Libër për mësuesin “Matematika 9” - albas.al

Libër për mësuesin “Matematika 9” Përgatitur nga: Shefik Sefa

Botime shkollore Albas

Miratuar nga Ministria e Arsimit dhe Shkencës

Botues: Latif AJRULLAI Rita PETRO

Redaktore: Sevi LAMI Redaktore letrare: Vasilika DINI Arti grafik: Emanuela LUMANI © Albas, Tiranë 2008 Ribotim, 2010 Të gjitha të drejtat janë të rezervuara

Shtëpia Botuese Albas Në Tiranë: Rr. Budi, Pall. “Classic Construction”, zyra nr. 2 Tel/Fax: ++ 355 4 2379184 e-mail: [email protected] Në Tetovë: Rr.Ilindenit, nr.105 Tel: 044 344047 e-mail: [email protected] Në Prishtinë: Rr.Eqrem Çabej, nr.47 Tel: 038 5457139 e-mail: [email protected]

2

HYRJE Libri për mësuesin Matematika 9 është hartuar si udhëzues për të zhvilluar orët mësimore, me qëllim që të zbërthehen sa më qartë objektivat mësimorë dhe të ndihmohen nxënësit të zotërojnë aftësitë matematikore të domosdoshme për nivelet e mëtejshme të shkollimit. Në këtë udhëzues mësuesit do të gjejnë për çdo kapitull objektivat e arritjeve (OA). Meqenëse temat në tekstin e nxënësit Matematika 9 janë hartuar duke u paraprirë nga objektivat e programit, këtu mësuesi/ja do të gjejë objektivat specifikë që renditen duke ndjekur të parat. Matematika 9 i është përmbajtur me korrektësi programit, prandaj mësuesit në hartimin e objektivave duhet të mbështeten te teksti. Kujdes të bëhet me ushtrimet e vështira! Për të qenë më pak teorik, krahas planit mësimor, i ndërtuar sipas modelit të ri, do të gjeni për çdo temë tri nivelet e objektivave dhe materialin e përzgjedhur, që duhet në çdo orë mësimi për realizimin e këtyre objektivave. Mbështetur në udhëzimin e Qendrës së Trajnimit dhe Kualifikimit për Arsimin (Grupi qendror për formulimin e objektivave të kapitujve), në hartimin e objektivave janë përdorur tri nivele: I. Bazë, II. Mesatar, III. I Lartë. Në këtë udhëzues, i cili nuk merr përsipër të jetë ditar i mirëfilltë, do të gjeni shumë materiale që përdoren sot në ditar, si metoda mësimdhënieje (që mbeten në kuadër të rekomandimeve), ashtu edhe mjete ndihmëse. Te këto të fundit, nëse ato përgatiten me kujdes mund të shkëputim plot të tilla për pasurimin e kabinetit të matematikës. Materiali i ndërtuar si udhëzues për çdo temë, ku shpesh theksohet: kujdes, “kjo duhet theksuar”, tema mund të ndahet në dy pjesë etj. Te temat ku është parashikuar testi do të gjeni skemën e qortimit, pra do të gjeni vlerësimin e nxënësve hap pas hapi në çdo ushtrim të testit. Ditari mund të bëhet sipas strukturës mësimore ERR (Evokimi, Realizimi i kuptimit dhe Reflektimi), ose siç quhet ndryshe PNP, (Punë përgatitore, Ndërtimi i njohurive dhe Përforcimi). Në këtë libër mësuesi janë planifikuar 130 orë mësimi, të cilat mund të realizohen sipas kësaj renditjeje. Plani sintetik dhe analitik që është dërguar me tekstin në shkolla, duhet të pasurohet me objektivat specifikë për çdo orë mësimi. Që të jeni më të suksesshëm me nxënësit, është mirë të ndiqen me kujdes këto udhëzime.

3

4

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”


5

6



7

8



9

10


Mësimi 1.1 Tema: Numrat natyrorë, veprimet me to Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë veprimet me numrat natyrorë. Të formulojë vetitë e veprimeve me numrat natyrorë. Të formulojë kuptimin e numrave të thjeshtë. II. Të ilustrojë në boshtin numerik vetitë e mbledhjes së numrave natyrorë. Të gjejë PMP-në (SHVP-në) e dy numrave duke u mbështetur te rregulla praktike. III. Të vërtetojë duke i ilustruar në boshtin numerik vetitë e mbledhjes. Të gjejë PMP-në (SHVP-në) për më shumë se dy numra duke u mbështetur te përkufizimi. Metoda që rekomandohet: 1. Mësimdhënia jo e drejtpërdrejtë. 2. Ilustruesi grafik. 3. Punë individuale.


KREU I KUPTIMI I NUMRIT

Mjetet ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore, shkumësa me ngjyra, lapsa me ngjyra.

Zhvillimi i temës së re: 1. Shkruani një numër natyror. Shkruani tre numra natyrorë të njëpasnjëshëm. Këtu mësuesi të tregohet i kujdesshëm, sepse nxënësi mund të gabojë, ai mund të shkruajë p.sh.: 3, 5, 8. Mësuesi/ja do të kërkojë numra të tillë, si: 3, 4, 5. Këtu ai/ajo kontrollon nxënësit si punojnë. - Pse themi se numrat 3, 4, 5 janë të njëpasnjëshëm? Nxënësit përgjigjen: sepse 4 = 3 + 1, 5 = 4 + 1. Mund të ndodhë që nxënësi të shprehet: Sepse 4 është më e madhe se 3 dhe 5 më e madhe se 4. U kërkohet nxënësve të paraqitin në boshtin numerik këta numra. 2. Veprimet me numrat natyrorë. Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve: Shprehni numrin 5 si shumë e dy numrave: 5 = 4 + 1, ose 5 = 3 + 2 Ndaluni te 5 = 2 + 3. Dimë se 3 = 1 + 1 + 1, prandaj themi se 5 = 2 + 1 + 1 + 1 Mësuesi/ja mund të kërkojë nga nxënësit përkufizimin e shumës së numrit 2 me numrin 3. Nëse nxënësit nuk arrijnë të shprehen saktë ndërhyn mësuesi/ja: Shuma e numrit 2 me 3 është numri që fitohet nga numri 2, duke shtuar në mënyrë të njëpasnjëshme 3 njësi. Kërko ilustrimin në boshtin numerik. Nxënësit shohin përkufizimin në tekst.

11


Paraqiten në boshtin numerik: Shuma 3 + 2 Shuma 3 + 0 Shuma (3 + 2) + 2, 3 + (2 + 2) Pas këtyre ilustrimeve do të formulohen vetitë duke kërkuar më parë mendimin e nxënësve. Pas formulimit të vetive me nxënësit përgatitet vërtetimi i tyre. 3. Në të njëjtën mënyrë (duke u mbështetur në tekst) përgatiten përkufizimet e veprimeve të tjera. 4. PMP-ja dhe SHVP-ja. Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve: - A mund të shkruhen numrat 3, 5 si prodhim faktorësh të ndryshëm nga 1? (Jo) - Po numrat 6 dhe 18? (6 = 2 • 3, 18 = 2 • 32) Numrat 2, 3, 5 etj., do t’i quajmë numra të thjeshtë. Nxënësit shkruajnë dy numra të thjeshtë (7, 11, 13...). Në fund mësuesi/ja duhet të tregojë rregullën praktike për të gjetur PMP-në dhe SHVP-në. m•n Këtu ka rëndësi të theksohet formula SHVP (m, n) = PMP (m, n) Punë e pavarur. Kjo mund të përdoret dhe në formën e minitestit. Plotësoni tabelën në tekst. Shkruani 7 si shumën e dy numrave të njëpasnjëshëm. Gjeni PMP-në dhe SHVP-në e numrave 42, 63 Gjeni PMP-në dhe SHVP-në e 288, 360, 432

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/b, 3/a, 5/d, 9/a, faqe 12.

Mësimi 1.2 Tema: Numrat racionalë. Bashkësia e numrave racionalë Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë numrat racionalë. Të shënojë në boshtin numerik të paktën dy numra racionalë. Të përkufizojë bashkësinë e numrave racionalë. II. Të shkruajë si numra dhjetorë të paktën dy thyesa. Të shkruajë një numër thyesor si numër dhjetor. III. Të vërtetojë të paktën dy vetitë e numrave racionalë. Metodat që rekomandohen: 1. Mësimdhënia jo e drejtpërdrejtë. 2. Ilustruesit grafikë. 3. Punë individuale.

12

Mjetet ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore, shkumësa me ngjyra, lapsa me ngjyra.

x‘

I 1

I

I

I

I

3 − 7

I

I

I

0

I

I

I

3 7

I 1

x

Mësuesi/ja kërkon përkufizimin, i cili gjendet në tekstin e nxënësit. 2. Shkruani numrin e plotë -3 në formën e numrit racional. m Theksohet se: për çdo m ∈ z ⇒ m = , (1 ∈N) , pra çdo numër i plotë 1 është racional, domethënë Z ⊂ Q (bashkësia e numrave të plotë është pjesë e bashkësisë së numrave racionalë). 3. Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit që të shkruajnë 4 thyesa, një me emërues 2, një me emërues 5, një me emërues 10 dhe një me emërues çfarëdo, sipas dëshirës (jo 2, 5, 10). P.sh.: 3 , 4 , 11 , 4 2 5 10 7


Zhvillimi i temës së re: 1. Në fillim mësuesi/ja shkruan në tabelë këta numra: ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .... dhe pyet nxënësit: - Si emërtohen këta numra? Paraqitini në boshtin numerik. 3 3 - A ka kuptim shënimi ? - Po − ? 7 7 Përmendni disa veti të thyesave, më pas paraqitini në boshtin numerik thyesat − 3 dhe 3 . 7 7

U kërkohet nxënësve të bëjnë pjesëtimet 3 : 2; 4 : 5; 11 : 10; 4 : 3. Një nxënës shkruan në tabelë:

3 4 11 4 = 1, 5 , = 0, 8 , = 11 , , = 1, 333 ..... 2 5 10 3

Duhet theksuar se çdo numër racional (thyesë) shkruhet si numër me presje dhjetore dhe anasjellas. (shiko Matematika 9, faqe 14) Kujdes duhet pasur në zgjedhjen e thyesave (të jenë sa më të thjeshta që të dalë qartë ideja). Punë e pavarur. Nxënësit shkruajnë tre numra racionalë. 4 - Cilët janë numra racionalë? -3, − , 0,15, −0, 24 3 1 1 Shkruani si thyesa numrat: 0,15; −0, 24 ; -12; 8 + ; 12 + . 2 5 Shkruani si numra me presje thyesat: Gjeni x që:

!

23 9 12 . ; ; 6 2 5

x +1 5 dhe të paraqitin të njëjtin numër racional. 4 3

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/b, 2/a, 6, faqe14-15.

13


Mësimi 1.3 Tema: Numrat irracionalë. Bashkësia e numrave realë Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë kuptimin e numrave irracionalë. Të shkruajë të paktën dy numra irracionalë. Të tregojë lidhjen ndërmjet bashkësive N, Z, Q, R, duke përdorur kuptimin e nënbashkësisë. II. Të paraqesë në boshtin numerik të paktën dy numra irracionalë. III. Të vërtetojë se ekzistojnë numrat irracionalë (të paktën në dy raste). Metodat që rekomandohen: 1. Mësimdhënia jo e drejtpërdrejtë. 2. Diagrami i Venit. 3. Ilustruesi grafik. 4. Puna individuale.

Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Kompas. 4. Vizore, shkumësa me ngjyra, lapsa me ngjyra.

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve: - Pse themi se 4 = 2 ; 0,16 = 0, 4 ? Gjeni 256 ; 225 . - A mund të themi se 3 = 1, 7 ? Po 3 = 1, 8 ? Këtu është e rëndësishme që mësuesi/ja të tregojë se ,1, 7 < 3 < 1, 8 sepse (1, 7)2 < 3 dhe (1, 8)2 > 3 për të njëjtat arsye. 1, 73 < 3 < 1, 74 1, 732 < 3 < 1, 733 1, 7320 < 3 < 1, 7321 Mësuesi/ja duhet të theksojë përfundimin se 3 është një numër që nuk m mund të paraqitet në formën e një thyese (thyesë e pathjeshtueshme). n Kujdes! Te faqja 16 korrigjo n = 3l, rreshti i dytë dhe i tretë. Më pas kalohet te përkufizimi 1: m Çdo numër që nuk paraqitet në formën e një thyese, ku m ∈ Z, n ∈ N n quhet numër irracional (joracional). Bashkësinë e numrave irracionalë do ta shënojmë me I. Bashkësia e numrave realë quhet bashkësia R = Q U I Mësuesi/ja duhet të kërkojë nga nxënësit: - Cilat nga pohimet janë të sakta? N ⊂ Q, Z ⊂ N, Z ⊂ R, Q ⊂ I, Q ∩= I ϕ, I ⊂ R

14

N

Z

R Q

I

U kërkohet nxënësve të paraqitin 5 në boshtin numerik. Çdo numër real paraqitet në boshtin numerik me një pikë të vetme. Mësuesi/ja jep për punë të pavarur: Cilat nga shënimet janë të sakta? I I ⊄ Z, Z ⊂ I, I ⊂ Q, R ∩ Q = Tregoni se 5 nuk është numër racional. Paraqitni në boshtin numerik 3.

!


Mësuesi/ja kërkon që nxënësit të paraqitin me anë të diagramit të Venit lidhjen ndërmjet N, Q, I, R.

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1a/b, 2, faqe 16.

Mësimi 1.4 Tema: Nënbashkësia. Intervalet, segmentet numerike Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë kuptimin e bashkësive duke e paraqitur me anë të ndryshoreve. Të formulojë vetitë e përfshirjes. Të shkruajë me simbole intervalet numerike. II. Të paraqesë në boshtin numerik intervalet numerike. III. Të vërtetojë vetitë e përfshirjes (së paku vetinë e kalimit). Metodat që rekomandohen: 1. Mësimdhënia jo e drejtpërdrejtë. 2. Ilustruesit grafikë. 3. Diagrami i Venit. 4. Punë individuale.

Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore, shkumësa me ngjyra, lapsa me ngjyra. 4. Tabela ndihmëse të parapërgatitura (paraqitja e intervaleve numerike në bosht).

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja shkruan në tabelë dy bashkësi numerike. P.sh.: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dhe B = {2, 4, 6, 8, 10}. Pyeten nxënësit: - A mund të themi se B-ja është pjesë e A-së? E njëjta kërkesë është për A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, B = {2, 4, 6, 8, 10}. - A mund të përkufizoni kuptimin e nënbashkësisë? Kujdes! Këtu ka rëndësi përkufizimi që paraqitet me anë të implikimit: (B ⊂ A ) ⇔ (çdo x ∈ B ⇒ x ∈ A) Më pas kalohet te vetitë e përfshirjes. E domosdoshme është të vërtetohet vetia e kalimit.

15


Skematikisht kjo veti paraqitet me diagramin e Venit.

Nëse A ⊂ B dhe B ⊂ C ⇒ A ⊂ C

A

B

C

Në këtë moment mësuesi/ja u drejtohet nxënësve: - Çfarë do të thotë për ju shënimi: R = { X / X ∈ Q ose X ∈ I} (kujto bashkësinë e numrave realë) A = {x ∈ N / x < 5} A = { x ∈ R / − 3 < x ≤ 5} Paraqite në boshtin numerik. B x

I

I 0

I

I 2

I

I

Për më tepër vazhdo si te teksti i nxënësit. Mësuesi/ja duhet të theksojë rubrikat Kujdes, që janë te teksti dhe për çdo hap të ftojë nxënësit në paraqitjen e shembujve. Rikujtohet se rubrika Mbaj mend duhet parë me vëmendje në çdo orë mësimi. Pas kësaj kalohet në punë të pavarur. Mësuesi/ja kërkon që nxënësit të shkruajnë në formën: A = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b} dhe të paraqesin në boshtin numerik bashkësitë: ]-3; -1[, [0; 5], ]-11; 3[ Shkruani në formën e intervaleve (segmenteve) numerike bashkësitë: A = {x ∈ R / -3 ≤ x ≤ 5} C = {x ∈ R / -30 < x < 32}

B = {x ∈ R / -2 < x < 2}

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1, 2, 3, 4, faqe 18.

! Për nxënësit e nivelit të lartë: Vërtetoni nëse atëherë A = B.

A ⊂ B dhe B ⊂ A ,

Mësimi 1.5 Tema: Prerja dhe bashkimi i bashkësive. Bashkësitë plotësuese Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë prerjen (bashkimin) e dy bashkësive duke i paraqitur me anë të ndryshorit. Të formulojë vetitë. II. Të gjejë prerjen e dy bashkësive të dhëna. Të gjejë bashkimin e dy bashkësive të dhëna. Të paraqesë në boshtin numerik prerjen (bashkimin) e dy intervaleve numerike. Të gjejë plotësin e një bashkësie në lidhje me një bashkësi të dhënë. III. Të vërtetojë vetitë e prerjes dhe bashkimit të bashkësive. Të vërtetojë të paktën njërën veti të bashkësive plotësuese.

16

A

A

B

B

A

A

Metodat që rekomandohen: 1. Mësimdhënia jo e drejtpërdrejtë. 2. Ilustruesit grafikë. 3. Diagrami i Venit. 4. Punë individuale.

B

B A

A

E

E


Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore, shkumësa me ngjyra, lapsa me ngjyra. 4. Tabela që tregojnë prerjen, bashkimin dhe plotësin e bashkësive (me ngjyra).

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja në tabelë shkruan dy bashkësi numerike: P.sh.: A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6} Kërkohen nga nxënësi elementet e përbashkëta të A-së dhe B-së. Po t’i paraqitim me diagramin e Venit, vihet në dukje se

1x 2x

x3 x4

x5 x6

3 ∈A dhe 3 ∈B dhe 4 ∈A e . 4 ∈B

Këtu jepet përkufizimi i prerjes së dy bashkësive. Më pas, mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të gjejnë prerjen në dy rastet e tjera. P.sh.: Gjeni A ∩ B , nëse A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; B = {3, 4, 5, 7, 8} dhe B ∩ C nëse C = {4, 5, 9, 10}. Në këtë moment mësuesi/ja përmend vetitë e prerjes: 1. A ∩ ϕ 2. A ∩ A = A 3. A ∩ B = B ∩ A të cilat janë rrjedhime të përkufizimit. Mësuesi/ja shtron këto pyetje për nxënësit: Te bashkësitë A = {1, 2, 3, 4} dhe B = {3, 4, 5, 6, 7}. Cilat elemente të A-së nuk janë në B? Cilat elemente të B-së nuk janë në A? Shënoni me D bashkësinë D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. - Çfarë mund të thoni për D-në? Kujdes! Shumë nxënës përgjigjen: “Bashkësia D ka elementet e bashkësisë A dhe të bashkësisë B”, kjo përgjigje nuk është e saktë, sepse lidhëza “dhe” është përdorur te kuptimi i prerjes së bashkësive. Përgjigjja e saktë është: “Bashkësia D ka për elemente ato që janë në bashkësinë A ose në bashkësinë B”. Mësuesi/ja duhet të ndërhyjë në rastin kur nxënësit nuk shprehen saktë.

17


Pas formimit të përkufizimit mësuesi/ja kalon në shembuj dhe në formimin e vetive: 1. A ∪ ϕ = A 2. A ∪ A = A 3. A ∪ B = B ∪ A Punë e pavarur. Jepet A = ] − 3; 7] , B = ] − ∞; 2] Gjeni A ∪ B dhe A ∩ B Zgjidhje:

A

B

-oo x’ A

-3

A

I

I

-2 -1

B

B

I I 0 1

I

2

I

3

I

4

I

5

I

6

7

I

x

A ∩B= ]3; 2] A ∪ B = ] − ∞; 7] Mësuesi/ja në tabelë shkruan bashkësitë: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dhe A = {1, 2, 3, 4} pyet nxënësit. - Cilat elemente të E-së nuk janë në A? Shënoni në B elementet e sipërpërmendura. Mësuesi/ja duhet të theksojë për nxënësit se vetëm kur bashkësia A ⊂ E mund të flasim për plotës të A-së në lidhje me E-në. Shënohet ⊂EA (dhe jo ⊂EA ). Ilustrohet me diagramin e Venit.

A

A E

Këtu jepet përkufizimi.

Më pas, punohet me vetitë duke vërtetuar njërën prej tyre. P.sh.: A ∪ ⊂EA =E (kujdes A ⊂ E ). Vërtetim: 1. E zëmëse, x ∈ A ∪ ⊂EA ⇒ x ∈ A ose x ∈⊂EA ⇒ ( x ∈ A ose x ∈ E / x ∉ A ) ⇒ x ∈ E 2. E zëmë se x ∈ E (meqenëse A ⊂ E ) ⇒ ( x ∈ A ose x ∉ A ) ose x ∈⊂EA ⇒ x ∈ A ∪ ⊂EA Këto vërtetime tregojnë se A ∪ ⊂ EA =E

,

! Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1a/b (d/h për nxënës të nivelit të lartë), 2 dhe 3.

18

Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të gjejë PMP-në dhe SHVP-në e dy numrave njëshifrorë. Të tregojë lidhjen ndërmjet bashkësive N, Z, Q, R. II. Të gjejë PMP-në për dy numra 2, 3, 4... shifrorë. Të gjejë SHVP-në për dy numra 2, 3, 4... shifrorë. Të gjejë bashkimin (prerjen) e bashkësive. III. Të gjejë numrin e elementeve të bashkimit të dy bashkësive. Të provojë formulën SHVP (m, n) • PMP (m, n) = m • n duke diskutuar me shembuj. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela për gjetjen e PMP-së në mënyrë skematike. (P.sh.: PMP (192; 80)). Herësi

2

Veprimi

192 160

Mbetja

32

:

80 64 16

:

Metodat që rekomandohen: 1. Diskutim problemor. 2. Ilustrues me tabela. 3. Punë individuale. 4. Punë në grup.

2

2

32: 32

16


Mësimi 1.6 Tema: Ushtrime

0

PMP (192 ; 80) = 16 Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve: Kujtoni përkufizimin e PMP (SHVP) të dy numrave: m; n. Gjeni PMP (4; 6), SHVP (4; 6). Gjeni PMP (54; 162) duke zbatuar skemën e paraqitur te tabela. Gjeni PMP (25; 30; 60) (Shënim: në fillim gjeni PMP (25; 30). Gjeni SHVP (54; 162) dhe provoni se PMP (54; 162) • SHVP (54; 162) = 54 • 162 ⇒ SHVP (54; 162) = 54 • 162 PMP (54; 162) Ndërhyn mësuesi/ja duke theksuar se: ShVP (m; n) =

m•n PMP(m; n)

(1)

Gjeni SHVP (144; 216) duke përdorur rregullimin e tabelës dhe formulën (1). Mësuesi/ja në tabelë të zezë shkruan bashkësitë: A = {1, 4, 5, 6, 8, 11, 12}; B = {2, 4, 8, 10}; C = {1, 4, 8, 11}

19


Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve: Gjeni: A ∩ B; B ∩ C; ( A ∩ B) ∩ C, A ∩ (B ∩ C) Krahasoni: ( A ∩ B) ∩ C me A ∩ (B ∩ C) Gjeni: A ∪ B; B ∪ C; ( A ∪ B) ∪ C, A ∪ (B ∪ C) Krahasoni: ( A ∪ B) ∪ C me A ∪ (B ∪ C) Nga A ∩ B dhe A ∪ B tregoni se: n( A ∪ B)= n( A ) + n(B) − n( A ∩ B) (2) Duke zbatuar formulën (2) gjeni n(B ∪ C) . Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të punojnë ushtrimin 6. - Si do tì ktheni në numra dhjetorë thyesat: 3 ; 5 ? 5 3 Ktheni në thyesa 0,53 dhe 0,5 3 .

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1b/c, 4, 7/3, 8/3.

Mësimi 1.7 Tema: Fuqitë me eksponent racional. Lidhja e fuqive me rrënjët. Vetitë Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të shkruajë përkufizimin e rrënjës aritmetike me tregues n ∈N, n ≥ 2 Të shkruajë përkufizimin e fuqisë me eksponent racional. II. Të shkruajë vetitë e fuqive me eksponent racional, duke zbatuar vetitë e rrënjëve. Të shkruajë një rrënjë në formën e fuqisë, në të paktën dy raste. (P.sh.: 4 3 ; a − 1 etj.) 3 c III. Të vërtetojë të paktën dy nga vetitë e fuqive. Të shkruajë si fuqi rrënjët e tilla, si: 5 a2 b dhe anasjellas. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela në të cilat janë shkruar formula (p.sh.: am / n = n am

Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Ilustrues me tabela. 3. Punë individuale.

etj.)

Zhvillimi i temës së re: 4 Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve: a. Gjeni: 4 = ; 9 = ; 0,16 = Kujdes! Kujtoni përkufizimin e rrënjës katrore. Duhet të kujdeseni që ajo të jetë numër pozitiv (marrëveshja) dhe se ekziston vetëm për numra jonegativë. b. A mund të themi se: 3 8 = 2 , sepse 23 = 8 x4 = 16 ⇔ x =± 2 d.m.th. 4 16 = 2 , sepse 24 = 16. Gjeni 3 8 ⋅ 27 dhe krahasoni me 3 8 ⋅ 3 27

20

Vini re me kujdes!

4

212 =

4

24 • 24 • 24 =

4

24 •

4

24 •

4

24 = 2 • 2 • 2 = 23 = 8

Këtu shkruani përkufizimin mbi fuqinë me eksponent racional. Pas shembujve kalohet te vetitë. Këtu u jepet nxënësve punë e pavarur, punoni ushtrimet 1 dhe 2 pas rubrikës Mbaj mend.

!


Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të shkruajnë vetinë që rrjedh nga shembulli i mësipërm. Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve: 4 - Pse 4 16 = 2 (sepse 24 = 16), d.m.th. 4= 16 4= 24 2 ose 2 4 4 4 4 Kështu: 4 2= 2= 2. 12 5 4 12 3 5 4 5 - A mund të shkruajmë se 5 32 2= 8? = 5 2= 2= 2 ? - Po 2 = 2 =

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1a/c, 2/b, faqe 24.

Mësimi 1.8 Tema: Ushtrime Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të shkruajë rrënjët si fuqi me eksponent racional. Të shkruajë fuqitë si rrënjë. II. Të tregojë zgjidhjet e ekuacioneve të fuqisë më të lartë se e para të formës, si p.sh.:

x3 = −

1 8

x4 = 256

III. Të thjeshtojë shprehje me rrënjë, si p.sh.: 10 x 4 ; 5 ( −2a)10 . Të shkruajë rrënjët me të njëjtin tregues. Të thjeshtojë shprehje më rrënjë. Të shkruajë rrënjët si fuqi, p.sh. 3 a 2 . Të krahasojë rrënjët p.sh.: 4 3 me 5 4 Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formula ose model ushtrimi i shkurtër.

Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Ilustruesi me tabela. 3. Punë individuale.

P.sh. am / n = n am etj. Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja shkruan në tabelë këto ekuacione: x2 = 4; x 4 =

1 1 243 ; x 3 = − ; x16 = -10; x5 = -32; x2 = -0,16; x 5 = 16 8 32

21


Mësuesi/ja pyet klasën: - Cilat nga ekuacionet nuk kanë zgjidhje? Pse? Gjeni zgjidhjet e ekuacioneve që kanë një të tillë. Zbuloni veprimin që është kryer te shndërrimi: 10

2• 2

4

2

5

4 2 10 5 x= x= x 5•= x=

x2

Thjeshtoni shprehjen: 6

a2 ,

9

(2b)6 ,

Jepen 5 3 , Shkruani: 5 3

3

5

( −2a)10

2 dhe 15 71 .

1

1• 3

3

1 3

1• 5 3•5

5 15

3 5 15 = 3 3= 3 5 •= 3=

= 2 2= 2 = 2= 15

Kështu marrim

15

33

15

25

33 ; 15 25 dhe

15

71 ose

15

27 ; 15 32 ;

15

71 .

- Cila nga këto është më e madhe? Renditini nga më e madhja deri te më e vogla. Punë e pavarur: Mësuesi/ja jep këto ushtrime: 1. Thjeshtoni: 2. Krahasoni:

6

16 ; 5 (32)2 ; 3 me 4 5 ;

3. Shkruani më thjesht:

!

22

3

9

x ( − )6 . y

8 me 3 16 ; 3 3 me

5

5;

a 2.

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2/c, 4/c, 5 b/c, 6/a, faqe 25.

Ushtrimi 1: Nxënësi, nëse qarkon 1/d, fiton. Nëse qarkon 2/a, fiton.

(1 pikë) (1 pikë)

Ushtrimi 2: Nxënësi, nëse paraqet boshtin numerik, fiton. (1 pikë) Nxënësi fiton pikën e dytë nëse paraqet në boshtin numerik numrin 5. Nxënësi fiton pikën e tretë (+1) nëse nga ndarja 5 shton tre (3) ndarje të tjera.

+3

x

I 0

1

I

I

I

I

I

I

5

(5+3=8) I

I

8

x

Shënim: Nëse një nxënës paraqet direkt figurën, fiton.

x

1

I 0

I

I

I

I

I

I

I

I

8


Skema e qortimit të Testit (faqe 26)

(2 pikë)

x

Nxënësi fiton pikën e katërt nëse nga ndarja 5 zbret tri ndarje.

-3

x

1

I

0

I

I

2

I

I

I

5

x

Ushtrimi 3: Nëse qarkon 2 numra të thjeshtë, fiton. Nxënësi për çdo çift numrash të qarkuar fiton. Ushtrimi 4: a. Nëse nxënësi gjen faktorët e thjeshtë të numrit, fiton p.sh.: 128 ka vetëm 1 faktorë. Nëse shkruajnë numrin si prodhim faktorësh të thjeshtë, fiton p.sh.: 128 = 27. b. Nëse gjejnë PMP-në për dy numra, fitojnë. . Nëse gjejnë PMP-në për tre numra i jepen. . Nëse gjejnë PMP-në për tre numrat njëherësh. Njëlloj veprohet edhe për SHVP-në.

(1 pikë) (1 pikë)

(1 pikë) (1 pikë) (1 pikë) (1 pikë) (2 pikë)

Ushtrime 5/ a. Shkrimi i numrit periodik (p.sh. 2, 2 = 2,2222..) 10 2, 2 = 22.222.. (1 pikë) Shkrimi i numrit në thyesë ( 2, 2 = 20/9) (1 pikë) b. Njëlloj veprohet edhe për numrin 1, 03 .

23


Ushtrimi 6: Qarkimi i alternativës së saktë R = I ∪ Q Ushtrimi 7: a. Shkrimi i [ −7; 1, 5] = { x ∈ R / − 7 ≤ x ≤ 1, 5} Paraqitja në bosht.

x

I

I

-7

1

I

I

I

I

I

I

(1 pikë) (1 pikë) (1 pikë)

I

0 1,5

x

Kjo për secilën bashkësi. b. 1. Paraqitja e bashkësive A, B, C në boshtin numerik si më lart jepet për secilën. (1 pikë) (1 pikë) Shkrimi A ∩ B ; A ∪ B ; B ∩ C ; A ∩ C jepet për secilën. 2. Paraqitja në bosht e secilës. (1 pikë) Ushtrimi 9: Shkrimi i secilës fuqi si rrënjë. Llogaritja e rezultatit për secilën. 3

 9 2  9 P.sh.   =    4  4

3

(1 pikë) (1 pikë) 3

3 3  9 9 8  3 (1 pikë)   =  = =    4 2 4    4  

(1 pikë)

b. Shkrimi i saktë i secilës rrënjë si fuqi. (2 pikë) Nëse nxënësi në ndonjë rast shkruan diçka ndërmjetëse, por jo rezultatin. P.sh.

3

2•a =

3

1

1

2 • 3 a = 2 3 • a 3 do të vlerësohet për çdo rast me 1 pikë.

Shënim: Tek ushtrimi 6 alternativa e saktë është c) R = I ∪ Q (jo R ⊄ I ∪ Q ). Tek ushtrimi 7/a duhet shënuar  − 2; 2  që mungon. Tek ushtrimi 7/b bashkësitë të shënohen: A = { x ∈ R / − 3 < x ≤ 5} , B= { x ∈ R / − ∞ < x ≤ 1, 5} C= { x ∈ R / x ≥ − 7} (dhe jo si në tekst)

Kreu II VEPRIMET ME NUMRAT REALË Mësimi 2.1 Tema: Mbledhja dhe zbritja e numrave realë. Rregullat Kujtesë për mësuesin/en! Dihet se nxënësi i di rregullat e mbledhjes dhe të veprimeve të tjera të numrave realë nga klasat e mëparshme. Qëllimi i këtyre temave është që të përafrohet perceptimi i nxënësit, mbi veprimet me numrat realë, me trajtimin e tyre shkencor-matematik. Prandaj, në këto tema është e rëndësishme që mësuesi/ja të këmbëngulë në zbatimin e vetive dhe rregullave, duke i evidentuar në çdo hap të shndërrimeve që kryen gjatë veprimeve me numrat realë.

24

Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Ilustrues grafik (figurat e tekstit, faqe 9). Këto mund të përgatiten nga mësuesi/ja në kartonë.

Metodat që rekomandohen: 1. Mësimdhënie jo e drejtpërdrejtë 2. Ilustruesi grafik (tabela) 3. Punë individuale


Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të shkruajë vetitë dhe rregullat e mbledhjes. Të mbledhë (zbresë) dy numra duke përmendur rregullën (vetinë). II. Të thjeshtojë shprehje me kllapa që përmbajnë dy veprime. III. Të zgjidhë problema që kthehen në shprehje aritmetike me veprimet e mbledhjes (zbritjes).

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja shkruan në tabelë bashkësitë: N = {1, 2, 3, 4, .......} Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, ......} Z = {...., -3, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ......} m  Q =  / m ∈ Z, n ∈ N n   = I {x / x ∉ Q} Më pas, mësuesi/ja kërkon nga nxënësit që të emërtojnë këto bashkësi dhe të shkruajnë për secilën nga 2 elemente. - A jeni takuar me numrat

3 4 ; − ; 2 5

2; − 3; π; − 2π etj.?

- A mund të tregoni se cilës bashkësi të përmendur më lart i përkasin? Në këtë moment mësuesi/ja pyet: - A dini të mblidhni (zbrisni) dy numra? Mësuesi/ja diskuton me një nxënës duke marrë shembuj dhe kërkon që nxënësi +2 të ilustrojë në boshtin numerik. P.sh. 3 + 2 = 5

x

1

I

0

I

I

I

3

I

I

5

x

Mësuesi/ja ndërhyn me pyetjen: - Çdo të thotë të mbledhësh dy numra? P.sh. numrat 6 me 15. - Çdo të thotë të zbresësh dy numra? P.sh. 15 me 6. Duhet theksuar se mbledhja (+) dhe zbritja (-) ne algjebër identifikohen me të njëjtin emërtim. Mbledhje algjebrike d.m.th. a + b (mbledhje e a me b) dhe a – b (mbledhje e a me të kundërtin e b (-b). Mësuesi/ja u kërkon nxënësve të gjejnë këto shuma: 1   2 + 2  + 3

; [2 + ( −3)] + ( −4) ; 4 + [( −4) + 5] ; [ 4 + ( −4)] + 5 ; [5 + ( −4)] + 4 25


Nxënësit përmendin vetitë e mbledhjes, në rast të kundërt duhet që mësuesi/ja tì shkruajë saktësisht në tabelë dhe për çdo veti të sjellë shembuj. Kujdes! Është e domosdoshme të kërkojë që nxënësit të përsëritin rregullën e mbledhjes së dy numrave realë. Mësuesi/ja jep punë të pavarur. Gjeni shumat duke evidentuar vetitë (rregullën): 1. -10,2 – 17,6 = 2. +21,2 + 32,3 – 20,15 = 3.

    1 1 2  6, 5 −  2 − − 0, 5 + 2 − +  − 0,1 + 2, 5 − 0, 8 + 1 3 2 3     

Mësuesi/ja së bashku me nxënësit zgjidh problemën 3, faqe 28. Zgjidhja: 103 + (9 – 15) + (27 – 13) + (8 – 53) = 103 – 6 + 14 – 45 = [(103 – 6) + 14] – 45 = = (97 + 14) – 45 = 111 – 45 = 66

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/b, 2 b/c.

Mësimi 2.2 Tema: Shumëzimi dhe pjesëtimi i numrave realë Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të shkruajë përkufizimin e prodhimit (herësit) të dy numrave realë. Të formulojë vetitë e shumëzimit (pjesëtimit). II. Të formulojë rregullat e shumëzimit (pjesëtimit) të numrave realë. Të thjeshtojë shprehje me veprimet e shumëzimit dhe pjesëtimit. III. Të thjeshtojë shprehje me katër veprimet. Të vërtetojë të paktën njërën veti. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formula m•p (P.sh. 1.) m • p = n q n•q 2.) m : p = m • q = m • q n q n•p n•p

Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Ilustrimi me tabela. 3. Punë individuale. 4. Punë grupi.

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja shkruan në tabelë këto shprehje aritmetike: 3 3 3 3; 2 + 2; 2 + 2 + 2; + + + - Si mund t’i shkruani ndryshe këto shprehje? 2 2 2 2 3 3 3 3 3 + + + =4• ) (2 + 2 = 2 2, 2 + 2 + 2 = 3 2, 2 2 2 2 2

26


Kujtoni përkufizimin m n. Mësuesi/ja pyet nxënësit: - A janë të barabarta këto shprehje? 2 + 2 + 2; 3 + 3; - A mund të themi se: 3 2 = 2 3? - Cilën veti ju kujton? Formuloni vetitë e shumëzimit të dy numrave të plotë. Kujdes! (-2) 3 = 3(-2) = -2 + (-2) + (-2) (-2)(-3) = 2 3 = 3 2 - Cili rregull zbatohet? Mësuesi/ja këtu ndërhyn për shumëzimin e numrave racionalë. m p Përkufizim: Prodhim i thyesave e , quhet thyesa m • p . n q n•q m p m•p • = ku n ≠ 0 dhe q ≠ 0 Vini re tabelën: n q n•q Nxënësit formulojnë vetitë e shumëzimit. Pas përkufizimit merren 2-3 shembuj. Përkufizimi i pjesëtimit: Vini re tabelën

m p m q : =• ku n ≠ 0, p ≠ 0, q ≠ 0 n q n p

Më pas vihen nxënësit në punë të pavarur: −9 : ( −3) Thjeshto: ; ( −1)2 • ( −3)

( −16) • ( −7) ; ( −3) • ( −1) • 9

2 Gjeni vlerën e y • ( y − 3) për y = . 3 y −2

!

 4  2   2  2   9 −  − 9   •  3 −  − 3       5  10  : − 9  3 

.

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1 b/d, 2/a, 3/b, 7 faqe 30.

Mësimi 2.3 Tema: Ushtrime Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të thjeshtojë shprehje aritmetike të plota me katër veprime. Të thjeshtojë shprehje aritmetike racionale me dy veprime. II. Të thjeshtojë shprehje aritmetike racionale me katër veprime. Të llogaritë vlerën e shprehjeve shkronjore për vlera të dhëna të shkronjave. III. Të thjeshtojë shprehje aritmetike me numra periodikë. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9.

Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Punë e udhëhequr. 3. Punë grupi (individuale).

27


Zhvillimi i temës së re: Kjo etapë e orës së mësimit ndahet në tri pjesë. Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të rikujtojnë rregullat e veprimeve me numrat (mbledhja, zbritja, shumëzimi, pjesëtimi). Kërkohet nga nxënësit radha e veprimeve në shprehjet pa kllapa, me shprehjet me kllapa. Punë e pavarur. Thjeshtoni:  1   2  a. ( −2 − 1) • ( −2 + 1) • ( −2 − 3) ;  2 ( −2) + 2 ;  −7 + ( −17) •  −18 :  − 3       .  2  13 6 2    2  6 9   − +   ;  +  −  • 2 ;  2 −  13 − 6 + 2   :  2 +  6 − 9  • 2 b.  −  7 14 7 21 12 7 14          7  14 7 21  12  7 14   1 + 2 1  2 +

1 1 : 2 2 ; 1 1 : 2  2

c. Llogarit:

1 1 3 1 − − 4 2 −1+ 2 3 . 5 3 4 2

5  3  • 0, 46 +  −  0, 3 • 4   3  

 2 3 2 − (0, 4)  : 0, 53 − (0, 9)   3   2

 a2 + 2a + 1 a2 + 4a + 4  Gjeni vlerën e shprehjes:  + : 8 për a = 0, 5 . a + 2   a +1 Kujdes! Nëse nxënësit kanë vështirësi,ushtrimi c nuk duhet të punohet.

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimet I/2 dhe 5, II/2, III/1.

Mësimi 2.4 Tema: Veprimet me rrënjët Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të kujtojë vetitë e rrënjëve. Të përkufizojë rrënjët e ngjashme. II. Të llogaritë rrënjën e prodhimit dhe të herësit. Të reduktojë rrënjë të ngjashme. III. Të thjeshtojë shprehje me rrënjë që përmbajnë n an për n-çift. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formula (ku shprehin vetitë e rrënjëve).

28

Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Ilustrimi tabelor. 3. Puna e pavarur (grupi). 4. Punë e udhëhequr.

a•b=

n

am = a n

n

a•nb

n

P.sh.: m

a = b n

n

a

n

b

an = a

për n-çift

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja në fillim tregon tabelat dhe kërkon nga nxënësit të gjejnë: 4 16 • 81 3 1. 25 • 64 ; 8 • 64 ; 2. 3.

6

312 • 418 ;

5

25 ; 16

3

Kujdes! - A zbatohen vetitë te:

( −4) • ( −81)

32 • 243 • 105 ; 125 ; 27 −4 ( −9) ;

5


n

a15 . x10

−16 ? −25

Mësuesi/ja shkruan në tabelë: 6 22 ; 3 3 4 ; 6 ( −2) - A mund tì shkruani rezultatet e tyre? Vini re nga tabela kemi n an = a për çift dhe n an = a për n tek . Duke u mbështetur nga sa thamë gjeni: ; ; ( x − 3)2 (1 − 2 )2 ( −3)2 (1 − 3 )3 . (2 − 3 )3

;

4

( 2 − 7 )4 ( 3 − 7 )4

Mësuesi/ja shkruan në tabelë: 32 ; 72 ; 50 . - A mund të thjeshtohen këto rrënjë? Vini re: 32= 16 • 2= 16 • 2= 4 2 Njëlloj tregohet se: 72 = 6 2 ; 50 = 5 2 ; Rrënjët 4 2 ; 6 2 ; 5 2 quhen rrënjë të ngjashme. - A mund të përkufizoni rrënjët e ngjashme? Mësuesi/ja jep këtë shprehje: 8 − 32 − 1 50 + 1 72 dhe kërkon 5 3 thjeshtimin. a. Në fillim nxirret faktori para rrënjëve: 8= 4•2= 4 • 2= 2 2 32= 16 • 2= 16 • 2= 4 2 50= 25 • 2= 25 • 2= 5 2 72= 36 • 2= 36 • 2= 6 2

29


b. Kështu shkruajnë: 1 1 1 1 8 − 32 − • 6 2 50 + 72 =2 2 − 4 2 − 5 2 + 5 3 5 3 = 2 2−4 2− 2+2 2= − 2 Mësuesi/ja jep punë të pavarur. Thjeshtoni shprehjen: 1. 2 20 − 45 + 3 18 + 72 − 5 80 2. 2

1 − 0, 5 + 32 + 48 8

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimi 3, pika 1, 3/b faqe 33; ushtrimet 2 dhe 3, pika 3 në faqen 34, 3/a, faqe 36; 6/a, faqe 37.

Mësimi 2.5 Tema: Veprimet me rrënjët Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të rikujtojë përkufizimin e shprehjeve të konjuguara të njëra-tjetrës. Të zhdukë rrënjën nga emëruesi i një thyese, duke zbatuar shumëzimin e drejtpërdrejtë 2 ). (si p.sh.: 1 = 1 • 2 = 2 2 2• 2 II. Të zhdukë rrënjën nga emëruesi i një thyese duke zbatuar shumëzimin me të 2 +1 2 +1 2 +1 konjuguarën (si p.sh.: 1 2 +1 ) = = = = 2 2 2 −1 2 − 1 ( 2 − 1)( 2 − 1) ( 2 ) − 1 III. Të thjeshtojë shprehje me thyesa, me rrënjë në emëruesit e tyre, duke zbatuar në mënyrë të kombinuar: 1. shumëzimin e drejtpërdrejtë; 2. shumëzimin me të konjuguarën; 3. kthimin e thyesave në emërues të përbashkët. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formula:

P.sh= . 1 . n an a

( 3. (

)( b )(

a− b

2.

3

a

3

per a ≥ 0

a b (per a ≥ 0, b ≥ 0) ) ( a ) − ( b ) =− a • b + b ) = ( a)  ( b) = a  b

a2 

3

4. n a n b = n a � b etj.

30

2

a+ b = 3

Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Ilustrimi me tabela. 3. Punë e udhëhequr. 4. Punë e pavarur (grupi).

3

3

2

2

3

3

3

3

 2 =   2• 2

2 = 2•2

2 = 22

2   3 32 = 2   3 3 • 3 32 

3

32 = 3 3 • 32

3

3

32 = 3 3 3

32   3 

Punë e pavarur. Zhdukni rrënjën nga emëruesi i thyesës: a2 . 24 ; 2 ; 3 2 6 a a 2− 3 2+ 3 ; Mësuesi/ja në tabelë shkruan shprehjet: 1. 3 2 3 3 2. 2− 3 2 + 3 2 • 3 3 + 3 32 Kërkon nga nxënësit që të thjeshtojnë duke zbatuar formulat në tabela (shih mjetet ndihmëse). Së bashku me nxënësit mësuesi/ja zhduk rrënjën nga emëruesi i thyesës: 2 ; a − 4 ; a −1 ; 6−2 a + 2 3a −1

(

(

)( )(

)


Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja shkruan në tabelë shprehjet: 3 2 2 ; 3 dhe kërkon nga nxënësit të shkruhen më thjeshtë. 3 2 3 2• 2 3• 3 Kujdes! Do të ketë nxënës që do të shkruajnë: 3 2 2 1 ; 3 1 ; = = 3 2 3 2• 2 3 • 3 32 Ky shtjellim nuk është i gabuar, por veprohet duke larguar rrënjën nga emëruesi.

)

Kujdes! Që vlera a > 0 ose një fuqi e saj të nxirret nga rrënja me tregues n, duhet që a-ja të jetë baza e fuqisë me tregues shumëfish i n, d.m.th. n ak • n = ak P.sh.: 3 a6 = a2 etj. Mësuesi/ja u jep nxënësve punë të pavarur. Zhdukni rrënjën nga emëruesi i thyesës: 10 ; x − 4 ; a−b ; a−8 . 5 x −2 a + b 3a −2

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimi 7 a/b/c, faqe 37.

Mësimi 2.6 Tema: Ushtrime Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të llogaritë prodhimin e rrënjëve (herësin) duke zbatuar vetitë. Të nxjerrë faktorin para rrënjës. II. Të shprehë vlerat e lejuara të shkronjës në një shprehje me rrënjë. Të futë faktorin para rrënjës, brenda shenjës së saj. III. Të thjeshtojë shprehje që kombinohen me zhdukjen e rrënjëve nga emëruesi i thyesave.

31


Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabelat me formula (shiko mësimet 2, 3, 4, 5), ku mund të shtohen formulat e rëndësishme, si: a2 – b2 = (a – b)(a + b)

Metodat që rekomandohen: 1. Punë e udhëhequr. 2. Punë e pavarur.

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja shkruan në tabelë: a. Gjeni: 3 • 3 ; a • a (a ≥ 0); x − 1 • x − 1 ;(x ≥ 1); 132 − 122 ; 1002 − 962 b. Në cilin rast janë të vërteta barazimet: x 2 = x ; ( x − 2)2 =x − 2 ; (3 − b)2 =3 − b c. Pse themi se nuk ka kuptim: −4 ; 4 −2 ; (kujto përkufizimin) Mësuesi/ja shkruan në tabelë: x − 1 ; 5 − x ; 4 2 − 3x Kërkon nga nxënësit që të gjejnë vlerat e lejuara të shkronjës x. Kujdes! Shumë nxënës mund të mos e kuptojnë pyetjen. Në këtë rast ndërhyn mësuesi/ja: Le të merret x − 1 dhe vlerën e x = 2. - Çfarë do të ketë? ( 2 − 1= 1= 1 ). Thuhet se x = 2 është vlerë e lejuar. Vini re: x – 1 = 2 – 1 = 1 > 0 Për shprehjen x − 1 dhe x = -1 do të kemi −1 − 1 = −2 nuk ka kuptim. Themi se x = -1 është vlerë e palejuar. Vini re: x – 1 = -1 – 1 = -2 < 0. Përfundimisht nëse x – 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1 janë vlera të lejuara. Pas këtij përfundimi punohen me nxënësit rastet e tjera. Punë e udhëhequr. Nxirret faktori nga rrënja: 75 ; 3 54 ; 4 32x 5 P.sh.:

4

32x 5 =

4

25 • 25 =

4

(2x )5 =

4

( 2 x )4 • 2 x =

4

( 2 x )4 = 2 x 4 2 x

Futni faktorin brenda rrënjës: 3 6 ; 7 2 ; a 3 a P.sh.: a 3 a = 3 a3 • 3 a = 3 a3 a = 3 a 4 Punë e udhëhequr.Nxënësit theshtojnë shprehjen: a a− b

( a) =

2

32

−

b a+ b

=

a( a + b ) − b( a − b )

(

+ a• b− b• a+

( a) − ( b) 2

2

)(

a− b

( b)

a+ b

2

=

)

=

a+ a • b − a • b + b = a−b

! .

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2/b, 3/c, 4/b në faqen 36; si dhe ushtrimet 7/c, 8/c,në faqen 37.

Mësimi 2.7 Tema: Veprime të kombinuara të fuqive Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të shkruajë si rrënjë fuqitë me eksponent racional. Të shumëzojë (pjesëtojë) fuqi me baza të njëjta. II. Të shkruajë si fuqi rrënjë të ndryshme. Të thjeshtojë shprehje me fuqi. III. Të zgjidhë ekuacione të kombinuara (me ndryshore me eksponent të fuqive, me tregues të rrënjës). Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. A = {x ∈R / − 3 < 3. Tabela me formula, si p.sh.: dhe vetitë e fuqive (rrënjëve) shiko temat përkatëse.


Për punë të pavarur jepet ushtrimi 8/a.

Metodat që rekomandohen: 1. Punë e udhëhequr. 2. Ilustrim me tabela. x ≤ 5} 3. Punë e pavarur.

Zhvillimi i temës së re: m 1 −n Mësuesi/ja u rikujton nxënësve formulën n am = a n për a ≥ 0 dhe a = n . a 1 2 1 Këtu kërkon të shkruhen si rrënjë fuqitë: 64 2 ; 125 3 ; 27 3 dhe të gjenden ato. Më pas mësuesi/ja shtron para nxënësve pyetjen: 1 - A mund të shkruhet si rrënjë 64 2 ? (shiko Matematikën 9, faqe 38). 4 Njëlloj shkruani si rrënjë: 16 − 3 ; 100,5 ; 270,3 Shkruani si fuqi me bazë 3. 1 1 3 1+ 3 1 P.sh.: 3 • 3 =3 • 3 2 =3 2 =3 2 3, 9, ; 3 ; 3 3 ; 27 ; 27 3 Më pas për punë të pavarur mësuesi/ja jep: Gjeni 3  (7 • 3)2  (32 • 73 )−3 ; A= 2 B= 2 2 (7 • 3 −5 )2  (3 • 7 ) 

A • B nëse:

1 ; 32x = 1 8 1 1 Kujdes! Për të zgjidhur ekuacionin 2x = , në fillim duhet që të shkruhet si 8 8 fuqi me bazë 2. 1 1 2−3 , kështu 2x = Domethënë = = 2−3 = ⇒ x= −3 . 8 23 Njëlloj veprohet edhe me ushtrimet e tjera. Zgjidhni ekuacionet: 2x = 8; 2x =

33


Mësuesi/ja jep për punë të pavarur.  9 1. Shkruani si rrënjë: 2 • 8 ;    16  2 3

2. Zgjidhni: (2x – 1)(2x – 8) = 0;

!

x

−

1 2

;

3 −2 = 3 −0,3

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/c, 3/b, 4/b, 5/b.

Mësimi 2.8 Tema: Makina llogaritëse. Tasti xy Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të llogaritë me makinë llogaritëse xy, kur x dhe y janë numra të plotë pozitivë. II. Të llogaritë xy me makinë llogaritëse në rastet kur x e y janë thyesa pozitive. III. Të llogaritë me makinë llogaritëse vlerën e një shprehjeje aritmetike, duke përdorur me mënyrë të kombinuar tastet x y ; M+ ; M- ; RM . Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Tabela në të cilën është shënuar mënyra se si bëhet llogaritja e një shprehjeje me makinë llogaritëse, duke përdorur x y të kombinuar me tastet e tjera (shiko shembullin, faqe 40). 3. Makinë llogaritëse që ka tastin x y . Metodat që rekomandohen: 1. Praktikë e udhëhequr (me makinë llogaritëse). 2. Ilustrim me tabela (shih mjetet ndihmëse). 3. Praktikë e pavarur. Zhvillimi i temës së re: Në fillim mësuesi/ja kërkon që nxënësit të llogaritin me makinë 23; 33 dhe njëri të komentojë veprimet që kreu. 1 1 1 Pas kësaj u drejtohet nxënësve. Provoni të llogaritni 2 2 ; 3 2 ; 5 2 . Tregoni si bëhet llogaritja, kujdes,këtu do të merrni këto përgjigje: 1 1. Shkruaj 2 ,pastaj shtyp dhe në ekran marrim rezultatin për 2 2 , sepse 1 22 = 2 . 2. Shkruaj 2 ,pastaj shtyp x y , më pas 0,5 dhe në fund shtyp = . Nëse nxënësit nuk shprehen për pikën 2, është e domosdoshme që mësuesi/ja ta shpjegojë. Pas kësaj mësuesi/ja (nëse nga nxënësi nuk ka përgjigje) shpjegon hap pas 1 hapi si llogaritet 2 3 ; 1, 220,34 (shih Matematika 9, faqe 40).

34

Në fund të jepen 1- 2 shprehje si detyrë shtëpie ku nxënësi të shkruajë hapat e llogaritjes me makinë (shiko shembullin, faqe 40). Test (skema e qortimit) Ushtrimi 1: Qarkimi i alternativës C. Ushtrimi 2: Paraqitja e 5 = 4 + 1= Ndërtimi i figurës.

x

1

I

0

(1 pikë) 22 + 12 .

(1 pikë) (1 pikë)

B I

I


Më pas mësuesi/ja jep si punë të pavarur. 2 2,5 Llogarit: 1. 3 − 3, 5 + 4 ; 2.  3  +  1  − 2, 7  4   2 

5

A 2C

x

Sqarimet OA = 2 njësi, AB = 1 njësi, OAB trekëndësh kënddrejtë. Nga teorema e Pitagorës OB = 5 . Ndërtojmë OC = OB. (1 pikë) Ushtrimi 3: Qarkimi i alternativës b (1 pikë) Ushtrimi 4/a: Shkrimi i numrave dhjetorë në thyesa. (1 pikë) Kryerja e veprimeve brenda kllapave ( ). (1 pikë) Shkrimi i rezultatit të saktë. (1 pikë) b. Njëlloj, si: a). Ushtrimi 5 a/b: Shkrimi i rezultatit të saktë. (1 pikë) c. Zbatimi i vetisë për rrënjën e herësit ose zbatimi i herësit të fuqive. (1 pikë) Shkrimi i rezultatit të saktë. (1 pikë) Ushtrimi 6: Qarkimi i alternativës b. (2 pikë) Shënim: Nëse nxënësi shkruan rrënjët, si 2 20 = 4 5 , por nuk ka qarkuar rezultatin i jepet. (1 pikë) Ushtrimi 7: Gjetja e një grupi (grupi I). (1 pikë) Gjetja e grupit tjetër (grupi II). (1 pikë) Ushtrimi 8/a: 1 Zgjidhja e ushtrimit (1 pikë) a. 3 2 Shkrimi 2 = 2 5 (1 pikë) 3 5 3 5 • 3 52 .

35


2

Shprehja e

3

b. Paraqitja

(

a−

2 3 52 5

a− b a+ b

Shkrimi më tej:

Më tej:

5

=

(

=

( (

(1 pikë)

)( b )(

) b)

a− b

a− b

a+

a−

a− b

)

2

(1 pikë)

( a) − ( b) b) 2

(1 pikë)

2

2

(1 pikë)

a−b

c. Vendosja në emërues të përbashkët. Shkrimi i emëruesit në formën 22 − 12 . Shkrimi i rezultatit përfundimtar. Ushtrimi 9/a: Shkrimi në formën 3x = 33. . Shkrimi x = 3. x 2 x +1  1 . b. Shkrimi në formën   = 3 3 2 x +1  3 Shkrimi 3 − x = 3 3 . Gjetja e vlerës së x-it x+2  1 = 96 . Njëlloj për ushtrimin 24 •    2 x+2 96  1 Shkrimi   = = 4 . 24  2

( )

(1 pikë) (1 pikë) (1 pikë) (1 pikë) (1 pikë) (1 pikë) (1 pikë) (1 pikë) (1 pikë) (1 pikë)

.

(1 pikë)

Gjetja e vlerës së x-it

(1 pikë)

Shkrimi 2− ( x + 2 ) = 22

Kreu III MATJA Mësimi 3.1 Tema: Syprina e figurave. Vetitë themelore Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë kuptimin e syprinës së figurave. Të formulojë vetitë e syprinës së figurave. II. Të krahasojë syprinat e figurave të dhëna duke përdorur njohuritë e mëparshme mbi syprinat. Të dallojë kuptimin figura kongruente nga kuptimi figura të njëvlershme. III. Të shkruajë lidhjen e njësive të syprinave me shumëfishat dhe nënfishat e njësisë.

36

Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Ilustrimi me tabela. 3. Punë e pavarur (grupi).

Përgatita e tabelës: Në një fletë të milimetruar (ose karton të kuadratuar me katrorë të vegjël) ndërtohen figura të ndryshme (shih figurën 1, faqe 42). Kujdes! Figura A duhet të përmbajë 36 katrorë (9 x 4 = 36). Figura B duhet të përmbajë 36 katrorë (6 x 6 = 36)


Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me figura (shih figurën 1, faqe 41). 4. Vizore (e milimetruar). 5. Fletë të milimetruar. 6. Gërshërë për prerjen e figurave.

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja vendos para nxënësve tabelën me figura (të parapërgatitura më parë) dhe kërkon nga nxënësi që në fletë të milimetruara të ndërtojë këto figura. Pas ndërtimit kërkon që figurat të priten. - Sa katrorë të vegjël përmban figura A, po figura B? - A mund të themi se figurat A dhe B janë kongruente? Të njëjtat pyetje drejtohen edhe për figurat C e D. Në këtë moment mësuesi/ja kujton: Këta katrorë të vegjël do tì marrim si njësi për matjen e syprinave dhe do të quhen njësi katrore. Mësuesi/ja pyet nxënësit: - Sa njësi kanë syprinat e figurave A, B, C, D, F1, F2, F3? Duke shënuar: SA = 36 njësi katrore, SB = 36 njësi katrore, SC = 21 njësi katrore, SD = 21 njësi katrore. Plotëso: SF1 = ; SF2 = ; SF31 = ; - A mund të themi se: SF = SF1 + SF2 + SF3? Mësuesi/ja tërheq vëmendjen e nxënësve. Vini re: 1. SA = 36 njësi katrore, SB = 36 njësi katrore. Themi se figura A është drejtkëndësh, figura B është katror, pra nuk janë kongruente. Theksohet se: Dy figura që kanë syprina të barabarta quhen të njëvlershme (Kujdes: jo kongruente). Pritini figurat C, D dhe vendosini mbi njëra-tjetrën (duhet të jenë kongruente). Por, SC = SD = 21 njësi katrore. Këtu theksohet se: Dy figura kongruente kanë syprina të barabarta. Syprina e figurës F është e tillë që: SF = SF1 + SF2 + SF3. Pra, figura e përbërë nga figura që nuk priten ka syprinë sa shuma e syprinave të figurave që e përbëjnë atë. Mësuesi/ja së bashku me nxënësit formulon vetitë për syprinat e figurave. Mësuesi/ja kujton se njësia themelore për matjen e syprinave është m2 (metri katror):

37


1m2 = 100 dm2 = 10000 cm2 1m2 = 102 dm2 = 104 cm2 = 106 mm2 1km2 = 102 hm2 = 104 dam2 = 106 m2 Më pas jepet punë e pavarur për ushtrimet që lidhen me figurat 2, faqe 43 dhe diskutohet ushtrimi 4, faqe 43.

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2 dhe 3,faqe 43.

Mësimi 3.2 Tema: Syprina e drejtkëndëshit dhe e katrorit Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të shkruajë formulën që shpreh syprinën e drejtkëndëshit, duke e shprehur me anë të brinjëve. II. Të gjejë syprinën e drejtkëndëshit duke zbatuar formulat përkatëse. III. Të shprehë diagonalen e katrorit me anë të syprinës dhe anasjellas. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formula mbi syprinën e drejtkëndëshit dhe syprinën e katrorit. 4. Vizore të milimetruar.

Metodat që rekomandohen: 1. Diskutim problemor. 2. Ilustrim me tabela. 3. Punë e pavarur (grupi).

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja në tabelë ndërton një drejtkëndësh, si figura në faqen 43 dhe kërkon nga nxënësit të bëjnë të njëjtën gjë në fletoret e tyre. - Sa njësi katrore është syprina e drejtkëndëshit ABCD? (AB = 11 cm, AD = 5 cm) - A ka lidhje syprina me prodhimin AB • AD? Përforcojmë se: SABCD = AB • AD dhe tregojmë para nxënësve tabelën. Syprina e drejtkëndëshit

S=b.h

h b

Pas kësaj mësuesi/ja jep punë të pavarur. Jepet drejtkëndëshi ABCD me brinjë AB = 8,6 cm dhe AD = 5,4 cm. a. Njehsoni syprinën në cm2.

38

Kujdes!

Dimë nga teorema e Pitagorës:

d

a

a 2 d Kështu themi se: = S a= 2

a2 + a2 = d2 ⇒ 2a2 = d2 ⇒ a2 =

d2 2

2

Mësuesi/ja jep punë të pavarur: Jepet katrori me diagonale 8 cm. Gjeni syprinën e tij në cm2 dhe në mm2. Drejtkëndëshi me brinjë 9 cm dhe 4 cm është i njëvlershëm me katrorin me brinjë a. Gjeni gjatësinë e brinjës a.

!


b. Ktheni syprinën në mm2. c. Ktheni syprinën në m2. Jepet drejtkëndëshi me bazë b = 12 cm dhe diagonale d = 13 cm. Gjeni syprinën. Pas kësaj mësuesi/ja ndërton një katror me brinjë a dhe kërkon nga nxënësit të llogaritin syprinën duke zbatuar formulën mbi syprinën e drejtkëndëshit S = a2. Gjeni një lidhje ndërmjet diagonales së katrorit dhe syprinës së tij.

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/c, 2/b, 3, faqe 45.

Mësimi 3.3 Tema: Syprina e paralelogramit dhe rombit Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të shkruajë formulën për syprinën e paralelogramit. II. Të njehsojë syprinën e paralelogramit (rombit) duke zbatuar formulën përkatëse. III. Të vërtetojë formulën për syprinën e paralelogramit (rombit), duke zbatuar kuptimin e njëvlershmërisë me drejtkëndëshin. Të zgjidhë problema, që kërkojnë zbatim jo të drejtpërdrejtë të formulave mbi syprinat. Mjetet ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formula. 4. Vizore, shkumësa me ngjyra, lapsa me ngjyra. 5. Fletë e milimetruar – kuadratuar. Drejtkëndësh

b

Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Ilustrimi me tabela. 3. Punë e pavarur (grupi).

Paralelogrami

h

S = b .h

h

S = b .h

b 39


Zhvillimi i temës së re: Në fillim mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të ndërtojnë një paralelogram (me fletore katrore),me brinjë AB = 8 cm dhe AD = 4 cm (ndërtimi sipas dëshirës). Mësuesi/ja drejton pyetjen: - A mund të gjeni syprinën? Kujdes! Mundet që ndonjë nxënës të shprehet se S = 8 • 4 = 32 cm2, por, është gabim. Mundet që ndonjë nxënës të shprehet se nuk njohim lartësinë. Në rast se nxënësit hasin vështirësi, ndërhyn mësuesi/ja dhe plotëson figurën, si ajo në faqen 45. Nxënësit provojnë se syprina e paralelogramit është: S = b • h, b – baza (njëra brinjë e tij), kurse h – lartësia (pingulja e ndërtuar nga njëri kulm mbi brinjën përballë).

D

A

C

. F

. h E

b

B

Kujdes! Nëse merret AB = b (baza), atëherë DE = h (lartësia). Nëse BC = b (baza), atëherë DF = h (lartësi). Mësuesi/ja jep punën e pavarur: Njehsoni syprinën e paralelogramit me bazë 8 cm dhe lartësi 3 cm. Njehsoni syprinën e paralelogramit me brinjë 9 cm dhe 6 cm, që formojnë kënd të ngushtë 600. Pas kësaj, nxënësit ndërtojnë një drejtkëndësh dhe masat e brinjëve të tij të bashkohen me segmente (shiko figurën, faqe 46,lart). Trego se: a. ABCD romb; b. SABCD = =

1 1 SMNKL; d.m.th. SABCD = AC 2 2

BD ⇒ SABCD

1 dd 2 1 2 Meqenëse ABCD është paralelogram, atëherë S = b h (shiko figurën, faqe 16). Mësuesi/ja jep punë të pavarur ushtrimet 1 dhe 2, faqe 46.

! 40

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1, 2, 3, 5, faqe 46.

Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të shkruajë dy formulat për syprinën e trekëndëshit. II. Të njehsojë syprinën e trekëndëshit duke zbatuar formulën përkatëse. III. Të zgjidhë problema që kërkojnë zbatimin indirekt të formulave mbi syprinën e trekëndëshit. Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Ilustrimi me tabelë. 3. Punë e udhëhequr. 4. Punë e pavarur (grupi).

Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore 4. Tabela me formula.

S=

1 b�h 2

S=

h

a

b

.

1 a�b 2

S=

c

p(p − a)(p − b)(p − c ) b P=

a

b


Mësimi 3.4 Tema: Syprina e trekëndëshit. Formula e Heronit

a+b+c 2

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të ndërtojnë paralelogramin me bazë 8 cm dhe lartësi 6 cm. Gjeni syprinën e paralelogramit. Ndërtoni diagonalen e tij. Kujto: diagonalja e ndan paralelogramin në dy trekëndësha kongruentë. Trego se syprina e secilit trekëndësh është . 8 � 3 = 12 cm 2 1 Nxënësit vërtetojnë se syprina e trekëndëshit është S = b�h (shiko figurën). 2

D

A

C

h E

b

B

41


Mësuesi/ja jep punë të pavarur: Gjeni syprinën e trekëndëshit kënddrejtë me katete a, b. Zbatim numerik: a = 4, b = 5. a b Gjeni syprinën e trekëndëshit barabrinjës me brinjë a. Kujdes: këtu udhëzohet nxënësi të gjejë lartësinë h me anë të teoremës së Pitagorës. a2 3 S= 4 Zbatim numerik a = 6. Ndërhyn mësuesi/ja: Përveç këtyre formulave për syprinën e trekëndëshit përdoret formula e Heronit, në trekëndëshin me brinjë a, b, c kemi: c

b

S=

p(p − a)(p − b)(p − c )

ku P =

a+b+c 2

a Gjeni syprinën e trekëndëshit me brinjë: a = 51,6 cm, b = 38,4 e 64 cm.

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2, 3, 5/a, 6 faqe 48.

Mësimi 3.5 Tema: Syprina e trapezit Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të shkruajë formulën mbi syprinën e trapezit. II. Të llogaritë syprinën e trapezit duke zbatuar formulën. Të zbatojë në problema a+b formulat që rrjedhin nga S = �h . 2 III. Të vërtetojë formulën mbi syprinën e trapezit. Të zgjidhë problema duke zbatuar formulat që lidhen me syprinën në mënyrë indirekte, problema që kërkojnë analizë para zbatimit të formulave. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formula. 4. Vizore, shkumësa me ngjyra.

42

b h a

S=

a+b �h 2

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja ndërton në tabelë një trapez dhe kërkon të njëjtën gjë nga nxënësit.

D

b

h A

E

C h

a

F B


Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Ilustruesi me tabela. 3. Punë e pavarur (grupi).

Shkruani emërtimet: AB = a baza e madhe (a vlera numerike e gjatësisë) DC = b baza e vogël (b vlera e gjatësisë) DE = CF = h lartësia (h vlera e gjatësisë) Nëse shumë nxënës mund të shkruajnë formulën S = a + b � h , kështu duke 2 zëvendësuar do të gjejnë syprinën. Në këtë rast mësuesi/ja do të kërkojë argumentimin a+b si mund të provohet se S = �h . 2 Mësuesi/ja u kërkon nxënësve të ndërtojnë diagonalet e trapezit [BD] dhe lartësitë [DE], [BF]. b 1 a �h Vini= re: S ABD = AB �DE D F C 2 2

h

h A

E

a

STrapezit= S ABD + SBCD=

= SBCD

1 1 = DC �BF b �h 2 2

B 1 1 1 a+b ah + bh= h (a + b) ⇒ S= �h 2 2 2 2

Vërtetimi mund të bëhet si në tekst, por duhet treguar se AB 1C 1D është paralelogram. Mësuesi/ja organizon punë të pavarur me nxënësit: Veçoni h nga formula (1). Veçoni a + b nga formula (1). Njehsoni syprinën dhe brinjët anësore në trapezin ABCD (shiko figurën) nëse: AD = BC (trapezi dybrinjënjëshëm), a = 18, h = 3 Me nxënës të nivelit të lartë mund të punohet ushtrimi 3, faqe 50,lart.

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1, 2, 4, faqe 50 (lart).

43


Mësimi 3.6 Tema: Ushtrime Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të zbatojë drejtpërdrejtë formulat për llogaritjen e syprinave të figurave. II. Të llogaritë syprinat e figurave duke zbatuar formulat. III. Të zgjidhë problema me anë të analizës duke zbatuar indirekt formulat mbi syprinat. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formulat mbi syprinat, shiko mësimet 3.1-3.6.

Metodat që rekomandohen: 1. Ilustrimi tabelor. 2. Analiza problemore. 3. Punë e pavarur (grupi).

Zhvillimi i temës së re: Para orës së mësimit mësuesi/ja të përgatisë zgjidhjet e të gjitha problemave dhe të korrigjojë gabimet e mundshme. Ushtrimi 1. Gjeni koordinatat e pikës D, por kujdes pika D mund të ketë koordinata (0; 8) ose (-1; 8), (4; 8) ose (2; 10)). Mësuesi/ja pasi diskuton me nxënësit problemën 2, jep këtë ushtrim. D Jepet ABCD romb: AC = 48 cm, A C BD = 2 AC, kërkohet S =?

3

Zgjidhje: Nxënësit shkruajnë formulën:

B

16 2 2 48 � � 48 � � AC AC d1 � d2 AC �BD 48 � 32 3 3 �16 768cm2 = S = ⇒= S = = = 48 = 2 2 2 2 2

Mësuesi/ja organizon një punë të pavarur me ushtrimin 5, faqe 50. b D C Jepet: S = 2291 cm2 h = 58 cm a–b=? h Kërkohen: a = ? b = ? A B a Zgjidhje: Nxënësit shkruajnë formulën e syprinës. 1. S = a + b � h , meqenëse S dhe h dihen, atëherë nga (1) nxjerrim . 2 2S a + b= ⇒ a + b= 79 h Kemi të dhënë: a – b = 15, gjetëm a + b = 79 duke zgjidhur sistemin: 15 gjejmë a = 47 cm dhe b = 32 cm. a − b =  79 a + b = 

44

! Detyrë shtëpie. Ushtrimet 3, 7, 11, faqe 50. Mësimi 3.7 Tema: Syprina e shumëkëndëshit të rregullt dhe shumëkëndëshit të jashtëshkruar të rrethit Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të tregojë si ndërtohet një shumëkëndësh i rregullt. Të shkruajë formulën mbi syprinën e shumëkëndëshit të rregullt. II. Të njehsojë syprinën e një shumëkëndëshi të rregullt, duke zbatuar formulat. III. Të vërtetojë formulën mbi syprinën e shumëkëndëshit të rregullt. Të zgjidhë problema duke zbatuar në mënyrë indirekte formulën mbi syprinën e shumëkëndëshit të rregullt. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore, kompas 4. Tabela me formula.

E F

o


Nëse ka kohë nxënësve u jepet si punë e pavarur ushtrimi 8, faqe 50.

Metodat ndihmëse: 1. Diskutimi problemor. 2. Ilustrimi grafik (me figura, tabela). 3. Punë e udhëhequr. 4. Punë e pavarur (grupi).

D

h A a B

1 p �h 2 P = n �a

S=

C

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja jep përkufizimin e shumëkëndëshit të rregullt. Më pas tregon se si mund të ndërtojmë një shumëkëndësh të rregullt. Për këtë u kërkohet nxënësve të ndërtojnë rrethin me rreze 5 cm. Me atë hapje të kompasit ndani rrethin në 6 pjesë të barabarta dhe pikat e ndarjes bashkohen në segment.

D

E

C

o h

F A

B

Kështu fitohet gjashtëkëndëshi i rregullt. Këtu brinja është sa rrezja e rrethit. Nëse rrethi ndahet në 7, 8, 9.... n pjesë të barabarta fitojmë 7, 8,....n këndësh të rregullt.

M

Në këtë rast shumëkëndëshi quhet i brendashkruar në një rreth.

45


Në qoftë se nga pikat e ndarjes ndërtohet tangjentja me rrethin, përsëri fitojmë shumëkëndësh të rregullt, por të jashtëshkruar.

E

R

F

Q

D

o

S

P

h

A

M

B

N

C

Mësuesi/ja organizon punë përgatitore. Vini re! Në të dyja rastet formula për 1 � syprinën do të jetë:S = P h, P = n � a. 2

Në rastin e shumëkëndëshit të jashtëshkruar rrethit me rreze r kemi h = r, d.m.th. S = 1 P • r. 2 Nxënësit njehsojnë syprinën e shumëkëndëshit të rregullt të brendashkruar në rrethin me rreze 4 cm dhe me brinjë 4 cm. 1 Zgjidhje: S = P � h, meqenëse a = r = 4cm, atëherë kemi të bëjmë me 2 gjashtëkëndësh të rregullt (shiko figurën 1). Në ∆ AOB kemi OA = OB = AB = 4, h lartësi e trekëndëshit barabrinjës, këtej 1 4 3 = 2 3 domethënë S = 6 � 4 � 2 3 ⇒ S = 24 2 2

= h

2 3 cm .

Njehsoni syprinën e shumëkëndëshit të rregullt dhe me perimetër 25 dm të jashtëshkruar rrethit me rreze 6 dm.

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2, 4, 5 b/d, faqe 52.

Mësimi 3.8 Tema: Syprina dhe vëllimi i sferës Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë sipërfaqen sferike. Të përkufizojë sferën. Të shkruajë formulat për syprinën (vëllimin) e sferës. II. Të njehsojë syprinën e sferës duke zbatuar formulën. Të njehsojë vëllimin e sferës duke zbatuar formulën. III. Të shprehë me formulë lidhjen e syprinës me vëllimin e sferës. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore, kompas. 4. Tabela me formula.

46

Sfera S = 4Πr 2 M

O

V=

4 3 Πr 3

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja në fillim kërkon nga nxënësi të sjellin shembuj për sferën ose forma të saj (p.sh. top, gjyle, glob etj.). Nxënësit ndërtojnë një gjysmërreth me diametër [AB]. Mendoni, sikur ky gjysmërreth të rrotullohet rreth diametrit do të formohet në hapësirë një sipërfaqe që quhet sipërfaqe sferike (shiko përkufizimin 1, faqe 53). Mësuesi/ja organizon punën e pavarur. Nxënësit duhet të vizatojnë një sferë me rreze 4 cm. Ata duhet të gjejnë syprinën dhe vëllimin e saj. Gjeni syprinën e sferës me vëllim 288 Π cm3. Kujdes! = V

!


Metoda që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Ilustruesit grafikë (me figura, tabela). 3. Punë e udhëhequr. 4. Punë e pavarur (grupi).

4 3 3V 3 Πr ⇒ r= .... 3 4Π

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2 dhe 3, faqe 53.

Mësimi 3.9 Tema: Ushtrime Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të njehsojë syprinën (vëllimin) e një sfere duke zbatuar drejtpërdrejt formulën. II. Të njehsojë rrezen e sferës duke zbatuar formulat mbi syprinën (vëllimin). III. Të vlerësojë vëllimin (syprinën) e sferës për të njehsuar elementet e tyre të sferës. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore, kompas. 4. Tabela me formula.

Metodat që rekomandohen: 1. Punë e udhëhequr. 2. Punë e pavarur (grupi).

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit që për dy sferat, njëra me rreze 3 cm dhe tjetra me rreze 6 cm. Njehsoni syprinat e tyre. Njehsoni vëllimet e tyre. Gjeni raportin e syprinave (vëllimeve).

47


- Çfarë vëreni? 2 3 r  r  S V - A mund të themi se 1 =  1  dhe 1 =  1  ? S2  r2  V2  r2  Mësuesi/ja organizon punën e pavarur: r1 7 = dhe r1 + r2 = 52. Gjeni S1 = ? S2 = ? V1 = ? V2 = ? r2 6 V 27 dhe V1 + V2 = 10080 Π cm3. Gjeni V1 = ? V2 = ? S1 = ? S2= ? 2. Jepet 1 = V2 8

1. Jepet

r1 + r2 7 + 6 52 13  r1 7 = ⇒ = ⇒ r2 = 24cm  r= 6 ⇒ r r2 6 6 2 Vini re:  2 r + r = 52 r1 = 52 − r2 r1 = 28cm 1 2 S1= 4Πr12

S2 = 4Πr22

4 3 Πr1 3

V1=

V2=

4 3 Πr2 3

Si për rastin e rrezeve veprohet dhe për V1 dhe V2.

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2, 5, 6, faqe 54.

Kreu IV GJEOMETRIA NË PLAN Mësimi 4.1 Tema: Shumëkëndëshat e mysët. Paralelogrami. Vetitë Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë shumëkëndëshat e mysët dhe paralelogramin. Të formulojë vetitë e paralelogramit. II. Të shkruajë për një paralelogram në formën, k ⇒ P, vetitë e tij. III. Të vërtetojë vetitë e paralelogramit. Të vërtetojë pohimin mbi paralelogramin duke zbatuar vetitë e tyre. Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Ilustrimi grafik (me figura, tabela). 3. Punë e udhëhequr. 4. Punë e pavarur (grupi).

Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore. 4. Tabela. D

A

48

Paralelogrami C ABCD Paralelogram B

[AB] II [DC] [AD] II [BC]

fig. 2

fig. 1

Më pas thekson se vija e figurës 1 quhet jo e mysët, ndërsa vija e thyer e figurës 2 quhet e mysët. Nxënësit duhet të përkufizojnë shumëkëndëshin. i mysët jo i mysët D fig. 3 E fig. 4 C D F C E


Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja shkruan në tabelë vija të thyera dhe kërkon nga nxënësit të bëjnë dallimet.

A A

B

B

Mësuesi/ja ndërton një paralelogram ABCD, si në figurën 5, dhe kërkon nga nxënësit të përkufizojnë paralelogramin ([AB] || [DC] dhe [AD] || [BC]) dhe elementet (brinjë, diagonale, lartësi). Më pas kalohet te vetitë e paralelogramit. fig. 5

D A

C B

Mësuesi/ja organizon punën e pavarur me ushtrimin 1, faqe 57. Shënim: Teorema 1, që është vënë në tekst si punë e pavarur, të vërtetohet nga mësuesi/ja dhe nxënësit në tabelë.

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 4, 5, faqe 57.

Mësimi 4.2 Tema: Drejtkëndëshi. Vetitë Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë kuptimin e drejtkëndëshit. Të formulojë vetitë e drejtkëndëshit. II. Të shkruajë në një drejtkëndësh vetitë në formën k ⇒ P. III. Të vërtetojë vetitë e drejtkëndëshit. Të zgjidhë problema duke zbatuar vetitë e drejtkëndëshit.

49


Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore. 4. Tabela me formula. 5. Drejtkëndëshi ABCD,

Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Ilustrimi grafik (me figura, tabela). 3. Punë e udhëhequr. 4. Punë e pavarur.

Drejtkëndëshi C ABCD Drejtkëndësh

D

� ≡B ≡C � ≡D � ≡d A A

B

Zhvillimi i temës së re: (d ) Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të (d ) D ndërtojnë dy drejtëza pingule (d1) e (d2) në pikën A dhe në secilën të zgjedhin pikat B dhe D. Nga pikat B dhe D të ndërtohen pingulet (d3) e (d4) përkatësisht me (d1) e A (d2). Gjeni emërtimin e figurës ABCD dhe jepni përkufizimin.

C

2

4

(d3)

B

(d1)

Mësuesi/ja pyet: - A mund të themi se drejtkëndëshi është paralelogram? C D Vërtetoni:

A

B

Me nxënësit formohen vetitë e tjera të drejtkëndëshit. Mësuesi/ja organizon një punë të udhëhequr. Nxënësit duhet të vërtetojnë kushtin e nevojshëm dhe të mjaftueshëm që katërkëndëshi ABCD të jetë drejtkëndësh. Pas kësaj kalohet në punë të pavarur. D C Q

Jepet paralelogrami ABCD. Në diagonalet [AC] e [BD] merren pikat M, N, P, Q, të tilla që OM = ON = OP = OQ. Vërtetoni se MNPQ është drejtkëndësh.

P O

M

A

! 50

N

B Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1 dhe 3, faqe 59.

Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë rombin. Të formulojë vetitë e tij. II. Të zbatojë vetitë në zgjidhjen e problemave. III. Të vërtetojë vetitë e rombit. Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Ilustrimi grafik (me figura, tabela). 3. Punë e udhëhequr. 4. Punë e pavarur (grupi).

Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formula.

D

A

Rombi:

C B


Mësimi 4.3 Tema: Rombi. Vetitë

ABCD romb. AB = BC = DC = AD

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të ndërtojnë një katërkëndësh, që është paralelogram dhe të formulojë vetitë e tij. N D C 1. AB = DC dhe AD = BC O ABCD paralelogram 2. OA = OC dhe OB = OD A

M

B

Në brinjët [AB] dhe [DC] të paralelogramit zgjedhim M, N që [AM]=[AD]=[DN]. - Çfarë vëreni te katërkëndëshi AMND? Përkufizohet rombi, më pas formulohen vetitë e tij. Mësuesi/ja organizon punën e pavarur. Jepet rombi ABCD. Në diagonalen [AC] merren pikat M dhe N, të tilla që AM = CN. Vërtetoni se MBND është romb.

!


51


Mësimi 4.4 Tema: Katrori. Vetitë Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë kuptimin e katrorit. Të formulojë vetitë e katrorit. II. Të zbatojë vetitë e katrorit në zgjidhjen e problemave. III. Të vërtetojë vetitë e katrorit. Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Organizuesi grafik. 3. Punë e udhëhequr. 4. Punë e pavarur. 5. Bllokskema.

Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formula. C

D

Katror ABCD katror

O

1. AB = BC = DC = AD;

� ≡B ≡C � ≡D � ≡d 2. A B

A

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja duhet të fillojë me punën përgatitore, por kërkon që nxënësi të ndërtojë një romb dhe të formulojë vetitë e tij. Drejtohet kjo pyetje: - A është e mundur që një katërkëndësh të ketë kongruente brinjët (si rombi) dhe të ketë kongruente këndet?

D

A

Vini re figurën

C

B

Figura të tilla i quajmë katrorë. Kërkohet përkufizimi nga nxënësit dhe vetitë e katrorit. Theksohet se katrori është romb. Trapez

Katërkëndësh

Paralelogram

Romb

Drejtkëndësh

Katror

Është me shumë rëndësi të komentohet kjo bllokskemë, e cila tregon varësinë ndërmjet figurave në këtë kapitull. Mësuesi/ja organizon punën e pavarur me problemën 1, faqe 61.

! 52


Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të formulojë teoremën e Talesit në formën k ⇒ P. Të përkufizojë vijën e mesme të trekëndëshit. II. Të zbatojë përfundimin e teoremës së Talesit në zgjidhjen e problemave. III. Të vërtetojë teoremën e Talesit. Të vërtetojë pohimet duke zbatuar teoremën e Talesit. Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Ilustrimi grafik (figura, tabela). 3. Punë e udhëhequr. 4. Punë e pavarur (grupi).

Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore. 4. Tabela me formula. d1

d2

A

Teorema e Talesit

A1

a

(a) B1

B


Mësimi 4.5 Tema: Teorema e vogël e Talesit. Teorema për vijën e mesme dhe mesoret e trekëndëshit

C

C1

b

c

II

(b)

II

(c)

Nëse pika B ndërmjet A e C dhe AB= BC ⇒ B1 ndërmjet A1 C1 dhe A1 B1= B1 C1

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja organizon një punë përgatitore, duke u kërkuar nxënësve të ndërtojnë drejtëzat çfarëdo (d1) e (d2). Në (d1) marrim pikat A, B, C të tilla që AB = BC = 2 cm. A B C d1

A1

a

B1 C1

b

Nga pikat A, B, C ndërtoni (a) || (b) || (c), që presin (d2) në pikat A1, B1, C1. Matni largesat A1B1; B1C1, çfarë vërehet?

c

d2

Kujdes! Mund të ketë nxënës që dalin në përfundimin se A1B1 = B1C1 = 2 cm, por kjo ndodh vetëm nëse (d1) || (d2). Do të kemi: A1B1 = B1C1. Kështu dalim në formulimin e teoremës së Talesit. Më pas kalohet në përkufizimin e vijës së mesme të trekëndëshit dhe vërtetimin e teoremës.

53


Pas vërtetimit kalohet në punë të pavarur. Nxënësit vërtetojnë vetinë e mesoreve të trekëndëshit. Nga udhëzimi kemi: FL = MN ku M, N janë meset e [GA] dhe [GB], këtej rrjedh se MNLF është paralelogram, nga këtej kemi se GM = GL dhe GF = GN, por GM = MA dhe GN = NB, d.m.th. GL = GM = MA ⇒ GL = 1 GA (shiko figurën 3, faqe 63) 2

!


Mësimi 4.6 Tema: Trapezi. Vetitë Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë trapezin. Të formulojë vetitë e trapezit. II. Të emërtojë në një trapez elementet e tij. Të zbatojë vetitë e trapezit në zgjidhjen e problemave. III. Të vërtetojë teoremat mbi vetitë (vijën e mesme). Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Ilustrimi grafik (figura, tabela). 3. Punë e udhëhequr. 4. Punë e pavarur (grupi).

Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore. 4. Tabela me formula. 5. Trapezi. D

b

[DC] || [AB] [MN] vijë e mesme

N

M

A

Trapezi

C

MN = a

B

1 2

(a + b)

[AC] diagonale [DE] lartësia

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të ndërtojmë dy drejtëza (d1) e (d2) joparalele, që priten në pikat A, B, C, D nga paralelet (a) || (b). Në këtë rast katërkëndëshi ABCD quhet trapez. d2 d1 [AB] është baza e madhe, b D C [DC] është baza e vogël. Duhet të theksohet se: E - mesi i [AD], F E F - mesi i [BC]. [EF] - vijë e mesme, [DE] - lartësia a A E B [AC] - diagonale.

54

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 3 dhe 4, faqe 65. Shënim: Problema 4, faqe 65 të korrigjohet: AB = 26 cm, A = 600

Mësimi 4.7 Tema: Ushtrime Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të rikujtojë vetitë e katërkëndëshave (paralelogram, drejtkëndësh etj). Të rikujtojë formulat mbi syprinat e katërkëndëshave. II. Të zbatojë formulat për të llogaritur syprinat e katërkëndëshave. III. Të vërtetojë pohimet duke zbatuar vetitë e figurave.


Është e rëndësishme të vërtetohet teorema mbi vijën e mesme. Më pas kalohet te puna e pavarur.

Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formula (shih tabelat për vetitë e figurave te mësimet e mëparshme). 4. Vizore. Metodat që rekomandohen: 1. Analizë problemore. 2. Punë e udhëhequr. 3. Punë e pavarur (grupi + individuale). Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të rikujtojnë disa veti të figurave, sidomos të atyre me të cilat lidhen problemat që mendon se duhen punuar problema 4, faqe 65). D C

A

E

B

Jepet ABCD trapez. [DE] dhe [CE] janë � � përgjysmore të këndeve ADE ≡ EDC dhe � � DCE ≡ ECB . Kërkohet të provohet se AB = AD + BC.

� � Vërtetim: Meqenëse ABCD trapez ⇒ [AB] || [DC] ⇒ EDC , si kënde ≡ DEA Z këtej trekëndëshi ADE dybrinjënjëshëm, pra AD = AE. Njëlloj trekëndëshi BCE dybrinjënjëshëm BC = BE. Këtej AB = AE + BE = AD + BC ç.d.v.

55


Për çdo hap gjatë vërtetimit duhet më parë të merret mendimi i nxënësit. Nëse niveli i klasës është i mirë, kjo problemë mund të zgjidhet nga ata. Mësuesi/ja trajton edhe problemën 6, faqe 65.

D

o

A

D1

C1

A1

B1

C

B

Jepen: AC = 54 cm; BD = 36 cm; A1B1 = 3A1D1; SABCD = SA1B1C1D1. Kërkohet PA1B1C1D1 = ? AC �BD 54 � 36 Zgjidhje: Dimë se = S ABCD = 2 2 SABCD = 972 cm2 SA1B1C1D1 = A1B1 • A1D1 = 3A1D1 • A1D1 ⇒ 972 = 3A1D12 A1D12 = 324 cm ⇒ A1D1 =

324 = 18cm, kurse A1B1 = 54 cm

Kështu themi se PA1B1C1D1 = 2(A1B1 + A1D1) = 2(54 + 18) = 144 cm P = 144 cm Punë e pavarur mund të jepet problema 7, faqe 65.

!


Mësimi 4.8 Tema: Segmentet përpjesëtimore. Teorema e Talesit Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë segmentet përpjesëtimore. Të formulojë pohimet mbi segmentet përpjesëtimore. II. Të llogaritë segmentet përpjesëtimore duke zbatuar pohimet mbi to. Të ndërtojë segmentin e përpjesshëm me segmente të dhëna, duke zbatuar pohimet mbi to. III. Të vërtetojë pohimet mbi segmentet përpjesëtimore. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formula. 4. Vizore

56

Segmente përpjesëtimore B o

A

(AB) II (A1B1)

B1

A1

⇔

OA OA1 AA1 = = OB OB1 BB1

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja organizon një punë përgatitore për t’iu rikujtuar nxënësve përpjesëtimet. Mësuesi/ja shkruan në tabelë këto barazime: 6 x+2 ; x 4; 2 5; 5 10 ; = = = = 5 10 3 9 4 x x 3 U kërkohet nxënësve të gjejnë x=? Në këto barazime elementet e thyesave quhen vlera përpjesëtimore me njëratjetrën. Te barazimi i parë themi se 2 dhe 4 janë përpjesëtimore me 5 dhe x, ndryshe themi se 2 rri te 4 sikurse 5 rri te x (2 : 4 = 5 : x) etj. Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të përkufizojnë segmentet përpjesëtimore. Kujdes! Teorema nuk duhet vërtetuar. Nga teorema e Talesit kemi rrjedhimet 1 dhe 2, të cilat duhen vërtetuar. (Një variant i thjeshtuar, që është teorema e vogël e Talesit, është vërtetuar te mësimi 4.5). Më pas, mësuesi/ja organizon punën e udhëhequr. Ndërtoni të katërtin e përpjesshëm me segmentet e dhëna a, b, c.


Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Ilustruesit grafikë (figura, tabela). 3. Punë e udhëhequr. 4. Punë e pavarur.

a

Zgjidhje: Shënojmë me x segmentin e kërkuar. Meqenëse segmentet a, b, c, x b janë përpjesëtimore, atëherë ato plotësojnë c barazimin a = c . b x Ætë ndërtojnë segmentet e Nga teorema e Talesit duhet që me brinjët e këndit O dhëna dhe përkatësisht

x b o a

B1 OA = a, OB = b dhe AA1 = c. Nga pika A1 ndërtojnë (A1B1) II (AB)

B

nga teorema segmenti [BB1] është segmenti x. A

c

A1

Gjeni gjatësinë e segmentit x nëse a = 3 cm, b = 2 cm dhe c = 6 cm. Këtu jepet punë e pavarur, shiko rubrikën në faqen 67.

!


57


Mësimi 4.9 Tema: Ngjashmëria e trekëndëshave Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë ngjashmërinë e shumëkëndëshave. Të formulojë rastet e ngjashmërisë së shumëkëndëshave. II. Të gjejë elementet e trekëndëshave duke zbatuar rastet e ngjashmërisë së tyre. III. Të vërtetojë të paktën dy raste të ngjashmërisë së trekëndëshave. Të vërtetojë pohime mbi trekëndëshat, duke zbatuar rastet e ngjashmërisë. Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Ilustruesit grafikë (figura, tabela). 3. Punë e udhëhequr. 4. Punë e pavarur.

Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore, kompas. 4. Tabela me formula.

Raste të ngjashmërisë së trekëndëshave Rasti I Rasti II

C

C1

ABC ~

Rasti III

A1B1C1

 � ≡A � dhe B  ≡B � B1 A 1 1

B A1

A

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja e fillon këtë orë mësimi me punë përgatitore. Ai/ajo kërkon nga nxënësit të ndërtojnë një katror me brinjë 3 cm dhe një romb me brinjë 5 cm.

D

3

C

5

3

3

A

D1

3

A1 5 AB = A1B1

� ≠A � B  ≠B � etj. Por, A 1 1

58

C1

B

A mund te themi se :

5

BC = B1C1

CD = C1D1

DA = D1A1

3 5

5 B1

3

A

3

B

A1

B1

� ≡ Por, A � � C ≡ C1 ,

� ,B  ≡B � , A 1 1 � � D ≡ D1 .

Në këtë rast mësuesi/ja pyet: - A mund të ndërtojmë dy katërkëndësha që të plotësojnë të dyja kushtet: brinjët përpjesëtimore dhe këndet kongruente? P.sh.: 2 katror, 2 romb, 2 drejtkëndësha etj. Këtu kalohet në përkufizim (shiko faqen 68) Për ngjashmërinë e trekëndëshave është e domosdoshme të kalohet në vërtetimin e teoremës, faqe 69. Pas kësaj kalohet te rasti i parë i ngjashmërisë, këmbëngulet te paraqitja e pohimit (rasti 1) në formën K ⇒ P . Është e domosdoshme të theksohet se AB = k (koeficienti i ngjashmërisë). A1B1


Ndërtojnë një katror me brinjë 3 cm dhe një drejtkëndësh me përmasa 3 dhe 6 cm. C1 - A mund të themi se: ? D1 D C AB BC CD DA = = = A1B1 B1C1 C1D1 D 1 A1

Punë e pavarur. Trekëndëshat kënddrejtë ABC dhe A1B1C1 janë të ngjashëm. Gjeni katetet, hipotenuzat dhe këndet e trekëndëshave nëse jepen: � = 900 � = 300 C A dhe AB = 10 cm A1B1 = 20 cm 1 Zgjidhje: ∆ ABC ~ ∆ A1B1C1 ⇒

� =A � = 300 A 1

� =C � = 900 B  = B � = 600 C 1 1

Dimë se në ∆ kënddrejtë kateti përballë këndit 300 është sa gjysma e hipotenuzës, 20 10 domethënë BC = 10cm , por nga teorema e = = 5cm dhe B= 1C1 2 2 Pitagorës: AB2 = AC2 + BC2, këtej gjejmë AC; A1B12 = A1C12 + B1C12, këtej gjejmë A1C1 Këtu është mirë të ndahet tema në dy orë mësimore. • Ora tjetër fillon me rastin e dytë. Megjithatë, nëse mësuesi/ja do të vazhdojë dy rastet e tjera duhet t’i shkruajë në formën K ⇒ P . Punë e pavarur. ∆ ABC ~ ∆ A1B1C1 dhe brinjët e trekëndëshit ABC janë 5 cm, 6 cm, 7 cm, kurse brinja më e vogël e trekëndëshit ∆ A1B1C1 është 10 cm. Gjeni brinjët e trekëndëshit A1B1C1. Trekëndëshat e ngjashëm ABC dhe A1B1C1 kanë diferencën e brinjëve më të vogla të barabartë me 6 cm, kurse raportin e tyre e kanë 3 . 2 Gjeni këto brinjë.

!


59


Mësimi 4.10 Tema: Ushtrime Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të dallojë trekëndëshat e ngjashëm duke zbatuar rastet e ngjashmërisë. II. Të gjejë elementet e trekëndëshave të ngjashëm duke zbatuar rastet e ngjashmërisë. III. Të vërtetojë pohimin mbi trekëndëshat duke zbatuar rastet e ngjashmërisë. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela, shih mësimin 3.6.

Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Punë e udhëhequr. 3. Punë e pavarur (grupi). 4. Analizë problemore.

Zhvillimi i temës së re: Punë e pavarur. Punohen nga nxënësit ushtrimet 1, 3 dhe 4, ndërsa ushtrimet 3, 5, 6, 7 diskutohen së bashku me mësuesin/en duke analizuar të dhënat. Ushtrimet 2 dhe 8 duhet të punohen në klasë, sidomos ushtrimi 2 (punohet vetia e vijës së mesme së trekëndëshit dhe formula e Heronit), ndërsa tek ushtrimi 8 punohet me rastet e ngjashmërisë së trekëndëshave. Kujdes! Në fillim zbatohet teorema e Pitagorës, që të zbatohet rasti i tretë i ngjashmërisë. Kjo problemë mund të shtrohet në rastin kur jepen katetet përpjesëtimore (zbatohet rasti i dytë i drejtpërdrejtë).

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 4/1-2, 6 në faqen 72.

Mësimi 4.11 Tema: Raporti i perimetrave dhe syprinave të trekëndëshave të ngjashëm Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të shkruajë raportin e perimetrave (syprinave) të trekëndëshave të ngjashëm. II. Të llogaritë perimetrat (syprinat) e trekëndëshave të ngjashëm. III. Të gjejë elementet e panjohura të trekëndëshave të ngjashëm, duke analizuar të dhënat dhe raportet e segmenteve përpjesëtimore. Mjete ndihmëse: Metodat që rekomandohen: 1. Teksti Matematika 9. 1. Diskutimi problemor. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 2. Ilustrimi grafik (figura, tabela). 3. Tabela. 3. Punë e udhëhequr. 4. Punë e pavarur (grupi). C

C1

Raporti i perimetrave dhe syprinave të trekëndëshave të ngjashëm:

A

60

D

B A1

D1

B1

∆ ABC ~ ∆ A B C ⇒ 1 1 1

CD P S =k; =k; = k2 C1D1 P1 S1

Kështu themi se P = k dhe S = k 2 P1 S1

(1)

Mësuesi/ja kalon te përgjithësimi i përfundimit të mësipërm. P a. Për perimetrat. Nëse ∆ ABC ~ ∆ A1B1C1 ⇒ = k P1 Vërtetim: Nga ngjashmëria e ∆ ABC dhe ∆ A1B1C kemi: 1


Zhvillimi i temës së re: Puna përgatitore është mirë të ndryshohet. Jepet trekëndëshi ABC me brinjë 6, 8, 12 (cm). 1. Gjeni brinjët e trekëndëshit ∆ A1B1C1 të ngjashëm me trekëndëshin e dhënë nëse brinja A1B1 = 3 cm. 2. Gjeni raportin e perimetrave të këtyre trekëndëshave. 3. Gjeni raportin e syprinave të këtyre trekëndëshave (për syprinat zbato formulën e Heronit). AB 6 P S 2 = = 2 edhe = 2 , kurse = 2= Duhet theksuar se 4 . A1B1 3 P1 S1

AB BC CA AB + BC + CA AB P = = = k⇒ = = .... = k⇒ = k A1B1 B1C1 C1A1 A1B1 + B1C1 + C1A1 A1B1 P1 S b. Para se të provojnë se = k 2 duhet të vërtetojnë teoremën mbi raportin S1 e lartësive dhe mbi raportin e syprinave. E rëndësishme është që në këtë temë, nxënësit të mbajnë mend formulat. Punë e pavarur. Trekëndëshi ABC është i ngjashëm me trekëndëshin A1B1C1 me koeficient ngjashmërie k dhe raport të syprinave S : S1 = 9 . 4 Gjeni perimetrat, nëse shuma e tyre është 45 cm.

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1 /njëri rast, 2, 3, faqe 74.

Mësimi 4.12 Tema: Ushtrime Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të shkruajë barazimet mbi raportin e perimetrave (syprinave) të shumëkëndëshave të ngjashëm. II. Të njehsojë perimetrat (syprinat) e shumëkëndëshave të ngjashëm duke zbatuar formulat. III. Të zgjidhë problema duke zbatuar indirekt ngjashmërinë e shumëkëndëshave dhe formulat mbi raportin e perimetrave (syprinave).

61


Metodat që rekomandohen: Mjete ndihmëse: 1. Analiza problemore. 1. Teksti Matematika 9. 2. Ilustrimi grafik (figura, tabela). 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Punë e udhëhequr. 3. Tabela, shih mësimet e mëparshme 4. Punë e pavarur (grupi). në këtë kapitull. 4. Vizore. Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja u kërkon nxënësve të shkruajnë në fletore përkufizimin e ngjashmërisë së shumëkëndëshit. Pas kësaj u kërkon nxënësve të ndërtojnë dy katrorë me brinjë, i pari a = 6 cm dhe i dyti b = 12 cm. Shtrohen këto pyetje para nxënësve: - A janë të ngjashëm katrorët? Gjeni k = ? Gjeni raportin e perimetrave (syprinave). P S -A mund të themi se = k dhe = k2 ? P1 S1 Këtu ndërhyn mësuesi/ja duke theksuar se përfundimet e pikës 3 do t’i pranojmë për çdo shumëkëndësh të ngjashëm, d.m.th. nëse ABCDEF ~ A1B1C1D1E1F1, atëherë P = k dhe S = k 2 . P1 S1 Punë e pavarur. Jepen nga mësuesi/ja ushtrimet 1 dhe 4, faqe 75. Punë e udhëhequr. Punohet nga nxënësit problema 2. Zgjidhje: Dimë se: P = 4 • 91 dhe P 4 5•P 5 • 4 • 91 = ⇒ P1 = ⇒ P1 = ⇒ P1 = 455cm P1 5 4 4 D 91 84

A

o

C

Dimë se AC = 169 ⇒ Ao = 84 Nga teorema e Pitagorës OD2 = AD2 – OA2 ⇒ OD2 = 8181 – 7056 = 1225 ⇒ OD = 35 cm.

B AC �BD 168 � 70 = = 5880cm2 2 2 AC 4 5 �168 = = A1C= = 210 1 A1C1 5 4

= S ABCD

S ABCD = 5880cm2 A1C1 = 210cm

S  4 25 � S 25 � 5880 = ⇒S = = = 9187, 5cm2 1 S1  5  16 16

! 62

S1 = 9187, 5cm


Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të formulojë teoremat e Euklidit dhe rrjedhimet e tyre. II. Të zgjidhë trekëndëshin kënddrejtë duke zbatuar rrjedhimet e teoremave. III. Të vërtetojë teoremat e Euklidit. Të zgjidhë trekëndëshat kënddrejtë, duke zbatuar në mënyrë të kombinuar teoremat e Euklidit. Metodat që rekomandohen: 1. Diskutim problemor. 2. Ilustrimi grafik (figura, tabela). 3. Punë e udhëhequr. 4. Punë e pavarur (grupi).

Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formulat e teoremave të Euklidit.

Teoremat e Euklidit

C

1. ∆ ABC kënddrejtë në C:

2. ∆ ABC kënddrejtë në C:

[CD] ⊥ [AB] ⇒

[CD]

⊥

[AB] ⇒

AC = AD • AB dhe BC2 =

CD = AD • DB

2

2

A


Mësimi 4.13 Tema: Teoremat e Euklidit

BD • AB

B

D

Zhvillimi i temës së re: Punë përgatitore. Mësuesi/ja sjell një shembull praktik. Jepet trekëndëshi kënddrejtë në C me elemente: C 15

[CD]

[AB] dhe CD = 12 cm

AD = 9 cm

12

BD = 16 cm

AC = 15 cm A

9

D

Gjeni CD2,

16

B

AD �BD ; AC2,

AD • AB

- Çfarë vëreni? (CD2 = AD • BD,

AC2 = AD • AB)

Vëmë re se CD i mesëm i përpjesshëm me segmentet AD e BD. Jepen përkufizimet 1, 2, të cilat janë në tekstin e nxënësit. Më pas formulohen teoremat e Euklidit dhe vërtetohen. Pas teoremave formulohen dy rrjedhime.

63


C

A

D

B

Rrjedhim 1: Në çdo gjysmërreth pingulja e ndërtuar nga një pikë e tij mbi diametër është e mesme e përpjesshme me segmentet që cakton në diametër, domethënë CD2 = AD • BD

Korda në skajin e diametrit dhe skajin tjetër në gjysmërreth është e mesme e përpjesshme me diametrin dhe projeksionin e saj në diametër (BC2 = BD • AB). Punë e pavarur. Mësuesi/ja jep për punë të pavarur ushtrimin 2, faqe 77.

!


Mësimi 4.14 Tema: Ushtrime Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të zbatojë teoremat e Euklidit në zgjidhjen e trekëndëshit kënddrejtë. II. Të zgjidhë trekëndëshin kënddrejtë duke zbatuar dy teoremat e Euklidit. III. Të zgjidhë problema duke zbatuar teoremat e Euklidit në forma indirekte. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formula, shih mësimet e mëparshme. 4. Vizore

Metodat që rekomandohen: 1. Analizë problemore. 2. Ilustrimi grafik (figura, tabela). 3. Punë e pavarur (grupi).

Zhvillimi i temës së re: Punë e pavarur. Mësuesi/ja jep për punë të pavarur këtë problemë: Në trekëndëshin kënddrejtë lartësia mbi hipotenuzë e ndan atë (hipotenuzën) në dy segmente me gjatësi 9 cm dhe 144 cm. Duke zbatuar teoremat e Euklidit gjeni: a. lartësinë mbi hipotenuzë, b. katetet. Punë e udhëhequr. Punohen nga nxënësit problemat 2 dhe 7. Problema 2. Shih figurën në faqen 78 C

Jepet CD = 8 cm AC = 10 cm A

64

D

B

Kërkohet AD? BD?

Sistemi merr formën: 2 2 10 10= = x( x + y ) x2 + y2 x 2 36 ⇒ = x 6cm ⇒ 2 ⇒ 102 = x 2 + 82 ⇒ x 2 = 102 − 82 ⇒=  2 8 = 8 = x y x y � �   64 32 2 Duke zëvendësuar: 8= x � y ⇒ 64 = 6 �y ⇒ = y ⇒ = y cm 6 3

keshtu kemi: AD = 6cm

BD =

32 3

Problema 7. C

Jepet

AC 5 = AD 3

AC = AD + 3, A

D

B


Zgjidhje: Trekëndëshi ABC është kënddrejtë në C; nga teorema e Euklidit kemi:  AC2 = AD � AB  2 CD = AD �DB Shënojmë: AD = x dhe BD = y, AB = x + y

kërkohet S = ? h=?

h lartësia e D-së të njëvlershëm, ku h = 2CD

Zgjidhje: Shënojmë AC = x dhe AD = y. x 5 x + 3 5 =  =  ⇒ y 3 y 3  x= y + 3  x= y + 3 x+3 5 = ⇒ 3 y + 9 = 5 y ⇒ 2y = 9 ⇒ y = 4, 5cm Zgjidhje: y 3 x = 7,5 cm AC2 7, 5 Nga teorema e 2 e Euklidit kemi: AC2 = AD � AB ⇒ AB = = = 12, 5 4, 5 AD AB = 12, 5cm ⇒ BD = 12, 5 − 4, 5 = 8cm Nga teorema 1 e Euklidit kemi: CD2 = AD • BD = 4,5 • 8 = 36 AB • CD 12, 5 • 6 = = 37, 5cm2 , S = 37, 5cm2 2 2 b �h Për trekëndëshin e dytë kemi S = , ku h = 2 • CD = 12 cm. 2 b • 12 2 • 37, 5 37, 5 = ⇒b= ⇒ b= 6, 25cm 2 12 CD = 6cm , prej këtej S =

!


65


Mësimi 4.15 Tema: Teorema e Pitagorës. Teorema e anasjellë e Pitagorës Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të formulojë teoremën e Pitagorës në formën k ⇒ P . Të formulojë teoremën e anasjellë të Pitagorës. II. Të zbatojë teoremën e Pitagorës në zgjidhjen e trekëndëshit kënddrejtë. III. Të vërtetojë teoremën e Pitagorës duke zbatuar teoremat e Euklidit. Të zgjidhë problema duke zbatuar të kombinuara teoremat e Euklidit dhe të Pitagorës. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formula.

C

Metodat që rekomandohen: 1. Diskutim problemor. 2. Ilustrim grafik (figura, tabela). 3. Punë e pavarur (grupi).

Teorema e Pitagorës ∆ ABC kënddrejtë në C ⇒ AB2 = AC2 + BC2

A

D

B

Zhvillimi i temës së re: Punë përgatitore. Mësuesi/ja jep këtë shembull: Jepet trekëndëshi kënddrejtë ABC me katete AC dhe BC, dhe me lartësi mbi hipotenuzë CD = 12 cm, që e ndan hipotenuzën në segmente AD = 9 cm dhe BD = 16 cm. Gjeni katetet AC dhe BC. Krahasoni AB2, kur AC2 + BC2 ⇒ Pra, AB2 = AC2 + BC2. Këtu formuloni teoremën e Pitagorës dhe vërtetojeni atë,duke u mbështetur te teoremat e Euklidit. I rëndësishëm është formulimi dhe vërtetimi i teoremës së anasjellë. Punë e pavarur. Njehsoni perimetrin e drejtkëndëshit ABCD, nëse njëra brinjë AB = 16 cm dhe diagonalja e tij BD = 5 AB . 4

! 66


Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të shprehë diagonalen e katrorit me anë të brinjës së tij. Të shprehë lartësinë e trekëndëshit barabrinjës me anë të brinjës së tij. II. Të zbatojë lidhjet midis brinjës së katrorit dhe diagonales për të llogaritur syprinën e katrorit. III. Të gjejë syprinën e trekëndëshit barabrinjës me anë të brinjës së tij. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore.

Metodat që rekomandohen: 1. Diskutim problemor. 2. Punë përgatitore. 3. Punë e pavarur.


Mësimi 4.16 Tema: Zbatime

Zhvillimi i temës së re: Punë përgatitore. Jepet katrori me brinjë a = 4 cm. Gjeni diagonalen. Jepet katrori me diagonale 6 cm. Gjeni brinjën e tij. Më pas mësuesi/ja duhet të kalojë në rastin e përgjithshëm. Jepet katrori me brinjë a. Gjeni diagonalen d në lidhje me brinjën a. d = a 2 . Gjeni brinjën a në lidhje me diagonalen d. Jepet syprina e katrorit d2 . në lidhje me diagonalen S= 2 Punë e pavarur. Jepet drejtkëndëshi ABCD. Në meset e brinjëve të tij formohet katrori me brinjë 4 cm. Gjeni syprinën e drejtkëndëshit ABCD. Pas punës së pavarur kalohet te zbatimi 3, 4 (shih Matematikën 9, faqe 81). Është e rëndësishme të shprehet syprina e trekëndëshit S =

a2 3 . 4

Më pas shprehen katetet e trekëndëshit kënddrejtë me hipotenuzën a dhe njërin kënd të ngushtë 300.

!


67


Mësimi 4.17 Tema: Ushtrime Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të zbatojë teoremat e Pitagorës drejtpërdrejt në zgjidhjen e trekëndëshit kënddrejtë. II. Të gjejë vlerën e segmentit të panjohur në figura të dhëna duke zbatuar teoremën e Pitagorës. III. Të zgjidhë problema duke zbatuar të kombinuara teoremat e Euklidit dhe të Pitagorës. Metodat që rekomandohen: 1. Analizë problemore. 2. Punë individuale. 3. Punë e pavarur (grupi). 4. Ilustrim grafik (figura, tabela).

Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore, kompas.

Zhvillimi i temës së re: Punë e pavarur. Mësuesi/ja jep si punë të pavarur këtë ushtrim: Gjeni lartësinë e ndërtuar mbi hipotenuzë dhe katetet në trekëndëshin kënddrejtë me segmente në hipotenuzë 4 cm dhe 9 cm të caktuar nga lartësia. C b

a h A

4

B

9

D c

Më pas nxënësit punojnë ushtrimin 3. D

x B

8

3

o

120

C

3

AC = 3 3 � ACB = 900 AD = 3cm, � CAD = 1200

AD = 8cm BD = x.

A

Zgjidhje: Në trekëndëshin kënddrejtë ABC kemi nga teorema e Pitagorës: AB2 =AC2 + BC2 ⇒ AB2 =32 + (3 3 )2 AB2 =+ 9 9 � 3 ⇒ AB2 = 36 ⇒ AB = 6cm

68

C a R A

o D a

Jepet OA = OB = OC = R AB = BC = AC = a

a

Gjeni a = ?

R B


� � Vëmë re se: AB2 = 6= 2 �BC ⇒ CAB = 300 ⇒ BAC = 900 nga ku: BD2 = AB2 + AD2 ⇒ x 2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100 x 2 = 100 ⇒ x= 10cm Nxënësit punojnë me kujdes ushtrimin 7.

Zgjidhje: Meqenëse trekëndëshi ABC është barabrinjës, atëherë: 0 �= 360 AOB = 1200 ⇒ ∆AOD kënddrejtë, ku: 3 OA R � � AOB = 600 ⇒ CAD = 300 ⇒ OD = = 2 2 Ndërsa: OA2 = AD2 + OD2 2

2

2

2

a2 R2  R  a  a  R = R2 − R2 =   +   ⇒  = R2 −   ⇒  2  2  2  2 4 4 2 2 2 a 4R − R a a = 6 3cm = ⇒ a2= 3R2 ⇒ a= R 3 ⇒ R= 4 4 3 Zbatim numerik për R = 6 cm.

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 3, figura 2; 5 dhe 8, faqe 82.

Mësimi 4.18 Tema: Formula për largesën ndërmjet dy pikave në planin koordinativ Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të shkruajë formulën mbi largesën ndërmjet dy pikave me koordinata të dhëna. II. Të gjejë largesën ndërmjet dy pikave duke zbatuar formulën për largesën. III. Të zgjidhë problema duke zbatuar formulën mbi largesën të kombinuar me formula të tjera. y B Largesa ndërmjet dy pikave: Mjete ndihmëse: A 1. Teksti Matematika 9. A (x1; y2); B (x2; y2); o x 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. AB = ( x 2 − x1 )2 + ( y 2 − y1 )2 3. Tabela me formula.

69


Metodat që rekomandohen: 1. Punë e udhëhequr. 2. Ilustrim grafik (figura, tabela). 3. Punë e pavarur (grupi). Zhvillimi i temës së re: Punë përgatitore. Mësuesi/ja jep si punë përgatitore këtë ushtrim: y

A

o

A1

Në rrjetin koordinativ jepet pika A (3; 4). Gjeni gjatësinë OA. Meqenëse pika A ka abshisë 3, atëherë segmenti OA1 = 3 njësi, meqenëse koordinata e pikës A është 4 njësi, atëherë A1A = 4 njësi.

x

Nga teorema e Pitagorës kemi: OA2 = OA12 + A1A2 ⇒ OA2 = 32 + 42 = 25 ⇒ OA = 5 njësi. E njëjta kërkesë për largesën AB, kurse pika A (3; 2) dhe pika B (6; 6). Vini re figurën: A (3; 2), B (6; 6): B

6

A

2 o

AC = 6 – 3 = xB – xA = 3 BC = 6 – 2 = yB – yA = 4 Në ∆ ABC, AB2 = AC2 + BC2 ⇒ AB2 = 32 + 42 = 25 ⇒ AB = 25

C

x

6

3

cm

Mësuesi/ja kalon në rastin e përgjithshëm. Jepen pikat A(x1; y1) dhe B(x2; y2). Vëreni figurën. y

y

B (x2; y2).

y2

B (x2; y2).

1

;y

)

y2 1

A( x

ose

y1 o

70

A(x1; y1)

C x1

x2

y1 x

x1

o

C x2

x

AB =

( x 2 − x1 )2 + ( y 2 − y1 )2

Këtë formulë do të pranojmë për çdo rast. Kështu do të pranojmë se për dy pika: A (x1; y1) dhe B (x2; y2) kemi largesë: AB = ( x 2 − x1 )2 + ( y 2 − y1 )2 . Punë e pavarur. Gjeni AB, nëse A (3; 2), B (-6; 4). Gjeni perimetrin e trekëndëshit ABC, nëse A (1; 1), B (-3; 0), C (4; 3).

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/b, 2/d, 3, faqe 83.


Si te rastet e mësipërme kemi: 2 2 AC = x2 – x1 dhe BC = y2 – y1 ⇒ AB2 = AC2 + BC2 = (x2 - x1) + (y2 - y1) ⇒ .

Mësimi 4.19 Tema: Problema ndërtimi Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të rikujtojë formulimet e teoremave të Euklidit dhe Pitagorës për një trekëndësh kënddrejtë. II. Të dallojë segmentet, gjatësitë e të cilave janë në formulimin e barazimit të Euklidit dhe Pitagorës. III. Të ndërtojë segmentin x që lidhet me segmentet e dhënë me anë të barazimeve të Euklidit dhe Pitagorës. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formulat e teoremave të Euklidit dhe Pitagorës.

Metodat që rekomandohen: 1. Ilustrim grafik (figura, tabela). 2. Analizë + sintezë. 3. Punë e pavarur (grupi).

Zhvillimi i temës së re: Kujdes! Problemat e ndërtimit janë ndër problemat e vështira të gjeometrisë, prandaj mësuesi/ja duhet t’u kushtojë një vëmendje të veçantë. Këto problema zgjidhen në 4 etapa: analizë, ndërtim, vërtetim, diskutim. Analiza: është etapa e parë, në të cilën problema mendohet si është zgjidhur. Ketej lidhen të dhënat dhe të panjohurat. Ndërtimi: është etapa e dytë. Në këtë fazë të zgjidhjes mbështetemi te lidhjet që zbuluam në etapën e analizës,behet ndërtimi. Vërtetimi: është etapa e tretë. Verifikohet nëse ndërtimi është ai që duhet apo është i gabuar.

71


Diskutimi: këtu diskutohet numri i zgjidhjeve të problemave (d.m.th. përveç ndërtimit tonë ka një ndërtim tjetër apo ky ndërtim është vetëm i imagjinuar dhe nuk është i mundshëm). Meqenëse këto problema kanë ngarkesë, mësuesi/ja duhet të zbatojë problema të “thjeshta”, të cilat kanë një etapë analize e ndërtimi të shkurtër. Problemat duhet të jenë sa më të kuptueshme nga nxënësit. P.sh. Le të marrim këtë problemë: Ndërtoni segmentin x të tillë që lidhet me segmentet e dhënë a dhe b me anë të barazimit x = a � b . Zgjidhje: Mendoj se segmentet janë: a b Kërkojmë segmentin x. Analizë: Mendojmë se prodhimi është i zgjidhur, që do të thotë se segmenti është x = a � b ndërtuar nga x = a � b ⇒ x 2 =a • b (x-i i mesëm i përpjesshëm i a dhe b). Kujtojmë se një lidhje të tillë e gjejmë te teoremat e Euklidit, d.m.th. x është ose njëri katet i trekëndëshit kënddrejtë ose lartësi e ndërtuar mbi hipotenuzë. C

C x A

D b

ose

a

B

x A

a

D

b

B

Ndërtimi: Duhet të përdorim kompas, sepse dimë se këndi rrethor që mbështetet në diametër është i drejtë. Ndërtojmë gjysmërrethin me diametrin e segmentit më të madh (në këtë rast segmentin b). Në diametrin AB ndaj segmentin AD = a. C Nga D ndërtojmë pingulen me diametrin [AB], që do të presë rrethin në C. Segmenti [AC] është segmenti x, ose njëlloj si më lart për diametrin AB = a + b.

x

A

a

D

B

Vërtetim: Vërtetohet ABC, meqenëse AC = x është katet i ABC kënddrejtë në C, dimë nga teorema e Euklidit se AC2 = AD •AB ⇒ x2 = a •b ⇒ x = a • b ose njëlloj për x = CD.

72

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimi 1/a, c.

Mësimi 4.20 Tema: Ushtrime Kjo temë ka të njëjtat objektiva me temën 4.19. Prandaj do të zhvillohet njëlloj. Përveç zbatimit të drejtpërdrejtë të teoremave të Euklidit dhe të Pitagorës, ka raste të zbatimit të ndërthurur te të dyja teoremat. Për të ndihmuar mësuesit po japim zbërthimet e segmentit x, sipas ushtrimeve dhe teoremës që zbatuam. Ushtrim 1: a. x= 4a2 + b2 ⇒ x 2= (2a)2 + b2 T.P.


Diskutimi: Problema ka një zgjidhje të vetme, sepse gjithnjë ndërtohet një gjysmërreth dhe në të (gjysmërreth) pika C është gjithnjë e vetme.

2

 a b. x =   + b2  2 2

T.P.

c. = x 2 6= ab (2a) + (3b) 2 d. x= a2 + ab

T.E.

Këtu në fillim ndërtohet segmenti y, i tillë që y2 = ab, T.E. dhe pastaj segmenti x, i tillë që x2 = a2 + y2. e. Njëlloj si pika d) x 2 = a2 − ab ⇒ x 2 = a2 − y 2 f. x 2 = (2a)b T.E. Ushtrim 2: a. x = a 2 ⇒ x 2 = 2a2 ⇒ x 2 = a2 + a2 T.P. ose= x 2 (2a) • a2 2

2a2  a  a ⇒ x2 =   +    2  2 4 2 a a   2 ose x= = a   2 2

2

b. x 2 =

T.P. T.E.

c. x 2 = 3a2 ⇒ x 2 = 4a2 − a2 = (2a)2 − a2 ose x 2 = (3a)2 � a 2

3a2 4a2 a2  2   a ⇒ − =  a −   d. x =    3 9 9 3 a 2 a  a ose x 2 = ⇒ x2 = a �    3 3 2

T.P. T.E.

2

T.P. T.E.

Ushtrimi 3, njëlloj si ushtrimi 1 me zëvendësimet e segmenteve a, b. Ushtrimi 4 është dhënë gabim. Ai zgjidhet në mësimet e mëvonëshme.

73


Ushtrimi 5/a: x2 = a2 + b2 + c2. Në fillim ndërto y të tillë që y2 = a2 + b2 – T.P., pastaj x i tillë që x2 = y2 + c2 – T.P. b. Njëlloj si a vetëm x2 = y2 – c2. Për çdo ushtrim që do tú jepet nxënësve këto udhëzime janë të domosdoshme.

Mësimi 4.21 Tema: Ushtrime për përsëritje Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të rikujtojë vetitë e figurave. Të rikujtojë teoremat e Euklidit dhe Pitagorës. Të gjejë elementet e drejtkëndëshit duke zbatuar teoremat. II. Të zgjidhë problema duke zbatuar në mënyrë të kombinuar teoremat mbi figurat. III. Të zbatojë në mënyrë të kombinuar teoremat e Euklidit dhe Pitagorës për ndërtimin e segmenteve të panjohura. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formulat e teoremave të Euklidit dhe Pitagorës.

Metodat që rekomandohen: 1. Analizë problemore. 2. Ilustrim grafik (figura, tabela). 3. Punë e pavarur (grupi). 4. Kllaster.

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja duke tërhequr mendimet e nxënësve paraqet tabela të gatshme për këto bllokskema: Trapez

Katërkëndësh

Paralelogram

Romb

Drejtkëndësh

Katror

Fjalët: katërkëndësh, trapez, paralelogram, drejtkëndësh, romb, katror. Diskutohen vetitë e tyre. Punë e udhëhequr. Nxënësit punojnë problemën 1, faqe 86.

74

Jepen:

Kërkohen: ABCD trapez, DE = CD = h (lartësia), 26 AB = 38 cm, AE = ?, BF = ? CD = 22 cm , AD = 26 cm, A BC = 30 cm.

D

22

C 30

h

h

F

E

B

38

Zgjidhje: Shënojmë BF = x ⇒ AE = 38 – 22 – x ⇒ AE = 16 – x Në ∆ AED h2 = 262 – (16 – x)2. Në ∆ BCF h2 = 302 – x2. 262 – 162 + 32x – x2 = 900 – x2 ⇒ 32x = 900 – 676 + 256 ⇒ 32x = 480. x = 15 BF = 15 cm AE = 16 – 15 = 1 AE = 1 cm 2 2 2 2 2 h = 30 – 15 ⇒ h = 900 – 125 ⇒ h = 675 ⇒ h = 675 ⇒ h = 15 3 . Përgjigje: Lartësia 15 3. Projeksionet e brinjëve anësore janë AE = 1 cm dhe BF = 15 cm. Punë e pavarur. Mësuesi/ja u jep nxënësve ushtrimin 5.

!


Shënim: Korrigjoni bazën e madhe 38 cm.


Mësimi 4.22 Tema: Këndi, harku dhe matja e tyre Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë kuptimin e këndit. Të dallojë kuptimet kënd 10 dhe kënd 1 radian. Të dallojë këndet qendrore me këndet rrethore. Të dallojë masën e harkut nga gjatësia e tij. II. Të gjejë masat e këndit rrethor (qendror) duke zbatuar lidhjen me masën e harkut ku mbështetet. III. Të shprehë masën e një këndi nga masa në gradë, në minuta etj. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me figura. B

o

Metodat që rekomandohen: 1. Diskutim problemor. 2. Ilustruesi grafik (figura, tabela). 3. Punë e pavarur (grupi). Këndi

A

o A

B

75


Zhvillimi i temës së re: Punë e pavarur. Gjatë punës së pavarur duhet të këmbëngulet te kuptimi i këndit si figurë gjeometrike, me qëllim që në mënyrë të thjeshtë të futim në kuptimin e këndit � rrotullimin dhe kahun e tij. Nxënësit ndërtojnë një kënd AOB . - A mund të përkufizoni � � kuptimin e këndit? -Ku ndryshojnë AOB dhe BOA ? Vini re figurën. B o A Për të kuptuar më qartë, vëreni akrepat e orës. Nëse është e nevojshme ndërhyn mësuesi/ja duke dhënë përkufizimin për këndin. Ai/ajo tregon para nxënësve figurat. Nëse gjysmëdrejtëza [OA) për tú bashkuar me [OB) rrotullohet sipas drejtimit të rrotullimit të akrepave të orës, këndi do të marrë masë numër negativ. P.sh. -300; -450; -900 etj. B o A Nëse gjysmëdrejtëza [OA) për tù bashkuar me gjysmëdrejtëzën [OB) rrotullohet në drejtimin të kundërt, këndi do të merret me masë pozitive. P.sh. +300; +450; +600; +900 etj. � � Themi se AOB dhe këndi BOA janë të kundërt. Më pas kalohet te masa e këndit. Në këtë pjesë është e rëndësishme të theksojmë masën në radian të këndit. P.sh.

Π Π Π Π ; ;− , − etj. 2 6 2 6

� Nxënësit ndërtojnë një rreth. Në të ndërtojnë një kënd qendror AOB (O qendra � e rrethit) dhe AMB (M një pikë në rreth). Nxënësit duhet të krahasojnë këndet dhe � � . të tregojnë lidhjen ndërmjet masës së këndit AOB me masën e harkut AB B

M

o

A

76

Ose Π +  − Π  −  − Π  = Π − Π + Π = 6Π − 3Π + 4Π = 7Π     2  4  3 2 4 3 12 12

!

(radian)

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2, 4, faqe 88. Π  3Π Π  − 2Π −  −  = Gjeni vlerën 150 – 300 – (-1500 + 200);  2 2 2

Mësimi 4.23 Tema: Formula për gjatësinë e harkut


� nuk është e njëjtë me gjatësinë e AB � . Kujdes! Masa e harkut AB Këtu duhet theksuar se veprimet me masat e këndeve (harqeve) janë të njëjta me veprimet me numrat e emëruar. P.sh. 200 + (-400) – (-150) = 300 – 400 + 150 = 450 – 400 = 50

Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të shkruajë formulat mbi gjatësinë e harkut me masë në gradë (radian). Të shkruajë formulën mbi kalimin e masës së harkut (këndit) nga masa gradë në masën radian dhe anasjellas. II. Të gjejë gjatësinë e harkut duke zbatuar formulën. Të kthejë masën e këndit (harkut) nga masa në gradë në masën radian dhe anasjellas. III. Të vërtetojë formulën mbi gjatësinë e harkut. Të vërtetojë formulën mbi kalimin e masës së këndit nga gradë në radian. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9.

Metodat që rekomandohen: 1. Diskutim problemor. 2. Punë e pavarur (grupi).

Zhvillimi i temës së re: Në këtë orë mësimi është e rëndësishme të nxirret formula mbi gjatësinë l të harkut l = ΠRα , ku α masa në gradë e harkut, e njëjtë me njësinë e rrezes. dhe l gjatësia në cm, dm etj. 180 l = a R, ku a masa në radian e harkut. Vini re formulën l = a R, nëse a = 1 radian, atëherë l = R (harku 1 radian është harku me gjatësi sa gjatësia e rrezeve të rrethit). Formula e kalimit të masës nga gradë në radian dhe anasjellas është: α = a (). 180 Π Punë e pavarur. Π radian). Gjeni gjatësinë e harkut me rreze R = 4 cm dhe masa α = 300 ( a = 6 Ktheni masat e këndeve (harqeve) nga gradë në radian dhe anasjellas nëse: 1. a. α = 450; b. α = -1500; c. α = -300; Π Π 2. a. a = ; b. a = − ; c. a = − 2Π ; 4 5 3 Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1, 3, 4, 6, faqe 89.

!

77


Mësimi 4.24 Tema: Përkufizimi i sinusit dhe kosinusit të një këndi në rrethin trigonometrik Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë kuptimin rreth trigonometrisë. Të përkufizojë sinusin e këndit (harkut). Të përkufizojë kosinusin e këndit (harkut). II. Të gjejë sinusin dhe kosinusin e këndit (në të paktën 4 raste të dhëna). III. Të thjeshtojë shprehje trigonometrike. Të gjejë vlerën e këndit kur jepet vlera e sinusit (kosinusit) të tij. Të ndërtojë kënde, kur njihet vlera e sinusit (kosinusit). Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me vlerat e sinusit dhe kosinusit (shih faqe 91). 4. Tabela me rrethin trigonometrik.

Metoda që rekomandohen: 1. Diskutim problemor. 2. Ilustruesi grafik (figura, tabela). 3. Punë e pavarur (grupi). Rrethi trigonometrik

y a

A1 (-1;0)

o

B1 (0;1) M(x;y) p

x A1 (1;0)

B1 (0;-1) Zhvillimi i temës së re: Punë përgatitore. Në punën përgatitore të kërkohet nga nxënësit që të ndërtojnë një sistem koordinativ dhe me qendër O (origjinën e sistemit koordinativ) të ndërtojnë rrethin me rreze 1 njësi. Mësuesi/ja thotë përkufizimin e rrethit trigonometrik. Kujdes! Figura që gjendet te teksti i nxënësit duhet plotësuar si figura më lart. Më pas kërkohet që nxënësit të zgjedhin një pikë M në rreth (sipas dëshirës). Nxënësit duhet të gjejnë koordinatat e pikës M. Më pas ndërhyn mësuesi/ja me pyetjen: � - A mund të themi se pika M cakton këndin AOM me masë α (gradë) ose � harkun AM me po atë masë? Në këtë moment kalohet te përkufizimet 2, 3. Kujdes! Te figurat e faqes 90-të, të bëhen plotësimet përkatëse. Punë e pavarur. 1 Punohet me ushtrimin 4/a. Gjeni x nëse sin x = 0,5 ⇒ sin x = , nga tabela 2 kemi x = 300 ose x = 1500, 3/b, c, N. 4/b, d, faqe 51.

! 78

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 4/b, d, faqe 91.

Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të shprehë me anë të barazimit funksionin sinus (kosinus). II. Të skicojë grafikun e funksionit sinus (kosinus). III. Të studiojë nga grafiku monotoninë e funksionit sinus (kosinus). Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me grafikët e funksioneve trigonometrike, të përgatitur në letër të milimetruar.

Metodat që rekomandohen: 1. Diskutim problemor. 2. Ilustruesi grafik (figura, tabela). 3. Punë e pavarur (grupi).


Mësimi 4.25 Tema: Studimi i funksionit sinus

fig. 1

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja thekson: Funksioni që çdo x ∈ [00; 3600] ose x ∈ [0; 2 Π ] e lidh me vlerën e y = sinx në [-1; 1] quhet funksioni sinus i x. Njëlloj veprohet edhe me y = cosx Më pas kalohet te studimi i funksionit y = sinx, y = cosx. 1. x = 0. Këtu pika M është te pika A në rrethin trigonometrik. sin0 = 0, cos0 = 1 2. x = 300. Shiko tabelën në faqen 91. 1 3 sin300 = , cos300 = 2 2 Kështu vazhdohet deri te vlera x = 3600 (x = 2 Π ). Të theksohet se duke bashkuar pikat me koordinata (x; sinx) në formë pak të lakuar fitohet grafiku i funksionit y = sinx, që quhet sinusoidë dhe duke bashkuar pikat me koordinata (x; cosx) në formë pak të lakuar fitohet grafiku i funksionit y = cox që quhet kosinusoidë. Pas ndërtimit të grafikut është e rëndësishme të studiohet zmadhueshmëria dhe zvogëlueshmëria e vlerave të sinx (cosx). Shiko punën e pavarur, faqe 93.

!


79


Mësimi 4.26 Tema: Ushtrime Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të lidhë shprehjen trigonometrike me shenjën që merr vlera e saj. Të krahasojë vlerat e sinusit (kosinusit). Të gjejë këndin kur dihet vlera e sinusit (kosinusit) duke përdorur tabelën përkatëse. II. Të ndërtojë këndin në rrethin trigonometrik, kur dihet vlera e sinusit (kosinusit) të tij. Të zgjidhë ekuacione trigonometrike të thjeshta. Të ndërtojë grafikun e funksionit të formës y = a sinx (y = b cosx). III. Të gjejë vlerën më të madhe dhe më të vogël të shprehjeve trigonometrike (p.sh. 1 ). Të zgjidhë inekuacionin trigonometrik duke u mbështetur te rrethi sin x + 1

trigonometrik (p.sh.: sinx > sin 500). Metodat që rekomandohen: 1. Analizë problemore. 2. Ilustruesi grafik. 3. Punë e udhëhequr. 4. Punë e pavarur.

Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me rreth trigonometrik dhe grafikët e funksioneve trigonometrike.

Zhvillimi i temës së re: Në këtë orë mësimi mësuesi/ja si punë të udhëhequr jep këto ushtrime:

3 ) 2 1 3 b. Ndërto këndin α të tillë që cos α = − (gjejme x nëse sin x = ) 2 2 Si ilustrues të përdoret rrethi trigonometrik.

1. a. Ndërto këndin α të tillë që sinα =

3 (gjejme x nëse cos x 4

=

B

M

fig. 1

x1 A1

P N

M1

o

A

x

B1

Zgjidhja e pikës b: Meqenëse vlera e cos α është abshisa e pikës, atëherë në 1 boshtin (x’x) ndërtojmë pikën P me abshisë − dhe nga kjo pikë ndërtojmë ⊥ me 2 (x’x) që do të presë rrethin trigonometrik me dy pika M e M’, shiko figurën. � � 1. Këndi α është AOM ose AOM' .

80

y

B M

M1 130 50

x

1

A1

o

B1

!

A

x

Meqenëse vlerat e sinusit janë koordinata të M-së, atëherë nga M-ja ndërtojmë ⊥ me (y’y), që pret rrethin në M’, nga figura m (AOM’ ) = 1300. Në rreth duket se pikat e fundit të harqeve (këndeve) që plotësojnë sinx > sin500 do të jenë në harkun MBM1, d.m.th. 500 < x < 1300.


2. Ushtrimi 3 (është i thjeshtë, kujto vlerat e sinusit (kosinusit)). 3. Gjeni x të tillë që sinx > sin500. Zgjidhje: Përsëri në rrethin trigonometrik ndërtojmë � me masë 500, kështu marrim m ( AOM ) = 500, d.m.th. pika M.

y1

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 3 f/ i, 4/d, 5 d/f, faqe 94.

Mësimi 4.27 Tema: Formula themelore e trigonometrisë Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të shkruajë formulën themelore të trigonometrisë. II. Të zbatojë formulën themelore të trigonometrisë për të gjetur vlerën sin α (cos α ), kur dihet vlera e njërit. III. Të vërtetojë formulën themelore të trigonometrisë. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Rrethi trigonometrik.

Metodat që rekomandohen: 1. Diskutim problemor. 2. Ilustruesi grafik. 3. Punë e pavarur (grupi).

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja u kërkon nxënësve të ndërtojnë rrethin trigonometrik dhe në të të zgjedhin pikën M. Ai/ajo kërkon të shënojnë koordinatat e pikës M (cos α ; sin α ), dihet se O(0, 0) dhe OM = 1. Mësuesi/ja kërkon që të shprehet largesa OM me anë të formulës. 2 2 2 2 2 2 OM = (cos a − o) + (sin a − 0) ⇒ 1 = cos a + sin a ⇒ cos a + sin a = 1...etj.

!


81


Mësimi 4.28 Tema: Ushtrime Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të shkruajë sinusin e këndit kur jepet katrori i tij dhe anasjellas. II. Të thjeshtojë shprehje trigonometrike duke zbatuar formulën themelore. III. Të zgjidhë ekuacione trigonometrike. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9.

Metodat që rekomandohen: 1. Ilustruesi grafik. 2. Punë e pavarur (grupi).

Zhvillimi i temës së re: Në këtë orë mësimi, nxënësit në formën e punës së udhëhequr të zgjidhin ushtrimet 1 dhe 2, faqe 96. Zgjidhje: Kujdes! Meqenëse këndi është në kuadratin e dytë Π < α < Π ), atëherë vlera e kosinusit është negative, domethënë 2 1 1 48 cos α = − 1 − sin2 α = − 1− = − = − 49 49 7 (

Ushtrimi 3/b. Këtu duhet kujtuar A 2 + 2AB + B2 = ( A + B)2 ⇒ A 4 + 2A 2B2 + B4 = ( A 2 + B2 )2 . Kështu që cos α 4 + 2 cos2 α • sin2 α + sin4 α = (cos2 α + sin2 α )2 == 12 1 Për ushtrimin 5 shikohet zgjidhja e tekstit. Punë e pavarur. Π 4 4 < α < Π. Gjenicos sin α ,=nëse cos α = − dhe − 2 5 5 Ushtrimi 4/b, ky ushtrim zgjidhet njëlloj si pika 2, por këtu vlera është e dhënë 2 2 përpara, që do të thotë se duhet të tregohet se: sin α + sin α ka vlerë 2. 1 + cos α 1 − cos α

!

82

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1, 3/c, 4/c, 6/d, faqe 96.

Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë tangjenten (kotangjenten) e një këndi. II. Të gjejë vlerat e tangjentes (kotangjentes) së një këndi. III. Të ndërtojë këndin në rrethin trigonometrik, kur dihet vlera e tangjentit (kotangjentit) të tij. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me rrethin trigonometrik (figurat 1 dhe 2 në faqet 97-98).

Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Ilustruesi grafik (figura, tabela). 3. Punë e udhëhequr. 4. Punë e pavarur.


Mësimi 4.29 Tema: Tangentja dhe kotangentja e një këndi

Zhvillimi i temës së re: Punë përgatitore. Mësuesi/ja duhet të tregojë kujdes në realizimin e kësaj pune: a. Ndërto një rreth trigonometrik, b. Nga pikat A dhe B ndërto tangjentet me rrethin, � c. Zgjidh këndin AOM me masë α . Shëno me T e S pikëprerjet e [OM) me tangjentet, d. Kujto koordinatat e pikës M (cos α, sinα ) y e. Shëno koordinatat e pikave T, S. B(0;1) S

(-1;0)

a

M T

o

P

A(1;0)

x

B1(0;-1)

y1 Nxënësi do të përgjigjet T(1; yT); S(xS; 1). Mësuesi/ja thekson përkufizimet 1 dhe 2. Më pas vazhdohet si në tekst, ku y T = kyM ⇒ y = yM . T xM 1 kxM xM sin α (Kujdes! Në tekst është shënuar gabim y T = ), domethënë tgα = (1). yM cos α cos α 1 Njëlloj cot gx = (2) duke krahasuar 1 me 2 trego se tgx = ose . sin α cot gx 1 cotgα = tgα

83


c të kërkohet ordinata Është e rëndësishme të theksohet se për vlerat e tgα =do e pikës T (vëmë re ku është pika T), që do të thotë kur jepet vlera e tgα =c për të ndërtuar këndin α mjafton të zgjedhë [AT], të tillë që yT = c, njëlloj për rastin cotgα =d . Këtu mësuesi/ja merr një shembull: tgα = 1 ose cotgα = − 1 . 2 Punë e udhëhequr. Diskutohen ushtrimet 4 dhe 5, faqe 98.

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2/a, 3/b, c, faqe 98.

Mësimi 4.30 Tema: Studimi i funksionit tangent dhe kotangent Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të shprehë në formën y = f(x), x ∈ E funksionin tangjent (kotangjent). II. Të skicojë grafikun e funksionit tangjent (kotangjent). III. Të ndërtojë këndin në rreth nëse jepet vlera e tangjentes (kotangjentes). Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Rrethi trigonometrik i plotë.

Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Ilustruesi grafik (figura, tabela, grafikë). 3. Punë e udhëhequr. 4. Punë e pavarur (grupi).

Zhvillimi i temës së re: Kujdes! Te puna përgatitore nxënësi të ketë parasysh: y = tgx për x

≠

Π dhe x 2

3Π 2

Duke punuar sa më thjesht në rrethin trigonometrik, mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të gjejnë Π Π Π duke diskutuar ordinatën e pikës T për rastet kur x = 0; x = ;x= ;x= ; 4 2 6 x = Π etj. Më pas kërkohet që të skicohet grafiku (shiko tekstin, faqe 99). Njëlloj për y = cotgx, përsëri në formë të punës së udhëhequr (mos harro se për nxënësit nuk do të jetë e lehtë të skicohen këta grafikë). Nga grafikët të studiohet kur tangjentja (kotangjentja) është rritëse ose zbritëse.

! 84


Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të gjejë vlerën e tangjentes (kotangjentes) kur duhet vlera e njërës prej tyre. II. Të gjejë tangjenten (kotangjenten) kur duhet sinusi i këndit. III. Të zgjedhë inekuacionin trigonometrik (p.sh., tgx ≤ 1). Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Rrethi trigonometrik. 4. Grafikët për tangjenten (kotangjenten).

Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Ilustruesi grafik. 3. Punë e udhëhequr. 4. Punë e pavarur (grupi).



Zhvillimi i temës së re: Punë e pavarur. Mësuesi/ja u jep nxënësve për punë të pavarur: 2 Gjeni tg α , nëse cotg α = − 3 Π 1 Gjeni tg α dhe cotg α , nëse sin α = dhe α ∈ ] ; Π [, por për këtë shiko 2 5 ushtrimin e zgjidhur, faqe 100. Më pas kërko që nxënësit të krahasojnë p.sh. tg 320 me tg 460. Nxënësve u vjen në ndihmë grafiku i y = tg x. Të cilin në një tabelë mund ta përdorim si mjet mësimor. Meqenëse y = tg x është rritës për x ∈ [00; 900[, atëherë themi se tg 320 < tg 460. Njëlloj veprohet edhe për rastet e tjera. Tek ushtrimet tregoni shenjën, p.sh. tg 1350 – tg 1200, duhet krahasuar tg 1350 me tg 1200. Më pas mësuesi/ja së bashku me nxënësit punon ushtrimin 2. 3 ) Në fund duhet punuar ushtrimi 10, po paraqesim zgjidhjen e pikës a ( tgx ≤ 3

Zgjidhje: Në tangjenten me rrethin (të ndërtuar në A).

y B

Gjej AT =

M T A1

x A

3 (pikën T, që ka ordinatë 3

3 ), bashko pikën T me O dhe e 3 zgjatur që presë rrethin në M dhe M’. Të gjitha këndet (harqet) që kanë � � M fundin në MAB' ose në BA 1 1

M1

B1

kanë vlerën tgx ≤

3 3

85


Kështu 0 ≤ α ≤

3Π Π 7Π Π < α ≤ 2Π ose ose <α≤ 2 2 6 6

Siç vihet re, ushtrimet 2 dhe 10 nuk janë të lehta, prandaj këshillohen për nxënës të nivelit të lartë.

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 3 c/d, 4 c/d, 5, 9/c, faqe 101.

Mësimi 4.32 Tema: Lidhja ndërmjet vlerave të funksioneve trigonometrike të disa këndeve Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të shkruajë formulat e trigonometrisë për këndet shtuese (plotësuese). II. Të gjejë vlerën e sinusit (kosinusit) të një këndi, kur duhet vlera e tij për këndin shtues (plotësues). Të zbatojë tabelat në llogaritjen e vlerave të funksioneve trigonometrike të këndeve nga 00 në 900. III. Të thjeshtojë shprehje trigonometrike, duke zbatuar formulat e trigonometrisë për këndet shtuese (plotësuese). Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Rrethi trigonometrik. 4. Tabela e vlerave të funksioneve trigonometrike

Metodat që rekomandohen: 1. Mësimdhënia jo e drejtpërdrejtë. 2. Ilustruesi grafik. 3. Punë e pavarur (grupi). 4. Shpjegimi arsyetues.

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja në fillim jep këndet: Π 2Π a. 300, 1500; b. 500, 1300; c. , etj. 3 3 Kërkohet shuma. E rëndësishme është që nxënësit të shkruajnë formulat (1), faqe 102. Punë e pavarur. Mësuesi/ja e organizon punën e pavarur në formën e punës me grupe ose punë individuale. Ai/ajo duhet të shpjegojë si do të përdoret tabela e faqes 227.

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 3, 4, 5 b/c/h (kërkesa x ∈ [0; = cot g 700 ⇒ tgx = tg 200 ⇒= x 200 Udhëzim: tgx

86

Π [), 5/h 2

Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të shkruajë lidhjen ndërmjet funksioneve trigonometrike të këndeve në një trekëndësh kënddrejtë dhe brinjëve. II. Të shkruajë një formulë për syprinën e trekëndëshit duke zbatuar lidhjen në trekëndëshin kënddrejtë (zbatim). III. Të vërtetojë formulat që lidhin funksionet trigonometrike të këndeve në trekëndëshin kënddrejtë me brinjët. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Rrethi trigonometrik.

Metodat që rekomandohen: 1. Mësimdhënia jo e drejtpërdrejtë. 2. Ilustruesi grafik. 3. Punë e udhëhequr.


Mësimi 4.33 Tema: Marrëdhëniet trigonometrike në trekëndëshin kënddrejtë

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja u rikujton nxënësve nga klasa e tetë prodhimin e vektorit me një numër. Më pas fillon puna me teoremën në fillim të faqes 104. Pas vërtetimit të teoremës 1, mësuesi/ja thotë se në çdo trekëndësh kënddrejtë B ABC ku: a. kateti përballë këndit α ose kateti anash këndit β . b b. kateti përballë këndit β ose kateti anash këndit α . a c. hipotenuza. a kateti përballë (gjatësia) = hipotenuza (gjatësia) c b kateti anëshkruar cos α = = hipotenuza c

Kemi: sin α =

C

c

A

Duke zbatuar formulat e mësimit 3.32: sin α = cos β , cos α = sin β , dhe formulat për tangjentin gjejmë: kateti përballë a = dhe tg α = cotg β kateti anëshkruar c b kateti anëshkruar cotg α = = dhe cotg α = tg β kateti përballë c

tg α =

Theksojmë se këto formula janë të rëndësishme për trekëndëshin kënddrejtë. Punë e udhëhequr. Gjeni një formulë për syprinën e trekëndëshit çfarëdo nëse � jepen brinjët AB = c, AC = b dhe m( BAC ) = α.

87


C

b

h

c

A

D

B

AB � h Zgjidhje: Dimë se S = (1), por nga që ∆ ABC kënddrejtë dhe h kateti 2 përballë këndit α , kurse b hipotenuzë, kemi sin α = h ⇒ b h = b sin α , duke zëvendësuar te (1) kemi: S=

!

1 c � b �sinα ⇒ S = b � c sinα 2 2

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1 dhe 3 te teksti Ushtrime Matematika 9.

Mësimi 4.34 Tema: Marrëdhëniet trigonometrike në trekëndëshin kënddrejtë Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të shkruajë formulat e zgjidhjes së trekëndëshit për secilin rast. II. Të zbatojë formulat e gjetura në të katra rastet duke zëvendësuar të dhënat. III. Të gjejë syprinën e trekëndëshit kënddrejtë. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9.

Metodat që rekomandohen: 1. Mësimdhënia jo e drejtpërdrejtë. 2. Punë në grup.

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja trajton katër ushtrimet duke shkruar formulat e zgjidhjes. Nxënësit bëjnë vetëm zbatimet e duhura. Kujdes! Problema 2 duhet korrigjuar, duhet hipotenuza me gjatësi c dhe kënd α . Te zbatimi vlerat e funksioneve trigonometrike i gjeni te faqja 227.

! 88

Detyrë shtëpie. Ushtrimi 1 b/c, faqe 106.

Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të gjejë syprinën e një trekëndëshi (paralelogrami). II. Të zgjidhë trekëndëshin kënddrejtë. III. Të gjejë elementet e panjohura në një trekëndësh çfarëdo duke zbatuar formulat. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formula trigonometrike.

Metodat që rekomandohen: 1. Analizë. 2. Punë individuale.



Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja bën zgjidhjen e problemave 2/b dhe 8. Zgjidhja e problemës 2/b: x Në ∆ ABC: = cos α ⇒ = x c � cos α ; c y = sin α ⇒ y= c � sin α c

C y

x

h u

A

D

B

v

u u x � cos α ⇒= u c � cos α � cos α ⇒ u = c � cos2 α Në ∆ ADC: = cos α ⇒= x v = c − u ⇒ v = c − c � cos2 α ⇒ v = c(1 − cos2 α ) ⇒ v = c � sin2 α h = sin α ⇒ = h x � sin α ⇒ = h c � cos α � sin α x Zgjidhja e problemës 8: C b

h h Në ∆ ABC: = sin α ⇒ b= b sin α

a

h h Në ∆ BDC: = sin β ⇒ a= a sin β

h B

A

C1

D

C2

B

89


a Kurse: = co s α ⇒= a b � co s α ⇒ b c2 h co sβ ⇒ h cot gα= c1 = � cos α ⇒ c1 = a sin α h h � cot gβ = c 2 a cos β ⇒ = c2 � cos β ⇒ c 2 = sin β c = c1 + c2 = hcotg α + hcotg β ⇒ = c h ( tgα + tgβ) 1 � �= 1800 − (α + β) ab � sin C C 2 1 S = ab �sin(α + β) 2

S=

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2/a, 4, faqe 117.

Test kontrolli (mbi figurat plane) 1. Jepet katërkëndëshi ABCD. Qarko pohimin e vërtetë: a. Këndet e tij janë të gjera. b. Shuma e këndeve të tij është 4d (katër kënde të drejta). c. Njëri kënd i tij është 2d. d. Shuma e dy këndeve të tij është 2d.

(1 pikë)

2. Jepet paralelogrami ABCD. Qarko pohimin e vërtetë: a. Diagonalet i ka pingule. b. Diagonalet i ka kongruente. c. Të gjitha brinjët i ka kongruente. d. Këndet me kulme në njërën brinjë i ka shtuese.

(1 pikë)

3. Në figurë (AA1) || (BB1). Qarko barazimin e vërtetë:

B1

A1

a.

OA OB = ; AA1 BB1

b.

OA OB = ; OB1 OA1

c. OB1 = OA ; OA1 OB

o

d.

A 90

B

AA OA = ; BB1 OA1 (1 pikë)

(1 pikë)

7 3 5. Paralelogrami ABCD ka bazën AB sa e AD, lartësinë mbi bazën sa 4 11 e perimetrit. Gjeni syprinën, nëse perimetri i tij është 286 cm. (5 pikë) 6. Katrori është i njëvlershëm me rombin me diagonalen 18 cm dhe 9 cm. Gjeni perimetrin e katrorit. (5 pikë) 7. Gjeni gjatësinë e segmentit x me të dhënat e figurës. E 2 C 4

A

x E

[DE] || [BC]

x


� ≡B � dhe B ≡C � . Atëherë ata: 4. Në ∆ ABC dhe ∆ A1B1C1 kemi A 1 1 � ≡A � ≡ d. a. kanë C 1 b. janë kongruentë. c. kanë [AB] ≡ [B1C1]. d. janë të ngjashëm.

(3 pikë)

3

D

B 8. Trekëndëshi ABC ka perimetër 148 cm2 dhe është i ngjashëm me trekëndëshin me brinjë 13 cm, 25 cm, 36 cm. Gjeni syprinën e trekëndëshit ABC. (5 pikë) 9. Jepen pikat A (3; 2), B (-6; 4). Gjeni AB.

(2 pikë)

Vlerësimi:

Nota

4

5

6

7

8

9

10

Pikët

6 7-9 10-12 13-15 16-18 19-21 22-24

Skema e qortimit 1/b, 2/d, 3/a, 4/d 4x1=4 Ushtrimi 5: 7 7 1. Shkrimi AB = � AD (ose b = � a ). 4 4 3 2. Gjetja e lartësisë h nga barazimi h = � 286 . 11 7 3. Shkrimi i perimetrit P = 2AB + 2AD = 2 � � AD + 2AD 4 4. Gjetja e AB (AD). 5. Gjetja e syprinës.

(1 pikë) (1 pikë) (1 pikë) (1 pikë) (1 pikë) (1 pikë)

91


Ushtrimi 6. 1. Barazimi i syprinave. 2. Gjetja e syprinës së rombit. 3. Paraqitja e syprinës së katrorit në formën a2 = 81. 4. Gjetja e brinjës së katrorit. 5. Gjetja e perimetrit. Ushtrimi 7. 4 x 1. Shkrimi i raportit = 6 x+3

(1 pikë) (1 pikë) (1 pikë) (1 pikë) (1 pikë) (1 pikë)

2. Kthimi në emërues të përbashkët ose në formën 4(x + 3) = 6x (1 pikë) 3. Gjetja e x-it. (1 pikë) Ushtrimi 8. 1. Gjetja P1 = 13 + 25 + 36 = 74 (1 pikë) P 2. Gjetja e k nga = k= 2 (1 pikë) P1 S 2 3. Shkrimi (1 pikë) = k= 4 S1 4. Gjetja e S1 me formulën e Heronit. 5. Gjetja e S. Ushtrimi 9. 1. Shkrimi AB = ( x 2 − x1 )2 + ( y 2 − y1 )2 2. Gjetja e AB.

(1 pikë) (1 pikë) (1 pikë) (1 pikë)

Test kontrolli (mbi trigonometrinë) 1. Këndi qendror a (radian), rrezja R dhe gjatësia l e harkut ku mbështetet këndi α lidhen me barazimin. a. l =

a ; R

b. l =

R ; a

c. l =

ΠRa ; 180

d. l = a • R (1 pikë)

2. Shprehja cos 900 – sin 450; cos 450 + sin 300 është e barabartë me: a. 0;

b. 1;

c. -1;

d. -2

(1 pikë)

1 dhe α është kënd i ngushtë, atëherë sin α është: 2 3 3 b. 3 ; c. ; d. (1 pikë) 2 3

3. Jepet cos α = a.

1 ; 2

4. Këndet α dhe β janë plotësues, atëherë vlera e shprehjes sin2 α + sin2 β : a. 0;

92

b. cos2 α + cos2 β ;

c. 2;

d. sin2 α + cos2 β . (1 pikë)

1 1 + 1 + sin α 1 − sin α

( α≠

3Π Π dhe α ≠ ) 2 2

(2 pikë)

6. Gjeni x ∈ [0; 2 Π ] të tillë që: 3sin2x + 2cos2x = 3

(4 pikë)

7. Gjeni x ∈ [0; 2 Π ], të tillë që: tgx = cotg300

(2 pikë)

8. Krahasoni: a. tg320 me tg460 b. sin1340 me sin1420 c. cos500 me cos1300

(3 pikë)


5. Thjeshto shprehjen:

9. Jepet trapezi dybrinjënjëshëm me baza 20 cm dhe 8 cm dhe këndin me kulm në bazën e madhe 600. Gjeni syprinën e tij. (4 pikë) 10. Gjeni vlerat e x ∈ [0; 900] të tilla që: sinx <

3 . 4

11. Gjeni vlerën e segmentit x në figurë: B

(3 pikë) (3 pikë)

D x

Nota 4

A

C

Vlerësimi:

5

6

7

8

9

10

Pikët 6 7-9 10-12 13-15 16-18 19-21 22-24 Skema e qortimit 1/d, 2/a, 3/c, 4/b 4x1=4 Ushtrimi 5. 1. Vendosja në të njëjtën emërues. 2 . 2. Gjetja e vlerës cos2 α Ushtrimi 6. 1. Zbatimi i formulës themelore. 2. Paraqitja e ekuacionit në sin2x = 1

(1 pikë) (1 pikë) (1 pikë) (1 pikë) (1 pikë)

93


3. Gjetja e 2 vlerave të x-it. (1 pikë) Ushtrimi 7. 1. Paraqitja e ekuacionit në formën tgx = tg600 ose tgx = 3 . (1 pikë) 2. Gjetja e vlerës së x-it. (1 pikë) Ushtrimi 8. a. tg460 > tg320 (1 pikë) b. sin1340 > sin1420 (1 pikë) c. cos500 > cos1300 (1 pikë) Ushtrimi 9. 1. Ndërtimi i figurës me të dhënat. (1 pikë) 2. Gjetja e brinjës anësore (12 cm). (1 pikë) 3. Gjetja e syprinës së trapezit (të ndarë në dy ∆ ) në formulë trigonometrike. (2 pikë) a+b Gjetja e lartësive ose gjetja e syprinës nga S = �h (2 pikë) 2 Ushtrimi 10. 1. Ndërtimi i rrethit trigonometrik. (1 pikë) 3 2. Ndërtimi i këndit α që sinα = (1 pikë) 4 3. Shkrimi i këndeve 0 ≤ x ≤ α (1 pikë) Ushtrimi 11. 1. Gjetja e segmentit AC = 6 (1 pikë) x 2. Gjetja e x nga formula = tg300 (1 pikë) 6

Kreu V GJEOMETRIA NË HAPËSIRË Mësimi 5.1 Tema: Plane pingule Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë planet prerëse dhe pingule. Të përkufizojë prerjen e drejtë të një dyfaqëshi. II. Të vizatojë plane prerëse dhe pingule. Të ndërtojë modele planesh prerëse dhe pingule. III. Të vërtetojë të paktën njërën teoremë mbi planet pingule. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Modele planesh, plane prerëse, plane pingule, shiko figurën në tekst. Këto modele ndërtohen me kartonë me ngjyra, plani paraqitet në formë paralelogrami. 4. Vizore, shkumësa me ngjyra.

94

Zhvillimi i temës së re: Në këtë temë mësuesi/ja të evidentojë: 1. Kur dy plane janë prerëse, duke e ilustruar me modele, figura në tabelë. 2. Kur dy plane janë pingule; këtu kanë rëndësi modelet duke treguar dhe mjedisin e klasës. 3. Nga teoremat e pohimet që jepen, nxënësve t’u kërkohet një për vërtetim, të tjerat me dëshirë. Është e rëndësishme që pohimet të paraqiten në formën K ⇒ P , dhe në çdo rast nxënësit të stërviten për të vizatuar bukur figurat në tabelë. Punë përgatitore. Mësuesi/ja kërkon që nxënësit të vizatojnë në fletore një plan. Vizatoni një drejtëz në plan dhe një drejtëz jo të planit (shiko figurën).


Metodat që rekomandohen: 1. Mësimdhënia jo e drejtpërdrejtë. 2. Diskutimi problemor (leksioni i avancuar). 3. Ilustruesit (me modele, figura). 4. Përgjithësimi i arsyeshëm. 5. Punë grupi.

(a) (b)

Mësuesi/ja u drejton nxënësve këto pyetje: - A mund të ndërtoni një plan tjetër β përveç planit α ? - A mundet që këto plane të jenë prerëse, po jo prerese? (Mendoni tavanin e klasës me dyshemenë ose faqet e mureve përballë dhe jo përballë.) Mësuesi/ja vizaton dy plane prerëse dhe jo prerëse, më pas jep përkufizimet përkatëse. Dy plane prerëse në hapësirë formojnë figurën hapësinore që do ta quajmë dyfaqësh. Planet do tì quajmë faqe të dyfaqëshit, ndërsa drejtëzën e ndërprerjes brinjë të tij. Mësuesi/ja përkufizon prerjen e drejtë. Më pas vërtetohet teorema 1.

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimi 2, faqe 110.

95


Mësimi 5.2 Tema: Sipërfaqja sferike. Sfera Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të rikujtojë përkufizimin e sipërfaqes sferike (sferës) dhe të elementeve të saj. Të formulojë teoremën e prerjes së sipërfaqes sferike me një plan. II. Të llogaritë largesën qendrore të një prerjeje të sipërfaqes sferike. III. Të vërtetojë teoremën mbi prerjen e sipërfaqes sferike me një plan. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Modele me kartonë. Model i sipërfaqes sferike mund të merret një tullumbace e fryrë. 4. Vizore, kompas.

Metodat që rekomandohen: 1. Mësimdhënie jo e drejtpërdrejtë. 2. Diskutimi problemor. 3. Ilustruesit grafikë (modele, figura). 4. Punë e pavarur (punë grupi, punë individuale).

Zhvillimi i temës së re: Meqenëse kuptimi i sipërfaqes sferike dhe i sferës është dhënë te kapitulli i matjeve, në këtë orë mësimi mësuesi/ja rikujton përkufizimet 1 dhe 2 dhe kalon te dhënia e kuptimeve: kordë, rreze, diametër. Ai/ajo jep përkufizimin e sferës, si pjesë e hapësirës e kufizuar nga sipërfaqja sferike. Më pas formulohen teoremat mbi prerjen e sipërfaqes sferike me një plan. Punë e pavarur. Mësuesi/ja jep problemat 1 dhe 2 për punë individuale.

!


Mësimi 5.3 Tema: Plani tangjent me një sferë Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë sferën. Të dallojë gjendjet plan-sferë, duke i paraqitur me figura në fletore. Të formulojë teoremën mbi planin tangjent me sferën. II. Të zbatojë vetinë e planit tangjent me sferën në problema, në të paktën dy raste. III. Të vërtetojë teoremën mbi planin tangjent.

96

Metodat që rekomandohen: 1. Mësimdhënia e integruar. 2. Diskutimi problemor. 3. Ilustruesit grafikë (figura, modele). 4. Punë e udhëhequr (punë individuale).

Zhvillimi i temës së re: Në fillim mësuesi/ja do të rikujtojë me nxënësit përkufizimin e sferës. Nxënësit ndërtojnë figurat që tregojnë marrëdhëniet reciproke sferë-plan. Më pas ata duhet tì vendosin përpara një modeli, si figura 3, faqe 114 (p.sh. një top mbi një fletë xhami). Mësuesi/ja formulon teoremën mbi planin tangjent me sferën, kështu vërtetohen teoremat 1 dhe 2. Punë e udhëhequr. Sipas shembullit 1 punohet për punën e udhëhequr edhe ushtrimi 2, faqe 115.

!


Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Modele, figura (shiko figurat në tekst). 4. Vizore, kompas.


Mësimi 5.4 Tema: Problema Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të zbatojë kuptimin e prerjes së sferës me një plan në zgjidhjen e problemave. II. Të gjejë raportet e syprinave të dy prerjeve të sferës me dy plane. III. Të zbatojë të kombinuar me kuptimet e tjera, kuptimin e prerjes së drejtë. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Modele, figura. 4. Vizore, kompas.

Metodat që rekomandohen: 1. Analiza problemore. 2. Punë e udhëhequr. 3. Punë individuale.

Zhvillimi i temës së re: Për objektivat e vëna në këtë temë duhet të punohen problemat 1, 5, 6, faqe 116.

97


Duhet pasur kujdes në ndërtimin e figurave. Problema 1: Jepen OA = 20 cm; OM = 12 cm. Kërkohet: MA = ?

o

Zgjidhje: Zbato teoremën e Pitagorës në ∆ OAM.

M

A Problema 5:

Jepen: O1O2 = 6 cm; OA = OB = 20 cm; O2B = 16 cm.

o o2

B

S(O2) S(O1)

= ?

S(O2) – syprina e qarkut me qendër O2. S(O1) – syprina e qarkut me qendër O1.

o1

A

Kërkohet:

Zgjidhje: Gjeni OO2 nga teorema e Pitagorës në ∆ OO2B. Gjeni OO1 = OO2 + O1O2. Gjeni O1A me teoremën e Pitagorës në ∆ OAO1. S(O2) = Π r22 = Π (O2B)2 S(O1) = Π r12 = Π (O1A)2 S(O2) Π(O2B)2 (O2B)2 = = . Këtu zëvendëso. S(O1) Π(O1A )2 (O1A )2 Problema 6:

B

y

Jepen: α ⊥ β ; � = 900 ; NMR MN = 12 cm; MR = 9 cm.

R T

M

98

N

x

Kërkohet: NR = ?, NT = ?, RT = ?, MT = ?

!


Shënim: Figurat për problemat është mirë të jenë të gatshme, që të mos humbasë shumë kohë në orën e mësimit.

Kreu VI VEKTORËT


Zgjidhje: NR gjendet me teoremën e Pitagorës në ∆ NMR NT gjendet me teoremën e Euklidit NM2 = NT • NR; RT = NR – NT MT me teoremën e Euklidit MT2 = MT RT

Mësimi 6.1 Tema: Gjysmëdrejtëzat dhe drejtimet e tyre Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë gjysmëdrejtëzat me drejtim të njëjtë dhe të kundërt. II. Të ndërtojë gjysmëdrejtëzën duke treguar origjinën dhe drejtimin. III. Të tregojë gjysmëdrejtëza me drejtim të njëjtë dhe të kundërt, që përmbajnë brinjët e figurave të njohura. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore, shkumësa me ngjyra.

Metodat që rekomandohen: 1. Mësimdhënie jo e drejtpërdrejtë. 2. Ilustruesi grafik. 3. Punë e udhëhequr. 4. Punë individuale.

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja punën përgatitore e kalon me nxënësit në mënyrë të drejtpërdrejtë, ndërsa te përkufizimi 2, faqe 118, duhet ndryshuar: Dy gjysmëdrejtëza [AB) dhe [CD) janë me drejtim të njëjtë, nëse ndodhen në drejtëza paralele dhe drejtëza që bashkon origjinat e tyre (AC) i vendos ato (gjysmëdrejtëzat) në të njëjtën anë të saj (të (AC)). Pjesa tjetër e mësimit vazhdon si në tekst. Punë individuale. Mësuesi/ja u jep nxënësve ushtrimin 1, faqe 119.

!


99


Mësimi 6.2 Tema: Vektori. Vektori me drejtim të njëjtë, me drejtim të kundërt. Vektorë të barabartë dhe të kundërt Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë vektorin, vektorët e barabartë dhe vektorin e kundërt. II. Të gjejë vektorë të barabartë (të kundërt) që formojnë brinjët e figurave të njohura. III. Të përkufizojë me ndihmën e vektorëve figura gjeometrike (paralelogramin, rombin etj). Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore, shkumësa me ngjyra.

Metodat që rekomandohen: 1. Mësimdhënie jo e drejtpërdrejtë. 2. Shpjegimi i arsyeshëm. 3. Diskutimi problemor. 4. Punë e udhëhequr. 5. Punë individuale.

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja ndjek tekstin Matematika 9.  Kujdes! Drejtimi i AB është drejtimi [AB). (gjysmëdrejtëza [AB));

A

B

  Kujdes! Këtu AA me O (vektor zero). Vektorët me drejtim të njëjtë: Do ta paraqitim  shkurt.  Themi se AB ↑↑ CD , atëherë dhe vetëm atëherë kur [AB) ↑↑ [CD). A

B

C

D

ose

A

C

B

D

  Vektor me drejtim të kundërt, shëno AB ↑↓CD, atëherë dhe vetëm atëherë kur gjysmëdrejtëzat [AB) e [CD) janë me drejtim të kundërt. A

ose

B D

C

D

C

A

B

Më pas kalohet te përkufizimi i vektorëve të barabartë e vektorëve të kundërt. Mësuesi/ja kalon te puna individuale, jepet ushtrimi 1 për tù zgjidhur nga nxënësit. Më pas mësuesi/ja ndërton një paralelogram ABCD.   -A mund të përkufizoni me anë të vektorëve? Ç’do të thotë AB = CD .

! 100

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 5, 7, 8 (për rombin), faqe 123.

Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë shumën e dy vektorëve. II. Të komentojë rregullën e mbledhjes. III. Të ndërtojë shumën e dy vektorëve duke u mbështetur te rregulla e mbledhjes. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore, shkumësa me ngjyra. 4. Model vizatimi për rregullën e mbledhjes.

Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Punë e udhëhequr. 3. Punë individuale.


Mësimi 6.3 Tema: Mbledhja e dy vektorëve

Zhvillimi i temës së re:  Mësuesi/ja tregon si zhvendoset një vektor në një pikë. P.sh., jepet vektori a .  Të zhvendoset vektori a në pikën O.  � Në O ndërtojmë OA = a . A O Këtu përkufizojmë shumën e vektorëve. Më pas me anë të rregullave të mbledhjes tregohet si të gjendet vektori shumë. Pas kësaj, punë individuale jepet ushtrimi 2.

!


Mësimi 6.4 Tema: Vetitë e mbledhjes së vektorëve Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të formulojë vetitë e mbledhjes së vektorëve. II. Të zbatojë vetitë e mbledhjes në thjeshtësimin e shprehjeve vektoriale. III. Të vërtetojë vetitë e mbledhjes së vektorëve. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore, shkumësa me ngjyra.

Metodat që rekomandohen: 1. Diskutim problemor. 2. Punë individuale.

101


Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja formulon vetitë e mbledhjes së vektorëve, duke ndjekur me kujdes tekstin. Më pas, nxënësit punojnë për punë individuale ushtrimin në faqen 127.

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2/b, 3/b, 4/b, faqe 127.

Mësimi 6.5 Tema: Zbritja e vektorëve Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë diferencën e vektorëve. II. Të ndërtojë diferencën e dy vektorëve të dhënë. III. Të gjejë diferencën e vektorëve duke u mbështetur te rregulla. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Modele figurash për zbritjen e vektorëve.

Metodat që rekomandohen: 1. Diskutim problemor. 2. Ilustruesi grafik. 3. Punë individuale.

Zhvillimi i temës së re: Nxënësit duhet të fillojë me punën përgatitore, duke bërë ndërtime për çdo hap të punës së pavarur. Më pas kalohet te përkufizimi i diferencës së dy vektorëve.    Vëmë re se: MB- MA=  AB . Kjo vihet re dhe te rregulla e paralelogramit. Themi se: MA - MB = AB Ekstremi i vektorit të dytë merret si origjinë e vektorit diferencë dhe ekstremitetit i vektorit të parë si ekstremitet i vektorit diferencë. Punë individuale. Jepet ushtrimi 2, faqe 128. Mësuesi/ja zgjedh  2, faqe 129:  ushtrimin  Vërtetoni se –( c +d ) = - c - d   Zgjidhje: Vektori c + d është i kundërt me –( c + d ) d.m.th.:     1. – ( c + d ) + c + d = 0 nga vetitë e mbledhjes.             2. dhe - c - d + c + d = (- c ) + (- d ) + c + d = (- c ) + c + (- d ) + d =        0+0= 0 nga 1, 2, kemi se: –( c + d ) = - c - d .

! 102

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 3, 5/b, 6, faqe 129.


Mësimi 6.6 Tema: Shumëzimi i vektorit me një numër Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë prodhimin e vektorit me një numër. Të formulojë vetitë e prodhimit të vektorit me një  numër.  II. Të ndërtojë vektorin ka kur jepen numri k dhe vektori a (në dy raste). Të zbatojë vetitë në thjeshtimin e shprehjeve vektoriale. III. Të zgjidhë ekuacione vektoriale. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore.

Metodat që rekomandohen: 1. Diskutim problemor. 2. Punë e udhëhequr. 3. Ilustruesi grafik. 4. Punë individuale.

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja fillon me punën  përgatitore   duke bërë ndërtimet përkatëse. a. vektori a me vektorin a + a = 2 a . b. vektori a me vektorin - a - - a = -2 a . Çfarë kanë të njëjtë, të kundërt, të ndryshëm?    a -2 a  2 a   Vini re: |2 a | = |-2 a | = 2| a |. Këtu jepet përkufizimi. Është e rëndësishme të theksohen marrëveshjet. Më pas kalohet te vetitë e shumëzimit Ka shumë rëndësi për nxënësin të theksohet:   të vektorit  me një numër.   a // b ⇔ b = k a ( a = k b ). I rëndësishëm është ndërtimi i vektorit k a ,  kur jepet a dhe k: 1. në rastin kur k është i plotë, ndërtimi është i thjeshtë (çdo nxënës duhet ta ketë këtë aftësi). 2. ndalemi te rasti kur k është thyesor: p.sh, k = 3 (shiko shembullin 2, 4 faqe 130), 5 5 5 ose k = në këtë rast thyesën e shkruajmë si thyesë të përzier: = 4 + 1 = 1. + 1 4

4

4

4

4

1   5  1  Kështu: a = (1 + ) a = a + a - vetia e shpërndarjes 4 4 4  1  Ndërtimi: a + a bëhet si te pika 1 + 2. 4 Punë e pavarur.     Thjeshto: 5 a - 3(2 a - b ) + 3 b � 3  7  a nëse jepet vektori a . Ndërto vektorin: − a dhe   4  5 Gjeni x nëse 3 x - 3 x = 6 x .

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2, 3 b/d, 4/b, 5/c, faqe 131.

103


Mësimi 6.7 Tema: Ushtrime Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të dallojë vektorë të barabartë (të kundërt). Të ndërtojë shumën (diferencën) e vektorëve. II. Të thjeshtojë shprehje vektoriale duke zbatuar vetitë dhe rregullat e mbledhjes (zbritjes). Të zgjidhë ekuacionin vektorial, të paktën në dy raste. III. Të vërtetojë vetinë e vijës së mesme të trapezit (trekëndëshit). Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore, shkumësa me ngjyra.

Metodat që rekomandohen: 1. Diskutim problemor. 2. Analiza. 3. Ilustruesi grafik. 4. Punë individuale.

Zhvillimi i temës së re: Në fillim mësuesi/ja mund të marrë ushtrimet 1, 2 dhe tì diskutojë me nxënësit. Punë individuale. Jepen ushtrimet 5/b, 6/b.  Të zgjidhet ushtrimi 7: Zgjidhje: Shkruajmë vektorin MN :     MN MA = +   AB  + BN  ose D C MN = MD + DC + CN duke N M  i mbledhur  të  dybarazimet   marrim:   MD 2 MN = MA + AB + BN + + DC         + CN    AB BN 2 = ( + ) + + DC + ( CN + ). MN MA MD B A     Meqenëse   MA  i [AD]) CN = - BN (N mesi i [BC]) kemi  = - MD (M mesi MA + MD = 0 dhe CN + BN = 0 .  1        Shkruajmë: 2 MN = 0 + AB + DC + 0 ⇒ MN= 2 ( AB + DC) . 1  Ushtrimi 10 për vektorin ka : 2  1  1  1 Për ka kemi | ka | = |k| | a |, meqenëse -2 < k < 2 ⇒ |k| < 2, nga 2 2 2    1 1  1  1 ku |k| | a | < 2 | a | ⇒ | ka | < | a |. Kështu vektori ka ka gjatësi më të 2 2 2 2  vogël se gjatësia e vektorit a .

! 104

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 5/a, 6/c, 10/c.


Mësimi 6.8 Tema: Koordinata e pikës dhe e vektorit në boshtin koordinativ Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë koordinatat e një pike dhe të një vektori në bosht. Të shkruajë koordinatat e një pike në bosht. II. Të gjejë koordinatën e vektorin në boshtin koordinativ, kur dihen koordinatat e ekstremitetit. III. Të vërtetojë formulën e paraqitjes së vektorit me anë të vektorit njësi     (p.sh.: AB = ( x 2 − x1 )2 i ) Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore, shkumësa me ngjyra.

Metodat që rekomandohen: 1. Mësimdhënie jo e drejtpërdrejtë. 2. Diskutim problemor. 3. Ilustruesi grafik. 4. Punë individuale (punë e pavarur).

Zhvillimi i temës së re: Meqenëse koordinatat e pikës dhe të vektorit në boshtin koordinativ janë trajtuar në klasat e mëparshme, mësuesi/ja rikujton: 1. Në boshtin koordinativ: x

1

x

B

O

x

 i

x

A

   Pika A me origjinën 0 e caktojmë OA , të tillë që  OA = Xi (në përkufizimin numri x quhet koordinatë  e pikës A ose koordinatë e OA dhe shënohet A(x) ose OA = (x). Vektori OA quhet rreze, vektor i pikës A. Për pikën B e njëjta gjë, por koordinatat     do të jenë negative, sepse OB kemi a = xi , atëherë x ↑↓ i . Me përkufizim, nëse  quhet koordinatë e vektorita  në bosht dhe shënohet a = (x). 2. Në rastin e vektorit AB , shiko figurën 2, ku A(x1) dhe B(x2). x

x

1

A

O

 i

x

B

x

        AB = AO + OB = OB - OA = x2 i - x1 i = (x2 – x1) i     Kështu AB = (x2 – x1) i dhe AB = (x – x ), vektori AB ka koordinatë 2 1  x2 – x1 = x  = xB-xA, kurse | AB | = |x2 – x1|. AB

Punë individuale. Ushtrimet 2/b, 4, faqe 135.

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/b, c, 2/d, 3/c, 5, faqe 135.

105


Mësimi 6.9 Tema: Koordinata e pikës dhe e vektorit në planin koordinativ Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë koordinatat e pikës  (vektorit) në plan. II. Të gjejë koordinatat e vektorit AB , kur dihen koordinatat e pikave ekstreme. Të gjejë largesën ndërmjet dy pikave. III. së vektorit me anë të vektorëve njësi Të  vërtetojë formulat e paraqitjes  ( AB = (xB – xA) i + (yB – yA) i ). Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore.

Metodat që rekomandohen: 1. Mësimdhënie jo e drejtpërdrejtë. 2. Diskutim problemor. 3. Punë individuale.

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja të fillojë me punën përgatitore dhe të ndjekë tekstin Matematika 9. Ka rëndësi të theksohet:

.

   x OA = xi + xj ⇒ OA =   ose A(x; y)  y    x a = xx + yy ⇒ a =   , nëse A(x1; y1) dhe B(x2; y2),  y     x 2 − x1    atëherë AB = (x2 – x1) i + (y2-y1) j dhe AB = AB =   y 2 − y1 

( x 2 − x1 )2 + ( y 2 − y1 )2

Është e rëndësishme që pas çdo rubrike të jepet punë individuale.

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/b, 2/a, 5/a, 6/a.

Mësimi 6.10 Tema: Veprimet e vektorëve në koordinata Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të shkruajë koordinatat e shumës së dy vektorëve dhe të prodhimit të vektorit me një numër. II. Të gjejë koordinatat e shumës së vektorëve dhe të prodhimit të vektorit me një numër. III. Të vërtetojë barazimet mbi veprimet e vektorëve në koordinata. Të llogaritë në koordinata shprehje të kombinuara me vektor.

106

Metodat që rekomandohen: 1. Mësimdhënie jo e drejtpërdrejtë. 2. Diskutim problemor. 3. Punë individuale.

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja në këtë orë duhet të punojë me formulat që shprehin veprimet e vektorëve në koordinata. Punë e pavarur. Formulo si në tekst:   x1    x 2     x1 ± x 2  Nëse a =   , b =   , atëherë a ± b =  y ± y  .  y1   y2  2 2      Vërtetim: Shprehni vektorët a , b me anë të vektorëve njësi: = a x1i + y1 j ,    = b x2 i + y2 j .


Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9.

Mbledhim (zbresim) këto barazime:       a ± b= x1i ± y1 j ± x 2 i ± y 2 j ⇒   a ± b=

( ) ( )     ( x i ± x i ) ± ( y j ± y j) ⇒

  a ± b=

( x1 ± x 2 ) i ± ( y1 ± y 2 ) j

1

2

1



2



   x1 ± x 2  ⇒ a±b=  y ± y  1 2

   x1 + x 2     x1 − x 2  Nga barazimi i fundit del se vektori a + b =  y + y  dhe a − b =  y − y  . 1 2 1 2   kx1  Njëlloj provohet se ka =   . Kjo le të bëhet si punë në grup.  ky1    Tregohet se a dhe ka përpjesëtimor (me koordinata). Më pas jepet punë individuale.   2   0   1 3 Ushtrim: Jepen a =   ; b =   . Gjeni a. 3a - 4b , b. a + b .  3 2 2  5

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/d, 2/a, b, 3/a.

107


Mësimi 6.11 Tema: Ushtrime Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të ndërtojë shumën (diferencën) e vektorëve. Të shndërrojë shprehje me vektor. II. Të ndërtojë në planin koordinativ vektor me koordinata të dhëna. Të llogaritë shumën (diferencën) e vektorëve në koordinata. III. Të gjykojë për natyrën e trekëndëshit duke u mbështetur te largesa ndërmjet pikave. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formula.

Metodat që rekomandohen: 1. Diskutim problemor. 2. Punë individuale. 3. Punë e udhëhequr.

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja punon ushtrimet 1 dhe 2. Punë individuale. Nxënësit punojnë për zgjidhjen e ushtrimeve 4 c/d dhe 5. Punë e udhëhequr. Për punën e udhëhequr shikohet ushtrimi 9. Zgjidhje: Gjeni gjatësitë e brinjëve të trekëndëshit: AB =

2 4) (10 − 6)2 + ( 4 − =

AC =

(10 − 6)2 + (8 − 4)2

BC =

2 4) (10 − 10)2 + (8 − =

=

= 42 4 42 + 42 = 4 2 = 42 4

�

Meqenëse AB = BC = a njësi, atëherë ABC dybrinjëshëm. Që trekëndëshi të jetë kënddrejtë mjafton të plotësojë teoremën e Pitagorës. Vini re: AC2 = AB2 + BC2. 2 4 2 = 42 + 42 ⇒ 16 � 2 = 16 + 16 ⇒ 32 = 32 .

(

)

Kështu themi se trekëndëshi ABC është kënddrejtë në B. Përfundimisht ABC është kënddrejtë dybrinjëshëm.

�

! 108

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 7/c, d, 10, 11.


Mësimi 6.12 Test kontrolli (skema e qortimit) Ushtrimi 1. 1. Ndërtimi i shumës. 2. Ndërtimi i diferencës. Ushtrimi 2. 1. Ndërtimi i figurës (shiko faqen 130).   2. Shkrimi i vektorit 3 a = AB 4

(1 pikë) (1 pikë)

(1 pikë) (1 pikë)

Ushtrimi 3. 1. Gjetja e shumës.

(1 pikë)

Ushtrimi 4. 1. Heqja e kllapave pa gabim. 2. Shkrimi i rezultatit.

(1 pikë) (1 pikë)

Ushtrimi 5.   1. Gjetja e koordinatave a − b  2. Gjetja e koordinatave 2b − 3a

(1 pikë) (1 pikë)

Ushtrimi 6.  a. 1. Gjetja e koordinatave të AB   2. Shkrimi i vektorit me anë të vektorit i e j b. 1. Shkrimi i formulës për largesën. 2. Gjetja e largesës.


Ushtrimi 7. 1. Ndërtimi i figurës. (1 pikë)   BA = − (DC) 2. Shkrimi i barazimit (1 pikë) në formën  3. Përfundimi nga BA = (DC) , rrjedh se [BA] || [DC] dhe BA = DC, d.m.th. ABCD paralelogram. (1 pikë) Ushtrimi 8.  1. Gjetja e vektorit 3a   2. Gjetja e 3a − b 3. Shkrimi i barazimit në koordinata -27 + 3k2 = 0 4. Gjetja e vlerave të k-së (k = ± 3)


109


Mësimi 6.13 Tema: Pasqyrimi gjeometrik. Izometria Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë pasqyrimin. Të formulojë kuptimin e izometrisë dhe vetinë e saj. II. Të ndërtojë të anasjellën e një shndërrimi gjeometrik. Të gjejë largesat e pikave shëmbëllim, kur dihen largesat e fytyrave në një izometri të dhënë. III. Të vërtetojë vetitë e izometrisë. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore, kompas.

Metodat që rekomandohen: 1. Mësimdhënie jo e drejtpërdrejtë. 2. Diskutim problemor. 3. Punë e udhëhequr.

Zhvillimi i temës së re: Punë përgatitore. Merret shembulli i tekstit që tregon si pasqyrohen pikat e diametrit me pikat e gjysmërrethit. Është e rëndësishme të dalë i qartë kuptimi që: çdo pikë A të F1 e lidhim me (përgjigjet) një pikë të vetme A2 te figurës F2, që do të thotë se pika A2 lidhet me pikën A2 dhe nuk mund të lidhet me pikë tjetër të figurës F2. Pika A1 nuk mund të jetë e palidhur. Për të treguar se ka shndërrime gjeometrike që nuk janë pasqyrime, duhet të merret shembulli me rrethin. Këtu mund të merren si punë grupi ushtrimet 1 dhe 2. Më pas kalohet në përkufizimin e izometrisë. Mësuesi/ja duhet të sqarojë se fjala izometri vjen nga greqishtja e vjetër, që do të thotë: izos – e njëjtë dhe metros – masë (gjatësi). Ka rëndësi të formulohen vetitë 1 – 5 të izometrisë. Me rëndësi për izometrinë të formulohen vetitë e 1. pasqyrimit, 2. simetrisë, 3. kalimit. Për punë individuale jepet ushtrimi në faqen 144.

!


Mësimi 6.14 Tema: Simetria qendrore Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë simetrinë qendrore. Të formulojë vetitë e simetrisë qendrore. Të dallojë figurat që kanë qendër simetrie. II. Të ndërtojë simetriken e një pike dhe të një figure në një simetri So. III. Të vërtetojë vetitë e simetrisë.

110

Metodat që rekomandohen: 1. Mësimdhënie jo e drejtpërdrejtë. 2. Diskutimi problemor. 3. Ilustruesi grafik. 4. Punë individuale.

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja në fillim merr si punë përgatitore: Ndërton dy pika M e M1 në plan. Shënon me O mesin e segmentit [MM1].   - Çfarë kushti plotëson pika O? - Si janë vektorët OM e OM1 ? o

M

M1

fig 1

Mësuesi/ja jep përkufizimin: Simetri me qendër O quhet pasqyrimi gjeometrik   që çdo pikë M të planit e lidh me pikën M1 potë planit të tillë që OM1 = - OM      So (pika O mesi i [MM1]). Shëno M  → M1 ⇔ OM = − OM . 1 Punë individuale. Jepen pikat A, B dhe pika O jashtë segmentit [AB]. Ndërtoni simetriket e A1 dhe B1 në simetrinë So të tyre. Shiko figurën. B A


Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Modele figurash simetrie në një simetri So.

fig 2

o

Nxënësit duhet të vërtetojnë vetinë 1: simetria qendrore është izometri. E zëmë se jepen dy pika çfarëdo M, N dhe qendra O e simetrisë. Shënohet me M1 e N1 simetriket e pikave M, N. N   So M1 M  → M1 ⇔ OM = − OM 1   Kështu So N  → N1 ⇔ ON = − ON 1 o

fig.3

M

N1 Duke zbritur barazimet e fundit kemi:             −OM − ( −ON) ⇒ OM1 − ON1 = −OM − ON ⇒ N1M1 = MN ⇒ MN = −M1N1 ⇒ [MN] ≡ [M1N1 ] OM1 − ON1 =  dhe [MN] � [M1N1 ] . (Vërtetimi 1, 2, 3)

!


111


Mësimi 6.15 Tema: Simetria boshtore Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë simetrinë sipas një drejtëze. Të formulojë vetitë e simetrisë boshtore. II. Të ndërtojë simetriken e një figure në lidhje me një drejtëz. III. Të vërtetojë të paktën njërën veti të simetrisë. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Modele figurash simetrie. 4. Vizore, kompas.

Metodat që rekomandohen: 1. Mësimdhënie jo e drejtpërdrejtë. 2. Diskutimi problemor. 3. Punë e udhëhequr. 4. Punë individuale.

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja të fillojë me punë përgatitore. Jepet segmenti [MM1]. Ndërtoni përmesoren e [MM1]. (shiko figurën). (d)

Vëreni: H mesi i segmentit [MM1] dhe (d) H

M

M1

[MM1].

fig. 1

Punë individuale. Ndërtoni simetriket e pikave A, B në simetrinë sipas një drejtëze (shiko figurën 2). (d) B fig. 2 A

112

Këtu përkufizimi i figurës simetrike të një figure të dhënë në një simetri Sd.

M

B

B1

Vërtetim: ∆ AMA1 është trekëndësh dybrinjënjëshëm, sepse M me përmesoren e segmentit: [ AA1 ] ⇒ [ AM] ≡ [ A1M] dhe � � � � MB AMN ≡ NMA ⇒ BMA ≡A 1

A

N

A1

fig. 3

!


Nxënësit formulojnë vetitë: Simetria boshtore është 120 metri. Vërtetim: E zëmë se jepen pikat A, B dhe drejtëza (d), shënojmë A1 e B1 simetriket e A dhe B në Sd. (shiko figurën)

1

1

So Meqenëse B  → B1 kemi [BM] ≡ [MB1] Kështu ∆ABM ≡ ∆A1B1M ⇒ [ AB] ≡ [ A1B1 ] Më pas vërtetimi vazhdon si në tekstin e nxënesit.

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/b, 3, 5, faqe 150.

Mësimi 6.16 (ora I) Tema: Zhvendosja paralele Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë zhvendosjen paralele. Të formulojë vetitë e zhvendosjes paralele. II. Të ndërtojë shëmbëllimin e një figure në një zhvendosje paralele. III. Të vërtetojë të paktën njërën nga vetitë e zhvendosjes paralele. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore, kompas.


Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja organizon punën përgatitore si më poshtë:  Jepet vektori a dhe pika A. Shiko figurën 2.   a Ndërtoni vektorin AA1 të tillë që . A A1

  AA1 = a

Punë grupi. Jepen pikat A, B,C në një drejtëz, ndërtojmë shëmbëllimit e tyre në zhvendosjen paralele me vektor a = AB .

113


Nxënësit duhet të vërtetojnë vetinë: Zhvendosja paralele është izometri.  Vërtetim: E zëmë se pikat A, B në zhvendosjen paralele a kanë shëmbëllimin A1 e B1. A B

a a

A1 B1

    AA1 = a = BB1 ⇒ ABCD paralelogram,   ⇒ AA 1 BB1 = a   AA1 = a   BB1 = a

⇒

nga ku: [AB] ≡ [A1B1] dhe [AB] || [A1B1] B

B1

A

A1 Më pas vazhdohet si në tekst deri te rrotullimi, i cili zhvillohet si temë e veçantë nga orët e lira.

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/a, 3, 4, faqe 153.

Mësimi 6.16 (ora II) Tema: Rrotullimi Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë rrotullimin me qendër O dhe kënd α . Të formulojë vetitë e rrotullimit. II. Të ndërtojë shëmbëllimin e një figure në një rrotullim të dhënë. III. Të vërtetojë të paktën njërën veti mbi rrotullimin. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore, kompas.


Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja duhet të fillojë me kuptimin e këndit nga trigonometria. Punë përgatitore. Ndërtoni simetriken e pikës A në simetrinë Sd. Merrni një pikë O në drejtëzën (d).

114

A

- A mund të themi se OA = OA1? Tregoni duke u mbështetur te ndërtimi � m( AOA 1 ) = α është negative apo pozitive?

A1

O Mësuesi/ja kalon te përkufizimi: Rrotullim me qendër O dhe kënd α quhet pasqyrimi që çdo pikë të planit A e � α . pasqyron në një pikë të vetme A1 të planit, të tillë që OA = OA1 dhe m( AOA 1 ) = ( O, α ) Shëno A → A1


(d)

Punë individuale. Pika M në rrotullimin (O, α ) pasqyrohet në M’. Ndërtoni shëmbëllimin e një pike të tretë N. Më pas formuloni vetitë. Vërteto vetinë rrotullimi është izometri. Vërtetim: E zëmë se A1, B1 janë shëmbëllime të pikave A e B në rrotullimin (O, α ). Shiko figurën. B B1 A1

A x

o ( O, α ) A  → A1 ⇒ ( O, α ) B → B1

OA = OA1 OB = OB1 ⇒ � � AOA1 = BOB1 = α

� � AOB = AOA 1 - x � OB = BOB � A 1 1 1 - x

� � OB ⇒ AOB ≡ A 1 1 Meqenëse [OA] ≡ [OA1] dhe [OB] ≡ [OB1] ⇒ ∆ AOB ≡ ∆ A1OB1 ⇒ [AB] ≡ [A1B1]. Duhet theksuar se rrotullimi me kënd me masa ± 1800 është So. Më pas vazhdo si teksti, faqe 152-153.

!


115


Mësimi 6.17 Tema: Ushtrime Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të ndërtojë shëmbëllimet e figurave të dhëna në simetrinë So (Sd). Të ndërtojë shëmbëllimet e figurave në zhvendosjen paralele. II. Të zbatojë vetitë e simetrisë dhe të zhvendosjes në zgjidhjen e problemave. III. Të zgjidhë problema duke zbatuar në mënyrë të integruar kuptimin mbi pasqyrimet gjeometrike. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore, kompas.

Metodat që rekomandohen: 1. Analizë e problemit. 2. Diskutimi problemor. 3. Punë individuale. 4. Puna në grup.

Zhvillimi i temës së re: Në fillim mësuesi/ja në formë të një diskutimi me grupe nxënësish diskuton ushtrimet 3 dhe 4. Më pas në formën e punës së udhëhequr punon shembullin 1, në faqen 154.

!


Kreu VII SHPREHJET SHKRONJORE Mësimi 7.1 Tema: Shprehje shkronjore. Programi i një shprehjeje Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë shprehjet shkronjore dhe vlerat e palejuara (lejuara) të shkronjave. Të dallojë shprehjen shkronjore nga shprehja numerike. II. Të hartojë një program për një shprehje shkronjore. Të gjejë bashkësinë e vlerave të lejuara (palejuara) të një shkronje në një shprehje. III. Të gjejë vlerat e shprehjes për vlera të dhëna të shkronjës. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9.

116

Metodat që rekomandohen: 1. Mësimdhënie jo e drejtpërdrejtë. 2. Diskutimi problemor. 3. Punë individuale (punë grupi).

!


Zhvillimi i temës së re: Punë përgatitore. 1 Nxënësi duhet të kuptojë se shprehje të tilla si: + 2( −5) − 0, 4 quhen shprehje 2 numerike ose aritmetike. Më pas vazhdohet me programin në faqen 155. Kujdes! Kur themi numrin a nuk kemi thënë se a-ja është numër (ajo është një shkronjë), por në këtë rast përfaqëson një numër. Nxënësit përkufizojnë shprehjen shkronjore dhe tregojnë disa shembuj. Mësuesi/ja pyet nxënësit: - Kush shkruan një shprehje aritmetike? Po një shprehje algjebrike? - A ka shkronja në një shprehje aritmetike? - A ka numra në një shprehje algjebrike? - Ku ndryshojnë shprehjet algjebrike nga ato aritmetike? Më pas kalohet te puna e pavarur, faqe 156, që u jepet nxënësve si punë individuale. Jepet shprehja 6 − x . Gjeni vlerën e saj për x = 2; x = 0. - A ekziston vlera e saj për x = 7? Nëse nga nxënësit merr përgjigjet e sakta, kujdes për rastin x = 7. Këtu 6 − 7 = −1 nuk ekziston. Mësuesi/ja jep përkufizimin e vlerave të lejuara dhe vlerave të palejuara të ndryshores për një shprehje të dhënë. Më pas duhet të theksohet se si rregull për të gjetur bashkësinë e vlerave të lejuara të një shkronje për një shprehje, duhet të gjendet bashkësia e vlerave të shkronjës ku ka kuptim shprehja (nëse shkronja nuk ka kufizime të veçanta). Pas këtyre sqarimeve jep punë individuale: Ushtrimi në fund të faqes 156 dhe ushtrimi 1/1. Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/3, 2/2, 3/2, faqe 157.

Mësimi 7.2 Tema: Monomi. Veprime me monomet Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë monomin dhe fuqinë (gradën) e tij. Të dallojë monomet e ngjashme. II. Të mbledhë monome të ngjashme. III. Të shumëzojë (të ngrejë në një fuqi) monomet. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9.

Metodat që rekomandohen: 1. Mësimdhënie e integruar. 2. Punë grupi. 3. Punë individuale.

117


Zhvillimi i temës së re: Punë përgatitore. Te përkufizimi mund të shtohet se shkronjat në një monom renditen sipas rendit alfabetik. Më pas vazhdohet si teksti, duke shpjeguar dhe duke marrë shembuj pas çdo përkufizimi. Në çdo rast nxënësit i kërkohet të përsëritë përkufizimin dhe të sjellë shembuj. Më pas kalohet te veprimet me monome. Klasa organizohet në punë grupi. Jepet shembulli, kurse mësuesi/ja udhëheq duke shkruar në fillim veprimin. P.sh.: Mblidhni monomin, shumëzoje dhe ngrije në fuqi të dytë (-3a2b2c).

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 4, 5/b, 7/c, 8/b, faqe 159.

Mësimi 7.3 Tema: Polinomi. Veprimet me polinome. Disa formula të rëndësishme Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të kujtojë përkufizimin e polinomit. Të shkruajë formulat e rëndësishme. II. Të thjeshtojë shprehje algjebrike që paraqiten si shumë polinomesh. Të thjeshtojë shprehje duke zbatuar formulat e rëndësishme në mënyrë të drejtpërdrejtë. III. Të thjeshtojë shprehje algjebrike duke zbatuar të integruar formulat e rëndësishme. Zhvillimi i temës së re: Meqenëse polinomi është një temë që është zhvilluar në klasë të 8-të nuk duhet të zgjatet shumë. Mjafton me përkufizimin dhe të insistohet te kuptimi i kufizës dhe reduktimi i tyre. Më pas kalohet te veprimet me polinome. Mësuesi/ja duhet të ndalet te rubrika Kujdes! E rëndësishme është të shkruhen drejt formulat 1, 2, 3, 4, 5 nga nxënësit dhe pas çdo formule të merret një zbatim. Punë individuale. Jepen ushtrimet 1/b, 4/a.

! 118

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/c, 2/d, f, 4/b, d, faqe 48 te Fletorja e punës.

Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë kuptimin e thyesës algjebrike. Të formulojë vetitë themelore të thyesave. II. Të gjejë vlerat e lejuara të shkronjave në një thyesë algjebrike. Të thjeshtojë thyesat racionale duke faktorizuar në mënyrë të drejtpërdrejtë numëruesin dhe emëruesin. III. Të thjeshtojë thyesa, racionale duke zbatuar formulat e rëndësishme për faktorizimin. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9.


Mësimi 7.4 Tema: Thyesat racionale (algjebrike). Vetitë themelore

Metodat që rekomandohen: 1. Mësimdhënie jo e drejtpërdrejtë. 2. Punë grupi. 3. Punë individuale.

Zhvillimi i temës së re: E domosdoshme është që mësuesi/ja të fillojë me punën përgatitore. Përgjigjet që duhet të marrë mësuesi/ja janë: a. S + 30 (km) polinom b. 2 + t (orë) polinom c.

S + 30 (km/orë) 2+t

-

raport polinomesh

Pasi të formulojmë përkufizimin, nxënësit sjellin shembuj. Kujdes! Shembujt

x− x x+3 , etj., vërtet janë thyesa, por nuk janë x + 2 4 − 2x − 1

thyesa racionale (me thyesa të tilla do të meremi më vonë). Pasi mësuesi/ja bindet se nxënësit kanë fituar aftësinë të shkruajnë thyesa racionale, ai/ajo formulon vetitë. Pas çdo vetie të formuluar marrin shembuj si punë grupi. Si punë individuale marrin ushtrimet te puna e pavarur.

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/c, d, 2/c, faqe 164.

119


Mësimi 7.5.6 Tema: Veprimet me thyesat racionale (algjebrike) Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të formulojë rregullën e shumëzimit (pjesëtimit) të dy thyesave racionale. Të mbledhë dy thyesa me emërues të njëjtë. II. Të shumëzojë (pjesëtojë) dy thyesa racionale. Të mbledhë (zbresë) dy thyesa me emërues të njëjtë. III. Të mbledhë (zbresë) 2 a më shumë thyesa me emërues të ndryshëm. Të thjeshtojë shprehje me të 4 veprimet e kombinuara të thyesave racionale. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formulat e rëndësishme.

Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Punë grupi. 3. Punë individuale.

Zhvillimi i temës së re: ORA I Në këtë temë zhvillohet shumëzimi dhe pjesëtimi i thyesave: 1.

a c a �c � = b d b �d

(b ≠ 0 dhe d ≠ 0)

a c a d a �d 2. = : = � b d b c b �c

(b ≠ 0, c ≠ 0, d ≠ 0)

Në fillim mësuesi/ja jep punë përgatitore, ku nxënësit punojnë në grup me thyesa aritmetike. Më pas duke rikujtuar edhe për thyesat racionale rregullat 1, 2, jep si punë të grupit: Shumëzo duke gjetur më parë bashkësinë e vlerave të lejuara: 4x2 − 1 x − 2 � x 2 − 4 2x − 1 Kujdes! Mësuesi/ja duhet tì udhëzojë nxënësit se faktorët që shumëzohen (numëruesit, emëruesit) të shkruhen në prodhim faktorësh më të thjeshtë, që gjatë shumëzimit të bëjnë thjeshtimin. Kjo vlen dhe në rastin e pjesëtimit. Punë individuale. Jepet ushtrimi 3/a, 3, faqe 167.

! 120

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 3/2, 4, faqe 167.

1.

25 1 + −2 42 18

2.

1 1 3 1  1 1 3 � + =  − +  = 6a2 2a2 8a2 a2  6 2 8 

Më pas, mësuesi/ja formulon rregullën për mbledhjen e thyesave racionale. 1. Gjeni vlerat e lejuara të shprehjes si shumë e thyesave. 2. Shprehni emëruesit e thyesave si prodhim i faktorëve të thjeshtë. 3. Gjeni emëruesin e përbashkët (SHVP-në e emëruesve). 4. Mblidhni thyesat duke i vendosur në emërues të përbashkët. 5. Në fund thjeshtoni thyesën e re. Punë grupi. Ushtrimet 1 (gojor), faqe 166. Punë individuale. Ushtrimet 1, 3, 5, 6, te puna e pavarur, faqe 166.

!


ORA II Mbledhja e thyesave: Mësuesi/ja këtu fillon me punë përgatitore duke i dhënë nxënësit të gjejë vlerën:

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2/a, 2/3, 2/5, 3/1, faqe 166.

Mësimi 7.7.8 Tema: Ushtrime Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të thjeshtojë thyesat racionale duke bërë më parë faktorizimin në numërues dhe emërues. Të shumëzojë (pjesëtojë) thyesat racionale. II. Të mbledhë dhe zbresë thyesat racionale. III. Të thjeshtojë shprehje me 4 veprimet me thyesat racionale. Zhvillimi i temës së re: ORA I Në këtë orë mësuesi/ja duhet të punojë në grup ushtrimet nga 1-4 . Në fillim merren ushtrimet 1/b, c. x 2 − 4 x + 4 ( x − 2)2 për x – 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 2. = 3x − 6 3( x − 2) Kemi:

( x − 2) 2 x−2 = (x ≠ -1) 3 3( x − 2 )

Kujdes! Ka rëndësi që vlerat e lejuara të gjenden pa bërë thjeshtimin. x 2 − 1 ( x − 1)( x + 1 ) = x +1 x +1 Punë individuale. Të punohen ushtrimet 1/I dhe 2/c dhe 3/3. Kujdes! Nxënësi ka përpara formulat e rëndësishme.

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/e, f, N. 2/e, N. ¾, faqe 167.

121


Tema 7.8 fillon tek ushtrimi 4 Në fillim mësuesi/ja kujton hapat si do të mbledhim disa thyesa. Më pas nxënësit punojnë me punë grupi ushtrimet 4/1, 3. Pas kësaj si punë individuale jepen ushtrimet 4/5, 5/1. Detyrë shtëpie. Ushtrimet 4/2, 6, N. 5/2, 3, faqe 167.

!

Test kontrolli (skema e qortimit) Ushtrimi 1. 1. Tregimi i polinomit. 2. Tregimi i thyesave racionale. Ushtrimi 2. 3 a. Gjetja e x ≠ . 2 b. Shkrimi i inekuacionit x – 2 ≥ 0 Gjetja e x ≥ 2 c. Gjetja x ≥ ± 2 d. Shkrimi: 4 – 2x 0 dhe x + 3 ≠ 0 Gjetja e x ≤ 2 dhe x ≠ -3 Ushtrimi 3. 1. Shkrimi i shprehjes 2y + 3 2. Shkrimi i shprehjes 2y + 3 – y2 3. Shkrimi i Ushtrimi 4.

(

( x − y )( x + y ) (x + y)

(1 pikë) (1 pikë) (1 pikë) (1 pikë) (1 pikë) (1 pikë) (1 pikë) (1 pikë)

2y + 3 − y 2 y−5

x4 − y4 x4 − y4 ( x + y )2 = 2 2 a. x + y ( x + y )2 x 2 + y 2 =

(1 pikë) (1 pikë)

2

=

(1 pikë)

)

=

( x 2 − y 2 )( x 2 + y 2 )

(

( x + y )2 x 2 + y 2

x−y x+y

x( x + 3a)x( x − 4a) x+a � (3a − x )(a − x )(a + x ) a + 3a

Thjeshtimi, shkrimi i rezultatit

x 2 ( x − 4a) (3a − x ) (a − x )

c. Bashkësia e vlerave të lejuara. Gjetja e emëruesit të përbashkët. Vendosja në emërues të përbashkët. Shkrimi i rezultatit të saktë

122

x2 − y2 = ( x + y )2

(1 pikë) (1 pikë)

b. Kthimi i pjesëtimit në shumëzim. Shkrimi

)

=

2a x+a

(1 pikë) (1 pikë) (1 pikë) (1 pikë) (1 pikë) (1 pikë) (1 pikë)



d. Bashkësia e përcaktimit. Emëruesit e përbashkët. Vendosja në emërues të përbashkët në numërues dhe emërues. Rezultati 2 a = a 2

Kreu VIII ZGJIDHJA E EKUACIONEVE Mësimi 8.1 Tema: Ekuacioni. Rrënjët, mjedisi. Ekuacione të njëvlershme Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë ekuacionin dhe rrënjët e tij. Të tregojë nëse një vlerë e ndryshores është rrënjë e ekuacionit. II. Të formulojë teoremat e njëvlershmërisë. Të shkruajë një ekuacion në trajtë kononike. Të tregojë nëse dy ekuacione janë të njëvlershme. III. Të vërtetojë teoremën mbi njëvlershmërinë e ekuacionit. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9.

Metodat që rekomandohen: 1. Mësimdhënia e integruar. 2. Diskutimi problemor. 3. Punë e udhëhequr. 4. Punë individuale.

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja nis me punën përgatitore në faqen 169. Më pas formulon kuptimin e ekuacionit duke u mbështetur te barazimet 4x = 100. Punë e udhëhequr. Për punën e udhëhequr shihet rubrika Vini re. Nxënësit formulojnë përkufizimet për rrënjët e ekuacioneve. Këtu punohen ushtrimet 1, 2, 3, faqe 169. Punë e pavarur. Pas përkufizimit të ekuacioneve të njëvlershme formohet nga mësuesi/ja teorema e parë, e cila është e domosdoshme të vërtetohet, ndërsa teorema e dytë mund t’i lihet nxënësit si detyrë shtëpie (duke e udhëzuar që shenja (+) të zëvendësohet me ( • )Si teorema e parë. Mësuesi/ja formulon rrjedhimin e teoremës së parë: Një kufizë kalon nga njëra anë e ekuacionit në anën tjetër duke ndryshuar shenjën në të kundërt. Punë individuale. Ushtrimet te puna e pavarur, faqe 170. Kujdes! Tek ushtrimi 1, numrat në kllapat e përdredhura janë zgjidhje të

123


ekuacioneve të dyta. Ktheni në trajtë kononike (në formën f(x) = 0) ekuacionin: 3(x – 1) = -2x – (x – 1) ⇒ 3x – 3 = -2x – x + 1 ⇒ 3x – 3 + 2x + x – 1 = 0 ⇒ 6x – 4 = 0

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/c, 4 a/c/g, 5/c, 6, faqe 171.

Mësimi 8.2 Tema: Ekuacioni i fuqisë së parë ax + b = 0 Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë ekuacionin e fuqisë së parë me një ndryshore. Të gjejë rrënjën e ekuacionit kur paraqitet në formën ax + b = 0 (ax = -b), a ≠ 0. II. Të zgjidhë ekuacione të fuqisë së parë duke i kthyer më parë në formën ax + b = 0. III. Të interpretojë gjeometrikisht zgjidhjet e ekuacionit të fuqisë së parë, duke i kthyer më parë në formën ax + b = 0. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me interpretimin gjeometrik të zgjidhjes së ekuacionit të fuqisë së parë ax + b = 0.

Metodat që rekomandohen: 1. Mësimdhënia jo e drejtpërdrejtë. 2. Ilustruesi grafik. 3. Punë grupi. 4. Punë individuale. 5. Diskutimi problemor.

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja duhet të fillojë me punën përgatitore, e cila mund të merret si punë grupi. Më pas te zgjidhja e ekuacionit ax + b = 0, mësuesi/ja duhet ta trajtojë në formë diskutimi duke tërhequr vëmendjen te rastet. Mësuesi/ja u jep nxënësve punë individuale, pas çdo rasti, shembujt e tekstit, faqe 172-173. Punë individuale. Zgjidhni grafikisht (me mënyrën gjeometrike) ekuacionin: 2(x – 3) = x + 3 Zgjidhni me metodën algjebrike ekuacionet: 4x + 11 = 3,

! 124

7x 9x − + 19 = 2x 4 2

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/c, 2/b, d, 3/b, 4/b, d, faqe 174.


Mësimi 8.3 Tema: Ushtrime Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të zgjidhë ekuacione të formës ax + b = 0. II. Të zgjidhë ekuacione duke i kthyer në formën ax + b = 0. Të zgjidhë ekuacione me emërues numerik. III. Të zgjidhë problema që kthehen në zgjidhje ekuacionesh të formës ax + b = 0. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9.

Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Punë e udhëhequr. 3. Punë individuale (grupi).

Zhvillimi i temës së re: Shënim: Vini re, në këtë temë ka një numër të konsiderueshëm ushtrimesh dhe problemash. Ushtrimet 1/9-12 dhe problemat 3 – 5 të lihen për nxënës shumë të mirë. Mësuesi/ja në klasë duhet të punojë me nxënësit për çdo rubrikë së paku nga 1 ushtrim në temën e mësimit. Në fillim të temës mësuesi/ja u drejtohet nxënësve. Zgjidhni ekuacionet: 1.

7x 9x 13 − x − + 19 =; 2x 2. 16 − x + x = + 1; 4 2 2 3

2 3. ( x − 4) − 4 = ( x − 6)( x − 8)

Kujdes! Të theksohet se ekuacioni 3 mund të zgjidhet duke zbatuar faktorizimin. Vini re: ( x − 4)2 − 4 = ( x − 6)( x − 8) ⇒ ( x − 4 − 2)( x − 4 + 2) = ( x − 6)x − 8) ⇔ ( x − 6)( x − 2) − ( x − 6)( x − 8) =⇔ 0 ( x − 6)( x − 2 − x + 8) =⇔ 0 ( x − 6) � 6 ⇔ x − 6 =⇔ 0 x= 6 Një nxënës punon në tabelë, kurse mësuesi/ja me klasën ndjek dhe bën korrigjimet. Më pas punohet problema 1.

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimet ¼, 9, 2/2, 3/2, faqe 175.

125


Mësimi 8.4 Tema: Ekuacione thyesore Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë ekuacionet thyesore. Të shkruajë një ekuacion thyesor. II. Të zgjidhë ekuacionet thyesore duke zbatuar hapat e zgjidhjes. III. Të zgjidhë problema që kthehen në zgjidhje ekuacionesh thyesore. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formula të rëndësishme.

Metodat që rekomandohen: 1. Mësimdhënie e integruar. 2. Punë e udhëhequr. 3. Punë individuale (grupi).

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja në formë diskutimi me nxënësit trajton punë përgatitore. Kujdes! Hapat te zgjidhja e ekuacionit kanë një ndryshim. Më pas punohet me ushtrimin në tekst, në formën e një pune të udhëhequr. Pas zgjidhjes së ekuacionit merret zgjidhja e problemës. Duhet të zbatohet skema e dhënë në tekst d.m.th. në fillim bëhet një analizë ku vendoset një marrëdhënie ndërmjet madhësive me të cilat kemi të bëjnë. Shënohet me x (ndryshore) madhësia që kërkohet të gjendet (e panjohur). Kujdes! Pas formimit të ekuacionit, për mjedisin duhet të merren në konsideratë kushtet që plotëson ndryshori në problemë. Pasi të shkruhen zgjidhjet e problemës, nëse ka kohë, merren si punë individuale: ushtrimet 1/a, 2/1, faqe 178.

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/c, 2/4, faqe 178.

Mësimi 8.5 Tema: Ekuacione shkronjore Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë ekuacionin shkronjor. Të dallojë ekuacionin shkronjor nga ekuacionet e tjera. II. Të zgjidhë ekuacionin shkronjor të formës ax + b = 0. III. Të zgjidhë ekuacione shkronjore me thyesa. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formula të rëndësishme.

126

Metodat që rekomandohen: 1. Punë e udhëhequr. 2. Punë grupi. 3. Punë individuale.

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/b, 1/d, faqe 179.


Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja fillon me punën përgatitore. Është e rëndësishme që nxënësi në një barazim me disa shkronja të veçojë shkronjën e duhur. Më pas kalohet te përkufizimi dhe sillen shembuj. Është e rëndësishme të tërhiqet vëmendja e nxënësve për ekuacionin shkronjor (shiko rubrikën Kujdes!). Në punë të udhëhequr punohet shembulli i tekstit. Kujdes duhet kushtuar te rastet 1, 2, 3. Punë individuale. Nxënësit punojnë ushtrimin 1/a.

Mësimi 8.6 Tema: Ekuacioni i fuqisë së dytë ax2 + bx + c = 0. Formulat e Vietës Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të shkruajë një ekuacion të formës ax2 + bx + c = 0. Të shkruajë formulat për zgjidhjen e ekuacionit. Të zgjidhë një ekuacion të dhënë në formën ax2 + bx + c = 0. II. Të zgjidhë ekuacione të fuqisë së dytë duke i kthyer më parë në formën ax2 + bx + c = 0. Të zbatojë formulat e Vietës në ushtrime, pa zgjidhur ekuacionin e formës ax2 + bx + c = 0. Të shkruajë ekuacionin kur dihen rrënjët e tij. III. Të vërtetojë formulat e Vietës. Të vërtetojë formulën që jep ekuacionin e fuqisë së dytë duke njohur rrënjët e tij. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formulat e zgjidhjes së ekuacionit të fuqisë së dytë, shiko punë përgatitore.

Metodat që rekomandohen: 1. Diskutim problemor. 2. Punë e udhëhequr. 3. Punë individuale.

Zhvillimi i temës së re: Punë përgatitore. Nxënësit punojnë ushtrimet: 1. Zgjidhni: x2 + 3x + 2 = 0, z2 + 6z + 9 = 0 Më pas kalohet te vlerat e x1 + x2 dhe x1 • x2, duke ndjekur hapat e tekstit. Punë individuale. 1 1 Pa e zgjidhur ekuacionin: x2 + 7x + 10 = 0 gjeni: x1 + x2, x12 + x22, x 2 + x 2 1

2

127


Kujdes! x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 Pas kësaj vazhdohet me rubrikën Vini re! Të theksohet se ekuacioni x2 – Sx + P = 0 është ekuacioni që ka për rrënjë x1, x2 ku S = x1 + x2 dhe P = x1 • x2. Punë individuale. Punohen ushtrimet 1, 2, te puna e pavarur.

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimi 2, faqe 181 (lart).

Mësimi 8.7 Tema: Ushtrime Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të zgjidhë ekuacione të formës ax2 + bx + c = 0. Të gjejë shumën dhe prodhimin e rrënjëve të ekuacionit ax2 + bx + c = 0 pa e zgjidhur ekuacionin. Të shkruajë ekuacionin kur dimë rrënjët e tij. II. Të zgjidhë ekuacionet që kthehen në formën ax2 + bx + c = 0. III. Të zgjidhë ekuacione që më zëvendësim kthehen në zgjidhjen e ekuacionit ax2 + bx + c = 0. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9.


Zhvillimi i temës së re: Punë individuale. Zgjidhni ekuacionin: a. 2x2 + x – 21 = 0; b. 2x2 + 3 = x2 + 4x Gjeni

1 1 + nëse x1 e x2 janë rrënjë të ekuacionit: x2 + 3x – 10 = 0 pa e x1 x 2

zgjidhur ekuacionin. Punë e udhëhequr. Zgjidhni ekuacionin: (x2 + 1)2 – 4(x2 + 1) + 4 = 0 Këtu me zëvendësim: x2 + 1 = y Këtej gjejmë y = 2 duke zëvendësuar te 1 marrim ekuacionin: x2 + 1 = 2 ⇒ gjejmë x1 = -1 e x2 = 1 Pa zgjidhur ekuacionin x2 – 3x + 2 = 0. Gjeni x1 + x 2

128


Vini re:

( x + x ) = ( x ) + 2 x � x + ( x ) ⇒ ( x + x ) = x + x + 2 x � x ⇒ ( x + x ) =S + 2 P ) S+2 P ( x + x= 2

1

2

2

1

1

2

1

2

2

1

2

P=

c a

2

1

2

1

2

1

2

2

Nga formulat e Vietës: S = − S= −

2

b ; a

−3 c 2 = 3 ; P= = duke zëvendësuar: 1 a 1

x1 +

x2 = 3 + 2 2

Pa e zgjidhur ekuacionin x2 – 6x + 5 = 0, gjeni rrënjën x2 nëse x1 = 1. Nga formulat e Vietës x1 + x2 = 6 dhe x1 • x2 = 5 ⇒ 1 + x2 = 6 ⇒ x 2 = 5 ose 1 • x2 = 5 Kështu themi x 2 = 5

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/6, 8, ushtrimet 2/c dhe 5, faqe 181.

Mësimi 8.8 Tema: Sisteme të ekuacioneve të fuqisë së parë me dy ndryshore Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të formojë sisteme të ekuacioneve. Të tregojë nëse një çift numrash është zgjidhja e sistemit. II. Të zgjidhë një sistem ekuacionesh me njërën nga metodat algjebrike. III. Të zgjidhë grafikisht një sistem ekuacioni. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Modele zgjidhjesh të sistemeve (grafikisht).

Metodat që rekomandohen: 1. Mësimdhënie jo e drejtpërdrejtë. 2. Punë individuale.

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja duhet të fillojë me punën përgatitore. Këtu është e rëndësishme që të tregohet se ekuacioni ax + by + c = 0 ka një pafundësi zgjidhjesh dhe se zgjidhjet e ekuacionit janë çiftet e renditura (x1; y1), që shërbejnë si koordinata të pikave të drejtëzës ax + by + c = 0. Këtu jepet kuptimi i sistemit. Më pas kalojmë në zgjidhjen praktikisht të sistemeve, në fillim me metodat algjebrike, më pas me metodën grafike.

129


Meqenëse në çdo rast metodat sqarohen me shembuj është me vend të organizohet me punë të udhëhequr. Punë individuale. Jepen ushtrimet 1, 2, faqe 184.

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/2, 2/2, 4, faqe 184.

Mësimi 8.9 Tema: Ushtrime Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të zgjidhë me njërën nga metodat algjebrike sisteme të ekuacioneve të dhënat në formë standarde. II. Të zgjidhë sisteme të ekuacioneve të fuqisë së parë, duke i kthyer në fillim në formën standarde. III. Të zgjidhë sisteme të ekuacioneve që pas zëvendësimit kthehen në sisteme të fuqisë së parë. Të zgjidhë problema që kthehen në zgjidhjen e sistemeve të fuqisë së parë me dy ndryshore. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9.

Metodat që rekomandohen: 1. Diskutim problemor. 2. Punë grupi. 3. Punë individuale.

Zhvillimi i temës së re: Punë individuale. Bëhet zgjidhja e sistemit: 10 2 x − 7 y =  5 x − 6 y = 2 

(Nxënësi zgjedh metodën e zgjidhjes)

Me punë grupi zgjidhin sistemin: 2( y − x ) =5 + 2x  2( y + x ) =5 − 2y

(Këtu zëvendësojmë

1 1 = x dhe = y ) 4 v

Më pas mësuesi/ja me anë të diskutimit të etapave punon problemën 1 të zgjidhur, faqe 185.

! 130

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/3,8, problema 3, faqe 185.


Mësimi 8.10 Tema: Mosbarazime numerike. Vetitë Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë mosbarazimet. Të formulojë vetitë e mosbarazimeve. II. Të zbatojë vetitë në zgjidhjen e ushtrimeve. III. Të vërtetojë të paktën 3 veti të mosbarazimeve. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me vetitë e mosbarazimeve. 4. Tabela me formulat e rëndësishme.

Metodat që rekomandohen: 1. Mësimdhënia jo e drejtpërdrejtë. 2. Punë e udhëhequr. 3. Punë individuale.

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja fillon me punën përgatitore. Këtu është e rëndësishme të theksohet se 5 > 2, sepse 5 – 3 = 2, numër pozitiv. Më pas formulohet përkufizimi. Më parë merret mendimi i nxënësve. Punë individuale. Tregoni pse 7 > 5, a2 ≥ 2a – 1 Kujdes! (a – 1)2 ≥ 0). Metodë zgjidhjeje: Në përgjithësi për të vërtetuar mosbarazimin A > B merret diferenca A – B. Nëse pas shndërrimeve kjo diferencë (A – B) gjendet pozitive (> 0), atëherë mosbarazimi është vërtetuar. Më pas formulohen dhe vërtetohen vetitë duke diskutuar me nxënësit. Punë individuale. Nxënësit punojnë me ushtrimet 1, 2, 3, faqe 187.

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/a, b, c, faqe 188.

Mësimi 8.11 Tema: Ushtrime Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të tregojë vërtetësinë e mosbarazimeve që rrjedhin nga formulat dhe vetitë e mosbarazimeve. II. Të vërtetojë mosbarazimet që kthehen te formulat e rëndësishme. III. Të vërtetojë mosbarazime, që në mënyrë të kombinuar zbatohen formulat e rëndësishme dhe vetitë e tyre.

131


Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formula të rëndësishme dhe vetitë e mosbarazimeve.

Metodat që rekomandohen: 1. Diskutim problemor. 2. Punë grupi. 3. Punë individuale.

Zhvillimi i temës së re: Punë individuale. Punohen këto ushtrime: Vërtetoni se: 1 1 1. Kur a > b, atëherë − a < − b 2 2 2. Kur a > b > 0, atëherë a2 > b2 Punë e udhëhequr. Vërtetoni se për çdo dy numra realë pozitivë është i vërtetë mosbarazimi

a+b ≥ ab . 2

Zgjidhja shikohet në tekstin e nxënësit në faqen 188. Punë individuale. Nxënësit punojnë ushtrimet 5, 6/a, faqe 188.

! Detyrë shtëpie. Ushtrimet 3/b, 6, 9 tek Ushtrime dhe problema, faqe 57. Mësimi 8.12.13 Tema: Inekuacioni i fuqisë së parë me një ndryshore Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë inekuacionin e fuqisë së parë dhe inekuacionet e njëvlershme. Të tregojë kur një vlerë e ndryshores është zgjidhje e inekuacionit. Të formulojë teoremat e njëvlershmërisë. II. Të tregojë nëse dy inekuacione janë të njëvlershme. Të zgjidhë inekuacione të fuqisë së parë me një ndryshore. III. Të vërtetojë të paktën njërën nga teoremat e njëvlershmërisë së inekuacioneve.

132



Metodat që rekomandohen: 1. Mësimdhënie e integruar. 2. Punë e udhëhequr. 3. Punë individuale.

Zhvillimi i temës së re: Në këtë temë duhet të punohen teoremat e njëvlershmërisë. Punë përgatitore. Mësuesi/ja jep përkufizimin e inekuacionit dhe atë të rrënjës së inekuacionit. Punë individuale. Tregoni nëse x = -1 është zgjidhje për inekuacionin 2x – 1 > x dhe 6x – 3 > 3x E njëjta kërkesë për x = 3 dhe x = 5 Pas përkufizimit për inekuacionet formulohen teoremat mbi njëvlershmërinë. Është e domosdoshme të vërtetohet teorema. Në fund diskutohen me nxënësit ushtrimet, pas çdo teoreme.

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/ 4, 7, 9, 10, 11.

• Ora II. Kjo temë do të fillojë me zgjidhjen e inekuacionit. Në fillim mësuesi/ja

rikujton teoremat e njëvlershmërisë dhe rrjedhimin. Punë e udhëhequr. Zgjidhni inekuacionin 3(x – 2) – 5 > 4x, duke përkufizuar hapat me anë të teoremave. 3(x – 2) – 5 > 4x  -3x – 6 – 5 – 4x > 0 Rrjedhimi i teoremës 1  - x – 11 > 0 Reduktimi i kufizave të ngjashme  - x > 11 Rrjedhimi i teoremës 1  x < 11 Teorema 4 Bashkësia e zgjidhjeve A = {x ∈ R / x < -11} duhet të paraqitet në boshtin numerik. Themi se zgjidhja e inekuacionit është A = ]- ∞ ; -11[ Përkufizohet nga mësuesi/ja inekuacioni i fuqisë së parë. Më pas si punë grupi shikohet shembulli 2, faqe 191. Pas kësaj punohet ushtrimi 3/1, faqe 192. Punë individuale. Nxënësit punojnë me kujdes ushtrimet 1, 2, 3, te puna e pavarur.

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 3/3, 7, 11, faqe 191; 3/2, faqe 192.

133


Mësimi 8.14 Tema: Studimi i shenjës së binomit të fuqisë së parë Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë binomin e fuqisë së parë me një ndryshore. Të ndërtojë tabelën për shenjën e binomit. II. Të studiojë shenjën e binomit në të paktën dy raste. Të zgjidhë inekuacionin duke zbatuar studimin e shenjës së binomit. III. Të interpretojë gjeometrikisht shenjën e vlerave të binomit të fuqisë së parë me një ndryshore. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela mbi shenjën e binomit.

Metodat që rekomandohen: 1. Mësimdhënia jo e drejtpërdrejtë. 2. Punë e udhëhequr 3. Punë individuale.

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja fillon me punë përgatitore. Shkruani një binom dhe tregoni fuqinë e tij. Jepni përkufizimin e binomit të fuqisë së parë. Më pas merrni si punë individuale. Jepet binomi f(x) = 2x – 3, x ∈ R  3 Gjeni: f(0), f(1), f(2), f(3), f    2  b Për binomin f(x) = ax + b gjeni f(0), f  −  , këtej nis studimi i shenjës së  a vlerave të f(x) = ax +b (shiko Matematika 9, faqe 193) Pas tabelës mbi shenjën e binomit merr si punë grupi: Studioni shenjën e binomeve f(x) = 2x – 10 dhe f(x) = 2(x – 2) – 3(x + 1). Pas punës individuale bëhet interpretimi gjeometrik.

!

134

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/e, f, 2/d, f, 3, faqe 194.

Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë inekuacionet në formë prodhimi (herësi). II. Të zgjidhë inekuacionet në formë prodhimi (herësi), kur ato janë në formë standarde. III. Të zgjidhë inekuacione, të cilat kthehen në formë prodhimi (herësi). Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela mbi studimin e shenjës.



Mësimi 8.15 Tema: Inekuacione në formë prodhimi dhe herësi

Zhvillimi i temës së re: Punë individuale. 2x − 6 =0 Zgjidhni 2x – 6 = 0, 3 – 2x = 0, (2x – 6)(3 – 2x) = 0, 3 − 2x Zgjidhni inekuacionet: 2x – 6 > 0,

3 – 2x > 0.

- A mund të zgjidhni (2x – 6)(3 – 2x) = 0,

2x − 6 =0 ? 3 − 2x

Mësuesi/ja jep përkufizimin dhe formulon rregullën për zgjidhjen e inekuacioneve në formë prodhimi (herësi). Punë e udhëhequr. Nxënësit punojnë shembujt 1 dhe 2. Më pas, me punë grupi, ata punojnë ushtrimin 1/f, faqe 196, ndërsa për punë individuale marrin 1 b/c, faqe 195.

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/a, d, e; 2/c, faqe 196.

Mësimi 8.16 Tema: Ushtrime dhe problema Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të zgjidhë ekuacione të fuqisë së parë të dhëna në formën standarde (ax + b > 0). II. Të zgjidhë inekuacione që kthehen në inekuacione të fuqisë së parë. Të zgjidhë inekuacione në formë prodhimi dhe herësi. III. Të zgjidhë inekuacione duke i kthyer më parë në formë prodhimi (herësi). Të zgjidhë problema që kthehen në zgjidhjen e inekuacionit.

135


Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formula të rëndësishme.


Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja duhet të fillojë me punën individuale. Zgjidhni inekuacionet: a.

2x − 1 > 8, 2

b.

x −1 x +1 x − <5+ 2 2 6

Me punë të udhëhequr në formë diskutimi: Zgjidhni inekuacionin: x2 – 6x + 13 > 0 Zgjidhje: Shiko tekstin faqe 196. Punë individuale: x2 – 2x – 3 > 0 Inekuacioni merr formën: (x – 3)(x + 1) > 0 Kujdes! x2 – 2x – 3 = x2 – 2x + 1 – 4 = = (x – 1)2 – 4 = (x – 1 – 2)(x – 1 + 2) = = (x – 3)(x + 1) Inekuacion në formë prodhimi. Më pas me punë të udhëhequr nxënësit punojnë problemën në faqen 197.

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/a, c, 4.

Mësimi 8.17 Tema: Sisteme inekuacionesh të fuqisë së parë me një ndryshore Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të zgjidhë sisteme të inekuacioneve të dhëna në formë të thjeshtë,  x − 2x > 0 . p.sh.  2 − 3 x < 0

.

ax + b > 0 II. Të zgjidhë sisteme të inekuacioneve duke i kthyer më parë në formën:  cx + d < 0 III. Të zgjidhë inekuacione me vlerë absolute.

136


Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja e fillon orën e mësimit me punën përgatitore të tekstit. Punë individuale. Zgjidhni inekuacionet: 8 – 2x ≥ 0, 4x + 12 < 0 Shënoni A1 bashkësinë e zgjidhjeve të inekuacionit të parë, ndërsa me A2 bashkësinë e zgjidhjeve të inekuacionit të dytë. Gjeni A = A1 ∩ A2. Mësuesi/ja jep përkufizimin e sistemit. Punë individuale. 3 − 4 x < −1 Zgjidhni sistemin:  2 x − 5 > 1



Më pas kalo tek inekuacioni me vlerë absolute. Si punë grupi jepet inekuacioni 2 −

!

1 x ≤7. 5

Detyrë shtëpie. Zgjidhni sistemet:

2 x − 6 > 0  2.  x + 2 ≥ 0 3 x − 8 ≤ 7  Zgjidhni inekuacionet: 2 > 3 x 1.  4 x − 3 < 5

1. −2 <

1 x < 1< 3 2

2. 3 − 2x ≤ 5

Mësimi 8.18 Tema: Ushtrime Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të zgjidhë inekuacione të fuqisë së parë. II. Të zgjidhë inekuacione në formë prodhimi dhe sisteme të inekuacioneve të fuqisë së parë. III. Të zgjidhë problema që kthehen në vërtetimin e mosbarazimeve numerike. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me studim shenje të binomit ose modele zgjidhjesh inekuacioni.


137


Zhvillimi i temës së re: Me punë grupi të integruar. Zgjidhni inekuacionin: 4,2(3,3 – 0,8x) < 7x + 1,4 X(x + 2) > x + 2 ⇔ x(x + 2) – (x – 2) > 0 ⇔ (x + 2)(x – 1) > 0 ..... 4( x − 3) − x ≥ 1 Zgjidhni sistemin:  2 − 3( x − 2) ≥ −13 Zgjidhni inekuacionin: 1. 7 x − 1 > −4 ⇔ 7 x − 1 + 4 > 0 ⇔ 7 x − 1 + 4(2x + 10) > 0 ⇔ 7 x − 1 + 8 x + 40 > 0 ⇔ 15 x + 39 > 0 2x + 10 2x + 10 2x + 10 2x + 10 2x + 10 x − 2 <1  2. x − 2 < 1 ⇔  x + 2 x+2  x − 2 > −1  x + 2

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2/b, 3/c, 4/c, 5/a, faqe 200.

Test kontrolli (skema e qortimit) Ushtrimi 1. 1. Qarkimi i rastit (a) 2. Arsyeja (pjesëtohen të dyja anët me 3).

(1 pikë) (1 pikë)

Ushtrimi 2. 1. Qarkimi i saktë (b). 2. Arsyeja (shumëzohen të dyja anët me O12).

(1 pikë) (1 pikë)

Ushtrimi 3/a. 1. Bashkësia e vlerave të palejuara (lejuara). 2. Kthimi te 5(x – 1) = 2(x + 2) 3. Gjetja e zgjidhja x = 3 b. 1. Bashkësia e vlerave të palejuara (lejuara). 2. Paraqitja në formën 3(x + 2) = x2 – 4 3. Shndërrimi në formën x2 – 3x – 10 = 0 4. Gjetja e dallorit D = 49 5. Rrënjët x1 = 5 (x2 = -2)


Ushtrimi 4/a. 1. Bashkësia e vlerave të palejuara (lejuara). 1  u = x 2. Zëvendësimi  v = 1 y 

138

(1 pikë) (1 pikë)

(1 pikë)

u = 2 4. Gjetja e zgjidhjeve:  v = 3 1   x = 2 5. Gjetja e zgjidhjeve:  y = 1  3

(1 pikë)

(1 pikë)

b. 1. Zgjidhja e inekuacionit të parë. 2. Zgjidhja e inekuacionit të parë. 3. Paraqitja e zgjidhjeve në bosht. 4. Gjetja e zgjidhjes së sistemit.


Ushtrimi 5/a. 2x − 6 2( x − 1) − <0 1. Kthimi në formën x −1 x −1 −4 <0 2. Shndërrimi në formën x −1

(1 pikë) (1 pikë)

3. Studimi i shenjës x – 1 ose kthimi x -1 > 0 4. Studimi i shenjës −

(1 pikë)

4 x −1

(1 pikë)

5. Paraqitja e zgjidhjes në bosht. b. 1. Kthimi në sistem. 2. Zgjidhja e inekuacioneve. 3. Paraqitja e zgjidhjeve në bosht. Gjetja e zgjidhjeve të sistemit. Ushtrimi 6. 1. Shkrimi i formulës V = Vo + at 2. Zëvendësimi x = t dhe paraqitja në formën 10 + 10x > 40 3. Zgjidhja e inekuacionet (tek 2). 4. Paraqitja e zgjidhjes në bosht dhe zgjidhja e problemës. Ushtrimi 7. 1. Nisja e zgjidhjes nga diferenca:



m2 + 4 m2 − 4m + 4 − 2m = 2 2

(1 pikë)

2. Zëvendësimi: m2 – 4m + 4 = (m – 2)2

(1 pikë)

3. Përfundimi: meqenëse (m – 2)2 ≥ 0, atëherë


−4  4 − 2v = 3. Paraqitja e sistemit  21 3u + 5v =

m2 + 4 m2 + 4 − 2m ≥ 0 ⇒ ≥ 2m 2 2 (1 pikë)

139


Kreu XIX FUNKSIONI Mësimi 9.1 Tema: Prodhimi kartezian i bashkësive. Paraqitja në planin xoy Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë kuptimin e çiftit të renditur. Të përkufizojë prodhimin kartezian të bashkësive. Të shkruajë bashkësinë A x B. II. Të paraqesë prodhimin kartezian të dy bashkësive me diagramin e Venit. Të paraqesë prodhimin kartezian në planin kartezian në rastin kur A dhe B janë të fundmë. III. Të paraqesë prodhimin kartezian A x B në planin koordinativ në rastin kur A dhe B janë intervale numerike. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me diagrame të gatshme mbi A x B.

Metodat që rekomandohen: 1. Mësimdhënie jo e drejtpërdrejtë. 2. Punë e udhëhequr. 3. Diagrami i Venit. 4. Ilustruesi grafik. 5. Punë individuale.

Zhvillimi i temës së re: Punë përgatitore. Jepet kuptimi i çiftit të renditur (a; b) dhe kuptimi i barazimit  x1 = x 2 (x1; y1) = x2; y2) ⇔  .  y1 = y 2 Më pas, si punë grupi. 1 1 1 Gjeni x dhe y që çiftet (x; ) = (-2; y) dhe (-3; 2y) = ( x; y). 2 3 2 Pas kësaj vazhdo me punën përgatitore si në tekst, faqe 202. Duhet kujdes kur japim përkufizimin e prodhimit kartezian A x B. Është e domosdoshme ta paraqitim simbolikisht A x B = {(x; y) / x ∈ A dhe y ∈ B}. Mësuesi/ja, për të zbuluar sa është kuptuar, të kërkojë nga nxënësit dallimin nga B x A. Më pas kalojmë te paraqitja e A x B. Vazhdo si në tekst, faqe 203. Punë e udhëhequr. Jepet ushtrimi 1/a te puna e pavarur. Punë individuale. Jepet pika b e ushtrimit 1.

! 140

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1, 2/a, c, 3, 5, faqe 203.

Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë relacionin dhe funksionin. Të dallojë grafikun e relacionit nga ai i funksionit. II. Të ndërtojë një relacion dhe një funksion në mënyra të ndryshme. III. Të paraqesë relacionin me diagram. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me diagramin e Venit mbi relacionin dhe funksionin.

Metodat që rekomandohen: 1. Mësimdhënie jo e drejtpërdrejtë. 2. Diagrami i Venit. 3. Punë e udhëhequr. 4. Punë individuale (grupi)


Mësimi 9.2 Tema: Relacioni. Funksioni. Mënyrat e dhënies

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja fillon me punë përgatitore, e cila organizohet në formën e punës në grup, duke iu përgjigjur pyetjeve që ka teksti. Kujdes! Duhet të theksohet se nga përkufizimi i relacionit, për përcaktimin e relacionit, do të kemi: 1. Bashkësinë e fillimit X (fillimin) 2. Bashkësinë e mbarimit Y (fundin) 3. Grafi i relacionit (shiko Matematika 9) Pas mënyrave të dhënies së relacionit, mësuesi/ja merr si punë individuale ushtrimin: Jepet relacioni R me anë të diagramit të Venit.

y

x 9

x

4x 5

x

x

-1

x1 x2 x

Shkruani bashkësinë e fillimit, Shkruani bashkësinë e mbarimit, Grafin e relacionit, Rregullën që lidh x-in me y-in.

3

Më pas mësuesi/ja kalon te puna përgatitore në faqen 205. Në formë të punës së udhëhequr vazhdohet me kuptimin e funksionit. Kujdes! Ka rëndësi që nxënësi të bëjë dallimin nga relacioni te funksioni dhe të evidentojë me shembuj mënyrat e dhënies së funksioneve numerike. Punë individuale. Nxënësit punojnë ushtrimin 3, faqe 206.

!


141


Mësimi 9.3 Tema: Bashkësia e përcaktimit të funksionit. Bashkësia e vlerave. Grafiku i funksionit Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë bashkësinë e përcaktimit të një funksioni. Të përkufizojë grafikun e funksionit. II. Të gjejë bashkësinë e përcaktimit të një funksioni të dhënë me formulë. Të gjejë bashkësinë e vlerave për një funksion të dhënë me formulë. Të ndërtojë grafikun e funksionit kur dihet bashkësia e çifteve. III. Të provojë ekzistencën ose jo të funksionit, duke u nisur nga vijat e dhëna në plan. Të ndërtojë funksionin kur jepet grafiku i tij. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me grafikë, funksione të njohura.

Metodat që rekomandohen: 1. Mësimdhënie jo e drejtpërdrejtë. 2. Punë e udhëhequr. 3. Ilustruesi grafik. 4. Punë individuale.

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja shkruan në tabelë ushtrimet 1 dhe 2, sikurse janë te puna përgatitore dhe pret përgjigje nga nxënësit. Tek ushtrimi 1 mund të merrni përgjigje të sakta. Kujdes! Në planin koordinativ mund të ketë nxënës që i bashkojnë pikat. Kjo nuk është e saktë (pikat lihen të veçuara). Tek ushtrimi 2 do të kemi stepje të nxënësve, pothuajse te tri kërkesat, prandaj është e nevojshme ndërhyrja e mësuesit/es duke kujtuar bashkësinë e përcaktimit etj. (shiko Matematika 9) Punë individuale. Ndërtoni grafikun e funksionit: y = 2x – 1 për x ∈ {0; 1; 2; 3} Jepet funksioni y = 2 : gjeni bashkësinë e përcaktimit E dhe bashkësinë 1− x e vlerave F. Ndërtoni grafikun për x ∈ {-2; -1; 0; 2; 3}

! 142


Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të dallojë grafikun e një funksioni nga vija të tjera. Të gjejë vlerat e funksionit për figura të dhëna, kur funksioni jepet me një nga mënyrat. II. Të gjejë bashkësinë e përcaktimit (vlerave) të një funksioni të dhënë në një nga mënyrat. Të ndërtojë grafikun e funksionit kur jepet bashkësia e përcaktimit dhe formula. III. Të gjejë formulën e një funksioni të dhënë me mënyrën grafike (tabelë). Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me grafikë (shih grafikët në faqen 208-209).

Metodat që rekomandohen: 1. Punë e udhëhequr. 2. Punë grupi. 3. Ilustruesi grafik. 4. Punë individuale.



Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja në fillim me anë të punës në grup punon ushtrimet 1/11, 2, faqe 208. Kujdes! Tek ushtrimi 2 vija e parë nuk është grafik funksioni, sepse ka x (fytyra) që lidhen me dy y (shëmbëllime). P.sh. x = 0 lidhet me y = 1 dhe y = -1 (kujto përkufizimin e funksionit). Më pas merr si punë individuale ushtrimin 3, faqe 209. Kujdes te pika d) bashkësia e vlerave (bashkësia e përcaktimit E) dhe bashkësia e vlerave të z (bashkësia e vlerave F). Pas këtij ushtrimi nxënësit me punë të udhëhequr punojnë 1. ushtrimin 6/d faqe 209. Këtu shënojnë bashkësinë e përcaktimit: 2 − 3 ≥ 0 } për të gjetur E duhet të zgjidhim inekuacionin 2x − 1 2 1 5 −3 ≥ 0 ⇔E = ] ; ]. 2x − 1 2 6

E = {x ∈ R /

2. ushtrimin 9, faqe 209.

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/3, 6/a,c, 8, faqe 208-209.

143


Mësimi 9.5.6 Tema: Grafiku i funksionit x = a(x – m)2, y = ax2 + n dhe y = ax2 + bx = c Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të ndërtojë grafikun e funksionit y = ax2 në të paktën dy raste (a > 0, a < 0). II. Të ndërtojë grafikun e funksionit y = ax2 + n në të paktën dy raste (n > 0, n < 0). Të ndërtojë grafikun e funksionit y = a(x – m)2 në të paktën dy raste (m > 0, m < 0). III. Të ndërtojë grafikun e funksionit y = a(x – m)2 + n. Të ndërtojë grafikun e funksionit y = ax2 + bx + c, duke zbatuar zhvendosjen e boshteve (ose drejtpërdrejt). Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me grafikë (faqe 210-211).

Metodat që rekomandohen: 1. Mësimdhënie jo e drejtpërdrejtë. 2. Ilustruesi grafik. 3. Punë e udhëhequr. 4. Punë grupi. 5. Punë individuale.

Zhvillimi i temës së re: ORA I Mësuesi/ja fillon me punën përgatitore në faqen 210, këtu mund të shtojë dhe grafikun e funksionit y = − 1 x 2 . Më pas kalon te grafiku i funksionit y = 2x2 + 1 2 (y = 2x2 – 1), duke zhvendosur boshtin (x’x). (shiko Matematika 9,faqe 210). Mësuesi/ja kalon te puna individuale me ushtrimin: Ndërtoni grafikun y =

1 2 1 x − 2 (y = x 2 + 2 ). 2 2

Punë individuale. 1 Nxënësit punojnë me grafikun e y = ( x − 2)2 . 2 Si detyrë shtëpie jepen grafikët e funksioneve: y = 3x2, y = -3x2, y = 3x2 – 2, y = 3(x – 2)2. Tema e dytë me punën përgatitore: ORA II Ndërtoni grafikun e funksioneve: 1 y = − 1 x 2 ; y = − 1 ( x − 2)2 ; y = − x 2 + 2 2 2 2

1 - A mund të ndërtoni grafikun e funksionit y = − ( x − 2)2 + 2 ? 2 Mësuesi/ja nxjerr përfundimin se si do të veprojnë për ndërtimin e grafikut të funksionit: y = a(x – m)2 + n - A është e mundur të ndërtohet grafiku i funksionit y = ax2 + bx + c? (a ≠ 0)? - A mundet që shprehja ax 2 + bx + c të paraqitet në formën a(x – m)2 + n?

144

Për këtë vazhdohet me shembullin në tekst, faqe 212. Punë individuale. Ndërto grafikun e funksionit y = 2x2 – 3x + 1

!

Detyrë shtëpie. Ndërtoni grafikun e funksionit y = x2 + 3x dhe y = 2x2 - 3x - 2


Këtu mësuesi/ja kryen shndërrimet (shiko faqen 211). b Si përfundim themi se meqenëse ax2 + bx + c = a(x – m)2 + n2, ku m = − dhe 2a d n= − grafiku i y = ax2 + bx + c ndërtohet njëlloj si grafiku i y = a(x – m)2 + n 4a

Mësimi 9.7 Tema: Ushtrime Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të ndërtojë grafikun e funksioneve y = ax2 dhe y = x2 + n. Të gjejë kulmin e parabolës y = ax2 + bx + c. II. Të ndërtojë grafikun e funksionit y = ax2 + bx + c, duke e kthyer te grafiku i y = a(x – m)2 + n. III. Të zgjidhë grafikisht ekuacionin ax2 + bx + c = 0. Të ndërtojë pa zhvendosjen e boshteve grafikun e funksionit y = ax2 + bx + c. Të shkruajë formulën e funksionit y = ax2 + bx + c, nëse njihen kulmi dhe pika të tjera të grafikut. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me grafikë të funksioneve.

Metodat që rekomandohen: 1. Punë e udhëhequr. 2. Punë grupi. 3. Punë individuale. 4. Analizë problemore.

Zhvillimi temës së re: Punë individuale. Nxënësit duhet të punojnë ushtrimin 1, faqe 213. Kujdes! Te pika d të theksohet se parabola në lidhje me boshtin (oy) është simetrike. Në ushtrimin 3/a ka rëndësi që nxënësi të gjejë koordinatat e kulmit të parabolës b d C (m; n), m = − dhe n = − . 2a 4a Ushtrimi 6/a (y = x2 – 4x + 4 = (x + 2)2)

145


Punë e udhëhequr. Punohet ushtrimi 8/b. Ky ushtrim tregon në mënyrë të drejtpërdrejtë ndërtimin e grafikut y = ax2 + bx + c, duke marrë si shembull: y = -x2 – 2x + 3. Ushtrimi 11, vini re nga të dhënat që kemi: C(

1 1 1 −d b ; 25) = C(m; n) ⇒ m = , n = 25 ⇒ − = dhe = 25, 2 2 4a 2a 2

por meqenëse parabola kalon nga pika A (0; 24), atëherë kemi: 24 = a • 02 + b • 0 + ⇒ c = 24.  b 1  −b =a  −b =a − =   Kështu do të kemi:  2a2 2 ⇒  b2 − 96a ⇒  b2 + 9( −b) = 25 ; gjejmë a, b − b ac 4 − −  − 4( −b) = 25  4a a 4  c= 24 c= 24 c= 24

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2, 3/b, 8/b, faqe 214.

Test kontrolli (skema e qortimit) Ushtrimi 1. 1. Gjetja e A ∪ B, A ∩ B (2 pikë) 2. Paraqitja në boshtin koordinativ. (2 pikë) 3. Paraqitja në plan i A x B, gjetja. (2 pikë) Ushtrimi 2. 1. Shënimi për b) dhe arsyeja. (2 pikë) 2. Shkrimi i bashkësisë së përcaktimit. (1 pikë) 3. Shkrimi i bashkësisë së vlerave. (1 pikë) Ushtrimi 3. 1. Ndërtimi i tabelës. (1 pikë) 2. Ndërtimi i grafikut. (1 pikë) 3. Zhvendosja e boshtit (ox) 2 njësi lart. (1 pikë) 4. Ndryshimi i ndarjeve dhe i origjinës së koordinatave. (1 pikë) Ushtrimi 4. 1. Gjetja e shenjës për secilin grafik. (1 pikë) Ushtrimi 5. 1. Gjetja e koordinatave të kulmit. (1 pikë) 2. Gjetja e pikave të prerjes me boshtet. (1 pikë) 3. Njëlloj si rasti 1. (1 pikë) Ushtrimi 6. 1 a. Ndërtimi i tabelës për y = − x 2 (1 pikë) 2

146


Kreu X STATISTIKË E PROBABILITET


Ndërtimi i grafikut për y = − 1 x 2 2 Zhvendosja e boshteve. b. Tabela për y = x2 Gjetja e koordinatave të kulmit. Zhvendosja e boshteve koordinatave. Ushtrimi 7. Paraqitja me formulë e perimetrit. Shprehja e ndryshores në funksion të njërës përmasë . Gjetja e vlerës së kërkuar.

Mësimi 10.1 Tema: Paraqitja grafike e të dhënave. Mesatarja Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të dallojë tiparin sasior nga tipari cilësor. Të paraqesë të dhënat statistikore në tabela. Të gjejë dendurinë për një vlerë të tiparit. Të përkufizojë mesataret e shpërndarjes statistikore. II. Të ndërtojë diagramin me shtylla të një shpërndarjeje statistikore. Të gjejë mesataret për një shpërndarje statistikore. III. Të gjejë mesataret për shpërndarje statistikore (tipari i vazhdueshëm). Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela të gatshme me të dhëna, grafikë për shpërndarje statistikore.

Metodat që rekomandohen: 1. Analizë problemore. 2. Ilustruesit grafikë. 3. Punë e udhëhequr. 4. Punë grupi.

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja duhet të fillojë me punë përgatitore si më poshtë: Në një detyrë kontrolli nxënësit e klasës së 9-të morën këto nota: 8, 7, 6, 5, 4, 8, 4, 5, 9, 6, 10 5, 10, 7, 7, 4, 6, 10, 9, 7, 8, 4 5, 9, 6, 9, 8, 7, 9, 4, 5, 6, 5 6, 7, 6, 5, 4, 9, 7

147


Plotësoni tabelën:

Vlera e tiparit, Nota

4

6

5

7

8

9

10

6

Efektivi

4 6

Denduria

Renditni të dhënat nga vlera më e vogël deri te vlera më e madhe: 4, 4, 4, 4 ,4 , 5, 5, 5, 5, 5, 5, .... Të dhënat për shtatlartësinë e vajzave të klasave të 9-ta janë (shiko tekstin, faqe 216). Meqenëse kemi shumë të dhëna, atëherë këto të dhëna i ndajmë në klasa. Konkretisht, meqenëse diferenca 180 – 157 = 23 cm ≈ 24 cm nga shtatlartësia më e madhe në më të voglën është afërsisht 24 cm. Preferoj ta ndaj në 6 klasa që përfaqësojnë 6 gjysmësegmente numerike (24 : 6 = 4 cm) me gjatësi 4 cm. Klasa 1 [157: 161[ Klasa 2 [161: 165[ Klasa 3 [165: 169[ Klasa 4 [169: 173[ Klasa 5 [173: 177[ Klasa 6 [177: 180[ Plotësoni tabelën:

Klasa

[157-161[

Efektivi

7

Denduria

7/60

Në rastin e një tipari cilësor vlerat e tiparit janë modalitete. P.sh.: Një ekip kombëtar përbëhet nga 18 sportistë, të cilët janë zgjedhur nga 4 klube: A, B, C, D. Këtu vlerat e tiparit janë modalitetet A, B, C, D. Plotësohet tabela:

Klubi Efektivi Denduria 148

A

B

C

D

P.sh., për shembullin 1, moda 5 (efektivi 8). Për shembullin 2, klasa modale [169-173[ (efektivi). Për shembullin 3, moda A (efektivi 7). Përkufizimi 2: Mesorja është vlera që e ndan vargun e vlerave të tiparit (pasi është renditur nga vlera më e vogël deri te më e madhja) në dy pjesë të barabarta. P.sh.: Te shembulli i parë, meqenëse kemi 40 vlera, atëherë mesorja është ndërmjet vlerës 20 e 21 që është 6 (Me = 6). Për shembullin 2, mesorja do të merret mesi i klasës ndërmjet vlerës 30-të e 31, që është te klasa 4, mesi i saj 171 (Me = 171). Të dhënat statistikore kanë si karakteristikë edhe mesataren (kur tipari është sasior) 6 � 4 + 8 � 5 + 7 � 6 + 7 � 7 + 4 � 8 + 5 � 9 + 3 �10 për rastin 1: x= = 6, 55 40


Pasi plotësohen tabelat përkufizohet klasa modale për të dhënat që grupohen në klasa. Përkufizimi 1: Modë (klasë modale) quhet ajo vlerë e tiparit (klasë) që ka efektivin më të madh.

Për rastin e 2 merret mesi i klasës: 7 �159 + 9 �163 + 12 �167 + 15 �171 + 13 �175 + 4 �178 = 161 60 Mësuesi/ja jep paraqitjen me diagram me shtylla: Për shembullin e parë: shtyllat janë drejtkëndësha, ku baza e drejtkëndëshit ka mesin në vlerën e të parit dhe lartësinë sa efektivi (bazat e drejtkëndëshit janë të barabarta). . x=

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 4

!

5

6

7

8

9

10

Detyrë shtëpie. Studio një shpërndarje statistikore (p.sh., temperaturën në çdo orë të ditës).

149


Mësimi 10.2 Tema: Shumëkëndëshi i shpërndarjes. Kurba e Gausit Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të paraqitë grafikisht një shpërndarje statistikore të ndarë në klasa (histogrami). Të ndërtojë shumëkëndëshin statistikor. II. Të ndërtojë histogramin për efektivat e grumbullimit. Të ndërtojë kurbën e Gausit. III. Të interpretojë të dhënat nga shumëkëndëshi statistikor (kurba e Gausit). Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me grafikë.

Metodat që rekomandohen: 1. Punë e udhëhequr. 2. Punë grupi. 3. Analizë problemore.

Zhvillimi i temës së re: Punë përgatitore. Merrni shembullin 11 dhe ndërtoni këtë tabelë.

Klasa

Efektivi

Efektivi i grumbulluar

Denduria e grumbulluar

Për të ndërtuar histogramin veprojmë kështu: Në boshtin e x-ve vendosim klasat me të njëjtën gjatësi, ku kufiri i djathtë i çdo klasë i takon klasës pasardhëse (kujdes figura 1, faqe 218, është gabim) dhe lartësia e çdo drejtkëndëshi është sa efektivi. Në ndryshim nga diagrami me shtylla te histogrami drejtkëndëshat nuk janë të ndarë. Shiko figurën. 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

157 161 165 169 173 177

150

180

Klasa

!

Detyrë shtëpie. Ushtrimi 1, faqe 219.

Mësimi 10.3 Tema: Përdorimi i mesatares, mesores, modës Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të evidentojë dallimet ndërmjet tyre. II. Të dallojë përparësitë e mesatares. III. Të gjejë modën, mesoren dhe mesataren në një shpërndarje statistikore.


Shumëkëndëshi i formuar nga bashkimi i pikave të mesit të bazës së sipërme quhet shumëkëndëshi statistikor. Nëse këtij shumëkëndëshi (vijës së thyer) i japim formë të lakuar (shih figurën, faqe 219), kjo quhet kurba e Gausit.

Metodat që rekomandohen: Mjete ndihmëse: 1. Mësimdhënia e drejtpërdrejtë. 1. Teksti Matematika 9. 2. Punë individuale. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela, grafikë të ndryshëm mbi shpërndarjet. Zhvillimi i temës së re: Punë përgatitore. Mësuesi/ja duhet të theksojë karakteristikat: Moda është pak e përdorshme, është vetëm një vlerë e vargut, megjithëse është vlera më e shpërndarë në varg. Mesorja ka përparësi më tepër se mesatarja, sepse gjendet shpejt, por ka mangësi. Ajo merr parasysh vendndodhjen dhe nuk mund të interpretohet lehtë. Mesatarja është më e përdorshmja, megjithatë ka vështirësi në llogaritje dhe është e ndryshme nga vlerat: më e vogël dhe më e madhe. Në llogaritjen e saj përdoren të gjitha të dhënat. Punë individuale. Jepet për nxënësit ushtrimi 11, faqe 220.

!


151


Mësimi 10.4 Tema: Karakteristikat e shpërndarjes Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë kuptimin e amplitudës dhe ta llogaritë atë. II. Të llogaritë shmangien mesatare absolute. III. Të llogaritë shmangien mesatare katrore. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela grafike. Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja fillon me punë përgatitore. Kujdes! Duhet të dalë me vëmendje amplituda. Përveç mesores, kuartileve, të jepet kuptimi i ndryshesës ndërkuartilore. Me e =

n1 x1 − x + n2 x 2 − x + ... + nk xk − x N

P.sh.: për grupin e parë është e =

!

x mesatarja.

11 + 2 �2 + 4 �1 + 3 � 4 + 6 �1 , e = 3,1 10

n1( x1 − x )2 + n2 ( x 2 − x )2 + ... + nk xk − x

Kurse: σ = mesatare katrore. 2

, ku

N

2

quhet shmangia


Mësimi 10.5 Tema: Probabiliteti i ngjarjes Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë probabilitetin. II. Të dallojë hapësirën e rezultateve në një provë të rastit. Të dallojë ngjarjen në një hapësirë rezultatesh. III. Të gjejë elementet e një hapësire rezultatesh në një provë të rastit. Të gjejë elementet e ngjarjes në një provë të rastit. Të gjejë probabilitetin e një ngjarjeje.

152

Metodat që rekomandohen: 1. Punë e udhëhequr. 2. Punë në grup. 3. Organizuesit grafikë. 4. Punë individuale.


Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Skema për gjetjen e hapësirës së rezultateve (faqe 223).

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja rikujton nga klasa e 8-të, duke punuar më pas në formën e punës në grup: shembulli 1. Nxënësit punojnë shembullin 2 me anë të organizuesit grafik. Tregoni hapësirën e rezultateve, figura 1, faqe 223. Gjeni P(A) = 1 (shiko faqen 224). 3 Si punë individuale merret ushtrimi i punës së pavarur dhe ushtrimi 2, faqe 224.

!


Mësimi 10.6 Tema: Ngjarje të papajtueshme Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë ngjarjen e kundërt dhe atë të papajtueshme. II. Të gjejë probabilitetin e një ngjarjeje të kundërt. III. Të zbatojë metodën e tabelës (pemës) për hapësirën e rezultateve. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9.

Metodat që rekomandohen: 1. Punë e udhëhequr. 2. Punë individuale.

Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja e fillon orën e mësimit me punë përgatitore. Duhet të dalë kuptimi i ngjarjeve të papajtueshme dhe ngjarjes së kundërt. Të gjendet probabiliteti i ngjarjes A dhe A në rastin e shembullit 1. Punë e udhëhequr, punohet shembulli 1. Punë individuale, nxënësit merren me ushtrimin e punës së pavarur.

!


153

Libër për mësuesin “Matematika 9” - albas.al

Recommend Documents