FCTM - Mecânica dos Fluidos – Exercícios e gabarito – Capítulo 3 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 1 Exercícios -
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cilindro é 10 cm e do pistão é 9 cm e entre os dois existe óleo com = 10-4 m2/s e = 8000 N/m3. Com Franco Brunetti – Capítulo I que velocidade deve subir o cilindro para qie o pistão permaneça em repouso? (Supor diagrama linear e g = 1. A viscosidade cinemática de um óleo é 10 m/s2). de 0.028 m2/s e o seu peso específico relativo é de 0.85. Encontrar a viscosidade dinâmica em unidades do sistemas MKS, CGS e SI (g=10 m/s2). L = 5 cm fluido 2. A viscosidade dinâmica de um óleo é de 5 . 10-4 kgf.s/m2 e seu peso específico relativo é 0.82. Encontre a viscosidade cinemática nos sistemas MKS, SI e CGS (g=10m/s2 e a = 1000kgf/m3. D1 3. O peso de 3 dm3 de certa substância é 23.5 N. A viscosidade cinemática é 10-5 m2/s. Se g = 10 m/s2, qual será a viscosidade dinâmica nos sistemas CGS, MKS e SI? 4. São dadas duas placas planas paralelas à distância de 2mm. A placa superior move-se com velocidade de 4m/s, enquanto a inferior é fixa. Se o espaço entre as placas for preenchido com óleo ( = 0.1 St; = 830 kg/m3), qual será a tensão de cisalhamento que agirá no óleo? v = 4m/s
2 mm
Resposta: = 16,6 N/m2. 5. Uma placa quadrada de 1.0 m de lado e 20 N de peso desliza sobre um plano inclinado de 30°, sobre uma película de óleo. A velocidade da placa é de 2m/s constante. Qual a velocidade dinâmica do óleo se a espessura da película é de 2mm? 2 mm
D2 Resposta: v = 22,1 m/s 7. Num tear, o fio é esticado passando por uma fieira e é enrolado num tambor com velocidade constante. Na fieira, o fio é lubrificado e tingido por uma substância. A máxima força que pode ser aplicada no fio é 1N, pois, ultrapassando-a, ela se rompe. Sendo o diâmetro do fio 0,5mm e o diâmetro da fieira 0,6mm, e sendo a rotação do tambor 30 rpm, qual é a máxima viscosidade do lubrificante e qual é o momento necessário no eixo do tambor? R.: M = 0,1N.m2; = 0,1 N.s/m2 Resposta: M=0,1 N.m; = 0,1 N.s/m2. 8. Ao girar, o eixo provoca a rotação do tambor. Este enrola a corda, que levanta um peso de 10N com uma velocidade constante de 0,5 m/s. O fluido existente entre o eixo e o tambor tem = 0,1 N.s/m2 e apresenta um diagrama linear de velocidades. Pede-se: (a) a rotação do eixo; (b) o momento provocado pelo fluido contra a rotação do eixo. Dados: R1 = 10 cm; R2 = 10,1 cm; R3 = 20 cm. lubrificante 0,6mm 0,5mm
fieira fio
n = cte
2m/s
20 N
L = 10cm
30°
Tambor D=0.2m
Resposta: = 10-2 N.s/m2. 6. O pistão da figura tem uma massa de 0.5 kg. O cilindro de comprimento ilimitado é puxado para cima com velocidade constante. O diâmetro do
Peso Resposta: (a) n=125 rpm; (b) Meixo=2,47 N.m.
FCTM - Mecânica dos Fluidos – Exercícios e gabarito – Capítulo 3 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 2 9. O turbocompressor de um motor de combustão interna tem uma rotação de 120000rpm. Os mancais do eixo são flutuantes e giram com uma certa rotação. São dados: = 8.10-3 N.s/m2; D1=12mm, D2=12.05mm; L=20mm. Nas condições de equilíbrio dinâmico da rotação dada, pede-se: (a) a rotação do mancal flutuante. (b) o momento resistente à rotação que age no eixo do turbocompressor relativo aos mancais.
1
Mancais flutuantes A
2 CP
2
D
Resposta: 1 2 TB
32M t D 4
11. A placa da figura tem 4 m2 de área e espessura desprezível. Entre a placa e o solo existe um fluido que escoa, formando um diagrama de velocidades dado por:
A L
v 20 yvmax 1 5 y
CP: Compressor TB: Turbina óleo mancal flutuante eixo
A viscosidade dinâmica do fluido é 10N.s/m e a velocidade máxima do escoamento é 4m/s. Pede-se: (a) o gradiente de velocidades junto ao solo. (b) a força necessária para manter a placa em equilíbrio. Resposta: (a) -80 m/s; (b) 3,2 N 2
2
Placa D1 vmax D2
20 cm
D3 D4 Corte A-A sem escala Resposta: (a) 40,533 rpm; (b) 0,14 N.m 10. Dois discos são dispostos coaxialmente face a face, separados por um filme de óleo lubrificante de espessura pequena. Aplicando um momento no disco (1), ele inicia um movimento em torno de seu eixo, através de um fluido viscoso, estabelece-se o regime, de tal forma que as velocidades angulares 1 e 2 ficam constantes. Admitindo o regime estabelecido, determinar em função a 1 e 2.
Solo
F
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a pequena variação de pressão sobre a superfície da janela.)
14.8 Qual deve ser a pressão manométrica desenvolvida por uma bomba para bombear água do 14.1 Fazendo um biscate, você foi fundo do Grand Canyon (a uma altura de 730 m) até o solicitado a transportar uma barra de ferro de 85.8 Indian Gardens (a 1370 m)? Expresse a resposta em cm de comprimento e 2,85 cm de diâmetro de um pascais e em atmosferas. depósito até um mecânico. Você precisará usar um carrinho de mão? (Para responder, calcule o peso da 14.9 O líquido no manômetro de tubo aberto barra.) indicado na Figura é o mercúrio, y1 = 3,00 cm e y2 = 7,00 cm. A pressão atmosférica é igual a 980 14.2 A Lua possui massa de 7,35 . 1022 kg e milibares. raio igual a 1740 km. Qual é sua densidade média? (a) Qual é a pressão absoluta no fundo do tubo em forma de U? 14.3 Você compra uma peça retangular de (b) Qual é a pressão absoluta no tubo aberto metal com massa de 0,0158 kg e com dimensões 5,0 a uma profundidade de 4.0 cm abaixo da superfície x 15,0 x 30.0 mm. O vendedor diz que o metal é livre? ouro. Para verificar se é verdade você deve calcular (c) Qual é a pressão absoluta do gás no a densidade média da peça. Qual o valor obtido? tanque? Você foi enganado? (d) Qual é a pressão manométrica do gás em pascais? 14.4 Um seqüestrador exige como resgate um cubo de platina com 40.0 kg. Qual é o comprimento da aresta? SEÇÃO 14.2 DENSIDADE
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SEÇÁO 14.3 PRESSÃD EM UM FLUIDO 14.5 Um barril contém uma camada de óleo de 0.120 m flutuando sobre água com uma profundidade igual a 0,250 m. A densidade do óleo é igual a 600 kg/m3 (a) Qual é a pressão manométrica na interface entre o óleo e a água? (b) Qual é a pressão manométrica no fundo do barril? 14.6 Um veículo esportivo vazio pesa 16.5 kN. Cada pneu possui uma pressão manométrica igual a 205 kPa. (a) Qual é a área total de contato dos quatro pneus com o pavimento? (Suponha que as paredes dos pneus sejam flexíveis de modo que a pressão exercida pelo pneu sobre o pavimento seja igual à pressão do existente no interior do pneu.) (b) Qual é a área total, considerando a mesma pressão manométrica do pneu, quando o peso total dos passageiros e da carga for igual a 9,1 kN? 14.7 Você está projetando um sino de mergulho para agüentar a pressão da água do mar até uma profundidade de 250 m. (a) Qual é a pressão manométrica nesta profundidade? (Despreze as variações de densidade da água com a profundidade.) (b) Sabendo que, para esta profundidade, a pressão dentro do sino é igual à pressão fora do sino, qual é a força resultante exercida pela água fora do sino e pelo ar dentro do sino sobre uma janela de vidro circular com diâmetro de 30,0 cm? (Despreze
14.10 Existe uma profundidade máxima na qual uma mergulhadora (Figura 14.33) pode respirar através de um tubo snorkel (respirador), porque à medida que a profundidade aumenta, a diferença de pressão também aumenta, tendendo n produzir um colapso dos pulmões da mergulhadora.
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Como o snorkel liga o ar dos pulmões com a atmosfera sobre a superfície livre, a pressão no interior dos pulmões é igual a uma atm. Qual é a diferença de pressão entre o exterior e o interior dos pulmões da mergulhadora a uma profundidade igual a 6.1 m? Suponha que a mergulhadora esteja mergulhada em água doce. (Um mergulhador usando uma snorkel (tanque com ar comprimido) respirando o ar comprimido deste dispositivo pode atingir profundidades muito maiores do que um mergulhador usando o snorkel. uma vez que a pressão do ar comprimido no interior da snorkel compensa o aumento da pressão da água no exterior dos pulmões.) 14.11 Um curto-circuito elétrico impede o fornecimento da potência necessária para um submarino que está a uma profundidade de 30 m abaixo da superfície do oceano. A tripulação deve empurrar uma escotilha com área de 0.75 m2 e peso igual a 300 N para poder escapar do fundo do submarino. Se a pressão interna for igual a l,0 atm, qual é a força para baixo que eles devem exercer para abrir a escotilha?
SEÇÃO 14.4 EMPUXO 14.15 Um bloco de gelo flutua sobre um lago de água doce. Qual deve ser o volume mínimo do bloco para que uma mulher de 45,0 kg possa ficar em pé sobre o bloco sem que ela molhe seus pés? 14.16 Uma amostra de minério pesa 17,50 N no ar. Quando a amostra é suspensa por uma corda leve e totalmente imersa na água, a tensão na corda é igual a 11,20 N. Calcule o volume total e a densidade da amostra. 14.17 Um objeto com densidade média flutua na superfície livre de um fluido com densidade fluido. (a) Qual é a relação entre estas duas densidades? (b) Levando em conta a resposta do item (a), como um navio de aço flutua na água? (c) Em termos de e de fluido qual é a fração do objeto que fica submersa e qual é a fração do objeto que fica acima da superfície do fluido? Verifique se suas respostas fornecem os limites correios quando fluido e 0. (d) Quando você está a bordo do seu iate, seu primo Tobias corta de um salva-vidas uma peça retangular (dimensões de 5,0 x 4,0 x 3,0 cm) e a joga no mar. A peça possui massa igual a 42 g. Quando ela flutua no oceano, que fração fica acima da superfície?
14.12 Você foi convidado a projetar um tanque de água cilíndrico pressurizado para uma futura colônia em Marte, onde a aceleração da gravidade é igual a 3,71 m/s. A pressão na superfície da água deve ser igual a 130 kPa e a profundidade deve ser igual a 14,2 m. A pressão do ar no edifício fora do tanque deve ser igual a 93 kPa. Calcule a 14.18 Uma esfera de plástico oca é mantida força resultante para baixo sobre a base do tanque de submersa em um lago de água doce amarrada em área igual a 2,00 m2 exercida pelo ar e pela água no uma corda presa no fundo do lago. O volume da interior do tanque e pelo ar no exterior do tanque. esfera é igual a 0,650 m³ e a tensão na corda é igual a 900 N. 14.13 Em um foguete um tanque com (a) Calcule a força de empuxo exercida pela tampa pressurizada contém 0,250 m3 de querosene água sobre a esfera, de massa igual a 205 kg. A pressão na superfície (b) Qual é a massa da esfera? superior do querosene é igual a 2,01.105 Pa. O (c) A corda se rompe e a esfera sobe até a querosene exerce uma força igual a 16,4 kN sobre o superfície. Quando ela atinge o equilíbrio, qual é a fundo do tanque, cuja área é igual a 0,0700 m . fração do volume da esfera que fica submersa? Calcule a profundidade do querosene. 14.14 O pistão de um elevador hidráulico de carros possui diâmetro igual a 0,30 m. Qual é a pressão manométrica em pascais, necessária para elevar um carro com massa igual a 1200 kg? Expresse esta pressão também em atmosferas.
14.19 Um bloco de madeira cúbico com aresta de 10,0 cm flutua sobre uma interface entre uma camada de água e uma camada de óleo, com sua base situada a l,50 cm abaixo da superfície livre do óleo (Figura 14.34). A densidade do óleo é igual a 790 kg/m3. (a) Qual é a pressão manométrica na face superior do bloco? (b) Qual é a pressão manométrica na face inferior do bloco? (c) Qual é a massa e a densidade do bloco?
FCTM - Mecânica dos Fluidos – Exercícios e gabarito – Capítulo 3 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 5 superficial da seiva igual à da água a 20°C. Esta situação é diferente daquela indicada na Figura 14.15: neste caso é o arque desloca a seiva nos interstícios.) 14.25 Uma película de água de sabão possui 22cm de largura e está a 200C. O fio que desliza possui massa igual a 0,700g. Qual é o módulo necessário T da força que puxa para baixo para manter o fio em equilíbrio? SEÇÃO 14.6 ESCOAMENTO DE UM FLUIDO
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14.26 A água escoa em um tubo cuja seção reta possui área variável e em todos os pontos a água enche completamente o tubo. No ponto 1 a seção reta possui área igual a 0,07m2 e o módulo da velocidade do fluido é igual a3,50 m/s. (a) Qual é a velocidade do fluido nos pontos 14.20 Um lingote de alumínio sólido pesa para os quais a seção reta possui área igual a 89 N no ar. (i) 0,105m2? (a) Qual é g o seu volume? (ii) 0,047m2? (b) O lingote é suspenso por uma corda (b) Calcule o volume de água descarregada leve e totalmente imersa na água. Qual é a tensão na pela extremidade aberta do tubo em 1 hora. corda (o peso aparente do lingote na água)? 14.27 A água escoa em um tubo cilíndrico SEÇÃO 14.5 TENSÃO SUPERFICIAL cuja seção reta possui área variável e em todos os pontos a água enche completamente o tubo. 14.21 Ache a pressão manométrica em (a) Em um ponto onde o raio do tubo é igual pascais em uma bolha de s sabão com diâmetro igual a 0,150m. Qual é a velocidade da água nesse ponto se a 3,00 cm. A tensão superficial é igual a 25,0.10- a vazão volumétrica no tubo é igual a 1,20 m3/s? 3 N/m. (b) Em um segundo ponto a velocidade da água é igual a 3,80 m/s. Qual é o raio do tubo nesse 14.22 Calcule o excesso de pressão a 20°C ponto? (a) no interior de uma gota de chuva grande com raio igual a l ,00 mm; 14.28 Deduza a equação da continuidade. (b) no interior de uma gota de água com Quando a densidade cresce 1.50% de um raio igual a 0,0100 mm (típica de uma gotícula no ponto 1 até um ponto 2, o que ocorre com a vazão nevoeiro). volumétrica? 14.23 Como ficar em pé sobre a água. Estime a força da tensão superficial para cima que deveria ser exercida sobre seus pés para que você pudesse ficar em pé sobre a água. (Você precisa j medir a área dos seus pés.) Qual deveria ser o peso máximo de um corpo que poderia ser sustentado pela água desta maneira? 14.24 Por que as árvores não fazem sucção do ar? Verificou-se que as pressões negativas que ocorrem nos tubos que transportam a seiva de uma árvore alta podem atingir cerca de - 20 atm. Estes tubos encontram-se abertos no topo em contato com o ar e a água pode evaporar das folhas. Porém se as pressões são negativas, por que o ar não é sugado para as folhas? Para responder a esta pergunta estime a diferença de pressão necessária para forçar o ar através dos interstícios das paredes das células no interior das folhas (diâmetros da ordem de 10~8 m) e explique por que o ar exterior não pode penetrar nas folhas. (Considere a tensão J
SEÇÃO 14.7 EQUAÇÃO E BERNOULLI 14.29 Um tanque selado que contém água do mar até uma altura igual a 11,0m também contém ar acima da água a uma pressão manométrica igual a 3,00 atm. A água flui para fora através de um pequeno orifício na base do tanque. Calcule a velocidade de efluxo da água. 14.30 Um pequeno orifício circular com diâmetro igual a 6,00 mm é cortado na superfície lateral de um grande tanque de água, a profundidade de 14m abaixo da superfície livre da água. O topo do tanque está aberto para a atmosfera. Ache: (a) a velocidade de efluxo; (b) o volume de água descarregada por unidade de tempo. 14.31 Qual é a pressão manométrica necessária no tubo principal da rua para que uma mangueira de apagar incêndio ligada a ele seja capaz
FCTM - Mecânica dos Fluidos – Exercícios e gabarito – Capítulo 3 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 6 de lançar água até uma altura de 15m? (Suponha que o diâmetro do tubo principal seja muito maior do * 14.38 Água a 20°C se escoa em tubo de que o diâmetro da mangueira de apagar incêndio. raio igual a 8.50 mm. A viscosidade da água a 20°C é igual a l,005 centipoise. Se a velocidade da água no 14.32 Em um ponto de um encanamento a centro do tubo é igual a 0,200 m/s e o escoamento é velocidade da água é 3,00 /s e a pressão laminar, calcule a queda de pressão devida à manométrica é igual a 5,00.104Pa. Calcule a pressão viscosidade ao longo de 3,00 m de comprimento do manométrica em um segundo ponto do encanamento, 11,0m abaixo do primeiro, sabendo o tubo. diâmetro do cano no segundo ponto é igual ao dobro do diâmetro do primeiro.
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14.33 Sustentação sobre um avião. As linhas de corrente horizontais em torno das pequenas asas de um avião são tais que a velocidade sobre a superfície superior é igual a 70,0 m/s e sobre a superfície inferior é igual a 60,0 m/s. Se o avião possui massa igual a 1340 kg e a área da asa é igual a 162 m2, qual é a força resultante vertical (incluindo o efeito da gravidade) sobre o avião? A densidade do até 1.20 kg/m3.
* 14.39 Água a 20°C se escoa em tubo horizontal com 15,0 m de comprimento; o escoamento é laminar e a água enche completamente o tubo. Uma bomba mantém uma pressão manométrica igual a 1200 Pa em um tanque grande conectado a uma extremidade do tubo. A outra extremidade do tubo está aberta para o ar. A viscosidade da água a 200C é igual a l,005 centipoise. (a) Se o tubo possui diâmetro igual a 9,00 cm, qual é a vazão volumétrica? (b) Que pressão manométrica deve a bomba fornecer para produzir a mesma vazão volumétrica de um tubo com diâmetro igual a 3,00 cm? (c) Para o tubo da parte (a) e mantendo-se a mesma pressão manométrica da bomba, qual é a nova vazão volumétrica quando a água está a uma temperatura de 600C? (A viscosidade da água a 600C é igual a 0,469 centipoise.)
14.34 Uma bebida leve (essencialmente água) flui em um tubo de uma fábrica de cerveja com uma vazão volumétrica tal que deva encher 220 latas de 0.355L por minuto. Em um ponto 2 do tubo, situado a 1.35m acima do ponto 2, a área da seção reta é igual a 2.00 cm2. Obtenha: (a) a vazão mássica; (b) a vazão volumétrica; (c) as velocidades do escoamento nos * 14.40 O inseto Rhodinus pmlixus da América do Sul pontos 1 e 2; suga o sangue de mamíferos. Seu ferrão é semelhante (d) a pressão manométrica no ponto 1. a uma agulha hipodérmica muito fina (que permite 14.35 A água é descarregada de um tubo sugar o sangue de sua vítima sem causar dor, cilíndrico horizontal, com uma taxa de 465 cm3/s. portanto, sem que seja notado). A parte mais estreita Em um ponto do tubo onde o raio é 2.05 cm a da "agulha" possui diâmetro igual a 10 /um e pressão absoluta é igual a 1.60 105 Pa . Qual é o raio comprimento igual a 0,20 mm. a) Qual deve ser a do tubo em uma constrição onde a pressão se reduz pressão manométrica na cavidade da boca do inseto se ele sugar 0,25 cm de sangue em 15 minutos? para 1.20 105 Pa ? Expresse sua resposta em Pa e em atm. (A 14.36 Em dado ponto de um escoamento viscosidade do sangue em tal tubo fino é igual a l,0 cilíndrico horizontal a velocidade da água é igual a centipoise. Para obter uma resposta aproximada 2.50 m/s e a pressão manométrica é igual a aplique a equação de Poiseuille ao sangue, embora ele 1.80 104 Pa . Calcule a pressão manométrica em um seja um fluido não-newtoniano.) b) Por que não é segundo ponto do encanamento sabendo que o uma boa aproximação desprezar as dimensões das diâmetro do cano no segundo ponto é igual ao dobro outras partes do ferrão do inseto? do diâmetro do primeiro. * 14.41 Qual deve ser a velocidade de uma SEÇÃO 14.9 VISCOSIDADE esfera de alumínio com raio igual a 2,00 mm se deslocando em óleo de rícino a 20°C para que a força *14.37 Água a 20°C se escoa em tubo de de arraste devido à viscosidade seja igual a um quarto raio igual a 10,0 cm. A viscosidade da água a 20°C é do peso da esfera? (A viscosidade do óleo de rícino igual a l ,005 centipoise. (Se a velocidade da água para esta temperatura é igual a 9,86 poise.) no centro do tubo é igual a 2,50 m/s, qual é a * 14.42 Medida da viscosidade. Uma esfera velocidade da água de latão com massa igual a 0,35 g cai com velocidade (a) a 5,0 cm a partir do centro do tubo (na terminal igual a 5,0 cm/s em um líquido metade do caminho entre o centro e a parede)? desconhecido. Sabendo que a densidade do líquido é (b) sobre as paredes do tubo? igual a 2900 kg/m\ qual é a sua viscosidade?
FCTM - Mecânica dos Fluidos – Exercícios e gabarito – Capítulo 3 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 7 (a) Supondo que a água seja incompressível, qual é a pressão para essa profundidade? *14.43 Mantendo todas as demais (b) A pressão real nesse ponto é igual a grandezas constantes, o que ocorre com a vazão 8 volumétrica de um escoamento laminar quando 1.160 10 Pa ; o valor que você calculou deve ser menor que este porque na realidade a densidade da dobramos: água aumenta com a profundidade. (a) o diâmetro do tubo? Usando o valor da compressibilidade da água (b) a viscosidade? e o valor real da pressão, ache a densidade no fundo (c) a diferença de pressão? da fossa Marianas. Qual é a variação percentual da (d) o gradiente de pressão? densidade da água? (e) o comprimento do tubo?
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14.44 Para os arremessos normais de uma bola de basquete (exceto para os arremessos desesperados) a força de resistência do ar é desprezível. Para demonstrar isso, considere a razão da força da Lei de Stokes e o peso de uma bola de basquete de 0,6000 kg. A bola de basquete possui um raio igual a 0,124m e se move com velocidade de 5m/s no ar com densidade igual a 1,2 kg/m3. 14.45 Um feixe de laser muito estreito com elevada intensidade perfura um orifício cilíndrico no casco de uma espaçonave de ficção científica; o orifício possui comprimento de 0.180m e um raio de apenas 50.0 m. O interior da espaçonave possui pressão de 1 atm e ar a 200C com viscosidade igual a 181 Po começa a escapar com escoamento laminar para o vácuo no exterior da espaçonave. (a) Qual é a velocidade do ar ao longo do eixo do cilindro na extremidade externa e na metade da distância entre este ponto e o ponto externo? (b) Quantos dias serão necessários para que ocorra uma perda de 1m3 de ar através desse orifício? (Suponha que a pressão interna permaneça igual a 1 atm. (c) Qual seria o fator de multiplicação das respostas dos itens (a) e (b) se o raio do orifício dobrasse de valor e o escoamento permanecesse laminar?
14.48 Uma piscina mede 5.0 m de comprimento, 4.0 m de largura e possui 3.0 m de profundidade. Determine a força exercida pela água sobre: (a) o fundo da piscina; (b) sobre cada parte lateral da piscina (Sugestão: Calcule a força infinitesimal que atua sobre uma faixa horizontal situada a uma profundidade h e integre sobre a parede lateral.) Despreze a força produzida pela pressão do ar. 14.49 A aresta superior de uma comporta de uma represa está em contato com a superfície da água. A comporta possui altura de 2.00 m, largura de 4.00 m e possui uma articulação passando pelo seu centro. Calcule o torque produzido pela força da água em relação ao eixo da articulação. (Sugestão: Use o procedimento análogo ao adotado no problema 19.48; calcule o torque infinitesimal produzido por uma faixa horizontal situada a uma profundidade h e integre sobre a comporta).
Problemas 14.46 Em uma aula experimental, uma professora separa facilmente dois hemisférios ocos de aço (diâmetro D) usando as duas mãos. A seguir ela os encaixa novamente, bombeia o ar para fora da esfera até atingir a pressão absoluta p e coloca as faces opostas do hemisfério em um bodybuilder (um aparelho de ginástica usado para fazer exercícios de tração) para tentar separá-los. (a) Designando por p0 a pressão atmosférica, qual é a força que o bodybuilder deve exercer sobre cada hemisfério? (b) Avalie a resposta para o caso p = 0.025atm e D = 10.0cm.
14.50 Força e Torque sobre uma represa. Uma represa possui a forma de um sólido retangular. A face de frente para o lago possui área A e altura H. A superfície de água doce do lago atrás da represa está no mesmo nível do topo da represa. (a) Mostre que a força resultante horizontal exercida pela água sobre a represa é dada por 1 2 gHA , ou seja, o produto da pressão manométrica através da face da represa pela área da represa. (b) Mostre que o torque produzido pela força da água em relação ao eixo passando no fundo da
1 14.47 O ponto com maior profundidade de represa é dado por 6 gH A . todos os oceanos na Terra é a fossa das Marianas (c) Como a força e o torque dependem do com uma profundidade de 10.92 km. tamanho da represa? 2
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14.51 Um astronauta está em pé no pólo norte de um novo planeta descoberto com simetria esférica de raio R. Ele sustenta em suas mãos um recipiente que contém um líquido de massa m volume V. Na superfície do líquido a pressão é p0; a uma profundidade d abaixo da superfície, a pressão possui um valor maior que p. A partir dessas informações, determine a massa do planeta.
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(e) Mostre que a expressão obtida no item (d) fornece g = 0 no centro da Terra e g = 9,85 m/s2 na superfície da Terra, (f) Mostre que com este modelo g não diminui uniformemente com a profundidade e, ao contrário, atinge um valor máximo igual a
4 GA2 9B
= 10,01 m/s no ponto r = 2A/3 B = 5640 km.
14.52 Para calcular a densidade em um 14.54 No Exemplo 12.9 (Seção 12.7) vimos dado ponto no interior de um material, considere um pequeno volume dV em torno desseponto. Se a que no interior de um planeta com densidade massa no interior do volume for igual a dm, a constante (uma hipótese irreal para a Terra) a dm aceleração da gravidade cresce uniformemente com a distância ao centro do planeta. Ou seja, densidade no referido ponto será dada por
dV
rˆ
. Considere uma barra cilíndrica com massa M, raio g r g , onde g é a aceleração da gravidade na R R e comprimento L, cuja densidade varia com o quadrado da distância a uma de suas extremidades, superfície, r é a distância ao centro do planeta e R é o raio do planeta. O interior do planeta pode ser C x2 . considerado aproximadamente como um fluido 3M incompressível com densidade . (a) Mostre que C . 2 3 (a) Substitua a altura h na Equação (14.4) R L pela coordenada radial r e integre para achar a (b) Mostre que a densidade média, dada pressão no interior de um planeta com densidade m pela Equação é igual a um terço da constante em função de r. Considere a pressão na superfície igual a zero- (Isso significa desprezar a V pressão da atmosfera do planeta.) densidade na extremidade x = L. (b) Usando este modelo, calcule a pressão no 14.53 A Terra não possui uma densidade centro do Terra. (Use o valor da densidade média da constante; ela é mais densa em seu centro e menos Terra, calculando-a mediante os valores da massa e densa na sua superfície. Uma expressão aproximada do raio indicados no Apêndice F.) (c) Os geólogos estimam um valor para sua densidade é dada por r A Br , aproximadamente igual a 4.1011 Pa para a pressão no onde A =12.700 kg/m3 e B = 1,50. 103 kg/m4. centro da Terra- Este valor concorda com o que você Considere a Terra como uma esfera com raio R = calculou para r = 0? O que poderia contribuir para 6,37. 106 m. uma eventual diferença? (a) Evidências geológicas indicam que as densidades são de 13.100 kg/m3 no centro e de 2400 14.55 Um tubo em forma de ü está aberto em kg/m3 na superfície. Quais os valores previstos pela ambas as extremidades e contém uma porção de aproximação linear da densidade para estes pontos? mercúrio. Uma quantidade de água é cuidadosamente (b) Imagine a Terra dividida em camadas derramada na extremidade esquerda do tubo em esféricas concêntricas. Cada camada possuí raio r, forma de U até que a altura da coluna de água seja 2 espessura dr, volume dV 4 r dr e massa igual a 15.0 cm (Figura 14.36). (a) Qual é a pressão manométrica na dm r dr . Integrando desde r = 0 até r = R, interface água-mercürio? (b) Calcule a distância vertical h entre o topo mostre que a massa da Terra com este modelo é da superfície do mercúrio do lado direito e o topo da dada por: superfície da água do lado esquerdo. 4 3
M R3 A BR 3 4
(c) Mostre que os valores dados de A e B fornecem a massa da Terra com precisão de 0.4%. (d) Vimos na que uma camada esférica não fornece nenhuma contribuição de g no interior da camada. Mostre que esse modelo fornece:
4 3 g r Gr A Br 3 4
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14.56 A Grande inundação de melaço. Na tarde do dia 15 de janeiro de 1919, em um dia não usualmente quente em Boston, correu a ruptura de um tanque cilíndrico metálico com diâmetro de 27,4 m e altura de 27,4 m que continha melaço. O melaço inundou uma rua formando uma corrente com profundidade igual 9 m, matando pedestres e cavalos e destruindo edifícios. A densidade do melaço era igual a 1600 kg/m3. Supondo que o tanque estava completamente cheio antes do acidente, qual era a força total exercida para fora pelo melaço sobre a superfície lateral do tanque? (Sugestão: Considere a força para fora exercida sobre um anel circular da parede do tanque com largura dy situado a uma profundidade y abaixo da superfície superior. Integre para achar a força total para fora. Suponha que antes do tanque se romper, a pressão sobre a superfície do melaço era igual à pressão atmosférica fora do tanque.) 14.57 Uma barca aberta possui as dimensões indicadas na Figura (4.37. Sabendo-se que todas as partes da barca são feitas com placas de aço de espessura igual a 4,0 cm, qual é a massa de carvão que a barca pode suportar em água doce sem afundar? Existe espaço suficiente na parte interna da barca para manter esta quantidade de carvão? (A densidade do carvão é aproximadamente iguala 1500 kg/m3.)
14.60 Um cubo de gelo de massa igual a 9,70 g flutua em um copo de 420 cm completamente cheio de água. A tensão superficial da água e a variação da densidade com a temperatura são desprezíveis (quando ela permanece líquida), (a) Qual é o volume de água deslocado pelo cubo de gelo? (b) Depois que o gelo se fundiu complelamente, a água transborda? Em caso afirmativo, calcule o volume da água que transbordou. Em caso negativo, explique por que isto ocorre, (c) Suponha que a água do copo seja água salgada com densidade igual a 1050 kg/m3, qual seria o volume da água salgada deslocado pelo cubo de gelo de 9,70 g? (d) Refaça o item (b) para o caso de um cubo de gelo de água doce flutuando em água salgada. 14.61 Um bloco de madeira possui comprimento de 0,600 m, largura de 0,250 m, espessura de 0,080 m e densidade de 600 kg/m3. Qual deve ser o volume de chumbo que pode ser amarrado embaixo do bloco de madeira para que ele possa flutuar em água calma de modo que o seu topo esteja alinhado com a superfície da água? Qual é a massa deste volume de chumbo? 14.62 Um densímetro é constituído por um bulbo esférico e uma haste cilíndrica cuja seção reta possuí área igual a 0,400 cm (Figura 14.9a). O volume total do bulbo com a haste é igual a 13,2 cm'. Quando imerso em água, o densímetro flutua mantendo a haste a uma altura de 8,00 cm acima da superfície da água. Quando imerso em um fluido orgânico, a haste fica a uma altura de 3,20 cm acima da superfície. Ache a densidade do fluido orgânico. (Observação: Este problema ilustra a precisão deste tipo de densímetro. Uma diferença de densidade relativamente pequena produz uma diferença grande na leitura da escala do densímetro).
14.58 Um balão com ar quente possui volume igual a 2200 m3. O tecido (envoltório) do balão pesa 900 N. A cesta com os equipamentos e o tanque cheio de propano pesa 1700 N. Se o balão pode suportar no limite um peso máximo igual a 3200 N, incluindo passageiros, alimentos e bebidas, 14.63 As densidades do ar, do hélio e do sabendo-se que a densidade do ar externo é de l ,23 hidrogênio kg/m', qual é a densidade média dos gases quentes (para p = l,0atm e T= 293 K) são 1,20 kg/m3,0,166 no interior do balão? kg/m3 e 0,0899 kg/m , respectivamente, (a) Qual é o volume em metros cúbicos 14.59 A propaganda de um certo carro deslocado por um aeróstato cheio de hidrogênio sobre afirma que ele flutua na água. o qual atua uma força de "sustentação" total igual a (a) Sabendo-se que a massa do carro é igual 120 kN? (A "sustentação" é a diferença entre a força 900 kg e seu volume interno é de 3,0 m', qual é a de empuxo e o peso do gás que enche o aeróstato.) fração do carro que fica submersa quando ele flutua? (b) Qual seria a "sustentação" se o hélio Despreze o volume do aço e de outros materiais, fosse usado no lugar do hidrogênio? Tendo em vista (b) Através de uma passagem, a água sua resposta, explique por que o hélio é usado nos penetra gradualmente deslocando o ar do interior do modernos dirigíveis usados em propagandas. carro. Qual será a fração do carro que fica cheia quando ele afunda? 14.64 MHS de um objeto flutuando. Um objeto com altura h, massa M e área da seção reta A flutua verticalmente em um líquido com densidade.
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(a) Calcule a distância vertical entre a (a) Qual é a densidade do líquido? superfície do líquido e a parte inferior do objeto na (b) Qual será a leitura de cada balança posição de equilíbrio, quando o bloco A for retirado do líquido? (b) Uma força de módulo F é aplicada de cima para baixo sobre o topo do objeto. Em sua posição de equilíbrio, qual é a diferença entre a nova distância vertical entre a superfície do líquido e a parte inferior do objeto e a distância calculada no item (a)? (Suponha que uma pequena parte do objeto permaneça sobre a superfície do líquido.) (c) Sua resposta da parte (b) mostra que se a força for repentinamente removida- o objeto deverá oscilar para cima e para baixo executando um MHS. Obtenha o período deste movimento em função da densidade p do líquido, da massa M e da área da seção reta A do objeto. Despreze o amortecimento provocado pelo atrito do líquido (Seção 13.8). 14.65 Uma baliza cilíndrica de 950 kg flutua verticalmente na água do mar. O diâmetro da baliza é igual a 0,900 m. (a) Calcule a distância vertical adicional que a baliza deverá afundar quando um homem de 70,0 kg ficar em pé sobre ela. (Use a expressão deduzida na parte (b) do Problema 14.64.) (b) Calcule o período do MHS resultante quando o homem pular para fora da baliza.(Use a expressão deduzida na parTe (c) do Problema 14.64 e, como nesse problema, despreze o amortecimento provocado pelo atrito do líquido.) 14.66 Na água do mar um salva-vidas com volume igual a 0,0400 m3 pode suportar o peso de uma pessoa com massa igual a 75,0 kg (com densidade média igual a 980 kg/m3) mantendo 20% do volume da pessoa acima da água quando o salvavidas está completamente submerso. Qual é a densidade média do material que compõe o salvavidas? 14.67 Um bloco de madeira leve está sobre um dos pratos de uma balança de braços iguais sendo exatamente equilibrado pela massa de 0,0950 kg de um bloco de latão no outro prato da balança. Calcule a massa do bloco de madeira leve se a sua densidade for igual a 150 kg/m3. Explique por que podemos desprezar o empuxo sobre o bloco de latão, mas não o empuxo do ar sobre o bloco de madeira leve.
14.69 Uma barra de alumínio é completamente recoberta por uma camada de ouro formando um lingote com peso igual a 45,0 N. Quando você suspende o lingote em uma balança de mola e a seguir o mergulha na água, a leitura da balança indica 39,0 N. Qual é o peso do ouro na camada? 14.70 Uma bola solta cheia de hélio flutuando no interior de um carro com janelas e ventoinhas fechadas se move no sentido da aceleração do carro, porem uma bola frouxa com pouco ar em seu interior se move em sentido contrário ao da aceleração do carro. Para explicar a razão deste efeito, considere somente as forças horizontais que atuam sobre a bola. Seja a o módulo da aceleração do carro. Considere um tubo de ar horizontal cuja seção reta possui área A com origem no pára-brisa, onde x = 0 e p = p0 e se orienta para trás. Agora considere um elemento de volume de espessura dx ao longo deste tubo. A pressão em sua parte frontal é p e a pressão em sua parte traseira é p + dp. Suponha que o ar possua uma densidade constante p. (a) Aplique a segunda lei de Newton ao elemento de volume e mostre que dp = pa dx. (b) Integre o resultado da parte (a) para achar a pressão na superfície frontal em termos de a e de x. (c) Para mostrar que considerar p constante é razoável, calcule a diferença de pressão em atm para uma grande distância de 2,5 m e para uma elevada aceleração de 5,0 m/s2, (d) Mostre que a força horizontal resultante sobre um balão de volume Vê igual Va. (e) Para forças de atrito desprezíveis, mostre que a aceleração da bola (densidade média 𝜌) é dada 𝜌 por ( )a, de modo que a aceleração relativa é dada
14.68 O bloco A da Figura 14.38 está suspenso por uma corda a uma balança de mola D e está submerso em um líquido C contido em um recipiente cilíndrico B. A massa do recipiente é igual a l ,00 kg; a massa do líquido é l ,80 kg. A leitura da balança D indica 3,50 kg e a balança E indica 7,50 por: kg. O volume do bloco A é igual a 3,80.10-3 m3.
𝜌 𝑏𝑜𝑙
𝑎𝑟𝑒𝑙 =
𝜌 𝜌𝑏𝑜𝑙 − 1 𝑎
FCTM - Mecânica dos Fluidos – Exercícios e gabarito – Capítulo 3 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 11 (f) Use a expressão da a obtida na parte (e) (b) Qual é a pressão manométrica na face para explicar o sentido do movimento das bolas. inferior do bloco?
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14.71 O peso da coroa de um rei é w. Quando suspensa por uma corda leve e totalmente imersa na água, a tensão na corda (o peso aparente da coroa) é igual fw. (a) Mostre que a densidade relativa da coroa é dada por 1 1 − 𝑓 . Discuta o significado dos limites quando f = 0 e f = l. (b) Se a coroa for um sólido de ouro e pesar 12,9 N no ar, qual será o seu peso aparente quando estiver totalmente imersa na água? (c) Repita a parte (b) se a coroa for um sólido de chumbo com uma camada muito fina de ouro, porém com peso ainda igual a 12,9 N no ar.
14.75 Lançando uma âncora. Uma âncora de ferro com massa igual a 35,0 kg e densidade igual a 7860 kg/m3 está sobre o convés de uma barca pequena que possui lados verticais e está flutuando sobre um rio de água doce. A área da parte inferior da barca é igual a 8,00 m3. A âncora é lançada pela parte lateral da barca e afunda sem tocar o fundo do rio sendo sustentada por uma corda de massa desprezível. Quando a âncora fica suspensa lateralmente e depois de a barca parar de oscilar, a barca afundou ou subiu na água? Qual o valor da distância vertical que ela afundou ou subiu?
14.76 Suponha que o petróleo de um superpetroleiro possua densidade igual a 750 kg/m3. O navio fica encalhado em um banco de areia. Para fazer o navio flutuar novamente sua carga é bombeada para fora e armazenada em barris, cada um deles com massa igual a 15,0 kg quando vazio e com capacidade para armazenar 0,120 m de petróleo. Despreze o volume ocupado pelo aço do barril, (a) Se um trabalhador que está transportando os barris acidentalmente deixa um barril cheio e selado cair pelo lado do navio, o barril flutuará ou afundará na água do mar? (b) Se o barril flutua, qual é a fração de seu volume que fica acima da superfície da água? Se ele afunda, qual deveria ser a tensão mínima na corda necessária para rebocar o barril para cima a partir do fundo do mar? (c) Repita as partes (a) e (b) supondo que o 14.73 Você funde e molda uma certa petróleo possua densidade igual a 910 kg/m3 e que a quantidade de metal com densidade 𝜌𝑚 em uma forma, porém deve tomar cuidado para que não se massa de cada barril vazio seja igual a 32,0 kg. formem cavidades no interior do material fundido. 14.77 Um bloco cúbico com densidade 𝜌𝐵 e Você mede um peso w para o material fundido e uma aresta com comprimento L flutua sobre um uma força de empuxo igual a B. líquido de densidade maior 𝜌𝐿 . (a) Mostre que (a) Que fração do volume do bloco fica 𝐵 𝑤 𝑉0 = − acima da superfície do líquido? 𝜌á𝑔𝑢𝑎 𝑔 𝜌𝑚 𝑔 (b) O líquido é mais denso do que a água é o volume total das eventuais cavidades (densidade igual a 𝜌𝐴 ) e não se mistura com ela. formadas no interior do material fundido. Derramando-se água sobre a superfície do líquido, (b) Se o metal for o cobre, o peso w do qual deve ser a camada da água para que a superfície material fundido for igual a 156 N e a força de livre da água coincida com a superfície superior do empuxo for igual a 20 N, qual é o volume total das bloco? Expresse a resposta em termos de L, 𝜌𝐵 , 𝜌𝐴 e cavidades formadas no interior do material fundido? 𝜌 . 𝐿 A que fração do volume do material este volume (c) Calcule a profundidade da camada de corresponde? água da parte (b) se o liquido for mercúrio e o bloco 14.74 Um bloco cúbico de madeira com for de aço com aresta de 10,0 cm. 14.72 Uma peça de aço possui peso w, um peso aparente (ver o Problema 14.71) w quando está totalmente imersa na água e um peso aparente wfluido quando está totalmente imersa em um fluido desconhecido, (a) Mostre que a densidade relativa do fluido é dada por 𝑤 − 𝑤𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑤 − 𝑤á𝑔𝑢𝑎 (b) Este resultado é razoável para os três casos wfluido maior, menor ou igual a wágua? (c) O peso aparente da peça de aço em água com densidade 1000 kg/m3 é 87,2% do seu peso. Qual é a porcentagem do seu peso para o peso aparente do corpo mergulhado em ácido fórmico (densidade 1220 kg/m3)?
aresta de 0,100 m de densidade igual a 550 kg/m3 flutua em um recipiente com água. Óleo com densidade igual a 750 kg/m3 é derramado sobre água até que a camada de óleo fique 0,035 m abaixo do topo do bloco. (a) Qual é a profundidade da camada de óleo?
14-78 Uma barca está em uma eclusa retangular de um rio de água doce. A eclusa possui comprimento igual a 60,0 m e largura igual a 20,0 m e as comportas de aço das duas extremidades estão fechadas. Quando a barca está flutuando na eclusa, uma carga de 2.5.106 N de sucata de metal é colocada
FCTM - Mecânica dos Fluidos – Exercícios e gabarito – Capítulo 3 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 12 na barca. O metal possui densidade igual a 9000 𝜔2 𝑟 2 𝑟 = kg/m3, 2𝑔 (a) Depois que a carga de sucata de metal, (Esta técnica é usada para fabricar espelhos que estava inicialmente nas margens da eclusa, é parabólicos para telescópios; o vidro líquido gira e colocada na barca, de quanto se eleva verticalmente depois é solidificado enquanto está girando.) o nível da água da eclusa? (b) A sucata de metal é agora despejada na água da eclusa pela parte lateral da barca. O nível da água da eclusa sobe, desce ou permanece inalterado? Caso ele suba ou desça, de quanto varia verticalmente o nível da água da eclusa?
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14.79 Um tubo em forma de U que contém um líquido possui uma seção horizontal de comprimento igual a l (Figura 14.39). Calcule a diferença de altura entre as duas colunas de líquido nos ramos verticais quando (a) o tubo se desloca com uma aceleração a para a direita: (b) o tubo gira em torno de um dos ramos verticais com uma velocidade angular 𝜔. (c) Explique por que a diferença de altura não depende da densidade do líquido nem da área da seção reta do tubo. A resposta seria a mesma se os tubos verticais tivessem áreas das seções retas diferentes? A resposta seria a mesma se a parte horizontal do tubo fosse afunilada diminuindo sua seção reta de uma extremidade até a outra? Explique.
14.80 Um recipiente cilíndrico que contém um liquido incompressível gira com velocidade angular 𝜔 constante em tomo de seu eixo de simetria, o qual vamos considerar como o eixo Ou (Figura 14.40). (a) Mostre que a pressão a uma dada altura no interior do líquido cresce com a distância radial r (para fora do eixo de rotação) de acordo com 𝜕𝜌 = 𝜌𝜔2 𝑟 𝜕𝑟 (b) Integre esta equação diferencial parcial para achar a pressão em função da distância ao eixo de rotação ao longo de uma linha horizontal para y = 0. (c) Combine a resposta da parte (b) com a Equação (14.5) para mostrar que a superfície do líquido que gira possui uma forma parabólica, ou seja, a altura do liquido é dada por
14.81 Um fluido incompressível com densidade p está em um tubo de teste horizontal com área da seção reta interna A. O tubo de teste gira com velocidade angular 𝜔 em uma ultracentrífugadora. As forças gravÍtacionais são desprezíveis. Considere um elemento de volume do fluido de área A e espessura dr' situado a uma distância r' do eixo de rotação. A pressão na superfície interna é p e a pressão na superfície externa é p + dp. (a) Aplique a segunda lei de Newton ao elemento de volume para mostrar que 𝑑𝑝 = 𝜌𝜔2 𝑟 ´ 𝑑𝑟 ´ (b) Se a superfície do fluido está em um raio r0 onde a pressão é p0, mostre que a pressão p a uma distância 𝑟 ≥ 𝑟0 é dada por: 𝑟 2 − 𝑟02 𝑝 = 𝑝0 + 𝜌𝜔2 2 (c) Um objeto de volume V e densidade 𝜌𝑜𝑏 possui o centro de massa a uma distância 𝑅𝑐𝑚𝑜𝑏 do eixo. Mostre que a força resultante horizontal sobre o objeto é dada por 𝜌𝑉𝜔2 𝑅𝑐𝑚 , onde Rcm é a distância entre o eixo e o centro de massa do fluido deslocado, (d) Explique por que o objeto se move para o centro quando 𝜌𝑅𝑐𝑚 > 𝜌𝑜𝑏 𝑅𝑐𝑚𝑜𝑏 para fora do centro quando 𝜌𝑅𝑐𝑚 < 𝜌𝑜𝑏 𝑅𝑐𝑚𝑜𝑏 . (e) Para pequenos objetos com densidade uniforme, 𝑅𝑐𝑚 = 𝑅𝑐𝑚𝑜𝑏 . O que ocorre para uma mistura de pequenos objetos deste tipo com densidades diferentes em uma ultracentrifugadora? 14.82 Qual é o raio de uma gota d'água para que a diferença entre a pressão interna e a pressão externa da gota seja igual a 0.0250 atm? Considere T= 293 K, 14.83 Um bloco cúbico de madeira com aresta de 0.30 m é fabricado de modo que seu centro de gravidade fique na posição indicada na Figura 14.41a. flutuando na água com a metade de seu
FCTM - Mecânica dos Fluidos – Exercícios e gabarito – Capítulo 3 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 13 volume submerso. Se o bloco for "tombado" de um ângulo de 450 como indicado na Figura 14.41. Calcule o torque resultante em torno de um eixo horizontal perpendicular ao bloco e passando pelo centro geométrico do bloco.
(b) a pressão manométrica no ponto 2.
13 14.84 A água de um grande tanque aberto com paredes verticais possui uma profundidade H (Figura 14.42). Um orifício é feito na parede vertical a uma profundidade h abaixo da superfície da água. (a) Qual é a distância R entre a base do tanque e o ponto onde a corrente atinge o solo? (b) A que distância acima da base do tanque devemos fazer um segundo furo para que a corrente que emerge dele tenha um alcance igual ao do primeiro furo?
14.85 Um balde cilíndrico, aberto na parte superior, possui diâmetro de 10.0 cm e altura igual a 25.0 cm. Um orifício circular com área da seção reta igual a l.50 cm2 é feito no centro da base do balde. A partir de um tubo sobre a parte superior, a água flui para dentro do balde com uma taxa igual a 2.40.10-4m3/s. Até que altura a água subirá no tubo? 14.86 A água flui continuamente de um tanque aberto, como indicado na Figura 14.43. A altura do ponto l é igual a 10.0 m e os pontos 2 e 3 estão a uma altura igual a 2.00 m. A área da seção reta no ponto 2 é igual a 0.0480 m2 ; no ponto 3 ela é igual a 0.0160 m2 . A área do tanque é muito maior do que a área da seção reta do tubo. Supondo que a equação de Bemoulii seja válida, calcule: (a) a vazão volumétrica em metros cúbicos por segundo:
14.87 O projeto de um avião moderno exige uma sustentação oriunda do ar que se move sobre as asas aproximadamente igual a 200N por metro quadrado. 14.88 O furacão Emily ocorrido em 1993 possuía um raio aproximadamente igual a 350 km. A velocidade do vento nas vizinhanças do centro (o "olho") do furacão, com raio de 30 km atingiu 200 km/h. À medida que o ar forma redemoinhos em direção ao olho. o momento angular permanece praticamente constante, (a) Estime a velocidade do vento na periferia do furacão. (b) Estime a diferença de pressão na superfície terrestre entre o olho e a periferia do furacão. (Sugestão: Ver a Tabela 14.1). Onde a pressão é maior? (c) Se a energia cinética do ar que forma redemoinhos no olho pudesse ser convertida completamente em energia potencial gravitacional, até que altura o ar se elevaria? (d) Na realidade o ar se eleva até altitudes de diversos quilômetros. Como você concilia este fato com sua resposta do item (c)? 14.89 Dois tanques abertos muito grandes A e F (Figura 14.44) contêm o mesmo líquido. Um tubo horizontal BCD, possuindo uma constrição C e aberto ao ar no ponto D leva o líquido para fora na base do tanque A, e um tubo vertical E se liga com a constrição C e goteja o líquido para o tanque F. Suponha um escoamento com linhas de corrente e despreze a viscosidade. Sabendo que a área da seção reta da constrição C é a metade da área em D e que D está a uma distância h1 abaixo do nível do líquido no tanque A. até que altura h2 o líquido subirá no tubo E? Expresse sua resposta em termos de h1.
FCTM - Mecânica dos Fluidos – Exercícios e gabarito – Capítulo 3 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 14
14.92 (a) Com que velocidade uma esfera de latão com raio de 2.50 mm cai em um tanque de glicerina no instante em que sua aceleração é a metade da aceleração de um corpo em queda livre? A viscosidade da glicerina é igual a 8.30 poises, (b) Qual é a velocidade terminal da esfera?
14 14.90 O tubo horizontal indicado na Figura 14.45 possui seção reta com área igual a 40,0 cm2 em sua parte mais larga e 10.0 cm2 em sua constrição. A água flui no tubo e a vazão volumétrica é igual a 6.00.10-3 m3/s (6.00 L/s). Calcule (a) a velocidade do escoamento na parte mais larga e na constrição; (b) a diferença de pressão entre estas duas partes: (c) a diferença de altura entre os dois níveis do mercúrio existente no tubo em U.
14.91 A Figura 14.27a mostra um líquido se escoando de um tubo vertical. Note que a corrente de líquido vertical possui uma forma definida depois que ela sai do tubo. Para obter a equação para esta forma, suponha que o líquido esteja em queda livre quando ele sai do tubo. No exato momento em que ele sai do tubo, o líquido possui velocidade v0 e o raio da corrente é r0. (a) Obtenha uma expressão para a velocidade do líquido em função da distância y que ele caiu. Combinando esta relação com a equação da continuidade, ache uma expressão para o raio da corrente em função de y. (b) Se a água escoa de um tubo vertical com velocidade de l.20 m/s, a que distância da saída do tubo o raio será igual à metade do seu valor na corrente original?
14.93 Velocidade de uma bolha em um líquido, (a) Com que velocidade terminal uma bolha de ar com diâmetro de 2.00 mm sobe em um líquido cuja viscosidade é igual a l.50 poise e densidade igual a 900 kg/m3? (Suponha que a densidade do ar seja igual a l.20 kg/m3 e que o diâmetro da bolha permanece constante.) (b) Qual é a velocidade terminal da mesma bolha, na água a 200C que possui uma viscosidade igual a l.005 centipoise? 14.94 Um óleo com viscosidade igual a 3,00 poises e densidade igual a 860 kg/m3 deve ser bombeado de um grande tanque aberto para outro através de um tubo liso de aço horizontal de comprimento igual a l,50 km e diâmetro de 0.110 m. A descarga do fubo ocorre no ar. a) Qual é a pressão manométrica exercida pela bomba, em pascais e atmosferas, para manter uma vazão volumétrica igual a 0,0600 m7s? h) Explique por que o consumo de potência da bomba é igual ao produto da vazão volumétrica pela pressão manométrica exercida pela bomba. Qual é o valor numérico da potência? 14.95 O tanque do lado esquerdo da Figura 14.46a está aberto para a atmosfera e a seção reta possui área muito elevada. A profundidade é y = 0.600 m. As áreas das seções retas dos tubos horizontais que saem do tanque são l.00 cm2, 0.40 cm2 e 0.20 cm2, respectivamente. O líquido é ideal, logo sua viscosidade é igual a zero. (a) Qual é a vazão volumétrica para fora do tanque? (b) Qual é a velocidade em cada seção do tubo horizontal? (c) Qual é a altura atingida pelo líquido em cada um dos cinco tubos verticais do lado direito? (d) Suponha que o líquido da Figura 14.46b possua viscosidade igual a 0.0600 poise, densidade igual a 800 kg/m3 e que a profundidade do líquido no tanque grande seja tal que a vazão volumétrica do escoamento seja a mesma que a obtida na parte (a). A distância entre os tubos laterais entre c e d e a distância entre e e f são iguais a 0.200 m. As áreas das respectivas seções retas dos dois diagramas são iguais. Qual é a diferença de altura entre os níveis dos topos das colunas de líquido nos tubos verticais em c e d? (e) E para os tubos em e e f?
FCTM - Mecânica dos Fluidos – Exercícios e gabarito – Capítulo 3 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 15 (f) Qual é a velocidade do escoamento ao longo das diversas partes do tubo horizontal?
14.98 Um tanque grande de diâmetro D está aberto para a atmosfera e contém água até uma altura H. Um pequeno orifício com diâmetro d (d << D) é praticado na base do tanque. Desprezando qualquer efeito de viscosidade, encontre o tempo necessário para drenar completamente o tanque.
15
PROBLEMAS DESAFIADORES 14.96 Uma pedra com massa m = 3,00 kg é suspensa do teto de um elevador por meio de uma corda leve. A pedra está totalmente imersa na água de um balde apoiado no piso do elevador, porém a pedra não toca nem o fundo nem as paredes do balde, (a) Quando o elevador está em repouso, a tensão na corda é igual a 21,0 N. Calcule o volume da pedra, (b) Deduza uma expressão para a tensão na corda quando o elevador está subindo com uma aceleração constante a. Calcule a tensão na corda quando a = 2.50 m/s2 de baixo para cima. (c) Deduza uma expressão para a tensão na corda quando o elevador está descendo com uma aceleração constante a. Calcule a tensão na corda quando a = 2,50 m/s2 de cima para baixo, (d) Qual é a tensão na corda quando o elevador está em queda livre com uma aceleração de cima para baixo igual a g?
14.99 Um sifão, indicado na figura, é um dispositivo conveniente para remover o líquido de um recipiente. Para realizar o escoamento, devemos encher completamente o tubo com o líquido. Suponha que o líquido possua densidade e que a pressão atmosférica seja pa. Suponha que a seção reta do tubo seja a mesma em todas as suas partes. (a) Se a extremidade inferior do sifão está a uma distância h abaixo da superfície do líquido no recipiente, qual é a velocidade do líquido quando ele flui para fora da extremidade do sifão? (Suponha que o recipiente possua um diâmetro muito grande e despreze qualquer efeito da viscosidade. (b) Uma característica curiosa de um sifão é o que o liquido inicialmente flui para cima. Qual é a altura máxima H que pode ser atingida pelo líquido no ponto mais elevado do tubo para que o escoamento ainda ocorra?
14.97 Suponha que um bloco de isopor, com = 180 kg/m3, seja mantido totalmente imerso na água (Figura 14.47). (a) Qual é a tensão na corda? Faça o cálculo usando o princípio de Arquimedes. (b) Use a fórmula p = p0 + gh para calcular diretamente a força exercida pela água sobre as duas faces e sobre a base do isopor; a seguir mostre que a soma vetorial destas forças é a força de empuxo. 14.100 – O trecho a seguir foi citado em uma carta: É uma prática dos carpinteiros da região, para nivelar as fundações de edifícios relativamente longos, usar uma mangueira de jardim cheia de água tendo em suas extremidades dois tubos de vidro com comprimentos da ordem de 25 a 30 cm. A teoria é que a água, procurando manter o mesmo nível, atinge a
FCTM - Mecânica dos Fluidos – Exercícios e gabarito – Capítulo 3 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 16 mesma altura nos dois tubos servindo de referência para o nivelamento. Agora surge a dúvida para o que ocorre quando existe uma bolha no interior da mangueira. Nossos velhos profissionais afirmam que o ar não afeta a leitura da altura de uma extremidade para outra. Outros alegam que a bolha pode causar importantes imprecisões. Você é capaz de dar uma resposta relativamente simples para esta pergunta, juntamente com uma explicação? A figura 14.49 mostra um esquema para ilustrar a situação que causou a controvérsia.
16
FCTM - Mecânica dos Fluidos – Exercícios e gabarito – Capítulo 3 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 17 (2.00 m2) = 1.79 x 105 N.
Gabarito
14-1: 41,8N, não.
14-13: 4,14m
14-2:
14-14: 22
m m (7.35 x10 kg) 3.33 x103 kg / m3 . V 4 r 3 4 (1.74x106 m)3 3 3
17
O comprimento L de uma aresta do
cubo é 1
1
F mg (1200 kg )(9.80 m / s 2 ) 2 A (d / 2) (0.15 m) 2
1.66 x105 Pa 1.64 atm.
14-15: 0,562m2
14-3:7,03.103 kg/m3; sim. 14-4:
3 m 3 40 kg 12.3 cm. L V 3 3 21.4 x10 kg / m 1 3
14-5: (a) 706 Pa (b) 3160 Pa.
14-16: A força de empuxo é: B = 17.50 N - 11.20 N = 6.30 N, logo B (6.30 N ) V 6.43 x104 m3 . águag (1.00 x103 kg / m3 )(9.80 m / s 2 ) A densidade é dada por
m /g água V B / água g B
17.50 3 3 Peso em cada pneu: (1.00 x103 kg / m3 ) 2.78 x10 kg / m . 6.30 16.5 Pporpneu kN 14-17: 4 (a) < fluido Pressão absoluta em cada pneu: (c) submerso / fluido:acima (fluido- )/fluido pabs pm patm 205 101,3 306,3kPa (d) 32% Área em cada pneu: P 14-18: p porpneu porpneu (a) B = águagV = (1.00 x 103 A 3 kg/m )(9.80 m/s2)(0.650 m3) = 6370 N. Pporpneu 16.5 4 A 0, 01348m2 (b) pabs 306,3 B T 6370 N 900 N Área total: m 558 kg. g g 9.80 m / s 2 At 4 A 4 0,01348m2 0,05386m2 538,6cm2
14-6:
(a)
(b) Com o peso extra, a repetição do cálculo anterior fornece 836 cm2. 14-7: (a) 2,52.106Pa (b) 1,78.105Pa 14-8: = gh = (1.00 x 103 kg/m3)(9.80 m/s2)(640 m) = 6.27 x 106 Pa = 61.9 atm. 14-9: (a) 1,07.105Pa (b) 1,03.105Pa (c) 1,03.105Pa (d) 5,33.103Pa 14-10: gh = (1.00 x 103 kg/m3)(9.80 m/s2)(6.1 m) = = 6.0 x 104 Pa. 14-11: 2,3.105Pa 14-12: 130 x 103 Pa + (1.00 x 103 kg/m )(3.71 m/s2)(14.2 m) – 93 x 103 Pa 3
(c) (Ver o Exercício 14-17.) Se o volume submerso é V, 𝜔 𝑉´ 𝜔 𝑉´ = ⟹ = 𝜌 á𝑔𝑢𝑎 𝑔
𝑉
𝜌𝑔𝑉
𝑉´ 𝜔 5470 = = = 0.859 = 85.9% 𝑉 𝜌𝑔𝑉 6370 14-19: (a) 116 Pa (b) 921 Pa (c) 0,822 kg , 822 kg/m3 14-20: (a) Desprezando a densidade do ar, m /g V g (89 N ) V 3.36103 m3 (9.80 m / s 2 )(2.7 x103 kg / m3 ) ou seja 3.4.10-3 m3 com dois algarismos significativos. (b) T = - B = - gáguaV =
FCTM - Mecânica dos Fluidos – Exercícios e gabarito – Capítulo 3 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 18 água 1.00 1 (89 N ) 1 2.7 56.0 N . alumínio
g
18
Usando a Eq. (14-13),
2 , e 72.8 x 10 3 N / m obtemos R
(a) 146 Pa, (b) 1.46 x 104 Pa (note que este resultado é 100 vezes maior do que a resposta do item (a)). 14-23: 0.1 N; 0.01 kg 14-24: A análise que conduziu à Eq. (14-13) é válida para os poros;
2 4 2.9 x 107 Pa. R D 14-25: 4.4 ∙ 10−3 N 14-26:
v2 v1 v2
A1 A2
(3.50 m / s)(0.0700 m2 ) 0.245 m3 / s A2 A2 (a) (i) (ii)
14-31: 𝟏. 𝟒𝟕 × 𝟏𝟎𝟓 𝑷𝒂 14-32:
14-21: 6,67Pa 14-22:
significativo foi mantido nos cálculos intermediários.
A2 = 0.1050 m2, v2 = 2.33 m/s. A2 = 0.047 m2, v2 = 5.21 m/s.
(b) v1A1t = v2A2t = (0.245 m3/s)(3600 s) = 882. 14-27: (a) 17.0 m/s (b) 0.317m. 14-28: (a) Pela equação que precede a Eq. (14-14), dividido pelo intervalo de tempo dt obtemos a Eq. (14-16). (b) A vazão volumétrica diminui de 1.50%. 14-29: 28.4 m/s 14-30: (a) Pela Eq. (14-22),
v 2 gh (14.0 m) 16.6 m / s. (b) vA = (16.57 m/s)((0.30 x 10-2 m)2) = 4.69 x 10-4 m3/s. Note que mais um algarismo
Usando v2 =
1 v1 na Eq. (14-21), 4
1 p2 p1 v12 v22 g ( y1 y2 ) 2 15 p2 p1 v12 g ( y1 y2 ) 32 4 3 15 2 p 5.00 x10 Pa (1.00 x 10 ) (3.00) (9.80)(11.0) 32 p 1.62 Pa
14-33: 500 N de cima para baixo 14-34: (a)
(220)(0.355 kg) 1.30 kg / s. 60.0 s
(b)A densidade do líquido é
0.355 kg 1000 kg / m3 0.355 x103 m3 e portanto a vazão volumétrica é
1.30 kg / s 1.30 x 10 3 m 3 / s 1.30 L / s. 1000 kg / m 3 Este resultado também pode ser obtido do seguinte modo
(220)(0.355 L) 1.30 L / s. 60.0 s (b)
1.30 x 103 m3 / s 2.00 x 104 m2 v1 6.50 m / s, v2 v1 / 4 1.63 m / s. v1
(d)
1 p1 p2 v22 v12 g ( y2 y1 ) 2 152 kPa (1/ 2)(1000)(9.80)(1.35) 119 kPa. 14-35: 0.41cm
14-36: Pela Eq. (14-21), para y1 = y2,
1 p2 p1 v12 v22 2
FCTM - Mecânica dos Fluidos – Exercícios e gabarito – Capítulo 3 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 19
v2 1 3 p2 p1 v12 1 p1 v12 2 4 8 3 = 1.80 x 104 Pa + (1.00 x 103 kg/m3)(2.50 m/s)2 = 8
mg1 1 . 2 6rv O raio é obtido de
= 2.03 x 104 Pa, onde usamos a equação da continuidade
v2
v1 . 2
V=
14-37: (a) 1.88 m/s (b) 0
19
m
4 r 3 , c 3
donde obtemos r = 2.134 x 10-3 m. Substituindo os 14-38: No centro, r = 0 na Eq. (14-25), e valores2 numéricos na relação precedente = 1.13 Ns/m , aproximadamente igual a 11 com dois explicitando p1 – p2 = p, obtemos algarismos significativos.
4 Lvmax R2 4(1.005 x103 N s / m2 )(3.00 m)(0.200 m / s) (0.85 x102 m)2 p 33.4 Pa p =
14-39: (a) 0.128 m3/s (b) 9.72.104 Pa (c) 0.275 m3/s 14-40: (a) Explicitando na Eq. (14-26) a pressão manométrica p = p1 - p2,
p
8 L(dV / dt ) R4
14-43: (a) 16x maior (b) ½ do valor inicial. (c) dobra seu valor. (d) dobra seu valor. (e) se reduz a ½ de seu valor inicial.
14-44: Pela Eq. (14-27), a lei de Stokes, obtemos: 6(181 x 10-7 Ns/m2)(0.124 m/s) = 2.12.10-4 N logo o peso é igual a 5.88 N; a razão é igual a: 3.60.10-5. 14-45: (a) 19.4 m/s, 0, 14.6 m/s. (b)152d (c) in (a), 4; in (b), 1/16.
8(1.0 x103 )(0.20 x103 )(0.25 x106 ) / (15 x 60) (5 x106 )4
p 2.3 x105 Pa 2.2 atm. Esta é a diferença de pressão abaixo da atmosfera existente na boca do inseto, ou seja, a pressão manométrica é negativa. A diferença de pressão é proporcional ao inverso da quarta potência do diâmetro, portanto a maior contribuição para esta diferença de pressão é devida à menor seção reta da boca do inseto. portanto 14-41: 5.96 mm/s 14-42: Da equação terminal, Eq. (14-27), obtemos
da
14-46: (a) A área da seção reta da esfera é
F ( p0 p)
D2 , 4
D2 . 4
(b) A força em cada hemisfério produzida velocidade pela pressão da atmosfera é (5.00 x 10-2 m)2 (1.013) x 105 Pa)(0.975) = 776 N.
6 rvt mg B mg 1 1 2
onde 1é a densidade do líquido e 2é a densidade do latão. Explicitando a viscosidade obtemos
14-47: (a) 1.1.108Pa (b) 1080 kg/m3, 5%. 14-48: (a) O peso da água é gV = (1.00 x 103 kg/m3)(9.80 m/s2)((5.00 m)(4.0 m)(3.0 m))=5.88x105 N, ou seja, 5.9 x 105 N com dois algarismos significativos.
FCTM - Mecânica dos Fluidos – Exercícios e gabarito – Capítulo 3 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 20 (b) A integração fornece o resultado esperado: se a pressão fosse uniforme, a força seria igual ao produto da pressão no ponto médio pela área, ou seja,
14-53: (a) 12.7 kg/m3 (b) 3140 kg/m3 14-54: (a) A Equação (14-4), com o raio r em vez da altura y, pode ser escrita na forma dp = -g dr = -gs(r/R) dr.
d 2 3 Esta forma mostra que a pressão diminui F (1.00 x10 )(9.80)((4.0)(3.0))(1.50) com o aumento do raio. Integrando, com: 5 F 1.76 10 N p = 0 em r = R, obtemos F gA
ou 1.8 x 105 N com dois algarismos significativos.
20
14-49: 2.61.104 N.m
p
g s R
4
R
r dr
g s 2R
( R 2 r 2 ).
(b) Usando a relação anterior com r = 0 e
M
3M
14-50: V 4 R3 (a) Ver o Problema 14-49; a força total é Obtemos: dada pela integral ∫dF desde h = 0 até h = H, obtemos 3(5.97 x1024 kg )(9.80 m / s 2 ) P(0) F = g H2/2 = gAH/2, onde A = H. 8 (6.38 x 106 m)2 (b) O torque sobre um faixa vertical de largura dh em relação à base é P(0) 1.711011 Pa. dr = dF(H – h) = g h(H – h)dh, e integrando desde h = 0 até h = H, obtemos (c) Embora a ordem de grandeza seja a = gAH2/6. mesma, o resultado não concorda bem com o valor estimado. Em modelos com densidades mais realistas (c) A força depende da largura e do (ver o Problema 14-53 ou o Problema 9-85), a quadrado da profundidade e o torque em relação à concentração da massa para raios menores conduz a base depende da largura e do cubo da profundidade; uma pressão mais elevada. a área da superfície do lago não influi em nenhum dos dois resultados (considerando a mesma largura). 14-55: (a) 1470 kg/m3 (b) 13.9 cm 14-51:
𝒑−𝒑𝟎 𝑽𝑹𝟐
14-56: Seguindo a sugestão:
𝑮𝒎𝒅
h 14-52: A barra cilíndrica possui massa F ( gy)(2R)dy gRh 2 , M, raio R, e comprimento L com uma densidade 0 proporcional à distância até uma das extremidades, onde R é o raio e h é a altura do tanque (o fato que 2R ou seja, = Cx2. = h é mais ou menos acidental).Substituindo os 2 valores numéricos obtemos (a) M = dV = Cx dV. 2 F = 5.07 x 108 N. O elemento de volume é dado por dV = R dx. Logo a integral é dada por 14-57: 9.8.106 kg, sim. L 2 2 M= Cx R dx. 0 14-58: A diferença entre as A Integração fornece densidades deve fornecer o "empuxo" de 5800 N (ver 3 L L o Problema 14-63). A densidade média dos gases no M = C R2 x2dx = CR2 3 . balão é dada por 0
Explicitando C, obtemos C = 3M/ R2L3. (b) A densidade para a extremidade x = L é dada por:
3M 2 3M ( L ) 2 . 2 3 R L R L
= Cx2 =
(5800) (9.80)(2200) ave 0.96 kg / m3
ave 1.23
14-59: (a) 30% (b) 70%
O denominador é precisamente igual ao 14-60: (a) O volume deslocado deve ser aquele volume total V, logo = 3M/V, ou três vezes a densidade média, M/V. Logo a densidade média é que possui o mesmo peso e massa do igual a um terço da densidade na extremidade x= L.
FCTM - Mecânica dos Fluidos – Exercícios e gabarito – Capítulo 3 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 21 gelo,
9.70 g 9.70 cm 3 . 1.00 g / cm 3
gA(L + x) = Mg + F; usando o resultado da parte (a) e explicitando x obtemos
x
F . gA
(b) Não; quando fundido, a água resultante terá o mesmo volume que o volume (c) A “constante da mola,” ou seja, a deslocado por 9.70 g do gelo fundido, e o nível da proporcionalidade entre o deslocamento x e a força água permanecerá o mesmo. aplicada F, é k = gA, e o período da of oscilação é (c)
9.70 gm 9.24 cm3 1.05 gm / cm3
T 2
M M 2 . k gA
14-65: (a) 0.107m (b) 2.42s
21
14-66: Para economizar cálculos (d) A água resultante do cubo de gelo derretido ocupará um volume maior do que o da intermediários, considere a densidade, a massa e o água salgada deslocada e portanto um volume de volume do salva-vidas como 0, m e v, e as mesmas 0.46 cm3 deve transbordar. grandezas referentes à pessoa como 1, M e V. A seguir, igualando a força de empuxo com o peso, e 14-61: 4.66.10-4m3, 5.27 kg. cancelando o fator comum g, obtemos: água ((0.80)V + v) = 0v + 1V, 14-62: A fração f do volume que flutua Eliminando V e m, achamos, acima do líquido é dada por f=1-
fluid
0 v M água (0.80)
,
onde é a densidade média do densímetro (ver o Problema 14-17 ou o Problema 14-59), que pode ser escrita na forma fluid
1 . 1 f
Logo, para dois fluidos que possuem frações de flutuação f1 e f2, temos
2 1
1 f1 . 1 f 2
Nesta forma é claro que um valor de f2 maior corresponde a uma densidade maior; uma parte maior do flutuador fica acima do fluido. Usando
obtemos alcool (0.839) água 839 kg / m
3
3
14-63: (a) 1.1.10 m (b)112kN
1 v
v M 1 M água 1 (0.80) água v 1 75.0 1.03 x103 1.03 x 103 1 (8.80) 0.0400 980 732 kg / m3 .
0 água 1 (0.80)
M
14-68: A força de empuxo sobre a massa A, dividida por g, deve ser igual a 7.50 kg – 1.00 kg – 1.80 kg = 4.70 kg (ver o Exemplo 14-6), logo a massa do bloco é 4.70 g + 3.50 kg = 8.20 kg.
(3.20 cm)(0.400 cm2 ) 0.097 (13.2 cm3 )
4
Explicitando 0, obtemos
14-67: 0.0958N
(8.00 cm)(0.400 cm2 ) f1 = 0.242 (13.2 cm3 ) f2
v . 1
M
(a) A massa do líquido deslocado pelo bloco é 4.70 kg, logo a densidade do líquido é
4.70 kg 1.24 x 10 3 kg / m 3 . 3 3 3.80 x 10 m
14-64: (b) A balança D fará a leitura da massa do (a) O princípio de Arquimedes afirma bloco, 8.20 kg, como calculamos acima. A balança E fará a leitura da massa do recipiente mais a massa do M . que gLA = Mg, logo L líquido, 2.80 kg.
A
(b) A força de empuxo é dada por:
14-69: 35.5N
FCTM - Mecânica dos Fluidos – Exercícios e gabarito – Capítulo 3 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 22
22
14-70: (Note que aumentar x corresponde a um deslocamento para a traseira do carro.) (a) A massa de um elemento de volume é: dV = A dx e a força resultante sobre este elemento é dirigida para a frente e seu módulo é dado por: (p + dp)A – pA = A dp. Pela segunda lei de Newton, A dp = ( A dx)a, ou seja, dp = a dx. (a) Como é constante, e para p = p0 em x = 0, obtemos: p = p0 + ax. (b) Usando = 1.2 kg/m3 no resultado da parte (a) obtemos (1.2 kg/m3)(5.0 m/s2)(2.5 m) = 15.0 Pa ~15 x 10-5patm, portanto a variação percentual da pressão é desprezível. (c) Seguindo o método da Seção 14-4, a força sobre a bola deve ser igual à mesma força exercida sobre o mesmo volume de ar; esta força é igual ao produto da massa V multiplicada pela aceleração, ou Va. (d) A aceleração da bola é a força encontrada na parte (d) dividida pela massa bolaV, ou ( / bola )a. A aceleração em relação ao carro é dada pela diferença entre esta aceleração e a aceleração do carro, logo arel = [( / bola) – a]a.
esperado. Analogamente, quando fluid é menor do que água, o termo do lado direito da expressão anterior é maior do que um, indicando que o fluido é mais denso do que a água. (c) Escrevendo o resultado do item (a) na forma:
fluid 1 f fluid água 1 f água E explicitando ffluid, obtemos:
fluid (1 f água ) água 1 (1.220)(0.128) 0.844 84.4%. f fluid 1
f fluid
14-73: (b) 2.52.10-4m3, 0.124 14-74: (a) Seja d a profundidade da camada de óleo, h a profundidade na qual o cubo está submerso na água e L a aresta do cubo. Então, igualando a força de empuxo com o peso, cancelando os fatores comuns g e a área da seção reta e omitindo as unidades, obtemos (1000)h + (750)d = (550)L, onde d, h e L são relacionados por d + h + (0.35)L = L, logo h = (0.65)L – d. Substituindo a relação anterior na primeira equação, obtemos
dL
(0.65)(1000) (550) 2L 0.040 m. (1000) (750) 5.00
(e) Para uma bola cheia de ar, (b) A pressão manométrica na face inferior ( / bola) < 1 (uma bola cheia de ar tende a afundar deve ser suficiente para suportar o bloco, logo no ar calmo), e portanto a grandeza entre colchetes p = madeiragL na resposta do item (e) é negativa; a bola se desloca (550 kg/m3)(9.80 m/s2)(0.100 m) = 539 Pa. para a traseira do carro. No caso de uma bola cheia Para conferir, a pressão manométrica, de hélio, a grandeza entre colchetes é positiva e a calculada pela densidade e profundidade dos fluidos é bola se desloca para a frente do carro. ((0.040m)(750kg/m3)+(0.025m)(1000kg/m3))(9.80 m/s2) 14-71: (b) 12.1N (c) 11.8N = 39 Pa. 14-75: subiu 5.57.10-4m
14-72: (a) Ver o Problema 14-71. Substituindo f por, respectivamente, wágua/w e wfluid/w, obtemos
aço aço , , fluid fluid água água
14-76: (a) A densidade média de um barril cheio é:
m 15.0kg 3 óleo 750kg/ m3 875kg/ m , e dividindo a segunda equação pela v 0.120 m3 primeira, obtemos que é menor do que a densidade da água do mar. fluid fluid (b) A fração que flutua (ver o Problema . 14-17) é água água (b) Quando fluid é maior do que água, o termo do lado direito da expressão anterior é menor do que um, indicando que o fluido é menos denso do que a água. Quando a densidade do fluido é igual à densidade da água, obtemos fluid = água, como era
1
méd 875kg/ m3 1 0.150 15.0%. água 1030kg/ m3
A densidade média é igual a 910
32 kg kg kg 1172 3 donde se conclui que 3 3 m 0.120 m m
FCTM - Mecânica dos Fluidos – Exercícios e gabarito – Capítulo 3 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 23 o barril afunda. A fim de elevá-lo é necessário uma (c) Na Eq. (14-5), p2 = pa,, p1 = p(r, y = 0) tensão: como achamos na parte (b), y1 = 0 e y2 = h(r), a altura T = (1177)(0.120)(9.80) (1030)(0.120)(9.80)do líquido acima do plano y = 0. Usando o resultado da parte (b) obtemos T 173 N h(r) = 2r2/2g. 14-77: (a) 1 − 𝜌𝐵 𝜌𝐿 14-81: 𝜌 −𝜌 (b) 𝐿 𝐵 𝐿 𝜌 𝐿 −𝜌 𝑊 14-82: Explicitando R na Eq. (14-13) obtemos 14-78: (a) A variação da altura y é relacionada 3 2
23
com o volume deslocado V por y =
V , onde A A
é a área da superfície da água na eclusa, V é o volume da água que possui o mesmo peso do metal, portanto
y
V / água g A A água gA
(2.50 x106 N ) y 3 3 (1.00 x10 kg / m )(9.80 m / s 2 )((60.0 m)(20.0 m))
R
2(72.8 x 10 N s / m ) 2 R (0.250 atm)(1.013 x 105 Pa) p
R 5.75 x105 m 14-83: 7 N.m 14-84: (a)
Como no Exemplo 14-9, a
velocidade de saída da água é igual a
2gh . Depois
de sair do tanque a água está em queda livre e o y 0.213 m. tempo que qualquer porção da água leva para atingir (b) Neste caso, V é o volume do metal; o solo é dado por na relação anterior, água deve ser substituído por 2( H h) metal = 9.00água, que fornece t ,
y 8 y = , e y y y 0.189 m; 9 9 este resultado indica quanto abaixa o nível da água na eclusa. 14-79: (a)
𝑙𝑎 𝑔
(b)
𝜔 2 𝑙2 2𝑔
14-80: (a) A variação da pressão em relação à distância vertical fornece a força necessária para manter um elemento de fluido flutuando em equilíbrio na vertical (que se opõe ao peso). Para um fluido girando, a variação da pressão em relação ao raio fornece a força necessária para manter um elemento de fluido se acelerando radialmente. Especificamente, obtemos
dp
p dr padr , r
e usando a relação
a r obtemos 2
p 2 r. r
(b) Chame a pressão em y = 0, r = 0 de pa (pressão atmosférica); integrando a expressão para
p indicada na parte (a) obtemos r 2 p (r , y 0) pa 2 r 2 .
g
e neste intervalo de tempo a água se deslocou uma distância horizontal dada por
R vt 2 h( H h) . (b) Note que se h = H – h, h(H – h) = (H – h)h, e portanto h = H – h fornece o mesmo alcance. 14-85: 13.1 cm 14-86: (a) v3 A3
2 g ( y1 y3 ) A3
v3 A3 2)9.80 m / s 2 )(8.00 m) (0.0160 m2 ) v3 A3 0.200 m3 / s (b) Como p3 é a pressão atmosférica, a pressão manométrica no ponto 2 é 2 1 1 2 A3 2 2 p2 v3 v2 v3 1 A2 2 2 8 p2 g ( y1 y3 ), 9
Usando a relação anterior encontrada para v3 e substituindo os valores numéricos obtemos p2 = 6.97 x 104 Pa.
FCTM - Mecânica dos Fluidos – Exercícios e gabarito – Capítulo 3 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 24 14-87: 133 m/s
mg – B – Fd =
mg mg , logo Fd B. 2 2
14-88: Substituindo Fd da Eq. (14-27) e (a) Usando a constância do momento explicitando vt em termos das densidades obtemos a angular, notamos que o produto do radio vezes a expressão para vt conforme visto no Exemplo 14-13, velocidade é constante, logo a velocidade é aproximadamente igual a ; especificamente, porém com no lugar de 30 2 (200 km/h) 17 km / h. obtemos 350 (b) A pressão é menor no "olho", de um valor dado por
24
1 1 p (1.2) (200 )2 (17)2 2 3.6 p 1.8 103 Pa. (c)
2
2 r2g vt 9 2 3 2 2 (2.50 x10 ) (9.80) (4.3 x103 1.26 x103 ) 9 (0.830) vt 4.99 x102 m / s.
v2 = 160 m com dois algarismos 2g
(b) Repetindo o cálculo sem o fator multiplicando por obtemos: vt = 0.120 m/s.
significativos. (d) A pressão em altitudes mais elevadas é menor ainda. 14-89: 3h1.
v
dV / dt , A
logo
p gh
as
velocidades são 3
14-93: (a) 0.0130m/s (b) 2.16 m/s 14-94: (a) Explicitando p1 – p2 = p na Eq. (1429) e fazendo a variação da altura igual a 0, obtemos
14-90: (a)
3
6.00 x10 m / s 6.00 m / s 10.0 x104 m2
(b)
1 (v12 v22 ) 1.688 x10 4 Pa, 2
p .51 x106 Pa 74.2 atm dV (b) P p dt (7.51 x 106 Pa)(0.0600 m3/s) = 4.51 x 105 W. O trabalho realizado é pdV. 14-95: (a) 6.86.10-5m3/s (b) cd: 0.686m/s; ef: 1.71 m/s; gh: 3.43m/s (c) c e d: 0.576 m; e e f:0.450m; g e h: 0 (d) 0.0264m (e) 0.165m
ou 1.69 x 104 Pa com três algarismos significativos. (c)
h h
p Hg g
(1.688 x104 Pa) 12.7 cm (13.6 x103 kg / m3 )(9.80 m / s 2 )
14-91: 𝒓 = 𝒓𝟎 𝟏 +
𝟐𝒈𝒚
dV 8 L dt R 4
8(0.300 N s / m2 (1.50 x 103 m) p (0.0600 m3 / s) (0.055 m)4
6.00 x103 m3 / s 1.50 m / s. 40.0 x104 m2 p
1 e 2
14-96: (a) O volume V da pedra é
V
𝟏 𝟒
−
𝒗𝟐 𝟎
V
B
água g
T água g
((3.00 kg )(9.80 m / s 2 ) 21.0 N ) 8.57 x 104 m3 . (1.00 x103 kg / m3 (9.80 m / s 2 )
14-92: (a) A força resultante sobre a esfera é a Nos referenciais acelerados, todas as soma vetorial da força gravitacional, da força de grandezas que dependem de g (pesos, forças de empuxo e da força viscosa, logo da relação F = ma, empuxo, pressões manométricas e tensões) podem ser obtemos substituídas pelo valor eficaz g = g + a, com sentido
FCTM - Mecânica dos Fluidos – Exercícios e gabarito – Capítulo 3 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 25 positivo orientado de baixo para cima. Logo, a bem, desde que não hajam bolhas ao longo da tensão é mangueira. No caso específico do Problema 14-100 como existe uma bolha, os níveis não são iguais T = mg - B = (m - V)g = T0
g , onde T0 = 21.0 N. g
(b) g = g + a; para a = 2.50 m/s2, T = (21.0 N)
9.80 2.50 26.4 N . 9.80
(c) Para a = -2.50 m/s2, T = (21.0 N)
25
9.80 2.50 15.6 N . 9.80
(d) Quando a = -g, g = 0 e obtemos T = 0. 14-97: (a) 80.4N
14-98: Quando o nível da água é a altura y da abertura, a velocidade de saída da água é dada por
2gy , e
dV (d / 2) 2 2 gy . dt
À medida que o tanque é drenado, a altura diminui,
z (d / 2) 2 gy dy d logo 2 dt ( D / 2) D 2
2
2 gy .
Esta equação diferencial permite a separação das variáveis e o tempo T necessário para drenar o tanque é obtido pela integração da relação
d y D
dy
2
2 g dt ,
cuja integração conduz ao resultado
d [2 y ] D
2
0 H
2 gT ,
Donde se conclui que 2
D 2 H D T 2g d d 14.99: (a) 2𝑔 (b)
𝜌𝑎 𝜌𝑔
2
2H . g
−
14-100: O surgimento de qualquer bolha pode trazer imprecisões nas medidas. Ao longo da bolha, a pressão nas superfícies da água podem ser iguais porém, como o ar pode ser comprimido dentro da bolha, os dois níveis da água indicados na Figura 14.49 não são necessariamente iguais (geralmente são diferentes quando existem bolhas na mangueira). O mesmo fenômeno ocorre no freio hidráulico. Quando você pisa no freio, a pressão só é transmitida integralmente quando não existem bolhas nos tubos; quando existem bolhas, o freio não funciona. O uso de uma mangueira para nivelar uma superfície horizontal pode funcionar perfeitamente
Sears/Zemansky: Física 10ª edição Manual de Soluções Capítulo 14 Tradução: Adir Moysés Luiz, Doutor em Ciência pela UFRJ, Prof. Adjunto do Instituto de Física da UFRJ.
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