DİNAMİK – İNŞ2009 Ders Notları - Dokuz Eylül Üniversitesi

DİNAMİK – İNŞ2009 Ders Notları Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR Dokuz Eylül Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü

Ders notları için: http://kisi.deu.edu.tr/serkan.misir/ 2017-2018 GÜZ Dynamics, Fourteenth Edition R.C. Hibbeler

Copyright ©2016 by Pearson Education, Inc. All rights reserved.

DEĞERLENDİRME

 1. Ara sınav (%25)  2. Ara sınav (%25)  Final (%50)  Dönem:18 Eylül 2017-22 Aralık 2017  Final : 25 Aralık 2017 -5 Ocak 2018  Devam zorunluluğu var: %70

Çeviren: Doç.Dr.İ.Serkan MISIR

1- 2 /40

1

KİTAPLAR 

Mühendislik Mekaniği ‐ Dinamik, R.C. HIBBELER, S.C. FAN, Literatür Yayıncılık (Metrik Baskı) ISBN: 978‐975‐04‐0219‐7, İstanbul, 2014 Bu ders kapsamında kullanılan sunum notları, yukarıdaki kitabın İngilizce baskısı temel alınarak Pearson yayınevi tarafından oluşturulan sunum notları kullanılarak hazırlanmıştır.



Mühendisler için Vektör Mekaniği – Dinamik F. Beer, E.R. Johnston, P.J. Cornwell, Literatür Yayıncılık, 10. Baskı (ve sonrası), ISBN: 978‐975‐04‐0665‐2, İstanbul, 2014



Mechanics for Engineers: Dynamics 10th Edition (and later), F. Beer, E.R. Johnston, P.J. Cornwell, McGraw‐Hill Education, ISBN: 978‐007‐74‐0232‐7, 2012 Çeviren: Doç.Dr.İ.Serkan MISIR

1- 3 /40

KONULAR  1‐3. hafta ‐

Parçacık Kinematiği ‐ hareketin geometrisi (Doğrusal, eğrisel, silindirik koordinatlar)

 4. hafta ‐ Parçacık Kinetiği ‐ kuvvet ve ivme (kartezyen ve silindirik koord.)  5 ve 6. hafta ‐ Parçacık Kinetiği ‐ iş ve enerji  7. hafta ‐

Parçacık Kinetiği ‐ impuls ve momentum

8. hafta ‐ 1. Arasınav  9 ve 10. hafta ‐ Rijit Cisimlerin Düzlemsel Kinematiği  11. hafta ‐ Rijit Cismin Düzlemsel Kinetiği ‐ ivme  12. hafta ‐ Rijit Cismin Düzlemsel Kinetiği ‐ sabit eksen etrafında dönme, genel düzlemsel hareket, sürtünmeli yuvarlanma 13. Hafta – 2. Arasınav  14. hafta ‐ Rijit Cismin Düzlemsel Kinetiği ‐ iş ve enerji 15. Hafta ‐ FİNAL


1- 4 /40

2

GENEL YAKLAŞIM

• Dinamik problemleri Statik problemlerine göre daha fazla katılım gerektirir. Çünkü hem cisme etkiyen kuvvetler hem de cismin hareketi dikkate alınır. • Dinamikte, problemlerin çözümü için sadece trigonometri, cebir ve analitik geometri değil kalkülüs de (fonksiyon, limit, türev, integral vb) kullanılmak zorundadır. • Dinamiği öğrenmenin en iyi yolu soru çözmektir.


1- 5 /40

GENEL YAKLAŞIM

• Soruyu dikkatli okuyun, öğrendiğiniz teori ile fiziksel durum arasında ilişki kurun, • Gerekli diyagramları çizin ve problem verisini kağıda özetleyin, • Koordinat sistemi oluşturun ve matematik formda ilgili prensipleri uygulayın, • Denklemleri mümkün olduğunca «değerleri yerine koymadan» ilerletin, • Sonucun mantıklı olup olmadığını mutlaka irdeleyin, birimleri kontrol edin, • Çözüm bittiğinde çözümü baştan sona kontrol edin ve ayrıca problemin başka bir şekilde çözülüp çözülemeyeceğini düşünün.


1- 6 /40

3

DOĞRUSAL KİNEMATİK: SÜREKLİ HAREKET Bugünün Hedefleri: Doğrusal bir yörünge boyunca hareket eden bir parçacığa ait kinematik büyüklüklerin bulunması (konum, yerdeğiştirme, hız, ivme)

Sınıf Etkinliği: • Sözel Yoklama • Uygulamalar • Genel doğrusal hareketteki s(t), v(t) ve a(t) arasındaki ilişkiler. • İvme sabit olduğunda s(t), v(t) ve a(t) arasındaki ilişkiler. • Kavramsal Yoklama • Örnek Problem Çözümü • Dikkat Yoklaması


1- 7 /40

SÖZEL YOKLAMA 1. Dinamikte, bir parçacığın ___________________ kabul edilir. A) hem ötelenme hem de dönme hareketi yaptığı B) sadece kütleye sahip olduğu C) kütleye sahip olduğu fakat boyut ve şeklinin ihmal edilemediği D) kütlesi, boyutu ve şekli olmayan, sadece bir nokta olduğu 2. Ortalama sürat _________________ şeklinde tanımlanır. A) r/t

B) s/t

C) sT/t

D) Hiçbiri. Çeviren: Doç.Dr.İ.Serkan MISIR

1- 8 /40

4

UYGULAMALAR Roketler, uçaklar veya arabalar gibi büyük cisimlerin hareketi çoğunlukla sanki bunlar birer noktaymış gibi analiz edilebilir. Eğer bu roketin yüksekliğini zamanın bir fonksiyonu olarak ölçseydik, roketin hızını ve ivmesini nasıl hesaplayabilirdik??


1- 9 /40

UYGULAMALAR (devam)

Bir spor araba düz yol boyunca ilerlemektedir. Arabanın bir parçacık olduğunu düşünebilir miyiz? Eğer araba sabit bir oranda ivmeleniyorsa, belirli bir andaki konumunu ve hızını nasıl hesaplarız? Çeviren: Doç.Dr.İ.Serkan MISIR

1-10 /40

5

Maddesel Nokta • Dinamikle ilgili konulara bir parçacığın doğrusal hareketini inceleyerek başlayacağız, • Parçacık (maddesel nokta, nokta cisim, partikül- partical), kütlesi olan fakat geometrisi ihmal edilebilir bir cisimdir. • Birçok problemde sonlu boyutlu cisimlerle karşılaşırız, örneğin: roketler, gemiler, uçaklar, arabalar vs. • Hareket, eğer sadece kütle merkezinin hareketiyle tanımlanabilirse ve cismin dönmesi de ihmal edilebiliyorsa, bu cisim parçacık – maddesel nokta olarak kabul edilebilir.


1-11 /40

Mekaniğe Genel Bakış Mekanik: Cisimlerin, üzerlerine etkiyen kuvvetlere gösterdiği tepkiyi gözleyen bilim dalı

Statik: Cisimlerin dengesi.

Dinamik: 1. Kinematik – hareketin geometrisi ile ilgilenir 2. Kinetik - harekete sebep olan kuvvetler ile ilgilenir


1-12 /40

6

DOĞRUSAL KİNEMATİK: SÜREKLİ HAREKET Doğrusal çizgi boyunca hareket eden bir parçacığın yörüngesi s koordinat ekseni ile tanımlanabilir. Konum

Yerdeğiştirme

Parçacığın herhangi bir anda, O orijin noktasına göre konumu, r konum vektörü veya s skaleri ile gösterilebilir. s skaleri pozitif veya negatif olabilir. r ve s için tipik birimler metre (m) veya feet (ft)’tir. Parçacığın yerdeğiştirmesi, konumundaki değişim olarak tanımlanır.

Vektörel form:  r = r’ - r

Skaler form:  s = s’ - s

Parçacığın aldığı toplam mesafe, sT, parçacığın hareket ettiği yol boyunca yörüngesinin toplam uzunluğunu gösteren pozitif skaler bir değerdir. 1-13 /40


HIZ Hız, parçacığın konumundaki değişim oranıdır. Vektörel bir büyüktür (hem büyüklüğü hem de yönü vardır). Hızın büyüklüğü sürat olarak isimlendirilir, birimi m/s veya ft/s’dir. Parçacığın, bir t zaman aralığındaki ortalama hızı, vort = r / t Hız

Anlık hız, konumun zamana göre birinci türevidir. v = dr / dt Sürat, hızın büyüklüğüdür: v = ds / dt

(1)

Ortalama hız Ortalama sürat -

Ortalama sürat, alınan toplam mesafenin, bu sırada geçen zamana bölünmesi ile bulunur: (vsürat)ort = sT / t Çeviren: Doç.Dr.İ.Serkan MISIR

1-14 /40

7

İVME İvme, parçacığın hızındaki değişim oranıdır. Vektörel bir büyüklüktür, tipik birimi m/s2 veya ft/s2 ’dir. Anlık ivme, hızın zamana göre türevidir. Vektörel form: a = dv / dt İvme -

Skaler form: a = dv / dt = d2s / dt2

(2)

İvme pozitif (sürat artarsa) veya negatif (sürat azalırsa) olabilir.

Yavaşlama -

(1) ve (2) nolu denklemler arasında dt sadeleştirilirse, önemli bir ilişki yakalanmış olur:

a ds = v dv 1-15 /40


KİNEMATİK İLİŞKİLERİN ÖZETİ: DOĞRUSAL HAREKET • Hız ve ivmeyi elde etmek için konumun türevini al. v = ds/dt ;

a = dv/dt veya a ds = v dv

• Hız ve konumu elde etmek için ivmeyi integre et. Konum:

Hız: v

t

 dv   a dt

v

s

 v dv   a ds

s

 ds   v dt

t

vo

o

vo

so

so

o

• so ve vo değerlerinin, parçacığın t = 0 anındaki, başlangıç konumu ve başlangıç hızı olduğuna dikkat edin.


1-16 /40

8

SABİT İVME İvmenin sabit olduğu (a = ac) özel durumda üç kinematik denklem integre edilerek oldukça kullanışlı denklemler elde edilebilir. Sabit ivme durumuna genellikle yerçekimi örnek olarak gösterilir; örneğin yeryüzüne serbest olarak düşen bir cisim. Bu durumda, aşağı yönlü ivme ac = g = 9.81 m/s2 = 32.2 ft/s2 olur. İlgili denklemler: v

t

 dv   a c dt vo

o

s

t

 ds   v dt so v

v  vo  act

ile

s  s o  v ot  (1/2) a c t 2

ile

v 2  (vo )2  2ac(s - so)

o s

 v dv   ac ds vo

ile

so Çeviren: Doç.Dr.İ.Serkan MISIR

1-17 /40

ÖRNEK Verilen: Bir parçacık düz bir çizgi üzerinde sağa doğru v = ( 4 t – 3 t2 ) m/s hız ile hareket etmektedir. Burada t saniye cinsindendir. Ayrıca, t = 0 iken s = 0 ’dır. İstenen: t = 4 s anında parçacığın konumu ve ivmesi. Plan: Parçacığın hareket ettiği yönü pozitif koordinat, s ile göster. Hız, zamanın bir fonksiyonu olarak verildiğinden, türevini alarak ivmeyi hesapla. Benzer şekilde, hız fonksiyonunu integre ederek konumu hesapla.


1-18 /40

9

ÖRNEK (devam) Çözüm: 1) İvmeyi hesaplamak için hızın zamana göre birinci türevini al: a = dv / dt = d(4 t – 3 t2) / dt = 4 – 6 t t = 4 s iken  a = – 20 m/s2 (veya  yönünde) 2) 4 s boyunca hareket eden parçacığın konumunu hesaplamak için so = 0 değerini de kullanarak hızı integre et: s t v = ds / dt  ds = v dt   ds   (4 t – 3 t2) dt so o  s – so = 2 t2 – t 3 2 3  s – 0 = 2(4) – (4)  s = – 32 m (veya )

1-19 /40


KAVRAMSAL YOKLAMA 3 m/s 

5 m/s 

t=2s t=7s 1. Bir parçacık yatay bir yörünge boyunca şekilde görüldüğü gibi zamanla değişen bir hızla hareket etmektedir. Parçacığın ortalama ivmesi ________ ’dir. A) 0.4 m/s2  B) 0.4 m/s2  2 C) 1.6 m/s  D) 1.6 m/s2  2. Bir parçacık başlangıçta sola doğru 30 ft/s’lik bir hıza sahiptir. Eğer 5 saniye sonra aynı konumdan sağa doğru 50 ft/s’lik bir hızla geçerse, parçacığın 5 saniyelik zaman içerisindeki ortalama hızı ________’dir. A) 10 ft/s  B) 40 ft/s  C) 16 m/s  D) 0 ft/s Çeviren: Doç.Dr.İ.Serkan MISIR

1-20 /40

10

ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ

Verilen: 6 m/s sabit hız ile düşeyde yükselen bir balondan aşağı bir kum çuvalı bırakılmıştır. Çuval, t = 0 s anında balonla aynı düşey hızda bırakılmış ve yere t = 8 s anında çarpmıştır. İstenen: Çuvalın yere çarptığı andaki hızı ve balonun bu anda yerden yüksekliği. Plan: Kum çuvalı, yerçekimi sebebiyle aşağı yönlü 9.81 m/s2’lik bir ivmeye maruzdur. Dolayısıyla, ac = - 9.81 m/s2 değerini kullanarak sabit ivme için çıkarılan formülü uygulayın.


1-21 /40

ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ (devam) Çözüm: Çuval t = 0 s anında serbest bırakılıyor ve t = 8 s anında yere çarpıyor. Konum denklemini kullanarak mesafeyi hesapla. + sçuval = (sçuval )o + (vçuval)o t + (1/2) ac t2 sçuval = 0 + (-6) (8) + 0.5 (9.81) (8)2 = 265.9 m t = 8 s boyunca balon yükselmektedir, + sbalon = (vbalon) t = 6 (8) = 48 m Dolayısıyla, balonun yüksekliği (sçuval + sbalon). Yükseklik = 265.9 + 48 = 313.9 = 314 m. Çeviren: Doç.Dr.İ.Serkan MISIR

1-22 /40

11

ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ (devam) Hız denklemini uygulayarak t = 8 s anındaki hızı hesaplayın. + vçuval = (v çuval )o + ac t vçuval = -6 + (9.81) 8 = 72.5 m/s 


1-23 /40

DİKKAT YOKLAMASI 1. Bir parçacık s0 = 0 m iken sola doğru 3 m/s’lik bir ilk hıza sahiptir. Eğer ivmesi sağa doğru 2 m/s2 ise t = 3 s anındaki konumunu hesaplayın. A) 0.0 m B) 6.0 m  C) 18.0 m  D) 9.0 m  2. Bir parçacık v = 12 m/s’lik başlangıç hızı ve hızıyla aynı yönde 3.78 m/s2 ’lik sabit bir ivme ile hareket etmektedir. Parçacığın hızı 30 m/s değerine ulaştığında kat ettiği toplam mesafeyi hesaplayınız. A) 50 m C) 150 m

B) 100 m D) 200 m Çeviren: Doç.Dr.İ.Serkan MISIR

1-24 /40

12

ÖRNEK 1 (Ders harici incelenecek)

1-25 /40

ÖRNEK 1

1-26 /40

13

ÖRNEK 1 (devam)

Üç hareket eğrisinin incelenmesi sonucu, parçacığın t = 0’dan t = ’a kadarki hareketi dört evreye bölünebilir:

1-27 /40

ÖRNEK 2

Bir test aşamasında, şekildeki roket yerden 40 m yukarıda ve yukarı yönde 75 m/s’lik bir hıza sahipken motorları arızalanmıştır. Roketin çıkacağı maksimum yükseklik sB ve yere çarpmadan hemen önceki hızı ne olur? Roket 9.81 m/s2 ’lik yerçekimi ivmesine maruzdur ve hava sürtünmesi ihmal edilecektir.

1-28 /40

14

ÖRNEK 2 (devam)

1-29 /40

ÖRNEK 2 (devam)

1-30 /40

15

ÖRNEK 3 (Ders harici incelenecek)

1-31 /40

ÖRNEK 3 (devam)

1-32 /40

16

ÖRNEK 3 (devam)

1-33 /40

ÖRNEK 4

t=0 s anında durmakta olan şekildeki araç ilk 10 s boyunca 10 m/s2 ivme ile hızlanıp sonra 2 m/s2 ivme ile yavaşlıyor. v-t ve s-t grafiklerini çiziniz. Durması için gerekli tʹ zamanını bulunuz. Araç ne kadar yol kat etmiştir.

1-34 /40

17

ÖRNEK 4

a = dv/dt veya a*dt = dv

a ‐ t

1-35 /40

ÖRNEK 4

1-36 /40

18

ÖRNEK 4

1-37 /40

ÖDEV 1 Düz bir çizgi üzerinde hareket eden parçacığın hızı v = 12 – 3t2 fonksiyonu ile tanımlıdır (t sn cinsindendir). t = 1 sn iken parçacık başladığı noktanın 10 m solunda ise, t = 4 sn’deki ivmesini ve t = 0 ve t = 10 sn arasında yaptığı toplam yer değiştirmeyi ve parçacığın kat ettiği toplam mesafeyi bulunuz.

İpucu:

t = 1 sn

1-38 /40

19

ÖDEV 2 ve 3

1-39 /40

ÖDEV 4 Noktasal parçacık doğrusal bir yörüngede şekildeki gibi hareket etmektedir. a‐s grafiğini oluşturunuz.

a(ds) = v(dv)

1-40 /40

20

DİNAMİK – İNŞ2009 Ders Notları - Dokuz Eylül Üniversitesi

Recommend Documents