Hutahaean Vol. 14 No. 1 Januari 2007
urnal TEKNIK SIPIL
Pemodelan Dinamika Gelombang dengan Mengerjakan Persamaan Kekekalan Energi Syawaluddin H1)
Abstrak Paper ini menyajikan pengerjaan hukum kekekalan energi pada pemodelan hidrodinamika gelombang pendek. Pengerjaan hukum kekekalan energi dilakukan dengan mensuperposisikan persamaan kontinuitas yang dihasilkan dari kekekalan masa dengan persamaan kekekalan energi dan menghasilkan persamaan kontinuitas baru yang sesuai dengan hukum kekekalan masa dan kekekalan energi. Penelitian secara numeris menunjukkan bahwa persamaan dapat digunakan untuk memodelkan gelombang dengan tinggi gelombang terbesar pada periodanya. Persamaan juga dapat memodelkan refraksi, difraksi dan shoaling dengan baik. Kata-kata Kunci: Persamaan kontinuitas, hukum kekekalan masa dan hukum kekekalan energi. Abstract This paper presents application of energy conservation law for short wave modelling. The application is done by superimposing continuity equation that resulted from mass conservation and the equation of energy conservation. The superimposing gives a new form of continuity equation that agree with the mass and energy conservation law. The new equation can model wave with the height as high as the real wave in nature. The model also can simulate other wave dynamic such as refraction-diffraction and shoaling by bathymetry and diffraction in breakwater gap. Keywords: Continuity equation, mass conservation and energy conservation law.
1. Latar Belakang
2. Perumusan Persamaan
Persamaan gelombang Airy, walaupun dikenal sebagai persamaan gelombang panjang dapat digunakan juga untuk memodelkan gelombang pendek, walaupun dengan tinggi gelombang yang sangat kecil (Syawaluddin, H., dkk., 2005).
2.1 Bentuk umum
Persamaan kontinuitas pada persamaan gelombang panjang Airy diperoleh dari pengerjaan hukum kekekalan masa. Walaupun persamaan tersebut diturunkan dari hukum kekekalan masa, tetapi terdapat peristiwa transportasi energi pada persamaan ini, yaitu terjadinya perubahan energi kinetik menjadi energi potensial. Perubahan dari energi potensial dinyatakan pada perubahan elevasi muka air. Jadi persamaan kontinuitas selain mewakili hukum kekekalan masa, juga harus mewakili hukum kekekalan energi.
wz+δz/2
vy+δy/2
δz
Dengan persamaan kontinuitas yang bersifat seperti ini maka diharapkan dapat digunakan untuk memodelkan gelombang untuk tinggi gelombang yang besar, sesuai dengan keadaan di alam.
vy-δy/2
ux-δx/2
wz-δz/2
ux+δx/2
δy
δx Gambar 2.1. Persamaan kekekalan energi
1. Staf Pengajar KK Kelautan, Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan-ITB. Catatan : Usulan makalah dikirimkan pada 15 Desember 2006 dan dinilai oleh peer reviewer pada tanggal 13 Pebruari 2007 13 Maret 2007. Revisi penulisan dilakukan antara tanggal 6 Maret 2007 hingga 16 Maret 2007.
Vol. 14 No. 1 Januari 2007 59
Pemodelan Dinamika Gelombang dengan Mengerjakan Persamaan Kekekalan Energi
Energi kinetik pada satu satuan masa air pada aliran air adalah Ekx = ρ
u2 , v2 , w2 Eky = ρ Ekz = ρ 2g 2g 2g
dimana ρ adalah rapat masa air, u, v dan w adalah kecepatan arus pada arah x, y dan z. Pada ruang tinjauan pada Gambar 2.1, terdapat input-output energi kinetik pada selang waktu δt, yaitu:
( ρ δx δz δt (v ρ δz δz δt (w
IO = ρ δy δz δt u x - δx/2 E x- δx/2 − u x + δx/2 E x + δx/2 kx
ky y - δy/2
kx
− v y + δy/2 E
)+ )+ )
ky y + δy/2
y - δy/2
E
z - δz/2
E zkz- δz/2 − w z + δz/2 E zkz+ δz/2
Perubahan energi kinetik pada sistim adalah ∆E = ρ δx δy δz
(δE
kx
+ δEky + δE kz )
h
Gambar 2.2. Sket muka air akibat gelombang
Aturan Leibniz (Dean, Robert G., and Dalrymple), β
∫ α η
∫
-h
Dengan membagi ruas kiri dan kanan persamaan kekekalan dengan ρ δx δy δz dan δt serta dengan mengambil δx δy δz dan δt mendekati nol, maka diperoleh persamaan kekekalan energi adalah
∂ E kx ∂ E ky ∂ E kx ∂ uE kx ∂ vE ky ∂ wE kz + + + + + =0 ∂t ∂t ∂t ∂x ∂y ∂z (1) Persamaan (1) adalah persamaan kekekalan energi dalam bentuk umum. 2.2 Bentuk terintegrasi terhadap kedalaman Analisis hidrodinamik akan lebih mudah bila dilakukan dengan analisis terintegrasi terhadap kedalaman, terutama untuk analisis pada perairan dangkal. Pada metoda ini digunakan kecepatan ratarata kedalaman dimana kecepatan vertikal (w) tereliminir sehingga hanya ada dua kecepatan yaitu kecepatan horizontal ara x dan y yaitu ū dan⎯v . Sebagai contoh dari persamaan yang terintegrasi terhadap kedalaman adalah persamaan gelombang panjang dari Airy (Dean, Robert G., and Dalrymple). Agar persamaan kekekalan energi dapat diaplikasikan pada analisis hidrodinamika yang terintegrasi terhadap kedalaman, maka diperlukan bentuk persamaan kekekalan energi yang juga terintegrasi terhadap kedalaman yang akan dirumuskan pada bagian berikut. Persamaan (1) diintegrasikan terhadap kedalaman,
⎛ ∂ E kx ∂ E ky ∂ E kx ∂ uE kx ∂ vE ky ∂ wE kz + + + + + ∂y ∂z ∂t ∂t ∂x ∂t
-h
60 Jurnal Teknik Sipil
∫ f dz - f β α
η
∫E
kx
dz - Eηkx
-h
⎞ ⎟⎟ dz = 0 ⎠
∂β ∂α + fα ∂x ∂x
(2)
∂η ∂ (-h) (3) + E kx-h ∂t ∂t
Euler,
persamaan
pada
Syarat batas dinamik adalah bahwa tekanan pada permukaan adalah sama pada semua permukaan yaitu bekerja tekanan atmosfir. Fluktuasi muka air memberikan perbedaan tekanan atmosfir yang sangat kecil, sehingga pada seluruh permukaan mempunyai tekanan atmosfir yang sama yaitu pη = patm, sehingga ∂pn/∂x = 0. Dengan demikian persamaan Euler pada permukaan menjadi
⎛∂u ∂u ∂u ∂u⎞ ⎜⎜ ⎟ =0 +u +v +w ∂x ∂y ∂ z ⎟⎠ z =η ⎝ ∂t Perhitungan dengan persamaan ini akan menghasilkan kecepatan permukaan uη yang sangat kecil, hampir mendekati nol. Oleh karena itu energi kinetik pada permukaan (Ekxη) dikalikan dengan ∂η/∂t.
∂η , ⎛ η ∂η ⎞ ⎜ E kx ⎟ ∂t ⎝ ∂t ⎠ pada Persamaan (3) adalah bilangan yang sangat kecil yang dapat diabaikan. Selanjutnya, pada analisis ini kedalaman adalah suatu harga yang konstan terhadap waktu, sehingga
∂ (-h) = 0. ∂t Dengan demikian Persamaan (3) menjadi η
-h
∫ ⎜⎜⎝
∂ Ekx ∂ = ∂t ∂t
β
⎛∂u ∂u ∂u ∂u⎞ 1 ∂ pη ⎜⎜ ⎟⎟ = +u +v +w ∂x ∂y ∂ z ⎠ z =η ρ ∂x ⎝ ∂t
∫
η = fluktuasi muka air terhadap muka air diam η
∂ f ∂ dz = ∂x ∂x
Berdasarkan persamaan permukaan adalah
Berdasarkan hukum kekekalan, maka IO = ∆E
Muka air diam
η
∂ E kx ∂ = ∂t ∂t
η
∫E
-h
kx
1 ∂ dz = 2g ∂ t
η
∫u
2
dz
-h
Sesuai dengan formulasi persamaan gelombang panjang dari Airy (Dean, Robert G., and Dalrymple),
Hutahaean
didefinisikan
η
η
-h
-h
2 2 ∫ u dz = α (η + h ) u
∫
dimana ū adalah kecepatan rata-rata kedalaman pada arah x, sedangkan α adalah suatu koefisien yang berharga 0.5 – 1, dalam hal ini digunakan α = 1. η
∫
-h
η
∫
-h
η
∂ E kz 1 ⎛ ∂η ⎞ ∂ dz = Ek z dz ⎜ ⎟ ∫ 2g ⎝ ∂ t ⎠ ∂t ∂ t -h
Selanjutnya didefinisikan η
∫
∂ E kx 1 ∂ (η + h ) u 2 = 2g ∂ t ∂t
-h
∂ Ekx ∂ Ekx ∂ ∂η = (η + h) Ekx = (η + h) + Ekx ∂t ∂t ∂t ∂t
η
(4a)
-h
η
∫
-h
∂ E ky ∂t
= (η + h )
∂ E ky ∂t
+ E ky η
Selanjutnya, akan diselesaikan
∫
-h
η
∫
-h
η
∂ E kz ∂ dz = ∂t ∂t
∫
-h
∂η ∂t
∫
∫
-h
∂η 1 ⎛ ∂η ⎞ 1 η E kz + E kz- h ⎜ ⎟ 2 ∂ t 2g ⎝ ∂ t ⎠
(
η
∂η E kz dz − E kz ∂t
∂ uE kx dz dan ∂x
∫
η
-h η
∫
-h
∂ uEkx ∂ dz = ∂x ∂x
η uη E kx
bilangan yang sangat kecil yang dapat diabaikan, sehingga syarat batas kinematik permukaan menjadi
(5) wη =
E =
(5) η
n ∂η ∫-h Ekz dz - E kz ∂ t
2g
∂ η , maka ∂t
η
∫
∂ vE ky ∂y
-h η
∫ uE
kx
dz
dz − uη Ekxη
-h
∂η ∂η − u -h Ekx-h ∂x ∂x
3 ∂ η uη ∂ η = ≈0 ∂ x 2g ∂ x
dimana seperti pada persamaan
dz = β (η + h) u 3 , dimana β adalah suatu konstanta.
∫u
3
η
∂ uE kx ∂ dz = β (η + h ) u E kx − u -h E kx- h ∂ h ∂x ∂x ∂x
-h
∫
-h
(7a) Dengan cara yang sama akan diperoleh η
dengan
)
3
Didefinisikan η
n kz
3
Dengan uη bilangan yang sangat kecil, maka
∂η ∂η dan vη adalah ∂x ∂y
wη2
)
Selanjutnya pada bagian berikut diselesaikan
∂η ∂η ∂η + uη + vη ∂t ∂y ∂x
∂η wη = ∂t η ∂ E kz ∂ ∫- h ∂ t dz = ∂ t
3
∂ E kz (η + h ) ∂ Ekzη + ⎛ η + h ⎞ ∂ E kz− h + dz = ⎜ ⎟ ∂t ∂t 2 2 ⎝ 2 ⎠ ∂t
(4b)
Dengan menggunakan anggapan uη dan vη adalah bilangan yang sangat kecil (seperti telah dibahas pada bagian terdahulu), maka uη
1 ⎛ ∂η ⎞ ∫-h w dz − 2g ⎜⎝ ∂ t ⎟⎠ 2
(
∫
Syarat batas kinematik wη =
η
∂ E kz 1 ⎛ ∂η ⎞ ∂ (η + h ) η dz = E kz + E kz- h − ⎜ ⎟ 2 2g ⎝ ∂ t ⎠ ∂t ∂t
-h
∂ E kz dz ∂t
(η + h )
2
∂ E kz 1 ∂ dz = ∂t 2g ∂ t
η
Dengan cara yang sama akan diperoleh
wη2 + w−2h
w 2 dz =
dimana untuk perairan dangkal pendekatan ini masih cukup baik.
η
dimana E adalah energi kinetik pada kecepatan ratarata kedalaman.
3
∫
-h
∂ vE ky ∂y
dz = β η
Selanjutnya
∫
-h
∂ (η + h ) v E ky − v-h E ky-h ∂ h ∂y ∂y
∂ wE kz dz = ∂z
(7b)
η
∫ ∂wE
kz
-h
Vol. 14 No. 1 Januari 2007 61
Pemodelan Dinamika Gelombang dengan Mengerjakan Persamaan Kekekalan Energi
η
wη3
∫ ∂wE kz =
2g
-h
η
∫ ∂wE
kz
-h
1 = 2g
-
w-3h 2g
Persamaan (8) adalah persamaan kekekalan energi yang terintegrasi terhadap kedalaman. 3
1 3 ⎛ ∂η ⎞ w-h ⎜ ⎟ 2g ⎝ ∂t ⎠
(7c)
Dari Persamaan-persamaan (4a), (4b), (6), (7a), (7b) dan (7c), maka
⎛ ∂ Ekx ∂ Eky ∂ Ekx ∂ uEkx ∂ vEky ∂ wEkz ⎞ ∫-h ⎜⎜⎝ ∂ t + ∂ t + ∂ t + ∂ x + ∂ y + ∂ z ⎟⎟⎠ dz = 0 η
menjadi
∂E (η + h ) ∂ E kx + E kx ∂ η + (η + h ) ky + E ky ∂ η ∂t ∂t ∂t ∂t η + h ⎛ ∂ Ekzη 2
+β
∂ Ekz− h ⎜ + ⎜ ∂t ∂t ⎝
⎞ 1 η ∂η 1 ⎛ ∂η ⎞ ⎟ + E kz + E kz-h ⎟ ⎜ ⎟ 2 ∂ t 2g ⎝ ∂ t ⎠ ⎠
(
)
3
∂ (η + h) uEkx + β ∂ (η + h) vEky - u-h Ekx-h ∂ h ∂x ∂x ∂y 3
- v −h E
Didefinisikan kedalaman total H = η + h dan persamaan dibagi dengan H, serta ū , v , E kx dan Eky ditulis sebagai u, v, Ekx dan Eky, persamaan menjadi
⎛ Ekx Eky ⎞ ∂ η ∂ Ekx ∂ Eky 1 ∂ Ekzη ⎜⎜ ⎟ + + + + + 2 ∂t ∂t ∂t H ⎟⎠ ∂ t ⎝ H 1 ∂ Ekz-h β ∂ uHEkx β ∂ vHEky + + + H ∂y H ∂x 2 ∂t
⎛ 3 ∂ Ekz 3 ∂ E 1 ∂ uHEkx 1 ∂ vHEky ⎞ ⎟ + + + 2 ∂t H ∂x H ∂ y ⎟⎠ ⎝2 ∂t -h kz
∂h ∂h 1 3 ⎞ 1 ⎛ ⎜⎜ 3 u -h E kx- h + 3 v- h E ky- h w-h ⎟⎟ = 0 H ⎝ ∂x ∂ y 2g ⎠ (8)
62 Jurnal Teknik Sipil
⎛ ∂h ∂h⎞ ⎟ w- h = - ⎜⎜ u -h + v-h ∂x ∂ y ⎟⎠ ⎝ Pada perairan dangkal, dapat dilakukan pendekatan u-h = u dan v-h = v. Pada perairan yang datar atau landai dimana
∂h ∂h , ≈0 ∂x ∂y maka w-h ≈ 0, sehingga suku yang mengandung w-h ataupun
3. Penggunaan Energi
Persamaan
Kekekalan
Dengan anggapan Ekzη dan Ekz−η, u-h, v-h serta w-h, adalah bilangan yang sangat kecil, maka Persamaan (8) menjadi
Dengan mengerjakan diferensial parsial pada
∂ Eky ∂ Ekx 3⎛ 1 3 1 - h ⎞ ∂η +3 +3 ⎜ Ekx + Eky + Ekz + Ekz ⎟ ∂t 2 ∂t H⎝ 2 ⎠ ∂t + ⎜⎜
Syarat batas kinematik dasar perairan
1 ∂ uHE kx 1 ∂ vHE ky + =0 H H ∂y ∂x
Penelitian menunjukkan bahwa persamaan akan menjadi lebih baik bila semua suku dibagi dengan β dan diambil harga β = 1/3.
η
∂ wη 1 ∂ η ∂ 2 η ∂ Ekzη 1 ∂ 2 1 wη = wη = = 2g ∂ t g ∂t g ∂ t ∂ t2 ∂t
3 (E kx + E ky ) ∂ η + 3 ∂ E kx + 3 ∂ E ky + ∂t H ∂t ∂t
∂h ∂h 1 3 - v −h E ky−h − w-h = 0 ∂x ∂ y 2g
- u − h E kx− h
∂η maka ∂t
∂h ∂h dapat diabaikan. atau ∂x ∂y
1 3 ∂ h 1 ⎛ ∂η ⎞ w-h = 0 + ⎜ ⎟ − 2g ∂ y 2g ⎝ ∂ t ⎠
−h kz
dengan wη =
∂ uHE kx dan ∂ vHE ky , maka ∂y ∂x 3 (E kx + E ky ) ∂ η + 3 ∂ E kx + 3 ∂ E ky + ∂t H ∂t ∂t E kx ∂ uH E ky ∂ vH + H ∂y H ∂x + u
∂ E ky ∂ E kx =0 +v ∂y ∂x
(9)
Persamaan (9) akan digunakan untuk analisis hidrodinamika gelombang pendek, dengan mensuperposisikan dengan persamaan gelombang panjang dari Airy.
Hutahaean
Persamaan gelombang panjang dari Airy adalah (Dean, Robert G., and Dalrymple),
∂ (vH) ∂η ∂ (uH) + =0 + ∂t ∂x ∂y
(10a)
∂u ∂u ∂u ∂η +u +v +g =0 ∂t ∂x ∂y ∂x
(10b)
∂v ∂η ∂v ∂v +g +v +u =0 ∂y ∂t ∂x ∂y
(10c)
Keterbatasan persamaan ini adalah bahwa untuk gelombang pendek persamaan hanya dapat digunakan pada amplitudo gelombang yang sangat kecil, A < 0.1 m (Syawaluddin, H., dkk., 2005). Persamaan kontinuitas, Persamaan (10a), diturunkan berdasarkan hukum kekekalan masa saja. Sementara itu fluktuasi muka air η adalah merupakan perubahan energi potensial. Oleh karena itu pada saat muka air naik ( ∂η / ∂τ > 0 ) diperlukan suplai energi, sedangkan pada saat air turun terjadi pelepasan energi. Pada Persamaan (10a), tidak terlihat adanya suplai energi maupun tempat pelepasan energi. ∂uΗ / ∂x dan ∂uΗ / ∂y hanyalah sumber masa air saja. Oleh karena itu dengan mensuperposisikan Persamaan (9) dengan Persamaan (10a), akan diperoleh persamaan yang dapat mensuplai masa dan energi. Persamaan (9) dijumlahkan dengan Persamaan (10a) diperoleh
3E + 3E ky ⎛ ⎜⎜ 1 + kx H ⎝
⎞ ∂η ⎛ E ⎞ ∂ uH ⎟⎟ + + ⎜ 1 + kx ⎟ H ⎠ ∂x ⎠ ∂t ⎝
E ⎞ ∂ vH ∂ E kx ∂ E ky ⎛ ⎜⎜ 1 + ky ⎟⎟ + + H ⎠ ∂y ∂t ∂t ⎝ ∂ E ky ∂ E kx +v + u =0 ∂y ∂x
3 ∂ E kx 3 ∂ E ky ∂η (12a) = P (t ) − k ∂t k ∂t ∂t E ky ∂ vH ⎞ E ⎞ ∂ uH ⎛ 1 ⎛⎛ ⎟+ P (t ) = − ⎜⎜ ⎜ 1 + kx ⎟ + ⎜⎜ 1 + c ⎝⎝ H ⎠ ∂x ⎝ H ∂ y ⎟⎠ ∂ E ky ⎞ ∂ E kx ⎟ +v +u ∂ y ⎟⎠ ∂x ⎛ 3 E kx 3 E ky ⎞ ⎟⎟ k = 1 + ⎜⎜ + H H ⎝ ⎠
∂u = Q (t ) ∂t ∂v = R (t ) ∂t
(12b)
(12c)
⎛ ∂u ∂η ⎞ ∂u ⎟ Q (t ) = − ⎜⎜ u +g +v ∂ x ⎟⎠ ∂y ⎝ ∂x ⎛ ∂v ∂v ∂η ⎞ ⎟ R (t ) = − ⎜⎜ u +v +g ∂y ∂ y ⎟⎠ ⎝ ∂x Selanjutnya Persamaan (12a), (12b) dan (12c) diintegrasikan terhadap waktu, diperoleh t2
η =η + ∫ P (t ) dt − t2
t1
t1
3 3 t2 ( Ekx − Ekxt1 ) − (Ekyt2 − Ekyt1 ) k k
t2
u t2 = u t1 + ∫ Q (t ) dt t1
t2
v t2 = v t1 + ∫ R (t ) dt t1
(11)
Dengan menggunakan persamaan kontinuitas yang baru Persamaan (11), sedangkan persamaan momentum tetap seperti Persamaan (10b) dan (10c) dikembangkan model numeris.
4. Metoda Numeris
t2
t2
t2
t1
t1
t1
∫ P (t ) dt ,
∫ Q (t ) dt dan
dapat diselesaikan secara numerik dengan mendekati P (t), Q (t) dan R (t) dengan polinomial Lagrange [Syawaluddin, H., dkk., 2005]. Untuk integrasi dari t1 = t - δt sampai t2 = t + δt, dimana terdapat 3 titik integrasi yaitu t - δt, t dan t + δt, maka t + δt
Metoda numeris yang digunakan untuk diskritisasi ruang adalah metoda selisih hingga berbasis pada polinomial Lagrange (Syawaluddin, H., 2006). Sedangkan diferensial waktu diselesaikan dengan metoda integrasi atau dapat disebut juga dengan metoda prediktor-korektor (Syawaluddin, H., dkk., 2005). Persamaan kontinuitas, Persamaan (11) dapat ditulis dalam bentuk
∫ R (t ) dt
∫δ P (t ) dt = δt (c
1
P t -δt + c 2 P t + c3 P t +δt
)
t− t
dimana c1 = 1/3, c2 = 4/3 dan c3 = 1/3. Begitu juga t + δt
t + δt
t + δt
t− t
∫ Q (t ) dt dan
∫δ R (t ) dt Vol. 14 No. 1 Januari 2007 63
Pemodelan Dinamika Gelombang dengan Mengerjakan Persamaan Kekekalan Energi
∂P δt P =P + ∂t ∂Q Qt+δt = Qt + δt ∂t ∂R Rt+δt = Rt + δt ∂t t+δt
t
0.20 0.15 0.10 muka air (m)
Pada saat t = t, dimana ηt+δt, ut+δt dan vt+δt tidak diketahui, maka Pt+δt, Qt+δt dan Rt+δt juga belum diketahui. Oleh karena itu pada tahap awal dilakukan prediksi
0.05 0.00 -0.05 -0.10 -0.15 -0.20 0
25
50
75
100
125
150
175
200
225
250
275
300
x (m)
Gambar 4.1. Perbandingan panjang gelombang
Dengan harga-harga hasil prediksi tersebut dapat dihitung harga ηt+δt, ut+δt dan vt+δt prediksi. Karena itu tahap ini dapat disebut dengan tahap prediksi. t+ δt
yang baru tersebut dihitung Dengan harga (η, u, v) lagi harga (P, Q, R) t+ δt yang baru dan dengan menyelesaikan integrasi diperoleh (η, u, v) t+ δt yang lebih baru lagi dan dilakukan pemeriksaan konvergensi yaitu t +δt t +δt η old - η new
= ε begitu juga pada u dan v.
Dalam hal syarat konvergensi terpenuhi t +δt η new
t +δ t
t +δ t
, u new dan v new
adalah hasil yang dicari, bila belum konvergen, maka dengan harga (η, u, v) t+ δt yang baru dilakukan perhitungan (η, u, v) t+ δt yang lebih baru lagi, karena itu tahap ini disebut dengan tahap korektor.
5. Hasil Model 5.1 Panjang gelombang Pada Gambar (4.1) disajikan perbandingan antara panjang gelombang dari teori gelombang linier, panjang gelombang model dan panjang gelombang dari persamaan gelombang Airy. Hal ini dikarenakan penggunaan tekanan hidrodinamis gelombang panjang
⎛ ∂η ∂η ⎞ ⎜g dan g ⎟ ⎝ ∂x ∂ y ⎟⎠ yang dianggap merata pada seluruh kedalaman. Apabila tekanan tersebut dikalikan dengan suatu bilangan yang lebih kecil dari satu, maka akan diperoleh panjang gelombang yang lebih pendek, semakin kecil bilangan pengali tersebut, maka akan semakin kecil panjang gelombangnya. (Syawaluddin, H., 2006).
64 Jurnal Teknik Sipil
5.2 Tinggi gelombang Salah satu tujuan dari pengembangan model adalah agar diperoleh persamaan yang dapat mensimulasikan gelombang pendek dengan tinggi gelombang yang besar. Tinggi gelombang terbesar untuk suatu periode gelombang pada perairan dalam diberikan oleh persamaan Pierson-Moskowitz (Sarpkaya T. and Iseacson, Micheal, 1981), yaitu T2 / 2A = 19.66, dimana 2A = tinggi gelombang. Jadi untuk periode gelombang 6 detik, tinggi gelombang terbesarnya (2A)max = 0.81 m. Pada Gambar (4.2) ditunjukkan bahwa model dapat mensimulasikan gelombang tersebut dengan baik. 5.3 Shoaling Pengujian shoaling dilakukan pada perairan dengan kemiringan dasar perairan 0.02, dengan kedalaman mula-mula 10 m. Gelombang yang digunakan adalah gelombang dengan perioda 6 detik, dengan tinggi gelombang mula-mula 0.2 m. Pada Gambar (4.3) disajikan perbandingan antara hasil model dengan hasil shoaling dari teori gelombang linier, terlihat bahwa hasil model lebih tinggi dari hasil teori gelombang linier. Hal ini dikarenakan penggunaan tekanan gelombang
⎛ ∂η ∂η ⎞ ⎜⎜ g ⎟ dan g ∂x ∂ y ⎟⎠ ⎝ panjang yang bekerja sama besar pada seluruh kedalaman, sehingga energi gelombang pada persamaan yang digunakan menjadi terlalu besar. Oleh karena itu ketika gelombang (dari model) memasuki perairan yang lebih dangkal terjadi pemampatan energi yang besar baik akibat berkurangnya kedalaman maupun akibat pemendekan gelombang sehingga dihasilkan pembesaran tinggi gelombang yang lebih besar dari yang seharusnya.
Hutahaean
panjang gelombang dari model menjadi terlalu panjang dan shoaling yang dihasilkan menjadi terlalu besar karena kelebihan energi.
1.00 0.80
muka air (m)
0.60 0.40
5.4 Refraksi-difraksi
0.20 0.00 -0.20 -0.40 -0.60 -0.80 -1.00 0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
x (m)
Gambar 4.2. Performance model pada tinggi gelombang 0.85 m, periode 6 detik, kedalaman perairan 30 m 0.50 0.40
Muka air (m)
0.30 0.20 0.10 0.00 -0.10 -0.20 -0.30
Untuk mengamati kemampuan model dalam mensimulasikan fenomena refraksi-difraksi, model dikerjakan pada suatu kawasan perairan dengan batimetri berpola seperti tanjung (Gambar 4.4). Gelombang yang digunakan adalah gelombang dengan perioda 6 detik dengan tinggi gelombang mula-mula 1.2 m. Telah diketahui bahwa pada batimetri seperti ini gelombang akan terefraksi ke arah pusat tanjung, sehingga akibat refraksi yang konvergen ini disertai dengan shoaling, pada pusat tanjung akan terjadi pembesaran gelombang. Kondisi gelombang pada detik ke 24, terlihat bahwa tinggi gelombang pada pusat tanjung jauh lebih besar dari yang lainnya. Pada Gambar (4.6) diperlihatkan kontur tinggi gelombang terbesar pada daerah yang telah dilewati gelombang. Gambar-gambar tersebut menunjukkan terjadinya refraksi konvergen atau pemusatan energi gelombang pada pusat tanjung.
-0.40
6. Kesimpulan dan Saran
-0.50 0
25
50
75
100
125
150
175
200
225
250
275
300
x (m)
Gambar 4.3. Perbandingan shoaling antara teori gelombang linier dan model
Tekanan pada persamaan momentum diperoleh dengan mengintegrasikan persamaan Euler arah z yaitu η η ⎛∂w ∂w ∂ w⎞ ⎟ dz + ∫ ∂ ww + ∫ g dz +u +v p = ∫ ⎜⎜ ∂t ∂x ∂ y ⎟⎠ ρ -h ⎝ -h -h
1
η
Analisis numerik penyelesaian persamaan Euler (Syawaluddin, H., 2006), memberikan hasil bahwa distribusi kecepatan horizontal terhadap kedalaman adalah seragam. Hal ini dikarenakan tekanan hidrodinamis yang disebabkan oleh η hasil
η
∫
g dz
-h
bekerja sama besar pada seluruh kedalaman. Tekanan hidrodinamis dari teori gelombang linier (Dean, Robert G., and Dalrymple) adalah phyd = gη cosh k (h + z) / cosh kh. Terlihat bahwa tekanan hidrodinamik gη adalah berubah terhadap kedalaman. Oleh karena itu pada model yang dikembangkan hanya menggunakan tekanan hidrodinamik gη yang dianggap bekerja pada seluruh kedalaman. Karena itu
Berdasarkan hasil model numeris yang dikembangkan, maka dapat disimpulkan bahwa pada pengembangan persamaan hidrodinamika sebaiknya dikerjakan juga persamaan kekekalan energi. Hal ini terbukti bahwa pengerjaan hukum kekekalan energi pada persamaan gelombang panjang dari Airy menjadikan persamaan dapat memodelkan gelombang pendek dengan baik. Contoh lain dari penggunaan hukum kekekalan energi pada pengembangan model hidrodinamika adalah teori gelombang linier, dimana pada formulasinya dikerjakan persamaan kekekalan energi dari Bernoulli (Dean, Robert G., and Dalrymple). Panjang gelombang yang dihasilkan oleh gelombang lebih panjang dari panjang gelombang dari teori gelombang linier, terlebih lagi terhadap panjang gelombang teori gelombang Stoke. Shoaling yang dihasilkan lebih besar dari pada shoaling dari teori gelombang linier. Kedua hal tersebut dikarenakan penggunaan tekanan gelombang panjang yang bekerja pada seluruh kedelaman. Oleh karena itu untuk mengembangkan model yang lebih baik lagi perlu digunakan tekanan hidrodinamis yang lebih tepat, dimana yang berpotensi digunakan adalah tekanan yang dirumuskan dari persamaan Euler secara lengkap atau dari persamaan Bernoulli.
Vol. 14 No. 1 Januari 2007 65
Pemodelan Dinamika Gelombang dengan Mengerjakan Persamaan Kekekalan Energi
100
80
60
40
20
(m)
0
-20
-40
-60
-80
-100 0
20
40
60
80
(m)
100
120
140
Gambar 4.4. Batimetri tanjung
Gambar 4.5. Kondisi gelombang pada detik ke 24
66 Jurnal Teknik Sipil
160
180
200
Hutahaean
100
80
60
40
20
(m)
0
-20
-40
-60
-80
-100 0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
(m) Gambar 4.6. Kontur tinggi gelombang terbesar setelah detik ke 24
Daftar Pustaka Dean, Robert G., and Dalrymple, “Water Wave Mechanics for Engineers and Scientists”. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.
Syawaluddin, H., 2006, ”Koefisien pada Persamaan Euler pada Analisis Gelombang Pendek”, Jurnal Teknik Sipil, Vol. 13, No. 4, Departemen Teknik Sipil, ITB.
Sarpkaya T. and Iseacson, Micheal, 1981, “Mechanics of Wave Forces on Offshore Structures”, Van Nostrand Reinhold Company. Shen, S. F., 1977, “Finite Element Method in Fluid Mechanics”, Ann. Rev. Fluid Mech., Vol. 9. Syawaluddin, H., dkk., 2005, “Model Difraksi dengan Persamaan Gelombang Airy yang Disempurnakan”, Thesis S3, Departemen Teknik Sipil, ITB. Syawaluddin, H., dkk., 2005, “Integrasi Numeris dengan Manggunakan Polinomial Lagrange”, Jurnal Teknik Sipil, Vol. 12, No. 2, Departemen Teknik Sipil, ITB. Syawaluddin, H., 2006, ”Penyelesaian Persamaan Differensial dengan Menggunakan Polinomial Lagrange Seri I (1 Dimensi)”, Jurnal Teknik Sipil, Vol. 13, No. 2, Departemen Teknik Sipil, ITB.
Vol. 14 No. 1 Januari 2007 67
Pemodelan Dinamika Gelombang dengan Mengerjakan Persamaan Kekekalan Energi
68 Jurnal Teknik Sipil
