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PROBLEMI DI SCELTA IN UNA VARIABILE

1

OTTIMIZZAZIONE DEL PROFITTO

1] Il costo fisso di un processo produttivo ammonta a 2500 €, mentre il ricavo e il costo per unità prodotta sono rispettivamente 2 € e 1 €. Sapendo che la capacità produttiva massima è di 5500 unità, determinare: A) il Brak-even point; B) il guadagno per 2.500 unità ; C) il massimo guadagno. A) Break-even point. x variabile produzione con vincolo tecnico x ≤ 5500 Funzione ricavo: R( x ) = 2 ⋅ x ; funzione costo di produzione: C ( x ) = 2500 + 1 ⋅ x . Break-even point (pareggio) R( x ) = C ( x ) ⇒ 2x = 2500 + x ⇒ x = 2500 unità.

Diagramma di redditività 12000 11000 10000 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000

Euro

R(x)

C(x)

X M A X =5500

Break-even point x0 =2500 Perdite 1000

-1000

2000

Quantità

Utili 3000

4000

5000

6000

B) Funzione guadagno: G ( x ) = R( x ) − C ( x ) ⇒ G ( x ) = 2 x − x − 2500 = x − 2500 ;

P G (2500 ) = 2500 − 2500 = 0 € . C) G MAX = G ( x max ) = 5500 − 2500 = 3000 € .

Diagramma del guadagno 3000

G MAX =3000 €

Euro

2000

Break-even p oint x 0 =2500

1000

1000

2000

X M A X =5500

Quantità

U tili

P erdite 3000

G ( x)

4000

5000

6000

-1000 -2000 -3000

P. 1 Bologna, aprile 2012

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2] Una impresa produce lubrificanti per ingranaggi supportando un costo variabile unitario di 0,14 € /litro e costi fissi complessivi di 1.050 €. Sapendo che la capacità produttiva massima è pari a 42.800 litri e che il ricavo unitario è di 0,20 €, determinare la quantità da produrre e vendere per non andare in perdita ed il massimo guadagno. Variabile x [litri ] quantità di produzione. Vincolo tecnico x ≤ 42800 litri. Funzione ricavo R( x ) = 0.20 ⋅ x € .

Funzione costo C ( x ) = 1050 + 0.14 ⋅ x .

R(0 ) = 0 , R(42800 ) = 0.2 × 42800 = 8560 € ; C (0 ) = 1050 € ;

C (42800 ) = 1050 + 0.14 × 42800 = 7042 € .

Funzione guadagno G( x) = R( x) − C( x) -

G ( x ) = 0.20 x − 0.14 x − 1050 = 0.06 x − 1050 ; G (0 ) = −1050 ; G (42800 ) = 0.06 × 42800 − 1050 = 1518 € Diagramma di redditività Euro 9000

R (x)

8000

C(x)

7000 6000 5000 4000

Break-even point x0 =17500

3000 2000 1000

P erdite 10000

-1000

Litri

U tili 20000

30000

40000

Diagramma del guadagno Euro

G m ax =1518 €

115 550 00 00 110 000 00 00

Break-even p oint x 0 =17500

550 000 0

Area d i -5 000 0 p erdita

G ( x)

Area di gu ad agno 110 000 00 000

20000

30000

Litri

40000

-1 000 000


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3] Una impresa produce un bene sostenendo dei costi annui di produzione espressi dalla funzione C ( x ) = 5000 + 30 ⋅ x , con x quantità prodotta. Il prezzo di vendita dipende dalla legge di mercato p( x ) = 80 − 0.1 ⋅ x . Determinare: a) la produzione che assicura il massimo guadagno; b) il punto di pareggio , gli intervalli di perdita e di guadagno . Funzione ricavo:

R = p ⋅ x ⇒ R = (80 − 0.1 ⋅ x ) ⋅ x ⇒ R = 80 ⋅ x − 0.1 ⋅ x 2 = 0 ⇒

Produzione di massimo ricavo: x M =

x1 = 0 x 2 = 80 0.1 = 800

0 + 800 = 400 ; 2

Massimo ricavo: RMAX = (80 − 0.1 × 400 ) × 400 = 40 × 400 = 16000 € Funzione costo:

C ( x ) = 5000 + 30 ⋅ x ⇒ C (0) = 5000 , C(800 ) = 5000 + 30 × 800 = 29000 € Funzione guadagno:

G = R − C ⇒ G = 80 x − 0.1 x 2 − 5000 − 30 x ⇒ G = −0.1 x 2 + 50 x − 5000 Punti di pareggio: − 50 ± 502 − 4(− 0.1 )(− 5000 ) x1 = 138.20 G = 0 ⇒ −0.1 x + 50 x − 5000 = 0 ⇒ x = = 2(− 0.1 ) x 2 = 361 ,80 2

il punto di pareggio (minima produzione) si ha in x = 138.20 . Produzione di massimo guadagno: x GMAX =

138.20 + 361.80 = 250 ; 2

Massimo guadagno: G MAX = −0.1 × 2502 + 50 × 250 − 5000 = 1250 € .


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________________________

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Richiami sulla parabola: ricordiamo che la parabola è una curva nel piano cartesiano espressa dalla funzione y = a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c . Essa presenta la concavità verso l'alto se a > 0 oppure verso il basso se a < 0 . I punti da prendere in considerazione per il suo disegno sono, in genere, le eventuali intersezioni con l'asse X ottenuti risolvendo l'equazione di secondo grado

a⋅ x2 + b⋅ x + c = 0

∆ = b 2 − 4 ⋅ a⋅ c

⇒

x=

− b ± ∆ x1 = 2⋅ a x2

,

∆ = b2 − 4a ⋅ c , ∆ ≥ 0 .

Il punto di vertice V (un minimo per a > 0 o un massimo per a < 0 ) ha ∆ ⎞ ⎛ b coordinate V ⎜ − ;− ⎟ e, nel caso ∆ > 0 , esso si trova nel mezzo delle due 4a ⎠ ⎝ 2a C ( x)

x + x2 intersezioni con l'asse X: xV = 1 . 2 Infine l 'intersezione con l'asse Y , che si ottiene ponendo x = 0 , ________________________

______________________________

è in C (0 ; c ) .

__________________________

Diagramma di redditività Euro

C ( x)

25000 20000 15000

R ( x) 10000

R ( x)

5000

Quantità

U tili 100

200

300

400

500

600

700

800

900

Diagramma del guadagno Euro 4000 3000 2000

V ( 250; 1250)

1000

Quantità 100

-1 0 0 0

200

300

400

500

600

700

800

900

U tili

-2 0 0 0 -3 0 0 0 -4 0 0 0


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4] La produzione mensile di una industria si caratterizza con i seguenti dati: - Funzione costo di produzione C ( x ) = 2000 + 25 x + 0.01 x 2 ; x var. quantità .

C (0 ) = 2000 (costo fisso) ; C (1000 ) = 2000 + 25 × 1000 + 0.01 × 1000 2 = 37.000 € . - Prezzo unitario di vendita p( x ) = 45 € . Si determini: a) massimo profitto mensile ; b) minima quantità per non perdere. Funzione ricavo: R( x ) = 45 ⋅ x ; Funzione profitto:

G ( x ) = R( x ) − C ( x ) = 45 ⋅ x − 2000 − 25 x − 0.01 x 2 ⇒ G ( x ) = −0.01 x 2 + 20 x − 2000 Massimo profitto:

xM = −

20 = 1000 ; G MAX = −0.01 × 1000 2 + 20 × 1000 − 2000 = 8000 € 2(− 0.01 )

Intervallo di produzione degli utili:

G ( x ) = 0 ⇒ − 0.01 x 2 + 20 x − 2000 = 0 ⇒ x =

− 20 ± 202 − 4 × (− 0.01 ) × (− 2000 ) x1 = 105 ,57 = 2 × (− 0.01 ) x 2 = 1894 ,43

Minima quantità da produrre: x = 105 ,57 ; utili per 105 ,57 < x < 1894 ,43 . Notiamo come il punto di guadagno massimo si possa anche ottenere come media dei due estremi dell'intervallo degli utili: x M =

105 ,57 + 1894 ,43 = 1000 2

I punti x1 = 105 ,57 e x 2 = 1894 ,43 sono di pareggio:

R (x 1 , 2 ) = C (x 1 , 2 ) ;

I rivavi nei due punti di pareggio, uguali ai costi di produzione sostenuti, sono:

R( x1 ) = 45 × 105 ,57 = 4744 ,35 € e R( x 2 ) = 45 × 1894 ,43 = 85249 ,35 € . Diagramma di redditività

Diagramma del profitto

Euro

11000 10000 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000

90000 80000 70000 60000

R(x)

50000 40000

C(x)

30000 20000 10000

Quantità

intervallo degli utili 500

1000

1500

2000

-1000 -2000

Euro

GMAX

Quantità

x1

intervallo degli utili

x2


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2

OTTIMIZZAZIONE NEL CASO DISCRETO

Quando la variabile non riguarda una grandezza continua ma, invece, si tratta di una discreta (cioè assume solo un numero finito di valori), il grafico della funzione F ( x ) da ottimizzare (che esiste quando si può desumere dai dati, ad esempio un guadagno) è costituito, in realtà, non da una linea continua ma da un insieme di punti, tanti quanti sono i dati. ò usare l'analisi analisi marginale che consiste nel Se i dati sono poco numerosi si pu può realizzare una tabella di valori per esaminare le variazioni dei valori della funzione: per esempio, se si cerca un punto di massimo, occorre considerare le variazioni dei valori della funzione, ∆F (n) = F (n + 1 ) − F (n)

, quando la

variabile indipendente (con x si denota in genere una grandezza continua e con n una grandezza discreta) si incrementa tra un punto ( n ) ed il successivo ( n + 1 ) di una serie di dati. Quando queste variazioni cambiano di segno, passando da positive a negative, si determina il punto di massimo e, viceversa, quando passano da negative a positive si stabilisce il minimo della funzione. Quando i dati sono numerosi è pi ù opportuno ricorrere all'artificio di più considerare la variabile come grandezza continua e determinare il punto di ottimo con le tecniche ordinarie (ad esempio considerando il vertice della parabola se si tratta di un funzione quadratica) e, ottenendo in genere un valore decimale per la x , si tratta di approssimare quel valore all'intero più vicino per eccesso o per difetto a seconda dei valori corrispondenti assunti dalla F ( x ) .

5] Per il lancio di un nuovo prodotto in un centro commerciale una impresa utilizza una promozione che dura una settimana e che prevede i seguenti costi: Spese fisse 5000 € ; spese variabili di due valori: 125 € per ogni giorno se i giorni sono al massimo 3 e 100 € se il loro numero supera 3 . Le stime dei ricavi durante le giornate di promozione sono illustrate dalla seguente tabella di valori: Giorni Ricavi €

1 6.000

2 9.000

3 11.000

4 12.000

5 12.500

6 12.500

7 12.500

Determinare il numero di giorni che garantisce il massimo profitto e tale somma. In questo tipo di problema, dai dati in possesso (non molto numerosi) non si ricava una espressione matematica di funzione ma si è in grado ugualmente di stabilire il punto di ottimo per mezzo del completamento della tabella iniziale con l'aggiunta delle due ulteriori righe, rispettivamnte dei costi e dei guadagni. P. 6 Bologna, aprile 2012

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La funzione dei costi, segundo il testo del problema, è in relazione con la variabile

n≤3 ⎧5.000 + 125 ⋅ n , discreta del numero di giorni n : C (n) = ⎨ . ⎩5.000 + 100 ⋅ n , 4 < n ≤ 7 Calcoliamo i costi nella seconda riga della tabella e aggiungiamo la quarta riga relativa ai profitti ottenuti come differenze fra i ricavi ed i costi: n) Giorni (n) Ricavi R(n) €

1 6.000

2 9.000

3 11.000

4 12.000

Costi C(n) € Profitti G(n) €

5.125 875

5.250 3.750

5.375 5.625

5.400 6.500

5 12.50 0 5.500 7.000

6 12.500

7 12.500

5.600 6.900

5.700 6.800

Come si vede i profitti salgono fino alla 5 giornata e poi ridiscendono per cui il punto di ottimo è per n = 5 giorni con un guadagno pari a G (5) = 7.000 € .

6] Una azienda produce e vende dei prodotti in lotti di 5.000 pezzi ciascuno, sostenendo le seguenti spese giornaliere: - costi fissi :120 € ; - costi variabili: 0.001 € per pezzo. I limiti di produzione sono 20.000 (MIN) e 50.000 (MAX). Il prezzo di vendita dei singoli pezzi dipende dal numero di lotti venduti: n p [€]

4 0,007

5 0,006

6 0,0055

7 0,005

8 0,004

9 0,0035

10 0,003

Determinare il numero di più conveniente di lotti da produrre ed il relativo valore del guadagno. Essendo i prezzi riferiti ai singoli pezzi e, tenuto conto che ogni lotto contiene 5.000 pezzi, la funzione ricavo è data dall'espressione R(n) = P (n) = p ⋅ 5000 ⋅ n La funzione costo giornaliero di produzione dipende dalla variabile numero dei lotti in questo modo:

C (n) = 120 + 0.001 ⋅ 5000 ⋅ n = 120 + 5 ⋅ n con il vincolo tecnico dei limiti di produzione 4 ≤ n ≤ 10 . Aggiungiamo tre ulteriori righe alla tabella del testo: i ricavi, i costi e i guadagni che sono ottenuti per differenza fra ricavi e costi al variare di n . P. 7 Bologna, aprile 2012

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n p [€] R(n) C(n) G(n)


4 0,007 140 140 0

5 0,006 150 145 +5

6 0,0055 165 150 +15

7 0,005 175 155 +20

8 0,004 160 160 0

9 0,0035 157,50 165 -2,50

10 0,003 150 170 -20

Dall'ultima riga si determina il massimo profitto di 20 € per n = 7 lotti prodotti. Se i prezzi di vendita hanno un andamento diverso, come quelli che seguono, con lo stesso metodo otteniamo soluzioni diverse: n p [€]

4 0,008

5 0,007

6 0,006

7 0,005

8 0,004

9 0,003

10 0,002

Costruiamo una nuova tabella di valori con valori ricalcolati in base ai nuovi dati: n p [€] R(n) C(n) G(n)

4 0,008 160 140 +20

5 0,007 175 145 +30

6 0,006 180 150 +30

7 0,005 175 155 +20

8 0,004 160 160 0

9 0,003 135 165 -10

10 0,002 100 170 -70

Osservando l'ultima riga notiamo che, in questo caso, conviene produrre n = 5 oppure n = 6 lotti per avere lo stesso guadagno massimo giornaliero di 30 € .

7] Una fabbrica che produce e vende contenitori speciali a 115 € al pezzo sostiene costi fissi mensili di 3.000 € e costi variabili ripartiti in: Costi di vendita del 2% del quadrato del numero di elementi venduti Costi di produzione: 60€ per ogni pezzo prodotto. Determinare: A) il grafico e la minima produzione che evita di andare in perdita; B) la produzione che permette il massimo guadagno ed il relativo valore. In questo problema possiamo assimilare la quantità prodotta come una grandezza continua da cui dipendono le funzioni economiche. Funzione ricavo: R( x ) = 115 ⋅ x [€] . Funzione costo: C ( x ) = 3.000 + 60 ⋅ x + 0.02 ⋅ x 2 [€]


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Funzione guadagno. G ( x ) = R( x ) − C ( x ) . G ( x ) = −0.02 ⋅ x 2 + 55 ⋅ x − 3000 € Punti di pareggio pareggio: R( x ) = C ( x ) ⇔ G ( x ) = 0 ⇒ −0.02 ⋅ x 2 + 55 ⋅ x − 3.000 = 0

x=

⇒ 56 − 55 ± 552 − 4 ⋅ (− 0.02) ⋅ (− 3000 ) 55 ± 2785 x 1 ≈ 55.67 = = x 2≈ 2694.325 ⇒ 2694 2 ⋅ (− 0.02) 0.04

Notiamo qui come i due valori vengano arrotondati agli interi più vicini. I ricavi nei punti di pareggio, uguali ai costi sostenuti, valgono:

R1 = 115 × 56 = 6440 € e R2 = 115 × 2694 = 309.810 €. La produzione del massimo utile si può ottenere in due modi, considerando che la funzione guadagno è di tipo quadratico: - come media aritmetica dei punti di pareggio x 0 =

-come ascissa del vertice della parabola x 0 = −

x 1 + x 2 56 + 2694 = = 1375 ; 2 2

b 55 =− = 1375 . 2a 2(− 0.02)

Il massimo utile vale G MAX = −0.02 ⋅ 13752 + 55 ⋅ 1375 − 3000 = 34.812 ,50 € Euro

Diagramma del guadagno

Euro

Diagramma costi-ricavi 40000

300000

GMAX=34812,50 €

35000 250000 30000

R(x)

200000

25000

150000

20000 15000

C(x)

100000

10000 50000

Intervallo degli utili

x1

500

1000

1500

2000

Produzione 2500 x2 3000

5000


x1

500

1000

1500

2000

Produzione 2500

x2 3000

8] Una industria, che produce calzature fino ad un massimo di 1500 paia al mese, sostiene costi unitari (costo per unità ) che dipendono dalla quantità prodotta x nel seguente modo: C u ( x ) = 0 ,003 x + 30 . Il ricavo unitario (prezzo) è pure funzione della quantità: Ru ( x ) = 71 − 0 ,005 x . Determinare: A) la quantità da produrre per realizzare il massimo guadagno; B) il punto di pareggio e l'intervallo di produttività degli utili.


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In questo problema, è opportuno assimilare la variabile discreta dellla produzione a grandezza continua in modo da ricavare i valori richiesti dalle funzioni economiche costi, ricavi e guadagno. Vincolo tecnico della produzione x ≤ 1500 Funzione costo costo:

C ( x ) = C u ( x ) ⋅ x = 0.003 ⋅ x 2 + 30 ⋅ x €.

Massimo costo di produzione C (1500 ) = 0.003 × 15002 + 30 × 1500 = 51.750 € Funzione ricavo ricavo:

R( x ) = Ru ( x ) ⋅ x = (71 − 0 ,005 ⋅ x ) ⋅ x = 71 ⋅ x − 0.005 ⋅ x 2 €

Prod.Max ricavo ricavo: x RMAX = −

71 b =− = 7100 (viola il vincolo x ≤ 1500 !) 2a 2(− 0.005)

Funzione guadagno guadagno: G ( x ) = R( x ) − C ( x ) .

G ( x ) = 71 ⋅ x − 0.005 ⋅ x 2 − 0.003 ⋅ x 2 − 30 ⋅ x = −0.008 ⋅ x 2 + 41 ⋅ x = (41 − 0.008 ⋅ x ) ⋅ x Punti di pareggio pareggio:

R( x ) = C ( x ) ⇔ G ( x ) = 0 ⇒ (41− 0.008⋅ x) ⋅ x = 0

x1 = 0 ⇒ minima produzione x2 = 41 0.008= 5125 ⇒ senza vincolo

R(5125) = (71 − 0.005) × 5125 = 232.546.88 Il limite teorico di produzione di x 2 = 5125 unità di merce supera il valore fissato dal vincolo tecnico x ≤ 1500 per cui, l'intervallo effettivo di produttività degli utili di profitto è 0 ≤ x ≤ 1500 . Gli altri ricavi necessari per tracciare il grafico in modo opportuno sono:

RMAX = (71 − 0.005 × 7100 ) × 7100 = 252.050 € (senza vincolo) R1 = (71 − 0.008 ⋅ 0 ) ⋅ 0 = 0 € , punto di pareggio. R2 = (71 − 0.005 × 1500 ) × 1500 = 63.5 × 1500 = 95.250 € , (vincolo tecnico). Massimo guadagno guadagno: la quota di produzione che garantisce il massimo utile si ricava calcolando l'ascissa del massimo della funzione guadagno (relativa al vertice della parabola associata) e si ottiene un valore superiore al limite massimo consentito di 1500: x GMAX =

x 1 + x 2 0 + 5125 = = 2562.5 ≈ 2563 . 2 2

In questo caso, tenendo conto del vincolo 0 ≤ x ≤ 1500 , consideriamo il valore x = 1500 proprio quello che garantisce il massimo profitto all'industria:

G (1500 ) = (41 − 0.008 × 1500 ) × 1500 = 29 × 1500 = 43500 € P. 10 Bologna, aprile 2012

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In linea teorica, in assenza del vincolo tecnico x ≤ 1500 , per valutare il profitto massimo per una produzione di x = 2563 unità calcoliamo il valore:

G (2563) = (41 − 0.008 × 2563) × 2563 = 52231 ,25 € Diagramma del guadagno

Diagramma costi-ricavi 250000

€

€

G2=52.231,25 €

50000 200000

G1=42.500 €

R(x)

40000

150000 30000 100000

C(x)

20000

50000

10000

x

x

x1

1000 x2 2000

3000

4000

5000

6000

x1

7000

1000

x2

2000

3000

4000

5000

9] Mantenendo gli stessi dati del ricavo del problema precedente ma escludendo la presenza del vincolo (non vi sono limiti alla quantità prodotta) svolgiamo il calcolo del punto di massimo profitto se la funzione costo è C ( x ) = 5000 + 25 ⋅ x . Funzione guadagno: G ( x ) = R( x ) − C ( x ) ;

G ( x ) = 71 ⋅ x − 0.005 ⋅ x 2 − 5000 − 25 ⋅ x = −0.005 ⋅ x 2 + 46 ⋅ x − 5000 Punti di pareggio e produzione di massimo guadagno guadagno:

R( x ) = C ( x ) ⇔ G ( x ) = 0 ⇒ 46 ± 46 2 − 4 × 0.005 × 5000 46 ± 44.9 x 1 ≈ 110 110 + 9100 x= = = ⇒ x MAX = = 4605 2 × 0.005 0.01 x 2 ≈ 9100 2

R (110 ) = C (110 ) = 5000 + 25 × 110 = 7.750 € punto di minima produzione; R (9100 ) = C (9100 ) = 5000 + 25 × 9100 = 232 .500 secondo punto di pareggio. Guadagno massimo: G MAX = −0.005 × 46052 + 46 × 4605 − 5000 ≈ 100.800 €

Diagramma del guadagno Diagramma costi-ricavi 250000

€

100000

R(x)

€

GMAX=100.800 =100.800€

90000 80000

200000

70000 150000

60000

C(x)

50000 100000

40000 30000

50000

20000

Intervallo degli utili x1

1000 x22000

3000 4000

5000

6000 7000

x 8000 9000

10000


x

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000


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3

FUNZIONE COSTO UNITARIO

Molti problemi di scelta riguardano il costo unitario di produzione da rendere minimo: il costo unitario è il costo che l'impresa sostiene per produrre una singola unità di bene e, in termini matematici, esso si esprime con il rapporto

y (x ) =

C (x ) dove x rappresenta la variabile quantità di produzione e C ( x ) la x

funzione del costo. Se la funzione del costo di produzione C ( x )

(somma dei

costi fissi e di quelli variabili) è data da una legge quadratica del tipo

C ( x ) = a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c , la funzione costo unitario corrisponde alle seguenti due espressioni equivalenti fra loro: y =

a ⋅ x2 + b⋅ x + c c ⇔ y = a⋅ x + b + x x

Supponendo che i tre coefficienti siano tutti positivi, a > 0 , b > 0 e c > 0 , il grafico della funzione costo unitario si presenta come mostrano le figure: FIG. 1

Funzione costo unitario

FIG.2

y = a⋅ x + b + c x

y

y = a⋅ x + b + c x

y =k

y0

y = a⋅ x + b

y=

Funzione costo unitario

y

⎛ ⎞ H ⎜⎜ c ; 2 ac + b ⎟⎟ a ⎝ ⎠

c x

x

x

x = x0

Il grafico di sopra mostra le proprietà del costo: - la funzione si compone di un termine lineare a ⋅ x + b (retta nel grafico di sinsitra) e di un termine

c rappresentato dal ramo di iperbole destro nel primo x

quadrante (trattandosi di problemi in contesto economico le due variabili sono soggette ai vincoli di segno x > 0 , y > 0 ). - la funzione assume valori molto alti in prossimità dell'asse verticale che costituisce un asintoto poichè, dove i valori della x sono prossimi al valore zero, prevale il termine inverso ( Lim x ⇒0

c =∞)x

- per valori abbastanza lontani dall'origine, dove tende a zero il termine inverso ( Lim x⇒∞

c = 0 ) la funzione si accosta all'asintoto obliquo di equazione y = a ⋅ x + b . x


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- nella zona intermedia del grafico si trova il punto di minimo H ( x 0 , y0 ) della funzione che si calcola, oltre che annnullandone la derivata, anche determinando il punto di tangenza fra la retta di equazione y = k e la funzione

stessa per

mezzo dei passaggi che seguono:

a⋅ x2 + b⋅ x + c = k ⇒ a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c = k ⋅ x ⇒ a ⋅ x 2 + (b − k ) ⋅ x + c = 0 x Il punto di tangenza (figura seguente) fra la retta orizzontale ed il grafico della funzione costo si ottiene imponendo che la soluzione dell'equazione di secondo grado ottenuta ammetta una unica soluzione, ovvero imponendo che il suo discriminante si annulli: ∆ = (b − k )2 − 4 ⋅ a ⋅ c = 0 ; questa equazione, risolta rispetto a k (si scartano le soluzioni

con segno negativo) , fornisce il valore

k = 2 ac + b ; l'ascissa del minimo è pertanto x 0 = −

c b−k ovvero x 0 = . a 2⋅ a

⎛ c ⎞ In definitiva il minimo costo unitario è posto in H ⎜⎜ ; 2 ac + b ⎟⎟ . Ovviamente, ⎝ a ⎠ ⎛ c ⎞ nel caso b = 0 , il minimo è H ⎜⎜ ; 2 ac ⎟⎟ ⎝ a ⎠ ESEMPIO: se la funzione costo è data dalla funzione C ( x ) = 0.25 x 2 + 2 x + 1 la funzione del costo per unità prodotta è y =

0.25 x 2 + 2 x + 1 1 = 0.25 x + 2 + ; x x

senza applicare le formule che forniscono direttamente il punto di minimo possiamo determinare tale punto determinando il punto di tangenza di una retta orizzontale di equazione y = k con il grafico della funzione costo:

y=

0.25 x 2 + 2 x + 1 = k ⇒ 0.25 x 2 + 2 x + 1 = kx ⇒ 0.25 x 2 + (2 − k )x + 1 = 0 . x

La condizione di tangenza consiste nell'annullamento (1 sola soluzione) del 2 2 discriminante ∆ = (2 − k ) − 4 × 0.25 ∗ 1 = 0 ⇒ (2 − k ) = 1 da cui otteniamo le 2

2

due soluzioni , rispettivamente la prima con segno positivo davanti alla radice, di valore k = 1 (scartata perchè corrisponde a valori di x < 0 in quanto

x0 = −

b−k 2−1 =− = −2 ) e l'altra k = 3 che corrisponde all'ascissa positiva: 2⋅ a 2 × 0.25


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x0 = −


b−k 2−3 =− = 2 . Si noti come le due coordinate del punto di minimo 2⋅ a 2 × 0.25

punto di fuga fuga" possano ottenersi direttamente con le H (2 ;3) , detto anche "punto formule sopra scritte:

x0 =

c 1 = = 2 , y0 = 2 a ⋅ c + b = 2 0.25 × 1 + 2 = 3 ⇒ H(2 ;3) , 0.25 a

Fu n zion e de l cos to u n itario 1 y = 0.25 x + 2 + x

y

k 1=3

H

k 2=1 x

M 0

Si noti. Dal grafico della figura, come l'asintoto obliquo di equazione y = 2 x + 1 si avvicini sempre di più alla funzione costo quanto più ci si allontana dall'origine e anche nel ramo di sinistra ( x < 0 ) che non viene considerato nei problemi in campo economico (variabili quantità e danaro sono ovviamente positive!). Da notare anche le due rette tangenti nei punti estremi della funzione, rispettivamente con k1 = 3 che è tangente al punto di minimo H(2;3) e k2 = 1 che viene scartata perchè è tangente al punto di massimo M(-2;1) da parte opposta rispetto all'origine degli assi. Nota bene bene: I punti di minimo e massimo della funzione costo unitario possono anche ottenersi annullando la derivata prima:

y'x

' − 2 scartato 1 1 1⎞ ⎛ = ⎜ 0.25 x + 2 + ⎟ = 0.25 − 2 ⇒ 0.25 − 2 = 0 ⇒ x 2 = 4 ⇒ x0 = x ⎠x + 2 accettato ⇒ H (2 ;3) x x ⎝


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4

FUNZIONE COSTO MARGINALE

Se il costo totale per produrre una data quantità x è espresso da una generica funzione C ( x ) , incrementando la produzione di un valore ∆x , il maggiore costo sostenuto è dato da C ( x + ∆x ) . Si definisce costo marginale C ma ( x ) il rapporto fra l'incremento dei costi di à di produzione: produzione e l'incremento della quantit quantità

C ma ( x ) =

C ( x + ∆x ) − C ( x ) ∆x

Se la quantità si riferisce ad una grandezza discreta il minimo incremento di produzione è una unità e si parla di costo marginale unitario unitario:

C ma = C ( x + 1) − C ( x ) Se la quantità si riferisce ad una grandezza continua (cioè può assumere tutti i valori in ogni intervallo) e l' incremento della produzione è sufficientemente piccolo (al limite possiamo considerare ∆x ⇒ 0 ) la funzione costo marginale coincide con la derivata della funzione costo totale:

C ( x + ∆x ) − C ( x ) ∆x ⇒ 0 ∆x

C ' x = Lim

Ad esempio esempio, se la funzione di costo totale è

C ( x ) = x 2 + 5 x + 4 il costo

marginale è espresso dalla funzione seguente:

C ma

=

2 ( x + ∆x ) + 5 ⋅ ( x + ∆x ) + 4 − x 2 − 5 ⋅ ∆ x − 4 (x ) = =

∆x

x 2 + 2 x∆x + ∆ x 2 + 5 x + 5∆x + 4 − x 2 − 5 x − 4 2 x∆x + 5∆x + ∆x 2 = = 2 x + 5 + ∆x ∆x ∆x

Pertanto, se consideriamo un incremento di produzione ∆x ⇒ 0 , il termine ∆x scompare ed il costo marginale coincide appunto con la derivata della funzione del costo totale : C ma ( x ) = C ' x = 2 x + 5 Si dimostra facilmente che il costo marginale di una funzione quadratica

C = a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c vale C ma = 2a ⋅ x + b Propriet à del costo marginale Proprietà marginale: nel punto di minimo costo unitario, il costo marginale è uguale al costo unitario.

C u ( x 0 ) = C ma ( x 0 )


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Consideriamo, infatti, che nel punto di minimo o di massimo di una funzione continua qualsiasi la derivata (che rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente) si annulla; pertanto, calcolando la derivata del costo unitario e poi annullandola, si ottiene la dimostrazione della proprietà sopra scritta. Infatti, tenuto conto della relazione fra i costi C ( x + ∆x ) = C ma ⋅ ∆x + C ( x ) , calcoliamo la derivata della funzione di costo unitario e successivamente imponiamo la condizione di annullamento nel punto di minimo, come segue:

C ( x + ∆x ) C ( x ) − x = Lim x ⋅ C ( x + ∆x ) − ( x + ∆x ) ⋅ C ( x ) = C u' = Lim x + ∆x ∆x ⇒ 0 ∆x ⇒ 0 ∆x x ⋅ ∆ x ⋅ ( x + ∆x ) x ⋅ [C ma ⋅ ∆x + C ( x )] − x ⋅ C ( x ) − ∆x ⋅ C ( x ) = ∆x ⇒ 0 x ⋅ ∆x ⋅ ( x + ∆ x )

= Lim

= Lim ∆x ⇒ 0

x ⋅ C ma ⋅ ∆x + x ⋅ C ( x ) − x ⋅ C ( x ) − ∆x ⋅ C ( x ) x ⋅ C ma − C ( x ) = x ⋅ ∆x ⋅ ( x + ∆ x ) x2

' Cu = 0 ⇒

x ⋅ C ma − C ( x ) C (x ) = 0 ⇒ x ⋅ C ma − C ( x ) ⇒ C ma = 2 x x

Se consideriamo, come caso particolare, la funzione costo unitario espressa da

Cu =

a⋅ x2 + b⋅ x + c , nel punto di minimo costo unitario dove x = x 0 si deve x

verificare l'uguaglianza fra costo marginale e costo unitario C u = C ma ( x 0 ) : 2

2a ⋅ x 0 + b =

2 a ⋅ x0 + b ⋅ x0 + c 2 2 2 ⇒ 2a ⋅ x 0 + b ⋅ x 0 = a ⋅ x 0 + b ⋅ x 0 + c ⇒ a ⋅ x 0 = c x0

Infine, dopo avere diviso per a ed estratto la radice positiva, si ha: x 0 = c a Mentre il valore del minimo costo unitario, pari al costo marginale, è dato da:

C uMIN ( x 0 ) = C ma ( x 0 ) = 2a ⋅

(

c + b = 2 a⋅c + b a

)

Quindi il punto di minimo è H c a ; 2 a ⋅ c + b e ricordiamo come questo risultato sia anche ottenibile, per altra via, imponendo la condizione di tangenza di una retta orizzontale di equazione y = k nel punto di minimo della funzione costo unitario come già mostrato nel precedente paragrafo. Il costo marginale, riferito alla funzione quadratica del costo C = a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c , P. 16 Bologna, aprile 2012

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espresso con C ma = 2a ⋅ x + b e rappresentato da una retta di pendenza 2a , ha una intersezione con la curva del costo unitario proprio nel suo punto di minimo. Se assumiamo i dati dell'esempio del paragrafo precedente, dove il costo totale è espresso dalla funzione C = 0.25 x 2 + 2x + 1 , il costo marginale è dato dalla retta di equazione C ma = 0.5 ⋅ x + 2 e il suo grafico interseca la curva del costo unitario esattamente nel suo punto di minimo (già calcolato) H (2 ; 3) come si vede sotto nella figura di sinistra; nella figura di destra è tracciato invece il costo totale: y

y

Costo totale: y = 0.25 x2 + 2 x + 1

Costo marginale: y = 0.5 x + 1

H

H

Costo unitario: C = 0.25 x2 + 2 x +1/x

M

Costo unitario: C = 0.25 x2 + 2 x +1/x

M

x

x 0

0

Come si vede nel grafico a destra, il vertice della parabola del costo totale si trova a sinistra dell'origine e non assume significato poichè è negativo mentre gli unici valori numerici che interessano li troviamo nel primo quadrante dove le grandezze economiche sono tutte positive.

Grafico delle funzione costo unitario nei problemi di scelta. Il grafico deve essere tracciato (anche in modo approssimativo) tenendo conto delle sue caratteristiche caratteristiche: - decrescente partendo vicino all'asse Y che è l'asintoto verticale della funzione, - passante per il punto di minimo calcolato; - crescente e accostato all'asintoto obliquo di equazione y = a ⋅ x + b . In presenza di vincolo di produzione massima x ≤ x MAX dobbiamo confrontare il valore della quantità massima con il valore del minimo x 0 = c a senza vincolo e distinguiamo due diverse possibilità: Se x 0 ≤ x MAX la quantità che determina il minimo costo si ha proprio per x = x 0 ; Se

x 0 ≥ x MAX la quantità del minimo costo sia invece per x = x MAX .

La retta del costo marginale, di equazione y = 2a ⋅ x + b , interseca il grafico del costo unitario nel suo punto di minimo dove valori delle due sono uguali. P. 17 Bologna, aprile 2012

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PROBLEMI DI MINIMO COSTO UNITARIO

1] Una industria del caffè produce un dato prodotto con costi fissi mensili pari a 20.000 € e costi variabili, per ogni Kg di prodotto, pari a cv = 2 + 0.0015 ⋅ x dove x è la quantità prodotta.

Determinare:

- la quantità x 0 da produrre per avere il minimo costo unitario C u ( x 0 ) nelle due ipotesi: a) senza vincoli; b) vincolo di produzione x MAX = 2500 Kg. - la verifica della relazione tra i costi marginale ed unitario C ma = C u nel minimo. - il grafico della funzione costo unitario C u ( x ) ;

*

*

*

Funzione costo: C ( x ) = 20.000 + (2 + 0.0015 ⋅ x ) ⋅ x = 0.0015 ⋅ x 2 + 2 ⋅ x + 20000 € Costo unitario: C u ( x ) =

C (x ) 20000 €/Kg ⇒ C u ( x ) = 0.0015 ⋅ x + 2 + x x

Punto di minimo: a) x 0 =

20000 c = ≈ 3651.5 Kg ; b) x 0 = 2500 kg a 0.0015

Minimo costo unitario:a. Cu MIN = 2⋅ a ⋅ c + b = 2 0.0015× 20000+ 2 ≈ 12 ,95 €/Kg b. Con vincolo x ≤ 2500 Kg: CuMIN(2500) = 0.0015×2500+ 2+ 200002500= 13,75 €/Kg '

' Verifica costi: C ma = C x = 0.003 ⋅ x + 2 ; Cma(3651.5) = 0.003×3651.5 + 2 ≈ 12,95 €/Kg

Diagramma del costo unitario di produzione Euro/Kg

Costo marginale Cma=0.003x+2

20 15

13,75 12, 95

Asintoto y=0.0015x+2

10 5

x0 =3651.5

xMAX=2500 0

1000

2000

3000

4000

5000

x [kg] 6000

7000


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2] Le spese che una impresa sostiene per la produzione giornaliera di un dato articolo sono dei costi fissi di 4.000 € e dei costi variabili pari al 0.3% del quadrato della produzione del bene. Determinare: -la quantità che minimizza il costo medio di produzione ed il relativo valore; -calcolare il costo marginale e verificare la relazione C ma = C u nel minimo; -diagramma delle funzioni di costo. - il punto di minimo costo medio con i vincoli di produzione: a) 625 , b)2500 * * * Funzione costo totale C ( x ) = 4000 + 0.003 ⋅ x 2 . Costo medio: C u =

C (x ) 0.003 ⋅ x 2 + 4000 4000 ⇒ Cu = = 0.003 ⋅ x + x x x

Produzione di minimo costo in assenza di limiti produttivi:

x 0 = c a = 4000 0.003 ≅ 1154.7 ≈ 1155 articoli prodotti. costo minimo C uMIN = 2 a ⋅ c + b = 2 0.003 × 4000 = 6.93 € ; Il valore si può anche ottenere senza formula: C uMIN = 0.003 × 1155 + 4000 1155 = 6.93 € / art.

C ma = 2a ⋅ x + b = 0.006 x (b = 0); C ma (1155) = 0.006 × 1155 = 6.93 € /articolo Costi medi nei vincoli di produzione:

C u (625) = 0.003 × 625 + 4000 625 ≅ 8.30 , minimo costo medio per x=625 . C u (2500 ) = 0.003 × 2500 + 4000 625 = 9.10 €\art., minimo costo per x=1155 x=1155.

Diagramma del costo medio di produzione Euro

Costo marginale: y=0.006x 9,10 8,30 6,93 Asi. o bl. y=0.003x

O

625

1155

500

1000

Quantità

1500 1500

2000

2500


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3] Le spese settimanali che una impresa sostiene per produrre mangimi sono: costi fissi 3000€; materie prime ed energia 6€/kg; spesa di manutenzione delle macchine 30% del quadrato della quantità prodotta. Determinare: -il punto di minimo costo medio in assenza di vincoli con la tecnica della retta orizzontale tangente. - il punto di minimo costo medio con i vincoli di produzione: a) 60 kg , b)120kg * * * Funzione costo totale C = 0.3 ⋅ x 2 + 6 ⋅ x + 3000 €. Costo medio C u =

C 0.3 ⋅ x 2 + 6 ⋅ x + 3000 3000 €/kg ⇒ Cu = = 0.3 ⋅ x + 6 + x x x

Metodo della retta tangente per determinare il punto di minimo: imponiamo la condizione di tangenza (∆ = 0 ) nel punto che cerchiamo risolvendo l'equazione: 1)

0.3 ⋅ x 2 + 6 ⋅ x + 3000 = k ⇒ 0.3 ⋅ x 2 + 6 ⋅ x + 3000 = k ⋅ x ⇒ x

2 0.3 ⋅ x 2 + (6 − k ) ⋅ x + 3000 = 0 ⇒ ∆ = (6 − k ) − 4 ⋅ 0.3 ⋅ 3000 = 0 ⇒ 36 − 2 ⋅ 6 ⋅ k + k 2 − 3600 = 0 2

⇒ k 2 − 12 ⋅ k − 3564 = 0 da cui, applicando la formula risolutiva e scartando la soluzione negativa che non interessa, si ottiene:

k=

12 ±

(− 12)2 − 4 ⋅ 0.3 ⋅ (− 3564 ) = 12 ± 2

=

14400 12 ± 120 k = −54 scartato = = 2 2 k = +66 soluzione

Pertanto il minimo costo unitario vale C uMIN = 66 €/kg e, per calcolare la quantità da produrre in assenza di vincoli risolviamo l'equazione 1) con k=66 : 0.3 ⋅ x 2 + 6 ⋅ x + 3000 = 66 ⋅ x ⇒ 0.3 ⋅ x 2 − 60 ⋅ x + 3000 = 0 ⇒ ∆ = (− 60 )2 − 4 ⋅ 0.3 ⋅ 3000 = 0 2

Abbiamo calcolato il discriminante ∆ = 0 per verificare che il valore ottenuto corrisponde proprio al punto di minimo poichè la retta deve essere tangente. Infine si ha la quantità di minimo costo medio x 0 = −

b − 60 =− = 100 kg . 2a 2 ⋅ 0.3

In base alle due ipotesi sulla massima quantità che l'impresa può produrre: a) per x ≤ 60 kg il minimo costo medio si ottiene scegliendo di produrre proprio

x = 60 da cui un costo medio pari a C u (60 ) = 0.3 × 60 + 6 + 3000 60 = 74 €/kg b) per x ≤ 120 kg il minimo costo medio si ottiene con x 0 = 100 che garantisce 66 €/kg contro il valore C u (120 ) = 0.3 × 120 + 6 + 3000 120 = 67 €/kg. P. 20 Bologna, aprile 2012

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Costo medio Euro

k=74 k=66

Quantità x=60

x 0 =100 x=120

Alternativa al metodo della retta tangente è quello basato sul calcolo della derivata della funzione costo medio ed il suo successivo annullamento, che di seguito mostriamo con riferimento ai dati del problema. Ricordiamo, preliminarmente, alcune necessarie regole di calcolo di derivate:

( )'x = α ⋅ xα

Derivata di costante=0 ⇰ (k )'x = 0 . Derivata di potenza x α

−1

.

Prodotto costante per funzione: (k ⋅ f )'x = k ⋅ f x' Derivata di una somma di funzioni

( f + g )'x = f x' + g'x

Derivata di un prodotto di funzioni

( f ⋅ g )'x = f x' ⋅ g + f ⋅ g'x '

f ' ⋅ g − f ⋅ g'x ⎛f⎞ Derivata di un rapporto fra funzioni ⎜⎜ ⎟⎟ = x g2 ⎝ g ⎠x

e, nel caso che il

'

⎛1⎞ 1 numeratore valga 1, si ha ⎜⎜ ⎟⎟ = − 2 . x ⎝ g ⎠x Applichiamo ora le regole di calcolo delle derivate ai dati del problema: Derivata del costo medio:

Annullamento: 0.3 −

C 'u , x

'

3000 ⎞ 3000 ⎛ = ⎜ 0.3 ⋅ x + 6 + ⎟ = 0.3 − x ⎠x x2 ⎝

3000 = 0 ⇒ 0.3 ⋅ x 2 = 3000 ⇒ x 2 = 10000 ⇒ x 0 = 100 kg. x2


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4] Una ditta di autonoleggi sostiene delle spese medie per ogni veicolo: Costi complessivi - 3.600 € assicurazione e bollo; - 0.01% del totale kilometri percorsi per spese di manutenzione del mezzo. Costi di esercizio: 0.4 € per ogni kilometro percorso; Determinare la percorrenza annua ottimale per minimizzare il costo kilometrico: a) senza vincoli di percorrenza , b) con vincolo di percorrenza di 12.000 km. Metodo da usare per calcolare il punto di minimo: retta tangente. * * * x Indichiamo con [km] la percorrenza media annua. Costo medio per kilometro :

Cu =

0.0001 ⋅ x 2 + 3600 3600 + 0.4 = 0.0001 ⋅ x + 0.4 + €/km. x x

Punto di minimo si ha imponendo una sola soluzione dell'equazione C u = k : 0.0001 ⋅ x + 0.4 + 3600 x = k ⇒ 0.0001 ⋅ x 2 + 0.4 ⋅ x + 3600 = k ⋅ x , da cui: 0.0001 ⋅ x 2 + (0.4 − k ) ⋅ x + 3600 = 0 ⇒ ∆ = 0 ⇒ (0.4 − k )2 − 4 × 0.0001 × 3600 = 0 ⇒

(0.4 − k )2 − 1.44 = 0 ⇒ (0.4 − k )2 = 1.44 ⇒ 0.4 − k =

+ 1.2 ⇒ k = −0.8 < 0 scartato − 1.2 ⇒ k = +1.6 > 0 soluzione

Il minimo costo medio è dato dal valore C uMIN = 1.60 €/km corrispondente al kilometraggio che si ottiene risolvendo l'equazione di secondo grado, con ∆ = 0 : k =1.6

k =1.6 0.0001 ⋅ x 2 + (0.4 − k ) ⋅ x + 3600 = 0 ⎯⎯⎯→ ∆ = (0.4 − k )2 − 4 × 0.0001 × 3600 = 0 ⇒

(0.4 − k )2 = 1.44 ⇒ 0.4 − k = ±1.2 ⇒ k =

− 0.80 scartato . + 1.60 = C uMIN soluzione

Calcoliamo ora la percorrenza corrispondente al minimo costo medio trovato: -con l'equazione 1 : x0 = − (− 1.2) (2 × 0.0001 ) = 6000 km; In alternativa possiamo utilizzare: - la formula x0 = c a : x0 = 3600 0.0001 = 6000 km; - la derivata della funzione del costo medio e suo annullamento:

(0.0001⋅ x + 0.4 + 3600 x )'x = 0.0001− 3600 x 2 = 0 ⇒ x0 =

3600 0.0001 = 6000km

Nell'ipotesi di massima percorrenza annua pari a 12.000 km il punto di minimo rimane ovviamente il valore di 6000 km. Calcoliamo, per confronto, il costo medio per tale percorrenza:

C u (13.000 ) = 0.0001 × 12000 + 0.4 + 3600 12000 = 1.9 €/km. P. 22 Bologna, aprile 2012

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Costo medio kilometrico € / km 3 2.5 2

1,9 €/ km

1.5

1,6 €/ km

1 0.5

x0=6.000 5000

6

Km annui 10000

15000

SCELTA FRA ALTERNATIVE

I problemi di scelta fra alternative riguardano spesso funzioni economiche come guadagni e costi, espresse da modelli di rappresentazioni grafiche possono essere rette, parabole ed iperboli come nel caso della funzioni costo medio. Ogni alternativa, valida in un proprio intervallo di valori della variabile, ha in genere una data espressione o formula che permette di essere rappresentata in uno stesso grafico, dove esistono dei particolari punti, detti punti di indifferenza, che sono l'intersezione fra due o più alternative. Si tratta di determinare, in base all'esame dei modelli grafici e al variare dei valori assunti dalla variabile indipendente x , quale sia la scelta di alternativa più conveniente ad esempio quella che consente il minimo costo oppure il massimo guadagno. La presenza di vincoli tecnici, che possono essere delle limitazioni assunte dalla variabile indipendente, influenza in genere la soluzione a cui si perviene.


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1] Scelta della tariffa telefonica fra tre piani. Ci troviamo a scegliere quale, fra tre diverse tariffe, dobbiamo assegnare ad una scheda telefonica per rendere minimo il costo delle telefonate. Ipotizziamo che le tariffe siano tre e valgano sempre verso qualunque gestore: A Senza scatto alla risposta e costo di 20 cent./minuto proporzionale ai secondi. B Scatto di 16 cent. Alla risposta e costo di 12 cent./min. proporzionale ai sec.i. C 1 cent. Anticipati con scatti ogni 5 minuti di conversazione. Valutare la tariffa più conveniente nell' ipotesi che il tempo medio di conversazione sia al massimo 15 minuti (900 secondi). * * * Tracciamo in un unico grafico, in scala opportuna (ad esempio scegliendo l'asse Y con unità in centesimi di euro), le tre tariffe espresse dalle seguenti funzioni dove la x [sec] è la variabile indipendente tempo di conversazione: A : y = 20 ⋅

C:

y=

x x x x = ; B: y = 12 ⋅ + 16 = + 16 ; 60 3 60 5

100 , 0 ≤ x ≤ 600 secondi (0 - 10 minuti) . 200 , 600 ≤ x ≤ 1200 secondi (0 - 20 minuti )

Per quanto riguarda la funzione C la rappresentiamo come una funzione costante a tratti, ovvero con tratti di retta orizzontale che corrsipondono agli scatti di 1 euro ogni 10 minuti. Le rette vengono tracciate con una coppia di punti qualsiasi per ognuna.

Tariffe telefoniche alternative 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20

Cent.

A

C A B 2m

7m

10m

15m

t

300 600 900 Punti di indifferenza : AB (120 sec.; 40cent.), AC(360 sec.; 100 cent.) Scelta: la tariffa B per tempi fino a 120 sec. (2 min.), la tariffa A per tempi da 120 a 420 sec. (da 2 a 7 min.), la tariffa C per tempi da 360 a 600 sec. (da 6 a 10 min.) e, infine, di nuovo la tariffa A per tempi da 600 a 900 (da 10 a 15 minuti). P. 24 Bologna, aprile 2012

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2] La produzione di una bevanda si avvale di tre diversi impianti che comportano, per ciascuno di loro, differenti costi per litro di prodotto: A. C1 = 0.9 x + 300 ; B. C 2 = 0.75 x + 600 ; C. C 3 = 0.6 x + 1200 Determinare la scelta più conveniente in funzione dei litri prodotti.

Costi alternativi Costi 3000

2000

1200

1000

600 300

A 1000

2000

3000

Lt

C

B 4000

5000

La scelta di quale sia la migliore alternativa, in base all'esame del grafico, deve considerare necessariamente i punti di indifferenza che non sempre riescono ad essere letti in modo preciso; perciò è opportuno calcolarli per via algebrica mettendo a sistema ciascuna coppia di rette e ottendo le soluzioni come segue: Punto (A, B): (2000 l; 2100 €) ⎧ y = 0.90x + 300 = 0.9 × 2000+ 300 = 2100 ⎧ y = 0.90x + 300 ⎧ y = 0.90x + 300 ⎪ ⇒⎨ ⇒⎨ ⎨ 300 = 2000 ⎩ y = 0.75x + 600 ⎩0.90x + 300 = 0.75x + 600 ⎪0.15x = 300⇒ x = 0.15 ⎩ Punto (A, C): (3000 l; 3000 €) ⎧ y = 0.90x + 300 = 0.90× 3000+ 300= 3000 ⎧ y = 0.90x + 300 ⎧ y = 0.90x + 300 ⎪ ⇒⎨ ⇒⎨ ⎨ 900 = 3000 ⎩ y = 0.60x + 1200 ⎩0.90x + 300= 0.60x + 1200 ⎪0.30x = 600⇒ x = 0.30 ⎩ Punto (B, C): (3000 l; 3600 €) ⎧ y = 0.75x + 600 = 0.75× 4000+ 600 = 3600 ⎧ y = 0.75x + 600 ⎧ y = 0.75x + 600 ⎪ ⇒⎨ ⇒⎨ ⎨ 600 = 4000 ⎩ y = 0.60x + 1200 ⎩0.75x + 600 = 0.60x + 1200 ⎪0.15x = 600⇒ x = 0.15 ⎩ Soluzione: 0 ≤ x ≤ 200 ⇒ A ; 2000 ≤ x ≤ 4000 ⇒ B ; x ≥ 4000 ⇒ C . P. 25 Bologna, aprile 2012

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3] Le offerte commerciali di un autonoleggio sono le seguenti: A) 65 €/giorno per i primi 300 km più eventuali 0.40 €/km per i kilometri che superano la quota 300. B) 95 €/giorno per i primi 500 kilometri più eventuali 0.20 €/km per i kilometri eccedenti la quota 500. Determinare l'offerta più conveniente in base ai kilometri (x) da percorrere. * * * Costo giornaliero offerta A: y =

65 , se 0 ≤ x ≤ 300 ; 65 + 0.4 ⋅ ( x − 300 ) = 0.4 ⋅ x − 55 , se x ≥ 300

punti del grafico offerta A: (0; 65), (300; 65), (500; 145) , (600; 185)

y=

Costo giornaliero offerta B:

95 , se 0 ≤ x ≤ 500 . 95 + 0.2 ⋅ ( x − 500 ) = 0.2 ⋅ x − 5 , se x ≥ 500

Punti del grafico offerta B: (0; 95), (500; 95) ; (600; 115) .

Costi 150

95

B

100

A

65 50

km 100

200

300

400

500

600

375 Punto di indifferenza (A; B): (375 km; 95 €) 150 ⎧ = 375 ⎧ y = 0.2 ⋅ x − 5 ⎧0.4 ⋅ x − 55 = 95 ⎪0.4 ⋅ x = 150 ⇒ x = ⇒⎨ ⇒⎨ 0.4 ⎨ ⎩ y = 95 ⎩ y = 95 ⎪⎩ y = 95 Soluzione: 0 ≤ x ≤ 375 ⇒ A ,

x ≥ 375 ⇒ B .


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4] Una industria elettronica per produrre di lettori CD sostiene le seguenti spese: costi unitari 10 € per pezzo; costo fisso annuo 2000 €. Per la vendita del prodotto vi sono due alternative: A- vendere ai discount al prezzo di 26 € al pezzo; B- vendere ai negozi al prezzo di 50 €/pezzo ma con aggiunta una spesa complessiva per i trasporti pari al 2% del quadrato dei pezzi prodotti. La produzione massima prevista per questo articolo è pari a 1500 unità. Determinare la scelta più conveniente per l'industria. * * * Costo di produzione C ( x ) = 2000 + 10 ⋅ x . Ricavo alternativa A R1 ( x ) = 26 ⋅ x ; Profitto alternativa A y1 = R1 − C1 ⇒ y1 = 26 ⋅ x − 2000 − 10 ⋅ x = 16 ⋅ x − 2000 ; Punti grafico A. Intersezioni Asse X del grafico A

y1 = 0 ⇒ 16 ⋅ x − 2000 = 0 ⇒ x = 2000 16 = 125 ⇰ A1(125; 0) . Massimo profitto A: y1 (1500) = 16 ⋅ 1500− 2000= 22000⇰ A2(1500; 22.000). Ricavo alternativa B Profitto alternativa B

R2 ( x ) = 50 ⋅ x − 0.02 ⋅ x 2 ; y2 = R2 − C 2 ⇒ y2 = 50 ⋅ x − 0.02 ⋅ x 2 − 2000 − 10 ⋅ x y2 = −0.02 ⋅ x 2 + 40 ⋅ x − 2000

Punti grafico B. Intersezioni asse X del grafico B:

y2 = 0 ⇒ −0.02 ⋅ x 2 + 40 ⋅ x − 2000 = 0 ⇒ ∆ = 402 − 4 × (− 0.02) × (− 2000) = 1440 ≅ 37.95 ≈ 38 x=

x1 = 50 ⇒ B1 (50 ; 0) − 40 ± 38 = ; 2 ⋅ (− 0.02) x 2 = 1950 ⇒ B2 (1950 ; 0)

Massimo profitto B:

xV = −

x + x 2 50 + 1950 40 = = 1000. ; (In alternativa: xV = 1 = 1000 ). 2 2× (0.02) 2

y2 (1000 ) = −0.02 × 10002 + 40 × 1000 − 2000 = 18.000 € . ⇰ V(1000; 18000) P. 27 Bologna, aprile 2012

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Punti di indifferenza (intersezioni fra i grafici A e B).

y1 ( x ) = y2 ( x ) ⇒ 16 ⋅ x − 2000 = −0.02 ⋅ x 2 + 40 ⋅ x − 2000 ⇒ 0.02 ⋅ x 2 − 24 ⋅ x = 0 x01 = 0 ⇒ y01 = 16 ⋅ 0 − 2000 = −1984 ;

C1(0;-1984)

x02 = 24 0.02 = 1200 ⇒ y02 = 16 × 1200 − 2000 = 17200 . C2(1200; 17200).

Grafico dei guadagni Euro

A2

20000

V

Altern ativa A

C2

15000

Altern ativa B

10000 5000

B2 X

B1 C1

A1

500

1000

1500

2000

Scelta dell'alternativa più conveniente: Osservando il grafico, ed in base ai valori delle produzioni calcolati che corrispondono ai punti posti in evidenza, si deduce che: l'alternativa B conviene se la produzione è compresa in 50 ≤ x ≤ 1200 l'alternativa A conviene se la produzione è compresa in 1200 ≤ x ≤ 1500 . Inoltre, si deve notare come il massimo guadagno dedotto dal confronto fra le posizioni dei punti, rispettivamente V (vertice della parabola a quota 18000 €) e

A2

(relativo al profitto massimo di 22000 €), si ha

quando la produzione è

di 1500 pezzi che sappiamo essere la massima capacità produttiva.


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5] Una azienda deve decidere circa la produzione di un articolo: A. Produrre in proprio il prodotto al costo settimanale fisso 1000 € più 10 € per ogni pezzo. B. Acquistarlo ad una industria a cui affidarne la produzione: costo fisso di 300€, spesa di 12 € al pezzo per i primi 500 pezzi e di 9 € al pezzo oltre la soglia 500. Determinare, in base alla produzione, la scelta migliore. * * * Costo A: y1 = 10 ⋅ x + 1000 ; Punto del grafico A(0; 1000) . Costo B: y2 =

12 ⋅ x + 300 , x ≤ 500 ⇒ Spesa massima = 12 × 500 + 300 = 6300 9 ⋅ ( x − 500 ) + 6300 = 9 ⋅ x + 1800 , x > 500

Punto del grafico B(500; 6300) . Punti di indifferenza fra le alternative: ⎧ y = 10 ⋅ x + 1000 ⎧12 ⋅ x + 300 = 10 ⋅ x + 1000 ⎧2 ⋅ x = 700 ⇒ x = 350 ⇒⎨ ⇒⎨ ⇒ P (350 ; 4500) ⎨ y = 12 ⋅ x + 300 y = 12 ⋅ x + 300 y = 12 ⋅ 350 + 300 = 4500 ⎩ ⎩ ⎩ ⎧ y = 10 ⋅ x + 1000 ⎧10 ⋅ x + 1000 = 9 ⋅ x + 1800 ⎧ x = 800 ⇒⎨ ⇒⎨ ⇒ Q(800 ; 9000) ⎨ ⎩ y = 9 ⋅ x + 1800 ⎩ y = 9 ⋅ x + 1800 ⎩ y = 9 ⋅ 800 + 1800 = 9000

Costi di produzione Euro 10000

Q

9000 C

6300 5000

H K -100

P

4500

Alt. B 100

200

Alt. B

Alt. A 300

400

500

600

700

800

x

900 1000

Sulla base del grafico e dei punti calcolati, possiamo dedurre che: Per produzioni fino a 350 oppure oltre 800 pezzi conviene l'alternativa B; Per produzioni comprese fra 350 e 800 pezzi conviene l'alternativa A. P. 29 Bologna, aprile 2012

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6] Una società deve vendere un prodotto con due diverse modalità che, in base ai rispettivi costi e ricavi, comportano le funzioni di guadagno: A y1 = −0.002 ⋅ x 2 + 12 ⋅ x − 500 . In base alla quantità

(x )

y = 10 ⋅ x − 2000

B.

che si deve vendere, stabilire l'alternativa conveniente. *

*

*

Punti alternativa A: Intersezioni asse X : y1 ( x ) = 0 ⇒ (cambiamo segno all'equazione) ⇒ 0.002⋅ x 2 − 12⋅ x + 500 = 0 ⇒ x =

12± 140 x1 ≈ 42 = ⇒ A1 (42; 0), A2 (5958 ; 0) . 0.004 x2 ≈ 5958

Vertice della parabola:

xV =

42 + 5958 = 3000 ⇒ yV = −0.002 × 30002 + 12 × 3000 − 500 = 17500 ⇒ V (3000 ; 17500 ) 2

Punti di indifferenza: y2 ( x ) = y1 ( x ) ⇒ 10 ⋅ x − 2000 = −0.002 ⋅ x 2 + 12 ⋅ x − 500 ⇒ 0.002 ⋅ x 2 − 2 ⋅ x − 1500 = 0 ⇒ ∆ = 22 − 4 × (− 0.002) × (− 1500 ) = 16 ⇒ x =

⇒ xP =

2 ± 4 − 500 < 0 = 0.004 1500

2 = 500 ⇒ y P = −0.002 × 15002 + 12 × 1500 − 500 = 13000 ⇒ P (1500 ; 13000 ) 0.004

Punti alternativa B. Int. asse X: y2( x ) = 0 ⇒10⋅ x − 1000= 0 ⇒ x = 100⇒ K(100; 0) Secondo punto: y2 (3000 ) = 10 × 3000 − 2000 = 28000 ⇒ Q(3000 ; 28000 ) . Guadagni alternativi 30000

Euro

28000

Q

25000 20000

17500

V

13000 P

15000 10000 5000

1000

x

Alt. B

Alt. A 500

1500

2000

2500

3000

3500

4000

Osserviamo che: la minima produzione per non andare in perdita è x=42 pezzi. Per 42 ≤ x ≤ 1500 conviene la scelta A per un guadagno massimo di 13000 anche se il massimo, che si ha nel vertice V, vale 17500 (contro 28000 di B). Per x ≥ 1500 conviene la scelta B P. 30 Bologna, aprile 2012

;funzione costo di produzione: ((( ))) - MATHMIX

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