2013
KALKULUS INTEGRAL PENDAHULUAN A.
DESKRIPSI MATA KULIAH Isi pokok mata kuliah ini memuat pemahaman tentang: (1) Anti turunan: pengertian anti turunan, teorema-teorema, dan teknik anti turunan, (2) Integral tertentu: jumlah Riemann, teorema-teorema integral tertentu, dan teorema dasar kalkulus, (3) Aplikasi Integral tertentu: luas bidang, volum benda putar, panjang busur kurva, luas permukaan benda putar, usaha, dan pusat massa, (4) Fungsi logaritma, fungsi eksponen, dan fungsi hiperbolik, dan (5) Teknik pengintegralan.
B.
PERENCANAAN PEMBELAJARAN 1. Nama Mata Kuliah
: Kalkulus II
2. Kode / sks
: MAT 38/2 sks
3. Semester
: II (genap)
4. Tujuan Pembelajaran Setelah menyelesaikan mata kuliah ini diharapkan mahasiswa dapat menjelaskan dan mengaplikasikan konsep anti turunan, integral tak tentu, integral tertentu, aplikasi integral tertentu, fungsi logaritma, fungsi eksponen, dan fungsi hiperbolik serta integral fungsi trigonometri dan integral fungsi rasional. 5. Outcome Pembelajaran a. Mahasiswa memahami anti turunan dan integral tak tentu. b. Mahasiswa memahami penggunaan teorema dan rumus teknis integral. c. Mahasiswa memahami notasi sigma, induksi matematika, dan jumlah Riemann d. Mahasiswa dapat menghitung integral terntentu dengan limit jumlah Riemann. e. Mahasiswa dapat membuktikan beberapa teorema integral tertentu. f. Mahasiswa dapat menjelaskan teorema dasar Kalkulus integral. g. Mahasiswa dapat menghitung integral tertentu berdasarkan teorema-teorema dasar kalkulus. h. Mahasiswa dapat menghitung luas daerah dan volum benda putar. i.
Mahasiswa dapat menghitung panjang busur suatu kurva dan luas permukaan benda putar.
j.
Mahasiswa dapat menentukan integral parsial dan fungsi trigonometri
k. Mahasiswa dapat menentukan integral bentuk pecahan dalam sinus dan cosinus. l.
Mahasiswa dapat menentukan integral fungsi rasional.
1
2013
KALKULUS INTEGRAL 6. Jumlah Jam dan Pembagiannya No 1 2 3 4
5 6 7 8 9 10
Jenis Kegiatan
Cacah Kegiatan Pengantar Kuliah Kalkulus II: Menjelaskan pengertian 1 kali anti turunan dan menjelaskan penghitungan integral tak tentu yang sederhana. ( minggu ke 1) Menjelaskan bentuk-bentuk Integral (Integral 1 kali Trigonometri dan Integral Substitusi) ( minggu ke 2 ) Menjelaskan Integral pecah rasional. 2 kali ( minggu ke 3 dan 4 ) Menjelaskan pengertian tertentu sebagai limit jumlah 1 kali Riemann Menjelaskan dan membuktian teorema-teorema integral tertentu Menjelaskan teorema dasar Kalkulus 1 dan 2 (minggu ke 5) Menjelaskan luas daerah bidang datar dan volum benda 1 kali putar ( minggu ke 6 ) Menjelaskan panjang busur kurva dan luas permukaan 1 kali bidang benda putar. (minggu ke-7) Ujian Tengah Semester (minggu ke 8) 1 kali
Jumlah Jam 2 jam
Menjelaskan teorema fundamental Integral dan 2 kali pembuktiannya. (minggu ke 9 dan 10) Menjelaskan integral parsial yang melibatkan fungsi 1 kali transenden. (minggu ke 11) 2kali 2 2 Menjelaskan integral yang memuat bentuk x a ,
3 jam
2 jam 4 jam 2 jam
2 jam 2 jam 2 jam
2 jam 3 jam
x 2 a 2 dan a 2 x 2
11 12
Menjelaskan integral yang memuat bentuk n p( x) , dengan p(x) suku banyak. Menjelaskan integral bentuk pecahan dalam sinus dan cosinus. (minggu ke-12 dan 13) Menjelaskan integral fungsi rasional 2 kali Memberikan contoh dan latihan soal. (minggu ke-14 dan 15) Ujian Akhir Semester (minggu ke 16) 1 kali
3 jam 2 jam
7. Bahan, Sumber Informasi dan Referensi a. Purcell, E.J. & Varberg, D. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis. (Diterjemahkan oleh I Nyoman, Bana Kartasasmita, dan Rawuh). Jilid 1. Jakarta: Penerbit erlangga. b. Jasman, Pardede.2010. Kalkulus I. Jakarta : Erlangga 2
2013
KALKULUS INTEGRAL
C.
c.
Frank Ayres, Differential and Integral Calculus 2/ed, Company, NewYork, 1978
McGraw-Hill Book
d.
Leithold, L ., 1981, The Calculus with Analitic Geometry, 3th . Harper International Edition, Harper and Row, Publishers, New York, Hagerstown, San Francisco, London.
PENILAIAN Prosentase penilaian masing-masing adalah sebagai berikut : No.
Komponen penilaian
Prosentase
1.
Quiz ( 4 kali)
10 %
2.
Ujian Mid Semester
20 %
3.
Ujian Akhir Semester
20 %
4.
Tugas ( 2 kali )
20 %
5
Presensi
15 %
6
Keaktifan
15 %
PERTEMUAN I 3
2013
KALKULUS INTEGRAL INTEGRAL A.
DEFINISI ANTI TURUNAN (INTEGRAL TAK TENTU)
Anti turunan merupakan kebalikan (invers) dari suatu turunan. Seperti didefinisikan pada definisi 1 berikut
Kita sebut F suatu anti turunan dari pada selang I jika pada I, yakni jika ( ) ( ) untuk semua x dalam I. Jika x suatu titik ujung dari I, ( ) hanya perlu berupa turunan satu sisi. Sebagai contoh : Misalkan suatu fungsi maka apabila diturunkan menjadi . Hasil dari turunan tersebut, apabila dikembalikan ke fungsi semula sering disebut anti derivatif (turunan). Teorema 1. Aturan Pangkat 𝒓
∫ 𝒙 𝒅𝒙
𝒙𝒓 𝟏 𝒓 𝟏
𝑪
Dimana Contoh : 1. ∫ Penyelesaian : ∫
2. Carilah anti turunan dari ∫ Penyelesaian : ∫
4
2013
KALKULUS INTEGRAL
Teorema 2. Anti-turunan Sinus-Kosinus ∫
∫
Teorema 3. Kelinieran dari integral Misalkan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan andaikan k suatu konstanta. Maka
∫
∫, ( )
( )-
∫ ( )
∫ ( )
∫, ( )
( )-
∫ ( )
∫ ( )
( )
∫ ( )
∫
∫ ∫ (
RUMUS-RUMUS INTEGRAL 1. ∫ 2. ∫ 3. ∫ 4. ∫ 5. ∫ Misal :
∫
∫
∫
∫
Dimana C merupakan konstanta integrasi. SOLVED PROBLEMS
1. Find the following antiderivatives a. ∫(
)
b. ∫ √ 5
)
∫
∫
2013
KALKULUS INTEGRAL c. ∫( d. ∫(
) )√
e. ∫ 2. Find an equation of the curve passing through the point (2, 3) and having slope at each point (x, y). The slope is given by the derivative. B. TEKNIK PENGINTEGRALAN TAK TENTU 1. PENGINTEGRALAN FUNGSI TRIGONOMETRI Sebelum membahas mengenai teknik pengintegralan khususnya yang berkaitan dengan fungsi trigonometri, anda harus mengingat terlebih dahulu aturan-aturan dalam trigonometri dan sifat-sifat fungsi trigonometri a.
𝑥
b.
𝑥
(
𝑥)
c.
𝑥
(
𝑥)
d. e. f.
𝑥 ta 𝑥
g. h.
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥 e 𝑥
𝑥
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥
Aturan integral tak tentu fungsi trigonometri a.
sin x dx
= -cos x + C
b.
cos x dx
= sin x + C
c.
tan x dx
= ln sec x C = -ln cos x C
d.
cot
x dx = - ln csc x C = ln sin x C
e.
sec x dx
= ln sec x tan x C
f.
csc x dx
= ln csc x cot x C 6
2013
KALKULUS INTEGRAL g. ∫ ta h. ∫ i.
∫
j.
∫
e
e
t
Contoh 1: Tentukan integral tak tentu ∫((
)
)
Penyelesaian : ∫(
)
)
=∫(
)
∫
= Contoh 2: Tentukan integral tak tentu ∫(
)
Penyelesaian : Perhatikan : (
)
Sehingga : ∫(
) ∫
∫(
)
∫ (
)
Berdasarkan bentuk di atas selanjutnya diberikan beberapa kasus bentuk integral fungsi trigonometri yang dibahas pada bagian ini, diantaranya adalah: 7
2013
KALKULUS INTEGRAL
sin
a.
m
xdx, dan cos m xdx dengan m bilangan ganjil atau genap positip
Jika m bulat positip dan ganjil, maka m diubah menjadi (m-1) + 1, atau m digenapkan terdekat. Selanjutnya substitusi dengan menggunakan kesamaan identitas sin 2 x cos 2 x 1 atau sin 2 x = 1 - cos 2 x atau cos 2 x = 1 - sin 2 x . Akhirnya dengan substitusi tersebut didapat kesamaan antara integran dengan tanda integrasinya, sehingga dengan mudah dapat diselesaikan. Contoh : ∫
Penyelesaian : ∫ ∫ ∫(
)
∫(
)(
)
∫(
)(
∫(
) (
∫
∫
) )) ∫
(
)
Ingat :
atau
8
2013
KALKULUS INTEGRAL b.
Bentuk cos m xdx , sin m x dx , jika m bilangan bulat positip genap,
Contoh: 1. sin 2 xdx Karena pangkatnya genap, digunakan kesamaan setengah sudut, maka
sin
2
xdx
1 cos 2 x 1 1 dx ( cos 2 x)dx 2 2 2
=
=
2 dx 2 cos 2 xdx
=
x sin 2 x C 2 4
1
1
2. cos 4 xdx Jawab
cos
4
xdx = (cos 2 x) 2 dx
1 1 1 cos 2 x 2 = dx ( cos 2 x) dx 2 2 2 2
Sifat : (
) 2 1 cos 2 x 1 cos 2 x)dx = ( 4 2 4
1
cos 2 x 1 dx cos 2 2 xdx 2 4
=
4 dx
=
x sin 2 x 1 (1 cos 4 x) dx + 4 4 4 2 .∫ .
3.
sin
4
/
∫ /
=
x sin 2 x x sin 4 x C 4 4 8 32
=
3x sin 2 x sin 4 x C 8 4 32
2 xdx
9
2013
KALKULUS INTEGRAL
Misal u = 2x , du = 2dx atau dx =
sin
4
= sin u 4
2 xdx
du , sehingga 2
du 2
=
1 1 cos 2u du 2 2
=
1 1 (1 2 cos 2u cos 2 2u )du 2 4
=
8 du 4 cos 2udu 8 cos
=
8 du 4 cos 2udu 8
2
= =
1
1
1
1
1
1 1 cos 4u du 2
1
1
1
2
2udu
1
8 du 4 cos 2udu 16 du 16 cos 4udu 1 1 1 1 u sin 2u u sin 4u C 8 8 16 64
Karena u = 2x, maka
sin
4
2 xdx =
1 1 1 1 (2 x) sin 2(2 x) (2 x) sin 4(2 x) C 8 8 16 64
TUGAS 1. Selesaikan integral tak tentu di bawah ini )
a. ∫ .(
/
√
b. ∫ √ c. ∫ d. ∫( e. ∫ (
) √(
) )
2. Buktikan ∫ ta
e
3. Selesaikan integral tak tentu berikut : ∫
10
2013
KALKULUS INTEGRAL
Hint :
(
*
)
(
)+
Tugas di kumpulkan dan presensi sesuai jam kuliah 2. INTEGRAL DENGAN MENGGUNAKAN SUBSTITUSI a. METODE SUBSTITUSI FUNGSI ALJABAR Metode substitusi
sering kali dinamakan dengan metode mengganti
bukan menghilangkan. Suatu bentuk integral tidak semuanya dapat diselesaikan dengan metode substitusi, dengan kata lain suatu bentuk integral dapat di selesaikan dengan cara/metode yang bersifat coba-coba. Diberikan fungsi mempunyai invers
terdefinisi pada [ a,b] dan fungsi . Jika
masing-masing pada interval , ∫ ( )
)(
- serta
∫ ( ( )) ( )
)
(
Maka : )(
)
=∫√
=∫
= = (
-
- dan ,
Langkahnya :
∫ √(
,
mempunyai derivatif dan kontinu
Penyelesaian :
Misal:
-
dan
Contoh : 1. ∫ √(
,
)
11
)
kontinu pada ,
-, maka :
2013
KALKULUS INTEGRAL
2. ∫ Penyelesaian : Misal ∫ ∫ ∫
∫
(
3. ∫
)
∫
∫ ∫
(diteruskan sebagai tugas mahasiswa)
Contoh lain : Buktikan ∫ ta
e
Penyelesaian : ∫ ta
Misal
∫
Maka : ∫ ta ∫ ∫ ∫
12
2013
KALKULUS INTEGRAL
Ingat : sifat
e e
Tugas di rumah : 1. Selesaikan integral di bawah ini : (
∫
)
2. Selesaikan integral fungsi trigonometri berikut: a. ∫(
)
(
)
b. ∫ Ujian Sisipan 1. Selesaikan integral tak tentu berikut integral a. ∫ b. ∫ 2. Hitunglah integral tak tentu berikut ∫
b. INTEGRAL PECAH RASIONAL Di berikan persamaan ( ) dan
, dengan
. Selanjutnya P(x) disebut Polinomial berderajat n. Di
berikan polinomial-polinomial P(x) dan Q(x) dengan berderakat masing-masing adalah m dan n, maka
( ) ( )
disebut Pecah Rasional
Bentuk umumnya dapat diberikan sebagai H ( x)
P( x) , dimana P(x) Q( x )
adalah numerator, sedangkan Q(x) adalah denumerator. Jika P(x) > Q(x) maka P(x) harus dibagi Q(x) terlebih dahulu. Integral dengan bentuk rasional ini terdiri dari beberapa kasus, yang masing-masing akan dibahas dibawah ini. Jika pangkat P(x) lebih rendah dari pangkat Q(x), maka P(x) disebut PROPER dan
13
2013
KALKULUS INTEGRAL
sebaliknya P(x) disebut IMPROPER. Bentuk pecahan rasional yang improper dapat dinyatakan sebagai jumlahan dari polinomial dan suatu pecahan rasional yang proper. 1. Kasus 1 : Apabila faktor Q(x)=0 semuanya linier dan berbeda. ( ) Maka
( ( ) ( )
)(
)
(
) dengan
real dan berbeda.
dapat dinyatakan sebagai berikut :
An P( x) A1 A2 ..... Q( x) x x1 x x2 x xn
,
dengan
A1, A2 ,..., An R
konstanta-
konstanta yang akan dicari. Contoh 1.
: .......
∫
Penyelesaian : ( )
(
)(
)
Jadi Q(x) mempunyai dua akar real yang berbeda. Sehingga di peroleh : ( ) ( )
(
)
(
)
Sehingga diperoleh : (
)
(
)
.......(1)
......(2)
Dari persamaan (1) dan (2) dengan metode eliminasi didapat dan Jadi
14
2013
KALKULUS INTEGRAL
∫
∫
2.
.
∫(
∫
/
)
. /
......
∫ Penyelesaian :
x 1 = x x2 2x
x 1 x( x 2)( x 1)
x 1 = x x2 2x
A B C x ( x 2) x 1
3
3
x 1
=
A( x 2)( x 1) B( x)( x 1) C( x)( x 2) =
A( x 2 x 2) B( x 2 x) C ( x 2 2 x)
=
x 2 ( A B C ) ( B A 2C ) x (2 A)
A BC 0 B 2C A 1 2 A 1 1 A 2
1 BC 0 2 1 B 2C 1 2
BC
1 2
B 2C
3 2
3C C
15
=
4 2
=
4 6
2013
KALKULUS INTEGRAL
=
2 3
1 2 B 0 2 3
B
Jadi
=
2 1 3 2
=
43 6
=
1 6 x 1
x( x 2)( x 1) dx
=
1 2 6 dx 3 dx 2 dx x x2 x 1
1
=
1 1 2 ln x ln x 2 ln x 1 c 2 6 3
=
1 cx 3 ( x 2) ln 6 ( x 1) 4
Latihan : 1. Tentukan ∫ 2. Tentukan ∫ 3. Tentukan ∫
2. Kasus 2 : Jika ( ) mempunyai akar riil dan ada yang sama. Maksudnya semua faktor dari penyebut linier, tetapi ada beberapa yang sama (berulang). 16
2013
KALKULUS INTEGRAL ( )
(
) (
)
(
) dengan
real. Maka
dapat dinyatakan sebagai berikut : Ap P ( x) A1 A2 ..... Q( x) x x1 ( x x1 ) 2 ( x x1 ) p Bq B1 B2 ..... ..... ( x x 2 ) ( x x2 ) 2 ( x x2 ) q C1 C2 Cr ..... 2 ( x xt ) ( x xt ) ( x xt ) r
Dengan
konstanta-konstanta yang akan dicari,
Contoh : 1.
∫(
)(
.....
)
Penyelesaian : ( )
(
)(
)
(
)(
)
Jadi Q(x) mempunyai tiga akar real dan ada yang sama. Sehingga di peroleh : ( ) ( )
(
)( (
)
(
)(
( (
)( )
carilah nilai 2. ∫ (
)(
(
)
)
)
(
)
)(
)
(
) (
)
?
)
Penyelesaian :
x
x 2
x3-1
1 dx ( x 2) 3 3
=
A
x
2
B C D E 3 2 x ( x 2) ( x 2) ( x 2)
= A( x 2)3 Bx( x 2)3 Cx 2 Dx2 ( x 2) Ex 2 ( x 2) 2
17
( ) ( )
2013
KALKULUS INTEGRAL = ( B E) x 4 ( A 6B D 4E) x 3
x3-1
= (6 A 12B C 2D 4E) x 2 (12 A 8B) x 8 A
A
1 ; 8 x3 1
x x 2
3
2
B
3 16
C
;
7 4
5 4
D
;
E
;
3 16
=
dx
1 dx 3 dx 7 dx 5 dx 3 dx 3 2 2 8 x 16 x 4 x 2 4 ( x 2) 16 ( x 2)
=
1 3 (7) 5 3 ln x ln x 2 c 2 8 x 16 8( x 2) 4x 2 16
3. Kasus 3 : Jika tidak semua akar riil dan yang tidak riil semuanya berbeda. Artinya penyebut dapat di faktorkan dalam bentuk kombinasi linier dengan kuadrat. Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan parsial ( ) ( )
(
)
Berdasarkan jumlah tersebut dapat ditentukan A,B, dan C
Contoh :
1. ∫ (
)(
)
Penyelesaian :
∫(
)(
)
=∫ ( =∫ =∫
Di peroleh :
18
∫
) ) (
( ( (
) (
)( )( (
) ) )
)(
( )
)
2013
KALKULUS INTEGRAL , (
)
)
=∫
(
)
atau
sehingga:
∫(
)(
=∫
∫
∫
∫
= 2. Selesaikan integral ∫
(
)(
)
Penyelesaian : (sebagai latihan mahasiswa) Latihan : Tentukan :
a. ∫ b. ∫
(
)
4. Kasus 4 : Jika tidak semua akar riil dan akar yang tidak riil ada yang sama. Maksudnya untuk faktor kuadratis dengan bentuk yang berulang n kali dalam penyebut pada pecahan rasional yang proper, ditulis sebagai jumlahan dari n pecahan parsiil dalam bentuk : (
)
(
Dimana A1 dan B1 konstanta yang harus di cari Contoh : ∫
(
Penyelesaian : 19
) )
)
2013
KALKULUS INTEGRAL Latihan : Tentukan ∫
(
) (
)
Penyelesaian :
(
) (
=
)
(
)
(
)
(teruskan sebagai latihan mahasiswa)
c. INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSI FUNGSI TRIGONOMETRI Teknik substitusi fungsi trigonometri digunakan untuk menyelesaikan integral jika integrannya memuat bentuk-bentuk: 1.
a 2 x 2 , a > 0, a Real
2.
x2 a2 =
3.
x 2 a 2 , a > 0, a Real
a 2 x 2 , a > 0, a Real
atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas, misalnya 2
a b x = 2
2 2
a 2 x b
2
a b x = 2
2
a 2 x b
2
a x b = 2 2
2
b x atau a 2
ax 2 bx c yang dapat diubah menjadi bentuk
kuadrat sempurna.
20
2013
KALKULUS INTEGRAL a 2 x 2 atau sejenisnya, Gunakan substitusi
Integrannya memuat
x = a sin t atau sin t =
x a
a x
x = a sin t dx = a cos t dt
t dengan -
t
2
a2 x2 =
=
2
a2 x2
sehingga,
a 2 (a sin t )2
a 2 (1 sin 2 t )
= a cos t Catatan Gambar segitiga siku-siku di atas yang masing-masing sisinya diketahui berguna untuk menentukan nilai fungsi trigonometri yang lain, yaitu cos t, tan t, cot t, sec t, dan csc t. Hal ini dikarenakan sangat mungkin hasil dari pengintegralan adalah fungsi-fungsi tersebut. Contoh: Tentukan hasil pengintegralan berikut ini: 1.
4 x 2 dx
Jawab Substitusi x = 2 sin t
x sin t =
x 2
2 t 4 x2
dx = 2 cos t dt
21
2013
KALKULUS INTEGRAL 4 x2 =
4 4 sin 2 t 2 cos t
Sehingga
4 x 2 dx = 2 cos t.2 cos tdt = 4 cos t cos tdt = 4 cos 2 tdt = 4
(1 cos 2t ) dt 2
= 2 dt + 2 cos 2t dt = 2t + sin 2t + C = 2t + 2 sin t cos t 2 x x 4 x = 2 arc sin +C 2 2 2
Atau 4 cos 2 tdt
= 4(
sin t cos t 1 + t C ) 2 2
= 2 sint cost + 2t + C
x = 2 2
4 x2 x + 2 arc sin + C 2 2
x 4 x2 x = 2 arcsin C 2 2
2.
dx 4x x 2
22
2013
KALKULUS INTEGRAL Jawab
dx
=
4x x 2
dx 4 ( x 2) 2
Substitusi (x-2) = 2 sin t,
2
x2 dx = 2 cos t dt
t 4x x
2
4 ( x 2) 2 2 cos t , sehingga
dx 4 ( x 2)
2
=
2 cos tdt 2 cos t
= dt =t+C
x 2 = arc sin +C 2 Kerjakan soal berikut sebagai latihan (sebagai tugas pertemuan ke-8)
1.
x
2.
3.
4. 5.
x
dx 25 x 2 dx x2 9 x2 dx 3
(4 x x 2 ) 2 2
1 x 2 dx x3
16 x 2
dx
23
2013
KALKULUS INTEGRAL INTEGRAL TERTENTU
I. Landasan Teori Definisi:
catatan : definite integral sering disebut sebagai Integral Riemann. Untuk menentukan nilai definite integral secara langsung dengan definisi di atas maka kita harus menggunkan jumlah Riemann (jumlah Riemann akan dijelaskan dalam contoh). Hal ini kurang efisien, terkadang dalam perhitungannya menemui kesalahan. Oleh karena itu, nilai definite integral ditentukan dengan menggunakan teorema dasar integral kalkulus berikut ini :
Sifat- Sifat Umum Definite Integral : Misalkan f(x) dan g(x) merupakan fungsi-fungsi kontinu dalam interval tertutup [a,b], maka definite integral memenuhi sifat-sifat umum sebagai berikut :
24
2013
KALKULUS INTEGRAL
Menentukan Luas dengan Proses Limit Luasan Di Bawah Suatu Kurva Bila digambarkan suatu persegi panjang pada suatu koordinat cartesius,luas persegi panjang tersebut dengan mudah dapat dicari. Perhatikan gambar 5.1 Luas persegi panjang adalah A=f(x)∆x.
Gambar 5.1 25
2013
KALKULUS INTEGRAL
Bila jumlah persegi panjang kita perbanyak menjadi 4 dengan lebar yang sama namun tinggi f(x)-nya berbeda-beda maka keadaannya akan terlihat seperti gambar 5.2.
Gambar 5.2 Luas keseluruhan persegi panjang adalah : ( )
∑
( )
( )
( )
Jika jumlah persegi panjangnya kita perbanyak lagi menjadi 10 dengan tinggi f(x)-nya yang berbeda-beda dan dengan Δx –nya kita perkecil. Hasilnya akan menjadi seperti ditunjukkan pada gambar 5.3.
Gambar 5.3 26
2013
KALKULUS INTEGRAL Luas totalnya dirumuskan sebagai :
∑
( )
Jika jumlah persegi panjangnya kita perbanyak lagi menjadi 100 dengan tinggi f(x)-nya yang berbeda-beda dan dengan Δx –nya kita perkecil lagi. Hasilnya akan menjadi seperti ditunjukkan pada gambar 5.4.
Gambar 5.4 Pada gambar 5.1 sampai gambar 5.4 secara tidak disadari kita telah membuat tinggi persegi panjang berubah memenuhi keteraturan mendekati pola persamaan : ( ) Bila jumlah persegi panjang kita tambah lagi menjadi n , dan seiring dengan itu membuat x 0 , maka tinggi f(x) untuk setiap Δx berubah secara kontinu mengikuti persamaan :
( )
. Sehingga luas keseluruhan persegi panjangnya dinyatakan
sebagai : ∑
( )
)
∑(
Jika kita membuat Δx mendekati 0, maka penulisan
lim
x o n 1
berubah menjadi dx. Sehingga selengkapnya ditulis menjadi :
27
berubah menjadi ∫ dan Δx
2013
KALKULUS INTEGRAL ∫ ( )
∫(
)
Fungsi f(x) pada contoh di atas adalah fungsi satu variable bebas, yaitu : variable x. Jika fungsi yang diintegralkan adalah fungsi satu variable bebas maka hasilnya adalah merupakan luasan (A) yang dibatasi oleh fungsi tersebut dengan sumbu-x. Maka untuk mencari suatu luasan yang berada di bawah kurva suatu fungsi dapat dilakukan dengan cara integral.s Misalkan kurva y = f(x) kontinu dalam interval a < x < b. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu x, dan garis-garis x = a dan x = b, dapat ditentukan dengan menggunakan proses limit sebagai berikut : 1.
Mula-mula interval [a,b] dibagi menjadi n buah sub-interval (panjang tiap sub interval tidak perlu sama) dengan cara menyisipkan (n-1) buah titik. Misalkan titik-titik itu adalah 1, 2 , 3 ... n1
Ditetapkan pula bahwa
a 0
dan b n
, sehingg
a 0 1 3 ... n b Dengan demikian, panjang setiap sub-0 1 2 ninterval adalah x1 1 0 , x2 2 1 ,............, xi i i 1 ,.............., xn n n1 . Dalam setiap sub-interval xi i i 1 , kita tentukan titik dengan absis xi dan koordinatnya f ( xi ) . Kemudian dibuat persegi panjang - persegi panjang dengan lebar xi dan tinggi f ( xi ) , seperti diperlihatkan pada gambar dibawah ini. Perhatikan bahwa banyaknya persegi panjang yang dibuat dengan cara seperti itu ada n buah, dan luas masing-masing persegi panjang itu adalah:
28
2013
KALKULUS INTEGRAL 2.
Luas daerah L didekati dengan jumlah semua luas persegi panjang tadi, Jadi, L f ( x1 )x1 f ( x2 )x2 f ( x3 )x3 ..... f ( xn )xn Dengan menggunakan notasi sigma
bagian ruas kanan dari bentuk di atas dapat
dituliskan menjadi : n
L f ( xi ) xi i 1
Untuk menunjukkan bahwa penjumlahan tersebut mencakup ujung-ujung interval a dan b, maka hubungan di atas dapat ditulis sebagai berikut : x b
L f ( x) x xa
n
Bentuk penjumlahan L f ( xi ) xi disebut sebagai jumlah Reimann. i 1
3.
Luas daerah L yang sebenarnya diperoleh dengan mengambil nilai n yang Cukup besar (n6) . Ini berarti baha nilai x menjadi kecil sekali (x60) . Dengan demikian, luas daerah L ditentukan dengan : x b
n
L lim f ( xi ) xi atau L lim f ( x) x n
x 60 x a
i 1
Untuk menyederhanakan cara penulisan, bentuk-bentuk limit di atas dapat dituliskan menjadi : n
lim n
i 1
x b
b
x 60 x a
a
f ( xi ) xi lim f ( x)x f ( x)dx
Jadi, luas daerah L ditentukan oleh rumus : b
L f ( x)dx a
29
2013
KALKULUS INTEGRAL
Menentukan Luas Daerah Antara Dua Kurva Misalkan dua kurva masing-masing dengan persamaan y = f(x) dan y = g(x), merupakan kurva-kurva yang kontinu dan f(x) > g(x) dalam interval a < x < b. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), kurva y = g(x), garis x = a dan garis x = b diperlihatkan pada gambar di bawah. Kita dapat menentukan luas daerah yang
diarsir (ABCD) dengan cara sebagai berikut : Luas ABCD = Luas EFCD
–
b
b
a
a
Luas EFBA
= f ( x)dx g ( x)dx b
= f ( x) g ( x)dx a
Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) dan y = g(x), garis x = a dan garis x = b, ditentukan dengan rumus :
b
L f ( x) g ( x)dx a
Dengan catatan bahwa f(x) > g(x) dalam interval a < x < b
30
