Resolução comentada Lista sobre lei dos senos e lei dos cossenos
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1. A figura mostra o trecho de um rio onde se deseja construir uma ponte AB. De um ponto P, a 100m de B, mediu-se o ângulo APB = 45º e do ponto A, mediu-se o ângulo PAB = 30º. Calcular o comprimento da ponte.
30°
x
Inicialmente, vamos colocar os dados no triângulo e identificar o que se pretende calcular. Aplicando a Lei dos senos, temos:
45°
100 m
O comprimento da ponte é 2
2. Calcular o raio da circunferência circunscrita a um triângulo do qual
se conhecem um lado AB = 10m e o ângulo oposto C = 60º. Representando geometricamente a situação, temos: C 60°
A
10
Aplicando a lei dos senos: R
B
Racionalizando:
Assim, o raio da circunferência circunscrita é 3
3. Dois lados de um triângulo medem 6m e 10m e formam entre si um
ângulo de 120º. Determinar a medida do terceiro lado. Representando geometricamente a situação, temos: C
x
B 6 cm
120°
10 cm
A
Aplicando a Lei dos cossenos:
O terceiro lado mede 14 metros. 4
4. (FUVEST – SP) Em um triangulo ABC o lado AB mede
eo
ângulo C, oposto ao lado AB, mede 45º. Determine o raio da
circunferência que circunscreve o triângulo. Representando geometricamente a situação, temos: C
Aplicando a lei dos senos: 45°
A
R
B
Assim, o raio da circunferência circunscrita é 5
5. (Mack) - Na figura, a área do triângulo ABC é:
30°
120°
Inicialmente, vamos aplicar a Lei dos cossenos no triângulo ACD para determinar o ângulo C:
60°
4
Como cos C = 0,5; temos que C = 60°. Concluímos assim que ACB = 120° e BAC = 30°. Com base nos ângulos internos, verificamos que o triângulo ABC é isósceles, e com isso, segue que AC = BC = 4. Agora podemos determinar a área (ABC) com a expressão:
Portanto, a área do triângulo (ABC) é igual a
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6. (UNIRIO) – Deseja-se medir a distância entre duas cidades B e C sobre um mapa, sem escala. Sabe-se que AB = 80km e AC = 120km, onde A é uma cidade conhecida, como mostra a figura. Logo, a distância entre B e C, em km, é: a) menor que 90 x b) maior que 90 e menor que 100 80 c) maior que 100 e menor que 110 d) maior que 110 e menor que 120 120 e) maior que 120 Vamos introduzir os dados do problema no triângulo ABC: Aplicando a Lei dos cossenos:
Como
; temos que
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7. (FEI) – Calcule c, sabendo que a = 4, b =
4=
e C = 45º.
45°
Vamos introduzir os dados do problema no triângulo ABC: Aplicando a Lei dos cossenos, temos:
Concluímos que a medida do lado c é 8
8. (CESGRANRIO) – No triângulo ABC, os lados AC e BC medem
8cm e 6cm, respectivamente, e o ângulo A vale 30º. Quanto vale o seno do ângulo B?
Geometricamente temos: C 8 cm
30°
6 cm
B
A
Aplicando a Lei dos senos, segue que:
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9. (FUVEST) a) Na figura 1, calcular x. Aplicando a Lei dos senos: 60°
Racionalizando: b) Na figura 2, calcular y. Aplicando a Lei dos cossenos:
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10. (PUC – MG) – Na figura, AB = 5dm, AD =
dm, DBC = 60º e
DCA = 90º. Qual é a medida de CD, em decímetros?
30°
x
2y 120°
5
.
60°
y =5
Vamos colocar os dados no triângulo e identificar o que se pretende calcular. Chamando BC de y, segue que BD = 2y. (A medida da hipotenusa sempre será o dobro da medida do cateto oposto ao ângulo de 30º). Como o ângulo ABD = 120º, aplicaremos a Lei dos cossenos em ABD para obter o valor de y.
Segue que:
Finalmente, do triângulo BCD:
Com isso, a medida de CD é 11
11. (FGV) – Na figura a seguir, são dados DA =
cm e AB = 3cm.
Qual é a área do triângulo CDB, em centímetros quadrados? Identificando os dados da questão, temos:
30° 30°
3
Uma vez que a altura do triângulo CDB é 3cm, precisamos apenas calcular a base CD para encontrar a área.
60° = 30°
120°
Vamos determinar o ângulo ɵ: Com isso
.
Verificamos que ABD = 30º, BDC = 120º e CBD = 30º. Ora, como o lado BD = (hipotenusa é igual ao dobro da cateto oposto a 30º) e, como BD = CD, temos que CD também tem medida .
Assim: 12
12. (Mack) – Qual é a área de um triângulo ABC onde c = 2cm, b = 3cm e  = 60º?
Representando geometricamente: B 2 cm 60°
A
3 cm
C
Temos que Área (ABC) =
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13. (UNICAMP) – A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma caixa-d’água a 50m de distância. A casa está a 80m de distância da caixa-d’água e o ângulo formado pelas direções caixa-d’água-bomba e caixa-d’água-casa é de 60º. Se se pretende bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de encanamento são necessários? A situação pode ser representada pelo esquema: Pela lei dos cossenos, temos:
80 m
50 m
x
São necessários 70 metros de encanamento para bombear água diretamente do rio até a casa. 14
14. (FEI) – Num triângulo ABC, BC = a, AC = b, Â = 45º e B = 30º. Qual é o valor de a, sendo
?
De acordo com os dados: C a
b 45°
A
30°
B
Aplicando a Lei dos senos:
Como
Mas
, segue que:
, assim 15
15. (Fatec) - Na figura seguinte, qual é a área do triângulo ABC?
1º modo:
.
h = 0,5
Basta observar que a base do triângulo ABC é e a altura é 0,5. Assim:
2º modo:
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