Seminar Fisika dan Aplikasinya 2009 Surabaya, 3 Nopember 2009
MESIN PANAS KUANTUM BERBASIS SUMUR POTENSIAL SATU DIMENSI Yohanes Dwi Saputra*) dan Agus Purwanto Laboratorium Fisika Teori dan Filsafat Alam (LaFTiFA) Jurusan Fisika FMIPA-ITS Kampus ITS Keputih-Sukolilo, Surabaya 60111 *)e-mail:
[email protected]
Abstrak Mesin panas kuantum sebagai aplikasi termodinamika kuantum telah dimodelkan dengan basis partikel tunggal dalam sumur potensial satu dimensi. Secara spesifik dibahas mesin Carnot dan mesin Diesel kuantum, dihitung efisiensinya berdasar hukum termodinamika. Kata kunci: sumur potensial, mesin Carnot kuantum, mesin Diesel kuantum, efisiensi
Abstract Quantum heat engine as a application of quantum thermodynamic has been modeled, based on a single quantum–mechanical particle confined to a potential well. Specifically explained quantum Carnot engine and quantum Diesel engine, also their efficiency calculation based on thermodynamic law. Keywords: potensial well, quantum Carnot engine, quantum Diesel engine, efficiency 1. Pendahuluan Keinginan masyarakat teknologis seperti sekarang ini adalah memanfaatkan sumber-sumber energi yang tersedia di alam lebih daripada kekuatan otot. Adapun hampir seluruh energi yang dihasilkan dari pengolahan bahan bakar fosil dan reaksi nuklir berupa energi panas sedangkan masyarakat sangat memerlukan energi mekanik untuk menjalankan mesin atau kendaraan. Akhirnya dibuatlah mesin panas, yaitu suatu perangkat yang mampu mengubah energi panas tersebut menjadi usaha mekanik pada suatu sistem mekanik, misalnya gas di dalam silinder berpiston. Maka lahirlah mesin Carnot, Diesel dan mesin-mesin yang lain. Pada prinsipnya, mesin panas ini mengubah energi panas yang diambil dari tandon panas semaksimal mungkin menjadi energi mekanik dan sisanya dialirkan ke
tandon dingin. Pada prakteknya, pasti akan dijumpai sisa energi panas yang tidak diubah menjadi energi mekanik karena adanya proses yang kurang reversibel sehingga mengurangi efisiensi mesin. Kenyataan ini merupakan bukti hukum kedua termodinamika yang telah diungkapkan oleh Kelvin Plank: “Tidak ada proses termodinamika yang mungkin dimana semua panas yang diserap dari tandon panas akan diubah seluruhnya menjadi usaha.” (Young, 2002) Mesin panas yang ada sekarang ini masih memiliki efisiensi yang rendah, termasuk mesin Carnot yang dikenal paling efisien di antara semua mesin panas. Maka untuk meningkatkan efisiensi mesin-mesin panas tersebut diperlukan tinjauan secara kuantum. Pada jurnal ini akan ditinjau mesin Carnot dan Diesel kuantum.
1
Seminar Fisika dan Aplikasinya 2009 Surabaya, 3 Nopember 2009 2. Partikel Tunggal di dalam Sumur Potensial Satu Dimensi
dimana koefisien an memenuhi kondisi ternormalisasi
Sebuah partikel bermassa m berada pada sumur potensial satu dimensi sesuai Gambar 1.
an
2
1.
n 1
Energi rata-rata yang dimiliki sistem sebesar 2
E L
an En . n 1
Gambar 1. Partikel tunggal di dalam sumur potensial satu dimensi. Secara matematis, fungsi gelombangnya yaitu
x
0 untuk x 0 dan x
Persamaan Schrodinger tak waktu untuk sistem ini yaitu
d2 2m dx 2
L
Salah satu dinding sumur potensial ini (x = L) dapat bergerak searah sumbu-x layaknya piston yang bergerak maju mundur di dalam silinder. Gaya mekanik yang menggerakkan dinding ini yaitu
F L
dE L dL
an n 1
2
n2 2 2 . mL3
.
bergantung
2
E , untuk 0
x
L
yang mempunyai solusi fungsi eigen dan energi eigen berturut-turut
n
2 n x sin L L
x
En
n2 2 2 2mL2
dengan n = 1, 2, 3, …. Semua solusi eigen yang mungkin dari sistem ini merupakan vektor basis-vektor basis yang saling tegak lurus dari ruang vektor (fungsi gelombang) sistem, sehingga bisa dinyatakan sebagai
x
an n 1
n
x
Gambar 2. Sistem kuantum dianalogikan dari sistem klasik.
yang
Dari ketiga besaran lebar sumur, energi ratarata, dan gaya mekanik dinding sumur potensial ini, proses-proses termodinamika seperti adiabatik, isotermal, isovolume, dan isobar untuk sistem ini dapat diterangkan. Pada jurnal ini, sistem yang ditinjau berupa partikel tunggal di dalam sumur potensial tak berhingga satu dimensi dimana dikhususkan untuk kasus dua keadaan eigen n = r dan n = s dari sumur potensial yang berkontribusi pada fungsi gelombang di dalam sumur. Adapun kasus yang paling sederhana yaitu eksitasi partikel dari keadaan dasar (r = 1) ke keadaan eksitasi pertama (s = 2
Seminar Fisika dan Aplikasinya 2009 Surabaya, 3 Nopember 2009 2) (Bender, 2000). Fungsi gelombang yang sesuai untuk kasus dua keadaan eigen n = r dan n = s yaitu
untuk menjaga energi rata-rata selalu konstan. Besar energi rata-ratanya yaitu
EBC L x
2 r x sin L L
ar
as
2 s x sin . L L
Energi rata-rata sistem yaitu
E L
ar
2
r2 2 2 2mL2
ar
2
2
s2 2 2 . 2mL2
Dari keadaan ternormalisasi diperoleh 2
as
as
2
s2 2 2 2mL2
s2
EBC L
ar
1 ar
2
as
2
s2 2 2 . mL3
3. Mesin Carnot Kuantum Grafik gaya mekanik sebagai fungsi lebar sumur untuk mesin Carnot kuantum terlihat pada Gambar 3.
2 2
2
r 2 s2
2mL2
.
Karena pada proses isotermal kuantum energi rata-ratanya konstan maka berlaku
EB
F L
as
maka
dan gaya mekanik dinding sumur sebesar
r2 2 2 mL3
r2 2 2 2mL2
2
ar
EBC L
2 2
r L LB 2
s2
2
ar
ar
0
L
ar
1
L
r 2 s2
s LB , s r LB .
r
Jadi nilai maksimum yang mungkin untuk L adalah LC = sLB/r dan ini terjadi ketika ar = 0. Gaya luar yang bekerja yaitu
FBC L
s
2
ar
2
2
r
2
s
2
2
mL3
r2 2 2 . mL2B L
Terlihat bahwa nilai LFBC selalu konstan. Hal ini sesuai dengan analogi klasiknya. Secara umum, pada sistem sumur potensial satu dimensi yang mengalami proses isoterm kuantum, berlaku
LF L
Gambar 3. Siklus Carnot kuantum. Siklus Carnot kuantum melewati lintasan BCDAB. Penentuan efisiensinya adalah sebagai berikut. Keadaan awal (titik B): Partikel berada pada keadaan eigen n = r dengan besar energi rata-rata
EB
r2 2 2 . 2mLB 2
Langkah BC: Terjadi proses isotermal kuantum dimana partikel tereksitasi dari keadaan eigen awal (n = r) ke keadaan eigen akhir (n = s)
C
dengan C adalah konstanta. Langkah CD: Sistem mengalami ekspansi adiabatik kuantum dari L = LC sampai L = LD. Partikel tetap berada pada keadaan eigen akhir n = s dengan energi rata – rata
ECD L
as
2
s2 2 2 . 2mL2
Pada keadaan adiabatik, koefisien an bernilai konstan sehingga keadaan ternormalisasi yang sesuai yaitu
an
2
as
2
1
n 1
sehingga energi rata–ratanya menjadi
ECD
s 2 2 2 . 2mL2
Gaya luar yang bekerja yaitu 3
Seminar Fisika dan Aplikasinya 2009 Surabaya, 3 Nopember 2009
Wt . Qin
s2 2 2 . mL3
FCD L
Dari persamaan di atas, dapat diketahui bahwa pada proses adiabatik kuantum berlaku
L3 F L
C
dengan C suatu konstanta. Keadaan D: Partikel berada pada keadaan eigen akhir n = s dengan energi rata – rata sebesar
ar
r 2 s2
2
2mL
s2
ar
0
ar
1
L
2
r 2 s2
L
1
r.
Jadi nilai minimum yang mungkin untuk L pada proses ini sebesar LA = rLD/s. Selama proses ekspansi isotermal kuantum, gaya luar yang bekerja yaitu
FDA L
s2
ar
2
2
r 2 s2
r2 L2B
rLD s
FAB dL
s2 s ln . L2D r
QBC
U BC WBC .
WBC
r2 2 2 s ln . mL2B r
Penentuan efisiensi mesin Carnot kuantum baru bisa dilakukan dan hasilnya
LD r LD , s s
LB
Karena pada langkah BC nilai UBC = 0 (energi rata-ratanya konstan) maka didapat
Qin
ar
2
FCD dL
Dari termodinamika diperoleh
EDA L
s 2 L2 LD 2
sLB r
FDA dL
m Qin
.
Pada proses isotermal kuantum berlaku
ED
LB
2
LD
FBC dL
rLD s
2 2
2
sLB r
LD
Langkah DA: Terjadi kompresi isotermal kuantum dari L = LD menuju L = LA. Energi rata– ratanya sebesar
s2
Wt
s2 2 2 . 2mLD 2
ED
EBC L
Untuk mendapatkan Wt, ditinjau kurva F(L) pada Gambar 3. Luas daerah yang dilingkupi lintasan ABCDA merupakan besar usaha total Wt yang dilakukan sistem, yaitu
2
mL3
s 2 L2B atau r 2 L2D
1
ED . EB
4. Mesin Diesel Kuantum Mesin Diesel kuantum memiliki siklus seperti tampak pada Gambar 4 berikut
s2 2 2 . mL2D L
Langkah AB: Langkah terakhir adalah proses kompresi adiabatik kuantum dari L = LA menuju L = LB. Selama proses kompresi ini, partikel tetap berada pada keadaan eigen awal n = r. Energi rata – ratanya yaitu
EAB L
r2 2 2 . 2mL2 ini.
Gaya luar yang bekerja sebesar
FAB L
r
2
2 2
mL3
.
dengan nilai L3FAB selalu konstan. Untuk mendapatkan nilai efisiensi mesin Carnot, dipakai persamaan
Gambar 4. Siklus Diesel kuantum. Mesin ini memiliki lintasan ABCDA. Efisiensinya ditentukan dengan cara yang sama dengan mesin Carnot kuantum. 4
Seminar Fisika dan Aplikasinya 2009 Surabaya, 3 Nopember 2009 Keadaan A :
FB
Energi rata-rata pada titik A yaitu
r2 2 2 . 2mLA2
EA Langkah AB :
Terjadi proses kompresi adiabatik kuantum tanpa mengubah keadaan eigen n = r. Lebar sumur menyempit dari L = LA ke L = LB dengan rasio kompresi
ar
0
L
ar
1
L
EC
FB
FC
C
ECD L
s2 2 2 2mL2
dan gaya luarnya sebesar
Langkah BC : Sistem mengalami ekspansi isobar kuantum dengan gaya mekanik dinding sumur konstan sebesar
mL3
Energi rata – rata pada titik D yaitu
.
Karena gaya mekanik konstan maka berlaku
s2 2 2 . mL3
Keadaan D :
2 2
r 2 s2
s2 2 2 . 2mLC 2
Proses ekspansi adiabatik terjadi pada proses ini, sehingga energi rata – ratanya
r2 2 2 . mLB 3
2
r2 2 2 . mLB 3
Langkah CD :
r2 2 2 2mLB 2
ar
r
Energi rata–ratanya sebesar
r2 2 2 . mL3
FCD L
s2
LC , s
Keadaan C :
dan gaya luar yang bekerja pada sistem sebesar
FBC L
LB
dengan C suatu kostanta.
Besar energi rata – ratanya
FB
2/3
Jadi LC = (s/r)2/3LB dengan LC > LB. Gaya mekaniknya menjadi
Keadaan B :
EB
r 2 s2
s r LB .
FBC L
Gaya luar yang bekerja sebesar
FAB L
2
ar
2 2
r . 2mL2
EAB L
s2
Dari persamaan ini dapat dilihat bahwa
Energi rata – ratanya sebesar 2
r 2 L3 LB 3
FBC L
LA . LB
rk
FBC L
ED
s2 2 2 , 2mLD 2
Langkah DA : Langkah ini mengembalikan keadaan eigen partikel dari n = s kembali ke n = r 5
Seminar Fisika dan Aplikasinya 2009 Surabaya, 3 Nopember 2009 pada kondisi lebar sumur yang tetap L = LD = LA, sehingga
dL 0.
Daftar Pustaka 1. Bender, C.M., D.C. Brody, B.K. Meister, Quantum-Mechanical Carnot Engine. 2000, arXiv:quant-ph/0007002v1.
Usaha total mesin Diesel kuantum yaitu 2
Wt
r 2 s 2 LA LB 3 LC 3 3r 2 LA3 LB LC 3
2
LA3 LB 3 LC 3
2m 2
2. Young, H.D., R.A. Freedman, Sears & Zemansky Fisika Universitas (Terjemahan).Jilid 1. 2002, Erlangga: Jakarta.
2r 2 LA3 LC 4 s 2 LA3 LB 3 LC LA3 LB 3 LC 3
2
2m
Kalor input dicari sesuai persamaan
Qin
QBC 2
U BC WBC 2
2m
s 2 LB 3 LC 3r 2 LB LC 3 2r 2 LC 4 . LB 3 LC 3
Efisiensi mesin Diesel kuantum diperoleh sebesar
1
1 1 3 L A LB
2
LC 3 1 LB 3 LC 1 LB
atau
LC 1 LA 1 3 LC LA
3
LB LA LB LA
3
.
5. Kesimpulan Efisiensi mesin Carnot dan mesin Diesel kuantum pada sistem partikel tunggal di dalam sumur potensial ini memiliki bentuk yang sama dengan efisiensi mesin Carnot dan Diesel klasiknya. Apabila rasio-rasio yang ada dibuat sama untuk kedua sistem kuantum dan klasik, seperti rasio kompresinya maka terlihat bahwa mesin Diesel kuantum lebih efisien daripada mesin klasiknya. Tersirat juga dari persamaan efisiensi mesin Diesel kuantum bahwa besar konstanta Laplace untuk sistem ini sebesar 3, sementara telah diketahui bahwa untuk gas monoatomik sendiri sebesar 1,67. 6
