Apuntes de Clase
Mecánica de Fluidos II
Emilio Rivera Chávez http://erivera-2001.com/flujo-compresible.html
Cuando un fluido se mueve a velocidades comparables con la velocidad del sonido en el medio fluido, se producen cambios considerables en la densidad, este tipo de flujo se denomina compresible. Estos flujos se presentan con frecuencia en dispositivos en los que los gases fluyen a altas velocidades, situaciones en las que basta una relación de presiones de 2:1 para causar flujos sónicos, en los líquidos es difícil de obtener este tipo de flujos pues se necesitarían presiones del orden de 1000 atm para generar velocidades sónicas. El estudio de los flujos compresibles combina la dinámica de fluidos y la termodinámica, ambas disciplinas son necesarias para el desarrollo de los fundamentos teóricos necesarios asociados al flujo compresible por ello esta disciplina se suele denominar también dinámica de gases.
Flujo Compresible
Los efectos más trascendentes y característicos de los flujos compresibles son: el estrangulamiento, que limita fuertemente el flujo en conductos cuando se dan las condiciones sónicas, y las ondas de choque, que son cambios casi discontinuos en las propiedades de los flujos supersónicos. El contenido de este capítulo tiene la finalidad de explicar estos y otros fenómenos físicos implicados, sus efectos y exponer las relaciones generales asociadas con el flujo compresible para un gas ideal con calores específicos constantes. Al finalizar la lectura de este capítulo y desarrollar las actividades que se plantean, se espera que el estudiante esté capacitado para: Deducir y describir las consecuencias de la compresibilidad en un flujo compresible; entender por qué una tobera debe tener una sección divergente para acelerar el gas a velocidades supersónicas; predecir choques y calcular cambios de las propiedades a través de una onda de choque; entender los efectos de la fricción y la transferencia de calor en flujos compresibles.
Emilio Rivera Chávez
Apuntes de Clase Teoría y problemas resueltos
US Navy Photo
p
1 dp x 2 dx
A V p
A
dA x dx
p
dp x dx
v
dv x dx
d x dx
h
x
x
Apuntes de Clase
Mecánica de Fluidos II
Emilio Rivera Chávez Septiembre de 2009 (Borrador en revisión)
Contenido 1.1 Introducción. 1.2 Conceptos básicos de la Termodinámica. 1.3 Efectos de la compresibilidad Propagación de las ondas sonoras. El cono de Mach. 1.4 Estados de referencia Propiedades de estancamiento isentrópico local; Condiciones críticas. Ecuaciones fundamentales para un flujo isentrópico. 1.5 Efectos del cambio de área en las propiedades. 1.6 Flujo isentrópico en toberas. 1.6.1 Operación de Toberas convergentes 1.6.2 Operación de Toberas convergente-divergentes 1.7 Flujo en una tobera real en condiciones de diseño. Eficiencia. 1.8 Flujo adiabático en conducto de sección constante con fricción.- línea de Fanno. 1.9 Flujo permanente sin fricción en un ducto de área constante con intercambio de calor.- Línea de Rayleigh. 1.9.1 Relaciones matemáticas para el cálculo del flujo de la línea de Rayleigh de un gas ideal 1.10 Ondas de choque normales. 1.7.1 Ecuaciones para el cálculo de ondas de choque normales en un gas ideal. Problemas resueltos.
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Emilio Rivera Chávez
I FLUJO COMPRESIBLE UNIDIMENSIONAL 1.1 Introducción En el flujo incompresible, la presión y la velocidad de flujo son las variables principales, siendo las ecuaciones de cantidad de movimiento y continuidad las que permiten relacionar estas variables y resolver los problemas concernientes a estas variables. A su vez la ecuación de energía permite identificar las perdidas de energía mecánica. En el caso del flujo compresible, es necesario considerar además las variaciones de la densidad y la temperatura, por ello la aplicación de la ecuación de energía como la ecuación de estado son necesarias para la resolución de problemas de flujo compresible. Este tipo de flujo implica variaciones apreciables de la densidad en todo el campo de flujo ya sea debido a altas velocidades de flujo y/o cambios apreciables de la temperatura. Los cambios apreciables en la velocidad de flujo implican grandes variaciones de presión en el flujo de gases, estos cambios de presión van acompañados de variaciones significativas tanto en la densidad como en la temperatura. El estudio del flujo compresible se caracteriza mediante el parámetro adimensional denominado número de Mach. En función a cuyos valores las altas velocidades en aerodinámica externa suelen clasificarse en las siguientes categorías (http://en.wikipedia.org/wiki/Mach_number): Flujo incompresible Flujo en el que los efectos de la variación de la densidad son despreciables, esta comprendido en el rango aproximado de:
M < 0.3
Flujo subsónico. El número de Mach debe estar comprendido en el siguiente rango:
0.3 < M < 0.8
Flujo sónico: El número de Mach es igual a 1
M=1
Flujo transónico. Flujo comprendido entre número de Mach ligeramente mayores y menores que 1.
0.8 < M < 1.2
Flujo supersónico. En este flujo el número de Mach debe estar comprendido en el siguiente rango:
1.2 < M < 5
Flujo hipersónico. El número de Mach es superior a 5.
M>5
Sin embargo en flujo en conductos (flujo interno), la cuestión más importante es saber si el flujo es subsónico (M<1) o supersónico (M>1). En este capítulo se estudia el flujo interno unidimensional estable de fluidos compresibles, principalmente del gas ideal.
Objetivos de Aprendizaje
Al finalizar el estudio de este capítulo el estudiante será capaz de:
Verbalizar con sus propias palabras los principios básicos que rigen el flujo compresible. Emplear las ecuaciones básicas del flujo isentrópico para la resolución de problemas de flujo isentrópico.
Explicar y determinar el efecto del cambio de área sobre las propiedades del fluido para flujo isentrópico.
Determinar y explicar gráficamente las distribuciones de presión a través de un conducto de sección variable: tobera convergente y tobera convergente-divergente.
Escribir y aplicar las ecuaciones básicas para el flujo adiabático, unidimensional y permanente de un gas con calores específicos constantes en la resolución de problemas de flujo en conductos de área constante.
Escribir y explicar las ecuaciones básicas para el flujo compresible unidimensional y permanente de un gas ideal a través de una onda de choque normal. 1
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Emilio Rivera Chávez 1.2 Consideraciones termodinámicas En este epígrafe se hace un resumen de la termodinámica necesaria para el estudio del flujo compresible, incluyendo la ecuación de estado, y ecuaciones de temperatura- entropía.
Relaciones termodinámicas para un gas ideal
La presión, la densidad y la temperatura de una sustancia pueden relacionarse funcionalmente mediante una ecuación de estado. Para la mayoría de los gases usados en la ingeniería existe una relación sencilla entre sus propiedades que esta representada por la conocida ecuación de estado del gas ideal,
p
RT
R es una constante para cada gas y esta dada por R=Ru/M Donde RU= 8314N.m/kgmol.K es la constante universal de los gases y M es la masa molecular del gas. El gas ideal tiene otras características sencillas y muy útiles que se exponen a continuación. Energía interna La energía interna para una sustancia cualquiera puede expresarse como una función de la temperatura y del volumen específico,
u u(T , ) de donde,
u u du dT d T T Los calores específicos a c p, a presión constante y cv, a volumen constante se definen como:
u cp T
u cv T
Para el caso de un gas ideal (pv=RT) la energía interna, para un proceso isotérmico, se ajusta a la relación:
u d 0 T en consecuencia
u u(T )
por lo que
du c p dT Lo que significa que para un gas ideal, la energía interna y los cambios de temperatura pueden relacionarse si se conoce cv. Entalpía A partir de la definición de entalpía y de la ecuación de estado del gas ideal se puede escribir:
2
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Emilio Rivera Chávez hu
p
p
;
RT
h u RT
como u = u(T) para un gas ideal, entonces h debe ser también solo una función de la temperatura. Así,
h h(T ) Es posible establecer una relación entre h y T, expresando h como una función de p y T,
h h( p, T ) entonces
h h dh dT dp T p p T Como h es función solo de T, se tiene
h dp 0 p T y como
u cp T por lo que
dh c p dT Relación entre los calores específicos A partir de la ecuación,
h u RT se puede escribir
dh du RdT dh du R dT dT Debido a que h y u son funciones solamente de la temperatura, los calores específicos, c p y cv, serán también funciones solo de la temperatura, de modo que no se precisan derivadas parciales dadas en sus definiciones, por tanto para un gas ideal
cp
dh dT
cv
;
du dT
Entonces,
c p cv R La razón entre los calores específicos, es parámetro adimensional útil, se define como:
k
cp cv
Combinado adecuadamente estas dos últimas relaciones, se pueden escribir expresiones para los calores específicas, aplicables a los gases ideales. Así,
cp
kR R ; cv k 1 k 1 3
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Emilio Rivera Chávez Para un gas ideal, los calores específicos son funciones solo de la temperatura. Para intervalos de temperatura razonables, los calores específicos pueden tratarse como constantes en cálculos de exactitud de ingeniería. En estas condiciones, u2
T2
u1
T1
h2
T2
h1
T1
u 2 u1 du cv dT cv (T2 T1 ) h2 h1 dh c p dT c p (T2 T1 ) Ecuaciones que pueden usarse para simplificar el análisis. Relaciones de las propiedades de un gas ideal sujeto a un proceso isentrópico. Se pueden establecer una relación útil entre p y v para un gas ideal con calor específico constante sujeto a un proceso adiabático reversible a partir del primer principio con dh y du expresados en función de los calores específicos y temperaturas. Así,
c p dT pd c p dT dp Combinado ambas ecuaciones y ordenando adecuadamente se tiene
c p d dp d k p cv Integrando para k=cte.
ln p k ln ln C
p k C Aplicando la última ecuación entre dos estados, se tiene:
p11 p 2 2 k
k
p 1 2 p 2 1
k
Combinado esta relación con la ecuación de estado de un gas ideal se puede expresar este resultado en función de la temperatura y la densidad. Así,
T1 1 T2 2 T1 p1 T2 p 2
k 1
k 1 / k
La entropía y el segundo principio de la termodinámica
La entropía es una propiedad muy útil en el estudio del flujo compresible. El diagrama Temperatura vs. entropía, es una buena herramienta para la interpretación física de los resultados analíticos. Por ello se hará un uso intensivo del diagrama T-s en la solución de problemas de flujo 4
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Emilio Rivera Chávez compresible y por tanto se justifica repasar algunos conceptos y relaciones útiles que involucran a la entropía. La entropía se define matemáticamente mediante la siguiente relación:
Q
S
rev
T
Q o dS T rev
De la segunda ley se deduce la conocida desigualdad de Clausius, que establece que:
S
Q T
0
Como una consecuencia de la segunda ley, estos resultados pueden extenderse a:
dS
Q T
o TdS Q
Para procesos reversibles, se puede escribir la siguiente ecuación:
Tds
Q dm
En tanto que para un proceso irreversible se cumple la desigualdad,
Tds Para un proceso adiabático, como
y
Q dm
Q dm
0 , se tiene:
ds 0
(Proceso adiabático reversible)
ds 0
(Proceso adiabático irreversible)
En consecuencia se puede afirmar que un proceso que es reversible y adiabático también es isentrópico; es decir que la entropía permanece constante durante el proceso. Así mismo la última relación muestra que la entropía debe crecer cuando un proceso es adiabático e irreversible. Es decir que: la entropía de un sistema aislado térmicamente durante un proceso siempre se incrementa o, en el restrictivo caso de un proceso reversible, permanece constante. Dicho de otro modo, la entropía – para un sistema adiabático- nunca disminuye. Esto se conoce como el principio de incremento de entropía1. Entonces, en ausencia de cualquier intercambio de calor,
1
El principio de incremento de entropía no implica que la de un sistema no pueda disminuir. El cambio de entropía de un sistema puede ser negativo durante un proceso, pero la generación de entropía no. El principio de incremento de entropía puede resumirse de la siguiente manera: Si Sgenerada > 0 entonces el proceso es irreversible Si Sgenerada = 0 entonces el proceso es reversible Si Sgenerada < 0 entonces el proceso No es posible Estas relaciones pueden servir como criterio de decisión respecto de la irreversibilidad, irreversibilidad o imposibilidad de un proceso. (Yunus Cengel, Mecánica de fluidos.-Fundamentos y Aplicaciones, 1ª Ed.).
5
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Emilio Rivera Chávez el cambio de entropía se debe solo a la irreversibilidad y su efecto es siempre incrementar la entropía. Un análisis del conjunto de las ecuaciones anteriores, muestra que el cumplimiento de cualesquiera dos de tres las restricciones –reversible, adiabático o isentrópico- debe implicar el cumplimiento de la tercera. Así por ejemplo, un proceso que es isentrópico y reversible debe ser también adiabático. A partir de la primera y segunda ley de la termodinámica, es posible obtener una relación matemática entre la presión, volumen específico, temperatura absoluta, entropía y energía interna específica (p, v, T, s, u), valida para todos los procesos entre estados de equilibrio. Esta relación esta dada por:
Tds du pdv dh vdp Para un gas ideal, se puede escribir
ds c p
dT dp R T p
Ejemplo 1 Fluye aire a través de un ducto de sección constante a razón de 0.15 kg/s. Un tramo corto del conducto se enfría con nitrógeno líquido que rodea al ducto. La razón de pérdida de calor del aire en esta sección es 15.0 kJ /s. La presión, temperatura y velocidad de entrada en la sección fría son 188 kPa (abs), 440K y 210 m/s, respectivamente. Las condiciones de estado en la salida son 213 kPa (abs.) y 351 K. Calcule el área de la sección transversal del ducto y los cambios de entalpía y entropía para este flujo. El objetivo de este ejemplo es consolidar los conceptos básicos expuestos hasta ahora. RESOLUCION Datos: Entrada m 0.15
kg
Salida
T 440 K
T 351 K
P 188 kPa
P 213 kPa
1
s
2
1
V 210 1
2
m s
Hipótesis: i flujo permanente ii flujo uniforme en cada sección iii gas ideal
R 287
a) Cálculo del área de la sección de flujo
J kg K
El área de la sección de flujo del ducto se calcula a partir del flujo másico a la entrada, que de acuerdo al planteamiento hipotético y de acuerdo con la ecuación de continuidad debe ser constante a lo largo del tubo: m = ρVA = cte. Previamente debemos calcular la densidad, para ello usamos la ecuación del gas ideal, P 1
1
R T
1
1.489 1
kg 3
m
6
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Emilio Rivera Chávez Luego entonces:
A
m
4 2
V
A 4.798 10
1 1
m
b) El cambio de entalpía se puede calcular recordando que para un gas ideal con calores específicos constantes: 2
h c p dT c p (T2 T1 ) 1
si asumimos para el aire (tabla): Cp 1004
J kg K
Tendremos que:
H Cp m T T 2
1
4
H 1.34 10 W
c) De manera similar se puede calcular el cambio de energía interna: Partimos de la siguiente relación 2
u cv dT cv (T2 T1 ) 1
Si tomamos para el aire (tabla) Cv 717.4
Se tiene
J kg K
U m Cv T T 2
1
3
U 9.577 10 W
d) Finalmente el cambio de entropía puede calcularse a partir de la ecuación:
Tds dh
1
dp
Integrando esta ecuación para un gas ideal con calores específicos constantes, se tiene: 2
s c p 1
dT 2 dp R T 1 p
De donde:
T2 P2 R ln T1 P1
s Cp ln
2
m s 262.724 2 K s
7
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Emilio Rivera Chávez 1.3 Efectos de la compresibilidad Dos parámetros importantes en el estudio de flujo compresible son la velocidad de sonido, c, y el número de Mach, M. La velocidad del sonido es la velocidad a la cual una onda de presión infinitesimalmente pequeña viaja a través de un medio. Una onda de presión puede ser originada por una pequeña perturbación, la cual crea un ligero aumento en la presión local. El numero de Mach se define como el cociente de la velocidad real del fluido (o de un objeto que se mueve en el fluido en reposo) entre la velocidad del sonido en el mismo medio fluido, en el mismo estado. M = V/c Es decir que el número de Mach depende de la velocidad del sonido, c, que a su vez depende del estado del fluido, como se verá más adelante.
Propagación de una onda elástica
Si en un fluido se origina una perturbación, la velocidad de avance del frente de onda correspondiente es proporcional a la raíz cuadrada del cociente entre el modulo de compresibilidad del fluido y su densidad. Esto se puede comprobar, al considerar la propagación de una perturbación en un fluido inicialmente en reposo: debido a la acción molecular, la presión se incrementa a la derecha de de la perturbación y este incremento se moverá hacia aguas abajo a una velocidad c por otra parte de acuerdo a la segunda ley de newton, el fluido localizado inmediatamente a la derecha del frente de onda se acelerara como consecuencia de la diferencia de presión dp.a una velocidad dV. Volumen de control Vo=c
c –dV velocidad +d densidad p+dp presión
c velocidad densidad p presión
Fig. 1.3.1 Volumen de control alrededor del frente de onda.
Se puede analizar el fenómeno a partir de un volumen de control que se mueve encerrando al frente de onda como se muestra en la figura. Luego a partir de las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento aplicadas a este volumen de control se pueden escribir las siguientes ecuaciones diferenciales:
dV c
dV
d
1.3.1
dp c
1.3.2
y combinado ambas ecuaciones y despejando la velocidad de propagación, se obtiene:
c
dp d
1.3.3
Para el caso de un gas ideal, la presión y la densidad en un proceso isentrópico están relacionados mediante la ecuación:
k 1 p cte
1.3.4
8
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Emilio Rivera Chávez A partir de la que se obtiene por derivación (previa logaritmización):
dp kp d
1.3.5
Entonces la velocidad de propagación de una onda de presión en función de las propiedades termodinámicas del fluido estará dada, para un gas ideal, por:
3000
c c
kp
1.3.6
Ca( T ) 2000
c kRT
1.3.7
Che( T ) 1000
Como, para un gas ideal en particular, R es constante y k (relación de calore s específicos) es, cuando mucho, una función de la temperatura, T, se concluye que la velocidad del sonido en un gas ideal dado es función solamente de la temperatura (figura 1.3.2).
0
Aire
Helio
0
500
1000
1500
T Fig. 1.3.2 La velocidad del sonido, C, varia con al temperatura, T, y con el fluido.
El Cono de Mach Número Mach.- Conocido coloquialmente como mach ("mac"), se define como el cociente entre la velocidad de un objeto y la velocidad del sonido en el medio en que se mueve dicho objeto. Dicha relación puede expresarse según la ecuación: M
V c
1.3.8
Si un objeto viaja a través de un medio, entonces su número de Mach es la razón entre la velocidad del objeto y la velocidad del sonido en ese medio. Es un número sin unidades, típicamente usado para describir la velocidad de los aviones. Mach 1 equivale a la velocidad del sonido, Mach 2 es dos veces la velocidad del sonido, etc. Este número fue propuesto por el físico y filósofo austriaco Ernst Mach2, como una manera sencilla de expresar la velocidad de un objeto con respecto a la velocidad del sonido. La utilidad del número de mach reside en que permite expresar la velocidad de un objeto no de forma absoluta en km/h o m/s, sino tomando como referencia la velocidad del sonido, algo interesante desde el momento en que la velocidad del sonido cambia dependiendo de las condiciones de la atmósfera. Por ejemplo, cuanto mayor sea la altura sobre el nivel del mar Ernst Mach 2 Ernst Mach (18 de febrero, 1838 - 19 de febrero, 1916) físico y filósofo austriaco. Trabajó como catedrático de matemáticas en la Universidad de Graz y de 1867 a 1895 como catedrático de física experimental en la Universidad de Praga. Realizó importantes descubrimientos en los campos de la óptica, la acústica y la termodinámica. Sus trabajos acerca de la mecánica newtoniana tuvieron una gran importancia ya que con ellos rebatió en parte dicha teoría y en particular el concepto de espacio absoluto. Sus tesis desempeñaron un papel muy importante en la formulación de la teoría especial de la relatividad por parte de Albert Einstein en el año 1905. Mach estudió sobre todo la física de fluidos a velocidades superiores a la del sonido, y descubrió la existencia del cono que lleva su nombre. Se trata de una onda de presión de forma cónica que parte de los cuerpos que se mueven a velocidades superiores a la del sonido. Descubrió que la relación entre la velocidad a la que se desplaza el cuerpo y la velocidad del sonido es un factor físico de gran importancia. Dicho factor se conoce con el nombre de número de Mach, en su honor. Una velocidad de Mach 2,7 significa que el cuerpo se mueve a una velocidad 2,7 veces superior a la de propagación del sonido. Como filósofo de la naturaleza, rechazó de forma contundente toda metafísica y religiosidad convirtiéndose por ello en uno de los representantes mas destacados del positivismo. Fuente: "http://es.wikipedia.org/wiki/Ernst_Mach" 9
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Emilio Rivera Chávez o la temperatura de la atmósfera, menor es la velocidad del sonido. De esta manera, no necesitamos saber la velocidad del sonido para saber si un avión que vuela a una velocidad dada la ha superado: Nos basta con saber su número de Mach3. Ejemplo 2
y 500 m de altura en un día con condiciones estándar. Asciende a 15 km y vuela a 320 m/s. Calcule el número de Mach de vuelo en ambos casos. Un aeroplano vuela a 180 m/s
Datos : V 180
m
1
s
Z 500 m 1
V 320 2
m
k 1.4
s
Z 15000m
R 287
2
J kg K
En ambos casos utilizaremos la ecuación:
M=v/c Donde, la velocidad del sonido, esta dada por:
c kRT en cada caso ca lculamos la temperatura en función a la altitud a la que se encuentra el aeroplano. a ) Para 500m d e altitud, la temperatura es: T 284.9K
(Tabla A.3 Fox, pag. 840)
1
entonces c k R T
m c 338.338 s
1
entonces el numero e Mach, sera: V 1 M 1 c
M 0.532 1
(flujo subsónico )
b ) Para 15000 m de altitud, la temperatura es: T 216.7K
(Tabla A.3 Fox, pag. 840)
2
entonces c k R T
2
m c 295.076 s
entonces el numero e Mach, sera: V M 2
2
c
M 1.084 2
(flujo supersónico)
3 Instrumentation An aircraft Mach meter or electronic flight information system (EFIS) can display Mach number derived from impact pressure (pitot tube) and static pressure. For subsonic compressible flow:
Where: qc is impact pressure and, P0 is static pressure.
10
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Emilio Rivera Chávez c(t to )
Supongamos, ahora, que se emite una perturbación instantánea infinitesimal en un punto de un fluido. El frente se propaga en forma esférica con la velocidad del sonido, el patrón de sonido se propaga uniformemente en todas las direcciones. En cualquier instante el radio de la esfera es c(t-t0), cuyo centro coincide con el punto de emisión de la perturbación. Se explicarán ahora cuatro situaciones posibles: En el instante (t-to) después de la emisión, cualquier pulso sonoro se localiza en el radio c (t-to), medido desde la fuente, figura 1.3.3a. Si la perturbación se emite en un fluido que se mueve con una velocidad uniforme Vo < C, figura 1.3.3b. La concentricidad del patrón de onda se pierde; ya no hay círculos concéntricos, debido a que la propagación se mueve hacia fuera esféricamente con respecto al fluido y por consiguiente se mueve hacia aguas abajo con velocidad Vo.
Figura 1.3.3a Propagación de una onda en un fluido en reposo. V0=0.
c(t to )
Si ahora, que la perturbación se emite en un medio que se mueve con una velocidad constante VO=C; (M=1). El lugar geométrico de las superficies delanteras de las ondas sonoras es un plano en la fuente. Consecuentemente, un observador enfrente de la fuente no la escuchará cuando ella se acerque. Si, ahora, se emite una perturbación en un medio fluido que se mueve con velocidad Vo>C. Esto representa una acción simple en un flujo supersónico. En este caso, el lugar geométrico de las superficies delanteras de las ondas sonoras es un cono, denominado cono de Mach. También en este caso, ningún sonido se escuchará frente al cono.
Vo(t to ) Figura 1.3.3b Propagación de una onda V0
c(t to )
El ángulo del cono, 2, está relacionado con el número de Mach, relación que puede obtenerse a partir de la geomeSILENCIO
c(t to ) c(t to ) Figura 1.3.3c. V0=c ACCION
V (t to ) Figura 1.3.3d. V>0. Movimiento supersónico
tría de la figura (como se vera en el ejemplo 3) y está dado por: sen( )
Es decir
C 1 V M
1 M
arsen
, 1.3.9
11
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Emilio Rivera Chávez Ejemplo3.Un avión que vuela a 2000 m de altitud pasa directamente por arriba de un observador. Si el avión se desplaza a un número de Mach igual a 1.5 y la temperatura ambiente es 10ºC, ¿cuántos segundos tiene que esperar el observador antes de escuchar el sonido producido por el avión? Datos: T= 10 + 273 = 283 oK; M = 1.5; Z = 2000 m Para el aire se puede tomar: k = 1.4 Para M=1.5 se tiene V > C es decir flujo supersónico, por lo que usaremos el cono de Mach como referencia para resolver el problema.
SILENCIO
c(t to ) ACCIÓN
z
x= V.(t - to)
Donde el ángulo de Mach está dado por:
sen( )
C 1 V M
La velocidad del sonido se puede calcular a partir de:
C kRT El tiempo se puede calcular a partir de la relación
x V (t t o ) Vt t
x x V CM
Así mismo, x se calcula a partir del cono de Mach, así:
x
z tg
Reemplazando valores numéricos, en las ecuaciones anteriores se tiene que el observador oirá el sonido luego de un tiempo de t= 4.420 s.
12
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Emilio Rivera Chávez 1.4 Estado de referencia
Propiedades locales de estancamiento isentrópico
En el flujo compresible, es conveniente emplear el estado de estancamiento como un estado de referencia. Las propiedades de estancamiento (To, po, o…) en cualquier punto en un campo de flujo, son las que corresponden a los valores que tomarían estas propiedades en el punto en cuestión si hipotéticamente la velocidad se redujera a cero isentrópicamente. En un flujo adiabático unidimensional debe tenerse la misma entalpía isentrópica de estancamiento en todos los puntos y, recíprocamente, si para un flujo unidimensional particular se sabe que la entalpía de estancamiento isentrópica es constante en todos los puntos, puede concluirse que el flujo es adiabático. El estado e estancamiento se llama estado de estancamiento isentrópico cuando el proceso de estancamiento es reversible y adiabático (isentrópico). La entropía de un fluido permanece constante durante el proceso isentrópico de llevar el fluido al estado e estancamiento. El proceso real (irreversible) y el proceso isentrópico de llevar al reposo un flujo de fluido se puede observar en la figura. La entalpía de estancamiento del fluido (y la temperatura de estancamiento si el fluido es un gas ideal) es la misma en ambos casos. Sin embargo, la presión de estancamiento real es menor que la presión de estancamiento isentrópica porque la entropía aumenta durante el proceso real de estancamiento como resultado de la fricción del fluido. Frecuentemente, los procesos de estancamiento se aproximan a isentrópicos y a las propiedades de estancamiento isentrópico se les llama simplemente propiedades de estancamiento.
h
p0 Estado de estancamiento isentrópico
p0,act
Estado real de estancamiento isentrópico
V2 2
Estado real
s Figura 1.4.1. Estado real, estado de estancamiento isentrópico y estado de estancamiento real de un fluido.
A partir de la primera ley de la termodinámica se puede escribir la siguiente relación, para un un proceso isentrópico:
V 2 h 0 2 0 V2 Vo2 ho h 2 2
ho
V2 2
h
1.4.1
Para flujos a altas velocidades la energía potencial del fluido es insignificante, pero la energía cinética no lo es. En estos casos la entalpía de estancamiento representa la energía total del flujo fluido, es decir que la entalpía de estancamiento h 0, se interpreta en estos casos como la combinación la entalpía estática (o simplemente entalpía) y la energía cinética del fluido. Ahora suponiendo calores específicos constantes (cuando un fluido se aproxima a un gas ideal con calores específicos constantes, su entalpía puede reemplazarse por cpT) y con Vo=0, a partir de la ecuación anterior se puede escribir:
c P To
Vo2 c PT 2
To
Vo2 T 2cP
To V2 o 1 T 2c P T
1.4.2
13
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Emilio Rivera Chávez De la relación anterior se establece que la temperatura de estancamiento T0, es constante para un flujo adiabático. En la ecuación 1.4.2, la temperatura de estancamiento T0, representa la temperatura que alcanza un gas ideal cuando se lleva al reposo adiabáticamente. El término V2/2cp corresponde al incremento de la temperatura alcanzado durante el proceso y se llama temperatura dinámica. Estas ecuaciones nos muestran que para flujos a bajas velocidades las temperaturas de estancamiento y estática, T0 y T, son prácticamente iguales, pero para flujos a altas velocidades la temperatura de estancamiento puede ser considerablemente mayor que la temperatura estática del fluido4. Si recordamos que: cP
k R; k 1
C 2 kRT
y
M
V C
A partir de la relación 1.4.2 se puede obtener una relación para la razón de las temperaturas de estancamiento y estática, en función del número de Mach:
To k 1 2 M 1 T 2
1.4.3
… esta última ecuación sólo requiere que el flujo sea adiabático, es decir que sigue siendo válida en presencia de irreversibilidades tales como las pérdidas por fricción u ondas de choque. Figura 1.4.2. Variación de la razón To/T vs M
en presencia de irreversibilidades tales como las pérdidas por M T0 /T Razon T0/T vs M fricción 1.60u ondas 1.512de choque. 20.0 1.80 1.648 2.00 1.800 2.20 1.968 2.40 2.152 2.60 2.352 2.80 2.568 3.00 2.800 3.50 3.450 4.00 4.200 4.50 5.050 5.00 6.000 10.00 21.000
To/T
M T0 /T 0.00 1.000 0.10 1.002 0.20 1.008 0.30 1.018 0.40 1.032 0.50 1.050 0.60 1.072 0.70 1.098 0.80 1.128 0.90 1.162 1.00 1.200 1.20 1.288 1.40 1.392
18.0 16.0 14.0 12.0 10.0 8.0 6.0 4.0 2.0 0.0 0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
Núm ero de Mach M
4
Así pues, cuando un flujo es llevado al reposo, el flujo está en estancamiento, por lo tanto, un termómetro en un flujo compresible medirá T0, no T. Entonces, cuando T = 17 0C ≡290 K, si: M=0.10, T0/T=1.002, entonces
T0=290.58 K ≡17.58 oC;
M=0.50, T0/T=1.050, entonces
T0=304.5 K ≡ 31.50 oC;
M=2.0
T0/T=1.80, entonces
T 0 = 522 K ≡ 249 oC 14
Apuntes de Clase
Mecánica de Fluidos II
Emilio Rivera Chávez Relaciones isentrópicas de presión y densidad en función al número de Mach. A partir de esta última relación, y de las conocidas relaciones isentrópicas para un gas ideal, pueden formularse relaciones similares para la densidad y la presión de estancamiento: Presión de estancamiento.- Se denomina presión de estancamiento, p0, a la presión que alcanza un fluido cuando se lleva al reposo isentrópicamente. Para un gas ideal con calores específicos constantes, p0 se puede relacionar con la presión estática del fluido, p, y el número de Mach de la siguiente manera: p o To p T
k
k
k 1
po k 1 2 k 1 M 1 p 2
1.4.4
Análogamente la densidad de estancamiento, 0, y la densidad estática,, pueden relacionarse mediante las siguientes expresiones: 1
1
o To k 1 T
o k 1 2 k 1 M 1 2
1.4.5
Consideremos ahora un flujo fluido a través de un ducto, si se usan entalpías de estancamiento, el balance de energía (primera ley e la termodinámica) para un volumen de control con flujo estacionario y con una entrada y una salida puede expresarse del siguiente modo: V 2 V 2 q w (h2 h1) 2 1 g ( z2 z1) 2 2
Reordenando convenientemente;
q w (h2
V22 V2 ) (h1 1 ) g ( z 2 z1 ) 2 2
y de (1.4.1) q - w =
h02
+
h01
+ g(z2-z1)
1.4.6
Donde h02 y h01 son las entalpías de estancamiento en los estados 2 y 1, respectivamente. Es decir que: cuando se usan entalpías de estancamiento no es necesario referirse a la energía cinética de manera explicita, sin embargo las entalpías de estancamiento, como ya se dijo, toman en cuenta su contribución. Para flujo adiabático (sin intercambio de calor), en ausencia de trabajo y sin cambio de energía potencial, se tiene que: h02 = h01 = constante Es decir que en estas condiciones la entalpía permanece constante. Cuando el fluido es un gas ideal con calores específicos constantes, la ecuación (1.4.6) toma la siguiente forma: q - w = cp(T02 +T01 ) + g(z2-z1) 1.4.7 Donde T02 y T01 son las temperaturas de estancamiento.
15
Apuntes de Clase
Mecánica de Fluidos II
Emilio Rivera Chávez Propiedades de estancamiento en función del número de Mach M
T/To
p/po
/o
M
T/To
p/po
/o
M
T/To
p/po
/o
0.00 1.0000 1.0000 1.0000
2.00 0.5556 0.1278 0.2300
4.00 0.2381 0.0066 0.0277
0.10 0.9980 0.9930 0.9950 0.20 0.9921 0.9725 0.9803
2.10 0.5313 0.1094 0.2058 2.20 0.5081 0.0935 0.1841
4.10 0.2293 0.0058 0.0252 4.20 0.2208 0.0051 0.0229
0.30 0.9823 0.9395 0.9564 0.40 0.9690 0.8956 0.9243
2.30 0.4859 0.0800 0.1646 2.40 0.4647 0.0684 0.1472
4.30 0.2129 0.0044 0.0209 4.40 0.2053 0.0039 0.0191
0.50 0.9524 0.8430 0.8852 0.60 0.9328 0.7840 0.8405
2.50 0.4444 0.0585 0.1317 2.60 0.4252 0.0501 0.1179
4.50 0.1980 0.0035 0.0174 4.60 0.1911 0.0031 0.0160
0.70 0.9107 0.7209 0.7916 0.80 0.8865 0.6560 0.7400
2.70 0.4068 0.0430 0.1056 2.80 0.3894 0.0368 0.0946
4.70 0.1846 0.0027 0.0146 4.80 0.1783 0.0024 0.0134
0.90 0.8606 0.5913 0.6870 1.00 0.8333 0.5283 0.6339
2.90 0.3729 0.0317 0.0849 3.00 0.3571 0.0272 0.0762
4.90 0.1724 0.0021 0.0123 5.00 0.1667 0.0019 0.0113
1.10 0.8052 0.4684 0.5817 1.20 0.7764 0.4124 0.5311
3.10 0.3422 0.0234 0.0685 3.20 0.3281 0.0202 0.0617
5.50 0.1418 0.0011 0.0076 6.00 0.1220 0.0006 0.0052
1.30 0.7474 0.3609 0.4829 1.40 0.7184 0.3142 0.4374
3.30 0.3147 0.0175 0.0555 3.40 0.3019 0.0151 0.0501
6.50 0.1058 0.0004 0.0036 7.00 0.0926 0.0002 0.0026
1.50 0.6897 0.2724 0.3950 1.60 0.6614 0.2353 0.3557
3.50 0.2899 0.0131 0.0452 3.60 0.2784 0.0114 0.0409
7.50 0.0816 0.0002 0.0019 8.00 0.0725 0.0001 0.0014
1.70 0.6337 0.2026 0.3197 1.80 0.6068 0.1740 0.2868
3.70 0.2675 0.0099 0.0370 3.80 0.2572 0.0086 0.0335
8.50 0.0647 0.0001 0.0011 9.00 0.0581 0.0000 0.0008
1.90 0.5807 0.1492 0.2570
3.90 0.2474 0.0075 0.0304
9.50 0.0525 0.0000 0.0006
1.00 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 T T0
0.40
0
0.30 0.20 0.10 0.00 0.00
p p0
2.00
4.00
6.00
8.00
Núm ero de Mach
Figura 1.4.3 Propiedades de estancamiento como función del número de Mach, para k=1.4
16
Apuntes de Clase
Mecánica de Fluidos II
Emilio Rivera Chávez Ejemplo 4.-Entra aire a una turbina a M1=0.4, T1=2350oF y p1=90.0 psia. Las condiciones a la salida de la turbina son M2=0.8, T2=1200oF y p2=3.00 psia. Evalúe las condiciones locales de estancamiento isentrópico a) en la entrada de la turbina y b) en la salida de la turbina. Calcule el cambio de entropía específica a través de la turbina. Grafique los puntos de estado estático y de estancamiento en un diagrama T-s. DATOS M2=0.8, T2=1200oF p2=3.00
M1=0.4, T1=2350oF p1=90.0
T
Otros datos importantes (aire estándar). lbf R 53.3 pie R k 1.4 lbm cp 0.240
Btu
cv 0.171
lbm R
Btu lbm R
Haciendo uso de las relaciones matemáticas, establecidas en esta sección, se pueden calcular las condiciones de estancamiento del aire tanto en la entrada como en la salida de la turbina. (Para esto se utilizó el MatCAD). a) en la entrada de la turbina
b) en la salida de la turb ina
- Temperatura de estancamiento To1
k1
2
M1 1 T1
To2
2
k1
2
M2 1 T2 2
3
3
To1 2.9 10
To2 1.872 10
R
R
-Presión de estancamiento k
po1
k1
2
M1 1 2
k
k 1
p1
po1 100.49 psia
po2
k1
2
M2 1 2
k 1
p2
po2 4.573 psia
Densidad de estancamiento a partir de la ecuación general de los gases: o1
po1 144
o2
po2 144
R To1
o1 0.094
R To2 3
lbm
o2 6.598 10
3
pie
lbm 3
pie
c)Cambio de l a entropia específica.Para calcular el cambio de entropia, utilizam os la ecuación: Tds=dh-vdp; que para un gas ideal se puede s¡escribir: s cp ln
T2
p2 R ln T1 p1
s cp ln
T2
p2 ( cp cv ) ln T1 p1
R cp cv de donde: s 0.108
Btu lbm R
* El estudiante debe dibujar el diagrama T-s, referido a los puntos de estado del proceso. 17
Apuntes de Clase
Mecánica de Fluidos II
Emilio Rivera Chávez Ejemplo 5.- Fluye aire por un ducto de área constante. En la sección1 el aire está a 60 psia, 600 R y 500 pies/s. Como e resultado de la transferencia térmica y de la fricción, el aire en la sección 2 aguas abajo se encuentra a 40 psia, 800 R. Calcule la transferencia térmica por libra de aire entre las secciones 1 y 2, así como la presión de estancamiento en la sección 2.
RESOLUCION DATOS 1
2
v1 500
sección 1 p1 60 psia
sección 2 p2 40 psia
constantes cp 0.24 Btu/lbm.R
T1 600 R
T2 800 R
k 1.4 R 53.3 lbf.pie/lbm.R
v1 500 pie/s v2
v2
?
En base a estos datos realizamos algunos calculos preliminares, que serán úitles posteriormente; seccción de flujo 1 seccción de flujo 2 1
p1 144 R T1
c1 M1
2
1 0.27
k R 32.2 T1 c1 1.201 10 v1 c1
3
p2 144
c2
M1 0.416
2 0.135
R T2 k R 32.2 T2
c2 1.386 10
3
M2
A partir de la ecuación de continuidad, podemos calcular la velocidad v2, que es necesario conocer para calcular el cambio de energía cinética: 1 v1 A = 2 v2 A v2
1 v1
M2
v2 1 10
2 v2
3
pie/s
M2 0.721
c2
Con estos datos, la pre sión de estancamiento en 2, se puede calcular del siguiente modo: k
po2 p2 1
k 1 M22 2
k1
po2 56.56
psia
Ahora a partir de la pri mera ley de la termodinámica calculamos el calor transferido: q h k donde : 2
h cp ( T2 T1)
k
2
entonces se tiene que: 2
q cp T2 cp T1 2
q cp T2
v2 2
v2 2
2
v2 v1
2
v1 2
v1
2
cp T1
2
18
Apuntes de Clase
Mecánica de Fluidos II
Emilio Rivera Chávez Pero según se vio en la clase teórica, la entalpia de estancamiento de un punto determinado es igual a la suma de la entalpia y la energia cinetica del punto en cuestión. 2
cp To
= cp T
v
2
entoces, para cp=cte., se tiene: q cp ( To2 To1) La temperatura de esta ncamiento en las secciones 1 y 2 estan dadas por: To1 T1 1
To1 620.809
k 1 M12 2
To2 T2 1
k 1 M22 2
To2 883.237 R
R
Finalmente se tiene qu e el calor transferido entre 1 y 2 qes 62.98 Btu/lbm
Un forma más directa de calcular el calor transferido es, calcular el incremento de la energía cinética, claro que cuando se usa el sistema de unidades británico se debe tener cuidado con usar los factore s de conversión adecuados para compatibilizar las unidades: 2
k k k
2
v2 v1
libf-pie/slug
2 k
libf-pie/lbm
32.2 k 778.16 Btu/lbm
h cp ( T2 T1) q h k
k 14.97
Btu/lbm
h 48.00
Btu/lbm
q 62.97
Btu/lbm
Ejemplo 6.- Un avión F-4 pasa a muy poca altura sobre un campo de aterrizaje que se encuentra al nivel del mar en un día en condiciones estándares. Un tubo de pitot sobre el avión registra una presión de estancamiento de 23 psia. Determine el numero de Mach al cual vuela el avión. Evalúe la velocidad del mismo. RESOLUCION DATOS : p 23.6 psia o
g 32.174
k 1.4
p 14.696 psia b
Ta 60 460 Ta 520
R
R 53.3
lbf pie lb R
V
a
cp 0.240
El número de Mach se puede calcular a partir de la relación entre la presión de estancamiento y la presión de la corriente de aire relativa al avion. El tubo de Pitot permite medir la presión de estancamiento de la corriente de aire.
19
Apuntes de Clase
Mecánica de Fluidos II
Emilio Rivera Chávez k 1 k p 2 o M 1 k1 p b
M 0.851
La velocidad del aire relativa al avión se puede calcular a partir de la deifinición del número de Mach 3
c k R g Ta
c 1.117 10
entonces la velocidad de aire sera:
Va 1.467
s
pie Va 951.11 s
Va M c o en millas por hora:
pie
648.337 mph
Ahora el avión del problema anterior vuela a M=0.851. El aire se frena en el sistema de entrada del motor a 475 pie/s respecto del avión. Dete rmine la temperaura del aire en esta ubicación. S i el proceso de desaceleración se modelará como isentropico, ¿Cuál sería la presión esática en esta sección? V 475 2
a) para un proceso adiabático, se tiene de la primera ley de la termodinámica:
va2 v2 h2 2 2 2
ha y para cp constante:
cp (T2 Ta ) de donde:
2
va2 v22 2 2
2 2
Va V T Ta 2
2 cp 778.16 g
T 576.5 2
La presión para un proceso de expansión isentropica se puede calcular, apartir de: k
T2 p p 2 b Ta
k 1
p 21.086 psia 2
20
Apuntes de Clase
Mecánica de Fluidos II
Emilio Rivera Chávez Condiciones críticas M =1 3
RA( M ) RT ( M )
2
R ( M ) Rv( M ) 1 Rp ( M )
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
M Número de Mach
Las propiedades de estancamiento son una referencia útil para determinar las propiedades termodinámicas; sin embargo no sirven para el cálculo de la velocidad, debido a que la velocidad de estancamiento es igual a cero por definición. Una referencia útil para calcular la velocidad es la llamada velocidad crítica que tiene lugar cuando el número de Mach es igual a 1. Aun cuando no exista realmente un punto en el campo de flujo donde el número de Mach sea igual a 1, se puede usar esta condición como una referencia hipotética.
Representación grafica de las relaciones de estancamiento en función M
Ao ; T p RT o ; R o ; Rp o A T p
RA
Relaciones y valores críticos en el punto sónico: Si para M=1, las propiedades termodinámicas se designan con un asterisco, a partir de las relaciones de estancamiento se pueden escribir las siguientes relaciones para calcular las propiedades termodinámicas en condiciones críticas: T0* T
*
k 1 1 2
(a) y para k=1.4 (aire estándar) 1
0* k 1 k 1 1 (b) y para k=1.4 (aire estándar) * 2 k
k 1 k 1 1 * p 2
p0*
(c)
y para k=1.4 (aire estándar)
T0* T*
1.200
0* 1.577 *
p0* p*
(1.4.8)
1.893
Para la Velocidad critica, se puede establecer una relación matemática, en términos de la temperatura de estancamiento T0 en condiciones sónicas. Así:
V * M * C * 1 kRT *
2k RT0* k 1
(1.4.9)
La velocidad crítica es por definición igual a la velocidad del sonido en las condiciones sónicas (M=1). Y se usa frecuentemente como velocidad de referencia en un flujo isentrópico o adiabático. 21
Apuntes de Clase
Mecánica de Fluidos II
Emilio Rivera Chávez Problema.- En muchos problemas las propiedades sónicas son valores de referencia más útiles que las propiedades de estancamiento. Deduzca para el flujo isentrópico de un gas las relaciones p/p*; T/T* y /* como funciones del número de Mach. RESOLUCION Consideremos, un conducto, como el mostrado en la figura, en el que se supone un flujo isentrópico unidimensional, tomemos en esta conducto una sección genérica en la cual e número de Mach es M, y otra sección aguas abajo en la que el flujo esta estrangulado M*=1 (condiciones críticas de flujo).
M*=1 T* p* ρ* V*=c*
M T p ρ V=cM
Además, para flujo isentrópico, la temperatura, presión y densidad de estancamiento son constantes a lo largo de conducto, es decir;
T0 T0* ;
p0 p0* ;
0 0*
Escribimos ahora, las relaciones de temperatura de estancamiento a temperatura estática, para las dos secciones consideradas.
To k 1 2 M 1 T 2
To* k 1 1 T* 2
y
Dividiendo miembro a miembro tenemos y recordando que al ser flujo isentrópico a temperatura de estancamiento es constante, tenemos.
To k 1 2 M 1 T 2 k 1 To* 1 * 2 T
T * 2 (k 1) M 2 T k 1
(a)
Procediendo de manera análoga obtenemos las relaciones para la densidad y presión: 1
2 (k 1) M 2 k 1 k 1 *
(1.4.10) (b)
k
p 2 (k 1) M 2 k 1 p k 1 *
(c)
22
Apuntes de Clase
Mecánica de Fluidos II
Emilio Rivera Chávez 1.5 Flujo isentrópico en conductos de sección variable. Antes de considerar el flujo en toberas, es necesario discutir varios aspectos importantes del flujo isentrópico como ser el efecto de la variación del área, consistente con las condiciones isentrópicas del flujo, sobre la velocidad y la presión de un flujo compresible (subsónico o supersónico) existente. Para ello, aplicaremos las leyes fundamentales del flujo fluido a un volumen de control estacionario de espesor infinitesimal, figura 1.5.1. p
Hipótesis: Flujo estacionario Flujo isentrópico
1 dp x 2 dx
A
dA x dx
p
dp x dx
v
dv x dx
d x dx
Ecuación de continuidad.
v A cte
A V p
aplicando logaritmos y derivando un expresión, que será de mucha utilidad, para nuestro propósito.
ln ln v ln A C d
h
dv dA 0 v A
(1.5.1)
Ecuación de energía (primera ley de la termodinámica). h
V2 dh 1 dV h x V x 2 dx 2 dx
2
x
x
Figura 1.5.1. Volumen de control de espesor infinitesimal x, donde x es la dirección del flujo, en el que se muestran la variación de las variables de flujo entre la entrada y la salida del volumen de control.
Realizando las operaciones indicadas cancelando términos y menospreciando los diferenciales de segundo orden, se obtiene: 0 dh VdV
Esta última ecuación se puede escribir en términos de variación e energía cinética así: V 2 dh d 2
(1.5.2)
Ecuación de cantidad de movimiento Al realizar el balance e fuerzas en la dirección del flujo, x, se considera que la presión en la superficie lateral infinitesimal del volumen de control es uniforme e igual a la presión promedio. p
1 dp x 2 dx
Entonces la ecuación de cantidad de movimiento se aplicada al volumen de control se expresa:
pA ( p
dp dA 1 dp dA dv x)( A x) ( p x)( )x vA(V x V ) dx dx 2 dx dx dx
dp VdV
(1.5.3)
Combinando adecuadamente las ecuaciones 1.5.1 y 1.5.3, se puede obtener:
dA d dp 1 V 2 A dp V 2
(1.5.4)
23
Apuntes de Clase
Mecánica de Fluidos II
Emilio Rivera Chávez y, recordando que el grado de compresibilidad, dp/d, es igual al cuadrado de la velocidad del sonido, ver sección 1.3, y la definición de número de Mach, se tiene:
Sustituyendo en 1.5.4
d 1 M dp c 2 V
2
dA dp 1 M 2 A V 2
(1.5.5)
Donde dp será positivo o negativo según se trate de un difusor o de una tobera respectivamente, esto se discute en la siguiente sección. La ecuación 1.5.5 es importante en el flujo en conductos de sección variable, debido a que describe la variación de la presión en función a la variación del área de flujo. Al ser A, y V cantidades siempre positivas, el signo del segundo miembro de la ecuación 1.5.5, y por tanto de dA y dp, dependerá del valor del número de Mach. Así para flujo subsónico M<1, (1-M2) > 0, por tanto dA y dp deben tener el mismo signo. Es decir que si la presión del fluido aumenta el área del ducto también debe aumentar y debe disminuir si el área del ducto disminuye. Dicho de otro modo para flujo subsónico la presión disminuye en ductos convergentes (toberas o toberas aceleradoras subsónicas) y aumenta en ductos divergentes (difusores o toberas desaceleradotas subsónicas). En cambio para flujo supersónico M>1, (1-M2) < 0, por tanto dA y dp deben tener signo opuestos. Es decir que si la presión del fluido aumenta el área del ducto debe disminuir y debe disminuir si el área del ducto aumenta. Dicho de otro modo para flujo subsónico la presión aumenta en ductos convergentes (toberas o toberas aceleradoras supersónicas) y disminuye en ductos divergentes (difusores o toberas desaceleradotas supersónicas). Sustituyendo 1.5.3 en 1.5.5, s obtiene la siguiente ecuación:
dA dV 1 M 2 A V
Esta relación determina la forma de una tobera o de un difusor isentrópicos según sean subsónicos o supersónicos. Observe que: M 1 M 1
dA 0 dV dA 0 dV
Acción del difusor dp > 0 dV < 0
Acción de la tobera dp < 0 dV > 0 Flujo subsónico M<1 dA 0 dV
Flujo supersónico M > 1 dA 0 dV
Flujo subsónico M<1 MM<>1 dA dV
0
Flujo supersónico M > 1 dA 0 dV
Puesto que A y V son cantidades siempre positivas, Figura 1.5-2.- Variación del área de flujo en toberas y difusores subsónicos figura 1.5.2. y supersónicos. La forma adecuada de una tobera depende del mayor numero de Mach deseado (mayor velocidad de flujo relativa a la velocidad el sonido). Así para acelerar un fluido debe usarse una tobera convergente a velocidades subsónicas (M<1) y una tobera divergente a velocidades supersónicas (M>1). 24
Apuntes de Clase
Mecánica de Fluidos II
Emilio Rivera Chávez 1.6 Flujo isentrópico en toberas. Las toberas y difusores son dispositivos de regulación del flujo que se encuentran en muchas aplicaciones de ingeniería, como en turbinas de gas y de vapor, sistemas de propulsión de aviones, y en sopladores industriales de diferente índole. Estas pueden ser toberas convergentes y toberas convergente-divergentes. Una tobera es un dispositivo que incrementa la velocidad de un fluido a expensas de la presión. En cambio un difusor es un dispositivo que incrementa la presión de un fluido al desaceléralo. Es decir, las toberas y los difusores llevan a cabo tareas opuestas. El área de la sección transversal de una tobera, como se vio en la sección anterior, disminuye en la dirección de flujo para flujos subsónicos y aumenta para los supersónicos. En los difusores ocurre exactamente lo contrario (figura 1.6.2). El flujo de calor entre el fluido que fluye por una tobera o un difusor y los alrededores es generalmente muy pequeño (Q/t 0) ya que la velocidad de flujo es alta y por lo tanto no se mantiene suficiente tiempo en el dispositivo como para que ocurra alguna transferencia e calor importante. La toberas y difusores por lo común no tienen que ver con trabajo (W/t = 0) y cualquier cambio de energía potencial es insignificante (Ep 0). Las toberas y los difusores corrientemente están relacionados con velocidades de flujo muy altas, que provocan grandes cambios de velocidad en el fluido que pasa por alguno de estos dispositivos. Consecuentemente, al analizar el flujo a través de estos dispositivos se deben considerar los cambios de energía cinética (V0). Es decir: Q W 1 dm V 2 gZ h t t 2 dt 1 h V 2 2
h2
V22 2 h02
h1
V12 2 h01
h0 cons tan te
Como ya vimos, en la sección 1.4, en todos los estados de un flujo isentrópico tienen la misma entalpía de estancamiento. Además, todos los estados de de flujo isentrópico, incluidos el de estancamiento, tienen la misma entropía. Es decir: en un flujo isentrópico todos los estados de estancamiento tienen las mismas entalpía y entropía de estancamiento.
h
p0
h0 V22 2
p2 V12 2
h2 p1
Energía total
… y como en un estado de estancamiento la velocidad es cero, se tiene que las propiedades de estancamiento son constantes en todos los puntos en un flujo isentrópico…
h1 s S=S0 = cte..
Figura 1.6.1 Flujo isentrópico.- propiedades de estancamiento en los estados 1 y 2. Interpretación de la energía total por unidad de masa. 25
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Emilio Rivera Chávez Modelo Matemático: En la figura 1.6.1, se muestra el modelo matemático para este tipo de dispositivos (toberas y/o difusores), que como se puede observar, es similar al presentado en la sección 1.5.
dA>0
A p v
A
dA x dx
p
dp x dx
dv v x dx
dA<0
Flujo subsónico: M<1 tal que M2-1<0 dv < 0; v disminuye dp > 0; p aumenta El dispositivo opera como difusor
pa
d x dx
dv > 0; v aumenta dp < 0; p disminuye. El dispositivo opera como tobera
Flujo supersónico: M>1 tal que M2-1>0 dv > 0; v aumenta dp < 0; p disminuye. El dispositivo opera como tobera
x Figura 1.6.1.- Flujo unidimensional estacionario en una tobera convergente. Los efectos de fricción y gravitacional son despreciables.
dv < 0; v disminuye dp > 0; p aumenta El dispositivo opera como difusor
Figura 1.6.2. Consecuencias de la variación de la presión y la velocidad en toberas y difusores.
Las ecuaciones diferenciales, correspondientes son:
Continuidad:
Energía:
Cantidad de movimiento:
d
dv dA 0 v A
1.5.1
V 2 dh d 2
1.5.2
dp VdV
1.5.3
A partir de estas ecuaciones se tiene que:
dA dV 1 M 2 A V
o también:
1.5.5
dA dp 1 M 2 A V 2
Las implicaciones de estas dos últimas relaciones se resumen en la figura 1.6.2 (un análisis similar también fue expuesto en la sección 1.5).
26
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Emilio Rivera Chávez Relaciones isentrópicas entre las variables de estado en función del número de Mach. Las relaciones entre velocidad, densidad y área de flujo y para la variación de las razones de las propiedades termodinámicas estáticas (presión, temperatura y densidad) y de estancamiento en función del número de Mach, son las que corresponden a un flujo unidimensional isentrópico. Las expresiones para las propiedades locales de estancamiento isentrópico para un gas ideal, desarrolladas en la sección 1.4, son aplicables al flujo en toberas y difusores, por ello las volvemos a escribir:
To k 1 2 M 1 T 2
Razón de temperaturas5:
1.4.3 k
Razón de presiones:
po k 1 2 k 1 M 1 p 2
Razón de densidades:
o k 1 2 k 1 M 1 2
1.4.4
1
1.4.5
Estas relaciones son importantes porque, como ya se vio, en el flujo isentrópico permanente, las propiedades de estancamiento son constantes. En muchas situaciones de flujo en tobera y difusores, las condiciones críticas son frecuentemente usadas como referencia para el cálculo de las variables de estado. Puesto que las propiedades de estancamiento son constantes para flujo isentrópico, entonces se puede escribir.
To T
*
k 1 1 2
1.6.2
1
o k 1 k 1 1 * 2 k k 1
k 1 1 p 2
po
*
V * C * R
2k T0 k 1
1.6.3 1.6.4 1.6.5
1.6.6
Área crítica A partir de la ecuación de continuidad y las relaciones del gas ideal podemos obtener una relación matemática para la razón de área e flujo/área crítica en función del número de Mach. Así: Según la ecuación de continuidad, podemos afirmar que el flujo másico en cualquier sección de flujo debe ser igual al flujo másico en una sección (real o imaginaria) en la que el flujo esta en condiciones sónicas. VA = *V*A* De donde:
A *
A
*V * V
1.6.7
5
Esta relación solo exige que el flujo sea adiabático (no necesariamente isentrópico), es decir que como se mencionó en la sección 1.4, esta ecuación es también valida en presencia de irreversibilidades. 27
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Emilio Rivera Chávez Además la razón de densidades y de velocidades del segundo miembro se pueden expresar en función del número de Mach.
* * 0 0
1
* 1 k 1 2 (k 1) M 2 k 1
1.6.8
Similarmente para la velocidad: 1/ 2
2k RT0 V * k 1 V V
V* 1 V M
kRT0 2 1 / 2 kRT0 2 1 / 2 V M kRT k 1 k 1
1/ 2
T0 2 T k 1
1/ 2
V* 1 1 2 2 (k 1) M V M k 1
1.6.9
Sustituyendo en 1.6.8 y 1.6.9 en 1.6.7
A * 1 2 (k 1) M 2 A M k 1
k 1
2( k 1)
1.6.10
Para aire estándar (k=1.4), se tiene:
A * 1 1 0.2M 2 A M 1.2
3
1.6.11
Razón de áreas Vs. Número de Mach k=1.4; gas ideal 5.000 4.000
A*/A
3.000 2.000 1.000 0.000 0
0.5
1
1.5 M
2
2.5
3
Figura 1.6.3. Relación de áreas en función del número de Mach para flujo isentrópico para un gas ideal.
28
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Emilio Rivera Chávez 1.6.1 Operación de Toberas convergentes Se analiza ahora lo que ocurre cuando una tobera convergente opera en condiciones diferentes a las de diseño, es decir diferentes contrapresiones. Suponiendo que las condiciones de estancamiento a la entrada de la tobera se mantienen constantes, en tanto que la contrapresión (presión de la cámara a la salida de la tobera, presión del receptor) varía disminuyendo gradualmente desde un valor igual a la presión de estancamiento hasta un valor inferior a la presión crítica. En el diagrama se ilustra el comportamiento de la tobera como consecuencia de esta variación, que es una gráfica de la relación de la presión a lo largo de la boquilla con respecto a la presión de estancamiento.
pb
po To
Contrapresión
o vo 0
pe
1 pe = pb p/po (Presión de diseño) (pe)min = p*
p*/po
pe = p* 0 Garganta
Mientras la contrapresión es ligeramente menor que la presión de estancamiento, se produce un flujo completamente subsónico. Pero a medida que la contrapresión desminuye, se incremente el número de Mach del flujo. El fluido en estas condiciones sale de la boquilla a la presión ambiente (pb) como chorro libre subsónico, es decir
pe=pb
La tendencia anterior continúa hasta que finalmente el número de Mach es igual a 1, alcanzando las condiciones sónicas en la garganta. La presión de la contrapresión es igual a la presión crítica en la garganta. En esta situación se dice que la tobera está operando en condiciones de diseño.
pe=p*
Toda disminución adicional de la contrapresión no tiene ningún efecto sobre el flujo en la tobera y se dice que la tobera esta operando en una condición de estrangulamiento.
29
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Emilio Rivera Chávez Ejemplo 8. Air from a large reservoir at 700 kPa and 40ºC flows through a converging nozzle, the exit area of which is 0.025 m2. Assuming that frictional effects are negligible, determine the pressure and temperature in the exit plane of the nozzle and the mass flow rate when the ambient pressure is: (a) 400 kPa (b) 100 kPa Ans: (a) 400 kPa, 267 K, 39.8 kg/s; (b) 370 kPa , 261 K, 40.5 kg/s Resolución Lo importante en este tipo de problemas es verificar patm si la tobera está estrangulada o no. Esto ocurre, como se vio en la clase, cuando el cociente entre la po=700 kPa presión de la salida y la presión del estancamiento To=313 K As=0.025 m2 es: ps=? m=? k * Ts=? k 1 p p 2
po
po
k 1
y para k=1.4 a) para p = 400 kPa
p 0.528 po
p
0.571 > 0.528 po Por lo que la tobera, en este caso, no esta estrangulada; el flujo es subsónico a través de la tobera y la presión de salida es igual a la contrapresión (presión atmosférica), es decir ps = 400 kPa. con ps 400 calculamos el número de Mach a partir de la condiciones de estancamiento: k1 k 2 po M 1 k 1 ps
M 0.931
Como el flujo e s isentropico la temperatura de salida se puede calcular, de la siguiente manera k1
Ts To
ps
k
po
Ts 266.75 K
La densidad de l aire a la salida se puede calcular con la ecuación de los g ases ideales: s
ps 1000 R Ts
kg s 5.225
3
m
finalmente el flujo másico se calcula a partir de su definición y con los datos de la salida: m s vs As
m s As M k R Ts
m 39.8
kg/s
b) En este caso la presión atmosférica, contrapresión, es 100 kPa, por lo que: p
0.143 < 0.528; la tobera esta estrangulada! po Entonces la presión del aire a la salida de la tobera no es igual a la contrapresión (presión atmosférica en est caso), y se calcula a partir de la presión de estancamiento (en realidad es igual a la presión crítica) 30
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Emilio Rivera Chávez ps 369.6 kPa
ps 0.528 po
La temperatura y densidad del aire a la salida se calculan igual que en el caso anterior: k1
Ts To
k
ps
po
s
Ts 260.79 K kg
ps 1000
s 4.938
R Ts
3
m
El flujo másico se puede calcular con la velocidad crítica (condiciones críticas): V*=
To k 1
k R
2
m/s
To k 1
m s As k R
2
m 40.0 kg/s
Tarea: El estudiante debe resolver los siguientes problemas, (ante cualquier duda debe consultar con el docente):
1. Air allowed to flow from a reservoir with temperature of 21_C and with pressure of 5MPa through a tube. It was measured that air mass flow rate is 1kg/s. At some point on the tube static pressure was measured to be 3 MPa. Assume that process is isentropic and neglects the velocity at the reservoir; calculate the Mach number, velocity, and the cross section area at that point where the static pressure was measured. Assumed that the ratio of specific heats is k=Cp=Cv =1:4. Ans: 0:88639; 304 m/s; 8.26x10-5 m2 2. Air flows from the atmosphere into an evacuated tank through a convergent nozzle of 0.04 m tip diameter. If the atmospheric pressure and temperature is 10 5 N/m 2 and 20º C, what vacuum must be maintained in the tank to produce sonic velocity in the jet. What is the flow rate? Ans: p <52.8 kPa; 0.3 kg/s 3. The Mach number at point A on tube is measured to be M = 23 and the static pressure is 2Bar. Downstream at point B the pressure was measured to be 1.5 Bar. Calculate the Mach number at point B under the isentropic flow assumption. Also, estimate the temperature at point B. Assume that the specific heat ratio k = 1:4 and assume a perfect gas model. Ans: 2; 271,42 K
31
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Emilio Rivera Chávez 1.6.2 Operación de Toberas convergente-divergentes Cuando el fluido es incompresible, sabemos que, al producirse un aumento de la velocidad, que es lo que se pretende en una tobera, forzosamente deberá disminuir la sección a. En este caso, la tobera es convergente. En cambio, si el fluido es compresible, un aumento de c implica a su vez un aumento del volumen específico, como sabemos, debido a que se produce una disminución de presión, por ser, pv= Cte. Por lo tanto, la relación (c/v) es la que indica la variación de las secciones. Si en un sistema de coordenadas (c/v, p) en donde sobre el eje de abscisas se sitúan las variaciones de presión en forma decreciente, tal como sucede en el sentido de la circulación del fluido por la tobera, se obtiene la gráfica, que dice:
Distribución de velocidades en las diversas secciones de una tobera Laval
Entre O y M, la velocidad c crece más rápidamente que v, por lo que la función (c/v) es creciente, y alcanza un valor máximo en el punto M, al que corresponde la presión p k de la garganta de la tobera. Como G es constante y (c/v) creciente, forzosamente la sección “a” de la tobera tiene que disminuir. A partir del punto M, y para presiones menores que pk , resulta que es el volumen específico v el que crece más rápidamente que c, y por lo tanto la relación (c/v) disminuye, por lo que la sección a de la tobera aumentará para poder seguir manteniendo el gasto G constante; así se obtiene una tobera convergente-divergente tipo Laval. Entonces: la aceleración del fluido a velocidades supersónicas, M>1, puede lograrse solamente al añadir una tobera divergente a la tobera aceleradora, convergente, subsónica en su garganta. Esta combinación se conoce como tobera convergente divergente, como ya se mencionó. Sin embargo, el solo hecho de hacer fluir un fluido a través de una tobera convergentedivergente no garantiza que el fluido se acelerará a una velocidad supersónica. Pues, si la presión del receptor (contrapresión) no está en el rango adecuado, existe la posibilidad de que el fluido puede por sí mismo desacelerarse en la sección divergente en vez de acelerarse. La naturaleza del flujo en una tobera está determinado por la razón de presiones P b/Po Es decir que para condiciones específicas de entrada, el flujo a través de una tobera convergente-divergente estará regido por la contrapresión Pb, según se explica a continuación.
32
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Emilio Rivera Chávez Consideremos ahora, igual que en el caso anterior, una tobera de convergente divergente en la que las condiciones de estancamiento a la entrada de la tobera se mantienen constantes, en tanto que la contrapresión (presión de la cámara a la salida de la tobera, presión del receptor) varía disminuyendo gradualmente desde un valor igual a la presión de estancamiento hasta un valor inferior a la presión crítica. El siguiente diagrama ilustra el comportamiento de la tobera como consecuencia de esta variación.
pb Contrapresión
po
vo 0 To
o
pe
pb
p A
po
B
PA PB
C
PC
D
PD
Flujo subsónico en la salida de la tobera (sin choque). Flujo subsónico en la salida de la tobera (choque en la tobera).
p* Flujo sónico en la garganta.
Entrada
PE PF Choque en la tobera. Garganta
E, F, G
PG
Flujo supersónico en la salida de la tobera (sin choque en la tobera).
x Salida
Efectos de la contrapresión en el flujo de una tobera convergente-divergente.
Cuando po > pb> pC, el flujo permanece subsónico a través de la tobera, y el flujo de masa es menor que el flujo bloqueado. La velocidad del fluido aumenta en la sección convergente y alcanza un máximo en la garganta, pero Ma<1. Sin embargo, gran cantidad del aumento en la velocidad se pierde en la sección divergente de la tobera, la cual actúa como difusor. La presión disminuye en la sección convergente, alcanza un mínimo en la garganta, y aumenta a expensas de la disminución de la velocidad en la sección divergente.
Cuando pb= pC, la presión en la garganta se convierte en p* y el fluido alcanza una velocidad sónica en la garganta. Pero, la sección divergente de la tobera actúa aún como difusor, al desacelerar al fluido a velocidades subsónicas. El flujo másico que se incrementa con la disminución de pb alcanza su máximo valor. Debemos recordar que p* es el valor más pequeño de la presión que puede obtenerse en la garganta, y la velocidad sónica es la máxima velocidad que puede lograrse en una 33
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Emilio Rivera Chávez tobera convergente. En consecuencia, al disminuir aún más la contrapresión p b, no se tiene influencia alguna del flujo en la parte convergente de la tobera o el flujo másico a través de la tobera. Sin embargo, esto influye en la sección divergente.
Cuando pC > pb> pE, el fluido que alcanzó la velocidad sónica en la garganta continua acelerándose a velocidades supersónicas en la sección divergente mientras que la presión disminuye. Sin embargo, esta aceleración cesa repentinamente, cuando una onda de choque normal se forma en una sección transversal entre la garganta y el plano de la salida de la tobera, lo que origina una repentina caída en la velocidad a niveles subsónicos y un repentino incremento en la presión. El fluido continúa desacelerándose en la región restante de la sección divergente de la tobera. El flujo a través de una onda de choque es muy irreversible y, por lo tanto, no puede ser aproximado como un flujo isentrópico.
Cuando pE > pb> 0, el flujo en la sección divergente es supersónico, y el fluido se expande a pF a la salida de la tobera y ninguna onda de choque normal se forma dentro de la tobera. Así, el flujo a través de la tobera puede aproximarse como un flujo isentrópico. Cuando pb = pF, no ocurren ningunas ondas de choque dentro o fuera de la tobera. Cuando pb< pF, unos procesos de mezclado irreversible y ondas de expansión ocurren corriente abajo del plano de salida de la tobera.
Ejemplo 9 Una tobera convergente-divergente, diseñada para expandir aire a M=3.0 tiene 250 mm2 de área de salida. La tobera esta conectada a la parte lateral de un gran tanque y descarga a la atmósfera estándar. El aire en el tanque está presurizado a 4.5 MPa (manométrica) y 750 K. Suponga que el flujo dentro de la tobera es isentrópico. Evalué la presión en el plano de salida de la tobera. Calcule la relación de flujo másico de aire a través de la tobera.
DATOS DEL PROBLEMA patm 101.325 kPa
po=4.5MPa man
po 4500 patm kPa presión absoluta
Patm
To=750 K
po 4601.325
kPa
To 750 K M 3 2
k 1.4
As=250 mm2
R 0.287 kJ/kg K
La clave en estos problemas es verificar si la tobera esta estrangulada, para ello evaluamos la relación: patm po
0.022
k
ademas para el aire p*/po=
2 k 1
k1
0.528
como 0.022 es menor que 0.528 la tobera está estrangulada, en la garganta se tienen condiciones sónicas. La presión en la garganta será:
34
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Emilio Rivera Chávez la presión en la garganta será:
p*= 0.528 po 2429.500 T*= To
2
625.000
k 1
la densidad en la garganta se puede calcular a partir de la ecuación de los gases ideales. *= p*/RT*=
2429.5 R 625.0
13.544
kg 3
m
el flujo másico esta dado por: V*=c=
k R 1000 625. 501.124 m /s
m = *V*A* El área de la garganta se calcula a partir de la ecuación: k 1
A* = As M 2 1
2 k 1 M 2 2 2 1
k1
2( k 1)
5.904 10
5
2
m
Entonces el flujo masico será: m 13.544 501.124 5.904 10
5
m 0.401
kg/s
La presión a la salida se puede calcular a partir de la presión de estancamiento en el tanque (se debe recordar que las propiedades de estancamiento son constantes a lo largo del flujo cuando este es isentropico) y el numero de Mach a la salida: p
po
2
k
1 k 1 M 2 2 2
p 125.3 kPa abs 2
k1
1.7 Flujo en una tobera real en condiciones de diseño.-Eficiencia Las ecuaciones estudiadas hasta ahora permiten determinar los parámetros de flujo en una tobera con un flujo supuesto idealmente isentrópico, tomando como referencia ciertas condiciones de estancamiento. Sin embargo en la realidad no se pueden evitar los efectos de la fricción que ocurren entre el fluido y las paredes de la tobera y entre las propias capas del fluido, que se traducen en una pérdida de energía que hacen que el proceso sea irreversible pero adiabático lo que impiden que la tobera opere de la manera prevista durante el diseño, aun cuando las condiciones de operación sean las mismas que se establecieron en el diseño y por lo tanto, habrá una diferencia entre el proceso en condiciones ideales y el proceso en condiciones reales relacionada con la eficiencia. Afortunadamente este efecto es numéricamente pequeño, en la mayoría de los casos, por lo que las desviaciones son mínimas respecto del análisis isentrópico.
35
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Emilio Rivera Chávez En general, se puede decir que para determinar la eficiencia de una tobera se compara el desempeño real bajo condiciones definidas, con el desempeño que alcanzaría en condiciones ideales. Una manera de evaluar esta eficiencia es por medio de la relación que existe entre la ganancia de energía cinética debida a la caída de entalpía en condiciones reales y la ganancia de energía cinética debida a la caída de entalpía en condiciones ideales. A continuación se explica la acción de la fricción a partir de la primera ley de la termodinámica.
2
Primera ley de la termodinámica 0 = H + K
h1 h2
v22 v12 2 2
(1)
(2)
1 La ecuación 2 muestra que en ausencia de transferencia de calor6, la fricción tiende a incrementar la temperatura T2 y por consiguiente la entalpía h2 y con un mayor valor de h2, es necesario que V2 disminuya para equilibrar la igualdad, esto se aprecia mejor en un diagrama T-s.
T
T1
p1 1 p2
T21 T2
21 2
s
Como parámetro de medición de los efectos de la fricción en las toberas, se usa generalmente la denominada eficiencia de la boquilla, definida como la relación entre la energía cinética real a la salida de la tobera entre la energía cinética ideal durante una expansión isentrópica en las mismas condiciones de entrada y presión de salida.
V2 2 2 real 2 V2 2 isen
V2 2 2
real
V1 2 (h1 h2 ) 2 isen
Para V12/2 muy pequeña con relación a (h1-h2), se tiene: 6
Al estudiar la circulación de un fluido por una tobera, se supone que al ser un proceso muy rápido, éste es adiabático, por lo que el fluido no intercambia calor con el medio exterior.
36
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Emilio Rivera Chávez V2 2 2 real (h1 h2 )isen y para un gas ideal:
V2 2 2 real c p T1 T2 isen En un proceso ideal o isentrópico,
y en un proceso real,
entonces,
Como la velocidad de entrada a la tobera V1 es 0 o muy pequeña comparada con la velocidad a la salida V2 entonces puede decirse que:
37
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Emilio Rivera Chávez 1.8 Flujo adiabático en conducto de sección constante con fricción.- línea de Fanno Un diagrama de energía (entalpía-entropía o temperatura-entropía), nos ayudará a estudiar este proceso. Para este propósito hemos seleccionado el volumen de control que se muestra en la figura, al cual apicaremos las ecuaciones fundamentales del flujo y la ecuación de estado correspondientes. Previamente planteamos las siguientes hipótesis: i)
Flujo permanente
ii)
Flujo compresible
iii)
Flujo adiabático
iv)
Fricción en la capa límite (irreversible, efecto no isentrópico) Bajo estas condiciones se tiene:
Volumen de control con fricción en la capa límite
Ecuación de continuidad .
1V1 A 2V2 A m cte
(1)
.
1V1 2V2 cte Ecuación de cantidad de movimiento
( p1 p2 )A R f 1V1 A(V2 V1 ) (2) 1
Primera ley de la termodinámica
2
V2 V2 0 m( 2 1 h2 h1 ) 2 2 2 2 V1 V h1 2 h2 2 2
Diagrama de fuerzas actuantes sobre la superficie de control
m.Al=Rf
(3)
Ecuación de estado h=(h(s,p) p1
(4)
p2
=(s,p) (5) Este conjunto de ecuaciones gobiernan el flujo adiabático permanente con fricción en un con1 2 ducto de área constante. Conocidas las propiedades del flujo en la sección 1 son conocidas, a partir de este conjunto se pueden determinar las condiciones de flujo de la sección 2. Sin embargo se tienen 6 incógnitas (p2,, 2, h2, V2, s2 y Rf) y sólo 5 ecuaciones, lo que matemáticamente Entalpía de estancamiento h indica un conjunto infinito de soluciones. Asumiendo un valor para una de las incógnitas de la sección 2, por ejemplo V2, se pueden calcular el resto de las incógnitas para un valor dado de R, y si volvemos a repetir el proceso obtendremos un conjunto de resultados para cada valor de V 2, asumido. Ahora si representamos gráficamente los valores de h2, s2 se obtiene un curva que representa este conjunto de soluciones, es decir el lugar geométrico de todos los estados posibles aguas abajo, esta curva se conoce como la línea de Fanno.
M<1
1
M=1
M>1
1 ´
s 38
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Emilio Rivera Chávez Ecuaciones para la razón de las variables de estado en función de M del flujo de Fanno. Para establecer las expresiones matemáticas que relacionan las propiedades de flujo con el número de Mach, consideremos el volumen de control de área constante A y longitud dx, mostrado en la figura 1.8.3. En general las propiedades de flujo pueden variar en la dirección de flujo x
dFf x dAl
p
dp x dx
v
dv x dx
d x dx
T
dT x dx
p V
y
T
x
p dp
p y x dx
dx
Figura 1.8.3b.Fuerzas superficiales que actúan sobre el volumen de control diferencial.
Figura 1.8.3a. Volumen de control diferencial para el flujo en conductos de sección constante con fricción y sin intercambio de calor
. Aplicando a este modelo las tres ecuaciones fundamentales del flujo (leyes de conservación) se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:
d
Continuidad:
Cantidad de movimiento:
dp
Energía:
dv 0 v
dFr VdV dA
V2 VdV dh d 2
1.8.6
1.8.7
1.8.8
Estas tres ecuaciones tienen 6 incógnitas (p, , T, h, V, Fr). Es necesario entonces complementar nuestra formulación matemática, planteando ecuaciones adicionales: Para un gas ideal:
c p dT VdV
1.8.9
dp d dT p T
1.8.10 9
Ecuación del gas ideal:
p RT Además
x
R dp R dhf R 1 V2 fV 2 f 2 dx 2 dx 2 D 2 8
1.8.11
Entonces
dFf x dAl
fV 2 fV 2 4 A fV 2 A Pmojadodx dx dx 8 8 Dh 2 Dh
1.8.12
39
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Emilio Rivera Chávez Para resolver el sistema anterior en función del número de Mach y del coeficiente de fricción, es necesario escribir la siguiente relación a partir de la definición de número de Mach. V 2 M 2 kRT 2dV 2dM dT V M T
1.8.13
A partir de las ecuaciones se pueden obtener las siguientes relaciones útiles: dp 1 (k 1) M 2 dx kM 2 f p D 2(1 M 2 )
d
kM 2 2(1 M ) 2
f
1.8.14
dx dV D V
1.8.15
dT k (k 1) M 4 dx f T D 2(1 M 2 )
1.8.16
dp0 d0 kM 2 dx f p0 0 2 D
1.8.17
d (M 2 ) M
2
kM 2
2 (k 1) M 2 2(1 M 2 )
f
dx D
1.8.18
El factor (1-M2) que esta presente en el denominador de las ecuaciones (excepto en la ecuación 1.8.17) hace que los flujos subsónicos y supersónicos tienen efectos opuestos (de manera similar a las ecuaciones de variación de área), los que se resumen en la siguiente tabla. Propiedad
Subsónico Disminuye
Supersónico Aumenta
p
Disminuye
Aumenta
T
Disminuye
Aumenta
V 0, p0
Aumenta Disminuye
Disminuye Aumenta
M
Aumenta
Disminuye
Entropía
Aumenta
Disminuye
La ecuación 1.8.18 permite evaluar los cambios de M a lo largo del conducto, por lo que para tener una formula útil para el cálculo, se integrara esta ecuación diferencial, empleando como límites una sección genérica en la que el número de Mach es M y x igual a 0; y la sección en la que ocurren las condiciones sónicas donde como se sabe M igual a 1 y x es igual a Lmax (en estas condiciones se dice que el flujo esta estrangulado o bloqueado). Todos los flujos de la línea de Fanno tienden hacia M=1. El número de Mach alcanzará la unidad cuando para una longitud máxima (real o hipotética) del ducto, como se muestra en la figura 1.8.4. Entonces, separando variables e integrando la ecuación 1.8.18, entre los límites mencionados, tenemos: 40
Apuntes de Clase
Mecánica de Fluidos II
Emilio Rivera Chávez 1
2(1 M 2 )
M
kM (2 (k 1) M )
4
2
d (M 2 )
Lmax
0
f
dx D
X=0 M
M1
M =1
L1 Lmax Figura 1.8.4.- Limites para el análisis del flujo en la línea de Fanno El factor de fricción, f, puede variar a lo largo del conducto, ya que el número de Reynolds variará con x, sin embargo, como V es constante (ecuación de continuidad) a lo largo del conducto, la variación de Reynolds es causada únicamente por las variaciones de la viscosidad del fluido. En la práctica siempre se considera un valor medio para f, y no se tienen en cuenta las pequeñas variaciones del número de Reynolds a lo largo del conducto, de esta manera se tiene que:
1 M 2 kM 2
k 1 (k 1) M 2 L ln f max 2k 2 (k 1) M 2 Dh
1.8.19
Combinando adecuadamente el resto de las ecuaciones, se obtienen otras formulas útiles para las propiedades del flujo a lo largo del ducto, estas relaciones son: Razón de presiones p 1 p* M
k 1 2 (k 1) M 2
1.8.20
Razón de densidades:
V* 1 * V M
2 (k 1) M 2 k 1
1.8.21
Razón de temperaturas 2
T k 1 C T * C* 2 (k 1) M 2
1.8.22
Propiedades de estancamiento: k 1
0 p0 1 2 (k 1) M 2 2( k 1) k 1 0* p0* M
1.8.23
Estas razones se hallan tabuladas en función del número de Mach, para un gas ideal con k=1.4, en casi todos los textos de Mecánica de Fluidos (p.e Tabla E.2 Fox; tabla B.3. White).
41
Apuntes de Clase
Mecánica de Fluidos II
Emilio Rivera Chávez Funciones de Flujo de la Línea de Fanno para flujo unidimensional. Gas ideal con k=1.4 M po/p0* T/T* p/p* V/V* fLmax/Dh 0.05 11.591 1.1994 21.903 0.0548 ###### 0.10 5.822 1.1976 10.944 0.1094 66.9216 0.20 2.964 1.1905 5.455 0.2182 14.5333 0.30 2.035 1.1788 3.619 0.3257 5.2993 0.40 1.590 1.1628 2.696 0.4313 2.3085 0.50 1.340 1.1429 2.138 0.5345 1.0691 0.60 1.188 1.1194 1.763 0.6348 0.4908 0.70 1.094 1.0929 1.493 0.7318 0.2081 0.80 1.038 1.0638 1.289 0.8251 0.0723 0.90 1.009 1.0327 1.129 0.9146 0.0145 1.00 1.000 1.0000 1.000 1.0000 0.0000 1.10 1.008 0.9662 0.894 1.0812 0.0099 1.20 1.030 0.9317 0.804 1.1583 0.0336 1.30 1.066 0.8969 0.728 1.2311 0.0648 1.40 1.115 0.8621 0.663 1.2999 0.0997 1.50 1.176 0.8276 0.606 1.3646 0.1361 1.60 1.250 0.7937 0.557 1.4254 0.1724 1.70 1.338 0.7605 0.513 1.4825 0.2078 1.80 1.439 0.7282 0.474 1.5360 0.2419 1.90 1.555 0.6969 0.439 1.5861 0.2743 2.00 1.688 0.6667 0.408 1.6330 0.3050 2.10 1.837 0.6376 0.380 1.6769 0.3339 2.20 2.005 0.6098 0.355 1.7179 0.3609 2.30 2.193 0.5831 0.332 1.7563 0.3862 2.40 2.403 0.5576 0.311 1.7922 0.4099
M 2.50 2.60 2.70 2.80 2.90 3.00 3.10 3.20 3.30 3.40 3.50 3.60 3.70 3.80 3.90 4.00 4.10 4.20 4.30 4.40 4.50 4.60 4.70 4.80 4.90 5.00
po/p0* 2.637 2.896 3.183 3.500 3.850 4.235 4.657 5.121 5.629 6.184 6.790 7.450 8.169 8.951 9.799 10.719 11.715 12.792 13.955 15.210 16.562 18.018 19.583 21.264 23.067 25.000
T/T* p/p* 0.5333 0.292 0.5102 0.275 0.4882 0.259 0.4673 0.244 0.4474 0.231 0.4286 0.218 0.4107 0.207 0.3937 0.196 0.3776 0.186 0.3623 0.177 0.3478 0.169 0.3341 0.161 0.3210 0.153 0.3086 0.146 0.2969 0.140 0.2857 0.134 0.2751 0.128 0.2650 0.123 0.2554 0.118 0.2463 0.113 0.2376 0.108 0.2294 0.104 0.2215 0.100 0.2140 0.096 0.2068 0.093 0.2000 0.089
V/V* fLmax/Dh 1.8257 0.4320 1.8571 0.4526 1.8865 0.4718 1.9140 0.4898 1.9398 0.5065 1.9640 0.5222 1.9866 0.5368 2.0079 0.5504 2.0278 0.5632 2.0466 0.5752 2.0642 0.5864 2.0808 0.5970 2.0964 0.6068 2.1111 0.6161 2.1250 0.6248 2.1381 0.6331 2.1505 0.6408 2.1622 0.6481 2.1732 0.6550 2.1837 0.6615 2.1936 0.6676 2.2030 0.6734 2.2119 0.6790 2.2204 0.6842 2.2284 0.6891 2.2361 0.6938
4.0 3.5
p0 p0*
3.0
V V*
2.5 p p*
2.0 1.5 1.0
fLmax Dh
T T*
0.5 0.0 0
1
2
3
4
5
Número de Mach
42
Apuntes de Clase
Mecánica de Fluidos II
Emilio Rivera Chávez Ejemplo 10. Un ducto de área constante opera en una condición estrangulada. La sección transversal es rectangular, con los lados de 6pies y 4 pies, y su superficie tiene una rugosidad relativa de 0.0001. A 20 pies del extremo del ducto, la presión absoluta es 18 psi. Si no existe transferencia de calor a través de las paredes, determine el número de Mach y el de Reynolds en esta sección para un flujo de aire. La presión ambiente de los alrededores, que es 14.7 psia. DATOS DEL PROBLEMA
=0.0001
18 psia= p1
pamb. = 14 psia
k 1.4 R 53.3 lbf.pie/lbm.R
4 pies 6 pies
20 pies 1
2 p2= pamb. = 14.7 psia
Como el flujo esta estrangulado, el número de Mach en la sección 2 es M2=1, entonces la presión crítica sera igual a la presíon de salida p2. p*= p2 como la presíon crítica es constante, se puede usar este valor como referencia para calcular el número de Mach en la sección 1, usando para ello las ecuaciones derivadas en la clase teórica (línea de Fanno). p1/p* =
18 14.7
1.224
1
1 p1/p * = M1 1
2 k 1 M12 2 k 1
2
Esta ecuación debe ser resuleta para M2, sin embargo no tiene soloción analítica pues es una ecuación cúbica, por ello se empleará un método numérico (aproximaciones sucesivas o prueba y error, para ello preparamos la ecuación del siguiente modo: 1 k 1 1 2 M( M1) 1.224 k 1 2 1 M1 2
2
Comenzando con un valor arbitrario para M1, por ejemplo M1=1, sustituyendo este valor en la función anterior calculamos un nuevo valor para M1, y así sucesivamente obtenemos una mejor aproximación.
M( 1 ) 0.817 M( 0.817 ) 0.841 M( 0.841 ) 0.838 M( 0.838 ) 0.838
Nos quedamos con,
M1 0.838
como mej or aproximación
43
Apuntes de Clase
Mecánica de Fluidos II
Emilio Rivera Chávez Otra manera de obtener un valor aproximado para M!, es mediante valores tabulados para la línea de Fanno, asi para la relación: 18 p1/p* = 1.224 14.7 se obtiene de la tabla B .7 (línea de Fanno) página 810 Shames. M1 = 0.84 para p/p* = 1.22 En todo caso el valor hallado para M1= 0.838 es una mejor aproximación. El número de Reynolds en la sección 1, se puede calcular de manera aproximada, a partir del diagrama de Moody. Para ello es necesario estimar el valor del coeficiente de fricción a partir de la ecuación: f k L
k1
=
D
2
ln
2 1 ( k 1 ) M1 1 0.061 k 1 2 2 2 1 2 M1 M1
donde el diametro equivalente D se puede calcular, del siguiente modo: D 4
( a b) 2 ( a b)
D 4.800
entonces : f 0.061
D k L
f 0.0105
Entonces con f=0.0105 y=0.0001, se puede obtener el número de Reynolds, del diagrama de Moody . o tambien mediante la fórmula de Colebrook (base del ábaco de Moody)
1 2.51 2 log f 3.7 D Re f
2.51
Re
f
1 2 f 10 3.7 D
Re 3.4 10
6
44
Apuntes de Clase
Mecánica de Fluidos II
Emilio Rivera Chávez Ejemplo 11. Considere un flujo adiabático de aire en una tubería de área constante con fricción. En una sección de la tubería, p0=100 psia, T0, 500 R y M=0.70. Si el área de la sección transversal es 1 pie2 y el numero de Mach en la salida es M2=1, encuentre la fuerza de fricción ejercida sobre el fluido por la tubería. Diagrama de fuerzas actuantes sobre la superficie de control
DATOS DISPONIBLES
p01=100 psia T0=500 R M1=0.70 T1=? p1=?
p02=? T0=500 R M2=1 T2=? p2=?
A=1 pie2
1
m.Al=Rf
2 p2
p1
1
2
Otros datos: k 1.4 R 53.3 lbf.pie/lbm.R
De la ecuación de cantidad de movimiento se tiene:
R f 1V1(V2 V1 ) ( p1 p 2 )A 2 V R f ( p1 p 2 ) 1V1 ( 2 1) A V1 Además sabemos que: V Mc M kRT entonces:
V2 M 2 kRT2 M 2 V1 M1 M 1 kRT1
T2 T1
(1)
(2)
Sustituyendo (2) en (1), se obtiene:
M R f ( p1 p 2 ) 1 M 12 kRT1( 2 M1
T2 1) A (3) T1
Esta última ecuación nos muestra que es necesario calcular previamente los siguientes parámetros de estado en las secciones 1 y 2: 1 , p1 ,T1 , p2 ,T2 A partir de las condiciones de estancamiento e la seccción 1, se calculan T 1 y p1: To
T1 1
k 1
T1 455.4 R
2
2 M1 po1
p1
k
1
k 1 M12 2
p1 72.1
psia
k1
45
Apuntes de Clase
Mecánica de Fluidos II
Emilio Rivera Chávez La densidad1 se puede calcular a partir de la ecuación de los gases ideales:
1
lbm
p1 144
1 0.428
R T1
3
pie
En la sección de flujo 2, con To y M2 se calcula T2,: To
T2 1
T2 416.7 R
k 1 M22 2
1V1 2V2 , combinando con (2) se tiene: De la ecuación de continuidad: 1V1 2V2 , combinando con (2) se tiene: 2 V1 M 1 T1 (4) 2 V1 M 1 T11 V2 M 2 T2 1 V2 M 2 T2
De la ecuación de continuidad:
entonces la densidad 2 sera: 2 1
M1 M2
T1
2 0.313
T2
lbm 3
pie
La presión p2 se puede calcular a partir de la e cuación de los gases ideales:
2 R T2 144
p2
p2 48.3
psia
Sustituyend estos valores en la ecuación (3) se tiene
2
M2 T2 1 A M1 T1
Rf ( p1 p2) 144 1 M1 k R T1
Rf 820.0 lbf
46
Apuntes de Clase
Mecánica de Fluidos II
Emilio Rivera Chávez 1.9 FLUJO PERMANENTE SIN FRICCION EN UN DUCTO DE AREA CONSTANTE CON INTERCAMBIO DE CALOR.- Línea de Rayleigh Estudiamos ahora el flujo compresible a lo largo de un conducto de sección constante considerando el intercambio de calor pero sin considerar los efectos de la fricción. Para ello al igual que el caso anterior comenzamos escribiendo las ecuaciones fundamentales del flujo fluido al volumen de control presentado esquemáticamente en la figura. Volumen de control
Ecuación de continuidad .
1V1 A 2V2 A m cte
(1)
.
1V1 2V2 cte Ecuación de cantidad de movimiento
( p1 p 2 )A 1V1 A(V2 V1 )
Q m
1
2
Diagrama de fuerzas actuantes sobre la superficie de control
p2
p1
1
T2 p2 2 h2 s2 V2
h M= M<1
V22 V12 Q m( h2 h1 ) t 2 2 V 2 Q V22 h2 1 h1 m 2 2
(3)
Ecuaciones de estado
1 k
M=1
Calentamiento Enfriamiento E
Primera ley de la termodinámica
Q h02 h01 m
2
T1 p1 1 h1 s1 V1
(2)
( p1 p 2 ) 1V1(V2 V1 )
M>1
Calentamiento Enfriamiento E
s
h=h(s, )
(4)
=(s, p)
(5)
Este sistema de ecuaciones, al igual que en el caso anterior, presenta infinitas soluciones. De manera análoga para un conjunto dado de condiciones iniciales, sección 1; se buscan los posibles estados que pueden alcanzarse en la sección 2 para diferentes variaciones del calentamiento. Podemos nuevamente asumir valores para V2, a partir de lo cual calculamos el resto de los parámetros de estado en la sección 2, mediante una combinación adecuada de sistema de ecuaciones planteado. El lugar geométrico de los estados posibles agua abajo representados en el diagrama h-s, se conoce como línea de Rayleigh.
47
Apuntes de Clase
Mecánica de Fluidos II
Emilio Rivera Chávez 1.9.1 Relaciones matemáticas para el cálculo del flujo de la línea de Rayleigh de un gas ideal A partir de la ecuaciones fundamentales de flujo, planteadas anteriormente, es posible establecer ecuaciones algebraicas útiles para relacionar las variables de estado de dos secciones de flujo en términos del número de Mach, tomando como referencia la condición crítica donde el número de Mach es M=1. Relación de presiones. De la ecuación de cantidad de movimiento,
p1 p 2 1V1(V2 V1 ) 2V2V2 1V1V1 p1 p 2 2V22 1V12 p1 p 2 2 M 22 kRT2 1 M 12 kRT1 p1 p 2 2 RT2 M 22 k 1 RT1 M 12 k ;
p RT
p1 p 2 p 2 M 22 k p1 M 12 k p1 p1 M 12 k p 2 p 2 M 22 k
p1 1 kM 22 p2 1 kM12
(1)
Relación de temperaturas. A partir de la ecuación anterior (1) y de la ecuación de los gasee ideales, se puede obtener,
1T1 1 kM 22 2T2 1 kM 12
(2a)
De la ecuación de continuidad,
1V1 2V2 1 V2 M 2 c 2 M 2 kRT2 M 2 T2 2 V1 M 1c1 M 1 kRT1 M 1 T1
(2b)
Combinado estas dos últimas ecuaciones, tenemos,
M2 M1
T2 T1 1 kM 22 T1 T2 1 kM12
T1 M 1 1 kM 22 T2 M 2 1 kM12
2
(2)
48
Apuntes de Clase
Mecánica de Fluidos II
Emilio Rivera Chávez Relación de densidades. Combinado la ecuación (2) con la ecuación (2b), se tine
1 1 kM 22 2 1 kM12
(3)
Para simplificar el cálculo, conviene relacionar los parámetros de flujo de una sección cualquiera del ducto, con los de una sección del ducto en la que, hipotéticamente, se alcanzan las condiciones sónicas es decir las condiciones críticas M=1. Para ello reemplazamos M 2=1 en las tres relaciones anteriores y suprimimos también el subíndice 1 para hacer referencia a una sección de flujo cualquiera.
p p*
1 k 1 kM 2
M 1 k T * 1 kM 2 T
2
Observa que … ……
1 kM 2 * M 2 1 k
V M 1 k V * 1 kM 2 2
V * V*
De manera similar se obtiene relaciones para la presión y temperatura de estancamiento: k
po 1 k 2 (k 1) M 2 k 1 * 1 k po 1 kM 2 To To*
(k 1) M 2 2 (k 1) M 2
1 kM
2 2
En base a estas relaciones matemáticas, se han elaborado tablas, en las que se tabulan los valores de las relaciones para diferentes valores de M, y con k=1.4. El la figura de la siguiente página se muestra un resumen de estos datos, elaborados en base a este conjunto de relaciones matemáticas. Tablas más completas están disponibles en los textos de mecánica de fluidos y termodinámica.
49
Apuntes de Clase
Mecánica de Fluidos II
Emilio Rivera Chávez Funciones de flujo de Rayleigh para un gas ideal con k=1.4 Flujo unidimensional
M1 To/To* po/po* T/T* p/p* V/V* 0.00 0.0000 1.2679 0.0000 2.4000 0.0000 0.10 0.0468 1.2591 0.0560 2.3669 0.0237 0.20 0.1736 1.2346 0.2066 2.2727 0.0909 0.30 0.3469 1.1985 0.4089 2.1314 0.1918 0.40 0.5290 1.1566 0.6151 1.9608 0.3137 0.50 0.6914 1.1141 0.7901 1.7778 0.4444 0.60 0.8189 1.0753 0.9167 1.5957 0.5745 0.70 0.9085 1.0431 0.9929 1.4235 0.6975 0.80 0.9639 1.0193 1.0255 1.2658 0.8101 0.90 0.9921 1.0049 1.0245 1.1246 0.9110 1.00 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.10 0.9939 1.0049 0.9603 0.8909 1.0780 1.20 0.9787 1.0194 0.9118 0.7958 1.1459 1.30 0.9580 1.0437 0.8592 0.7130 1.2050 1.40 0.9343 1.0777 0.8054 0.6410 1.2564 1.50 0.9093 1.1215 0.7525 0.5783 1.3012
M1 To/To* po/po* T/T* p/p* V/V* 1.60 0.8842 1.1756 0.7017 0.5236 1.3403 1.70 0.8597 1.2402 0.6538 0.4756 1.3746 1.80 0.8363 1.3159 0.6089 0.4335 1.4046 1.90 0.8141 1.4033 0.5673 0.3964 1.4311 2.00 0.7934 1.5031 0.5289 0.3636 1.4545 2.10 0.7741 1.6162 0.4936 0.3345 1.4753 2.20 0.7561 1.7434 0.4611 0.3086 1.4938 2.30 0.7395 1.8860 0.4312 0.2855 1.5103 2.40 0.7242 2.0451 0.4038 0.2648 1.5252 2.50 0.7101 2.2218 0.3787 0.2462 1.5385 2.60 0.6970 2.4177 0.3556 0.2294 1.5505 2.70 0.6849 2.6343 0.3344 0.2142 1.5613 2.80 0.6738 2.8731 0.3149 0.2004 1.5711 2.90 0.6635 3.1359 0.2969 0.1879 1.5801 3.00 0.6540 3.4245 0.2803 0.1765 1.5882
Diagramas para las funciones de flujo de Rayleigh 3.0
Funciones de flujo de Rayleigh.
2.5
p p*
p0 p0*
2.0
V V*
1.5
1.0
T0 T0*
T T*
0.5
0.0 0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Núm ero e Mach M
50
Apuntes de Clase
Mecánica de Fluidos II
Emilio Rivera Chávez Ejemplo 12. Fluye aire sin fricción por un corto ducto de área constante. A la entrada del ducto M1=0.3, T1=50 C y 1=2.16 kg/m3. Como resultado del calentamiento, el número de Mach y la densidad del tubo son M2=0.60 y 2=0.721 kg/m3. Determine la adición de calor por unidad de masa y el cambio de entropía en el proceso. DATOS E INCOGNITAS DEL PROBLEMA Estrategia: Con los datos de la sección 1, podemos calcular, las condiciones críticas (estrangulamiento), con estos datos luego calculamos las condiciones de estado en la sección de flujo 2. Además en cada sección determinamos la temperatura de estancamiento, a partir de estos valores las respectivas entalpías de estancamiento, luego con la ecuación de energía determinamos el flujo de calor por unidad de
Volumen de Control cp=1.005 kJ/kg.K R= 0.287 kJ/kg K
p1
q=?
1 T1= 50 oC 1=2.16 kg/m3 M1=0.30
p2
2 2 = 0.721 kg/m3 M2 = 0.60 S = ?
masas. (Los cálculos los implementamos en el MATCAD).
Primero cálculamoso de la presión en la sección 1, a partir de la ecuación de los gases ideales. p 1 R T 1 1 p*= p
p 200.2 1
1 k M1
2
93.9
1k
1
kP a
kP a
2
1 k M 2 1 T*= T 790.0 K 1 M (1 k) 1 To*= 790 1
( k 1) 2
948.000
Ahora con estos datos y haciendo uso de tablas (tabla E .3 Fox), determ inamos la temperatura de estancamiento en cada una de las secciones de flujo que se consideran. para M1 0.30
de la mencionada tabla se tiene: T o/To* = 0.3469
entonces la temperatura de estancamiento en 1, es: T
01
948 0.3469
T
01
328.9 K
para M2= 0.6 de la misma tabla se obtiene To/T o* = 0.8189 luego la temperatura de estancamiento en 2 será: T
02
948 0.8189
T
02
776.3 K
51
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Mecánica de Fluidos II
Emilio Rivera Chávez
Entonces el calor añadido,calculado a partir de la ecuación de energia con cp constante es:
q h
02
h
01
q cp T
02
T
q 450.1
01
kJ/kg
Para calcular el cambio de entropia, partimos de la ecuación: Tds = dh -vdp de donde, para el caso de un gas ideal podemos escribir: ds cp Integrando, parr cp=cte . tenemos:
dT T
R
dp p
T2 p2 R ln T1 p1
s2 - s1= s cp ln
La temperatura en la se cción 2 se puede calcular a partir de la temperatura crítica (estrangulamiento). 2
M2 ( 1 k ) T2= 790.0 724.2 1 k M 2 2
K
La presión en la seción 2 se puede calcular a mediante la ecuación de los gases ideales: p 2 R T 2
2
p 149.9 kP a 2
entoces el incremeto de la entropia sera:
s= cp ln
724.2
149.9 R ln 0.895 kJ/kgK 323 200.2
52
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Emilio Rivera Chávez Ejemplo 13. Un ducto de área constante conduce una mezcla de aire y combustible. A la entrada del ducto la mezcla tiene una velocidad de 30m/s, una temperatura de 40 oC y una presión absoluta de 124.100 Pa. Si el calor de reacción de la mezcla es 465.180 J/kg. ¿cuáles son el número de Mach de salida, la temperatura y la velocidad del flujo? Se supone que el calor específico y la constante de gas R de los reactantes y los productos de la combustión son iguales a los del aire. Suponga que cp =1.005 J/kg.K para los cálculos. La tubería se encuentra aislada térmicamente. DATOS E INCOGNITAS DEL PROBLEMA
En la figura se ilustran los datos disponibles, para la resolución del problema planteado. Un comentario particular merece el “calor añadido”, en este caso el tubo esta aislado sin embargo el calor añadido al sistema proviene del combustible que es aportado desde el exterior al flujo pues se trata de un combustor, en consecuencia podemos aplicar en este caso el conjunto de ecuaciones planteado en esta sección (flujo con transfe-
Volumen de Control cp=1.005 kJ/kg.K R= 0.287 kJ/kg K
p1
1
p2
2
q=465.18 kJ/kg
T1= 40 oC p1=124.1 kPa V1=30 m/s
T2 = ? M2 = ? V2 = ?
rencia de calor y sin fricción en un ducto de sección constante).
A partir de la ecuación de energía (primera ley de la termodinámica), podemos calcular la temperatura de estancamiento en la sección 2 del conducto, T02; para ello esta ecuación se puede escribir así:
Q V22 h2 m 2
V12 h1 h02 h01 cp(T02 T01) 2
A partir de esta temperatura, la temperatura de estrangulamiento y el número de Mach en la sección 1 se pueden calcular las condiciones de flujo en la sección 2. (Los cálculos los implementamos en el MATCAD)
1- Cálculo de las temperaturas de estancamiento en las secciones 1 :y 2 M1
V1 k R 1000 T
M1 0.085
1
a partir de este valor calculamos la temperatura de estancamiento en la sección 1, T
01
T 1 1
k 1 M 2 2 1
T
01
313.448 K
con este dato y a partir de la primera ley de la termodinamica se calcula la temperatura de estancamiento en la seción 2: T
02
T
01
q cp
T
02
776.31 K
53
Apuntes de Clase
Mecánica de Fluidos II
Emilio Rivera Chávez
T
02
T
01
q
T
cp
02
776.31
2 Cálculo de la temperatura y la temperatura de estancamiento en condiciones de
estrangulamiento. 2
1 k M 2 1 T*= T 7757.4 K 1 M (1 k) 1 To*= 7757.4 1
(k 1)
9308.9
2
3 cálculo de la temperatura de estancamiento en la sección 2: (por formula o mediante tabla) To2/T o*=
776.31 9308.9
0.083
De la tabla E .3 (Fox) para T o/To*=0.08947; se tiene M=0.14 ; T/T* =0.1070, con estos datos podemos calcular la temperatura en la sección 2 T 0.1070 7757.4 2
T 830.042
K
2
para una mejor aproximación se puede obtener M2 directamente partir de la ecuación:
22 1
2 ( k 1) M 0.083 =
k 1
2 M2
2
1 k M 2 2
2
se opta por un método de aproximación sucesiva, los resultados se muestran a continuaciçon:
2 ( k 1 ) ( M) 1 2
M 0.13 0.131 0.14 M
f ( M)
1 k ( M) 2
f ( M)
0.130
0.078
0.131
0.079
0.132
0.080
0.133
0.081
0.134
0.082
0.135
0.083
0.136
0.085
0.137
0.086
0.138
0.087
0.139
0.088
0.140
0.089
k 1 ( M) 2 2 2
0.09 f ( M) 0.083
0.08
0.07 0.125
0.13
0.135 M
de donde podemos asumir M 0.135 2
54
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Emilio Rivera Chávez A partir de este valor para M2=0.135 y de la temperatura crítica (estrangulamiento), calculamos la temperatura T2, 2
M2 ( 1 k ) 774.3 K (501.3 C) T2 = 7757.4 1 k M 2 2 La velocidad también se puede calcular a partir de M2.
k R 1000 T
V M
2
2
2
V 75.300 2
m/s
También podemos calcular la presión en la sección de salida: primero calculamos la presión crítica con datos de la sección 1: p*= p
1 k M1
1
1k
2
52.23 kP a
luego con esta presión y el número de Mach de la sección 2, calculamos la presión en la sección 2, mediante la ecuación: p2/p*=
1k
2
1k M
p 2.340 52.23 2
2
2.340
kP a
p 122.2 kP a 2
55
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Emilio Rivera Chávez 1.10 Ondas de Choque Normales. Se ha visto que las ondas de propagación de sonido se deben a cambios de pr esión infinitesimales, y a que éstas viajan a través del medio a la velocidad del s onido. También se ha visto que para algunos valores de contrapresión ocurren cambios abruptos en las propiedades de l os fluidos en una sección muy delgada de una tobera convergente-divergente en condiciones de flujo supersónico y crean una onda de choque. En esta sección se estudia las condiciones en las cuales se forman las ondas de choque que ocurren en un plano normal a la dirección de fl ujo, denominadas ondas de choque normales. Como ya se mencionó el flujo a tr avés de una onda de choque es fuertemente irreversible y no puede aproximarse a un proceso de flujo isentrópico. Para analizar los cambios en las propiedades del flujo, cuando el flujo atraviesa una onda de choque normal, seleccionaremos un volumen de control muy delgado, de espesor suficiente para encerrar a la onda 7, como se muestra en la figura 1.7.1, y plantearemos las ecuaciones fund amentales del flujo fluido, considerando flujo permanente y unidimensional. Ecuaciones básicas de de flujo : Conservación de masa De la ecuación de continuidad se . tiene: 1V1 A1 2V2 A2 m cte
Onda de choque
1 M1>1
p1 h1 1 V1 s1
2
como,
p2 h2 2 V2 s2
se tiene:
A1 A2 .
1V1 2V2 cte 1.7.1
M2<1
Conservación de cantidad de movimiento. De la ecuación de cantidad de movimiento, considerando solamente las fuerzas debidas a la presion a la entrada y salida del volumen de control, y menospr eciando las fuerzas en la superf icie lateral del V.C. (por ser esta cara muy delgada), se tiene:
A1 A2
Volumen de control de espesor muy delgado
Figura 1.7.1. Flujo a través de una onda de choque normal.volumen de control alrededor de la onda de choque
( p1 p 2 ) A1 1V1 A2 (V 2 V1 ) ( p1 p 2 ) 1V1 (V 2 V1 )
1.7.2
Conservación de energía A partir de la segunda ley de la termodinámica, para flujo adiabático, se puede escribir: 0 m(
V22 V2 1 h2 h1 ) 2 2
V12 V2 h1 2 h2 h0 2 2 h0 1
1.7.3
h0 2
7
Las ondas de choque normales son extremadamente delgadas, (unas micras de espesor), de tal manera que las áreas de flujo entrante y saliente del volumen de control son prácticamente iguales. 56
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Emilio Rivera Chávez Incremento de entropía: Según lo indica la segunda ley de la termodinámica: s2>s1
1.7.4
h=h(s,) =(s,p)
1.7.5 1.7.6
Ecuaciones de estado
Este conjunto de ecuaciones son las que rigen el flujo de un gas a través de una onda de choque normal. Si todas las propiedades en el estado 1 se conocen, entonces tenemos la situación de seis ecuaciones con seis incógnitas. Por tanto, si se conocen todas las condiciones de estado inmediatamente delante de la onda de choque, matemáticamente que hay un único estado posible inmediatamente después de la onda de choque (seis ecuaciones y seis incógnitas). Auque debido al término cuadrático de la velocidad, existen dos soluciones matemáticas, pero solo es válida aquella en que s2 – s1 >0, como exige la segunda ley de la termodinámica. La ecuaciones de continuidad 1.7.1 y energía 1.7.2, pueden combinarse en una sola ecuación y h diagrama h-s, utilizando además las ecuaciones de estado 1.7.5 y 1.7.6. La curva graficar en un resultante es la línea de Fanno, y a lo largo de esta curva se localizan los estados que tienen el mismo valor de entalpía de estancamiento (h0) y flujo de masa por unidad de área (V). Del mimo modo, combinando las ecuaciones 1.7.1 (conservap01 p02 ción de la masa) y 1.7.4 (conservación de cantidad de h01 = h02 movimiento) en una sola M<1 ecuación y graficarla en un diagrama h-s se obtiene la Línea de Fanno línea de Rayleigh, estas 2 curvas se muestran en la h2 M=1 figura 1.7.2.Las lineas de M=1 Fanno y de Rayleigh se interceptan en dos puntos que ONDA DE Línea de Rayleigh representan los dos estados CHOQUE donde las tres ecuaciones de conservación se satisfacen. Calentamiento El punto 1 corresponde al estado antes del choque, y el punto 2 corresponde al estaM>1 h1 do después del choque. Se 1 observa que el flujo es supersónico antes del choque y s2 – s1 subsónico después. Es decir s que, el flujo a través de una s1 s2 onda de choque normal implica un cambio de velocidad Figura 1.7.2 Diagrama h-s para el flujo a través de una onda de supersónica a subsónica. de choque normal. Observe la intersección de las líneas de Cuanto mayor sea el número Fanno y Rayleigh como una solución de las ecuaciones de de Mach antes del choque, onda de choque normal. mas fuerte será el choque. En el caso limite M igual a 1, la onda de choque simplemente se convierte en una onda de propagación del sonido. También se observa en la figura 1.7.2 que la entropía aumenta, lo que era previsible porque el flujo a través de una onda de choque es adiabático pero irreversible.
57
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Emilio Rivera Chávez El principio de conservación de energía (Ec. 1.7.3) exige que la entalpía de estancamiento permanezca constante durante el choque. Como h=f(T), para gases ideales, entonces la temperatura de estancamiento también permanece constante durante el choque para un gas ideal. T01 = T02
1.7.3a
Sin embargo, se observa que la presión de estancamiento disminuye durante el choque debido a las irreversibilidades, en tanto que la temperatura estática aumenta fuertemente debido a la conversión de energía cinética en entalpía lo que provoca una gran caída de la velocidad del fluido. 1.7.1 Ecuaciones para el cálculo de ondas de choque normales en un gas ideal. Como ya se explico anteriormente, el sistema de ecuaciones fundamentales para el flujo a través de una onda de choque normal establecen que para una condición de estado dada delante de una onda hay un único estado posible inmediatamente después de la onda. Se plantean ahora expresiones matemáticas para las relaciones entre las propiedades de flujo antes y después del choque para un gas ideal con calores específicos constantes, en términos de M1 inmediatamente antes de la onda de choque. Ecuaciones de estado para un gas ideal.
p RT
h=h2 – h1 = cp(T2 – T1)
1.7.6a 1.7.5a
Incremento de entropía en el choque Para fines de cálculo del cambio de entropía real a través de la onda de choque, para el caso de un gas ideal con calores específicos constantes, se puede usar la siguiente ecuación. T p s2 s1 c p ln 2 R ln 2 > 0 T 1 p1
1.7.4a
Relación que puede expresarse en términos del número de Mach, al sustituir las relaciones de temperatura y presión por sus expresiones en términos de M, mismas que se desarrollan a continuación: Ecuación para la razón de temperaturas. Una ecuación para la razón de temperaturas puede obtenerse a partir de la ecuación: To k 1 2 M 1 T 2
La misma que se aplica a la entrada y la salida el volumen de control. Antes de la onda de choque
Después de la onda de choque
T01 k 1 2 M1 1 T1 2
T02 k 1 2 M2 1 T2 2
dividiendo miembro a miembro las dos últimas expresiones, y recordando que T01=T02, la razón de temperaturas puede expresarse como: k 1 2 M1 1 T2 2 T1 k 1 M 2 1 2 2
1.7.7
58
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Emilio Rivera Chávez Relación para la razón de densidades. A partir de la ecuación 1.7.7 y de continuidad, 1.7.1 se puede obtener una relación para la razón de densidades: 2 V 1V1 2V2 1 1 V2 y recordando que V cM kRT M , se tiene que:
M 1 kRT1 2 1 M 2 kRT2
2 M1 1 M2
T1 T2
Luego combinado con la ecuación 1.7.7 (relación de temperaturas), se tiene finalmente:
2 M1 1 M 2
k 1 2 M2 1 2 k 1 2 M1 1 2
1.7.8
Ecuación para la razón de presiones. Una expresión para la razón e presiones se puede obtener a partir de la ecuación de estado del gas ideal 1.7.6a. Así: Antes de la onda de choque Después de la onda de choque
p1 1RT1
p2 2 RT2
p2 2 T2 p1 1 T1
y reemplazando las razones de densidad y temperatura en la última relación, se tiene que:
p2 M1 p1 M 2
T2 M 1 T1 M 2
k 1 2 M1 1 2 k 1 2 M2 1 2
1.7.9a
Al ser esta ecuación (1.7.9a) una combinación de las ecuaciones de energía y continuidad, resulta ser la ecuación de la línea de Fanno para un gas ideal con calores específicos constantes. Es posible también obtener una relación para la razón de presiones, combinando las ecuaciones de cantidad de movimiento y de continuidad la ecuación resultante (1.7.9b) será la ecuación para la línea de Rayleigh. De la ecuación de cantidad de movimiento se tiene que:
p1 p 2 1V1 (V 2 V1 ) 2V 2V 2 2V 2V1 Ademas,
Así entonces
Finalmente,
p1 p 2
p2 2 p V 2 1 V12 RT2 RT1
p2 p M 22 kRT2 1 M 12 kRT1 p 2 M 22 k p1 M 12 k RT2 RT1
p 2 (kM 22 1) p1 (kM 12 1) p 2 kM 12 1 p1 kM 22 1
1.7.9b
De la combinación de las ecuaciones 1.7.9a y 1.7.9b se obtiene una ecuación explicita para M 2, en función de M1: M2
2 k 1 k 2M12 1 k 1 M12
1.7.10 59
Apuntes de Clase
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Emilio Rivera Chávez La ecuación 1.7.10 representa la intersección de las líneas de Fanno y Rayleigh y relaciona los números de Mach antes y después de la onda de choque normal. Ecuación para la razón de presiones de estancamiento. La razón de presiones de estancamiento se puede evaluar mediante la siguiente relación: k
p02 p01
k 1 2 k 1 M 2 1 p2 2 p1 k 1 M 2 1 1 2
Las razones de presión, temperatura, etc. para flujo a través de una onda de choque normal para flujo de un gas ideal, se encuentran tabuladas, tablas que se encuentran en la mayoría e los textos de mecánica de fluidos y termodinámica (p.e. Tabla E.4; Fox, funciones de flujo de onda de choque normal.- flujo unidimensional, gas ideal). En la figura 1.7.3, se muestra, a manera de ejemplo, una tabla resumida y las curvas de las funciones de onda de choque normal para un gas ideal. Las ondas de choque no se presentan solo en las toberas supersónicas. Este fenómeno también se presenta en la entrada del motor de un avión supersónico, por ejemplo. Figura 1.7.3 Funciones de onda de choque normal para un gas ideal con k=1.4 Flujo unidimensional M2 1.0000 0.9118 0.8422 0.7860 0.7397 0.7011 0.6684 0.6405 0.6165 0.5956 0.5774 0.5613 0.5471 0.5344 0.5231 0.5130 0.5039 0.4956 0.4882 0.4814 0.5613 0.4752
T2/T1 1.0000 1.0649 1.1280 1.1909 1.2547 1.3202 1.3880 1.4583 1.5316 1.6079 1.6875 1.7705 1.8569 1.9468 2.0403 2.1375 2.2383 2.3429 2.4512 2.5632 1.7705 2.6790
2/1 p2/p1 p02/p01 1.0000 1.0000 1.0000 1.1691 1.2450 0.9989 1.3416 1.5133 0.9928 1.5157 1.8050 0.9794 1.6897 2.1200 0.9582 1.8621 2.4583 0.9298 2.0317 2.8200 0.8952 2.1977 3.2050 0.8557 2.3592 3.6133 0.8127 2.5157 4.0450 0.7674 2.6667 4.5000 0.7209 2.8119 4.9783 0.6742 2.9512 5.4800 0.6281 3.0845 6.0050 0.5833 3.2119 6.5533 0.5401 3.3333 7.1250 0.4990 3.4490 7.7200 0.4601 3.5590 8.3383 0.4236 3.6636 8.9800 0.3895 3.7629 9.6450 0.3577 2.8119 4.9783 0.6742 3.8571 10.3333 0.3283
6.0
p2/p1
5.0 Funciones de onda de choque normal
M1 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10 2.20 2.30 2.40 2.50 2.60 2.70 2.80 2.90 2.10 3.00
4.0
2/1
3.0
T2/T1
2.0
1.0
M2 02/01 0.0 1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Número de Mach antes de la onda de choque M1
60
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Emilio Rivera Chávez Ejemplo 14 Entra aire en un tobera convergente-divergente de un túnel de viento supersónico a 1 MPa y 300 K con una velocidad pequeña. Si ocurre un choque normal en el plano de salida de la tobera a M=2, determine: presión, temperatura, número de Mach, velocidad y presión de estancamiento después de la onda de choque. RESOLUCION Interpretamos el problema planteado en el esquema mostrado en la figura.
V≈0 P0=1 MPa T0=300K
Choque
1
2
De la teoría sabemos que debido a la onda de choque el flujo pasara de ser supersónico antes del choque a subsónico después de la onda de choque, además se puede considerar hipotéticamente que el flujo a través de la onda de choque es adiabático (T01=T02) y sin fricción. Bajo estas consideraciones y a partir de los datos conocidos antes del choque (M1, p1 y T1), se pueden calcular estas mismas variables termodinámicas después de la onda de choque usando las relaciones matemáticas entre estas variables: El número de Mach M2 se puede calcular a partir del número de Mach M1 a partir de la ecuación (1.7.10)
M2
2 k 1 k 1 k 1
M 12 2 M 12
2 1.4 1 0,577 1.4 2 22 1 1.4 1 22
Con M2, conocido y recordando que T 02 = T01, podemos calcular T2, a partir de la relación de temperaturas estática y de estancamiento, Pero analicemos previamente T01. Como se menciona que el flujo entra a la tobera con una velocidad pequeña podemos suponer que la presión y temperatura a la entrada de la tobera son condiciones de estancamiento y como el flujo en la tobera se considera isentrópico estas propiedades no cambiaran, a lo largo de la tobera, salvo la presión de estancamiento luego del choque, entonces: T02=T01=300K y P01=1 MPa. La temperatura T2 será;
To 2 k 1 2 M 2 1 T2 2
T2
To 2 300 281K k 1 2 1.4 1 2 M 2 1 0.577 1 2 2
Con M2 y T2 conocidos, la velocidad se calcula mediante la definición de número de Mach y la ecuación de velocidad del sonido para gases ideales.
V2 M 2 c2 M 2 kRT2 0,577 1.4 287 281 194m / s La presión de estancamiento, se puede calcular a partir de la presión estática, y del número de Mach, para ello, calculamos primero la presión estática, usando la relación 1.7.9a o(1.7.9b), por simplicidad usamos la segunda relación 61
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Emilio Rivera Chávez p2 kM 12 1 p1 kM 22 1
kM 12 1 p2 p1 kM 22 1
La presión p1 se puede calcular a partir de M1, y la presión de estancamiento p01 k
po1 k 1 2 k 1 M 1 1 p1 2
p1
po1 k 1 2 M 1 1 2
k k 1
1 1.4 1 2 2 1 2
1.4 1.4 1
0.129MPa
luego la presión p2 será igual a;
kM 12 1 1.4 2 2 1 p 2 p1 0,129 0,58MPa kM 22 1 1.4 0,577 2 1 Ahora con la presión p2 y el número de Mach M2 conocidos, como ya se mencionó, calculamos la presión de estancamiento p02 después de la onda de choque k
k
1.4
po 2 k 1 2 k 1 k 1 2 k 1 1.4 1 1.41 M 2 1 po 2 p 2 M 2 1 0,58 0,577 2 1 p2 2 2 2 po 2 0,726MPa
Bibliografía: Irving H. Shames, Mecánica de Fluidos, 4ta. Edición. Robert W. Fox Introductión to Fluid Mechanics, IV Ed. Yunus A. Çengel, Mecánica de fluidos.-Fundamentos y aplicaciones, primera edición. Frank M. White. Fluid mechanics, V ed.
External links Gas Dynamics Toolbox Calculate Mach number and normal shock wave parameters for mixtures of perfect and imperfect gases. NASA's page on Mach Number Calculate Mach number. PAF Falcons Online - Second To None
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Apuntes de Clase
Mecánica de Fluidos II
Emilio Rivera Chávez PROBLEMAS RESUELTOS P ROBLEMA 1.- (Examen I-2006) Un flujo de 25 kg/s de un fluido es de sacelerado por un difusor para que pase a través del ducto largo de área constante de 0.5 m 2 , de manera que se reduzcan las pérdidas en la presión de estancamiento. El ducto tiene una rugosidad e = 0.4 mm. Para ir a una sección de prueba supersónica el flujo se expande a través de una boquilla. La geometría está dada en el diagr ama. (a) ¿Cuál es la presión en la se cción de prueba? (b) ¿Cuál es el núm ero de Mach que entra al ducto desde el difusor?
Difusor
Ducto de área constante
Tobera convergentedivergente
Sección de prueba To=90 oC 15 m
A*=0.397 m2
As=0.6 m2
D EFINICIÓN DE V ARIABLES PARA M ATH C AD k 1.4
m 25
R 287 J/kgK
kg
2
To 90 273 To 363 K
s
e 0.0004 mm
A 0.5 m
2
As 0.6 m
D 4
CALCULOS
A
D 0.798 m
(a) Primero calculamos el número de Mach a la salida de la boquilla convergente divergente, a partir de la relación de areas A*/As: La relación área de la garganta entre area de salida de la boquilla de expanción esta dada por: 0.397
A*/As =
0.6
0.662
Con este dato se puede calcular el número de M ach en la sección de salida mediante la ecuación: k 1
f ( M) M 1
k1
2 k 1 ( M) 2 2 1
2 ( k 1)
La ecuación anterior puede resolverse mediante aproximaciones sucesivas: M 1.86 1.861 1.867 M
f ( M) 0.664
1.86
0.664
1.861
0.663
1.862
0.663
f ( M )0.662
1.863
0.662
0.662
1.864
0.662
1.865
0.661
1.866
0.661
1.867
0.66 0.658 1.855
1.86
1.865 M
0.66
Ms 1.864
63
Apuntes de Clase
Mecánica de Fluidos II
Emilio Rivera Chávez Con Ms=1.864 y la T empertura de estancamiento (To permanece constante a lo largo del ducto para flujo adiabático) calculamos la temperatura de salida de la boquilla Ts: To 363
To
Ts 1
Ts 214.2
k 1
2 Ms
2
A partir del flujo másico se calcula la densidad del aire a lasalida de la boquilla: m = VA
Vs Ms k R Ts
y
de donde: s
m
s 0.076 kg/m3
As Vs
Ahora, la presión a la salida de la boquilla sed puede calcular a partir de la ecuación de los gases ideales: p R T ps= 0.062R
321.6 1000
5.72 kPa
(b) Calculamos el número de Mach a la entrada de la boquilla convergente-divergente, a partir de la relación de areas A*/Ae: La relación área de la garganta entre area de salida de la boquilla de expanción esta dada por: A*/Ae =
0.397 0.5
0.794
Con este dato se puede calcular el número de Mach en la sección de salida mediante la ecuación: k 1
f ( M ) M 1
k1
2 k 1 ( M) 2 2 1
2 ( k 1)
Esta ecuación puede resolverse mediante aproximaciones sucesivas: M 0.545 0.546 0.55 M
f ( M)
0.545
0.792
0.546
0.793
f ( M )0.796
0.547
0.794
0.548
0.795
0.794 0.794
0.549
0.796
0.55
0.797
0.798
0.792
Me 0.547
0.546
0.548 M
Con el número de Mach Me=0.547 calculamos la longitud des estrangulamiento (hipotética), a partir de la ecuación: f k L D
=
k 1 2
2 ( k 1) Me 1 1 1.043 k 1 2 2 2 1 2 Me Me
ln
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Apuntes de Clase
Mecánica de Fluidos II
Emilio Rivera Chávez Con Me, calculamos la temperatura en este punto, a partir de la T o: To
Te 1
Te 342.5
k 1
2 Me
2
Para T e=342.5 K (69.5 C) se tene una viscosidad cinemática =2.137*10(-5) D 4
A
D 0.798
;
e V Me k R Te
D
5
2.137 10
Re
D V
V 202.92 6
Re 7.577 10
El coeficiente de fricción se calcula a partir del número dçreynolds y la rugosidad realtiva suando el diagrama de Moody o tambien mediante la formula de Colebrook (base del ábaco de Moody)
1 2.51 2 log f 3.7 Re f
2.51 x 3.7 Re
f ( x) 2 log f ( 1) 7.7340 f ( 7.734) 7.7199 f ( 7.7199) 7.7199
1
f
f 0.017
2
7.7199 L 0
D
L 33.965
fk
0
Ahora con L=Lo + 15 calculamos el numro de Mach a la emtrada del ducto desde el difusor: L L 15 0
F( M )
k 1 2
2 1 ( k 1) M f k L 1 = 1.442 k 1 2 2 D M 2 1 M 2
ln
M 0.501 0.502 0.508 M
F( M )
0.501
1.485
0.502
1.474
0.503
1.463
0.504
1.452
0.505
1.441
0.506
1.43
0.507
1.419
0.508
1.408
F( M ) 1.442
1.45
1.4 0.5
M1 0.505
0.505
0.51
M
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Apuntes de Clase
Mecánica de Fluidos II
Emilio Rivera Chávez PROBLEMA 2 (examen I-2006). Una mezcla de combustible-aire, con las propiedades termodinámicas de aire puro, entra en un combustor de área constante. La temperatura de estancamiento de la corriente de entrada es constante en 405 K. La fricción es despreciable. Cuando se añade calor al flujo a la relación de 1.4MJ/kg, se estrangula el flujo en la salida del ducto. En esta condición, la presión estática en la entrada es 154.6 kPa (abs.) y la presión en la salida del ducto es 65.7 kPa (abs.). Calcule (a) la temperatura de salida del combustor, (b) el número de Mach de entrada del combustor y (c) la pérdida en la presión de estancamiento a través de combustor. DEFINICIÓN DE VARIABLES PARA MHATCAD q 1400 T
01
kJ
kJ
cp 1.006
kg
405 K
p 154.6 kPa
kgK
1
k 1.4 p 65.7
R 0.287 kJ/kgK
2
kPa
RESOLUCION A partir de la segunda ley de la termodinámica se obtiene:
V 2 Q V22 h2 1 h1 h02 h01 cp(T02 T01) m 2 2 T
02
T
01
q
T
cp
02
1797 K
La temperatura de estancamiento a la salida es igual a la temperatura de estancamiento círitica porque el flujo está, segun el enunciado del problema, en condiciones de estrangulamiento, entonces la temperatura de salida se puede calcular de la siguiente manera: T T2= 1
02
( k 1)
1497 K
2
El número de Mach a la entrada, se puede calcular a partir de las condiciones críticas, (estas son constantes a lo largo de todo el conducto). To1/T o*=
405 1797
0.2254
De la tabla E .3 (Fox) para T o/To*=0.2395; se tiene M=0.226 para una mejor aproximación se puede obtener M1 directamente partir de la ecuación:
12 1
2 ( k 1) M 0.226 =
k 1 2
1 k M 2 1
2 M 1
2
se opta por un método de aproximaciones sucesivas: 2 ( k 1) ( M ) 1 2
f ( M )
k 1 ( M) 2 2
1 k ( M) 2
2
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Apuntes de Clase
Mecánica de Fluidos II
Emilio Rivera Chávez M 0.2310 0.2311 0.2320 M
f ( M) 0.226
0.2310
0.2241
0.2311
0.2243
0.2312
0.2245
f(M )
0.2313
0.2246
0.225 0.2254
0.2314
0.2248
0.2315
0.2250
0.2316
0.2251
0.2317
0.2253
0.2318
0.2255
0.2319
0.2257
0.2320
0.2258
0.224 0.231
0.2315 M
de donde podemos asumir M 0.2317 1
presión de estancamiento a la salida: M 1
k
2
p
02
p
p 1 2
02
k 1 M 2 2 2
k 1
124.365 kPa
presión de estancamiento a la entrada: M 0.2317 1
k
p
01
p 1 1
k 1 M 2 2 1
k 1
p p
01
02
160.488
p
01
kPa
36.123
kPa
67
