I.
PENDAHULUAN Geometri adalah cabang matematika yang bersangkutan dengan pertanyaan bentuk,
ukuran, posisi relative tokoh, dan sifat ruang. Menurut ahli sejarah, Herodotus (450 SM) menyatakan bahwa geometri berasal dari mesir. Ilmu geometri lahir dari tradisi pengukuran tanah di tepi sungai nil. Pengukuran tanah senantiasa dilakukan sebagai akibat banjir yang sering terjadi. Sebuah manuskrip tua orang mesir bertajuk Papyrus Rhind yang ditulis oleh Ahmes 200 SM (saat ini disimpan di museum London Inggris) menginformasikan tentang aturan-aturan dan rumus-rumus untuk mencari luas ladang dan isi gandum yang digunakan waktu itu.
Gambar 1. Herodotus Geometri muncul secara independen di sejumlah budaya awal sebagai ilmu pengetahuan praktis tentang panjang, luas, dan volume. Orang mesir juga telah mengetahui bahwa bentuk aljabar ax + b = 0 secara geometri dapat dinyatakan sebagai garis lurus. Demikian pula dengan bentuk-bentuk pangkat dua, telah mampu mereka wujudkan sebagai bentuk-bentuk seperti ellips, parabola, dan hiperbola. Dengan kemunculan pengenalan bidang koordinat (atau yang lebih dikenal dengan bidang kartesius) menandai tahap baru untuk geometri. Di dunia matematika ilmu kartesius sudah dikenal baik oleh siswa, mahasiswa, maupun yang lainnya. Awalnya koordinat kartesius ditulis hanya dalam kertas namun sekarang telah bisa menggunakan software. Namun jika ditanya kepada siswa disekolah, kebanyakan siswa tidak tahu sejarah dari sistem koordinat kartesius itu sendiri. Oleh karena itu pada makalah ini akan dibahas sejarah bagaimana proses ditemukannya koordinat kartesius dan manfaatnya pada perkembangan zaman modern.
1
II.
PEMBAHASAN Pada makalah ini akan dibahas 3 sub pokok bahsan yaitu sejarah awal ditemukannya
sistem koordinat kartesius, Tokoh penemu sistem koordinat kartesius, dan manfaat nya pada era modern
1.
Sejarah Awal Gagasan awal tentang sistem koordinat telah lama ditemukan, menurut krantz (2006,
hal.151-152) menyatakan bahwa Apollo'nius (sekitar 200 SM) membuat sistem koordinat khusus pada kerucut untuk mempelajari bagian kerucut .
(Coordinates of Apollo’nius).
Hipparchus (sekitar 150 SM) dan Marinus dari Tire (sekitar 150 M.) menggunakan versi garis lintang dan bujur untuk tujuan navigasi dan astronomi. Namun, Rene Descastes lah yang menyusun gagasan untuk menyatukan/ menggabungkan Aljabar dan Geometri dengan sistem koordinat. Descartes juga yang menciptakan gagasan untuk menggambar sebuah fungsi dengan arah horizontal digunakan sumbu x dengan x positif untuk arah ke kanan dan x negatif untuk arah ke kiri. Sedangkan arah vertikal digunakan sumbu y dengan y positif untuk arah ke atas dan y negatif untuk arah ke bawah. Istilah kartesius pada sistem koordinat ini digunakan untuk mengenangnya, dimana ia juga dikenal sebagai Renatus Cartesius dalam literature berbahasa latin (Cartesius adalah latinasi untuk Descartes) yang telah berperan besar dalam menggabungkan aljabar dan geometri. Descartes mampu menghadirkan pengetahuan matematika masa
lampau ke dalam
system koordinatnya dengan bentuk permasalahan dan penyelesaian geometri secara sistematik. 2
Kini Aljabar hadir tidak lagi sebagai bentuk bangun belaka melainkan muncul sebagai bentuk yang lengkap
dengan koordinatnya. Hasil
kerjanya sangat berpengaruh
dalam
prkembangan geometri analitik, kalkulus, dan kartografi.
2.
Tokoh Penemu sistem koordinat kartesius (Rene Descartes) Sistem koordinat kartesius pertama kali ditemukan oleh ahli matematika sekaligus filsuf
dari Perancis, Rene Descartes. Istilah kartesius pada sistem koordinat ini digunakan untuk mengenangnya, dimana ia juga dikenal sebagai Renatus Cartesius dalam literature berbahasa latin (Cartesius adalah latinasi untuk Descartes) yang telah berperan besar dalam menggabungkan aljabar dan geometri.
Gambar 2. Rene Descartes
Matematikawan Rene Descartes, yang lahir di sebuah desa La Haye Perancis pada tahun 1596, merupakan orang yang memiliki ketertarikan pada bidang geometri yang memperkenalkan suatu
alat
dalam
konsep
aljabar
yang sangat membantu
menyederhanakan dan memperkaya geometri. Descartes bersekolah di Universitas Jesuit di La Fleche dari tahun 1604- 1612, yang telah memberikan dasar-dasar matematika modern. Pada tahun 1612, dia pergi ke Paris namun kehidupan sosial disana ia anggap membosankan, dan kemudian mengasingkan ke daerah terpencil yang bernama daerah Faubourg di Perancis untuk menekuni Geometri. Dalam pandangan hidupnya, Descartes menolak untuk mempercayai segala sesuatu sampai 3
dia bisa membangun atau menemukan landasan untuk mempercayai hal itu sebagai sebuah kebenaran. Pandangan Descartes yang paling terkenal adalah “Cogito ergo sum” yang berarti “saya berfikir oleh karenanya saya ada”. Atas pandangan itu membuat ia berpikir bahwa pengetahuan yang telah ada harus di buktikan dan di kembangkan, maka ia menciptakan sistem koordinat kartesius dalam konsep aljabar yang dikembangkannya dalam geometri. Konsep dasar dari ide Descartes ini adalah menentukan posisi suatu titik pada bidang datar yang dikembangkannya pada tahun 1637 dalam dua tulisan karya Descartes, yaitu tulisan yang berjudul “Discourse on Method” yang berisi pengenalan ide baru untuk menggambarkan posisi titik atau obyek pada sebuah permukaan dengan menggunakan dua sumbu yang bertegak lurus satu sama lain dan tulisan lainnya yang berjudul “La Geometrie” dimana dalam tulisan ini ia memperdalam konsep-konsep yang telah dikembangkannya (Anglin, 1991).
Gambar 3. Cover buku Discourse on Method Descartes telah menemukan sebuah metode untuk menyajikan sebuah titik sebagai bilangan berpasangan dalam sebuah bidang datar. Bilangan-bilangan tersebut terletak pada dua garis saling tegak lurus satu sama lain dan berpotongan disebuah titik yang dinamakan Origin (0,0) biasanya di simbolkan dengan huruf kapital O(0,0). Bidang itu dinamakan bidang koordinat atau lebih dikenal sebagai bidang kartesius. Setelah abad ke-17, Rene Descartes menggunakan abjad-abjad awal alfabet, misalnya a, b, dan c untuk konstanta; dan akhir alfabet, misalnya x, y, z, dan t digunakan untuk variabel. Untuk Sistem koordinat 2 dimensi digunakan variabel x dan y. Sebagai
4
petunjuk arah horizontal digunakan sumbu x dengan x positif untuk arah ke kanan dan x negatif untuk arah ke kiri. Sedangkan arah vertikal digunakan sumbu y dengan y positif untuk arah ke atas dan y negatif untuk arah ke bawah. Posisi setiap titik ditandai dengan pasangan dua bilangan yang merupakan pasangan posisi x dan y yaitu (x , y) dan disebut koordinat. Sistem yang menentukan posisi titik pada bidang datar ini disebut sistem koordinat.
Gambar 4. Sistem koordinat Kartesius 2 dimensi Sedangkan dalam sistem koordinat kartesius 3 dimensi menggunakan variabel x, y, z. Menurut
Wikipedia, terdapat
kesepakatan
penamaan
untuk variabel. Salah satu
kesepakatan penamaan itu menyatakan bahwa x, y, dan z biasanya menyatakan tiga sistem koordinat kartesius untuk suatu titik dalam geometri Euklides.
Gambar 5. Sistem Koordinat Kartesius 3 dimensi Namun pada pengembangannya sistem koordinat kartesius 2 dimensi lebih sering 5
digunakan dan lebih dikenal. Dalam matematika, sistem koordinat kartesius digunakan untuk menentukan tiap titik dalam bidang dengan menggunakan dua bilangan yang biasa disebut koordinat x (absis) dan koordinat y (ordinat) dari titik tersebut. Karena kedua sumbu bertegak lurus satu sama lain, bidang xy terbagi menjadi empat bagian yang disebut empat kuadran. Kuadran I kedua koordinat bernilai positif (x,y), kuadran II koordinat x bernilai negatif dan koordinat y bernilai positif (-x,y), kuadran III kedua koordinat bernilai negatif (-x,-y), dan kuadran IV koordinat x bernilai positif dan koordinat y negatif (x , -y).
Gambar 6. Kuadran pada sistem koordinat kartesius
Descartes mampu menghadirkan pengetahuan matematika masa lampau ke dalam sistem koordinatnya dengan bentuk permasalahan dan
penyelesaian geometri secara sistematik.
Kini Aljabar hadir tidak lagi sebagai bentuk bangun belaka melainkan muncul sebagai bentuk yang lengkap
dengan
koordinatnya. Hasil kerjanya sangat berpengaruh dalam
perkembangan geometri analitik, kalkulus, dan kartografi. Bentuk bentuk seperti 2𝑎 , 3𝑝 + 2𝑞 , 𝑥 − 𝑦, disebut bentuk aljabar. Misalnya kita mengambil 2𝑎, 2 disebut koefisien, sedangkan a disebut variabel (peubah). Di aljabar hanya bisa diselesaikan dengan penyederhanaan namun berkat adanya sistem koordinat kartesius kita bisa menggambar lengkap dengan koordinatnya. Misalnya : 3𝑦 − 2𝑦 + 5𝑥 − 6𝑥 − 8 + 7 = 0 Secara aljabar bentuk itu bisa diselesaikan dengan bentuk 𝑦 − 𝑥 − 1 = 0 atau bentuk 6
𝑦 = 𝑥 + 1 tetapi tidak dilengkapi dengan grafiknya. Namun secara penyelesaian geometri, bentuk tersebut bisa digambar lengkap dengan koordinatnya seperti gambar berikut.
Gambar 7. Grafik persamaan y = 2x + 1
3.
Manfaat Sistem Koordinat Kartesius Sistem koordinat kartesius juga dapat digunakan pada kehidupan. Misalnya pada
pelajaran ilmu-ilmu sosial, ada pembahasan tentang peta suatu provinsi atau bahkan peta Negara. Letak suatu kota, gunung, danau, pulau dapat dianggap sebagai kedudukan. Untuk memudahkan pembacaan peta, peta sering dilengkapi dengan garis bantu yang mendatar dan tegak lurus atau garis lintang dan garis bujur. Dasar pembuatan garis tersebut merupakan dasar dari bidang koordinat. Seperti peta propinsi aceh berikut
7
Gambar 8. Peta Propinsi Aceh Dengan bantuan bidang koordinat, maka kita bisa mengetahui letak kota berdasarkan koordinatnya. Seperti terlihat pada gambar, misalnya kota Janto terletak pada koordinat (4,N) ; kota Langsa terletak pada koordinat (12,K) dan kota Meulaboh terletak pada koordinat (5,J). Jika kita memperhatikan sebuah peta, kita akan melihat garis-garis membujur (menurun) dan melintang (mendatar) yang akan membantu kita untuk menentukan posisi suatu tempat di muka bumi. Garis-garis koordinat tersebut memiliki ukuran (dalam bentuk angka) yang dibuat berdasarkan kesepakatan. Perpotongan antara garis bujur dan garis lintang yang disebut dengan koordinat peta. Saat ini terdapat teknologi yang memanfaatkan sistem koordinat kartesius yaitu GPS dan Google Earth. Global Positioning System (GPS) adalah sistem navigasi berbasis satelit yang dibuat dari sebuah jaringan 24 satelit yang ditempatkan pada orbitnya oleh Departemen Pertahanan Amerika Serikat. GPS pada awalnya ditujukan untuk aplikasi militer, tetapi pada tahun 1980-an, pemerintah Amerika membuat sistem GPS untuk penggunaan sipil. GPS bisa
8
bekerja dalam kondisi cuaca apapun, di manapun diseluruh dunia, dan 24 jam sehari. Cara Kerja GPS adalah Satelit GPS mengelilingi bumi dua kali sehari pada orbit yang sangat tepat dan mengirimkan sinyal informasi ke bumi. Receiver GPS mengambil informasi ini dan menggunakan triangulasi untuk menghitung lokasi yang tepat dimana user berada. Pada dasarnya, receiver GPS membandingkan waktu saat sinyal ditransmisikan oleh satelit dengan waktu saat sinyal tersebut diterima receiver. Perbedaan waktu itu memberitahu receiver GPS seberapa jauh jarak satelit tersebut. Kemudian, dengan pengukuran jarak dari beberapa satelit lagi, receiver dapat menentukan dimana posisi user dan menampilkannya pada peta digital. Sebuah receiver GPS setidaknya harus terkunci ke sinyal dari tiga satelit untuk menghitung posisi 2D (garis lintang dan bujur) dan melacak pergerakan (tracking). Dengan terkunci ke sinyal dari empat satelit atau lebih, receiver GPS dapat menentukan posisi 3D (lintang, bujur, dan ketinggian). Setelah posisi user ditentukan, perangkat GPS dapat menghitung informasi lainnya, seperti kecepatan, jalur, jarak perjalanan, jarak ke tujuan, waktu matahari terbit dan terbenam, dan masih banyak lagi.
Gambar 9. Cara kerja GPS Google earth (atau Google Map) merupakan salah satu aplikasi berbasis citra satelit yang dapat digunakan untuk mengetahui posisi, titik koordinat Bumi, dan arah kiblat. Penggunaan aplikasi ini dapat digunakan ketika
terhubung
dengan
internet sehingga
pencarian mudah dilakukan. Google earth dirancang dengan pemetaan Bumi yang dibangun dengan mengandalkan beberapa macam data. Program ini bekerja dengan memetakan Bumi dari super imposisi gambar yang dikumpulkan dari pemetaan satelit, fotografi udara, dan globe GIS 3D. Google earth ini awalnya dikenal earth viewer, google earth dikembangkan oleh Keyhole. Inc sebelum diambil oleh google pada tahun 2004 kemudian ganti nama menjadi google earth pada tahun 2005. Hingga saat ini mampu digunakan oleh
9
masyarakat umum melalui komputer personal yang berbasis windows. Untuk sistem kerja google earth ini sangat sederhana yaitu membuat pemetaan Bumi dari superimposisi gambar yang dikumpulkan dari pemetaan satelit, foto udara dan globe GIS 3D. Selanjutnya diolah oleh google sehingga kita dapat menemukan tempat yang dicari dengan mudah. GPS dan Google Earth mempunyai kemiripan. Diantaranya yaitu keduanya samasama dapat digunakan untuk mengetahui titik koordinat suatu tempat. Namun aplikasi GPS misalnya GPS android jika geser sedikit saja maka titik koordinat Bumi yang ditampilkan dapat berubah dikarenakan sinyal yang berubah-ubah. Sedangkan google earth sangat bergantung pada sinyal atau koneksi dengan internet. Jika tidak tersambung dengan internet maka aplikasi tersebut tidak bisa beroperasi. Selain itu aplikasi google earth tidak bisa menampilkan titik koordinat tepat pada posisi pengamat berdiri dan tidak bisa dibawa kemana-mana.
III. PENUTUP Sistem koordinat kartesius yang ditemukan oleh Rene Decartes dan ditulis dalam bukunya pada tahun 1967, sampai sekarang masih digunakan dalam pelajaran matematika disekolah. Selain itu penemuan sistem koordinat kartesius ini menjadi titik awal dari perkembangan geometri analitik, Kalkulus (Newton), dan kortografi. Manfaat koordinat kartesius pada era modern yaitu dikembangkan nya aplikasi untuk mencari letak suatu tempat, sesorang bahkan cuaca seperti GPS dan Google Earth (Google Map). Pernahkah anda berpikir teknologi seperti apa yang memanfaatkan sistem koordinat kartesius yang akan muncul di masa depan? Mari kita membayangkan kita berada di tahun 2100 tepatnya 83 tahun kedepan. Mungkin akan ada teknologi yang sangat canggih. Mungkin akan ada aplikasi yang sekali klik akan muncul peta berupa hologram, kemudian jika kita mencari posisi sebuah tempat cukup dengan menyebutkan nama tempat tersebut sehingga seolah-olah kita berada di tempat itu dengan gambar posisi tersebut yang seperti nyata dengan update gambar terbaru. teknologi secanggih apapun yang akan diciptakan dimasa depan dapat berguna bagi manusia, dan dapat dimanfaatkan sebaik-baiknya oleh manusia.
10
DAFTAR RUJUKAN Anglin, W.S. (1991). Mathematics: A Concise History and Philosophy. [Ebook online] Elzaffa. (2014). Studi Komparasi GPS Android dan Google Earth dalam Penetuan Koordinat Tempat. [Online]. Diakses di https://goresankataku.wordpress.com/2014/04/09/studi-komparasi-gps-android-dangoogle-earth-dalam-penentuan-koordinat-tempat/ Heryanto, A. (2010). Kamus Penemu. [Online]. Diakses di http://icl.googleusercontent.com/?lite_url=http://kamuspenemu.blogspot.co m/2010/03/ilmuukur-koordinat.html?m%3D1&ei=C8MoH5aa&lc=id-ID&s=1 Krantz, S.G. (2006). An Episodic History of Mathematics. [Ebook online] Mahsetyo, G. (2008). Pembelajaran Matematika SD. Jakarta: Universitas Terbuka Jakarta Maschurroh, M. (2012) Tugas Matematika 3: Sistem Koordinat. [Online]. Diakses di http://kumpulan-tugasperkuliahan.blogspot.com/2012/03/tugas-matematika- 3-sistemkoordinat.html?m=1 [5 Juni 2015] Muhammad, M. (2014). Apa itu Koordinat Kartesius. [Online]. Diakses di https://mahinmuhammad.wordpress.com/2014/12/30/apa-itu-koordinatkartesius/&ei=oWCbM_Wy&lc=id-ID&s=1 Murnie, T. (2013). Sejarah Sistem Koordinat. [Online]. Diakses di http://titimurnie.blogspot.com/2013/03/sejarah-sistem-koordinat.html Rahayu, E. (2015). Apa itu GPS dan Cara Kerjanya. [Online]. Diakses di http://www.ekorahayu.com/apa-itu-gps-dan-cara-kerjanya.html Widyaningsih, R. (2012). Sistem Koordinat. Online]. Diakses di http://rismawidyan.blogspot.com/2012/04/sistem-koordinat.html?m=1
11
