La circunferencia 1
Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por O ( 0, 0 ), P( 2, -2 ) y es tangente a la recta y + 4 = 0. Solución: 2 2 2 La forma buscada de la circunferencia es : ( x - a ) + ( y - b ) = r 2 2 2 Pasa por O : ( 0 - a ) + ( 0 - b ) = r . 2 2 2 Pasa por P : ( 2 - a ) + ( -2 - b ) = r Es tangente a y + 4 = 0 , luego la distancia del centro ( a, b ) a dicha recta es el radio: - b - 4 = r Resolvemos el sistema de ecuaciones y obtenemos: a1 = 8, b1 = 6 , r1= 10 ; a2 = 0 , b2 = -2, r2 = 2. 2 2 2 2 Por consiguiente las circunferencias pedidas son : ( x - 8 ) + ( y - 6 ) = 100 ( x - 0 ) + ( y + 2 ) = 4
2
Por dos puntos pasan infinitas circunferencias. Halla una expresión que describa la familia de circunferencias que pasan por (1, 0) y (-1, 0). Solución: El centro está en la mediatriz de la cuerda definida por los puntos ( 1, 0 ) y ( -1, 0 ). Las coordenadas del centro son por tanto de la forma C ( 0, b ).
12 + b 2 . Siendo el radio r = d ( ( 0, b ) , ( 1, 0 ) ) = 2 2 2 2 2 La ecuación de una circunferencia es la de la forma x + ( y - b ) = 1 + b , o bien x + y - 2by - 1 = 0. Variando b se obtienen las infinitas circunferencias pedidas. 3
2
2
Decide si el punto P ( 1, 6 ) pertenece a la circunferencia ( x - 2 ) + ( y - 4 ) = 9, y halla los puntos de corte con los ejes. Solución: El punto P pertenece a la circunferencia sólo si sus coordenadas satisfacen la ecuación de la circunferencia: 2 2 ( 1 - 2 ) + ( 6 - 4 ) = 5 ≠ 9 luego no pertenece. 2 2 Cortes con OY : basta calcular los puntos de la forma ( 0 , y ) que verifican la ecuación: ( -2 ) + ( y - 4 ) = 9, de donde y=4± 5. Cortes con OX : se obtienen haciendo y = 0 2 2 ( x - 2 ) + ( -4 ) = 9 , que carece de soluciones reales pues un cuadrado no puede ser negativo.
4
2
2
Dada la ecuación de una circunferencia x + y - 6x + 10y - 2 = 0, calcula su centro C ( a, b ) y su radio r. Solución: Agrupando convenientemente los términos en x, los términos en y, y completando cuadrados: 2 2 x - 6x + 9 + y + 10y + 25 = 2 + 9 + 25 2 2 O bien, ( x - 3 ) + ( y + 5 ) = 36, de donde C ( 3, -5 ) y r = 6.
5
Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por A (-6, 2 ), B ( 2, 2 ) y C ( 4, 0 ). Solución: Hallamos las ecuaciones de dos mediatrices del triángulo ABC: - Ecuación de mAB : Sea Q ( x, y ) un punto genérico. d ( Q, A ) = d ( Q,B ) luego:
(x + 6) 2 + (y − 2) 2 = (x − 2) 2 + (y − 2) 2
2
2
2
⇒ (x+6) +(y-2) =(x-2) +(y-2)
y de aquí se saca x = -2. - Ecuación de mBC: De forma análoga obtenemos la ecuación x - y - 2 = 0. - Coordenadas del centro: resolvemos el sistema: x = −2 x− y − 2 = 0 cuya solución es x = -2 e y = -4, luego las coordenadas del centro O son ( -2, -4 ).
r = OA = OB = OC = 52 = 2 13 . - Radio: 2 2 - Ecuación de la circunferencia: ( x + 2 ) + ( y + 4 ) = 52
2
6
La distancia entre los centros de dos circunferencias C y C´ es la suma de sus radios, que vale 6 unidades; siendo el radio de C el doble que el radio de C´. Sabiendo que tienen sus centros en el origen y en el eje OY respectivamente, dibújalas e indica su posición relativa. Solución: Sean r y r´ los radios de las circunferencias dadas. Se tiene que r + r´= 6 y r = 2r´luego r = 4 y r´= 2. Al ser la distancia entre los centros la suma de los radios, las circunferencias son tangentes exteriores y sus posiciones posibles son las de la figura. Las circunferencias tangentes tienen un solo punto común.
7
Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje 0Y y que pasa por A ( 0, -2 ) y por B ( 3, 7 ). Solución: Como la circunferencia pasa por A y B, su centro estará sobre la mediatriz de AB, es decir, sobre la recta -3x + y +2 = 0. ( no hay más que encontrar el punto medio de AB y hallar la recta que pasa por dicho punto y tiene como vector director al perpendicular a AB ) Como su centro está también sobre el eje OY, la intersección de este eje con la mediatriz de AB determinará dicho centro. Se obtiene entonces C ( 0, 3 ). El valor del radio será la distancia de C a A o B: r = 5. 2 2 La circunferencia buscada es ( x - 0 ) + ( y - 3 ) = 25 B
C
A
8 Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por A ( 3, 7 ) y por B ( -3, -3 ) y cuyo radio es 2 Solución: 2 2 2 Se busca un circunferencia de la forma ( x - a ) + ( y - b ) = r . 2 2 Pasa por A : ( 3 - a ) + ( 7 - b ) = 68 2 2 Pasa por B : ( -3 - a ) + ( -3 - b ) = 68 Resolviendo el sistema dado por estas dos ecuaciones obtenemos: a1 = -5, b1 = 5 ; a2 = 5 , b2 = -1. 2 2 2 2 Las circunferencias pedidas: ( x + 5 ) + ( y - 5 ) = 68 y ( x - 5 ) + ( y + 1 ) = 68
17
.
9
2
2
Sobre la circunferencia de ecuación x + y - 6x -14y + 33 = 0, encuentra los puntos que distan 5 unidades del punto C ( -1, -1 ). Solución: 2 2 La circunferencia dada se puede escribir como : ( x - 3 ) + ( y - 7 ) = 25 Si con centro en C y radio 5 se traza una circunferencia, ésta cortará a la dada en dos puntos que distarán 5 unidades de C. 2 2 Dicha circunferencia será: ( x + 1 ) + ( y + 1 ) = 25 Igualando ambas ecuaciones obtenemos dos puntos: A ( -1, 4 ) ; B ( 3, 2 ) 2
2
10 Halla la intersección de la circunferencia ( x - 2 ) + ( y + 1 ) = 2 y la recta y = -x + 3 . Solución: y = − x+ 3
(x − 2) + (y+ 1) = 2 2
2
2
2
( x - 2 ) + ( -x + 3 + 1 ) = 2, 2 que da lugar a la ecuación cuadrática: x - 6x + 9 =0, con solución única: 6 ± 36 − 36 x= =3 2 Para x = 3, y = 0. El único punto de corte es P ( 3, 0 ) y la recta es tangente a la circunferencia precisamente en ese punto. Como C ( 2, -1 ) es el centro de la circunferencia y r : x + y - 3 = 0, la distancia centro- recta es : 2 − 1− 3 d= = 2 1+ 1 d coincide con el radio, lo que confirma la tangencia. Observa no obstante que de esta forma no obtenemos las coordenadas del punto de corte. 11 Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por P ( -2, -2 ), cuyo centro está sobre la recta 2x - y = 0 y es tangente a la recta 3x - 4y - 20 = 0. Solución: 2 2 2 La forma buscada de la circunferencia es del tipo: ( x - a ) + ( y - b ) = r 2 2 2 Pasa por P : ( -2 - a ) + ( -2 - b ) = r El centro está en 2x - y = 0 luego 2a - b = 0. Por ser tangente a 3x - 4y - 20 = 0, la distancia del centro ( a, b ) a esta recta será igual al radio: 3 a− 4 b − 20 = −r 5 ( distancia de un punto a una recta) Resolviendo el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas a, b, r, obtenemos: a1 = 1, b1 = 2 , r1 = 5 ; a2 = -2, b2 = -4, r2 = 2. 2 2 2 2 Por consiguiente ( x - 1 ) + ( y - 2 ) = 25 y ( x + 2 ) + ( y + 4 ) = 4 son las soluciones del problema. 12 Las distancias de las rectas r, s y t al centro de una circunferencia son, respectivamente, 30, 15 y 10 unidades de longitud. ¿Cuál es su posición relativa respecto de la circunferencia dada de radio 15 unidades de longitud y cuántos puntos comunes tienen con la circunferencia dada? Solución: La recta r es exterior a la circunferencia, pues la distancia al centro, 30, es mayor que el radio de la circunferencia, que es 15, y no tiene puntos comunes. La recta s es tangente a la circunferencia, pues la distancia al centro coincide con el radio de la circunferencia, que es 15, y tiene un punto común. La recta t es interior a la circunferencia, pues la distancia al centro, 10, es menor que el radio de la circunferencia, que es 15, y tiene dos puntos comunes. 2
13 Halla la ecuación de la circunferencia de radio r = 10, que pasa por P ( 7, 5 ) y es tangente a r: x - 3y + 4 = 0.
Solución:
10 2 2 Trácese una circunferencia de centro P y radio r = . Esta circunferencia será ( x - 7 ) + ( y - 5 ) = 10. (1) Por un punto cualquiera de la recta dada, como Q ( 14, 6 ), levántese una perpendicular y márquese sobre ella ( del 10 mismo lado de P ) un punto R ( 13, 9 ) tal que RQ = . Por R trazamos una paralela a la recta dada. Esta paralela es x - 3y + 14 = 0. Cuyas intersecciones con la circunferencia (1) darán los centros de las circunferencias buscadas: C1 ( 4, 6 ) C2 ( 44/5, 38/5 ). 2 2 2 2 Y por tanto las circunferencias buscadas son: ( x - 4 ) + ( y - 6 ) = 10, ( x - 44/5 ) + ( y - 38/5 ) = 10
R C2
C1
x-3y+4=0 P
Q
