Sumário, aula 9 Conceito de elasticidade Vamos imaginar

Sumário, aula 9

Conceito de elasticidade • Vamos imaginar dois materiais diferentes e de dimensão diferentes aos quais está aplicada uma força de tracção de 1kg

• Elasticidade – Elasticidade arco – Elasticidade no ponto – Função iso-elástica – Elasticidade preço da procura – Elasticidade preço da oferta

– O vermelho mede 1 cm e o verde 2 cm.

• Vamos aumentar a força de tracção a ambos os materiais para 2 kg – O vermelho atinge 2 cm e o verde 3 cm.

• Qual será o material mais elástico? 1

Conceito de elasticidade

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Conceito de elasticidade • Para a mesma elasticidade, quanto mais comprido fosse o elástico, mais esticará – Se o vermelho tivesse 2 cm, atingiria 4 cm – Se o verde tivesse 1 cm, atingiria 1,5 cm

• A elasticidade terá que ser medida em termos percentuais – O vermelho aumentou 100% e o verde 50% 3


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• A elasticidade do vermelho é maior que a do verde – Para a mesma força aumentou mais por unidade de comprimento

• Vamos agora pensar que ao material vermelho foi aplicada maior força – De 1kg para 2kg esticou 100% – De 1kg para 3kg esticou 200% 5

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1



• Como o material é o mesmo, a elasticidade deverá ser a mesma.

• A elasticidade obtém-se dividindo o aumento relativo do comprimento pelo aumento relativo da força de tracção e = 100%/100% = 200%/200% = 1

– Quando a força aumentou 100%, o comprimento aumentou 100% – Quando a força aumentou 200%, o comprimento aumentou 200%

– A elasticidade do vermelho é 1 – Quando a força aumenta em 1% (o de baixo), o comprimento aumenta em 1% (o de cima)

• A elasticidade obtém-se dividindo o aumento relativo do comprimento pelo aumento relativo da força de tracção 7

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• Relativamente ao material verde e = 50%/100% = 0,5

• Em termos económicos, as variações relativas são muito importantes. – E.g., entre 1995 e 2003, o crescimento do PIB per capita em PPC foi – Em Portugal: 1,97% ao ano (PIB2003=17123€) – Em Marrocos: 1,83% ao ano (PIB2003= 3783) – Apesar de grandes diferenças no PIB, as taxas de crescimento foram idênticas

– A elasticidade do verde é 0,5 – Quando a força aumenta em 1% (o de baixo), o comprimento aumenta em 0,5% (o de cima)

• A elasticidade não tem unidades 9

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Conceito de elasticidade 35000

GDP per capita, PPP (constant 2000 international $) 2003 Relação TxCresc Portugal 17123 1,000 1,97% Morocco 3783 0,221 1,83% United States 35484 2,072 1,77% Spain 21152 1,235 2,50% High income OECD 26121 1,525 1,67%

30000

Spain 20000

United States High income OECD

15000

Finland

10000 5000 1975

11

Portugal

25000

1985

1995

2005

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Conceito de elasticidade 100000

• Um função de taxa de crescimento constante é do tipo • Y = a(1+taxa)X

Portugal Spain United States

10000

High income OECD Finland

• ln(Y) = ln(a) + X.ln(1+taxa) ≈ A+X.taxa 1000 1975

1985

1995

2005

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• A elasticidade mede a razão entre duas variáveis • Por exemplo Em termos absolutos (inclinação): – “Um aumento de preço de 1€ induz uma diminuição na quantidade procurada em 5,3kg”

Em termos de elasticidade (inclinação de duplo ln): – “Um aumento de preço de 1% induz uma diminuição na quantidade procurada em 0, 37%”

• Sendo que, por exemplo, • 1) A elasticidade consumo de roupa rendimento é de 0,67 • 2) A elasticidade consumo de electricidade preço é de –0,05% – Ceteris paribus

• Que quer dizer isto?

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Elasticidade arco

• 1) Se o rendimento aumentar em 1%, o consumo de roupa aumentará em 0,67%

• No caso do crude,

• 2) Se o preço da electricidade aumentar em 1%, o consumo diminuirá em 0,05%

Em 2001, P = 23.6€/b e Q = 75.7 Mb/d Em 2006, P = 68.8€/b e Q = 84.4 Mb/d ∆P/P= (P 2-P1)/P 1 = (68.8-23.6)/23.6 = + 191,5% ∆Q/Q = (Q 2-Q1)/Q1 = (84.4-68.8)/68.8 = +11,5%

• Elasticidade quantidade preço e = 11,5%/191,5% = 0,06 17

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Elasticidade arco

Elasticidade arco • A elasticidade arco é um valor médio que deveria ser calculados no ponto médio: ∆P/P= 2 (P 2-P1)/(P 2+P1) = 2(68.8-23.6)/(68.8+23.6) = + 97,8% ∆Q/Q = 2(Q 2-Q1)/ (Q 2+Q1) = 2(84.4-68.8)/ (84.4+68.8)/ = +10,8% e = 0,11 19

Elasticidade no ponto

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• Da mesma forma que a inclinação pode variar de ponto para ponto da função

• A elasticidade arco vem dada por

– No ponto, a inclinação é a derivada

• A elasticidade também pode variar de ponto para ponto da função.

e=

– No ponto, a elasticidade relaciona-se com a derivada e com os valores das ordenadas

∆Q Q ∆P P

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• Que pode ser manipulada algebricamente:

e=

∆Q Q ∆P P

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• Da mesma forma que a inclinação no ponto é o limite quando ∆P tende para zero:

∆Q P P ∆Q P ∆Q = = = Q ∆P Q ∆P Q ∆P

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Q' = lim

∆P →0

∆Q ∆P

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• A elasticidade no ponto é o limite quando ∆P tende para zero:

 P ∆Q  P ∆Q P  = ε = lim  lim = Q' ∆ P → 0 Q ∆P   Q ∆P → 0 ∆P Q

• A inclinação, é diferente da elasticidade • Mas tem o mesmo sinal (se as quantidades e os preços forem positivos)

ε=

P inclinação Q

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Elasticidade no ponto • Será Q(P) = aPb ?

• Como será uma função de elasticidade constante? • Uma que a recta Q(P) = a + bP tem?

ε=

ε=

P P ( a + bP )' = b Q Q

P P (aP b )' = (baP b −1 ) Q Q

P baP b P bQ = =b ε= Q P Q P 27

Exemplo 1 - elasticidade

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Exemplo 1

• Considere a função Q(P) = 8-2P

• Em termos arco, teremos • Q(1) = 6; Q(1,01) = 5.98 ; ∆Q/Q = -0,33%

– A variação do preço de 1 u.m. induz uma diminuição na quantidade procurada de 2 u.

– A variação do preço de 1 % induz uma diminuição na quantidade procurada em 0,33%.

• Sendo que actualmente o equilíbrio é em P=1 u.m., se o preço aumentar 1%, quanto diminui a quantidade procurada • E se P= 3 u.m?

• Q(3) = 2; Q(3,03) = 1.94 ; ∆Q/Q = -3,05% – A variação do preço de 1 % induz uma diminuição na quantidade procurada em 3,05%. 29

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Exemplo 1

Exemplo 1

• Em termos do ponto, teremos • Q(1) = 6; Q’ = -2

ε =−

• Os valores são aproximadamente iguais porque o arco é pequeno – Entre os pontos considerados, o P e a Q variam pouco.

1 2 = −0,3 6

• Q(3) = 2; Q’ = -2

ε=−

3 2 = −3 2 31

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Exemplo 1

Elástico/Inelástico

10 Ln(P)

Ln(Q)

1 1

10

• Por convenção que, veremos, faz sentido • Se a elasticidade for maior que 1 em magnitude, diz-se que a função é elástica • Exemplo de procura elástica Q = 10P -1,5 – Neste caso, quando o preço aumenta 1%, a quantidade procurada diminui 1,5%

0,1 33

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• Se a elasticidade for menor que 1 em magnitude, diz-se que a função é inelástica • Exemplo de oferta inelástica Q = 10P 0,75

• • • •

Se a função (procura ou oferta) for vertical A inclinação é ZERO (?) A elasticidade é zero A função é perfeitamente inelástica

– Neste caso, quando o preço aumenta 1%, a quantidade oferecida aumenta 0,75%

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Exercício 4-9

• Se a função (procura ou oferta) for horizontal • A inclinação é infinita (?) • A elasticidade também é infinita • A função é perfeitamente elástica

• 3- Sendo que as curvas de procura e de oferta individuais são dadas pelas funções:

Qid = 6000− 5P

Q sj = −600 + 6 P

• Calcule a elasticidade preço da procura e na oferta no ponto de equilíbrio, explicando o seu significado económico. 37

Exercício 4-9

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Exercício 4-9

• O equilíbrio é

• P/Q = 0,2 u.m./kg • Inclinação da procura = -5 kg/u.m. • ed = -5 x 0,2 = -1

D = S ⇒ 6000 − 5 P = −600 + 6 P P = 6600 / 11 = 600u.m; Q = 3000kg / d

• Se o preço aumentar 1%, a quantidade procurada diminui 1%

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Exercício 4-9

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Exercício 13

• P/Q = 0,2 u.m./kg • Inclinação da oferta = 6 kg/u.m. • es = 6 x 0,2 = 1,2

• A quantidade de ‘micro-ondas’ comprada ao longo de um ano é dada por • Q=26500-PX+0,25P Y+0,002EW +0,026R+0,0002A

• Se o preço aumentar 1%, a quantidade oferecida aumenta 1,2%

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PY =50K u.m.; (preços concorrentes) EW = 2M; (mulheres a trabalhar) R = 1M u.m.; (rendimento médio) A = 5 M u.m; (gastos em publicidade)

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Exercício 13-b

Exercício 13-a

• B) Qual a curva da procura?

• Tem como variável apenas o preço do BS em questão Q=26500PX+0,25x50k+0,002x2M+0,026x1M+0,0002x5M Q=70k-PX • A) qual a quantidade procurada para PX = 40ku.m.? 43

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Exercício 13 • Tem como variável apenas o preço do BS em questão Q=26500PX+0,25x50k+0,002x2M+0,026x1M+0,0002x5M Q=70k-PX • A) qual a quantidade procurada para PX = 40ku.m.? 45

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Sumário, aula 9 Conceito de elasticidade Vamos imaginar

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