kombinatorika
[VLADIMIR MARINKOV] PERMUTACIJE I VARIJACIJE BEZ PONAVLJANJA
1. Dat je skup A 1, 2 . Odrediti sve dvocifrene brojeve sa različitim ciframa koje pripadaju skupu
2. Dat je skup A 1, 2, 3 . Odrediti sve trocifrene brojeve sa različitim ciframa koje pripadaju skupu .
3. Dat je skup A 1,3, 4, 6 . Odrediti sve četvorocifrene brojeve sa različitim ciframa koje pripadaju skupu .
4. Na koliko načina 7 osoba mogu da stanu u vrstu?
Definicija: Neka je dat skup A a1 , a2 , , an . Permutacija je bilo koji raspored svih n elemenata skupa A . Teorema: Broj permutacija skupa od n elemenata iznosi P n n n 1 2 1 n !
Simbol n ! je skraćenica za zapisivanje uzastopnog proizvoda n prirodnih brojeva, od 1 do i čita se faktorijel. Definicija: 0! 1
5. Dat je skup {1,2,3,4}. Odrediti: (a) Sve dvocifrene brojeve sa različitim ciframa koje pripadaju skupu (b) Sve trocifrene brojeve sa različitim ciframa koje pripadaju skupu
6. Koliko ima šestocifrenih telefonskih brojeva u kojima se cifre ne ponavljaju?
Ekonomsko-trgovinska škola „Vuk Karadžić“, Stara Pazova
Page 1
kombinatorika
[VLADIMIR MARINKOV]
Definicija: Neka je dat skup A a1 , a2 , , an . Varijacija klase k, 1 ≤ skupa
≤ , od n elemenata
je bilo koja uređena k -torka različitih elemenata skupa A .
Teorema: Broj varijacija iznosi Vnk n n 1 n k 1 . Napomena: Specijalno, varijacija klase n od n elemenata jeste permutacija tih elemenata.
7. Odrediti ukupan broj svih trocifrenih brojeva sa različitim ciframa. 8. Na koliko načina sedam osoba različite starosti može da stane u vrstu, pod uslovom da najstarija mora biti u sredini? 9. U koliko se različitih permutacija elemenata , , , , elemenat mestu, a elemenat na poslednjem mestu?
nalazi na prvom
10. U koliko permutacija od elemenata 1,2,3,4,5,6,7,8 se 2,3,4,5 nalaze jedan pored drugog (a) U poretku 4352 (b) U proizvoljnom poretku? 11. Na koliko načina se u niz mogu poređati cifre 0,1,2, … ,9 tak oda se na prvih pet mesta nađu parne cifre? 12. Koliko ima trocifrenih brojeva sa različitim ciframa koj ise mogu formirati od cifara 0,2,4,6,9?
Ekonomsko-trgovinska škola „Vuk Karadžić“, Stara Pazova
Page 2
kombinatorika
[VLADIMIR MARINKOV]
PERMUTACIJE I VARIJACIJE SA PONAVLJANJEM Teorema: Neka je dat skup A a1 , a2 , , an . Broj permutacija sa ponavljanjem, skupa od n elemenata, među kojima ima k1 , k2 , , km jednakih iznosi n! Pk1 ,k2 ,km n . k1 !k2 ! km !
13. Koliko ima sedmocifrenih brojeva sastavljenih od cifara 3,3,3,5,5,7,7? 14. Na koliko načina možemo rasporediti 3 rečnika engleskog, 2 rečnika francuskog i 5 rečnika nemačkog jezika ako se nalaze na polici jedan pored drugog? 15. Na koliko načina se mogu u prvom redu šahovske table rasporediti 2 topa, 2 konja, 2 lovca, kralj i dama? Definicija: Neka je dat skup A a1 , a2 , , an . Varijacija sa ponavljanjem klase od elemenata je bilo koja uređena k -torka elemenata skupa A . Teorema: Broj varijacija iznosi Vnk n k
16. Koliko ima trocifrenih brojeva koji se mogu formirati od cifara 1,2,3,5,7? 17. Na koliko načina može biti ocenjen učenik na kraju školske godine iz 12 predmeta ako: a) Iz svih predmeta može dobiti ocenu od 1 do 5 b) Iz dva određena predmeta ne može dobiti ocenu veću od 3, a iz tri određena predmeta nižu od 4? 18. Gost u hotelu za doručak može birati kafu, čaj ili mleko. Koliko ima načina za izbor, ako u hotelu ostaje 7 dana? 19. Dokazati da u mestu sa 1000 stanovnika žive bar dve osoba sa istim inicijalima.
Ekonomsko-trgovinska škola „Vuk Karadžić“, Stara Pazova
Page 3
kombinatorika
[VLADIMIR MARINKOV]
20. Koliko ima različitih četvorocifrenih brojeva deljivih sa 4 formiranih od cifara 1,2,3,4,5, ako: a) Nijedan broj ne sadrži jednake cifre, b) Cifre se mogu i ponavljati 21. Koliko ima različitih četvorocifrenih brojeva deljivih sa 5 zapisanih pomoću cifara 0,1,2,3,4,5 ako: a) Nijedan broj ne sadrži jednake cifre, b) Cifre se mogu i ponavljati 22. Koliko različitih reči dužine 5 možemo formirati od 30 slova azbuke, ako se zahteva da prvo i peto slovo budu različiti samoglasnici, dok ostala tri slova mogu biti bilo koji suglasnici? 23. Automobilske registarske tablice jedne zemlje se sastoje od 6 cifara i jednog slova, tako da se na prva tri mesta nalaze cifre, zatim slovo, a na poslednja tri mesta ponovo cifre. Slova se biraju iz skupa { , , , , , }. Koliko se različitih registarskih tablica može formirati na ovaj način?
24. Koliko ima četvorocifrenih prirodnih brojeva koji su deljivi sa 2, a nisu sa pet, a čije su sve cifre različite i pripadaju skupu {0,1,2,4,5,6}? 25. Na polici se nalazi 5 knjiga na engleskom, 7 na španskom i 8 na francuskom jeziku. Sve knjige su međusobno različite. Na koliko načina možemo rasporediti knjige ako sve napisane na francuskom jeziku moraju biti jedna do druge?
26. Odrediti broj svih permutacija slova reči MOSKVA kod kojih se između dva samoglasnika nalazi bar jedan suglasnik. (rešenje: 480) 27. Na koliko se načina na 10 stolica u jednom redu mogu rasporediti 5 muškaraca i 5 žena tako da nikoje dve osobe istog pola ne sede jedna pored druge? (rešenje: 28800)
Ekonomsko-trgovinska škola „Vuk Karadžić“, Stara Pazova
Page 4
kombinatorika
[VLADIMIR MARINKOV] KOMBINACIJE
Definicija: Neka je dat skup A a1 , a2 , , an . Kombijacija (bez ponavljanja) klase ima n elemenata ( ≥ ) je bilo koji k -točlani podskup skupa .
skupa A koji
Teorema: Broj kombinacija klase k skupa A koji ima n elemenata iznosi
n n! Cnk k k !(n k )! n Izraz čita se n nad k. k
28. Koliko ima različitih kombinacija u igri na sreću LOTO 7 od 39? 29. Na koliko načina se od 6 lica mogu izabrati tri? 30. Da bi dobio pozitivnu ocenu iz matematike učenik treba da uradi dva zadatka od pet. Na koliko načina on može da odabere ta dva zadatka? 31. Iz kompleta od 52 karte izvučeno je 10 karata. U koliko slučajeva se među izvučenim kartama nalazi a) Tačno jedna dama b) Tačno dve dame c) Bar jedna dama d) Bar dve dame? 32. Iz grupe od 7 muškaraca i 4 žene treba odabrati 6 osoba tako da među njima budu bar dve žene. Na koliko načina se to može izvesti? 33. Košarkaški tim sačinjavaju pet bekova, četiri centra i tri krila. Na koliko način ase od njih može sastaviti petorka, ako u njoj moraju biti dva beka i jedan centar?
34. Od 15 učenika treba izabrati urednika i četiri dopisnika za školske novine. Na koliko načina se to može uraditi? 35. U klupama u razredu ima 28 mesta za sedenje. Na koliko se načina na ovim sedištima razmestiti 25 učenika?
Ekonomsko-trgovinska škola „Vuk Karadžić“, Stara Pazova
Page 5
kombinatorika
[VLADIMIR MARINKOV] RAZNI ZADACI
36. Koliko ima permutacija cifara 1,2,3, … ,9 u kojima nije 1 ispred 2? 37. Koliko ima različitih skupova od po 5 prirodnih brojeva od 1,2,3,...,100, takvih da je zbir elemenata svakog od njih paran broj? 38. Telefonski broj u nekom gradu može biti petocifren ili šestocifren i ne sme početi ciframa 0, 1 i 9. Koliko različitih telefonskih brojeva može biti u tom gradu? 39. Automobilske registarske tablice u jednoj zemlji se sastoje od tri cifre iza kojih slede 2 slova engleske abecede. Pri tome, prva cifra ne sme biti 0. Koliko se različtih registarskih tablica može formirati na ovaj način? 40. Na koliko različitih načina 10 osoba može da formira red pred blagajnom u bioskopu, ali tako da dve uočene osobe stoje jedna do druge? 41. Na koliko različitih načina može da se formira tročlana komisija od četiri bračna para ako: a) U komisiji mogu biti bilo koje tri osobe, b) U komisiji mogu biti dve žene i jedan muškarac 42. Koliko ima desetocifrenih brojeva u kojima su sve cifre različite i u kojima na prvom mestu stoji parna cifra, a na poslednja dva neparna? 43. U jednoj komisiji Evropske unije nalazi se 9 Nemaca, 11 Francuza i 8 Belgijanaca. Nemci u ovoj grupi govore i razumeju samo nemački jezik, Francuzi govore i razumeju samo francuski, dok Belgijanci iz ove grupe govore i razumeju i nemački i francuski jezik. Na koliko načina se od ovih 28 ljudi može izabrati radno telo od 12 članova za čiji rad nije potreban prevodilac? 44. Od šest programera i četiri statističara treba tim od osam članova u kom će biti bar tri statističara. Na koliko načina se to može učiniti? (rešenje: 39) 45. Odrediti broj svih permutacija cifara 1,2,3,4,5,6,7,8 u kojima je na prva četiri mesta bar jedna cifra parna. (rešenje: 39774) 46. Četiri momka i četiri devojke idu u bioskop. Imaju karte za mesta u istom redu koji ima tačno 8 mesta. Na koliko načina se mogu rasporediti ako je poznato da dve od devojaka ne žele da sede ni na prvom ni na poslednjem mestu? (rešenje: 21600)
Ekonomsko-trgovinska škola „Vuk Karadžić“, Stara Pazova
Page 6
kombinatorika
[VLADIMIR MARINKOV] BINOMNI OBRAZAC
0
0
a b 1 a b 2 a b 3 a b 4 a b
a b 1 1 a b 1a 1b 2 a b 1a2 2ab 1b2 3 a b 1a3 3a 2b 3ab 2 1b3 4 a b 1a 4 4a 3b 6a 2b 2 4ab3 1b 4
Paskalov trougao
U opštem slučaju imamo:
( + ) = Brojevi
0
,
1
,
2
+
0
,…,
+
1
+ ⋯+
2
nazivaju se binomni koeficijenti.
−ti član binomnog obrasca, u oznaci =
, glasi: , 1 ≤
−1
≤
+1
47. Razviti po binomnoj formuli (1 + 2 ) 48. Razviti po binomnoj formuli
−
49. Odrediti četvrti član u razvoju binoma 50. Dat je binom √ + √ 23 23 (rešenje: = ) 10 13
−
. Odrediti binomni koeficijent uz
Ekonomsko-trgovinska škola „Vuk Karadžić“, Stara Pazova
Page 7
kombinatorika
[VLADIMIR MARINKOV]
51. U razvoju binoma
+
52. U razvoju binoma
+
naći član koji ne sadrži . (rešenje: 84)
zbir koeficijenata prvog, drugog i trećeg člana jednak je 6 22. Naći član koji ne sadrži . (rešenje: ) 3 53. U razvijenom obliku stepena binoma 4 − , > 0, ∈ binomni koeficijent √
trećeg člana je 105. Odrediti koeficijent uz
. (rešenje: 455)
54. Ako se binomni koeficijent drugog člana prema binomnom koeficijentu trećeg člana u razvoju binoma − odnosi kao 2: 17, odrediti član koji ne sadrži . 18 (rešenje: ) 6 55. Ako je koeficijent trećeg člana za 5 veći od koeficijenta drugog člana, odrediti član u razvoju binoma
+√
koji ne sadrži . (rešenje: 10
Ekonomsko-trgovinska škola „Vuk Karadžić“, Stara Pazova
)
Page 8
