Sumário, aula 9
Conceito de elasticidade • Vamos imaginar dois materiais diferentes e de dimensão diferentes aos quais está aplicada uma força de tracção de 1kg
• Elasticidade – Elasticidade arco – Elasticidade no ponto – Função iso-elástica – Elasticidade preço da procura – Elasticidade preço da oferta
– O vermelho mede 1 cm e o verde 2 cm.
• Vamos aumentar a força de tracção a ambos os materiais para 2 kg – O vermelho atinge 2 cm e o verde 3 cm.
• Qual será o material mais elástico? 1
Conceito de elasticidade
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Conceito de elasticidade • Para a mesma elasticidade, quanto mais comprido fosse o elástico, mais esticará – Se o vermelho tivesse 2 cm, atingiria 4 cm – Se o verde tivesse 1 cm, atingiria 1,5 cm
• A elasticidade terá que ser medida em termos percentuais – O vermelho aumentou 100% e o verde 50% 3
Conceito de elasticidade
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Conceito de elasticidade
• A elasticidade do vermelho é maior que a do verde – Para a mesma força aumentou mais por unidade de comprimento
• Vamos agora pensar que ao material vermelho foi aplicada maior força – De 1kg para 2kg esticou 100% – De 1kg para 3kg esticou 200% 5
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Conceito de elasticidade
Conceito de elasticidade
• Como o material é o mesmo, a elasticidade deverá ser a mesma.
• A elasticidade obtém-se dividindo o aumento relativo do comprimento pelo aumento relativo da força de tracção e = 100%/100% = 200%/200% = 1
– Quando a força aumentou 100%, o comprimento aumentou 100% – Quando a força aumentou 200%, o comprimento aumentou 200%
– A elasticidade do vermelho é 1 – Quando a força aumenta em 1% (o de baixo), o comprimento aumenta em 1% (o de cima)
• A elasticidade obtém-se dividindo o aumento relativo do comprimento pelo aumento relativo da força de tracção 7
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Conceito de elasticidade
Conceito de elasticidade
• Relativamente ao material verde e = 50%/100% = 0,5
• Em termos económicos, as variações relativas são muito importantes. – E.g., entre 1995 e 2003, o crescimento do PIB per capita em PPC foi – Em Portugal: 1,97% ao ano (PIB2003=17123€) – Em Marrocos: 1,83% ao ano (PIB2003= 3783) – Apesar de grandes diferenças no PIB, as taxas de crescimento foram idênticas
– A elasticidade do verde é 0,5 – Quando a força aumenta em 1% (o de baixo), o comprimento aumenta em 0,5% (o de cima)
• A elasticidade não tem unidades 9
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Conceito de elasticidade
Conceito de elasticidade 35000
GDP per capita, PPP (constant 2000 international $) 2003 Relação TxCresc Portugal 17123 1,000 1,97% Morocco 3783 0,221 1,83% United States 35484 2,072 1,77% Spain 21152 1,235 2,50% High income OECD 26121 1,525 1,67%
30000
Spain 20000
United States High income OECD
15000
Finland
10000 5000 1975
11
Portugal
25000
1985
1995
2005
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Conceito de elasticidade
Conceito de elasticidade 100000
• Um função de taxa de crescimento constante é do tipo • Y = a(1+taxa)X
Portugal Spain United States
10000
High income OECD Finland
• ln(Y) = ln(a) + X.ln(1+taxa) ≈ A+X.taxa 1000 1975
1985
1995
2005
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Conceito de elasticidade
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Conceito de elasticidade
• A elasticidade mede a razão entre duas variáveis • Por exemplo Em termos absolutos (inclinação): – “Um aumento de preço de 1€ induz uma diminuição na quantidade procurada em 5,3kg”
Em termos de elasticidade (inclinação de duplo ln): – “Um aumento de preço de 1% induz uma diminuição na quantidade procurada em 0, 37%”
• Sendo que, por exemplo, • 1) A elasticidade consumo de roupa rendimento é de 0,67 • 2) A elasticidade consumo de electricidade preço é de –0,05% – Ceteris paribus
• Que quer dizer isto?
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Conceito de elasticidade
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Elasticidade arco
• 1) Se o rendimento aumentar em 1%, o consumo de roupa aumentará em 0,67%
• No caso do crude,
• 2) Se o preço da electricidade aumentar em 1%, o consumo diminuirá em 0,05%
Em 2001, P = 23.6€/b e Q = 75.7 Mb/d Em 2006, P = 68.8€/b e Q = 84.4 Mb/d ∆P/P= (P 2-P1)/P 1 = (68.8-23.6)/23.6 = + 191,5% ∆Q/Q = (Q 2-Q1)/Q1 = (84.4-68.8)/68.8 = +11,5%
• Elasticidade quantidade preço e = 11,5%/191,5% = 0,06 17
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Elasticidade arco
Elasticidade arco • A elasticidade arco é um valor médio que deveria ser calculados no ponto médio: ∆P/P= 2 (P 2-P1)/(P 2+P1) = 2(68.8-23.6)/(68.8+23.6) = + 97,8% ∆Q/Q = 2(Q 2-Q1)/ (Q 2+Q1) = 2(84.4-68.8)/ (84.4+68.8)/ = +10,8% e = 0,11 19
Elasticidade no ponto
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Elasticidade no ponto
• Da mesma forma que a inclinação pode variar de ponto para ponto da função
• A elasticidade arco vem dada por
– No ponto, a inclinação é a derivada
• A elasticidade também pode variar de ponto para ponto da função.
e=
– No ponto, a elasticidade relaciona-se com a derivada e com os valores das ordenadas
∆Q Q ∆P P
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Elasticidade no ponto
Elasticidade no ponto
• Que pode ser manipulada algebricamente:
e=
∆Q Q ∆P P
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• Da mesma forma que a inclinação no ponto é o limite quando ∆P tende para zero:
∆Q P P ∆Q P ∆Q = = = Q ∆P Q ∆P Q ∆P
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Q' = lim
∆P →0
∆Q ∆P
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Elasticidade no ponto
Elasticidade no ponto
• A elasticidade no ponto é o limite quando ∆P tende para zero:
P ∆Q P ∆Q P = ε = lim lim = Q' ∆ P → 0 Q ∆P Q ∆P → 0 ∆P Q
• A inclinação, é diferente da elasticidade • Mas tem o mesmo sinal (se as quantidades e os preços forem positivos)
ε=
P inclinação Q
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Elasticidade no ponto
Elasticidade no ponto • Será Q(P) = aPb ?
• Como será uma função de elasticidade constante? • Uma que a recta Q(P) = a + bP tem?
ε=
ε=
P P ( a + bP )' = b Q Q
P P (aP b )' = (baP b −1 ) Q Q
P baP b P bQ = =b ε= Q P Q P 27
Exemplo 1 - elasticidade
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Exemplo 1
• Considere a função Q(P) = 8-2P
• Em termos arco, teremos • Q(1) = 6; Q(1,01) = 5.98 ; ∆Q/Q = -0,33%
– A variação do preço de 1 u.m. induz uma diminuição na quantidade procurada de 2 u.
– A variação do preço de 1 % induz uma diminuição na quantidade procurada em 0,33%.
• Sendo que actualmente o equilíbrio é em P=1 u.m., se o preço aumentar 1%, quanto diminui a quantidade procurada • E se P= 3 u.m?
• Q(3) = 2; Q(3,03) = 1.94 ; ∆Q/Q = -3,05% – A variação do preço de 1 % induz uma diminuição na quantidade procurada em 3,05%. 29
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Exemplo 1
Exemplo 1
• Em termos do ponto, teremos • Q(1) = 6; Q’ = -2
ε =−
• Os valores são aproximadamente iguais porque o arco é pequeno – Entre os pontos considerados, o P e a Q variam pouco.
1 2 = −0,3 6
• Q(3) = 2; Q’ = -2
ε=−
3 2 = −3 2 31
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Exemplo 1
Elástico/Inelástico
10 Ln(P)
Ln(Q)
1 1
10
• Por convenção que, veremos, faz sentido • Se a elasticidade for maior que 1 em magnitude, diz-se que a função é elástica • Exemplo de procura elástica Q = 10P -1,5 – Neste caso, quando o preço aumenta 1%, a quantidade procurada diminui 1,5%
0,1 33
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Elástico/Inelástico
Elástico/Inelástico
• Se a elasticidade for menor que 1 em magnitude, diz-se que a função é inelástica • Exemplo de oferta inelástica Q = 10P 0,75
• • • •
Se a função (procura ou oferta) for vertical A inclinação é ZERO (?) A elasticidade é zero A função é perfeitamente inelástica
– Neste caso, quando o preço aumenta 1%, a quantidade oferecida aumenta 0,75%
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Elástico/Inelástico
Exercício 4-9
• Se a função (procura ou oferta) for horizontal • A inclinação é infinita (?) • A elasticidade também é infinita • A função é perfeitamente elástica
• 3- Sendo que as curvas de procura e de oferta individuais são dadas pelas funções:
Qid = 6000− 5P
Q sj = −600 + 6 P
• Calcule a elasticidade preço da procura e na oferta no ponto de equilíbrio, explicando o seu significado económico. 37
Exercício 4-9
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Exercício 4-9
• O equilíbrio é
• P/Q = 0,2 u.m./kg • Inclinação da procura = -5 kg/u.m. • ed = -5 x 0,2 = -1
D = S ⇒ 6000 − 5 P = −600 + 6 P P = 6600 / 11 = 600u.m; Q = 3000kg / d
• Se o preço aumentar 1%, a quantidade procurada diminui 1%
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Exercício 4-9
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Exercício 13
• P/Q = 0,2 u.m./kg • Inclinação da oferta = 6 kg/u.m. • es = 6 x 0,2 = 1,2
• A quantidade de ‘micro-ondas’ comprada ao longo de um ano é dada por • Q=26500-PX+0,25P Y+0,002EW +0,026R+0,0002A
• Se o preço aumentar 1%, a quantidade oferecida aumenta 1,2%
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PY =50K u.m.; (preços concorrentes) EW = 2M; (mulheres a trabalhar) R = 1M u.m.; (rendimento médio) A = 5 M u.m; (gastos em publicidade)
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Exercício 13-b
Exercício 13-a
• B) Qual a curva da procura?
• Tem como variável apenas o preço do BS em questão Q=26500PX+0,25x50k+0,002x2M+0,026x1M+0,0002x5M Q=70k-PX • A) qual a quantidade procurada para PX = 40ku.m.? 43
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Exercício 13 • Tem como variável apenas o preço do BS em questão Q=26500PX+0,25x50k+0,002x2M+0,026x1M+0,0002x5M Q=70k-PX • A) qual a quantidade procurada para PX = 40ku.m.? 45
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