suapesqui sa.com/pesquisa/pita goras.htm

 que Pitágoras foi o fundador de uma escola de pensamento grega denominada, em sua homenagem, de Pitagórica, cujos princípios foram determinantes para a evolução geral da Matemática e da Filosofia Ocidental?

Vamos calcular a área do quadrado escuro: a) Se o lado do quadrado grande é b + c, a área da figura toda é (b + c)².

Existem mais de 350 demonstrações do Teorema de Pitágoras.

b) Desenvolvendo esse quadrado:

A próxima atividade utilizará um processo com base em uma dessas demonstrações.

(b + c)² = b² + 2bc + c²

Nesta figura, vemos dois quadrados:

c) A área de cada triângulo retângulo é a metade da área de

 Um claro de lado a.

um retângulo de lados b e c. Veja!

Um escuro de lado (b + c).

bc 2 4bc  2bc Quatro triângulos  2

Um triângulo  b c

d) Retirando, da superfície do quadrado escuro, a área dos quatro triângulos retângulos, temos: b² + 2bc + c² - 2bc = b² + c² e) Igualando as áreas do quadrado claro, temos a fórmula de Pitágoras  a² = b² + c²

40


TEOREMA DE PITÁGORAS Oi, amigos! Sou treinador de um time de futebol da minha comunidade. Gosto de mostrar diversas jogadas para que os jogadores conheçam boas estratégias de jogo. Esta jogada é uma delas. Observe.

Também podemos demonstrar o Teorema de Pitágoras usando as relações que encontramos. Observe.

Na soma b² + c², substituímos o b e o c pelas expressões que deduzimos.

Imagem adaptada de: http://www.google.com.br/ em 4/6/10

b² = am e c² = an. Então, b² + c² = __________ Colocando a em evidência, temos : b² + c² = _____ Como m + n = a, encontramos: b² + c² = a . _____ Logo, b² + c² = a²

FIQUE LIGADO!!! RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULO

Determinando as distâncias dos jogadores 1, 2 e 3, nesse momento, é possível ver que suas posições formam um triângulo retângulo e que a distância entre o jogador 1 e a bola é a altura relativa à hipotenusa desse triângulo.

a=m+n  b² = am  c² = an  h² = mn  ah = bc  a² = b² + c² 41


RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULO AGORA, É COM VOCÊ

!!!

A distância do ► jogador 2 até a bola é de 3,2 m. ► jogador 3 até a bola é de 1,8 m.

2. Qual é a distância entre os jogadores 2 e 3?

3. Qual é a distância, em metros, entre os jogadores 1 e 2? 1. De acordo com as representações das medidas de um triângulo retângulo e pensando no triângulo maior, podemos dizer que

4. Determine a distância entre os jogadores 1 e 3.

 a distância entre os jogadores 2 e 3 é a __________________.  a distância entre os jogadores 1 e 2 é o _______________.  a distância entre os jogadores 1 e 3 é o _________________.

5. Escolha uma fórmula adequada e determine a distância

a distância entre o jogador 1 e a bola é a _____________.

entre o jogador 1 e a bola.

 a distância entre o jogador 2 e a bola é _______________ _______________________________. a distância entre o jogador 3 e a bola é __________________________________.

42


RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULO 1. Um cabo de aço ligará 2 prédios (veja o desenho abaixo). Determine a medida x do cabo de aço. 3. Determine o valor de x, y, z e w no triângulo retângulo abaixo:

x

A 40 m

z

w y

25 m 20 m

B

A medida x é de ________________.

18

C

H 50

2. Determine o valor de x no triângulo retângulo abaixo: A

B

4

5 H

C

a 43


RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULO c) Calcule, primeiro, x, depois, y e, por último, o valor de z. Assim, ficará mais fácil.

4. Jorge quer cercar seu terreno. Sua forma e algumas de suas dimensões estão representadas na figura abaixo.

Resolução da questão:

18 m

13 m

12 m

32 m

a) Trace uma paralela à altura pelo outro vértice superior da figura. b) As medidas que você deverá encontrar estão assinaladas como x, y e z na figura a seguir. 18 m

13 m

z

12 m

x

y 32 m 44


RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULO 5. Um quadro será restaurado. Para tal, sua moldura foi

6. Determine a medida de x nos quadrados abaixo:

retirada. Para que a moldura se mantenha intacta, foi colocada uma tira de madeira na diagonal. Veja o modelo.

a)

x

5

1

1 b)

Sabendo que a moldura é quadrada e seu lado mede

4 2

1 metro, qual deve ser a medida da tira de madeira? x

7. Determine a medida da altura do triângulo equilátero abaixo:

h

6

Dos valores assinalados na reta numérica abaixo, o mais próximo de 2 é o ____ .

45


TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO d) Observando a tabela, podemos garantir que ela vendeu

Paula faz tortas para cobrir seus gastos pessoais. Assim, não

mais tortas em _______ e menos tortas em _______.

compromete o orçamento doméstico. Controlo direitinho todo dinheiro que recebo com as tortas. Observe a tabela que fiz para controlar a quantia que sobra ao final do mês.

A quantia que sobra, em cada mês, coloco na Caderneta de Poupança.

De acordo com a afirmação de Paula, desde o início deste ano, ela colocou R$ _________na Caderneta de Poupança.

CONTROLE DE 2014 Janeiro

Fevereiro

Março

Abril

Maio

R$

R$

R$

R$

R$

Recebi pelas tortas

480

320

600

280

640

Gastos pessoais

250

Sobra

230

150

420

300

180

̶ 20

Sabendo que Paula cobra, por torta, R$ 40,00, complete o quadro abaixo. TORTAS VENDIDAS

Janeiro Nº de tortas

400

Fevereiro

Março

Abril

Maio

12

Monte um gráfico de colunas, utilizando a tabela acima.

De acordo com a tabela acima, determine o que se pede. a) O mês em que Paula teve a maior sobra foi __________, no valor de R$ _________. b) Ela teve que usar parte do orçamento doméstico para cobrir seus gastos em __________, no valor de R$ _______. c) O maior gasto pessoal foi em ________, no valor de R$ _____________. 46


TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO O gráfico de colunas mostra as notas, de 0 a 5, dos alunos

O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) fez

de uma turma, em um teste de Geografia.

uma análise sobre a taxa de desemprego no Brasil, dos anos de 2002 a 2008, que gerou o gráfico abaixo.

0

1

2

3

4

a) Quantos alunos tiraram nota 3? ____

5

E nota um? _____

b) Complete a tabela com os dados do gráfico: Notas

0

Nº de alunos

2

1

2

3

4

5 Fonte IBGE

De acordo com esse gráfico, podemos afirmar que

c) Sabendo que todos os alunos da turma fizeram o teste,

a) o ano de _________ teve a maior taxa de desemprego desse período.

quantos alunos há nessa turma? ______

b) O maior número de habitantes empregados, nesse período, foi em ___________.

d) Qual foi a média da turma? _______

c) A maior queda, na taxa de desemprego, desse período, foi nos anos de _________ e ________.

e) Quantos alunos ficaram abaixo da média da turma?______ 47


equação de 2º grau - incompleta - Prefeitura do Rio

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