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Tema 4: Potencial eléctrico

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Tema 4: Potencial Eléctrico

Fátima Masot Conde Ing. Industrial 2007/08

Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

Universidad de Sevilla


Tema 4: Potencial Eléctrico

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Índice: 1. Introducción 2. Energía potencial eléctrica 1. de dos cargas puntuales 2. de un sistema de cargas 3. Interpretación de la Ep 3. Potencial eléctrico 4. Cálculo del potencial eléctrico 5. Cálculo del campo a partir del potencial. Gradiente 6. Superficies equipotenciales Fátima Masot Conde




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Introducción

~e y del Hemos hablado de la fuerza eléctrica F ~ (fuerza eléctrica por unidad de carga). campo E Ahora nos preguntamos: ¿Cuál ¿Cuál es es el el trabajo trabajo que que realiza realiza esa esa fuerza? fuerza? Análogamente al caso gravitatorio, la fuerza eléctrica es CONSERVATIVA, y veremos que ese trabajo se puede expresar en términos de Energía Potencial (eléctrica) o simplemente Potencial (energía potencial por unidad de carga) Fátima Masot Conde




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Introducción

Igual que en el caso gravitatorio, el potencial se define respecto de un nivel de referencia arbitrario, dándose entonces una asimilación de potencial a lo que en realidad son diferencias de potencial entre un punto y el de referencia.

A A las las diferencias diferencias de de potencial potencial también también se se les les llama llama voltaje voltaje

Fátima Masot Conde




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Energía Potencial Eléctrica ¿Cuál es el trabajo realizado por una fuerza cualquiera para llevar a la partícula desde a hasta b?

Recordamos: a

fuerza

~ F

F

T ~F

Wa→b =

b

d~l

=

b

FT dl =

a

Z

velocidad

b

m

a

escalares

b

a

Componente tangente de la fuerza

Z

Z

elemento de longitud tangente al camino

~ · d~l = F

producto escalar

Energía cinética

dv dl = Ek,b − Ek,a dt

El trabajo que realiza una fuerza cualquiera es el incremento de energía cinética

FT

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Energía potencial ¿Cuál es el trabajo realizado por una fuerza conservativa para llevar a la partícula desde a hasta b?

Recordamos: a

Si la fuerza es conservativa, la energía total se conserva en cada punto del camino:

~ F

c

Etotal = (EK + EP )A = (EK + EP )B

~Fc

b

d~l

Wa→b =

Z

b a

F~C · d~l = −

Z

Este signo es necesario para obtener este orden

b a

dEP = EP,A − EP,B

El trabajo que realiza una fuerza conservativa (además de ser el incremento de Energía Cinética) es igual al menos incremento de Energía Potencial Fátima Masot Conde




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Energía potencial eléctrica en un campo uniforme

Análogo gravitatorio

~g

m

+++++++++++

Ep,max

~ E

EK,max ref. 0

Ep,max

EK,max ref. 0

La masa, siguiendo la direcci´ on del campo, aumenta su EK y disminuye su Ep

Fátima Masot Conde

q +

––––––––––––

La carga positiva, siguiendo la direcci´ on del campo, aumenta su EK y disminuye su Ep




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Desplazamientos espontáneos (Trabajo positivo realizado por el campo) +++++++++++ +++++++++++

~ E ~ E

q +

q

-

–––––––––––– ––––––––––––

Caso anterior

Fátima Masot Conde

La carga negativa espont´ aneamente sigue la dirección con~ (aumentando su EK ) traria a E y disminuyendo su Ep Dpto. Física Aplicada III



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Desplazamientos no espontáneos (inducidos o forzados) El trabajo positivo es realizado por un agente exterior contra el campo. +++++++++++

~ E

~g q +

m

~ E

ref. 0

––––––––––––

q

-

––––––––––––

La carga negativa se mueve a favor del campo, aumentando su Ep

La carga positiva (o masa) se mueve contra el campo, aumentando su Ep Fátima Masot Conde

+++++++++++





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Energía potencial eléctrica de dos cargas puntuales Calculemos el trabajo para llevar una carga prueba q0 desde a hasta b en el campo de otra carga fija q.

Tenemos libertad para elegir la trayectoria, porque la fuerza eléctrica es conservativa y el trabajo a lo largo de cualquiera de ellas es el mismo: Wa○→a =

∫F

C

⋅ d l = E P , A − EP , A = 0

Wa →b C = Wa →b C = … = Wa →b Cualquier camino = EP , A − EP , B 1

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Energía potencial eléctrica de dos cargas puntuales…

Así que elegimos la trayectoria más conveniente: la acb, compuesta por dos tramos: ~ E

arco de circunferencia ac + rayo (segmento) cb

acb

a

c +

q

Wa →b

acb

b

c

a

a

= ∫ FC ⋅ d l = ∫ FC ⋅ d l = Wa →c

porque F es

a dl

Wc →b

+

arco (r=cte)

∫

b

c

b

q0 +

FC ⋅ d l =

+ Wc →b

rayo (θ =cte)

0

rayo (θ =cte)

porque F es rb

rb

ra

ra

= ∫ Fr dr = ∫

a dr

qq0 ⎛ 1 1 ⎞ 1 qq0 dr = ⎜ − ⎟ 2 4πε 0 r 4πε 0 ⎝ ra rb ⎠

Fr Fátima Masot Conde




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El trabajo total en todo el recorrido:

Wa →b = Wa →c + Wc →b =

Identificando con

qq0 ⎛ 1 1 ⎞ ⎜ − ⎟ 4πε 0 ⎝ ra rb ⎠

Wa →b = EP , A − EP , B

Podemos definir la energía potencial como una función de punto:

1 qq0 Ep(r) = 4πε0 r

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Propiedad compartida por ambas cargas

Energía potencial eléctrica para dos cargas puntuales Universidad de Sevilla


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La energía potencial eléctrica es positiva para dos cargas del mismo signo

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Y es negativa para cargas de signo opuesto




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La Ep es cero en el infinito (para distancia infinita entre cargas). Pero ese nivel de referencia es arbitrario, siempre se puede a˜ nadir una constante, tal que Ep = 0 en un punto elegido por conveniencia.

En general: •Para distribuciones de cargas finitas, la referencia se tomará en el infinito. •Para distribuciones de carga infinitas, la referencia se elegirá en algún punto a convenir.

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Interpretación de la Energía potencial eléctrica

¿Qué representa la Ep ? Ep (r) =

1 qq0 4πε0 r

=0

Puesto que:

Ep (r) = Ep (r) − Ep (∞)

~ E q0 r

≡

Seg´ un la definici´ on de W en funci´ on de Ep

campo

Wr→∞

q

La Ep (r) representa el trabajo que tiene que hacer el campo de q para llevar a q0 desde una distancia r hasta el infinito.

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Interpretación de la Energía potencial eléctrica…



~g

m

~g

Ep,max

Fext

m

EK,max ref. 0

Trabajo realizado por el campo desde A hasta B: b

a

a

b

Wacampo = ∫ E ⋅ d l = −∫ E ⋅ d l →b

∫

a

b

a

ref. 0

=

=

externa (− E ) ⋅ d l = ∫ Fext ⋅ d l = WbFza →a

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b

Trabajo realizado por el agente externo contra el campo La fuerza externa es igual y opuesta al campo (condiciones estacionarias para que no se acelere la partícula), y el recorrido es opuesto. Desde B hasta A.




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Interpretación de la Energía potencial eléctrica…

¿Qué representa la Ep ? Ep (r) =

1 qq0 4πε0 r

~ E q0 r q

Fátima Masot Conde

Ep (r) representa el trabajo que tiene que hacer el campo para llevar la carga q0 desde r hasta el ∞, pero también el que tendr´ıa que hacer el agente externo contra el campo para traer a q0 desde el ∞ hasta r.




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Energía potencial eléctrica de un sistema de cargas puntuales

Si el campo, en lugar de por una sola carga q, estuviera generado por un sistema de cargas {q1 , q2 , q3 , . . .} a distancias {r1 , r2 , r3 , . . .} de nuestra carga test q0

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Energía potencial eléctrica de un sistema de cargas puntuales • La fuerza total sobre q0 es la suma vectorial de las fuerzas debidas a cada carga individual (teorema de superposición) Eltrabajo trabajototal totalque queseserealiza realizasobre sobreq es la • El W =∫ 0 0 es la suma de las contribuciones q suma de las contribuciones individuales individuales

F = ∑ Fi i

F ⋅dl = ∫

a

b

∑F ⋅dl i

Wi =

donde

• La energía potencial del sistema es igual al trabajo:

EP = W =

Fátima Masot Conde

∑W

=

i

i

i

q0 qi 4πε 0 ri

⎞ q0 ⎛ q1 q2 q3 q0 qi ⎜ + + + …⎟ = ∑ 4πε 0 ⎝ r1 r2 r3 ⎠ i 4πε 0 ri




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Otra expresión para la Ep del sistema: Para traer la primera carga desde el infinito, no hay que hacer ningún trabajo (aún no hay campo ni fuerza que vencer)

Considerándola como trabajo de ensamblaje entre cargas Para traer la segunda, hay que vencer la fuerza que aparece entre ellas:

r12 q1

q1

W1 = 0

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q2 W2 =


q1 q2 4πε0 r12 Universidad de Sevilla


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Para traer la tercera r12 q1

q2

r13

r23

Y así sucesivamente para ir trayendo una a una cargas desde el infinito hasta un punto Pi del espacio…

q3 W3 = W13 +W23 =

q1q3 qq + 2 3 4πε 0 r13 4πε 0 r23

Fátima Masot Conde




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Para ensamblar el sistema completo: q1

q3

trabajo 2ª carga

q1q3 qq + 2 3 4πε 0 r13 4πε 0 r23

trabajo 3ª carga

+

q2 r3n

trabajo 1ª carga

q1q2 W2 = 4πε 0 r12 W3 =

r12

r13

W1 = 0

qq qq q q Wn = 1 n + 2 n + … + n −1 n 4πε 0 r1n 4πε 0 r2n 4πε 0 rn-1,n

qn

W=

trabajo n-sima carga

∑W

i

i

1 X qi q j Ep (r) = W = 4πε0 i
El trabajo de ensamblaje total es la suma de los trabajos de ensamblaje para ir añadiendo al sistema cargas sucesivas.

La suma se extiende a todos los pares de cargas i



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Potencial Eléctrico Es la energía potencial por unidad de carga: Ep Ep,A Ep,B V = VA − VB = VAB = − ( q0 q0 ) q0

Definición:

Potencial de una carga puntual: ~ E q0

qq0 1 Ep (r) = 4πε0 r

r q

Potencial Potencialcreado creadopor poruna unacarga carga r. qqaauna distancia una distancia r. Fátima Masot Conde


V (r) =

q 1 4πε0 r

No No depende depende de de qq00 (carga (carga test): test): sólo sólo de de lala carga carga que que origina origina elel campo. campo. Universidad de Sevilla


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Potencial Eléctrico

Propiedades:

Función escalar de punto, continua y univaluada

Ep Unidades: UNIDADES: V = = q

[Julios] ≡ Voltio = V [Coulombio]

(S.I.)

Resultados para Ep, extendidos ahora al potencial: Va − Vb =

Z

b

es es elel trabajo trabajo realizado realizado por por elel campo campo para para desplazar una unidad de carga desde desplazar una unidad de carga desde aa hasta hasta bb..

~ d~l E

a

o bien Va − Vb = − agente externo Fátima Masot Conde

Z

b

a

~ d~l E

es es elel trabajo trabajo realizado realizado contra contra elel campo campo (por un agente exterior) para desplazar (por un agente exterior) para desplazar una hastaaa.. una unidad unidad de de carga carga desde desde bb hasta camino inverso




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Potencial Eléctrico

Potencial Potencial debido debido aa una una carga carga puntual: puntual: Ep 1 q V (r) = = q0 4πε0 r

~ E r q

Potencial Potencial debido debido aa un un sistema sistema de de cargas cargas puntuales: puntuales:

Ep 1 X qi V (r) = = q0 4πε0 i ri

q1 r13 q3

r12

q2

r3n

qn

Potencial Potencial debido debido aa una una distribución distribución continua continua de de cargas: cargas:

1 V (r) = 4πε0 Fátima Masot Conde

Z

dq r

r

dq


P



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Cálculo del Potencial Eléctrico Hay dos vías para calcular el potencial eléctrico: Integración directa Conocida la distribución de carga

q(r)

1 V = 4πε0

Z

V

dq r

Como trabajo del campo ~ E(r)

Conocido el campo

V − Vref = +

Z

ref

~ d~l E

Es necesario haber elegido un potencial de referencia en algún lugar conveniente. Fátima Masot Conde




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Cálculo del campo a partir del potencial Igual que el potencial se puede determinar a partir del campo eléctrico, a la inversa, también se puede determinar el campo, conocido el potencial

¿Cómo? ¿Cómo? Primero, derivemos la expresión del potencial en forma diferencial: Va − Vb = Va − Vb =

Z

Z

b

~ d~l = − E

a a

Z

a

~ d~l E b

Igualando

Z

b

dV

a

dV = −

Z

b

a

~ · d~l E

b

Para Para que que sean sean iguales, iguales, sus sus integrandos integrandos tienen tienen que ser iguales que ser iguales Fátima Masot Conde


~ · d~l dV = −E Universidad de Sevilla


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Cálculo del campo a partir del potencial

Ahora, teniendo en cuenta las componentes: Campo eléctrico:

~ = Ex ~i + Ey ~j + Ez ~k E d~l = dx~i + dy ~j + dz ~k

Vectores unitarios en las tres dimensiones x,y,z del espacio

~ Componentes de E en la base {~i,~j, ~k}

Vector desplazamiento en una dirección cualquiera

Obtenemos:

~ · d~l = Ex dx + Ey dy + Ez dz −dV = E Fátima Masot Conde




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Esto nos permite definir: ¯ dV ¯¯ Ex = − dx ¯

Caminos a lo largo de las líneas coordenadas

dy=dz=0

¯ dV ¯¯ Ey = − dy ¯

eje x

dx=dz=0

eje y

z

¯ dV ¯¯ Ez = − dz ¯dx=dy=0

y x

eje z

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O sea: Ex = −

∂V ∂x

Ey = −

∂V ∂y

Ez = −

∂V ∂z

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Derivada parcial respecto a x

Derivada total respecto a x manteniendo las otras variables constantes

≡

’GRADIENTE de V’

µ ¶ ∂V ∂V ∂V ~ = − ~i E + ~j + ~k ∂x ∂y ∂z ~ Operador nabla: ∇

¶ µ ∂ ∂ ∂ ~ ≡ ~i + ~j + ~k ∇ ∂x ∂y ∂z

E = −∇ V

El El campo campo eléctrico eléctrico es es elel menos gradiente del menos gradiente del potencial. potencial.




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Nota sobre el gradiente de una función escalar

¶ µ ∂ ∂ ∂ ~ = ~i + ~j + ~k f ∇f ∂x ∂y ∂z

gradiente de f

E = −∇ V Fátima Masot Conde

∀

Su Su dirección dirección es es la la dirección dirección en en la la que que ff aumenta aumenta con con mayor mayor rapidez rapidez al al cambio cambio de de posición posición

~ apunta en la dirección en que E V disminuye más r´ apidamente. Dpto. Física Aplicada III



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Fátima Masot Conde




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Cálculo del campo

Resumen: Formas de calcular el campo

1)A partir de la distribución de carga, por Tema integración directa. 2)Por la ley de Gauss, en altas condiciones anterior de simetría Este 3)Calculando primero el potencial, y tema tomando su gradiente.

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Superficies equipotenciales Superficies ‘de igual potencial’: lugar geométrico de los puntos que tienen el mismo potencial.

V ( x, y, z ) = cte Equivalente gravitatorio: Circuitos de igual elevación

Montaña Montaña Fátima Masot Conde


(curvas de Epotenc gravitatoria constante)

Vistos Vistosdesde desdearriba: arriba: Universidad de Sevilla


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Superficies equipotenciales

Propiedades: Como en el caso gravitatorio:

•Si una carga q0 se traslada a lo largo de una superficie equipotencial, su energía potencial eléctrica q0V no cambia. El trabajo para trasladarla de un punto a otro sobre la superficie equipotencial es NULO. trabajo p.u.c.

V

sobre la equip.

= cte → d V

sobre la equip.

=0

•Ningún punto puede tener dos potenciales diferentes. Las superficies equipotenciales nunca se cruzan ni se tocan. El potencial es una función univaluada y continua. Fátima Masot Conde




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Las superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas de campo: Como el potencial es constante sobre una superficie equipotencial:

dV

sobre la equip.

= E ⋅d

~ y d~l = Como E 6 0

sobre la equip.

=0

E⊥d

sobre la equip.

El campo es perpendicular a la superficie equipotencial. Fátima Masot Conde




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Líneas de campo y superficies equipotenciales para diversas configuraciones

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Bibliografía •Tipler & Mosca “Física para la ciencia y tecnología” Ed. Reverté (vol. II) •Serway & Jewett, “Física”, Ed. Thomson (vol. II) •Halliday, Resnick & Walter, “Física”, Ed. Addison- Wesley. •Sears, Zemansky, Young & Freedman, “Física Universitaria”, Ed. Pearson Education (vol. II)

Fotografías y Figuras, cortesía de Tipler & Mosca “Física para la ciencia y tecnología” Ed. Reverté Sears, Zemansky, Young & Freedman, “Física Universitaria”, Ed. Pearson Education

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