TADI – Tratamento e Análise de Dados/Informações Prof. Camilo Rodrigues Neto Aula 13 - Exercícios
Aula 13 – Exercícios
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Exemplo 1 Suponha que parafusos a serem utilizados em tomadas elétricas são embaladas em caixas rotuladas como contendo 100 unidades. Em uma construção, 10 caixas de um lote tiveram o número de parafusos contados, fornecendo os valores 98, 102, 100, 100, 99, 97, 96, 95, 99 e 100. Calcule as medidas resumo de posição (média, mediana e moda) para o número de parafusos por caixa.
Resposta: média = 98,6; mediana = Md = 99 e moda = Mo = 100 3 Aula 13 – Exercícios
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Exemplo 2 Nas caixas de parafusos do exemplo anterior, admita um custo de “c” reais por parafuso e de “e” reais pela caixa. Calcule as medidas de posição do custo líquido por caixa “L”, definido como o custo dos parafusos por caixa, e do custo total por caixa “T”, definido como a soma dos custos dos parafusos por caixa e da embalagem. Dica: neste exercício, utilizar a propriedade de que uma transformação linear de variável observada x também transforma linearmente suas medidas de posição.
R: média(L) = 98,6 c ; Md(L) = 99 c e Mo(L) = 100 c média(T) = 98,6 c + e; Md(T) = 99 c + e e Mo(T) = 100 c + e 4 Aula 13 – Exercícios
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Exemplo 3 Foram coletadas 150 observações da variável x, representando o número de vestibulares FUVEST prestados por um aluno até passar. A tabela de freqüências para x é a seguinte:
xi
1
2
3
4
ni 75 47 21 7
150
Calcule as medidas de posição da variável x e da variável despesa com o vestibular, definida como d=50x+1300, onde 50 é o custo com a inscrição por vestibular e
1300 o custo com a preparação para o vestibular, assumida ser realizada uma única vez. R: média(x) = 1,73; Md(x) = 1,5 e Mo(x) = 1 média(d) = 1386,5; Md(d) = 1375 e Mo(d) = 1350
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Exemplo 4 Considere uma variável x com tabela de freqüências relativas dada por:
xi
2
5
8
15
20
pi 0,1 0,3 0,2 0,2 0,2
1
Para uma nova variável y=5x-10, obter a tabela de freqüências
relativas e as medidas resumo de posição.
R:
yi
0
15
30
65 90
pi 0,1 0,3 0,2 0,2 0,2
1
média(y) = 41,5; Md(y) = 30 e Mo(y) = 15 6 Aula 13 – Exercícios
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Exemplo 5 Numa classe com 12 alunos de um curso de inglês, os alunos indicaram o número de outras línguas (além de português e inglês) com que tinham alguma familiaridade. O resultado foi o seguinte: 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2 e 4. Obtenha as medidas resumo de posição e dispersão (variância e desvio padrão).
R: x = número de línguas com que o aluno declara-se familiar média(x) = 1,08; Md(x) = 1 e Mo(x) = 1 variância do conjunto de dados = var(x) = 1,2431; dp(x) = 1,1149 15 Aula 13 – Exercícios
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Exemplo 6 Para o exemplo 1, obtenha as medidas resumo de dispersão.
R: variância do conjunto de dados = var(x) = 4,04; dp(x) = 2,01
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Exemplo 7 Para o exemplo 3, obtenha as medidas resumo de dispersão para x, y=50x e d=50x+1300. Qual a relação entre suas variâncias?
R: variância do conjunto de dados = var(x) = 0,767; dp(x) = 0,876 var(y) = 1917,5; dp(y) = 43,8 var(d) = 1917,5; dp(d) = 43,8 É importante notar neste exercício que a variância de y e de d ficam multiplicados por 50^2 e o desvio padrão de y e de d ficam multiplicados por 50. Assim, enquanto as medidas de posição de y e de d ficam dadas pela transformação linear da média, mediana e moda de x, as medidas de dispersão dp(y) e dp(d) ficam dadas apenas pelo termo multiplicativo da transformação linear (o coeficiente angular), isto é, 50.dp(x). 19 Aula 13 – Exercícios
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Exercício 3 Estamos estudando o impacto do estágio na obtenção de bons empregos. Dentre os recém formados e com empregos considerados bons, foi sorteada uma amostra e observado o número de anos de estágio anteriores à formatura. (a) Calcule a media e a variância; (b) Para efeito de análise, decidiu-se desprezar os valores que se distanciassem da média amostral por mais de dois desvios padrão (outliers), isto é, só serão considerados os valores no intervalo MÉDIA – 2 DESVIOS PADRÃO até MÉDIA + 2 DESVIOS PADRÃO. Recalcule (a) e comente os resultados. Anos de estágio Freqüência
0
1
2
3
4
5
6
Total
25
58
147
105
72
45
10
462
R: (a) média = 2,68; var(x) = 1,9691; d.p. = 1,40 (b) recalcular a média e var(x) excluindo anos = 6
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Exercício 4 O Centro Acadêmico de uma faculdade pretende iniciar uma campanha junto à direção da escola com vistas a melhoria das salas de informática. Para tal, fez uma enquete com todos os alunos e perguntou sobre o número de computadores que cada um tinha em sua residência.
Computadores Freqüência
0
1
2
3
4
Total
156
135
47
25
8
371
(a) Calcule a média e a variância do conjunto de dados. (b) O centro acadêmico argumenta que o ideal é ter uma média de 1 computador por aluno, juntando os 20 da sala de informática da faculdade com os que os alunos têm em casa. Quantos computadores precisariam ser acrescentados À sala para atender o Centro Acadêmico ?
R: (a) média = 0,91; var = 0,994 (b) # de alunos = 371; # de comp. dos alunos = 336; # de comp. na sala = 20 + b, onde b é o # de comp. que devem ser comprados; # total de comp. = 336 + 20 + b; calcular b para que a média seja 1, o que resulta em b = 15 Aula 13 – Exercícios
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Exercício 5 As notas finais de uma prova do curso de TADI foram: 7,5,4,5,6,3,8,4,5,4,6,4,5,6,4,6,6,3,8,4,5,4,5,5, e 6
Separe os dados em dois grupos, os aprovados (>=5) e os reprovados. a) Organize os dados, calcule a média, a mediana e a moda dos dois grupos; b) Compare o desvio padrão do conjunto de dados dos dois grupos.
R: a) média = 5,12; d.p. = 1,706; b) média = 3,78 e 5,88;
dp = 0,4157 e 0,9922
O desvio padrão do conjunto de dados foi maior para o grupo aprovado pois a
dispersão das notas é maior neste grupo. 25 Aula 13 – Exercícios
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