Tema 3. Probabilidad clase2

Tema 3. 3 Espacios de Probabilidad. Probabilidad Definición axiomática y propiedades básicas de la Probabilidad 3.1. Introducción. Fenómenos y experimentos aleatorios. Álgebra de sucesos En este tema se establecen ls nociones básicas para el desarrollo del Cálculo de Probabilidades. Definiciones previas. • Fenómeno determinístico. Situación que envuelve incertidumbre caracterizada porque p q su desarrollo es pprevisible. • Fenómeno aleatorio. Situación que envuelve incertidumbre caracterizado porque su desarrollo no es previsible. previsible • Experimento determinístico. Aquellos que dan lugar al mismo resultado siempre que se realicen li b j las bajo l mismas i condiciones. di i • Experimento aleatorio. Aquellos que dan lugar a distintos resultados incluso realizándose bajo las mismas condiciones. 1 Dpto. Estadística e I.O. Prof. Juan Eloy Ruiz Castro

Un experimento aleatorio satisface las siguientes condiciones: a. El experimento se puede repetir indefinidamente bajo idénticas condiciones b C b. Cualquier l i modificación difi ió mínima í i en las l condiciones di i i i i l de iniciales d la l repetición i ió puede d modificar completamente el resultado final del experimento. c. Se puede determinar el conjunto de posibles resultados del experimento, pero se puede predecir previamente un resultado particular. d. Si el experimento se repite un número grande de veces, entonces aparece algún modelo de regularidad estadística en los resultados obtenidos. Espacio muestral Definiciones • Resultado elemental, suceso elemental o punto muestral. Cada uno de los posibles resultados indescomponiblesen otros más simples. • Espacio muestral. Conjunto formado por todos los sucesos elementales asociados a un experimento p aleatorio. Se designa g p por . Ejemplo. Resultado de lanzar un dado ={1,2,3,4,5,6}. 2

Dpto. Estadística e I.O. Prof. Juan Eloy Ruiz Castro

El espacio muestral puede ser de tre tipos, dependiendo de su cardinal. • Espacio muestral finito. Tiene un número finito de elementos. Ejemplo, lanzamiento de un dado • Espacio muestral infinito numerable o discreto. Tiene un número infinito numerable de elementos. elementos Es decir, decir si se puede establecer una aplicación biyectiva entre el número de elementos del espacio muestral y el conjunto de los números naturales. Ejemplo, lanzamiento de un dado hasta que aparezca un uno.

• Espacio muestral continuo. Tiene un número infinito no numerable de elementos. Ejemplos. 1) Lanzamiento de un dardo a una diana. Espacio muestral es toda la superficie de la diana. 2) Duración de una bombilla

3 Dpto. Estadística e I.O. Prof. Juan Eloy Ruiz Castro

Sucesos Definiciones q característica,, hecho o p proposición p lógica g qque • Suceso aleatorio o suceso. Cualquier pueda formularse en relación a un experimento aleatorio, cuya ocurrencia o no puedaser observada tras la realización del experimento. Todo suceso puede identificarse con un subconjunto del espacio muestral, el conjunto de resultados o sucesos elementales cuya aparición implica la ocurrencia d l suceso. del Esta identificación de un suceso con un subconjunto del espacio muestral hace posible el uso de la Teoría de Conjuntos para especificar las relaciones y operaciones entre sucesos. Ti Tipos d sucesos de • Suceso elemental, suceso simple o punto muestral. Cada uno de los resultados posibles del experimento aleatorio. Consta de un solo elemento del espacio muestral. compuesto. pues o. El que co consta s de dos o máss sucesos eelementales. e e es. • Suceso co 4 Dpto. Estadística e I.O. Prof. Juan Eloy Ruiz Castro

• Suceso seguro, cierto o universal. Aquél que ocurre siempre. siempre • Suceso imposible. El que no ocurre nunca. No contiene ningún elemento del espacio muestral. muestral Se nota como .  Operaciones y relaciones entre sucesos • Suceso contenido en otro (AB). Dados dos sucesos A y B, se dice que A está incluido en B cuando si se verifica A lo hace entonces B. B En la identificación de conjuntos, cada suceso elemental de A pertenece también a B . También se dice que A implica B (AB). E Ejemplo. l A: A salir l un dos d en ell lanzamiento l d un dado. de d d B: salir par en el lanzamiento de un dado. • Igualdad de sucesos (A=B). Dos sucesos, A y B, se dice que son iguales si siempre que ocurre A ocurre B y recíprocamente.

A B  A B y B A


• Suceso complementario o contrario ( A). Dado un suceso A, A se define el suceso complementario como aquel suceso que se verifica si y sólo si no lo hace A. Ejemplo. A: salir par en el lanzamiento de un dado. A : salir li impar i  A AC  A

Propiedades Propiedades. 1.    2.    3. A  A


• Unión de sucesos ( AB ). Dados dos sucesos A y B de un experimento aleatorio, aleatorio se define la unión de ambos sucesos como aquel suceso que ocurre cuando lo hace A, B o ambos a la vez. Usando el diagrama de Venn se representa como  B

A

Propiedades. 1. Conmutativa A  B=B  A 2. Asociativa A  (B  C) = (A  B)  C 3. A  A   4. A    


5. A    A 6. A  B  A  B  B Dados n sucesos A1, A2,…, An, entonces su unión se expresa como n

A1  A1    An   Ai i1

• Intersección de sucesos ( AB ). Dados dos sucesos A y B de un experimento aleatorio, l i se define d fi la l intersección i ió de d ambos b sucesos como aquell suceso que ocurre cuando lo hace A y B.  AB A

B

Dados n sucesos A1, A2,…, An, entonces su intersección se expresa como n

A1  A1    An   Ai i 1


8

Propiedades. 1. Conmutativa A  B=B  A 2. Asociativa A  (B  C) = (A  B)  C 3 A A   3. 4. A    A 5. A     6. A  B  A  B  A 7. Distributiva A1   A2  A3    A1  A2    A1  A3  A1   A2  A3    A1  A2    A1  A3  A B  A B

LEYES DE MORGAN

A B  A B

9


• Diferencia de sucesos ( A-B ). Dados dos sucesos A y B de un experimento aleatorio, l i se define d fi la l diferencia dif i como aquell suceso que ocurre cuando d lo l hace h Ay no B.  A-B A

B

La diferencia de sucesos se puede expresar como: A  B  A  B NOTA. No verifica la propiedad conmutativa, conmutativa ni la asociativa, asociativa pudiendo expresarse elcomplementario de un suceso como A  A A


• Diferencia simétrica de sucesos ( A B ). Dados dos sucesos A y B de un experimento i aleatorio, l i se define d fi la l diferencia dif i simétrica i é i como aquell suceso que ocurre cuando lo hace uno y sólo uno de los dos sucesos.

AB   A  B    B  A 

• Sucesos disjuntos, incompatibles o mutuamente excluyentes. Dados dos sucesos A y B de un experimento p aleatorio,, se dice q que son disjuntos, j , incompatibles p o mutuamente excluyentes si no pueden ocurrie simultáneamente. Es decir AB =  En general, dados n sucesos, A1, A2,…, An, diremos que son mutuamente excluyentes, disjuntos o incompatibles dos a dos, si cada pareja de sucesos son mutuamente excluyentes, es decir Ai  Aj  ,

3 n  i, j  1,1 22,3,...,

i  j


• Sistema exhaustivo de sucesos. Si los sucesos A1, A2,…, An, son tales que verifican que la unión de ellos es igual al espacio muestral, se dice que forman un sistema exhaustivo de sucesos. n

A1  A2    An   Ai   i 1

• Sistema completo de sucesos o partición del espacio muestral. Si los sucesos A1, A2,…, An, son un sistema exhaustivo de sucesos mutuamente excluyentes entonces forman una partición del espacio muestral. n

A1  A1    An   Ai   i 1

Ai  Aj  ,

i  j

 i, j  1, 2,3,..., n 


• Álgebra de sucesos o álgebra de Boole (Campo). Una clase no vacía, A, de conjuntos de  tiene estructura de Álgebra de sucesos o Álgebra de Boole, si es cerrada para uniones finitas y para la operación de complementario. Es decir, 1. A  A  A  A 2 A, B  A  A  B  A 2. Consecuencias 1. El espacio muestral siempre está en un álgebra. Si A  A  A  A Dado que A y A  A  A  A    A

2. El suceso imposible siempre está en un álgebra.   A      A 3. A, B  A  A  B  A prop1

prop 2

prop1

Si A, B  A  A, B  A  A  B  A  A  B  A  B  A 13 Dpto. Estadística e I.O. Prof. Juan Eloy Ruiz Castro

n

4 Se verifica que A1 , A2 ,, An  A  A1  A1    An   Ai  A 4. i 1 n

A1 , A2 ,, An  A  A1  A1    An   Ai  A i 1

4. Si A, B A entonces A BA AB   A  B    B  A   A

• -Álgebra de sucesos o álgebra de Boole (Campo). Una clase no vacía, A, de conjuntos de  tiene estructura de -Álgebra  Álgebra de sucesos o -Álgebra  Álgebra de Boole, Boole si es cerrada para uniones numerables y para la operación de complementario. Es decir, 1 A A  A  A 1. 

2. A1 , A2 ,  A   Ai  A i 1

Se verifican las propiedades anteriores y además toda -Álgebra es un Álgebra. 14 Dpto. Estadística e I.O. Prof. Juan Eloy Ruiz Castro

• Espacio p medible ((,, A). ) Al ppar formado p por el espacio p muestral y una -álgebra g se le denomina espacio medible. Sobre esta estructura se definirá una medida y en particular una medida de Probabilidad. 3 2 Diferentes 3.2. Dif t concepciones i d probabilidad de b bilid d Tres definiciones y concepciones diferentes de probabilidad. 3.2.1. Concepción clásica (Laplace, 1812) Se tiene un experimento aleatorio con n posibles g factibles y excluyentes. y resultados ((número finito)) igualmente Sea A un suceso arbitrario asociado a un experimento aleatorio, que se presenta en m de los n posibles resultados del experimento. experimento Se define la probabilidad del suceso A como número de resultados favorables m  P  A  número de resultados posibles n 15 Dpto. Estadística e I.O. Prof. Juan Eloy Ruiz Castro

Propiedades 1. La probabilidad es un número entre 0 y 1. Si el suceso A no puede ocurrir (suceso p ) entonces P(A) ( ) = 0 y si ocurre siempre p ((suceso seguro) g ) entonces P(A) ( ) = 0. imposible) 2. Se verifica número de resultados no favorables n  m m P  A    1   1  P  A número de resultados posibles n n 3 Si A1, A2,…, Ap son sucesos incompatibles y cada uno ocurre en mi casos, 3. casos entonces P  A1  A2    Ap  

m1  m2   m p n

 P  A1     P  Ap 

 p  p P   Ai    P  Ai   i 1  i 1

Problemas 1. 2. 3. 4.

El espacio muestral ha de ser finito Sólo aplicable en el caso de resultados elementales equiprobables y situaciones en las qque no se p puede experimentar. p Hay Hay que hallar todas las alternativas de resultados.


16

3.2.2. Concepción frecuentista (Richard von Mises, 1928) Se basa en el concepto de frecuencia relativa de un suceso asociado a un experimento aleatorio que se repite sucesivamnetetiene bajo idénticas condiciones. p de un experimento, p , y un determinado suceso A se ha Si se realizan N repeticiones presentado en NA ocasiones, se define la frecuencia relativa de A en las n pruebas como N f N  A  A N Si el número de realizaciones crece indefinidamente las frecuencias relativas tienden a aproximarse a un valor fijo, lo que se conoce como principio de estabilidad o g de las frecuencias. Se define la p probabilidad del suceso A como regularidad P  A   lim f N  A  N 


Propiedades 1. La probabilidad es un número entre 0 y 1. Dado que la frecuencia relativa es un número entre cero y uno, y tomando límites éste también lo es. 2. El suceso contrario de A tiene probabilidad P  A   1  P  A

3 Si se tienen p sucesos incompatibles 3. P  A1  A2    Ap  

m1  m2   m p n

 P  A1     P  Ap 

 p  p P   Ai    P  Ai   i 1  i 1

Problemas 1. El principal problema reside en su irrelevancia en la realidad. 2. Esta definición no alcanza todas las situaciones prácticas, no pudiéndose en muchos p necesarias del experimento p . casos realizarse las repeticiones 18 Dpto. Estadística e I.O. Prof. Juan Eloy Ruiz Castro

3.2.3. Axiómatica de Kolmogorov. Definición y propiedades (Kolmogorov, 1933) Se basa en un conjunto de axiomas que establecen los requisitos mínimos para dar una definición de probabilidad. Esta definición permite llegar a un desarrollo matemático riguroso g de la Teoría de la Probabilidad siendo tan g general q que permite incorporar las distintas interpretaciones de Probabilidad mencionadas anteriormente. Definición axiomática de Kolmogorov Dado un espacio muestral  asociado a un determinado experimento aleatorio y una clase de conjuntos de  con estructura de -álgebra, A (esto es (, A) es un espacio medible), se define una función de probabilidad, medida de probabilidad o simplemente p probabilidad a una función P, definida sobre A y con valores en [[0, 1]] p que verifica los siguientes axiomas: 19 Dpto. Estadística e I.O. Prof. Juan Eloy Ruiz Castro

P : A   0,1 , 

I. Axioma de no negatividad A  A , P  A   0

II. Axioma del suceso seguro P   1

III. Axioma de -aditividad o aditividad numerable Si A1, A2,…, es una sucesión (colección numerable o finita) de sucesos incompatibles de A, Ai  Aj  ,

i  j

 i, j  1, 2,3,...

entonces    P   Ai    P  Ai   i 1  i 1

A la terna formada por (, A, P) se le denomina espacio probabilístico o espacio de probabilidad. probabilidad 20 Dpto. Estadística e I.O. Prof. Juan Eloy Ruiz Castro

Consecuencias 1. La probabilidad del suceso imposible es nula: P()=0 Dem. Dem Ax .2

Ax .3

Dado que     , 1 = P     P       P     P   

2. Dado un suceso cualquiera A, se tiene que P  A   1  P  A  Dem. Dado que   A  A y   A  A, se tiene que 1 = P     P  A  A   P  A  P  A  Ax .2

Ax .3

3. La p probabilidad P es monótona no decreciente,, A, B  A con A  B  P  A   P  B 

y además P  B  A  P  B   P  A 21 Dpto. Estadística e I.O. Prof. Juan Eloy Ruiz Castro

Dem. Dado que A  B podemos expresar de forma disjunta B  A   B  A  , entonces P  B   P  A   B  A  = P  A  P  B  A Ax .3

Por otro lado por axioma 1 se tiene que P  B  A   0. Por tanto P  B   P  A 

4. Dado cualquier suceso AA se verifica que P(A)1 Dem. Inmediato por propiedad 3 5. Dados cualequiera dos sucesos A, BA se verifica que P  B  A   P  B   P  A  B  Dem. B=  B  A    B  A  =  B  A    B  A  P  B   P   B  A   B  A  = P  B  A  P  B  A Ax .3


6 Dados dos sucesos cualesquiera A, 6. A BA se verifica P(AB) P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) P(A)+P(B)-P(AB) Dem. A  B= B  A  B    A  B   A  B





P  A  B  P  A  B    A  B    A  B  = P  A  B   P  A  B   P  A  B  Ax .3

=P  A  B   P  A  B   P  B  A  =P  A   P  A  B   P  A  B   P  B   P  A  B  =P  A   P  B   P  A  B 

7. Subaditividad finita P  A  B  P  A  P  B 

Dados A1, A2,…, An, se verifica  n  n P   Ai    P  Ai   i 1  i 1 23 Dpto. Estadística e I.O. Prof. Juan Eloy Ruiz Castro

7. Subaditividad finita P  A  B  P  A  P  B 

Dados A1, A2,…, An, se verifica  n  n P   Ai    P  Ai   i 1  i 1

Demostración por inducción n  2:

P  A1  A2   P  A2   P  A1  por regla l de d adición di ió y no negatividad ti id d

Suponemos cierto para n  1

 n 1  n 1 P   Ai    P  Ai   i 1  i 1 Se demuestra el caso n n Hipo. Ind . n 1  n   n 1  Cierto n  2  n 1  P   Ai   P   Ai  An   P   Ai   P  An    P  Ai   P  An    P  Ai  i 1 i 1  i 1   i 1   i 1 


8. Subaditividad numerable Dada una colección de sucesos {Ai}i=1,2,3,…, se verifica    P   Ai    P  Ai   i 1  i 1

Demostración Se define:

Se verifica:

B1  A1

Bn n1 

B2  A2  A1

j son disjuntos

Bn  An  P  Bn   P  An 

B3  A3  A2  A1





n 1

n 1

 Bn   An

 n 1

Bn  An  An 1  An  2    A2  A1  An   Ai i1       P   An   P   Bn    P  Bn    P  An  n 1  n 1   n 1  n 1


9. Principio de inclusión-exclusión Dados A1, A2,…, An, entonces n n  n  n  n  nn1 P   Ai    P  Ai    P  Ai  Aj    P  Ai  Aj  Ak      1 P   Ai  i j i j k  i 1  i 1  i 1 

D Demostración t ió por inducción i d ió n  2:

P  A1  A2   P  A1   P  A2   P  A1  A2  propiedad 5

Suponemos cierto para n n n  n  n  n  n 1 P   Ai    P  Ai    P  Ai  Aj    P  Ai  Aj  Ak      1 P   Ai  i j i j k  i 1  i 1  i 1 

Se demuestra el caso n  1  n 1   n   n   n  P   Ai   P   Ai  An 1   P   Ai   P  An 1   P   Ai  An 1   i 1   i 1   i 1   i 1  26 Dpto. Estadística e I.O. Prof. Juan Eloy Ruiz Castro

 n   n  P   Ai   P  An 1   P   Ai  An 1   i 1   i 1 

prop .distrib.



 n   n  P   Ai   P  An 1   P    Ai  An 1    i 1   i 1 

 P A    P A  A    P A  A

hipótes .indu . n



i 1

n

i

n

i

i j

j

i jk

i

j

 Ak      1

n 1

 n  P   Ai   i 1 

 n   P  An 1   P    Ai  An 1    i 1  n 1

n

i 1

i j

  P  Ai    P  Ai  Aj  

n



i j k

P  Ai  Aj  Ak      1

n 1

 n  P   Ai   i 1 

 n   P    Ai  An 1    i 1 


 n  P    Ai  An 1    i 1 

 P  Ai  An1    P  Ai  Aj  An1  

hip .ind . n



n

i 1

  1

i j

n 1

 P A  A n

i j k

i

j

 Ak  An 1   

 n  P   Ai  An 1   i 1 

n n  n 1  n 1  n  n 1 P   Ai    P  Ai    P  Ai  Aj    P  Ai  Aj  Ak      1 P   Ai  i j i j k  i 1  i 1  i 1  n n  n    P  Ai  An 1    P  Ai  Aj  An 1    P  Ai  Aj  Ak  An 1    i j i jk  i 1

+  1

n 1

 n  P   Ai  An 1    i 1 

 n 1    P  Ai    P  Ai  Aj    P  Ai  Aj  Ak      1 P   Ai  i 1 i j i jk  i 1  n 1

n 1

n 1

n


10. Desigualdad de Bonferroni Dados A1, A2,…, An A entonces n  n  n P A  P A  A  P    i j    Ai    P  Ai    i i 1 i j  i 1  i 1 n

D Demostración t ió por inducción i d ió la l primera i d i desigualdad ld d (la (l segunda d ya estudiada) t di d ) P  A1   P  A2   P  A1  A2   P  A1  A2 

n  2:

Suponemos cierto para n n  n  P A  P A  A  P  i    i j    Ai   i 1 i j  i 1  n

Se demuestra el caso n  1  n 1   n   n  P   Ai   P   Ai   P  An 1   P    Ai  An 1    i 1   i 1   i 1  29 Dpto. Estadística e I.O. Prof. Juan Eloy Ruiz Castro

 n 1   n   n  P   Ai   P   Ai   P  An 1   P    Ai  An 1    i 1   i 1   i 1  prop . subad



n  n  P   Ai   P  An 1    P  Ai  An 1  i 1  i 1 

 P  Ai    P  Ai  Aj   P  An1    P  Ai  An1 

hipó.indu n



i 1

n

n

i j

i 1

n 1

n 1

i 1

i j

  P  Ai    P  Ai  Aj 


11. Desigualdad de Boole Dados A, BA entonces P  A  B  1  P  A  P  B 

Demostración





P A  B  1 P A  B  1 P A  B 

12 Dada una sucesión creciente de sucesos 12. se verifica que

1  P  A  P  B 

prop . subad .



decir An 1  An , n  22,3, 3 ,  An  , es decir,





  lím P  An   P lím An  P   An  n  n   n 1 

Demostración emost ación Expresamos como unión disjunta numerable a





i 1

in

 Ai  An    Ai1  Ai 

      P   Ai   P  An    Ai 1  Ai    P  An    P  Ai 1  Ai  i n i n  i 1   


      P   Ai   P  An    Ai 1  Ai    P  An    P  Ai 1  Ai  i n i n  i 1   

Tomando límites cuando n    lím P  An  P   Ai   lím P  An   lím  P  Ai 1  Ai   n n  n  n  i n  i 1 

13. Dada una sucesión decreciente de sucesos se verifica ifi que



 An  , es decir, An  An1 , n  2,3,,



  lím P  An   P lím An  P   An  n  n   n1 

Demostración Demostramos aplicando p resultado anterior a  An   



n 1

n 1

lím An   An   An

n 

      1  lím P  An   lím P  An   P lím An  P   An   P   An   1  P   An   n 1  n  n  n   n 1   n 1   






3.3. Ejemplos 1. Sea A, B y C tres sucesos de un espacio probabilístico tales que P(A)=0.4, P(B)=0 2 y P(C)=0.4, P(B)=0.2 P(C)=0 4 P(AB) = 0.1 0 1 y (AB)  C=. C= Calcular las probabilidades de los siguientes sucesos: a. Sólo Sól ocurre A b. Ocurren los tres c. Ocurre A y B pero no C d. Ocurren al menos dos e. Ocurren dos y no más f. No ocurren más de dos g. Ocurre al menos uno h. Ocurre sólo uno i Ocurre sólo uno i.


a.





P  A  B  C   P A  B  C  P  A   B  C    P  A  P  A   B  C    P  A   P  A  B   0.4  0.1  0.3

b.

P A B  C  0

c.

P  A  B  C   P  A  B   0.1

d.

P  A  B  A  C  B  C   P  A  B   0.1

e e.

01 P  A  B  C  A  B  C  A  B  C   P  A  B   0.1

f.

1 P A  B  C  1

g.

P A B  C  P  A  P  B   P  C   P  A  B   P  A  C   P  B  C   P  A  B  C   P  A   P  B   P  C   P  A  B   0.4 0 4  00.2 2  00.3 3  00.11  0.8 08



h. P  A  B  C    A  B  C    A  B  C 







 P  A  B    A  B   C  P  A  B   P  A  B   P C   P  A   P  A  B   P  B   P  A  B   P  C   0.4  0.2  0.2  0.3  0.7 34 Dpto. Estadística e I.O. Prof. Juan Eloy Ruiz Castro

i.

P  A  B  C   1  P  A  B  C   1  0.8  0.2

2. Se considera un dado cargado de forma que la probabilidad de que salga un número es directamente proporcional a dicho número. número Sea A el suceso salir núnero par, par B el suceso salir número primo y C el suceso salir número impar. Calcular a. Probabilidad P b bilid d de d cada d suceco elemental l l b. Calcular P(A), P(B) y P(C) c. Calcular la probabilidad de que salga par o primo d. Calcular la probabilidad de que salga par pero no primo a.   1, 1 2,3, 2 3 4,5,6 4 5 6 P  n   kn

n  1, 2,3, 4,5,6

,

P     1  k  2k  3k  4k  5k  6k  21k  1 P n 

n 21

,

n  1, 2,3, 4,5,6


b b.

P  A   P 2, 2 44,66   P 2   P 4   P 6  

2  4  6 12 4   21 21 7

P  B   P 1, 2,3,5   P 1   P 2   P 3   P 5   P  C   P 1,3,5   P 1   P 3   P 5  

c.

1 3  5 9 3   21 21 7

P  A  B   P  A   P  B   P  A  B   P  A   P  B   P 2  

d.

1  2  3  5 11  21 21

12  11  2 21  1 21 21

11 10   P  A   P  A  B   P  A  B   P  B   1  21  21 P A B    P 4,6  4  6  10  21 21


Tema 3. Probabilidad clase2

Recommend Documents