Soal Latihan dan Pembahasan Integral

Soal Latihan dan Pembahasan Integral Di susun Oleh :

Yuyun Somantri1 http://bimbinganbelajar.net/

Di dukung oleh :

Portal edukasi Gratis Indonesia Open Knowledge and Education http://oke.or.id

Tutorial ini diperbolehkan untuk di copy, di sebarluaskan, di print dan diperbaiki dengan tetap menyertakan nama penulis、 tanpa ada tujuan komersial

1

Lahir di Bandung tahun 1956, Lulus dari SMK Kimia melanjutkan studinya ke UPI (IKIP Bandung), lalu meneruskan studinya lagi bidang matematika dan dari tahun 1984 sampai saat ini mengajar matematika di SMA Negeri 3 Tasikmalaya

1

Integral 1.

∫ ( 3x

2

)

− 4 x + 5 dx = ....

Jawab :

x3 − 2 x 2 + 5 x + c

2.



∫  3

x+

1  + 6  dx = ..... x 

Jawab : − ∫  3x 2 + x 2 + 6  dx = 3. 23 x 2 + 2 x 2 + 6 x + c = 2 x x + 2 x + 6 x + c 1

3.

∫ sin

2

1

∫ (6x

2

)

+ 10 x − 4 dx = 2 x 3 + 5 x 2 − 4 x + c

x cos x dx = ....

Jawab :

Misal u = sin x ⇒ du = cos x dx

∫u

5.

3

∫ ( 3x − 1)( 2 x + 4) dx = ..... Jawab :

4.

1

2

du =

1 3

u3 + c =

1 3

sin 3 x + c

∫ 2 x sin x dx = ..... Jawab : Diferensial 2x 2 0

∫ 2 x sin x dx =

Integral Sin x -cos x -sin x

− 2 x cos x − (− 2 sin x ) + c = 2 sin x − 2 x cos x + c

2

2

6.

∫ ( 3x

2

)

− 3 x + 7 dx = ....

0

Jawab :

1

7.

∫

0

[x

3

−

3 2

]

2

x 2 + 7 x 0 = (8 − 6 + 14) − (0 − 0 + 0) = 16

1

f ( x) dx = 2 dan ∫ 2 f ( x ) dx = 2 maka 2

2

∫

f ( x) dx = .....

0

Jawab : 1

∫

1

2 f ( x) dx = 2 ⇔

2

∫

f ( x) dx = 1

2

2

1

∫

f ( x) dx =

0

∫

2

f ( x) dx +

0

∫

1

f ( x ) dx =

1

∫

1

f ( x) dx −

0

∫

f ( x) dx = 2 − 1 = 1

2

8. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh garis y = 4x, sumbu X dan garis x = 5 ! Jawab : Y

5

X

∫ 4 x dx = [2 x ] 5

L=

2 5 0

= 50

0

9.

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = − x 2 + 2 x dan sumbu X untuk 0 ≤ x ≤ 3 Jawab :

Y

2

2

L=

∫ (− 0

)

x + 2 x dx − 2

3

3

∫ (− 2

X

)

[

x + 2 x dx = − 2

2

1 3

x + x 3

2

] − [− 0

1 3

x3 + x2

]

3 2

= 2 23

3

10. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2 − 6 x Jawab :

dan sumbu X !

Y 0

3

6 X

-9

6

(

)

2 Cara I : L = − ∫ x − 6 x dx = −

[

1 3

]

6

x 3 − 3x 2 0 = − (72 − 108) = 36

0

2 2 2 2 Cara II : yatas − ybawah = 0 − ( x − 6 x) = − x + 6 x ⇒ D = b − 4ac = 6 − 0 = 36

D D 36 36 = = 36 6a 2 6.(− 1) 2 2 2 Cara III : L = 3 pl = 3 .6.9 = 36 L=

11. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 6 x − x 2 dan y = x 2 − 2 x Jawab :

y2 − y1 = (6 x − x 2 ) − ( x 2 − 2 x) = − 2 x 2 + 8 x D = 64 − 0 = 64 L=

12.

64 64 64 = 6.(− 2) 2 3

Y

Jika luas yang diarsir 32, maka tentukan ordinat Puncak parabola ! X 4

Jawab :

L= 32 =

2 3

pl 2 3

.4 y ⇔ y = 12

4

13. Tentukan isi benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 3 , sumbu

X dan 0 ≤ x ≤ 2 diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360 ! Jawab :

Y

X

2 2

V = π ∫ ( x 3 ) 2 dx = π 0

2

∫x

6

dx = π

[ x] 1 7

7 2 0

0

=

128 π 7

14. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh parabola

y = x2 ,

y = 4 x 2 dan y = 4 diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360 !

Y Jawab :

4

X

4

V = π ∫ ( y) − ( 2

4

y ) dy = π 2

1 2

0

4

∫ y−

1 4

y dy = π

0

∫

3 4

y dy = π

[ y] 3 8

2 4 0

= 6π

0

15. ∫ x x dx = ...... Jawab :

∫ 16.

∫

x 1 − x2

3

x 2 dx =

2 5

5

x2 + c =

2 5

x2 x + c

dx = ......

Jawab :

1 − x 2 = u ⇒ − 2 x dx = du ⇔ x dx = − 12 du

∫

x 1 − x2

dx =

−

1

∫ u 2. −

1 2

1

du = − 12 .2u 2 + c = − u + c = − 1 − x 2 + c

5

17.

∫

12 x 2 x2 + 3

dx = ......

Jawab :

2 x 2 + 3 = u ⇒ 4 x dx = du ⇔ 12 x dx = 3 du 1 12 x −1 2 2 dx = u . 3 du = 3 . 2 u + c = 6 2x2 + 3 + c ∫ 2 x2 + 3 ∫

18.

∫

18 x 2 2 x3 + 8

dx = .....

Jawab :

2 x 3 + 8 = u ⇒ 18 x 2 dx = 3 du −

1

3 ∫ u 2 .3 du = 6 2 x + 8 + c

19. ∫ x ( x + 4) 5 dx = ...... Jawab : Diferensial x

=

1 6

Integral

( x + 4)5

1

1 6

( x + 4)6

0

1 42

( x + 4) 7

x( x + 4)6 −

1 42

( x + 4)7 + c =

1 21

(3 x − 2)( x + 4) 6 + c

20. Jika f ‘(x) = 8x – 2 dan f(5) = 36 maka tentukan f(x) ! Jawab :

f ( x) =

∫ ( 8x − 2) dx =

4x2 − 2x + c

f (5) = 4.52 − 2.5 + c = 36 ⇔ c = − 54 f ( x ) = 4 x 2 − 2 x − 54

21. Diketahui f ‘(x) = (x+1)(x+2). Jika f(-3) = -3/2 maka tentukan f(x) ! Jawab :

f ( x) =

∫ (x

2

)

+ 3 x + 2 dx =

f (− 3) = − 9 +

27 2

f ( x) =

3 2

1 3

x3 +

− 6+ c = −

x2 + 2x

1 3 3 2

x2 +

3 2

x2 + 2x + c

⇔ c= 0

6

22. Diketahui

dF = ax + b, f (0) − f (− 1) = 3 dan f (1) − f (0) = 5 . Tentukan a+ b ! dx

Jawab :

f ( x) =

∫ (ax + b) dx =

a 2

x 2 + bx + c

f (0) − f (− 1) = 3 ⇒ (0 + 0 + c) − ( a2 − b + c) = 3 ⇔ − a + 2b = 6 ........(1) f (1) − f (0) = 5 ⇒ ( a2 + b + c ) − (0 + 0 + c) = 5 ⇔ a + 2b = 10 ...........(2) Dari (1) dan (2) didapat a = 2 dan b = 4 Maka a + b = 6

23. ∫ sin ( 2 x − 3) dx = ....... Jawab :

2 x − 3 = u ⇒ dx =

∫ sin u. 24.

∫ (x

2

1 2

1 2

du

du = − 12 cos(2 x − 3) + c

)

+ 1 cos x dx = ......

Jawab : Diferensial

Integral cos x sin x -cos x -sin x

x +1 2

2x 2 0

(

)

= x 2 + 1 sin x − ( − 2 x cos x) + (− 2 sin x) + c = ( x 2 − 1) sin x + 2 x cos x + c

25. ∫ ( 3x + 1) cos 2 x dx = ...... Jawab : Diferensial 3x+1 3

Integral cos 2x 1 2 1 -4

0

sin 2 x cos 2 x

=

1 2

(3 x + 1) sin 2 x − (− 34 cos 2 x ) + c

=

1 2

(3 x + 1) sin 2 x +

3 4

cos 2 x + c

7

26. ∫ sin 3 x cos x dx = ....... Jawab :

sin x = u ⇒ cos x dx = du

∫ sin

3

∫u

x cos x dx =

3

du =

1 4

sin 4 x + c

a

27. Tentukan nilai a yang memenuhi

∫ (2 x − 1) dx =

6 dan a > 0 !

1

Jawab :

[

a

∫ (2 x − 1) dx =

]

a

6 ⇔ x 2 − x 1 = 6 ⇔ (a − 3)(a + 2) = 0 ⇒ a = 3

1

dF ( x) 11 = x 3 + x − 3 dan F (1) = − 28. Jika maka tentukan dx 20

2

∫

f ( x) dx

1

Jawab :

∫ (x

)

1 + c 2 x2 1 1 11 3 F (1) = − + c = − ⇔ c= − 4 2 20 10 F ( x) =

2

3

+ x − 3 dx =

2

∫ F ( x) dx = ∫ ( 1

29. Jika y =

1 3

1 4

x4 −

1 2

1 4

x4 −

x− 2 −

3 10

) dx = [

1 20

x5 +

1 2x

−

3 10

]

2

x1 = 1

1

(x

2

2

3

+

3 x

) maka ∫

 dy  4 +   dx = .......  dx 

1

Jawab : 2

y=

1 3

x3 + x − 1 ⇒ 2

2

1 2

=

2

 dy  4 +   dx =  dx 

∫

∫ (x 1

2

)

(

dy  dy  2 −2 = x2 − x− 2 ⇒   = x − x dx  dx 

+ x − 2 dx =

∫

4+ x + x 4

−4

1

[

1 3

2

− 2 dx =

∫ (x 1

x3 −

]

1 2 x 1

=

17 6

2

)

2

= x4 + x− 4 − 2

+ x− 2

)

2

dx

8

a

30. Jika

∫

b

13 2

x 2 dx =

0

3 , ∫ (2 x − 3) dx = 4 dan a, b > 0 maka tentukan nilai a 2 + 2ab + b 2 10 0

Jawab : a

∫

1 2

2

x 3 dx =

0

5 a 3 ⇔  103 x 3  =   0 10

[

b

∫ (2 x − 3) dx =

3 10

]

5

a3 =

3 ⇔ a=1 10

b

4 ⇔ x 2 − 3x 0 = 4 ⇒ b = 4

0

a 2 + 2ab + b 2 = 25

31. Diketahui

∫

f ( x) dx = ax 2 + bx + c dan a ≠ 0. Jika a, f(a), 2b membentuk barisan aritmetika 1

dan f(b) = b maka tentukan nilai ∫ f ( x) dx 0

Jawab :

f ( x ) = 2ax + b ⇒ f (a) = 2a 2 + b 6 2a + 1 a, f (a ),2b barisan aritmetika maka : f (a) − a = 2b − f (a ) f (b) = 6 ⇒ 2ab + b = 6 ⇔ b =

2 f ( a) = a + 2b ⇒ 2( 2a 2 + b) = a + 2b ⇒ a = 1

∫

0

32. Jawab :

1

f ( x) dx =

∫( 0

1 2

x + 4) dx =

[

1 4

]

1

x2 + 4x 0 =

17 4

1 4

⇒ b=

6 = 4 2. + 1 1 4