materi, soal, dan pembahasan ... - siswijaya.tripod.com

Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)

PANDUAN MATERI UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2004/2005

SMA/MA

MATEMATIKA PROGRAM STUDI IPA

DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL BADAN PENELITIAN DAN PENGEMBANGAN PUSAT PENILAIAN PENDIDIKAN ©

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan


KATA PENGANTAR Dalam rangka sosialisasi kebijakan dan persiapan penyelenggaraan Ujian Nasional dan Ujian Sekolah/Madrasah Tahun Pelajaran 2004/2005, Pusat Penilaian Pendidikan Balitbang Depdiknas menyiapkan panduan materi untuk setiap mata pelajaran yang diujikan pada Ujian Nasional dan Ujian Sekolah. Panduan tersebut mencakup: 1. Gambaran Umum Format dan Bentuk Ujian 2. Standar Kompetensi Lulusan (SKL) dan Ruang Lingkup Materi 3. Contoh Spesifikasi Soal 4. Pedoman Penskoran Panduan ini dimaksudkan sebagai pedoman bagi sekolah/madrasah dalam mempersiapkan penyelenggaraan Ujian Nasional dan Ujian Sekolah, serta sebagai informasi dan acuan bagi peserta didik, guru, dan pihak-pihak terkait dalam menghadapi Ujian Nasional dan Ujian Sekolah/Madrasah. Semoga panduan ini digunakan sebagai acuan oleh semua pihak yang terkait dalam penyelenggaraan Ujian Nasional dan Ujian Sekolah Tahun Pelajaran 2004/2005. Jakarta, Januari 2005 Kepala Pusat Penilaian Pendidikan, Balitbang Depdiknas

Bahrul Hayat, Ph.D. NIP. 131 602 652

DEPDIKNAS

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

i


DAFTAR ISI Halaman Kata Pengantar ........................................................................................................... Daftar Isi ....................................................................................................................

i ii

Gambaran Umum....................................................................................................... Standar Kompetensi Lulusan .....................................................................................

1 2

Ruang Lingkup dan Ringkasan Materi ......................................................................

4

•

Standar Kompetensi Lulusan 1 ......................................................................

4

•


25

•


36

•


42

•


49

•


55

•


62

•


79

DEPDIKNAS


ii


GAMBARAN UMUM •

Pada ujian nasional tahun pelajaran 2004/2005, bentuk tes Matematika tingkat SMA/MA berupa tes tertulis dengan bentuk soal pilihan ganda, sebanyak 30 soal dengan alokasi waktu 120 menit.

•

Acuan yang digunakan dalam menyusun tes ujian nasional adalah kurikulum 1994 beserta suplemennya, dan standar kompetensi lulusan.

•

Materi yang diujikan untuk mengukur kompetensi tersebut meliputi: eksponen, logaritma, persamaan eksponen, persamaan logaritma, persamaan kuadrat, pertidaksamaan kuadrat, sistem persamaan liniear, matriks, program liniear, vektor, notasi sigma, barisan dan deret bilangan, fungsi komposisi, fungsi invers, suku banyak, dan teorema sisa, lingkaran ellips, parabola, hiperbola, transformasi, bangun ruang, ukuran pemusatan, ukuran penyebaran, peluang, fungsi trigonometri, persamaan dan pertidaksamaan trigonometri, logika matematika, limit, diferensial, dan integral.

DEPDIKNAS


1


Standar Kompetensi Lulusan Standar Kompetensi Lulusan (SKL) 1. Siswa mampu melakukan operasi hitung aljabar, menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan, serta menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.

Ruang Lingkup Materi • • • • • • • • •

Bentuk pangkat dan akar Eksponen dan logaritma Persamaan kuadrat Pertidaksamaan kuadrat Sistem persamaan linear dan kuadrat Program linear Matriks Vektor Suku banyak

2. Siswa mampu menyatakan dan mengkaji • hubungan antara dua himpunan yang dapat • dirumuskan sebagai fungsi atau barisan • bilangan, serta menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.

Fungsi linear dan fungsi kuadrat Fungsi komposisi dan fungsi invers Barisan dan deret

3. Siswa mampu memahami sifat dan konsep • kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang, dan mampu menghitung unsur-unsur yang terkait dengan sudut, garis dan bidang dalam ruang, serta menggunakannya untuk menyelesaikan masalah.

Ruang dimensi tiga

4. Siswa mampu mengolah, menyajikan, • menafsirkan data, dan menggunakan kaidah • pencacahan untuk menentukan nilai peluang kejadian, serta menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.

Statistika Peluang

5. Siswa mampu memahami konsep dan • mampu menghitung unsur-unsur yang terkait dengan segitiga, khususnya sudut dan identitas trigonometri, serta menggunakannya untuk menyelesaikan masalah.

Trigonometri

6. Siswa mampu memahami dasar-dasar • logika dan mampu menarik kesimpulan dari serangkaian premis yang diberikan.

Logika matematika

DEPDIKNAS


2


7. Siswa mampu memahami konsep irisan • kerucut dan sifat-sifatnya, efek transformasi • serta mampu menggunakannya untuk menyelesaikan masalah.

Irisan kerucut Transformasi

8. Siswa mampu memahami konsep dan • mampu menghitung limit fungsi di suatu • titik, turunan, dan integral. •

Limit Turunan Integral

DEPDIKNAS


3


RUANG LINGKUP DAN RINGKASAN MATERI

STANDAR KOMPETENSI LULUSAN 1 Siswa mampu melakukan operasi hitung aljabar, menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan, serta menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.

Ruang Lingkup • • • • • • • • •

Bentuk pangkat dan akar Eksponen dan logaritma Persamaan kuadrat Pertidaksamaan kuadrat Sistem persamaan linear dan kuadrat Program linear Matriks Vektor Suku banyak

Ringkasan Materi I. 1. Eksponen, Logaritma, persamaan eksponen, persamaan logaritma. A. Sifat-sifat eksponen p

q

1. a × a = a

p+q

2. a p : a q = a p − q q 3.  a p  = a p .q  

p

ap a 5.   = p b b 6. a0 = 1 7. a -p =

1

ap p

4.

DEPDIKNAS

(a.b )

p

= a p .b p

q p a = aq 8.


4


B. Sifat-sifat logaritma 1. a log b + a log c = a log bc b 2. a log b − a log c = a log c a a n 3. log b = n log b

4. a log b × b log c = a log c c log b a 5. log b = c log a C. Bentuk persamaan eksponen 1. Jika a f ( x ) = 1 maka f ( x ) = 0 2. Jika a f ( x ) = a p maka f ( x ) = p

3. Jika a f ( x ) = a g ( x ) maka f ( x ) = g ( x ) 4. Persamaan eksponen yang dapat dikembalikan ke persamaan kuadrat.

D. Pertidaksamaan eksponen 1. Untuk 0 < a < 1 a. Jika a f ( x ) ≥ a g ( x ) maka f ( x ) ≤ g ( x ) b. Jika a f ( x ) ≤ a g ( x ) maka f ( x ) ≥ g ( x ) 2. Untuk a > 1 a. Jika a f ( x ) ≥ a g ( x ) maka f ( x ) ≥ g ( x ) b. Jika a f ( x ) ≤ a g ( x ) maka f ( x ) ≤ g ( x ) E. Bentuk persamaan logaritma 1. Jika a log f ( x ) = a log p maka f ( x ) = p 2. Jika a log f ( x ) = a log g( x ) maka f ( x ) = g (x ) dengan syarat : f ( x ) > 0 dan g (x ) > 0 3. Persamaan logaritma yang dapat dikembalikan ke persamaan kuadrat. F. Pertidaksamaan logaritma 1. Untuk 0 < a < 1 a. Jika a log f ( x ) ≥ a log g( x ) maka f ( x ) ≤ g ( x ) b. Jika a log f ( x ) ≤ a log g( x ) maka f ( x ) ≥ g ( x ) 2. Untuk a > 1 a. Jika a log f ( x ) ≥ a log g( x ) maka f ( x ) ≥ g ( x )

b. Jika a log f ( x ) ≤ a log g( x ) maka f ( x ) ≤ g ( x ) dengan syarat : f ( x ) > 0 dan g ( x ) > 0 DEPDIKNAS


5


Latihan dan Pembahasan Contoh: 1. Nilai x yang memenuhi persamaan 4 x + 3 = 2 9 9 c. e. a. − 5 5 5 2 4 d. b. − 5 5

4 x +5 8 adalah ….

Pembahasan : 4 4 x + 3 = 8 x +5 x +5 x+3 2 3 4 2 = 2 3x + 15 2x + 6 = 4 5x = −9 9 x = − 5

( )

( )

Kunci : A

Contoh: 2. Himpunan penyelesaian 2 log( x 2 − 3x + 2) < 2 log(10 − x) , x ∈ R adalah …. a. { x | −2 < x < 1 atau 2 < x < 4 } b. { x | x < 1 atau x > 2 } c. { x | −2 < x < 4 } d. { x | x > 10 } e. { }

DEPDIKNAS


6


syarat : ⊗ x 2 − 3x + 2 > 0

Pembahasan : 2log( x 2 − 3 x + 2 ) < 2log( 10 − x ) x 2 − 3x + 2 < 10 − x

(x − 2) (x − 1) > 0

x 2 − 2x − 8 < 0 (x − 4) (x + 2) < 0 −2< x< 4 −2< x< 4

x < 1 atau x > 2 ⊗ 10 − x > 0 x < 10 -2

4

x < 1 atau x > 2 1

x < 10

2

10

− 2 < x < 1 atau 2 < x < 4

Kunci : A 2 3. Nilai x yang memenuhi 3 x − 3 x + 4 < 9 x −1 adalah …. c. − 3 < x < 2 e. − 1 < x < 2 a. 1 < x < 2 d. − 2 < x < 3 b. 2 < x < 3

Pembahasan : 2 3 x − 3 x + 4 < 9 x −1 2 3 x − 3 x + 4 < 3 2(x − 1) x 2 − 3x + 4 < 2 x − 2 x 2 − 5x + 6 < 0 (x − 2)(x − 3) < 0 2< x<3

Kunci : B 2 4. Jika x1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan :  3log x  − 3.3 log x + 2 = 0 ,   maka x1 . x 2 = …. a. 2 c. 8 e. 27 b. 3 d. 24

DEPDIKNAS


7


2 Pembahasan :  3log x  − 3.3 log x + 2 = 0    3log x − 2  3 log x − 1 = 0    3log x = 2 atau 3log x = 1 x = 9 atau x = 3 x1 . x 2 = 9 . 3 = 27

Kunci : E I. 2. Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat. A. Persamaan Kuadrat

1. Bentuk Umum : ax 2 + bx + c = 0 , a, b, dan c ∈ R dan a ≠ 0 2. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara a. memfaktorkan b. melengkapi kuadrat sempurna − b ± b 2 − 4ac c. menggunakan rumus ABC : x1.2 = 2a 3. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat : ax 2 + bx + c = 0 mempunyai : akar real berlainan jika D > 0

akar real sama jika D = 0 akar tidak real jika D < 0 D adalah diskriminan ax 2 + bx + c = 0 , D = b 2 − 4ac 4. Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat : Akar-akar persamaan ax 2 + bx + c = 0 adalah x dan x . 1

2

b c dan x1 . x 2 = x1 + x 2 = − a a 5. Menyusun persamaan kuadrat yang diketahui akar-akarnya dengan cara : a. perkalian faktor : (x − x1 ) (x − x 2 ) = 0 b. menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar tersebut : x 2 − ( x + x )x + x .x = 0 1

2

1 2

6. Menyusun persamaan kuadrat baru jika akar-akarnya diketahui mempunyai hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat yang diketahui.

DEPDIKNAS


8


B. Pertidaksamaan Kuadrat 1. Bentuk Umum : ax 2 + bx + c < 0 , bisa juga menggunakan tanda >, ≤ atau ≥ , a,b, dan c ∈ R , a ≠ 0 2. Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan menggunakan garis bilangan atau grafik fungsi kuadrat. 3. Pemakaian diskriminan persamaan kuadrat . Menentukan koefisien persamaan kuadrat yang akarnya memenuhi sifat tertentu. misal : akar real, akar tidak real, akar berkebalikan, dan sebagainya.

Latihan dan Pembahasan 1. Jika x1 dan x 2 akar-akar persamaan x 2 + px + 1 = 0 , maka persamaan kuadrat 2 2 yang akar-akarnya + dan x1 + x 2 adalah …. x1 x 2 a. x 2 − 2 p 2 x + 3 = 0 d. x 2 − 3 px + p 2 = 0 b. x 2 + 2 px + 3 p 2 = 0 c. x 2 + 3 px + 2 p 2 = 0

e.

x2 + p2x + p = 0

Pembahasan : Misal akar-akar persamaan kuadrat baru adalah α dan β . 2( x1 + x 2 ) 2 2 + = α = = − 2 p dan β = x1 + x 2 = − p x1 x 2 x1 x2 Jadi persamaan kuadrat baru : (x − α )( x − β) = 0 (x − (− 2 p ))(x − (− p )) = 0 (x + 2 p )(x + p ) = 0 x 2 + 3 px + 2 p 2 = 0 Kunci : C

2. Jika x1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x 2 + x − p = 0 , p konstanta x x positif, maka 1 + 2 = …. x 2 x1 1 1 1 c. 2 − e. 2 + a. − 2 − p p p 1 1 b. −2 d. p p

DEPDIKNAS


9


Pembahasan : x 2 + x 2 2 ( x1 + x 2 )2 − 2 x1 x 2 1 + 2 p x1 x 2 + = 1 = = x 2 x1 x1 x 2 x1 x 2 −p 1 = − −2 p Kunci : A

3. Persamaan kuadrat x 2 + (m − 2)x + 9 = 0 mempunyai akar-akar nyata. Nilai m yang memenuhi adalah …. a. m ≤ −4 atau m ≥ 8 c. m ≤ −4 atau m ≥ 10 e. − 8 ≤ m ≤ 4 b. m ≤ −8 atau m ≥ 4 d. − 4 ≤ m ≤ 8 Pembahasan : Persamaan kuadrat mempunyai akar-akar nyata jika D ≥ 0 b 2 − 4ac ≥ 0

(m − 2)2 − 4.1.9 ≥ 0 m 2 − 4m + 4 − 36 ≥ 0 2

m − 4m − 32 ≥ 0 (m − 8)(m + 4) ≥ 0 m ≤ −4 atau m ≥ 8

++

++ -4

8

Kunci : A

4. Persamaan x 2 (1 − m ) + x(8 − 2m ) + 12 = 0 mempunyai akar kembar, maka nilai m = …. a. − 2 c. 0 e. 2 3 3 b. − d. 2 2 Pembahasan : Persamaan kuadrat mempunyai akar kembar jika D = 0 D=0 b 2 − 4ac = 0

(8 − 2m )2 − 4(1 − m ) .12 = 0 64 − 32m + 4m 2 − 48 + 48m = 0 4m 2 + 16m + 16 = 0

m 2 + 4m + 4 = 0 (m + 2)2 = 0 m = −2

Kunci : A

DEPDIKNAS


10


I. 3. Sistem Persamaan Linear.

Bentuk Umum : A. Sistem Persamaan Linear 2 peubah a1 x + a 2 y = a3   b1 x + b2 y = b3 B. Sistem Persamaan Linear 3 peubah a1x + a2 y + a3 z = a4   b1x + b2 y + b3 z = b4 c x +c y +c z = c 2 3 4  1 C. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear

Dengan cara : 1. Substitusi 2. Eliminasi 3. Determinan 4. Matriks

Latihan dan Pembahasan  x + y =1  1. Himpunan penyelesaian :  y + z = 6 2 x + y + z = 4  adalah {(x , y , z )} . Nilai dari x + z = …. c. 1 e. 3 a. −5 b. −3 d. 2

Pembahasan : x + y =1 y+z =6 x − z = −5

y+z =6 2x + y + z = 4 − 2x = 2 x = −1

x − z = −5 z = −1 + 5 = 4 ∴ x + z = −1 + 4 = 3

Kunci : E

DEPDIKNAS


11


5 x +  2. Himpunan penyelesaian sistem persamaan :  3 −  x adalah {(x0 , y 0 )}. Nilai x0 − y 0 = …. 8 2 a. 8 c. e. 15 15 6 b. 2 d. 15 Pembahasan : 5 4 + = 13 ×1 x y

3 2 − = 21 x y

×2

4 = 13 y 2 = 21 y

5 4 + = 13 x y 6 4 − = 42 x y 11 = 55 x 1 11 1 x= = → xo = 55 5 5

3 2 − = 21 x y 2 = 15 − 21 = −6 y 2 1 1 y= = − → yo = − −6 3 3 3+5 8 1 1 = Nilai x0 − y 0 = − (− ) = 5 3 15 15 Kunci : C I. 4. Program linear

Program linear adalah suatu metode untuk mencari nilai optimum suatu bentuk linear (bentuk atau fungsi obyektif atau fungsi tujuan) pada daerah himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear. Nilai optimum tersebut dapat ditentukan dengan cara : 1. Menggambar daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear. 2. Menentukan koordinat titik-titik sudut pada daerah tersebut. 3. Menentukan nilai optimum bentuk linear pada titik-titik sudut tersebut.

DEPDIKNAS


12


Latihan dan Pembahasan 1. Nilai minimum fungsi objektif (5 x + 10 y ) pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan yang grafik himpunan penyelesaiannya disajikan pada daerah terasir gambar di bawah adalah…

Y a. b. c. d. e

32 24

400 320 240 200 160

16

0

16

36

X

48

Pembahasan :

Y

32 24 16

Hp

A B

0

16

36

g1

48

g2

X g3

Persamaan garis yang melalui (16, 0) dan (32, 0) 2 x + y = 32 ……. ( garis g1 ) Persamaan garis yang melalui (36, 0) dan (0, 24) 2 x + 3 y = 72 ……( garis g 2 ) Persamaan garis yang melalui (48, 0) dan (0, 16) x + 3 y = 48 ……..( garis g 3 )

DEPDIKNAS


13


A adalah titik potong garis g1 dan g 2 2x + y = 32 2x + 3 y = 72 −2 y = −40 y = 20

B adalah titik potong garis g 2 dan g 3 2x + 3 y = 72 x + 3 y = 48 x = 24

2 x + y = 32 2 x = 12 x=6 Koordinat titik A (6, 20)

x + 3 y = 48 3 y = 24 y =8 Koordinat titik B (24, 8)

Koordinat titik sudut pada daerah penyelesaian (0, 32), (6, 20), (24, 8), dan (48, 0) Nilai optimum : Bentuk obyektif : 5x + 10y Pada titik (0, 32) (6, 20) (24, 8) (48, 0)

5.0 + 10.32 = 320 5.6 + 10.20 = 230 5.24 + 10.8 = 200 5.48 + 10.0 = 240

Nilai minimum

∴ Nilai minimum = 200 Kunci : D

2. Untuk menambah penghasilan, seorang ibu setiap harinya memproduksi dua jenis kue untuk dijual. Setiap kue jenis I modalnya Rp 200,00 dengan keuntungan 40%, sedangkan setiap kue jenis II modalnya Rp 300,00 dengan keuntungan 30%. Jika modal yang tersedia setiap harinya adalah Rp 100.000,00 dan paling banyak hanya dapat memproduksi 400 kue, maka keuntungan terbesar yang dapat dicapai ibu tersebut dari modalnya adalah …. a. 30% c. 34% e. 40% b. 32% d. 36% Pembahasan : Misal banyaknya kue jenis I = x buah dan kue jenis II = y buah 200 x + 300 y ≤ 100000 x + y ≤ 400 Sistem pertidaksamaan linear : x≥0 y≥0 40 × 200 = 80 Laba kue I = 40% = 100 30 Laba kue II = 30% = × 300 = 90 100 ⊗ Bentuk obyektif : 80 x + 90 y

DEPDIKNAS


14


Daerah himpunan penyelesaian : Garis 2 x + 3 y = 1000 Titik potong dengan sumbu X adalah (500, 0) dan sumbu Y adalah (0,

1000 ) 3

Garis x + y = 400 Titik potong dengan sumbu X adalah (400, 0) dan sumbu Y adalah (0, 400) Titik potong : Y 2 x + 3 y = 1000 × 1 x + y = 400 × 2 400

1000 3 (200, 200)

Hp 0

400

500

X

2 x + 3 y = 1000 2 x + 2 y = 800 y = 200 x = 200

(200, 200)

Bentuk obyektif : 80x + 90y Koordinat titik-titik sudut dan nilai optimum bentuk obyektif (0, 0) 800.0 + 90.0 = 0 (400, 0) 80.400 + 90.0 = 32000 (200, 200) 80. 200 + 90.200 = 34000 maksimum 1000 1000 ) 80.0 + 90. = 30000 (0, 3 3 34000 Laba maksimum Rp 34.000,0 = × 100% = 34% 100000 Kunci : C

3. Nilai maksimum fungsi sasaran z = 6x + 8y dari sistem pertidaksamaan : 4 x + 2 y ≤ 60 2 x + 4 y ≤ 48 x ≥ 0 , y ≥ 0 adalah …. a. 120 c. 116 e. 112 b. 118 d. 114 Pembahasan : Daerah himpunan penyelesaian : garis 4 x + 2 y = 60 Titik potong dengan sumbu X adalah (15, 0) dan sumbu Y adalah (0, 30) garis 2 x + 4 y = 48 Titik potong dengan sumbu X adalah (24, 0) dan sumbu Y adalah (0, 12)

DEPDIKNAS


15


Y 30

12

0

15

24

X

Titik potong garis 4 x + 2 y = 60 × 1 1 2 x + 4 y = 48 × 2 4 x + 2 y = 60 x + 2 y = 24 3 x = 36 x = 12 y=6 (12, 6)

⊗ Bentuk obyektif : z = 6 x + 8 y Koordinat titik sudut- titik sudut : (0, 0), (15, 0), (0, 12), (12, 6) Nilai optimum : z = 6 x + 8 y pada titik : (0, 0) z = 6.0 + 8.0 = 0 (15, 0) z = 6.15 + 8.0 = 90 (0, 12) z = 6.0 + 8.12 = 96 maksimum (12, 6) z = 6.12 + 8.6 = 120

Kunci : A I. 5. Matriks Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi panjang yang diatur dalam baris dan kolom.

a b   Misal : Matriks A =  c d  e f   Matriks B =  g h a c   1. Transpose Matriks A = A t =  b d  a b   e f   a ± e b ± f   ±   =   2. A ± B =   c d   g h  c ± g d ± h 3. k ⋅ A = k  a b  =  ka kb  , k = konstanta  c d   kc kd   a b  e f   ae + bg af + bh    =   4. A ⋅ B =   c d  g h   ce + dg cf + dh  5. Determinan matriks A = Det. A = A = ad − bc Matriks A disebut Matriks Singular jika det. A = 0

DEPDIKNAS


16


1  d − b   ad − bc  − c a  1 1  , I adalah matriks identitas 7. A . I = I . A = A, I =   0 0 8. A . A -1 = A -1 . A = I

6. Invers Matriks A = A −1 =

-1

9. Jika AX = B, maka X = A . B Jika XA = B, maka X = B . A X adalah matriks

-1

Latihan dan Pembahasan  2 0 1 2  dan B =   . 1. Diketahui matriks A =  − 1 3 0 2     Matriks C yang memenuhi ABC = I dengan I matriks identitas adalah ….  2 4 1  2 4 1  2 4      c. e.  a. 4  −1 4 6  −1 4  −1 4  1  b.  6 − 1   12

1  3 1  3

1  d.  3 1   12

1 −  3 1   6 

Pembahasan :

ABC = I  2 0    − 1 3

1  0 2  −1

2 1  C =  2 0 4 1  C =  4 0

0  1  0  1 

−1  2 4 1 0    C =   −1 4 0 1 1  4 − 4 1 0    = 12  1 2   0 1 

1  = 3 1   12

1 −  3 1   6 

Kunci : D DEPDIKNAS


17


4 − 9   , B = 2. Diketahui matriks A =  3 − 4 p matriks A – B = C −1 , nilai 2p = …. a. –1 b. –

c.

1 2

1 2

 5 p − 5   , dan C = 3   1

 − 10 8    . Jika  − 4 6 p

e. 2

d. 1

Pembahasan : A – B = C −1

4 − 9    – 3 − 4p 4 − 5p   2

−1  5 p − 5   − 10 8    =  3   − 4 6 p   1 −4  6 p − 8  1    = − 4 p − 3 − 60 p + 32  4 − 10  −8 –4 = − 60 p + 32 –8 = 240p – 128 240p = 120 1 p= 2 2p = 1

Kunci : D

 4 3   a b  16 3   ×   =   . 3. Diketahui hasil kali matriks  c d 9 7 1 2       Nilai a+b+c+d = …. a. 6 c. 8 e. 10 b. 7 d. 9

DEPDIKNAS


18


Pembahasan :

 4 3   a b  16 3      =   1 2  c d   9 7  a b  1  2 − 3  16 3       =   c d  5 −1 4   9 7  a b  1  5 − 15     =   c d  5  20 25  a = 1, b = -3, c = 4, dan d = 5 a+b+c+d=1–3+4+5=7 Kunci : B I.6. Vektor

1. Vektor adalah besaran yang mempunyai panjang (besar) dan arah. 2. Jika suatu titik A( a1 , a 2 , a3 ) dalam ruang (juga pada bidang) dan O titik pangkal,  a1    maka OA = a adalah vektor posisi dari titik A dan dapat ditulis OA = a =  a 2  atau a   3

OA = a = a 1 i + a 2 j + a 3 k 3. Vektor dapat dijumlahkan dengan aturan jajar genjang atau aturan segitiga. A (a1, a2, a3) a

0

b

B (b1, b2, b3)

 b1 − a 1  AB =  b 2 − a 2  dan AB =  b3 − a 3 

DEPDIKNAS

OA + AB = OB AB = OB − OA AB = b − a

(b1 − a1 )2 + (b2 − a2 )2 + (b3 − a3 )2


19


 a1   b1      4. Jika a =  a 2  dan b =  b2  , maka: a  b   3  3

 a1 + b1    a + b =  a 2 + b2  a +b  3   3

(i).

(ii). Untuk m = bilangan real (skalar)  a1   m a1      m a = m  a2  =  m a2  a  m a  3  3  5. Jika OA = a = a 1 i + a 2 j + a 3 k , OB = b = b1 i + b 2 j + b 3 k dan P terletak pada AB dengan perbandingan :

(

AP : PB = m : n atau m PB = n AP

maka : OP = p =  a1   b1      6. Jika a =  a 2  dan b =  b 2  , maka a  b   3  3

)

n OA + m OB m+n

a . b = a1 b1 + a 2 b2 + a3 b3

( )

b cos ∠ a , b

atau a . b = a

( )

a 1 b1 + a 2 b 2 + a 3 b 3

cos ∠ a , b =

( ) cos ∠ (a , b ) = –1 cos ∠ (a , b ) = 0

Untuk cos ∠ a , b = 1

2

2

a1 + a 2 + a 3

2

2

2

b1 + b 2 + b 3

2

a dan b berimpit searah a dan b berimpit berlawanan a ⊥ b a .b = 0

Jika c = proyeksi vektor a pada vektor b a .b maka c = b . (Proyeksi vektor) 2 b

7.

a c b

dan

c =

a .b b

. (Proyeksi skalar)

Contoh: 1 5  10        Diketahui vektor a =  2  , b =  4  , dan c =  6  , maka 2a − 3b + c = ….  4 0  − 2      

DEPDIKNAS


20


 2  − 15   10        Jawab : 2a =  4  , − 3b =  − 12  , dan c =  6  8  0  −2         2 − 15 + 10   − 3      2a − 3b + c =  4 − 12 + 6  =  − 2   8 + 0 − 2   6    

Latihan dan Pembahasan 1. Diketahui titik A(5, 7, 2) dan B(−3, −1, 6). Titik D membagi AB di luar dengan perbandingan −1 : 3. Panjang AD = …. 30 c. 36 d. 42 a. 34 d. 38 b. Pembahasan :

−b+3a AD : DB = −1 : 3, sehingga d = = −1+ 3

 5  − 3     −  −1 + 3  7   2  6     2

 9    =  11  0   

 9   5  4       AD =  11 −  7  =  4   0   2  − 2       AD AD = 16 + 16 + 4 = 36

Kunci : C

2. Jika vektor a dan vektor b membuat sudut 60 0 , a = 4 dan b = 10 , maka

(

)

a . b + a = ….

a. 23 b. 24

DEPDIKNAS

c. 36 d. 24 3

e. 36 3


21


Pembahasan : a . b + a = a .b + a . a

( )

= a

b cos 60 0 + a

2

1 2 = 4 . 10 . + 4 2 = 36 Kunci : C

3. Proyeksi skalar vektor a pada b adalah 6.  x   − 2     Vektor a =  − 4  dan b =  1  serta a = 89 , maka nilai x = ….  y   2     a. –6 b. –3

c. 3 d. 6

Pembahasan: − 2x − 4 + 2 y 6= 4 +1+ 4

e. 8

18 = −2 x − 4 + 2 y 22 = −2 x + 2 y 11 = − x + y

y = x + 11

a = 89

89 = x 2 + 16 + y 2 89 = x 2 + 16 + (11 + x )2

89 = x 2 + 16 + 121 + 22 x + x 2 2 x 2 + 22 x + 48 = 0

x 2 + 11x + 24 = 0 ( x + 3) ( x + 8 ) = 0 x = –3 atau x = –8

Kunci : B

I. 7. Suku banyak Bentuk Umum Suku banyak : a n x n + a n −1 x n − 1 + a n − 2 x n − 2 +….+ a1 x + a0 a = konstanta n = bilangan cacah Suku banyak sering dinyatakan dengan f (x ) Nilai suku banyak f ( x ) untuk x = k adalah f (k )

DEPDIKNAS


22


Teorema Sisa ⊗ Jika suku banyak f (x ) dibagi (x − a ) maka sisanya adalah f (a ) . Suku banyak f (x ) dapat ditulis dalam bentuk : f(x) = (x – a) . H(x) + S

(x – a) H(x) S S

= = = =

pembagi hasil bagi sisa f(a)

⊗ Jika f ( x ) dibagi oleh pembagi berderajat n maka sisanya berderajat n –1. Misal : pembagi = fungsi kuadrat Sisa = fungsi linear

Teorema faktor ⊗ Suku banyak f ( x ) mempunyai faktor (x − a ) jika dan hanya jika f (a ) = 0

Latihan dan Pembahasan 1. Jika suku banyak P(x) = 2 x 4 + ax 3 – 3 x 2 + 5x + b dibagi oleh  x 2 − 1   memberi sisa (6 x + 5) maka a . b = …. a. –6 c. 1 e. 8 b. –3 d. 6 Pembahasan : Sisa = S = f(x) = 6x + 5 Pembagi  x 2 − 1 = (x + 1) (x − 1)   dibagi (x + 1) , maka sisa f(–1) = –1 dibagi (x − 1) , maka sisa f(1) = 11 P(x) dibagi (x + 1) sisanya P(–1) = f(–1) = –1 P(x) = 2 x 4 + ax 3 – 3 x 2 + 5 + b

P(–1) = 2 – a – 3 – 5 + b = –1 – a + b = 5 ……….(1) P(x) dibagi (x − 1) sisanya P(1) = f(1) = 11 P(1) = 2 + a – 3 + 5 + b = 11 a + b = 7 ……….(2) Persamaan 1 : – a + b = 5 Persamaan 2 : a + b = 7 2b = 12 DEPDIKNAS


23


b= 6 a= 1 a.b= 1.6 = 6 Kunci : D

2. Diketahui (x + 1) salah satu faktor dari suku banyak : f ( x ) = 2 x 4 – 2 x 3 + px 2 – x – 2. Salah satu faktor yang lain adalah …. a. b.

(x − 2) (x + 2)

c. d.

(x − 1) ( x − 3)

e.

( x + 3)

Pembahasan : Jika (x + 1) faktor dari f (x ) , maka f (− 1) = 0 f ( x ) = 2 x 4 – 2 x 3 + px 2 – x – 2 f (− 1) = 2 + 2 + p + 1 – 2 = 0 p = –3 f ( x ) = 2 x 4 – 2 x 3 + 3x2 – x – 2

-1

2

2

2 2

-2

-3

-1

-2

-2

4

-1

2

-4

1

-2

0

4

0

2

0

1

0

∴ faktor yang lain adalah (x − 2) Kunci : A

DEPDIKNAS


24


STANDAR KOMPETENSI LULUSAN 2 Siswa mampu menyatakan dan mengkaji hubungan antara dua himpunan yang dapat dirumuskan sebagai fungsi atau barisan bilangan, serta menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.

Ruang Lingkup

• Fungsi linear dan fungsi kuadrat • Fungsi komposisi dan fungsi invers • Barisan dan deret Ringkasan Materi II. 1. Notasi Sigma, Barisan Bilangan, dan Deret A. Notasi Sigma Notasi sigma atau ∑ digunakan untuk menyatakan operasi penjumlahan bilangan berurutan. Sifat-sifat Notasi ∑ : n n 1. ∑ i = ∑ p i=m p=m n n 2. ∑ k.i = k ∑ i , k = konstanta i=m i=m n n a −1 3. ∑ i + ∑ k.i = ∑ k.i i =m i=m i=a n+a n−a 4. ∑ (i − a ) = ∑ (i + a ) i =m+a i =m−a n n n 5. ∑ ai ± ∑ bi = ∑ (ai ± bi ) i=m i=m i=m

DEPDIKNAS


25


B. Barisan dan Deret Aritmetika ⊗ Barisan Aritmetika U1 , U 2 , U 3 , … , U n a , a + b , a + 2b , … , a + (n − 1)b ⊗ Deret Aritmetika U1 + U2 + U3 + … + U n a + (a + b) + (a + 2b) + … + (a + (n –1) b)

keterangan : U1 = a = suku pertama b = U2 – U1 = beda U n = a + (n − 1)b = suku ke–n n n S n = {2a + (n − 1)b} = (a + U n ) = Jumlah n suku pertama 2 2 U n = Sn − Sn - 1 C. Barisan dan Deret Geometri ⊗ Barisan Geometri U1 , U 2 , U 3 , … , U n a , ar , ar 2 , … ar n −1 ⊗ Deret Geometri U1 + U2 + U3 + … + U n a + ar + ar 2 + … + ar n −1

keterangan : U1 = a = suku pertama U2 r = = rasio U1 U n = ar n −1 = suku ke–n a r n − 1  , r >1 Sn =  n r −1 a1 − r n   , 0 < r <1 Sn =  n 1− r S n = Jumlah n suku pertama

DEPDIKNAS


26


D. Deret Geometri tak hingga Suatu deret geometri mempunyai jumlah sampai tak hingga jika − 1 < r < 1 , r≠0 a S∞ = 1− r S ∞ = Jumlah sampai tak hingga a = suku pertama r = rasio

Latihan dan Pembahasan 100

100

1. Nilai dari ∑ 2k + ∑ (3k + 2 ) = …. k =1

a. 25450 b. 25520

k =1

c. 25700 d. 50500

e. 50750

Pembahasan : 100

100

k =1 100

k =1

∑ 2k + ∑ (3k + 2 ) = 100

∑ (2k + 3k + 2) = ∑ (5k + 2) = 7 + 12 + 17 + … + 502

k =1

k =1

selanjutnya penjumlahan di atas dapat dicari dengan menggunakan rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika. 7 + 12 + 17 + … + 502 = … a=7 b=5 U n = 502 a + (n − 1)b = 502 7 + (n − 1)5 = 502 7 + 5n − 5 = 502 5n = 500 100

n = 100 (n dapat ditentukan dari indeks atas ∑ ) k =1

1 n(a + U n ) 2 S100 = 50(7 + 502) = 25450 Sn =

Kunci : A

DEPDIKNAS


27


2. Suku kedua suatu barisan geometri adalah 2 dan suku kelima adalah ketujuh adalah …. 34 64 c. a. 84 243 32 34 d. b. 81 243 Pembahasan : U 2 = ar = 2 16 U 5 = ar 4 = 27 U 5 ar 4 8 = = U2 27 ar 8 r3 = 27 ar = 2

e.

16 . Suku 27

32 243

2 3 2 2 3 a = = . =3 r 1 2 r=

6 64 2 U 7 = ar 6 = 3 ⋅   = 243 3

Kunci : C

3. Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah S n = n 2 + aritmetika tersebut adalah …. 1 a. − 5 c. 2 2 1 b. − 2 d. 2 2 Pembahasan :

DEPDIKNAS

e.

5

5 n . Beda dari deret 2

1 2

5 n 2 5 1 S1 = 1 + = 3 = a 2 2 S2 = 4 + 5 = 9 U n = S n − S n −1 U 2 = S 2 − S1 1 1 U2 = 9 − 3 = 5 2 2 Sn = n 2 +


28


1 1 beda = b = U 2 - U1 = 5 − 3 = 2 2 2 Kunci : C

4. Empat bilangan positif membentuk barisan aritmetika. Jika perkalian bilangan pertama dan keempat adalah 46 dan perkalian bilangan kedua dan ketiga adalah 144, maka jumlah keempat bilangan tersebut adalah …. a. 40 c. 98 e. 190 b. 50 d. 100 Pembahasan : Misal bilangan tersebut a , a + b , a + 2b , a + 3b . a (a + 3b ) = 46 a 2 + 3ab = 46

(a + b ) (a + 2b ) = 144

a 2 + 3ab + 2b 2 = 144 46 + 2b 2 = 144 2b 2 = 98 b=7

a 2 + 3ab = 46 a 2 + 21a − 46 = 0 (a + 23)(a − 2) = 0 a=2 ∴ ke-4 bilangan tersebut 2, 9, 16, 23 Jumlah ke-4 bilangan tersebut = 2+9+16+23 = 50

Kunci : B

5.

Pertambahan penduduk suatu kota tiap tahun mengikuti aturan barisan geometri. Pada tahun 1996 pertambahannya sebanyak 6 orang, tahun 1998 sebanyak 54 orang. Pertambahan penduduk pada tahun 2001 adalah …. a. 324 orang c. 648 orang e. 4.374 orang b. 486 orang d. 1.458 orang Pembahasan : U1 = 6 U 3 = 54 U3 ar 2 54 r2 = 9 = = 6 U1 a U 6 = ar 5 = 6 ⋅ 35 = 1.458 orang

r =3

Kunci : D DEPDIKNAS


29


6. Jumlah deret geometri tak hingga adalah 7, sedangkan jumlah suku-suku yang bernomor genap adalah 3. Suku pertama deret tersebut adalah …. 7 4 1 c. e. a. 4 7 4 3 1 d. b. 4 2 Pembahasan :

Misal deret tersebut a , ar , ar 2 , ar 3 , ar 4 , ar 5 , … , ar n −1 S∞ = 7 ar = 31 − r 2    a =7 7(1 − r )r = 31 − r 2    1− r a = 7(1 − r ) 7 r − 7 r 2 = 3 − 3r 2 S∞genap = 3

ar 1− r2

=3

4r 2 − 7 r + 3 = 0

(4r − 3)(r − 1) = 0 3 , r =1 4 3 r= 4 1 7  3 a = 71 −  = 7. = 4 4  4 r=

Kunci : A

DEPDIKNAS


30


II. 2. Fungsi kuadrat, Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers. A. Fungsi Kuadrat 1. Bentuk Umum : f ( x ) = ax 2 + bx + c , a , b dan c ∈ R dan a ≠ 0 2. Grafik fungsi kuadrat disebut parabola, dengan persamaan : y = ax 2 + bx + c

3. Nilai maksimum atau nilai minimum y = ax 2 + bx + c adalah y = −

D 4a

b 2a 4. Persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya : a. mempunyai titik balik maksimum/minimum ( p , q ) adalah y = f ( x ) = α( x − p )2 + q untuk x = −

b. memotong sumbu X di (x1 ,0 ) dan (x 2 ,0 ) adalah y = f ( x ) = α( x − x1 )( x − x 2 )

B. Komposisi Fungsi : 1. Komposisi fungsi adalah pemetaan dua fungsi (lebih) secara berturutan. 2. Notasi Komposisi Fungsi : A

B

f

x

g

y

C z

x ∈ A , y ∈ B , dan z ∈ C f ( x ) = y , g( y ) = z dan h( x ) = z h( x ) = g ( f ( x )) = ( g o f )( x )

h

g o f ( x ) = komposisi fungsi f dilanjutkan dengan fungsi g. 3. Sifat Komposisi Fungsi : f og ≠ go f f o I = I o f = f , I adalah fungsi identitas ( f o g ) o h = f o (g o h )

C. Fungsi Invers A x

B

f

y

f -1

x ∈ A dan y ∈ B

f ( x ) = y , f −1 ( y ) = x f −1 adalah fungsi invers dari f.

Fungsi f mempunyai fungsi invers jika f korespondensi satu-satu. Sifat Fungsi Invers : 1. f o f −1 = f −1 o f = I 2.

DEPDIKNAS

(g o f )−1 =

f −1 o g −1


31


Latihan dan Pembahasan 1. Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum − 2 untuk x = 3 dan untuk x = 0 nilai fungsi itu 16. Fungsi kuadrat itu adalah .... d. f ( x ) = 2 x 2 − 12 x + 16 a. f ( x ) = x 2 + 6 x + 8 b. c.

f (x ) = x 2 − 6 x + 8 f ( x ) = 2 x 2 + 12 x + 16

e.

f ( x ) = 2 x 2 − 12 x − 16

Pembahasan : Fungsi kuadrat dengan nilai minimum − 2 untuk x = 3 adalah f ( x ) = α( x − 3)2 − 2

f (0) = α(0 − 3)2 − 2 = 16 9α = 18 α=2 ∴Fungsi kuadrat f (x ) = 2(x − 3)2 − 2 f ( x ) = 2 x 2 − 12 x + 16

f (0 ) = 16

Kunci : D

2. Nilai maksimum dari fungsi f ( x ) = −2 x 2 + (k + 5)x + 1 − 2k adalah 5. Nilai k yang positif adalah .… a. 1 c. 7 e. 9 b. 5 d. 8 Pembahasan :  b 2 − 4ac  −D  Nilai maksimum adalah y = = − 4a 4a f ( x ) = −2 x 2 + (k + 5)x + 1 − 2k

DEPDIKNAS


32


 b 2 − 4ac   =5 Nilai maksimum : y = −  4a (k + 5)2 − 4(− 2)(1 − 2k )   =5 − 4(− 2) −  k 2 + 10k + 25 + 8 − 16k    =5 −8 k 2 − 6k + 33 = 40 k 2 − 6k − 7 = 0 (k + 1)(k − 7 ) = 0 k = −1 atau k = 7

Kunci : C

3. Diketahui fungsi f ( x ) = 6 x − 3 dan g ( x ) = 5 x + 4 Jika ( f o g )(a ) = 81 maka nilai a = …. a. –2 c. 1 e. 3 b. –1 d. 2 Pembahasan : f ( g (a )) = 81 f (5a + 4 ) = 81 6(5a + 4 ) − 3 = 81 30a = 60 a=2 Kunci : D

4. Diketahui f ( x − 1) =

1 x −1 , x ≠ dan f −1 ( x ) adalah invers dari f ( x ) . 2x − 1 2

Rumus f −1 (2 x − 1) = …. −x−2 1 a. , x≠− 2x + 1 2 − x +1 3 , x≠− b. 4x + 3 4

DEPDIKNAS

x −1 1 , x≠− 2x + 1 2 3 − 2x + 1 d. , x≠− 4x + 3 4

c.


e.

x +1 , x≠2 2x − 4

33


Pembahasan : x −1 f ( x − 1) = 2x − 1 (x + 1) − 1 f (x ) = 2( x + 1) − 1 x f (x ) = 2x + 1

Misal :

f ( x ) = y maka f −1 ( y ) = x x y= 2x + 1

2 xy + y = x 2 xy − x = − y x(2 y −1) = − y

x=

−y 2y −1

−y 2y −1 −x f −1 ( x ) = 2x − 1 − (2 x − 1) f −1 (2 x − 1) = 2(2 x − 1) − 1 − 2x + 1 = 4x − 3 f −1 ( y ) =

Kunci : D

5. Ditentukan g ( f ( x )) = f ( g ( x )) . Jika f (x ) = 2 x + p dan g (x ) = 3 x + 120 , maka nilai p = …. a. 30 c. 90 e. 150 b. 60 d. 120 Pembahasan : g ( f ( x )) = f ( g ( x )) g (2 x + p ) = f (3 x + 120 ) 3(2 x + p ) + 120 = 2(3 x + 120 ) + p 6 x + 3 p + 120 = 6 x + 240 + p 2 p = 120 p = 60 Kunci : B

DEPDIKNAS


34


6. Fungsi f : R → R didefinisikan sebagai f ( x ) = Invers dari fungsi f adalah f −1 ( x ) = …. 4x − 1 2 4x + 1 a. , x≠− c. , x≠ 3x + 2 3 2 − 3x 4x + 1 2 4x − 1 , x≠ d. , x≠ b. 3x − 2 3 3x − 2 Pembahasan :

2 3 2 3

e.

4x + 1 2 , x≠− 3x + 2 3

Misal : f ( x ) = y , maka f −1 ( y = x ) Cara II :

Cara I :

2x − 1 3x + 4 2x − 1 y= 3x + 4 f (x ) =

Menggunakan rumus : ax + b cx + d − dx + b f −1 ( x ) = cx − a 2x − 1 f (x ) = 3x + 4 − 4x − 1 f −1 ( x ) = 3x − 2 4x + 1 f −1 ( x ) = 2 − 3x f (x ) =

3xy + 4 y = 2 x − 1

3xy − 2 x = −4 y − 1 x(3 y − 2 ) = −4 y − 1

− 4y −1 3y − 2 − 4y −1 f −1 ( y ) = 3y − 2 4x + 1 f −1 ( x ) = 2 − 3x

x=

2x − 1 4 , x≠− . 3x + 4 3

Kunci : C

Kunci : C

DEPDIKNAS


35


STANDAR KOMPETENSI LULUSAN 3

Siswa mampu memahami sifat dan konsep kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang, dan mampu menghitung unsur-unsur yang terkait dengan sudut, garis dan bidang dalam ruang, serta menggunakannya untuk menyelesaikan masalah.

Ruang Lingkup

• Ruang dimensi tiga Ringkasan Materi Dimensi Tiga. A. Irisan : Irisan bidang α dengan bangun ruang adalah bidang datar yang dibatasi oleh garis potong-garis potong bidang α dengan sisi-sisi bangun ruang tersebut.

Irisan bidang dapat digambarkan dengan cara : 1. Menggunakan sumbu Afinitas 2. Menggunakan diagonal bidang irisan B. Garis tegak lurus bidang g

Garis g tegak lurus pada bidang α, jika garis g tegak lurus pada dua garis yang berpotongan yang terletak pada bidang α.

h

l

α

C. Jarak 1. Jarak antara dua titik A

B

Jarak titik A dan titik B = panjang ruas garis AB

2. Jarak antara titik dan garis A

B

DEPDIKNAS

Jarak titik A dan garis g = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus g) gg


36


3. Jarak antara titik dan bidang A

Jarak titik A dan bidang α = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus bidang α) B

α

4. Jarak antara dua garis sejajar A

gg

Garis g sejajar h. Jarak garis g dan h = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus g dan h)

hh

B

5. Jarak antara dua garis bersilangan gg

hh

A

Garis g bersilangan dengan garis h. Jarak garis g dan h = panjang ruas garis AB. (AB tegak lurus garis g dan garis h)

B

α

6. Jarak antara garis dan bidang yang sejajar A

gg

Garis g sejajar dengan bidang α. Jarak antara garis g dan bidang α = panjang ruas garis AB. (AB tegak lurus garis g dan bidang α)

B

α

7. Jarak antara dua bidang yang sejajar A

α

β

DEPDIKNAS

Bidang α sejajar dengan bidang β. Jarak bidang α dan bidang β = panjang ruas garis AB. (AB tegak lurus bidang α dan bidang β)

B


37


D. Proyeksi 1. Proyeksi titik pada garis A

Titik B adalah proyeksi titik A pada garis g. (AB tegak lurus g) gg

B

2. Proyeksi titik pada bidang A

Titik B adalah proyeksi titik A pada bidang α. (AB tegak lurus bidang α) B

α

3. Proyeksi garis pada bidang 1. Garis g menembus bidang α B

A

Garis BA menembus bidang α di titik A. Titik B′ adalah proyeksi titik B pada bidang α. Proyeksi garis BA pada bidang α = ruas garis AB′.

B

α

2. Garis g sejajar bidang α

α

A

B

A

B

gg

Titik A dan B pada garis g. Titik A′ dan B′ berturut-turut proyeksi titik A dan B pada bidang α. Proyeksi garis g pada bidang α = ruas garis A′ B′

E. Sudut 1. Sudut antara dua garis yang bersilangan g

hh

α

DEPDIKNAS

gg'

hh'

Garis g dan h bersilangan. ∠ (g, h) = ∠ (g', h) = ∠ (g, h') = ∠ (g', h') dimana g' // g dan h' // h


38


2. Sudut antara garis dan bidang B

A

Garis BA menembus bidang α di titik A. Titik B′ adalah proyeksi titik B pada bidang α, garis AB′ proyeksi AB pada bidang α. ∠ (BA, bidang α) = ∠ (BA, AB′)

B

α

3. Sudut antara dua bidang. α

(α, β) garis potong bidang α dengan bidang β. AB tegak lurus (α, β) BC tegak lurus (α, β) Sudut antara bidang α dan bidang β adalah : ∠ (AB, BC) = ∠ ABC

A

(α, β )

B C

β

Latihan dan Pembahasan 1. Panjang rusuk kubus ABCD. EFGH adalah 6 cm. Jika S adalah titik potong EG dan FH, maka jarak DH ke AS adalah …. a. 2 3 cm c. 3 2 cm e. 6 cm b. 4 cm d. 2 6 cm Pembahasan : H

G

HS tegak lurus DH HS tegak lurus AS Jadi HS = jarak DH ke AS

S E

F D

A

C

2

2

6 + 6 = 72 = 6 2 cm 1 1 HS = HF = . 6 2 = 3 2 cm 2 2

HF =

B

Kunci : C

DEPDIKNAS


39


2.

Pada kubus ABCD. EFGH, jika θ adalah sudut antara bidang ACF dan ACGE, maka sin θ = …. 1 1 1 e. c. 2 6 a. 2 2 2 1 1 b. d. 3 3 3 2 Pembahasan : H

AC adalah garis potong bidang ACF dan ACGE FM tegak lurus AC MN tegak lurus AC Sudut antara bidang ACF dan ACGE adalah ∠ FMN. ∆ FMN siku-siku di N

G N

E

F D

θ

C

M A

B

Misal : AB = a cm FH = a 2 cm 1 NF = a 2 cm 2 Perhatikan : ∆ FBM 1 BF = a cm, MB = a 2 cm 2 2

1  a2 +  a 2  = 2 

3 2 1 a = a 6 2 2 1 a 2 NF 2 1 = = 3 sin ∠ FMN = sin θ = MF 1 3 a 6 2 Kunci : B

MF =

3. Pada kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk 6 cm, jarak titik B ke diagonal ruang AG adalah …. a. 3 6 cm c. 3 3 cm e. 3 cm b. 2 6 cm d. 2 3 cm

DEPDIKNAS


40


Pembahasan : H

G N

E

F P C

D A

AE // CG ∠ (CG, AFH) = ∠ (AE, AFH) AP = proyeksi AE ke AFH ∠ (AE, AFH) = ∠ (AE, AP) = ∠ EAP atau ∠ EAN. EN 3 2 1 = = 2 tan ∠ EAN = AN 6 2

B

Kunci : D

DEPDIKNAS


41



Siswa mampu mengolah, menyajikan, menafsirkan data, dan menggunakan kaidah pencacahan untuk menentukan nilai peluang kejadian, serta menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.

Ruang Lingkup

• Statistika • Peluang Ringkasan Materi III. 1. Statistika. Rumus ukuran pemusatan (rata-rata, modus, median, dan kuartil) dan ukuran penyebaran (simpangan kuartil, simpangan rata-rata, ragam antar varians, dan simpangan baku)

A. Untuk data tunggal : Dari data : x1 , x 2 , x3 , … , x n x + x 2 + ....x n 1 n 1. Rata-rata = Mean = x = 1 = ∑ xi n n i =1 2. Modus adalah ukuran yang paling banyak muncul. 3. Median adalah ukuran yang membagi data terurut menjadi 2 bagian sama banyak. 4. Kuartil adalah ukuran yang membagi data terurut menjadi 4 bagian sama banyak. Kuartil terdiri atas Q1, Q2, dan Q3. Q2 = median 5. Jangkauan = ukuran terbesar – ukuran terkecil. 6. Jangkauan antar kuartil = Q3 – Q1 7. Jangkauan semi interkuartil = Simpangan kuartil 1 = Simpangan kuartil = Qd = (Q 3 - Q1 ) 2

DEPDIKNAS


42


n

1 8. Simpangan rata-rata = S r = n

S

i =1

n

2 1 9. Ragam (Variansi) = S = n

10. Simpangan baku = S =

∑ xi − x

∑ (xi − x )2 i =1

2

1 n

=

n

∑ (xi − x )2 i =1

B. Untuk data kelompok : n

∑ fi X i

1. Mean = rata-rata = rataan = x = i =1 n ∑ fi i =1

 S1   . i 2. Modus = M o = t b +   S1 + S 2  t b = tepi bawah kelas modus S1 = Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya S 2 = Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya i = interval kelas modus = kelas dengan frekuensi terbesar

3. Kuartil  n∑ f − f  kn   Q n = tbn +  4 i f Qn     n = 1, 2, 3 Q n = kuartil ke-n

tbn = tepi bawah kelas Q n ∑ f = jumlah frekuensi f kn = frekuensi kumulatif sebelum kelas Q n f Qn = frekuensi di kelas Q n i = interval

4. Simpangan rata-rata = S R 5. Ragam = (Varians) = S

DEPDIKNAS

2

=

1 = n 1 n

n

∑ f k xk − x

k =1 n

∑ f k (xk − x )2 k =1


43


6. Simpangan baku = S =

S

2

=

1 n

n

∑ f k ( x k − x )2 k =1

Latihan dan Pembahasan 1.

Nilai 19 - 27 28 - 36 37 - 45 46 - 54 55 - 63 64 - 72 73 - 81

Median data pada tabel adalah …. a. 46,3 b. 46,8 c. 47,1 d. 47,3 e. 47,8

Frekuensi 4 6 8 10 6 3 3

Pembahasan :

Nilai

Frekuensi

19 – 27 28 – 36 37 – 45 46 – 54 55 – 63 64 – 72 73 – 81

4 6 8 10 6 3 3

Frekuensi Kumulatif 6 10 18 28 34 37 40

∑ f = 40 Kelas Median pada frekuensi kumulatif untuk ( ∑ f = 20)

⇒ kelas interval 46 – 54 t b 2 = 46 – 0,5 = 45,5 f k 2 = 18 f Q 2 = 10 i=9

∑ f = 40

 2 ⋅ ∑ f − fk2    Jadi Median = Q2 = t b 2 +  4  ⋅ i f Q2    20 − 18 .9 = 47,3 = 45,5 + 10 Kunci : D

2. Modus dari histogram di samping adalah …. f 12

12 8

8 5 4 0

DEPDIKNAS

2

6 4

3

a. b. c. d. e.

47,5 46,5 46,4 45,2 44,7

29,5 34,5 39,5 44,5 49,5 54,5 59,5 64,5


44


Pembahasan :  S1   .i Modus = M o = t b +  + S S 2  1  4  = 44,5 +  . 5 4+6 = 46,5

frekuensi terbesar = 12 t b = 44,5 S1 = 12 – 8 = 4 S 2 = 12 – 6 = 6 i=5

Kunci : B

3. Histogram pada gambar menunjukkan nilai test matematika di suatu kelas. f

Nilai rata-rata = …. a. 69 b. 69,5 c. 70 d. 70,5 e. 71

18 14 12

4 2 0

57

62

67

72

77

Nilai

Pembahasan : Titik tengah (x) 57 62 67 72 77

Frekuensi (f) 2 4 18 14 12

114 248 1206 1008 924

∑ f = 50

∑ fx = 3500

f.x

Nilai rata-rata = ∑ f ⋅ x 3500 = 50 ∑f = 70

Kunci:C III. 2. Peluang A. Kaidah Pencacahan Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam p cara berlainan dan kejadian berikutnya dapat terjadi dalam q cara berlainan, maka kedua kejadian tersebut dapat terjadi dalam (p × q) cara.

DEPDIKNAS


45


Faktorial : n!=1×2×3×…×n 0!=1 1!=1 B. Permutasi Banyak permutasi (susunan berurutan) k unsur dari n unsur adalah n! P(n, k ) = nPk = , k≤n (n − k )! Permutasi dengan beberapa unsur sama Banyak susunan dari n unsur dengan p unsur sama, q unsur sama, dst, … n! adalah … p!× q!× ... C. Kombinasi Banyak kombinasi (susunan) k unsur dari n unsur adalah n! C(n, k ) = nC k = , k≤n k!(n − k )! D. Teorema Binomial Newton (x+y) n = C(n,0) x n + C(n,1) x n −1 y + C(n,2) x n − 2 y 2 +….. + C(n,n) y n . E. Peluang suatu kejadian k atau n n(A) P(A) = n(S)

Peluang suatu kejadian A = P(A) =

k = hasil kejadian A n = seluruh hasil yang mungkin terjadi n(A) = banyak anggota himpunan A n(S) = banyak anggota himpunan ruang sampel

F. Kisaran Nilai Peluang 0 ≤ P(A) ≤ 1 G. Frekuensi Harapan Kejadian A = Fh (A) Fh (A) = P(A) × N P(A) = peluang kejadian A N = banyak percobaan Peluang komplemen kejadian A = P(A′) = 1–P(A)

DEPDIKNAS


46


H. Peluang Kejadian Majemuk 1. Peluang gabungan dua kejadian P(A U B) = P(A) + P(B) − P(A I B) 2. Peluang gabungan dua kejadian yang saling lepas P(A U B) = P(A) + P(B) 3. Peluang kejadian yang saling bebas stokastik P(A I B) = P(A) × P(B) 4. Peluang kejadian bersyarat (peluang kejadian A setelah B terjadi) P(A I B) P(A | B) = atau P(A I B) = P(A | B) × P(B) P(B)

Latihan dan Pembahasan \ 1. Dari kota A ke kota B dilayani oleh 4 bus dan dari B ke C oleh 3 bus. Seseorang berangkat dari kota A ke C melalui B kemudian kembali lagi ke A juga melalui B. Jika saat kembali dari C ke A ia tidak mau menggunakan bus yang sama, banyak cara perjalanan orang tersebut adalah … a. 12 c. 72 e. 144 b. 36 d. 96 Pembahasan : A

B

C

Banyak cara perjalanan orang tersebut adalah 4×3×2×3 = 72 Kunci : C

2. Suatu kelas terdiri dari 40 orang. Peluang seorang siswa lulus tes matematika adalah 0,4. Peluang seorang siswa lulus tes fisika adalah 0,2. Banyak siswa yang lulus tes matematika atau fisika adalah …. a. 6 orang c. 14 orang e. 32 orang b. 7 orang d. 24 orang Pembahasan :

4 10 2 p( f ) = 0,2 = 10 m dan f kejadian saling lepas, p( m ) = 0,4 =

P( m U f ) = P( m ) + P( f ) =

DEPDIKNAS

4 2 6 + = 10 10 10


47


Banyak siswa yang lulus =

6 × 40 = 24 orang 10

Kunci : D

3. Dua buah dadu dilempar undi bersama-sama. Peluang muncul jumlah mata dadu 9 atau 10 adalah …. 5 8 11 c. e. a. 36 36 36 7 9 d. b. 36 36 Pembahasan : Misal : A kejadian muncul jumlah mata dadu 9 B kejadian muncul jumlah mata dadu 10

A = {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)} → P(A) = B = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)} → P(B) =

4 36

3 36

A dan B kejadian saling lepas, 4 3 7 + = P(A U B) = P(A) + P(B) = 36 36 36 Kunci : B

4. Sebuah dompet berisi uang logam, 5 keping lima ratusan rupiah dan 2 keping ratusan rupiah. Dompet yang lain berisi uang logam 1 keping lima ratusan rupiah dan 3 keping ratusan rupiah. Jika sebuah uang logam diambil secara acak dari salah satu dompet, peluang untuk mendapatkan uang logam ratusan rupiah adalah …. 5 8 30 a. c. e. 56 28 56 6 29 d. b. 28 56 Pembahasan : Misal : A kejadian terambilnya uang ratusan rupiah di dompet pertama B kejadian terambilnya uang ratusan rupiah di dompet kedua A dan B kejadian saling bebas, P(A I B) = P(A) . P(B) 2 3 . = 7 4 6 = 28 Kunci : B DEPDIKNAS


48


STANDAR KOMPETENSI LULUSAN 5 Siswa mampu memahami konsep dan mampu menghitung unsur-unsur yang terkait dengan segitiga, khususnya sudut dan identitas trigonometri, serta menggunakannya untuk menyelesaikan masalah.

Ruang Lingkup

• Trigonometri Ringkasan Materi V.1. Rumus-rumus segitiga dalam trigonometri A. Hubungan antara sin a, cos a, dan tan a 1. sin 2 a + cos 2 a = 1 sin a 2. tan a = cos a B. Pada setiap segitiga berlaku : 1. Aturan sinus : a b c = = sin A sin B sin C

C a

2. Aturan kosinus :

b

a 2 = b 2 + c 2 − 2 bc cos A

c A

B

b 2 = a 2 + c 2 − 2 ac cos B c 2 = a 2 + b 2 − 2 ab cos C

3. Luas segitiga ABC 1 = b ⋅ c ⋅ sin A 2 1 = a ⋅ c ⋅ sin B 2 1 = a ⋅ b ⋅ sin C 2

DEPDIKNAS


49


V.2. Rumus-rumus Trigonometri Rumus trigonometri untuk 1. Jumlah dan selisih dua sudut cos (a ± b) = cos a cos b m sin a sin b sin (a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b tan a ± tan b tan (a ± b) = 1 m tan a tan b 2. Sudut rangkap sin 2 a = 2 sin a cos a cos 2 a = cos 2 a − sin 2 a = 2 cos 2 a − 1 = 1 − 2 sin 2 a 2 tan a tan 2 a = 1 − tan 2 a

3. Perkalian sinus dan kosinus 2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a − b) 2 sin a sin b = cos (a − b) − cos (a + b) 2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a − b) 2 cos a sin b = sin (a + b) − sin (a − b) 4. Penjumlahan dan pengurangan sinus dan kosinus cos a + cos b = 2 cos 1 (a + b ) cos 1 (a − b ) 2

cos a − cos b = − 2 sin sin a + sin b = 2 sin sin a − sin b = 2 cos

1 (a + b ) 2

2

sin 1 (a − b )

1 (a + b ) cos 2 1 (a + b ) sin 2

2 1 (a − b ) 2 1 (a − b ) 2

V.3. Grafik fungsi trigonometri b  1. f(x) = a cos (kx + b) = a cos k  x +  k  b  2. f(x) = a sin (kx + b) = a sin k  x +  k  b  Untuk menggambar grafik y = f(x) = a cos k  x +  atau k  b  y = f(x) = a sin k  x +  digunakan langkah-langkah sebagai berikut : k  a. gambar grafik y = cos x atau y = sin x b. kalikan semua ordinatnya dengan k

DEPDIKNAS


50


b b jika positif, k k b b geser grafik ke kanan sejauh jika negatif k k 2π d. periode grafik adalah k

c. geser grafik ke kiri sejauh

V.4. Persamaan dan pertidaksamaan trigonometri ⊗ Persamaan trigonometri 1. Persamaan dasar trigonometri x = a + k.2 π a. sin x = sin a, x = ( π − a ) + k.2 π b. cos x = cos a, x = ± a + k.2 π c. tan x = tan a, x = a + k.π 2. Persamaan yang dapat diselesaikan dengan cara memfaktorkan Misal : sin 2x + cos x = 0 2 sin x cos x + cos x = 0 cos x (2 sin x + 1) = 0 …. dan seterusnya. 3. Persamaan yang dapat dikembalikan ke persamaan kuadrat Misal :

2 cos 2 x − sin x − 1 = 0

(

)

2 1 − sin 2 x − sin x − 1 = 0 2 sin 2 x + sin x − 1 = 0 …. dan seterusnya. 4. Persamaan berbentuk a cos x + b sin x = C, dapat diselesaikan dengan a 2 + b 2 ≥ C 2 ⊗ Pertidaksamaan trigonometri Pertidaksamaan trigonometri dapat diselesaikan dengan 1. Menggambar grafiknya 2. Menggunakan garis bilangan

Latihan dan Pembahasan 1. Nilai sinus sudut terkecil dari segitiga yang sisinya 5 cm, 6 cm, dan adalah .… 1 1 1 21 c. 5 e. 5 a. 5 5 3 1 1 21 d. 5 b. 6 6 DEPDIKNAS


21 cm

51


Pembahasan :

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos α C

a2 + c2 − b2 2ac 36 + 25 − 21 40 2 = = = 2×5× 6 60 3 x 2 y2 = 9 − 4 = 5 = r 3 y= 5

cos α = 6

21

α 5

A

B

sin α =

y 5 = r 3

Kunci : E

2. Diketahui A adalah sudut lancip dan cos 1 A = 2

x +1 . 2x

Nilai sin A adalah …. a. b.

x2 −1 x x 2

x +1

c.

x2 −1

d.

x2 +1

e.

x2 +1 x

Pembahasan : sin 2 1 A + cos 2 1 A = 1 2

2

x +1 x −1 sin 2 1 A = 1 − cos 2 1 A = 1 − = 2 2 2x 2x x −1 sin 1 A = 2 2x sin A = 2 sin 1 A cos 1 A 2

= 2.

x −1 = 2x

2

x +1 = 2x

x2 −1 x

Kunci : A

DEPDIKNAS


52


3. Persamaan grafik di samping adalah …. π  a. y = 2 sin  x −  2  π  b. y = sin  2 x −  2  π  c. y = 2 sin  x +  2  π  d. y = sin  2 x +  2  e. y = 2 sin (2 x + π)

y Y 2

π 2

π 2

π

x X

3π 2π 2

2

Pembahasan : Grafik pada gambar tersebut dapat diperoleh dengan cara menggeser grafik π ke kiri, dan mengalikan setiap y dengan 2, periodenya y = sin x sejauh 2 tetap 2π. π ∴ Jadi y = 2 sin  x +  2  Kunci : C

3. Untuk 0 ≤ x < 360, himpunan penyelesaian dari sin x 0 − 3 cos x 0 − 3 = 0 adalah …. a. {120, 180} c. {30, 270} e. {0, 300, 360} b. {90, 210} d. {0, 300} Pembahasan : sin x 0 − 3 cos x 0 − 3 = 0 sin x 0 − 3 cos x 0 = 3

k = 1+ 3 = 2 1 tan α = − 3

α di kwadran II α = 1500

sin x 0 − 3 cos x 0 = 3

2 cos ( x − 150)0 = 3 cos ( x − 150 )0 = 1 3 2

x − 150 = 30 atau 330 x = 180 atau 120 Kunci : A

DEPDIKNAS


53


(

)

(

)

4. Himpunan penyelesaian sin x + 20 0 + sin x − 70 0 − 1 ≤ 0 Untuk 0 0 ≤ x ≤ 360 0 adalah ….

{x | 0 ≤ x ≤ 70 atau 160 ≤ x ≤ 360 } {x | 25 ≤ x ≤ 70 atau 135 ≤ x ≤ 160 } {x | x ≤ 70 atau x ≥ 160 } {x | 70 ≤ x ≤ 160 } {x | 20 ≤ x ≤ 110 } 0

a.

0

0

b.

0

d. e.

0

0

0

)

(

0

0

0

Pembahasan :

0

0

0

c.

(

0

)

sin x + 20 0 + sin x − 70 0 − 1 ≤ 0

(

)

(

) 2 sin (x − 25 0 ) cos (45 0 ) ≤ 1 1 sin (x − 25 0 ) ≤ 2

sin x + 20 0 + sin x − 70 0 ≤ 1

2

x − 25 0 = 45 0 atau 135 0 x = 70 0 atau 160 0 I

II 0

0

III 0

70

0

160

(

360

)

1 2 ≤ 0 2 Yang memenuhi adalah daerah I dan III Yang diminta : sin x − 25 0 −

{

0

0

0

∴ x | 0 ≤ x ≤ 70 atau 160 ≤ x ≤ 360

0

}

Kunci : A

DEPDIKNAS


54


STANDAR KOMPETENSI LULUSAN 6 Siswa mampu memahami dasar-dasar logika dan mampu menarik kesimpulan dari serangkaian premis yang diberikan.

Ruang Lingkup

• Logika matematika Ringkasan Materi VI.1. Pernyataan kalimat terbuka serta ingkarannya Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai benar saja atau salah saja,

tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Contoh : 7 adalah bilangan ganjil (benar)

Malang adalah ibu kota Jawa Timur (salah). Pernyataan dinotasikan dengan huruf p, q, r, s, … Kalimat terbuka adalah kalimat yang masih memuat peubah/variabel dan belum

dapat ditentukan nilai benar atau salah. Jika peubah/variabel diganti dengan konstanta maka menjadi suatu pernyataan. Contoh : 3 + x = 8,

Jika x diganti dengan 5 maka kalimat terbuka menjadi pernyataan yang benar. Ingkaran adalah pernyataan baru dengan nilai kebenaran berlawanan dengan nilai pernyataan semula, dinotasikan dengan ″~″ Contoh : Pernyataan p : 6 > 2 (B) maka ~ p : 6 ≤ 2 (S) p : 4 + 1 = 5 (B) maka ∼ p : 4 + 1 ≠ 5 (S)

DEPDIKNAS


55


VI.2. Operasi logika (konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi). A. Konjungsi Konjungsi dari pernyataan p dan q ditulis p ∧ q. Dua pernyataan p dan q (p ∧ q) bernilai benar, hanya jika komponen p dan q bernilai benar.

Tabel kebenaran dari p ∧ q p q p∧q B B B B S S S B S S S S B. Disjungsi Disjungsi dari pernyataan p atau q dinotasikan dengan p ∨ q Disjungsi dua pernyataan p atau q bernilai salah, hanya jika komponenkomponennya bernilai salah.

Tabel kebenaran dari p ∨ q p q p∨q B B B B S B S B B S S S C. Implikasi Implikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan lambang ″p → q″ Implikasi p → q bernilai salah, hanya jika p benar dan q salah

Tabel kebenaran implikasi p → q p q p→q B B B B S S S B B S S B

DEPDIKNAS


56


D.

Biimplikasi Biimplikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan lambang ″p ↔ q″. Biimplikasi dua pernyataan benar, hanya jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama

Tabel kebenaran biimplikasi p ↔ q p q p↔q B B B B S S S B S S S B VI.3. Pernyataan Majemuk A. Pernyataan Majemuk yang ekuivalen Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama.

Contoh : 1. Tunjukkan bahwa : p → q ≡ ~ p ∨ q

Jawab : p B B S S

q B S B S

∼p S S B B

∼p ∨ q B S B B

p→q B S B B

sama

terbukti

2. Tunjukkan bahwa : p ∧ ∼ q ≡ ∼ (q ∨ ∼p) Jawab : p B B S S

q B S B S

∼p S S B B

∼q S B S B

p ∧ ∼q S B S S

q ∨ ∼p B S B B

sama

DEPDIKNAS


∼ (q ∨ ∼p) S B S S terbukti

57


B. Negasi Pernyataan Majemuk

• Negasi Konjungsi dan Disjungsi ∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q Hukum De Morgan ∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q Dapat ditunjukan pada tabel berikut : p q ∼p ∼q p∧q B B S S B B S S B S S B B S S S S B B S

∼(p ∧ q) S B B B

∼p ∨ ∼q S B B B

sama p B B S S

q B S B S

∼p S S B B

∼q S B S B

p∨q B B B S

∼(p ∨ q) S S S B

∼p ∧ ∼q S S S B

sama p B B S S

q B S B S

∼p S S B B

∼q S B S B

p→q B S B B

∼(p → q) S B S S

p ∧ ∼q S B S S

sama Contoh:

Tentukan Negasi dari : 1. Jika 3 2 = 9 maka 6 + 2 > 7 Jawab : ~(p → q) ≡ p ∧ ∼q Negasi dari jika 3 2 = 9 maka 6 + 2 > 7 adalah 3 2 = 9 dan 6 + 2 ≤ 7

DEPDIKNAS


58


2.

Jika Mandor tidak datang maka semua kuli senang Jawab : Negasinya adalah : Mandor tidak datang dan ada kuli yang tidak senang.

VI.4. Konvers, Invers, dan Kontraposisi Dari implikasi p → q dapat dibentuk implikasi lain yaitu : q → p, yang disebut konvers dari p → q ∼p → ∼q , disebut invers dari p → q ∼q → ∼p , disebut kontraposisi dari p → q

Hubungan tersebut dapat ditunjukan dalam tabel berikut : P q ∼p ∼q p→q q→p ∼p → ∼q B B S S B B B B S S B S B B S B B S B S S S S B B B B B

∼q → ∼p B S B B

sama sama Contoh: Tentukan konvers, invers, dan kontroposisi dari implikasi Jika harga BBM naik, maka semua harga barang naik. Jawab: Konversnya ialah Jika semua harga barang naik, maka harga BBM naik. Inversnya adalah Jika harga BBM tidak naik, maka ada harga barang yang tidak naik Kontraposisinya adalah Jika ada harga barang yang tidak naik maka harga BBM tidak naik. VI.5. Penarikan Kesimpulan 1. Prinsip Modus Ponens q Premis 1 : p Premis 2 : p Konklusi : ∴ q

benar benar benar

Contoh: Jika 3x = 12 maka x = 4 benar benar 3x = 12 ∴ x = 4 benar

2.

Prinsip Modus Tollens Premis 1 : p q Premis 2 : ∼q Konklusi : ∴∼p

DEPDIKNAS

benar benar benar


59


Contoh :

Jika segitiga ABC sama kaki, maka ∠ Α = ∠ B ∠A≠∠B ∴Segitiga ABC bukan segitiga sama kaki 3. Prinsip Silogisma Premis 1 : p Premis 2 : q Konklusi ∴ p

q r r

benar benar benar

benar benar benar

Contoh: Selidikilah sah tidaknya argumentasi berikut : p ∼q p ∴ ∼q Jawab: Untuk menyelidikinya dibuat tabel kebenaran dari {(p → ∼q) ∧ p} → ∼q

Cara 1. p B B S S

q B S B S

∼q S B S B

p → ∼q S B B B

(p → ∼q) ∧ p [(p → ∼q) ∧ p] → ∼q S B B B S B S B → nilai selalu benar jadi argumentasi sah

Cara 2. p q ∼q p → ∼q B B S S B S B B S B S B S S B B Pada baris ke-2 Premis 1 → benar Premis 2 → benar Konklusi → benar → argumentasi sah Contoh: 1. Invers dari pernyataan (p ∧ ∼q) → p adalah …. Jawab : p → q inversnya adalah ∼p → ∼q Jadi invers dari (p ∧ ∼q) → p adalah ∼(p ∧ ∼q) → ∼p atau (∼p ∨ q) → ∼p

DEPDIKNAS


60


2. Ingkaran pernyataan “Beberapa peserta UAN membawa kalkulator “ adalah … Jawab : “Semua peserta UAN tidak membawa kalkulator“

Latihan dan Pembahasan 1. Diketahui p dan q adalah suatu pernyataan dari penarikan kesimpulan berikut 2. p → q 3. p → q 1. p → q p→ r p ∼q ∴q→ r ∴q ∴ ∼p Argumentasi yang sah adalah …. a. hanya 1 c hanya 2 dan 3 e. 1, 2, dan 3. b. hanya 1 dan 2 d. hanya 1 dan 3 Jawab:

1. p B B S S

q B S B S

∼p

∼q

S S B B

S B S B

p B B B B S S S S

q B B S S B B S S

r B S B S B S B S

p→q B B S S B B B B

p B B S S

q B S B S

p→q B S B B

p→q B S B B

sah

2. p→r B S B S B B B B

q→r B S B B B S B B

Tidak sah

3. sah (Modus Ponens)

Kunci : D

DEPDIKNAS


61


STANDAR KOMPETENSI LULUSAN 7 Siswa mampu memahami konsep irisan kerucut dan sifat-sifatnya, efek transformasi serta mampu menggunakannya untuk menyelesaikan masalah.

Ruang Lingkup

• Irisan kerucut • Transformasi Ringkasan Materi VII.1. Irisan Kerucut A. Lingkaran 1. Persamaan lingkaran a. Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dengan jari-jari r adalah

x2 + y2 = r 2 b. Persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) dengan jari-jari r adalah

(x − a )2 + ( y − b )2 = r c. Bentuk umum persamaan lingkaran adalah x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 , 2

2

1   1  1   1  pusatnya  − A, − B  dan R =  − A  +  − B  − C 2   2  2   2  2.

Jari-jari lingkaran y Y M (a, b) R R

M (a, b)

b) (a, M R

DEPDIKNAS

+ Ax

Lingkaran menyinggung sumbu X maka R = b xX

Lingkaran menyinggung sumbu Y maka R = a

+ By

0 C=

Lingkaran menyinggung garis Ax + By + C = 0, Aa + Bb + C maka R = A 2 + B2


62


R

P (c, d )

maka R =

M (a, b)

B A

Titik P(c, d) pada lingkaran,

R

R=

(c − a )2 + (d − b )2

1 AB 2

3. Kedudukan garis terhadap lingkaran a. Garis memotong lingkaran di dua titik berlainan, maka D > 0 b. Garis menyinggung lingkaran, maka D = 0 c. Garis tidak memotong lingkaran, maka D < 0

4. a. Persamaan garis singgung lingkaran melalui suatu titik pada lingkaran. Persamaan garis singgung di titik (x1 , y1 ) pada lingkaran (i) (ii)

x 2 + y 2 = r 2 adalah xx1 + yy1 = r 2

(x − a )2 + ( y − b )2 = r 2

adalah (x − a )( x1 − a ) + ( y − b )( y1 − b ) = r 2

(iii) x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 adalah 1 1 xx1 + yy1 + A( x + x1 ) + B( y + y1 ) + C = 0 2 2 b. Persamaan garis singgung dengan gradien tertentu. Persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran (i)

2 x 2 + y 2 = r 2 adalah y = mx ± r 1 + m

(ii)

(x − a )2 + ( y − b )2

2 = r 2 adalah y − b = m( x − a ) ± r 1 + m

(iii) x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 adalah y + b = m( x + a ) ±

DEPDIKNAS

(1 + m )( 2

1 4

A 2 + 14 B 2 − C

)


63


c. Persamaan garis singgung dari suatu titik di luar lingkaran Contoh: Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (–1, 7) pada

lingkaran x 2 + y 2 = 25 Jawab : Persamaan garis yang melalui (–1, 7) dengan gradien m adalah : y − 7 = m( x + 1) y = mx + m + 7 Persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran x 2 + y 2 = 25 adalah y = mx ± 5 1 + m 2 . mx + m + 7 = mx ± 5 1 + m 2 m + 7 = ± 5 1+ m2 (m + 7)2 = 25 (1 + m2) m 2 + 14m + 49 − 25 − 25m 2 = 0

24m 2 − 14m − 24 = 0 12m 2 − 7m − 12 = 0 (4m + 3) (3m – 4) = 0 3 4 m1 = atau m2 = − 3 4 Jadi persamaan garis singgungnya adalah ∴ 4 x − 3 y + 25 = 0 atau 3x + 4 y − 25 = 0

Latihan dan Pembahasan 1. Persamaan lingkaran yang melalui titik (3, 4) dengan pusat (−4, 1) adalah …. a.

x 2 + y 2 − 8 x − 2 y − 41 = 0

b. x 2 + y 2 + 8 x − 2 y − 41 = 0 c.

d. x 2 + y 2 + 8 x + 2 y − 41 = 0 e.

x 2 + y 2 + 8 x − 2 y + 41 = 0

x 2 + y 2 − 8 x + 2 y − 41 = 0

Pembahasan :

R=

(- 4 - 3)2 + (1 − 4)2

= 49 + 9 = 58 Persamaan lingkaran: (x + 4)2 + ( y − 1)2 = 58 x 2 + 8 x + 16 + y 2 − 2 y + 1 − 58 = 0 x 2 + y 2 + 8 x − 2 y − 41 = 0 Kunci: B

DEPDIKNAS


64


2. Persamaan lingkaran dengan pusat (1, 2) dan menyinggung garis x − 2 y + 8 = 0 adalah ….

(x + 1)2 + ( y − 2)2 = 5 (x + 1)2 + ( y + 2)2 = 5 (x − 1)2 + ( y − 2)2 = 5

a. b. c.

d. e.

(x − 1)2 + ( y + 2)2 = 5 (x + 1)2 − ( y − 2)2 = 5

Pembahasan :

R=

1.1 + 2(−2) + 8 1+ 4

= 5

( 1,

2) x-

2

8 y+

=0

Persamaan lingkaran dengan pusat (1, 2) dan R = 5 adalah (x − 1)2 + ( y − 2)2 = 5 Kunci: C

3. Persamaan garis singgung pada lingkaran x 2 + y 2 − 2 x − 10 y + 17 = 0 yang sejajar dengan garis 3x + 4 y + 2 = 0 adalah …. d. 3x – 4y = 8 a. 3x + 4y = 38 e. 3x – 4y = –8 b. 3x + 4y = –8 c. 3x – 4y = 38 Pembahasan :

R = 12 + 5 2 − 17 = 3 , Pusat (1, 5) 3 gradien garis 3x + 4 y + 2 = 0 adalah m1 = − 4 3 4 Persamaan garis singgung yang sejajar garis 3x + 4 y + 2 = 0 pada lingkaran gradien yang sejajar garis singgung adalah m2 = −

dengan pusat (1, 5) dan R = 3 adalah y − b = m( x − a ) ± r 1 + m 2

( y − 5) = − 3 (x − 1) ± 4

3 1+

9 16

3 3 15 y–5=– x+ ± 4 4 4 4 y − 20 = −3x + 3 ± 15 4 y = −3x + 38 atau 4 y = −3x + 8 Kunci: A

DEPDIKNAS


65


B. Parabola 1.a. Persamaan parabola yang berpuncak di (0, 0) dan fokus di :

(i).

(p, 0) adalah y 2 = 4 px , p > 0

(ii). (−p, 0) adalah y 2 = −4 px , p > 0 (iii). (0, p) adalah x 2 = 4 py , p > 0 (iv). (0, −p) adalah x 2 = − 4 py , p > 0 1.b. Persamaan parabola yang berpuncak di (a, b) dan fokus di : (i).

(a + p, b) adalah ( y − b )2 = 4 p( x − a ) , p > 0

(ii). (a − p, b) adalah ( y − b )2 = −4 p( x − a ) , p > 0 (iii). (a, b + p) adalah (x − a )2 = 4 p( y − b ) , p > 0 (iv) . (a, b − p) adalah (x − a )2 = −4 p( y − b ) , p > 0 2.

Kedudukan garis terhadap parabola; sama seperti pada lingkaran.

3.a.

Persamaan garis singgung di titik (x1 , y1 ) pada parabola (i) (ii)

y 2 = 4 px adalah yy1 = 2 p ( x + x1 )

y 2 = −4 px adalah yy1 = −2 p( x + x1 )

(iii) x 2 = 4 py adalah xx1 = 2 p( y + y1 ) (iv)

x 2 = −4 py adalah xx1 = −2 p ( y + y1 )

( y − b )2 = 4 p(x − a ) adalah ( y − b )( y1 − b ) = 2 p(x + x1 − 2a ) (vi) ( y − b )2 = −4 p( x − a ) adalah ( y − b )( y1 − b ) = −2 p ( x + x1 − 2a ) (vii) (x − a )2 = 4 p( y − b ) adalah (x − a )( x1 − a ) = 2 p ( y + y1 − 2b ) (viii) ( y − a )2 = −4 p( y − b ) adalah (x − a )( x1 − a ) = −2 p ( y + y1 − 2b )

(v)

b. Persamaan garis singgung pada parabola dengan gradien tertentu Persamaan garis singgung dengan gradien m pada parabola p (i). y 2 = 4 px adalah y = mx + m p (ii). y 2 = −4 px adalah y = mx − m (iii). x 2 = 4 py adalah y = mx − m 2 p (iv). x 2 = −4 py adalah y = mx + m 2 p (v).

DEPDIKNAS

( y − b )2 = 4 p(x − a ) adalah

y − b = m( x − a ) +


p m

66


( y − b )2 = −4 p(x − a ) adalah

(vi).

y − b = m( x − a ) −

p m

(vii). (x − a )2 = 4 p( y − b ) adalah y − b = m( x − a ) − m 2 p (viii). (x − a )2 = −4 p( y − b ) adalah y − b = m( x − a ) + m 2 p Persamaan garis singgung pada parabola y 2 = 4 x melalui titik (−1, 0) Penyelesaian : p = 1 Persamaan garis singgung dengan gradien m melalui (−1, 0) adalah y − 0 = m( x +1 ) y = mx + m

c.

Persamaan garis singgung dengan gradien m pada parabola y 2 = 4 x 1 adalah y = mx + m 1 mx + m = mx + m2 = 1 m = ±1 m Jadi persamaan garis singgungnya adalah : y = x + 1 atau y = −x − 1

Latihan dan Pembahasan 1. Persamaan parabola dengan puncak (2, −3) dan fokus (0, −3) adalah …. y 2 + 6 y − 8x + 7 = 0

a.

d. y 2 − 6 y − 8 x + 7 = 0

b. y 2 + 6 y − 8 x − 7 = 0

e.

y 2 + 6 y + 8x − 7 = 0

c. y 2 − 6 y + 8 x + 7 = 0 Pembahasan : Yy

p=2

0

2

(0, -3)

(2, -3) p=2

X x

( y − b ) = −4 p(x − 2) ( y + 3)2 = −8(x − 2) 2

y 2 + 6 y + 9 = −8 x + 16 y 2 + 6 y + 8x − 7 = 0

Kunci : E

2. Persamaan parabola dengan puncak (−2, 3), sumbu simetri sejajar sumbu X dan melalui (2, 7) adalah …. a. b.

DEPDIKNAS

( y − 3)2 = 2(x + 2) ( y − 3)2 = −2(x − 2)

c. d.

( y − 3)2 = 4(x + 2) ( y − 3)2 = 4(x − 2)


e.

( y − 3)2 = −4(x + 2)

67


Pembahasan : Y (2, 7)

Persamaan parabola : ( y − 3)2 = 4 p( x + 2) melalui (2, 7)

(-2, 3) X

maka (7 − 3)2 = 4 p(2 + 2) 16 = 16p p=1 ∴Persamaan parabola :

( y − 3)2 = 4(x + 2) Kunci : E

3. Persamaan garis singgung pada parabola ( y + 4 )2 = 12( x − 1) yang tegak lurus garis 2x − 6y + 5 = 0 adalah …. Pembahasan :

m1 . m2 = −1 1 . m 2 = −1 3 m2 = −3

( y + 4)2 = 12(x − 1) 4p = 12 p=3

DEPDIKNAS


68


Persamaan garis singgung dengan gradien = −3 adalah 3 y + 4 = −3( x − 1) + −3 y = −3x + 2 − 4 y + 3x + 2 = 0 C.

Elips

Titik pusat (0, 0) Persamaan elips

x2 a2

Sumbu utama

+

y2 b2

Titik pusat (h, k) 2

=1

2

 y−k  x−h  = 1  +    b2   a2 

Sumbu x

Garis y = k

Fokus

(c, 0) dan (−c, 0)

(c+h, k) dan (−c+h, k)

Puncak

(a, 0) dan (−a, 0)

(a+h, k) dan (−a+h, k)

Garis singgung di titik (x1 , y1 ) Gradien m

xx1 a

2

+

yy1 b

2

=1

y = mx ± a 2 m 2 + b 2

(x − h )(x1 − h ) ( y − k )( y1 − k ) +

a2

b2

=1

y − k = m( x − h ) ± a 2 m 2 + b 2

Bentuk Umum persamaan elips : Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0

Titik pusat (0, 0) Persamaan elips

y2 a2

Sumbu utama

+

x2 b2

Titik pusat (h, k) 2

2

 y−k   x−h  2  + 2  =1  a   b 

=1

Sumbu y

Garis x = h

Fokus

(0, c) dan (0, −c)

(h, c+k) dan (h, −c+k)

Puncak

(0, a) dan (0, −a)

(h, a+k) dan (h, −a+k)

Garis singgung di titik (x1 , y1 ) Gradien m

yy1 a

2

+

xx1 b

2

=1

y = mx ± b 2 m 2 + a 2

( y − k )( y1 − k ) (x − h )(x1 − h ) a2

+

b2

=1

y − k = m( x − h ) ± b 2 m 2 + a 2

• Hubungan antara a, b, dan c : a2 = b2 + c2

a = 1 sumbu panjang(mayor) b=

2 1 2

sumbu pendek (minor)

2c = jarak dua fokus • Kedudukan garis terhadap elips, sama seperti pada lingkaran dan parabola

DEPDIKNAS


69


•

Persamaan garis singgung melalui suatu titik di luar elips

Misal :

Tentukan persamaan garis singgung melalui titik (−2, −1) pada elips 5 x 2 + y 2 = 5 Penyelesaian : • Persamaan garis dengan gradien m melalui titik (−2, −1) adalah : y + 1 = m (x + 2) y = mx + 2m −1 • Persamaan garis singgung dengan gradien m pada elips 5 x 2 + y 2 = 5 adalah y = mx ± a 2 + b 2 m 2

5x 2 + y 2 = 5

x2 +

y2 =1 5

a2 = 5

y = mx ± 5 + m 2 mx + 2m − 1 = mx ± 5 + m 2

(2m − 1)2 = 5 + m 2 4m 2 − 4m + 1 = 5 + m 2 3m 2 − 4m − 4 = 0 (3m + 2)(m − 2) = 0 2 m1 = − , m2 = 2 3 ∴Jadi persamaan garis singgungnya : 2 x + 3 y + 7 = 0 atau y = 2 x + 3

Latihan dan Pembahasan 1. Salah satu koordinat fokus elips 9 x 2 + 25 y 2 + 18 x − 100 y = 116 adalah …. a. (5, 2) c. (3, 2) e. (−2, 3) d. (−1, 6) b. (−3, 2) Pembahasan :

(

) (

)

9 x 2 + 2 x + 1 + 25 y 2 − 4 y + 4 = 116 + 9 + 100

(x + 1)2 + ( y − 2)2 25

9

=1

25 = 9 + c 2 c=4 Koordinat fokus (−1 + 4, 2) dan (−1−4, 2) = (3, 2) dan (−5, 2) Kunci : C DEPDIKNAS


70


2. Elips yang berpuncak di titik (0, ± 6) melalui titik (3, 2) persamaannya adalah…. a.

x2 9y2 + =1 36 48

c.

x2 8y2 + =1 36 81

b.

y 2 8x 2 + =1 36 81

d.

y2 9y2 + =1 36 48

e.

x2 6y2 + =1 36 40

Pembahasan :

Elips dengan puncak (0, ±6), persamaannya :

y2 a2

+

x2 b2

=1

y2 x2 + =1 36 b 2

Melalui (3, 2), maka :

4 9 + =1 36 b 2 9 8 = b2 9

b2 =

81 8

y 2 8x 2 ∴Persamaan elips : + =1 36 81

Kunci: B

3. Salah satu persamaan garis singgung pada elips x 2 + 4 y 2 − 4 x − 8 y − 92 = 0 yang bersudut 135 0 dengan sumbu X positif adalah …. c. x + 3 − 5 5 e. − x − 3 − 5 5 a. − x + 3 + 5 5 b. − x − 3 + 5 5 d. x − 3 − 5 5 Pembahasan :

(x

2

)

(

2

)

− 4 x + 4 + 4 y 2 − 2 y + 1 = 92 + 4 + 4

(x − 2)2 + 4( y − 1)2 = 100 (x − 2)2 + ( y − 1)2 = 1 100

25

m = tan 135 0 = −1 Persamaan garis singgung dengan m = −1 adalah y − 1 = −1( x − 2) ± 100.1 + 25 y −1 = −x + 2 ± 5 5 y = − x + 3 + 5 5 atau y = − x + 3 − 5 5 Kunci : A DEPDIKNAS


71


D.

Hiperbola

Titik pusat O(0,0) Persamaan hiperbola Sumbu utama Fokus Puncak Asimtot Garis singgung di titik (x1 , y1 ) Gradien m

x

2

−

y

2

=1

Titik pusat (h, k)

(x − h )2 − ( y − k )2

a2 b2 Sumbu x (c, 0) dan (−c, 0) (a, 0) dan (−a, 0) b y=± x a xx1 yy1 − =1 a2 b2

=1 b2 y=k (c+h, k) dan (−c+h, k) (a+h, k) dan (−a+h, k) b y − k = ± (x − h ) a (x − h )(x1 − h ) ( y − k )( y1 − k ) − =1 a2 b2

y = mx ± a 2 m 2 − b 2

y − k = m( x − h ) ± a 2 m 2 − b 2

a2

Bentuk Umum persamaan hiperbola : Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0

Titik pusat (0, 0) Persamaan hiperbola Sumbu utama

y2 a2

−

x2 b2

=1

Titik pusat (h, k)

( y − k ) 2 − (x − h ) 2 = 1 a2

b2

Sumbu y

x=h

Fokus

(0, c) dan (0, −c)

(h, k+c) dan (h, k−c)

Puncak

(0, a) dan (0, −a) a y= ± x b yy1 xx1 − =1 a2 b2

(h, k+a) dan (h, k−a) a y − k = ± (x − h ) b ( y − k )( y1 − k ) (x − h )(x1 − h ) − =1 a2 b2

y = mx ± a 2 − b 2 m 2

y − k = m( x − h ) ± a 2 − b 2 m 2

Asimtot Garis singgung di titik (x1 , y1 ) Gradien m

• Hubungan antara a, b, dan c : c2 = a2 + b2 c > 1 , e = eksentrisitas a • Kedudukan garis terhadap hiperbola, sama seperti pada lingkaran, parabola, dan elips. e=

DEPDIKNAS


72


•

Persamaan garis singgung melalui suatu titik di luar hiperbola

Misal :

Tentukan persamaan garis singgung di titik (−1, 1) pada hiperbola 4 x 2 − 8 y 2 = 32 x2 y2 − =1 8 4 •Persamaan garis dengan gradien m melalui titik (−1, 1) adalah: y −1 = m(x + 1) atau y = mx+ m +1

Penyelesaian : Hiperbola 4 x 2 − 8 y 2 = 32

•Persamaan garis singgung dengan gradien m pada hiperbola

x2 y2 − =1 8 4

2

adalah y = mx ± 8m − 4 mx + m + 1 = mx ± 8m 2 − 4

7 m 2 − 2m − 5 = 0

m 2 + 2m + 1 = 8m 2 − 4

(7m + 5)(m − 1) = 0 m= −

5 atau m = 1 7

Persamaan garis singgungnya : 5x 2 y = − + atau 7 y = −5 x + 2 7 7 dan y = x + 2

Latihan dan Pembahasan 1. Persamaan hiperbola dengan jarak dua fokus = 20, sumbu utama adalah sumbu X, dengan pusat O dan asimtot membentuk sudut 300 dengan sumbu X positip adalah …. a.

x2 y2 − =1 125 75

c.

x2 y2 − =1 75 25

b.

x2 y2 − =1 125 25

d.

y2 x2 − =1 125 75

e.

y2 x2 − =1 75 25

Pembahasan :

2c = 20 tan 30 0 = tan 30 0 =

DEPDIKNAS

c = 10

1 3 b a

b 1 = a 3


73


c2 = a2 + b2

a=b 3

100 = 3b 2 + b 2

a = 5 3 ; sumbu utama adalah sumbu X

b 2 = 25

Persamaan hiperbola adalah :

x2 y2 − =1 75 25

b=5 Kunci : C

2. Salah satu persamaan asimtot hiperbola 9 x 2 − 16 y 2 − 72 x + 32 y = 16 adalah …. c. 4 x + 3 y + 2 = 0 e. 4 y − 3 x − 2 = 0 a. 4 x − 3 y + 2 = 0 d. 4 y − 3x + 8 = 0 b. 4 x + 3 y − 2 = 0 Pembahasan : 9 x 2 − 8 x + 16 − 16 y 2 − 2 y + 1 = 16 + 144 –16

(

)

(

(x − 4)2 − ( y − 1)2 16

9

)

=1

a=4 b=3

Asimtot :

y −1 = ±

3 (x − 4) 4

3 x − 3 + 1 → 4 y − 3x + 8 = 0 4 3 y 2 = − x + 3 + 1 → 4 y + 3x − 16 = 0 4 y1 =

Kunci : D

(x − 1)2 − ( y − 2)2

3. Salah satu persamaan garis singgung pada hiperbola yang tegak lurus garis x − y + 7 = 0 adalah …. c. y = − x + 1 a. y = − x − 5 d. y = x + 5 b. y = − x − 1

8

e.

4

=1

y = x +1

Pembahasan : Gradien garis x − y + 7 = 0 adalah m1 = 1 Gradien garis singgung yang tegak lurus garis tersebut adalah m2 = −1 Jadi persamaan garis singgungnya adalah :

y − 2 = −1(x − 1) ± 8.(− 1)2 − 4 y − 2 = −x + 1 ± 2 y = − x + 5 atau y = − x + 1 Kunci : C

DEPDIKNAS


74


VII.2. Transformasi 1. Jenis-jenis transformasi a. Translasi (pergeseran) b. Refleksi (pencerminan) c. Rotasi (perputaran) d. Dilatasi (perkalian atau perbesaran)

2. Setiap matriks transformasi dapat ditentukan dengan mencari hasil suatu transformasi titik (1, 0) dan (0, 1). Peta (bayangan) titik (1, 0) sebagai kolom pertama matriks, sedangkan peta (bayangan) titik (0, 1) sebagai kolom kedua. Contoh: Karena refleksi terhadap sumbu X maka peta titik (1, 0) petanya adalah (1, 0), sedangkan peta titik (0, 1) adalah (0, −1). Jadi matriks 1 0   . yang bersesuaian dengan refleksi terhadap sumbu X adalah   0 −1 3. Komposisi transformasi a. Komposisi dua translasi berturutan T1 dilanjutkan T2 dapat diganti dengan translasi tunggal. T1 o T2 ( x, y ) = (T1 o T2 )( x, y ) a c a +c  Misal : T1 =   , T2 =   maka T1 o T2 =  b d  b + d  b. Komposisi dua refleksi berturutan menghasilkan translasi dua kali jarak antara dua sumbu. Urutan refleksi menentukan arah translasi. Jika M1 = refleksi terhadap garis x = a M 2 = refleksi terhadap garis x = b M o M1 → P ′ (2 (b − a ) + x, y ) maka : P( x, y ) 2  M o M2 P( x, y ) 1  → P ′ (2 (a − b ) + x, y ) Jika M1 = refleksi terhadap garis y = c M 2 = refleksi terhadap garis y = d M o M1 → P ′ ( x, 2 (d − c ) + y ) maka : P( x, y ) 2  M o M2 P( x, y ) 1  → P ′ ( x, 2 (c − d ) + y )

c. Komposisi dua refleksi berturutan terhadap dua sumbu yang berpotongan (tegak lurus atau tidak tegak lurus) dapat diganti dengan suatu rotasi yang : 1. Berpusat pada titik potong dua sumbu 2. Bersudut dua kali sudut antara dua sumbu 3. Arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua

DEPDIKNAS


75


Misal:

X = refleksi terhadap sumbu X berpotongan tegak lurus Y = refleksi terhadap sumbu Y H = Rotasi sebesar π pusat O X o Y (a, b ) = Y o X (a, b ) = H (a, b ) d. Komposisi dua rotasi yang sepusat sebesar θ1 dilanjutkan θ 2 dapat diganti dengan rotasi sebesar (θ1 + θ 2 ) dengan pusat yang sama. Contoh : Tentukan peta titik (2, 4) karena rotasi pusat O sebesar 20 0 dilanjutkan 40 0 .  x ′   cos 60 0 Jawab :   =  0  y ′   sin 60

− sin 60 0  x    cos 60 0  y 

 1 − 12 3  2    =  2  4  1 1 3 2 2   1 − 2 3   =   3 + 2   e. Komposisi transformasi dengan matriks. Contoh : Tentukan peta titik (2, 4) karena refleksi terhadap sumbu X dilanjutkan π terhadap garis y = x dan dilanjutkan rotasi pusat O bersudut . 4  x′  −  2 Jawab :   = R σ, π o M y = x o X   4  4  y′

( )(

) ( )

π π  − sin   0 1   1 0   cos 4 4     =   sin π cos π   1 0   0 −1 4 4   1 1  2 − 2   0 − 1  2  2     =  12  2 1 2  1 0   4 2 2  − 3 2   =   − 2  

DEPDIKNAS


 2    4

76


f. Luas bangun suatu hasil transformasi. a b   , hasilnya Suatu bangun A ditransformasikan dengan matriks  c d  A ′ dengan luas A′ = ad − bc luas A Contoh : Hitung luas ∆ ABC dengan A(3, 1), B(7, 1), dan C(7, 4) karena  3 1  . transformasi oleh matriks   2 2 1 Jawab : L = ⋅ 3 ⋅ 4 = 6 2 L = A ′B′C′ = 6 - 2 ⋅ 6 = 24 satuan luas

g. Peta suatu kurva oleh suatu transformasi. Contoh : Tentukan persamaan bayangan garis x + 3 y + 2 = 0 oleh  2 3  . transformasi yang berkaitan dengan matriks  1 2 Jawab : Misal : (a, b) pada kurva x + 3 y + 2 = 0 , maka a + 3b + 2 = 0  2 3  , Jika (a ′, b ′) adalah peta (a, b) karena tranformasi  1 2 a 1  2 − 3  a ′     maka   =  b  4 − 3  − 1 2  b ′  a = 2a′ − 3b′ b = − a ′ + 2 b′

sehingga : a + 3b + 2 = 0 (2 a′ − 3 b′) + 3 (− a ′ + 2 b′) + 2 = 0 − a ′ + 3b ′ + 2 = 0 ∴Petanya adalah : − x + 3 y + 2 = 0 Contoh: 1. Tentukan bayangan titik (4, 2) karena rotasi pusat O sebesar π, dilanjutkan dilatasi pusat (1, 2) dengan faktor skala 2. Jawab : (4, 2) R(0, π) (−4, − 2)

 x ′ − a = k ( x − a )  Titik (−4, −2) karena [A(1, 2), 2] adalah   y ′ − b = k ( y − b ) x ′ − 1 = 2(− 4 − 1) → x ′ = −9 y ′ − 2 = 2(− 2 − 2) → y ′ = −6 ∴Petanya adalah (−9, −6) DEPDIKNAS


77


2. Tentukan bayangan titik (2, −3) karena refleksi terhadap garis x = 3, dilanjutkan x = 5. Jawab:

M1 = refleksi terhadap x = 3 M 2 = refleksi terhadap x = 5 M oM (2, − 3) 2 1 → (2(5 − 3) + 2, − 3) = (6, − 3)

Latihan dan Pembahasan 1. Garis y = −3x + 1 dirotasikan dengan R O, 90  , kemudian direfleksikan   terhadap sumbu X. Persamaan bayangannya adalah …. c. 3y = −x − 1 e. y = 3x − 1 a. 3y = x + 1 d. y = −x − 1 b. 3y = x − 1 0

Pembahasan :  x'   1 0  0 − 1 x       =   y'   0 − 1 1 0  y   0 − 1 x    =   − 1 0  y   x 1  0 1  x'       =  y  0 − 1  1 0  y'   x   y'    =    y   x'  x = − y' y = − x' Bayangannya adalah: y = –3x + 1 − x' = −3( y' ) + 1 − x' = −3 y' + 1 3y = x + 1 Kunci : A

DEPDIKNAS


78



Siswa mampu memahami konsep dan mampu menghitung limit fungsi di suatu titik, turunan, dan integral.

Ruang Lingkup

• Limit • Turunan • Integral Ringkasan Materi VIII.1. Limit Fungsi A. Limit Fungsi Aljabar Pengertian lim f(x) = L adalah nilai f(x) dapat dibuat dekat ke L jika x dibuat x→ a

dekat ke a (perlu diperhatikan arti dekat). Contoh : a. lim 5 = 5 x→2

b. lim x = 2 x→2

Pada penyelesaikan soal limit, hasil yang harus dihindari adalah : 0 ∞ , , ∞ − ∞, 0 . ∞, 0 0 , ∞ 0 , 1∞ (hasilnya tak tentu). 0 ∞ B. Teorema Limit a. Diketahui f(x) = c (konstanta), maka : lim f(x) = c x→ a

b. lim {f(x) ± g(x)} = lim f(x) ± lim g(x) x →a

x→ a

x→ a

c. lim {f(x) . g(x)} = lim f(x) . lim g(x) x→ a

x→ a

x→a

d. lim . c f(x) = c . lim f(x) x→ a

DEPDIKNAS

x →a


79


lim f(x) f (x ) x → a e. lim , dengan lim g (x) ≠ 0 = x→ a lim g(x) x → a g (x ) x→a

Jika p(x) dan q(x) suatu suku banyak, maka : p( x ) p(a ) = , dengan q (a) ≠ 0 q(a ) x → a q(x ) lim

Contoh:

1.

(

)

lim x 3 + 3 x − 6 = lim x 3 + lim 3 x – lim 6

x→2

3

2. lim

x→0

3.

x→2

x→ 2

= 23 + 3 . 2 – 6 = 8 2

2

x + 3x + 4 x 3

2

x − 2x + x

x→2

= lim

x + 3x + 4

x→0

2

x − 2x + 1 0+0+4 =4 = 0 − 0 +1

9+ x − 9− x = lim x →0 x x →0 lim

= lim

x →0

= lim

9+ x − 9− x . x (` 9 + x ) − (9 − x )

9+ x + 9− x 9+ x + 9− x

(

)

(

)

x 9+ x + 9− x 2x

x 9+ x + 9− x 2 2 1 = = = lim x →0 9+ x + 9− x 6 3 x →0

4.

lim  x 2 + 3 x − x 2 − 5 x   x → ∞

= lim

x→∞

= lim

x →∞

= lim

x →∞

DEPDIKNAS

2

2

x + 3x − x − 5 x .

x 2 + 3x + x 2 + 5x x 2 + 3x + x 2 + 5x

2 2 x + 3 x −  x − 5 x    2

2

x + 3x + x + 5 x 8x 2

2

x + 3x + x + 5 x Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

80


8

= lim

3 5 + 1+ x x • Limit Fungsi Trigonometri x →∞

1+

lim

sin x =1 x

lim

x =1 sin x

x→0

x→0

=

8 =4 1+1

lim

tan x =1 x

lim

x =1 tan x

x→0

x→∞

Dari ketentuan di atas diperoleh : sin ax a = lim bx b x →0 tan ax a = bx b x →0 lim

sin ax a = b x → 0 tan bx lim

Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan adalah : » sin2 A + cos2 A = 1 » cos A = sin (90o – A) » cot A = tan (90o – A) » sin 2A = 2 sin A cos A » cos 2A = 1 – 2 sin2 A = 2 cos2 A – 1 = cos2 A – sin2 A Contoh:

1. lim

x→0

sin 4 x x

Jawab : lim

x→0

DEPDIKNAS

sin 4 x 4 . x→0 x 4 sin 4 x = lim . 4 x→0 4x sin 4 x = lim . lim 4 x→0 4x x →0 = 1. 4 = 4

sin 4 x = x

lim


81


2. lim

1 − cos x

x →0

x

2

Jawab : Jika x disubstitusikan maka hasilnya

0 , sehingga bentuk itu harus diubah 0

menjadi : 2 2 1 − 1 − 2 sin 12 x  2 sin 12 x   lim = lim 2 2 x→0 x →0 x x 1 sin 12 x sin 2 x 12 12 . .1 . 1 = lim 2 x →0 x x 2 2 = lim 2 x →0

= 2

sin 1 x 1 2 . . 1x 1 .x 4 2

sin 12 x

2

sin 1 x lim 1 2 . lim x →0 x x →0 2

= 2.1.1 . =

3. lim

x →0

sin 12 x 1 2

x

1 x →0 4

. lim

1 4

1 2

tan x − sin x x

3

Jawab : Jika x = 0 disubstitusikan maka hasilnya

diubah menjadi : sin x − sin x sin x(1 − cos x ) = lim lim cos x 3 3 x →0 x →0 cos x . x x sin x 1 − cos x 1 . . = lim x →0 cos x x2 x 1 2 sin 2 12 x 2 1 sin x . lim . lim . = lim 1 x →0 x→0 x→0 cos x x x2 2

0 , sehingga bentuk tersebut 0

1 2 1 2

1 sin x . lim x →0 x→0 cos x x 1 sin 2 x sin 12 x . lim 1 = lim 1 x →0 x →0 x x 2 2 = lim

DEPDIKNAS


82


1 x →0 2

= lim

=1.1.1.1. =

1 2

1 2

VIII.2. Hitung Diferensial A. Turunan fungsi aljabar dan trigonometri Misal : y = f(x). Turunan fungsi y terhadap x, ditulis dengan y ′(x) = f ′(x) atau dy df f ( x + h) − f ( x) atau didefinisikan sebagai f ′( x) = lim . dx dx h h→0 Nilai fungsi turunan f ′ untuk x = a adalah : f (a + h ) − f (a ) f ′(a ) = lim h h→0 Rumus–rumus turunan: f ( x) f ′(x) n x nx n −1 , n bilangan Rasional

anx n −1 , n bilangan Rasional cos x sin x cos x – sin x Operasi aljabar fungsi turunan : a. y = f (x) ± g (x), maka y′ = f ′ (x) ± g′ (x) b. y = c f (x), maka y′ = c f ′ (x) c. y = f(x) . g(x), maka y′ = f ′ (x) g (x) + f (x) g′ (x) f (x ) f ′( x ) g ( x ) − f ( x ) g ′( x ) d. y = , maka y ′ = g (x ) (g (x ))2 axn

Contoh:

Tentukan turunan dari : a. y = (2x + 3)(3x – 5) b. y =

DEPDIKNAS

− 2 x + 3x 2 x 2 + 3x


83


Jawab : a. y = (2x + 3)(3x – 5)

cara 1 : y = 6x2 – x – 15 y′ = 12x – 1 atau dengan cara 2 : y = (2x + 3)(3x – 5) y′ = 2(3x – 5) + (2x + 3)3 = 6x – 10 + 6x + 9 = 12x – 1 b. y =

− 2 x + 3x 2 x 2 + 3x

( − 2 + 6 x )(x 2 + 3 x ) − (− 2 x + 3 x 2 )(2 x + 3) y′ =

(x 2 + 3x )2 6 x 3 + 16 x 2 − 6 x − (6 x 3 + 5 x 2 − 6 x ) = (x 2 + 3x )2 =

11x 2

(x 2 + 3x )2

B. Persamaan garis singgung Persamaan garis singgung pada kurva y = f (x) melalui titik (a, f(a)) adalah y – f(a) = f′ (a) (x – a)

Contoh : Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = 4 – 3x + x2 di titik dengan absis 3. Jawab : gradien garis singgungnya adalah y′ = –3 + 2x Gradien di titik dengan absis 3 adalah y′ = –3 + 6 = 3 Ordinat titik singgung y = 4 – 3 . 3 + 9 = 4

Persamaan garis singgung dengan gradien 3 di titik (3, 4) adalah : y – 4 = 3(x – 3) y = 3x – 5 C. Fungsi naik dan fungsi turun

Syarat yang berkaitan dengan fungsi naik dan fungsi turun Jika f adalah fungsi yang kontinu dan diferensiabel pada interval (a, b), maka : • Jika f′ (x) = 0 untuk setiap x ∈ (a, b), maka f konstan pada interval (a, b). • Jika f′ (x) > 0 untuk setiap x ∈ (a, b), maka f naik pada interval (a, b). DEPDIKNAS


84


• Jika f′ (x) < 0 untuk setiap x ∈ (a, b), maka f turun pada interval (a, b). • Jika f′ (x) ≥ 0 untuk setiap x ∈ (a, b), maka f tidak turun pada interval (a, b). • Jika f′ (x) ≤ 0 untuk setiap x ∈ (a, b), maka f tidak naik pada interval (a, b). Contoh:

Tentukan interval, dimana fungsi : a. naik b. turun, jika fungsi f (x) = x3 – 6x2 + 9x + 2 Jawab : a. Fungsi f (x) naik, maka f′ (x) > 0 f′ (x) = 3x2 – 12x + 9 +++ - - - - - - +++ 3x2 – 12x + 9 > 0 1 3 2 3 (x – 4x + 3) > 0 (x – 3)(x – 1) > 0 f (x) naik untuk x > 3 atau x < 1 b. f (x) turun jika f′ (x) < 0 3x2 – 12x + 9 < 0 3 (x2 – 4x + 3) < 0 (x – 3)(x – 1) > 0 f (x) turun untuk 1 < x < 3

+++ - - - - - - +++ 1

3

D. Nilai−nilai Stasioner Titik dengan x = a yang memenuhi persamaan f′ (a) = 0 disebut titik stasioner

Jenis Titik Stasioner ♦ Titik maksimum x
Naik

f ′ (x)

Positif

f ′′ (x)

DEPDIKNAS

x>a

Turun Nol

negatif

Negatif

♦ Titik minimum x
Turun

f ′ (x)

Negatif

f ′′ (x)

x=a

x=a

x>a

Naik Nol

Positif

Positif


85


♦Titik balik di x= a x
x=a

f ′ (x)

Naik

f ′′ (x)

Positif

f ′ (x)

Turun

f ′′ (x)

Negatif

x>a

Turun Nol

Negatif Naik

Nol

Positif

Contoh:

Tentukan nilai stasioner dan jenisnya fungsi f (x) = x3 (x – 4) + 5 Jawab : f (x) = x4 – 4x3 + 5 f′ (x) = 4x3 – 12x2

Nilai stasioner diperoleh jika f ′( x ) = 0 4x3 – 12x2 = 0 4x2 (x – 3) = 0 x = 0 atau x = 3 Jadi f (0) = 5 f (3) = 81 – 108 + 5 = –22 Jenisnya : −

x 4x2 x–3

0 + −

f′ (x)

+

x=0 0 0+ 0 + 0 −

0 − Belok

−

3 + − −

x=3 3 3+ 0 + 0 +

0 + Balik minimum

Jadi titik belok di (0, 0) dan Nilai balik minimum adalah f (3) = –22 ∴ Titik balik minimum (3, −22) E. Menggambar Grafik Langkah-langkahnya adalah menentukan : ∗ Titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat ∗ Titik stasioner dan jenisnya ∗ Beberapa titik

DEPDIKNAS


86


Contoh:

Gambarlah kurva y = 2x2 – 5x + 2 Jawab :

Titik potong dengan sumbu Y → x = 0 →y=2 Titik potong (0, 2) Titik potong dengan sumbu X → y = 0 2x2 – 5x + 2 = 0 1 (2x – 1)(x – 2) = 0 → x = atau x = 2 2 Titik stasioner dan jenisnya 5 y′ = 4x – 5 x= y′ = 0 4 y ″ = 4 > 0 → minimum 2

5 9 5 5 atau y = 2 ⋅   − 5  + 2 = − 4 8 4 4 9 5 Koordinat titik balik minimum  , −  8 4 → y minimum untuk x =

Sketsa:

∗ Beberapa titik untuk x = −1 x= 3

yY (-1,9)

9

y = 9→ (−1, 9) y = 5→ (3, 5)

(3,5)

01 9 2 8

5 4

2

x X

F. Turunan kedua dan pemakaiannya Contoh : Sehelai karton berbentuk persegi panjang dengan lebar 5 dm dan panjang 8 dm. Pada keempat pojok karton dipotong persegi yang sisinya x cm. Dari bangun yang didapat dibuat kotak tanpa tutup yang tingginya x cm. Tentukanlah ukuran kotak agar volumenya maksimum !

DEPDIKNAS


87


Jawab : x x

5

2x

8 2x

Volum = (8x – 2x)(5 – 2x)(x) = 40x – 26x2 + 4x3 Nilai stasioner V’(x) = 0 40 – 52x + 12x2 = 0 3x2 – 13x + 10 = 0 (3x – 10)(x – 1) = 0 10 x= atau x = 1 3 (tidak mungkin) V″ = –52 + 24 x V″ (x = 1) = –52 + 24 = –28 < 0 → maksimum

Vmaks = 40 – 26 + 4 = 18 dm3 ∴Jadi panjang kotak 6 dm, lebar 3 dm, dan tinggi 1 dm.

Latihan dan Pembahasan dy −1 , maka = …. sin x dx a. cosec x c. - cosec x b. cosec x cotan x d. - cotan x cosec x

1. Jika y =

e. sec x tan x

Pembahasan : − (− 1) cos x dy = = cosec x cotan x 2 dx sin x Kunci : B

2. Persamaan garis yang menyinggung kurva y = 2x3 – 4x + 3 pada titik yang berabsis − 1 adalah …. c. y = −2x − 3y e. y = − 2x – 2y a. y = 2x + 3y d. y = −2x − 1 b. y = 3x + 7 Pembahasan : x = −1 maka y = 2 (−1)3 – 4(-1) + 3 = 5 y′ = gradien = 6x2 – 4 Di titik x = -1 adalah m = 6 – 4 = 2 Persamaan garis melalui (−1, 5) dengan gradien 2 adalah y – 5 = 2 (x + 1) y = 2x + 7 Kunci : B

DEPDIKNAS


88


3. Nilai maksimum dari f (x) = 2x3 + 5x2 – 4x dalam interval −3 ≤ x ≤ −1 adalah …. a. 28 b. 27 c. 19 d. 12 e. 7 Pembahasan : f ′ (x) = 6x2 + 10x - 4 0 = 3x2 + 5x − 2 (3x − 1)(x + 2) = 0 1 x = atau x = −2 3

tidak terletak dalam interval (tidak memenuhi) f″(x) = 12x + 10 f″ (−2) = –24 + 10 = –14 < 0 → maksimum f (–2) = 2.( –2)3 + 5.( –2)2 – 4 (–2) = –16 + 20 + 8 = 12 Kunci : B VIII.3. Integral A. Integral tak tentu Integral merupakan operasi invers dari turunan. Jika F′(x) = f(x) dan f kontinu, maka : ∫ f ( x) dx = F( x) + C → (C = kostanta)

Rumus−rumus a. b. c. d. e.

∫ f( x) dx = F( x) + C ∫ k dx = kx + C n

k

n+1

∫ kx dx = n + 1 x + C , dengan n ≠ −1 ∫ { f ( x) + g ( x)} dx = ∫ f ( x) dx + ∫ g ( x) dx ∫ { f ( x) − g ( x)} dx = ∫ f ( x) dx − ∫ g ( x) dx

DEPDIKNAS


89


Contoh:

1. Selesaikan ∫ (2 x + 3)( x − 5) dx Jawab :

∫ (2 x + 3)( x − 5) dx = ∫ (2 x =

2.

∫

− 7 x − 15) dx

2 3 7 2 x − x − 15 x + C 3 2

(x + 2 x ) x 3

2

2

∫

2

3 2

dx = (x + 4 x + 4 x) x

− 12

dx

1

= ∫ (x 2 + 4 x + 4x 2 ) dx =

3 1 1 4 2 4 +1 +1 2 2 x + x + x +c 3 1 2 2 +1 2 +1

5

3

2 2 8 x + 2x 2 + x 2 + C 5 3 2 2 8 = x x + 2x 2 + x x + C 5 3 =

B. Penerapan Integral tak tentu Contoh: 1. Tentukan persamaan kurva dengan gradien garis singgung di titik (x, y) sama dengan 2x − 3, dan kurva melalui titik (1, −3)! Jawab :

dy = (2 x − 3) dx dy = 2x − 3 dx ∫ dy = ∫ (2 x − 3) dx

y = x2 − 3x + C Kurva melalui (1, −3), maka −3 = 1 − 3 + C → C = 1 ∴Persamaan kurvanya adalah : y = x2 – 3x – 1

DEPDIKNAS


90


2. Sebuah benda bergerak dengan kecepatan V m per detik. Pada saat t detik persamaan kecepatannya adalah V = 8 t − 1. Pada saat t = 1, posisi benda yaitu S = 6 m. a. Tentukan persamaan posisi benda sebagai fungsi t! b. Berapa jauh posisi benda pada saat t = 4? Jawab : a. S(t ) = ∫ (8 t − 1) dt = 4t 2 − t + C b. S(4) = 4 (4)2 – 4 + 3 = 63 m Diketahui : S(l) = 6, jadi : 4(1)2 – (1) + C = 6 C=3 maka : S = 4t2 – t + 3 C. Integral tertentu Teorama Dasar Integral b b f ( x) dx = F(x) a = F(b) − F(a) a dengan F ′(x) = f (x)

∫

[ ]

Sifat−sifat Integral Tertentu b a (i) f ( x ) dx = − ∫ ∫ f ( x) dx a b a (ii) ∫ f ( x) dx = 0 a b c b (iii) ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx , dengan a < c < b a a c b b (iv) ∫ k f ( x) dx = k ∫ f ( x) dx , k = konstanta a a b b b (v) ∫ { f ( x) ± g ( x)} dx = ∫ f ( x) dx ± ∫ g ( x) dx a a a b (vi) Jika f(x) ≥ 0 dalam interval [a, b], maka ∫ f ( x) dx ≥ 0 a b (vii) Jika f(x) ≥ 0 dalam interval [a, b], maka ∫ f ( x) dx ≤ 0 a

DEPDIKNAS


91


Contoh: 3

1.

∫

2

3

(6 x + 4 x) dx = 2 x + 2 x

2

1

3 1

[

]

3 2 = 2 (3 ) + 2 (3 ) − 2 (1)3 + 2 (1)2 = 68  

2

2.

2 ∫ (x −

1

2

1 x2

) dx = ∫ ( x 2 − x − 2 ) dx 1

=

1 3 1 x + x 3

2 1

1   1  8 1 4 11 1 =  (2 )3 +  −  + 1 = + − = 2  3  3 2 3 6 3

D. Beberapa penggunaan Integral a. Luas daerah

yY

Yy

1 y = f (x)

2 x=a

x=b

xX

Y

y = f (x) x=a

x=b

X x

b

∫

L = − f ( x) dx =

b

L = ∫ f ( x) dx

a

a

Yy

b

y Y

3

∫ f ( x) dx

a

4 y = f (x)

y=d

x=a

y=c

Xx

x = f (y) d Luas =

∫

f ( y ) dy

x=b

x X

b L=

c

DEPDIKNAS


∫

a

x=c c

f ( x) dx +

∫ f ( x) dx

b

92


y Y

yY

5

x=b

x=a

y1 = f1( x)

6

y2 = ( f2( x))

y1= f1 (x)

y2= f2 (x) a

Xx

b

∫

L = ( y1 - y2 ) dx a atau bb LL == ((yf11-( xy)2 )−dxf 2(x))dx (x)) dx aa

L=

b

Xx

b

∫ ( f1 ( x ) − f 2 ( x )) dx

a

∫∫

Latihan dan Pembahasan 1. Hitung luas daerah antara kurva y = x3 – x2 – 6x dan sumbu X Pembahasan : Titik potong dengan sumbu X→ y = 0 maka x3 – x2 – 6x = 0 x(x2 – x – 6) = 0 x(x – 3)(x + 2) = 0

Koordinat titik potong dengan sumbu X : (0, 0), (−2, 0), dan (3, 0) yY untuk x = −1 →(−2 < x < 0), maka y + I xX -2 0 3 untuk x = 2 →(0 < x < 3), II maka y – 0

Luas I =

∫

−2

3

Luas II =

∫

1 1 2 (3x – x – 6x) dx = x4 – x3 − 3 x 4 3 3

(x3 – x2 – 6x) dx =

0

L = LI + LII =

DEPDIKNAS

0

2

1 4 1 3 2 x – x − 3x 4 3

= −2

3

0

=

16 3

63 4

253 satuan luas 12


93


2. Hitung luas daerah antara kurva y = x2 – 5x dan y = −x2 + 3x – 6 Pembahasan : yY 3 1 2

3

0

5

Batas integral yaitu titik potong dua kurva x2 – 5x = −x2 + 3x – 6 2x2 – 8x + 6 = 0 x2 – 4x + 3 = 0 (x – 3)(x – 1) x = 3 atau x = 1 2 xX Grafik y = x – 5x adalah parabola terbuka ke atas memotong sumbu X di (0, 0) dan (5, 0) Grafik y = −x2 + 3x – 6 parabola terbuka kebawah tidak memotong sumbu X karena D < 0 3 memotong sumbu Y di (0, −6) dan sumbu simetri x = 2

-6

3

Luas daerah yang diarsir =

∫

{(−x2 + 3x – 6) – (x2 – 5x)} dx

∫

(−2x2 + 8x – 6) dx

1 3

=

1

3

=−

8 2 3  x + 4 x 2 − 6 x  = satuan luas 3 3 1

b Volum benda putar

Y

1. Volum benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva y = f(x), garis x = a, garis y = b, dan sumbu X diputar mengelilingi sumbu X adalah b

y=f

(x)

x

a

b

V = π ∫ (f(x))2 dx a

Y

2. Volum benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva x = f(y), garis y = c, garis y = d dan sumbu Y diputar mengelilingi sumbu Y adalah d

V=π

∫

{f(y)}2 dy

c

DEPDIKNAS

y

x = f (y) d

c

xX


94

X


3. Volum benda putar yang terjadi jika daerah antara dua kurva y1 = f1(x) dan y2 = f2(x), garis x = a, garis x = b diputar mengelilingi sumbu X adalah 2 2 ∫ [(f1 (x )) − (f 2 (x )) ]

y Y y1 = f1 (x) y2 = f2 (x)

b

V=π

dx

a

a

x

b

(dengan catatan f1 (x) > f2 (x), dimana a < x < b)

4. Volum benda putar yang terjadi Jika daerah antara dua kurva x1 = f1(y) dan x2 = f2(y), garis y = c, garis y = d diputar mengelilingi sumbu Y adalah

∫ [( f1 ( y )) d

V=π

2

− ( f 2 ( y ))

2

y

f 2 ( y) f 1 ( y)

d

] dy

c

c

(dengan catatan f1 (y) > f2 (y) dimana c < y < d

x

Latihan dan Pembahasan 1. Hitung volum benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva y = x + 1, sumbu y, garis x = 2 dan sumbu X diputar mengelilingi sumbu X sejauh 3600. 2

Pembahasan :V =

∫

2

∫

2

π(x + 1) dx = π

0

(x2 + 2x + 1) dx

0

2

26 1  π = π  x 3 + x 2 + x  = 3  0 3 2. Hitung volum benda putar yang terjadi jika daerah antara xy2 = 2, y = 1, y = 4 dan sumbu Y diputar mengelilingi sumbu Y. 2 Pembahasan : x = 2 y 4

2

4  2  Volume = ∫ π 2  dy = π ∫ 4 y −4 dy 1 y  1

DEPDIKNAS


95

X


4

5  4  = π  − y − 3  = 1 π satuan volum 16  3  1 3. Hitunglah volum benda putar yang terjadi jika daerah antara dua kurva y = x2, y = x + 2 diputar mengelilingi sumbu X. Pembahasan : 2

V = π ∫ {(x + 2)2 − (x2) 2 }dx

2

y Y y=

x+

−1 2

y = x2

= π ∫ (x2 + 4x − + 4 – x4) dx −1

2

2

1  1 = x3 + 2x 2 + 4x − x 5  5  -1 3

1 -2

-1

1

2

Xx

 1 3 32   1 1  =  .2 + 2.4 + 4.2 −  −  − + 2 − 4 +  5   3 5   3 2 = 14 π satuan volum 5 E. Aturan Rantai Misal : y = f(x) dan u = g(x) atau y = f(g(x)), maka y ′ = f ′ (g(x)), maka y ′ = f ′ (g(x)) . g ′ (x) Dengan notasi Leibniz dapat ditulis : dy dy du = . dx du dx

Contoh : Tentukan turunan pertama dari : 1. y = (x2 + 2x)7 Jawab : Cara 1 : y ′ = 7(x2 + 2x)6 (2x + 2) = (14x + 14)(x2 + 2x)6 Cara 2 :

DEPDIKNAS

y = u7, u = x2 + 2x dy du = 7u6, = 2x + 2 du dx dy = 7u6 (2x + 2) dx


96


= 7(x2 + 2x)6 (2x + 2) = (14x + 14)(x2 + 2x)6 2. y = sin3 x Jawab : Cara 1 : y = sin3 x = (sin x)3 y ′ = 3 sin2 x cos x 3 = sin x sin 2x 2 Cara 2 : y = u3 , u = sin x dy du =3u2 , = cos x du dx dy = 3u2.cos x = 3 sin2 x cos x dx 3 = sin x sin 2x 2 F. Integral fungsi Trigonometri

∫ cos x dx = sin x + C ∫ sin x dx = − cos x + C 2 ∫ sec x dx = tan x + C

∫ cosec x dx = − cotan x + C 2

∫ sec x tan x dx = sec x + C

∫ cosec x cotan x dx = − cosec x + C Latihan dan Pembahasan 1. Selesaikanlah ! ∫ ( 3 sin x – 5 cos x) dx Pembahasan : ∫ ( 3 sin x – 5 cos x) dx = −3 cos x − 5 sin x + C

2.

∫ (x

3

+ sec2 x) dx

Pembahasan :

∫ (x

3

DEPDIKNAS

+ sec2 x) dx =

1 4 x + tan x + C 4


97


3.

∫ ( sec x tan x – 2 sin x) dx Pembahasan : ∫ ( sec x tan x – 2 sin x) dx = sec x + 2 cos x + C

1 sin (ax + b) + C a 1 ∫ sin (ax + b) dx = − a cos (ax + b) + C 1 2 ∫ sec (ax + b) dx = a tan (ax + b) + C 1 2 ∫ cos ec (ax + b) dx = − a cotan (ax + b) + C 1 ∫ sec (ax + b) tan (ax + b) dx = a sec (ax + b) + C 1 ∫ cos ec(ax + b) cotan (ax + b) dx = − a cosec (ax + b) + C

∫ cos (ax + b) dx =

a.

Latihan dan Pembahasan Selesaikan ! 1. ∫ sec 2 (4x + π) dx 2. 3. 4. 5.

∫ sin x dx ∫ ( 3 sin 2x + cos 3x) dx ∫ sin 3x cos 4x dx 3 ∫ sin x dx 2

Jawab : 1.

∫ sec

2

(4x + π) dx

2.

∫ sin

2

x dx =

1

1 tan (4x + π) + C 4 1

∫( 2−2

cos 2x) dx

1 1 1 x − . sin 2x + C 2 2 2 1 1 = x − sin 2x + C 2 4 =

DEPDIKNAS


98


3.

∫ ( 3 sin 2x + 4 cos 3x) dx 3 4 = − cos 2x + sin 3x + C 2 3

4.

∫ sin 3x cos 4x dx 1 = ∫ {(sin 7x + sin ( −x) )} dx 2 1 2

=

∫ (sin 7x − sin x) dx

1 1 = − cos 7x + cos x + C 2 2 5.

∫ sin

3

x dx

∫ sin x(sin x)dx 1 1 = ∫ sin x( − cos 2x) dx 2 2 2

=

=

1 2

1

∫ sin x dx − 2 ∫ sin x cos 2x dx

1 1 1 = − cos x − ∫ (sin 3x – sin x) dx 2 2 2 1 1 1 = − cos x − cos 3x + cos x + C 2 2 4 G. Integral Substitusi ∫ f (x) dx = F(x) + C

Jika u = g(x) maka : ∫ f (g(x)) o g′ (x) dx = F(g(x)) + C Contoh : 1. ∫ ( 4x + 5)8 dx cara a : misal u = 4x + 5 du du = 4 → dx = dx 4 → ∫ ( 4x + 5)8 dx = =

DEPDIKNAS

∫u

8

.

du 1 9 = u +C 4 4.9

1 (4x + 5)9 + C 36


99


cara b :

∫ ( 4x + 5)

8

dx = =

2.

1

∫ 4 (4x + 5)

8

d (4x + 5)

1 (4x + 5)9 + C 36

15x 2 2 3 -4 ∫ (x 3 − 1) 4 dx = ∫ 15 x (x − 1) dx

cara a : misal u = (x3 − 1) du du = 3x 2 → dx = dx 3x 2 → ∫ 15 x2 (x3 − 1)-4 dx = ∫ 15 x2 u-4.

du 3x 2

5 −3 5 u + C =− 3 +C −3 3u 5 =− +C 3( x 3 − 1) 3

=

cara b :

∫ 5 (x

3

− 1)-4 d(x3 − 1) 5 (x3 − 1)-3 + C −3 5 =− +C 3( x 3 − 1) 3 =

3.

cos x dx = 4 x

∫ sin

∫ cos x sin

-4

x dx

cara a : misal u = sin x du du = cos x → dx = dx cos x → ∫ cos x u 4 .

du cos x

1 -3 u +C 3 1 =− +C 3 sin 3 x = −

DEPDIKNAS


100


cara b :

∫ cos x sin

-4

x dx =

∫ sin

−4

x d sin x

1 -3 sin x + C 3 1 =− +C 3 sin 3 x = −

H. Integral Parsial ∫ u dv = uv − ∫ v du

Contoh : Selesaikan ! 1. ∫ x sin 3x dx u dv u=x

dv = sin 3x dx

du = dx

v=

1

∫ sin 3x dx = − 3 cos 3x

1

1

∫ sin 3x dx = − 3 xcos 3x + ∫ 3 cos 3x dx 1 1 = − xcos 3x + sin 3x + C 3 9 1

2.

∫ x 4 x + 3 dx = ∫ x(4 x + 3) 2 dx 1

u=x

dv = (4 x + 3) 2 dx

du = dx

v=

∫

1 (4 x + 3) 2 dx

1

1 = ∫ (4 x + 3) 2 d (4 x + 3) 4 3

1 = (4 x + 3) 2 6 1

∫ x (4 x + 3) 2 dx =

3

3

1 1 x (4 x + 3) 2 − ∫ (4 x + 3) 2 dx 6 6 3

3

1 1 1 = x (4 x + 3) 2 − . ∫ (4 x + 3) 2 d (4 x + 3) 6 6 4 3

5

1 1 1 1 = x (4 x + 3) 2 − . . (4 x + 3) 2 + C 6 6 2 5 3

1 1   = (4 x + 3) 2  x − (4 x + 3) + C 6   10

DEPDIKNAS


101


3.

∫x

2

cos x dx

dv = cos x dx u = x2 du = 2x dx v = sin x 2 = x . sin x − 2 ∫ x sin x dx u=x dv = sin x du = dx v = −cos x 2 = x sin x −2 (−x + ∫ cos x dx)

= x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x + C

x2

cos x

2x

sin x

2

-cos x

0

-sin x

di-integral-kan diintegralkan

didiferensialkan di-diferensial-kan

Catatan : Jika fungsi u turunan ke–k nya sama dengan nol (0) dan integralnya ada, maka dapat diselesaikan dengan cara praktis dari Tanzalin. Contoh : ∫ x 2 cos x dx =

∴Jadi x2 cos x dx = x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x + C 4.

∫

−1

x3 x2 +1

dx = ∫ x 3 ( x 2 + 1) 2 dx 2

= ∫ x . x( x

2

−1 + 1) 2

u

dv 1

u = x2

misal :

dx

dv = x(x2 + 1 ) 2 dx 1

v = (x2 + 1 ) 2

du = 2x dx

∫x

3

2

(x + 1 )

−

1 2

2

2

1 2

dx = x (x + 1 ) − 1

= x2 (x2 + 1 ) 2 − 1 2

∫ (x

2

1 2

+ 1 ) . 2x dx 1

2 2 ∫ ( x + 1 ) 2 d(x + 1) 3

2 = x (x + 1 ) − (x2 + 1 ) 2 + C 3 2

DEPDIKNAS

2


102

materi, soal, dan pembahasan ... - siswijaya.tripod.com

Recommend Documents