RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II TORÇÃO PARTE III Prof. Dr. Daniel Caetano 2012 - 2
Objetivos • Conceituar e capacitar paa a resolução de problemas estaticamente indeterminados na torção • Compreender as limitações da teoria para o caso de barras maciças de seção não circular
Material de Estudo
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Apresentação
http://www.caetano.eng.br/ (Aula 7)
Material Didático
Resistência dos Materiais (Hibbeler) – Parte 1 / 2 Páginas 166 a 174.
RELEMBRANDO:
TORÇÃO E TORQUE
Fórmulas para Torção • Pelo que vimos até agora... 𝑇. 𝐿 φ= 𝐺 .𝐽
T:
10kN.m 0
𝑇 𝜏𝑀𝐴𝑋 = . 𝑅 𝐽
𝑃 = 𝑇. 𝜔
-
+ 0
10kN.m
PROBLEMAS DE TORÇÃO ESTATICAMENTE INDETERMINADOS
Prob. Estat. Indeterminados • Similar àqueles com as tensões axiais... TA
P
A
D C B TB x
• Equilíbrio estático? 𝑀𝑥 = 0
−𝑃. 𝐿𝐶𝐷 + 𝑇𝐴 + 𝑇𝐵 = 0
1 equação 2 incógnitas
Compatibilidade de Deslocamentos • Esforços axiais: compatib. Dos alongamentos 𝑃. 𝐿 δ= 𝐸 .𝐴 • Torções: compatibilidade das rotações 𝑇. 𝐿 φ= 𝐺 .𝐽
Prob. Estat. Indeterminados • Redesenhemos a barra em 2D TA
P
A
D C
B TB x
TA
A
T = P.LCD C
B
TB
Prob. Estat. Indeterminados • Vamos dividir nos diagramas de corpo livre TA
T = P.LCD
A
B
TB
C TA
TA A
C
TB
TB C
B
• Pela estática: 𝑇𝐴 = 𝑃. 𝐿𝐶𝐷 − 𝑇𝐵 • Compatibilidade? – Ponto C é o mesmo em duas barras... Logo... – φC,A = φC,B
Prob. Estat. Indeterminados • Calculando as rotações TA
TA A
TB
TB C
C
φC,A = φC,B φ𝐶,𝐴
• Logo...
𝑇𝐴 . 𝐿𝐴𝐶 𝑇𝐵 . 𝐿𝐵𝐶 = = = φ𝐶,𝐵 𝐺 .𝐽 𝐺 .𝐽 𝑇𝐵 . 𝐿𝐵𝐶 𝑇𝐴 = 𝐿𝐴𝐶
B
Exemplo • Considere o eixo maciço abaixo A
500 N.m 0,2m 800 N.m
0,3m 1,5m
B x
• Calcule as reações, sabendo que: o diâmetro D=20mm, G=75GPa
Exemplo • D=20mm TA
G=75GPa C
D
800 N.m B
A500 N.m 0,3m
1,5m
0,2m
• Equilíbrio estático 𝑀𝑥 = 0
𝑇𝐷 − 𝑇𝐴 − 𝑇𝐵 − 𝑇𝐶 = 0 𝑇𝐵 = 𝑇𝐷 −𝑇𝐶 − 𝑇𝐴
TB x
Exemplo • D=20mm TA
G=75GPa C
D
800 N.m B
A500 N.m 0,3m
1,5m
0,2m
TB x
• Qual a compatibilidade? • Rotação de B em relação a A = 0: φB,A = 0 • Mas... φ𝐵,𝐴 = φ𝐵,𝐷 + φ𝐷,𝐶 + φ𝐶,𝐴 = 0
Exemplo – Corpo Livre • D=20mm
G=75GPa C
TA
A
C
TB
800 N.m B
A500 N.m 0,3m
TA
D
1,5m
0,2m
x
TA
0,3m
DTA +TC
TA +TC C 1,5m
TB
D
B
0,2m
TB
Exemplo – Rotação • D=20mm
G=75GPa TA
A
C
TA
0,3m
φ𝐶,𝐴
φ𝐶,𝐴
𝑇. 𝐿 = 𝐺. 𝐽
𝑇𝐴 . 𝐿𝐴𝐶 = 𝐺. 𝐽
Exemplo – Rotação • D=20mm
G=75GPa DTA +TC
TA +TC C 1,5m
φ𝐷,𝐶
φ𝐷,𝐶
𝑇. 𝐿 = 𝐺. 𝐽
(𝑇𝐴 + 𝑇𝐶 ). 𝐿𝐶𝐷 = 𝐺. 𝐽
Exemplo – Rotação • D=20mm
G=75GPa TB
D
B
TB
0,2m
φ𝐵,𝐷
φ𝐵,𝐷
𝑇. 𝐿 = 𝐺. 𝐽
−𝑇𝐵 . 𝐿𝐷𝐵 = 𝐺. 𝐽
Exemplo • D=20mm G=75GPa • Assim, se... φ𝐵,𝐴 = φ𝐵,𝐷 + φ𝐷,𝐶 + φ𝐶,𝐴 = 0 • Então −𝑇𝐵 . 𝐿𝐷𝐵 (𝑇𝐴 + 𝑇𝐶 ). 𝐿𝐶𝐷 𝑇𝐴 . 𝐿𝐴𝐶 + + =0 𝐺. 𝐽 𝐺. 𝐽 𝐺. 𝐽 𝑇𝐵 . 𝐿𝐷𝐵 = (𝑇𝐴 + 𝑇𝐶 ). 𝐿𝐶𝐷 + 𝑇𝐴 . 𝐿𝐴𝐶 𝑇𝐴 . (𝐿𝐶𝐷 + 𝐿𝐴𝐶 ) + 𝑇𝐶 . 𝐿𝐶𝐷 𝑇𝐵 = 𝐿𝐷𝐵
Exemplo • D=20mm • Juntando...
G=75GPa 𝑇𝐵 = 𝑇𝐷 −𝑇𝐶 − 𝑇𝐴
𝑇𝐴 . (𝐿𝐶𝐷 + 𝐿𝐴𝐶 ) + 𝑇𝐶 . 𝐿𝐶𝐷 𝑇𝐵 = 𝐿𝐷𝐵 𝑇𝐴 . (𝐿𝐶𝐷 + 𝐿𝐴𝐶 ) + 𝑇𝐶 . 𝐿𝐶𝐷 = 𝑇𝐷 −𝑇𝐶 − 𝑇𝐴 𝐿𝐷𝐵
Exemplo • D=20mm G=75GPa • Reorganizando... 𝑇𝐴 . (𝐿𝐶𝐷 + 𝐿𝐴𝐶 ) + 𝑇𝐶 . 𝐿𝐶𝐷 = 𝑇𝐷 −𝑇𝐶 − 𝑇𝐴 𝐿𝐷𝐵 𝑇𝐴 . 𝐿𝐶𝐷 + 𝐿𝐴𝐶 + 𝑇𝐶 . 𝐿𝐶𝐷 = 𝑇𝐷 . 𝐿𝐷𝐵 −𝑇𝐶 . 𝐿𝐷𝐵 − 𝑇𝐴 . 𝐿𝐷𝐵 𝑇𝐴 . 𝐿𝐶𝐷 + 𝐿𝐴𝐶 +𝑇𝐴 . 𝐿𝐷𝐵 = 𝑇𝐷 . 𝐿𝐷𝐵 − 𝑇𝐶 . 𝐿𝐷𝐵 − 𝑇𝐶 . 𝐿𝐶𝐷
Exemplo • D=20mm G=75GPa • Reorganizando... 𝑇𝐴 . 𝐿𝐶𝐷 + 𝐿𝐴𝐶 +𝑇𝐴 . 𝐿𝐷𝐵 = 𝑇𝐷 . 𝐿𝐷𝐵 − 𝑇𝐶 . 𝐿𝐷𝐵 − 𝑇𝐶 . 𝐿𝐶𝐷 𝑇𝐴 . 𝐿𝐶𝐷 + 𝐿𝐴𝐶 + 𝐿𝐷𝐵 = 𝑇𝐷 . 𝐿𝐷𝐵 − 𝑇𝐶 . (𝐿𝐷𝐵 + 𝐿𝐶𝐷 ) 𝑇𝐷 . 𝐿𝐷𝐵 − 𝑇𝐶 . (𝐿𝐷𝐵 + 𝐿𝐶𝐷 ) 𝑇𝐴 = 𝐿𝐶𝐷 + 𝐿𝐴𝐶 + 𝐿𝐷𝐵
Exemplo • D=20mm G=75GPa • Calculando... 𝑇𝐷 . 𝐿𝐷𝐵 − 𝑇𝐶 . (𝐿𝐷𝐵 + 𝐿𝐶𝐷 ) 𝑇𝐴 = 𝐿𝐶𝐷 + 𝐿𝐴𝐶 + 𝐿𝐷𝐵 800000.0,2 − 500000. (0,2 + 1,5) 𝑇𝐴 = 1,5 + 0,3 + 0,2
800000.0,2 − 500000.1,7 𝑇𝐴 = = −345𝑘𝑁 2
Exemplo • D=20mm G=75GPa • Calculando... 𝑻𝑨 = −𝟑𝟒𝟓𝒌𝑵 • Mas... 𝑇𝐵 = 𝑇𝐷 −𝑇𝐶 − 𝑇𝐴 𝑇𝐵 = 800000 − 500000 − −345000 𝑇𝐵 = 300000 + 345000 = 645000
𝑻𝑩 = 𝟔𝟒𝟓𝒌𝑵
EIXOS MACIÇOS DE SEÇÃO NÃO CIRCULAR
Torção Pura em Barras Circulares • Conforme já estudado...
Seções permanecem planas e paralelas entre si
Torção Pura em Barras Circulares Infelizmente, não vale para • Conforme já estudado... seções genéricas!
Seções permanecem planas e paralelas entre si
Torção Pura em Barras Quadradas • Observe a distorção nas bordas
Torção Pura em Barras Quadradas • Razão: distrib. das tensões de cisalhamento
Torção Pura em Barras Quadradas • Nos cantos, o cisalhamento tem de ser zero!
Cisalhamento na superfície é sempre ZERO!
Torção Pura em Barras Genéricas • Como calcular? • Teoria da Elasticidade – Cálculo complexo!
• Compare os resultados 2. 𝑇 𝜏𝑀𝐴𝑋 = 𝜋 . 𝑟3 2. 𝑇. 𝐿 φ= 𝜋 . 𝐺 . 𝑟4
Exemplo • O eixo abaixo tem uma seção em forma de triângulo equilátero. Determine o maior torque para o τadm = 56MPa e para um ângulo de extremidade restrito a φadm = 0,02 rad. Considere G = 26GPa.
1,2m 60o
40mm
Exemplo • τadm = 56MPa φadm = 0,02 rad • Usando as equações...
G = 26GPa
1,2m 60o
40mm
20. 𝑇 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 3 𝑎 20. 𝑇 6 56. 10 = (4. 10−2 )3
Exemplo • τadm = 56MPa φadm = 0,02 rad • Usando as equações...
G = 26GPa
1,2m 60o
40mm
20. 𝑇 56. 10 = (4. 10−2 )3 56. 106 . 64. 10−6 𝑇= = 179,2 𝑁. 𝑚 20 6
Exemplo • τadm = 56MPa φadm = 0,02 rad • Usando as equações...
G = 26GPa
1,2m 60o
40mm
46. 𝑇. 𝐿 φ𝑎𝑑𝑚 = 𝐺. 𝑎4 46. 𝑇. 1,2 −2 2. 10 = 2,6. 1010 . (4. 10−2 )4
Exemplo • τadm = 56MPa φadm = 0,02 rad • Usando as equações...
G = 26GPa
1,2m 60o
40mm
46. 𝑇. 1,2 2. 10 = 2,6. 1010 . (4. 10−2 )4 2. 10−2 . 2,6. 1010 . 256. 10−8 𝑇= = 241,2 𝑁. 𝑚 46.1,2 −2
EXERCÍCIO
Exercício (Em Dupla) • A barra abaixo, que possui G = 20GPa no trecho de 3m e G = 60GPa no trecho de 1m, tem R = 10 cm. Calcule as reações de apoio. 200kN.m 3m
1m
PARA TREINAR
Para Treinar em Casa • Hibbeler (Bib. Virtual), Pág. 166 a 171 • Mínimos: – Exercícios 5.75, 5.77, 5.84
• Extras: – Exercícios 5.76, 5.79, 5.80
• Adote essas conversões: – 1 ksi = 7MPa – 1 pol = 25mm – 1lb.pé = 1,5 N.m
1hp = 1000W 1lb.pol = 0,125 N.m
Para Treinar em Casa
CONCLUSÕES
Resumo • É possível calcular estruturas estaticamente indeterminadas sujeitas à torção • Eixos de seção não circular têm a distribuição da tensão de cisalhamento complexa • Eixos de seção circular são os mais eficientes na resistência à torção
• Exercitar – Exercícios Hibbeler
Próxima Aula • Como calcular a resistência a torção em perfis de paredes finas fechados? • Há concentração de tensão?
PERGUNTAS?
BOM DESCANSO A TODOS!
