PENGGUNAAN INTEGRAL

PENGGUNAAN INTEGRAL 1. Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu koordinat. 2. Menghitung volume benda putar.

y  x2 9

Luas daerah di bawah kurva

Volume benda putar yang diputar mengelilingi sumbu Y

Luas Luas Daerah Daerah

Integral Tentu Teorema Dasar Kalkulus

Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b] dan

misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang tersebut, maka berlaku :

b

 f (x) dx  F(b)  F(a)

a

Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan sebagai  F(x)  ab Contoh 1 : 2





Hitunglah nilai dari  6 x 2  4 x dx 1

Jawab

2



 6x

1

2







2

 4 x dx = 2x 3  2x 2 1 = 2(2)3 – 2(2)2 – [2(-1)3 – 2(-1)2]

Home

= 16 – 8 + 2 + 2 = 12

Back

Next

Luas Daerah

Menghitung Luas dengan Integral

Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada interval [a, b]. Berubah Menjadi

Jumlah Luas Partisi y

Integral

y

f(x)

f (x)

Tentukan limitnya

n

b

n



i 1

 f ( x) dx

f (xi )xi

a

x

x 0

a

x

0

b b

a

b

n

L   f (x) dx  lim  f (xi ) xi a

Home

n   i 1

Back

Next

Luas Daerah


Kegiatan pokok dalam menghitung luas

y

y  f(x)

xi

daerah dengan integral tentu adalah: 1. Gambar daerahnya. 2. Partisi daerahnya f ( xi )

Li

3. Aproksimasi luas sebuah partisi Li  f(xi) xi 4. Jumlahkan luas partisi

x xi

0

L   f(xi) xi

a

5. Ambil limitnya L = lim  f(xi) xi 6. Nyatakan dalam integral L  Home

a



0

f (x) dx Back

Next

Luas Daerah

Menghitung Luas dengan Integral Contoh 1.

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu x, dan garis x = 3 Jawab

Langkah penyelesaian :

f(x)  x 2

y

1. Gambarlah daerahnya

xi

2. Partisi daerahnya

3. Aproksimasi luasnya Li  xi2 xi 4. Jumlahkan luasnya L   xi2 xi 5. Ambil limit jumlah luasnya

xi 2

L = lim  xi2 xi

Li

6. Nyatakan dalam integral dan 3

hitung nilainya L   x 2 dx

x 0

0

L Home

3 3 x   3  0



33 3

xi

3

0  9 Back

Next

Luas Daerah


Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu Y, dan garis y = 4 Jawab

f ( x)  x 2

y

Langkah penyelesaian : 4


xi

y


3. Aproksimasi luasnya L  xi.y 4. Jumlahkan luasnya L   y. y

y

5. Ambil limit jumlah luasnya L = lim  y. y 6. Nyatakan dalam integral dan 4 hitung nilainya L 

 0

Home

y . dy

x 0

3 4 2

2  2 16 L   y   .8  3  3 0 3

Back

Next

Luas Daerah


Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2, sumbu x, dan garis x = 6 Jawab

xi

y

Langkah penyelesaian: 1. Gambar dan Partisi daerahnya

4 xi  xi 2

2. Aproksimasi : Li  (4xi - xi2)xi dan Aj  -(4xj - xj2)xj 3. Jumlahkan : L  (4xi - xi2)xi dan

Li

0

xj 4

A

  -(4xj - xj2)xj

xi 0  (4 x  x 2 )

6

xj

x

Aj

4. Ambil limitnya L = lim  (4xi - xi2)xi

dan A = lim  -(4xj - xj2)xj 5. Nyatakan dalam integral 4

L   (4 x  x 2 ) dx 0

Home

6

f(x)  4 x  x 2

A   ( 4 x  x 2 ) dx 4

Back

Next

Luas Daerah

Menghitung Luas dengan Integral 4

L   (4 x  x 2 ) dx 0



L  2x 2 

1 3

x3



4

0

L  2(4)2  31 (4)3  0  32  6

A   ( 4 x  x 2 ) dx 4



xi

y

A   2 x 2  13 x 3

4 xi  xi 2

64 3

Li

4

0

xi



6 4

A  2(6)2  13 (6)3   2( 4)2  13 ( 4)3 

64 A  72  216  32  3 3

A

152 3

0  (4 x  x 2 )

6

xj

x

Aj

f(x)  4 x  x 2

 40

Luas daerah  32  643  152 3  40  21 Home

xj

1 3 Back

Next

Luas Daerah


Kesimpulan : y

y xi

y  f(x)

y xi y

f ( xi )

x 0

b

L   y.dx a Home

x 0

b

L   x.dy a Back

Next

Luas Daerah


LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada selang [a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi, aproksimasi, jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat ditentukan luas daerah antara dua kurva tersebut. Langkah penyelesaian:

y


y  f(x)

x

2. Aproksimasi : Li  [ f(x) – g(x) ] x 4. Jumlahkan : L   [ f(x) – g(x) ] x 5. Ambil limitnya : L = lim  [ f(x) – g(x) ] x

f(x)  g(x)

Li 0

x

a

b x

y  g(x)

6. Nyatakan dalam integral tertentu b

L   f(x)  g(x)dx Home

a

Back

Next

Luas Daerah


Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2 - x Jawab Langkah penyelesaian: y  2x 1. Gambar daerahnya 2. Tentukan titik potong kedua kurva x2 = 2 – x  x2 + x – 2 = 0  (x + 2)(x – 1) = 0 diperoleh x = -2 dan x = 1 3. Partisi daerahnya (2  x)  x 2 4. Aproksimasi luasnya Li  (2 - x - x2)x 5. Nyatakan dalam integral tertentu 1

2

L   (2  x  x ) dx 2

Home

y 5 x

4 3

Li

y  x2

2 1 x

-3

-2

-1

x

0

1

Back

2

Next

Luas Daerah


1

L   (2  x  x 2 ) dx 2



L  2x 



x2 2



1 x3 3 2

y

y  2x

5 x

L   2(1)  



L  2

1 2

L  2

12 2





1 3

1 2



13 3

   4  2   8 3

1 3

42

3

(2  x)  x 2

Home

1 2

4

1 2

Li

y  x2

2 1

8 3

x -3

L 5

4

   2(2)  (2)2  (2)3  2 3   

-2

-1

x

0

1

Back

2

Next

Luas Daerah


Untuk kasus tertentu pemartisian

y  g(x)

y

secara vertikal menyebabkan ada

y  f(x) x

dua bentuk integral. Akibatnya

Li

x

f(x)  g(x)

diperlukan waktu lebih lama untuk Ai

menghitungnya.

0

x

a

b 2 f ( x)

a

b

0

a

Luas daerah =  2 f ( x)dx   f (x)  g(x)dx

Home

Back

Next

Luas Daerah


Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan diperoleh

satu bentuk integral yang menyatakan luas daerah tersebut. Sehingga penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari sebelumnya. y  g(x)  x  g(y) y

y  f ( x)  x  f ( y )

d g(y)  f(y) y

Li

x 0

c

d

Home

Luas daerah =  g(y )  f (y ) dy c

Back

Next

Luas Daerah


Hitunglah luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva y2 = x, garis x + y = 6, dan sumbu x Jawab Langkah penyelesaian: 1. Gambar daerahnya 2. Tentukan titik potong kedua kurva y2 = 6 – y  y2 + y – 6 = 0  (y + 3)(y – 2) = 0 diperoleh y = - 3 dan y = 2 3. Partisi daerahnya 4. Aproksimasi luasnya Li  (6 - y - y2)y 5. Nyatakan dalam integral tertentu

Luas daerah =

 6  y  y

2

2

dy

y 6

(6  y)  y 2 x  y2 2

y

Li

y

6 x

0

x 6y

0

Home

Back

Next

Luas Daerah


Luas daerah =

2  6  y  y dy

2 0 

Luas daerah = 6 y   

y2 y  2 3

  0

 3 6( 2)  4  2 Luas daerah =   2 3 

Luas daerah =

12  

 2 8 3 

y

3 2

   

6

(6  y)  y 2 x  y2

0 2

y

Li

y

6 x 0

x 6y

22 Luas daerah = 3

Home

Back

Next

Pendahuluan

Volume Benda Putar

Bola lampu di samping dapat dipandang sebagai benda putar jika kurva di atasnya diputar menurut garis horisontal. Pada pokok bahasan ini akan dipelajari

juga penggunaan integral untuk menghitung volume benda putar.

Pendahuluan

Volume Benda Putar

Suatu daerah jika di putar mengelilingi garis tertentu sejauh 360º, maka akan terbentuk suatu benda putar. Kegiatan pokok dalam menghitung volume benda putar dengan integral adalah: partisi, aproksimasi, penjumlahan,

pengambilan limit, dan menyatakan dalam integral tentu.

Home

Gb. 4

Back

Next

Volume Benda Putar

Pendahuluan

Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah

bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dibagi menjadi : 1. Metode cakram 2. Metode cincin 3. Metode kulit tabung y

y

y

4 3 0

x

2

x

1 x 2 Home

1

0

1 Back

2 Next

Metode Cakram

Volume Volume Benda Benda Putar

Metode cakram yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume

mentimun dengan memotong-motongnya sehingga tiap potongan berbentuk cakram.

Home

Back

Next


Metode Cakram y

Bentuk cakram di samping dapat

x

dianggap sebagai tabung dengan jari-jari r = f(x), tinggi h = x. Sehingga

f (x)

volumenya dapat diaproksimasi sebagai V  r2h atau V   f(x)2x. Dengan cara jumlahkan, ambil

a

x

x

y

limitnya, dan nyatakan dalam integral

h=x

diperoleh: V    f(x)2 x

V = lim   f(x)2 x

r  f(x)

x

0

a

v    [ f (x)]2dx 0

Home

x Back

Next

Volume Volume Benda Benda Putar Putar

Metode Cakram Contoh 7.

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 + 1,

sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º. Jawab

y y

Langkah penyelesaian:

y  x2 1


x

h=x

2. Buat sebuah partisi 3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi

1

x2 1 x

2

r  x2 1

x

x

4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan,

x

ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. Home

Back

Next

Volume Benda Putar

Metode Cakram

V  r2h y

V  (x2 + 1)2 x V   (x2 + 1)2 x

h=x

V = lim  (x2 + 1)2 x V 

2

  (x

2

0

r  x2 1

 1)2 dx

x

2

V    (x 4  2x 2  1) dx

x

0

V 





1 x5  2 x3  x 2 5 3 0

V   ( 32  16  2  0)  1311  5

Home

3

15

Back

Next

Volume Benda Putar

Metode Cakram Contoh 8.

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2,

sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º. y

Jawab

y  x2

Langkah penyelesaian: 2


y

y

2. Buatlah sebuah partisi

y

3. Tentukan ukuran dan bentuk

x y

partisi 4. Aproksimasi volume partisi yang

r

diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. Home

y

h=y y x Back

Next


Metode Cakram

V  r2h

V  (y)2 y

y

V   y y V = lim  y y

2 r y

2

V 

 ydy

h=y

0

2

y

V    ydy

x

0

V 



1 2

y2



2 0

V   ( 21  4  0)

V  2 Home

Back

Next

Metode Cincin


Metode cincin yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume bawang bombay dengan memotong-motongnya yang potongannya berbentuk cincin.

Home

Back

Next


Metode Cincin

Menghitung volume benda putar dengan menggunakan metode cincin dilakukan dengan memanfaatkan rumus volume cincin seperti gambar di samping, yaitu V= (R2 – r2)h Gb. 5

R h

Home

r

Back

Next


Metode Cincin Contoh 9.

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º. Jawab


y

y

y  x2

1. Gambarlah daerahnya 2. Buat sebuah partisi

y = 2x 4

x

3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi 4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan

x

2x

x2 x

2

x

nyatakan dalam bentuk integral. Home

Back

Next


Metode Cincin y

V  (R2 – r2) h

y  x2

y = 2x

V   [ (2x)2 – (x2)2 ] x

4

x

V   (4x2 – x4) x V 

(4x2

–

x4)

R=2x r=x2

x

V = lim   (4x2 – x4) x V 

V 

2 

0



(4 x 2  x 4 ) dx

x

2

x

y



4 x3  1 x5 2 3 5 0

V   ( 32  32)

3 5 V   (160 96) 15 V  64  15 Home

x

Back

Next

Metode Kulit Tabung


Metode kulit tabung yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume roti pada gambar disamping.

Home

Back

Next


Metode Kulit Tabung r

r

h

h

V = 2rhΔr 2r Home

Δr Back

Next


Metode Kulit Tabung Contoh 10.

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º. Jawab


y

y  x2

1. Gambarlah daerahnya 2. Buatlah sebuah partisi 3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi. 4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral.

Home

4 3

x

2 x2

1

x 0

x

1

2

Back

Next


Metode Kulit Tabung y

yx

y

2

4

4

3

x

3

x

r=x

2

2 x2

1

1

h = x2

x 0

x

1

2

V  2rhx V 

2(x)(x2)x

V   2x3x V = lim  2x3x Home

x 1

2

0

1

2

2

V  2  x 3 dx 0



1x V  2 4

4



2 0

V  8 Back

Next


Metode Kulit Tabung

Jika daerah pada contoh ke-10 tersebut dipartisi secara horisontal dan

sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y, maka partisi tersebut membentuk cincin. Volume benda putar tersebut dihitung dengan metode cincin adalah sebagai berikut. V  (R2 – r2)y y

yx

V  (4 - x2)y

y

2

4

V   (4 – y)y

4

3

V = lim  (4 – y)y

3

4

R=2 2

V    4  y  dx

2

r=x

0



y

1

V   4y 

1 x

0

x

1

2

x -2

-1

0

1

2

1 2

y

2



4 0

V  (16  8)

V  8 Home

Back

Next

Latihan

Penggunaan Integral

Latihan (6 soal)

Petunjuk : Kesempatan menjawab hanya 1 kali Home

Back

Next

Latihan

Penggunaan Integral Soal 1.

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk integral sebagai .... A

2

2  x dx

0

B C

Home

Y

D

4

 y dy

0 4

x

0

2

dx

E

2

 (4

 x 2 ) dx

4

 x 2 ) dx

0

 (4

0

y  x2

4

0

2

X

Back

Next

Latihan



2

2  x dx

0

B C

Y 2

D

4

x

0

2

4

 x 2 ) dx

 (4

E

0

 x 2 ) dx

0

4

 y dy

 (4

0

dx

y  x2

4

0

2

X

Jawaban Anda Benar  L  (4 – x2) x

L   (4 – x2) x L = lim  (4 – x2) x 2

L   (4  x 2 ) dx 0

Home

( Jawaban D ) Back

Next

Latihan



2

2  x dx

0

B C

Y

D

0

4

 y dy

4

x

0

2

4

 (4

E

0

x

2

2  (4  x ) dx

0

y  x2

4 4 - x2

 x ) dx 2

dx

0

x

2

X

Jawaban Anda Salah  L  (4 – x2) x

L   (4 – x2) x L = lim  (4 – x2) x 2

L   (4  x 2 ) dx 0

Home

( Jawaban D ) Back

Next

Latihan


Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan …. A

4,5 satuan luas

D

Y

9 1/3 satuan luas y  4  x2

B

6 satuan luas

C

7,5 satuan luas

E 10 2/3 satuan luas

X

0

Home

Back

Next

Latihan



4,5 satuan luas

D

Y

9 1/3 satuan luas y  4  x2

B

6 satuan luas

C

7,5 satuan luas


X

0

Jawaban Anda Benar  L  (4 – x2) x

L   (4 –

x2)

x

L = lim  (4 – x2) x 2

L   (4  x 2 ) dx



L  4 x  31 x 3



2 2

L  (8  83)  (8  83) L 

32 3

 10

2 3

( Jawaban E )

2

Home

Back

Next

Latihan



4,5 satuan luas

D

Y

9 1/3 satuan luas

x

y  4  x2

B

6 satuan luas

C

7,5 satuan luas


-2

0

x

2

X

Jawaban Anda Salah  L  (4 – x2) x

L   (4 –

x2)

x

L = lim  (4 – x2) x 2

L   (4  x 2 ) dx



L  4 x  31 x 3



2 2

L  (8  83)  (8  83) L 

32 3

 10

2 3

( Jawaban E )

2

Home

Back

Next

Latihan


Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan …. Y

A 5 satuan luas

D

B


7 2/3 satuan luas

y  2x

9 1/3 satuan luas

C 8 satuan luas 0

Home

X

y  8  x2

Back

Next

Latihan



A 5 satuan luas

D

B


7 2/3 satuan luas

y  2x

9 1/3 satuan luas

C 8 satuan luas 0

2

X

y  8  x2

Jawaban Anda Benar  L  (8 – x2 -2x) x

L  16  83  4

2

L   (8  x 2  2x) dx 0



L  8x  31 x 3  x 2 Home



L 

28 3

 9 31

( Jawaban D )

2 0

Back

Next

Latihan



A 5 satuan luas

D

B


7 2/3 satuan luas

y  2x

9 1/3 satuan luas

C 8 satuan luas 0

2

X

y  8  x2

Jawaban Anda Salah  L  (8 – x2 -2x) x

L  16  83  4

2

L   (8  x 2  2x) dx 0



L  8x  31 x 3  x 2 Home



L 

28 3

 9 31

( Jawaban D )

2 0

Back

Next

Latihan


Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2 adalah …. A

2,5 satuan luas

D

10 2/3 satuan luas

B

4,5 satuan luas

E

20 5/6 satuan luas

C

6 satuan luas

Home

Back

Next

Latihan


Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2 adalah …. A

2,5 satuan luas

B

4,5 satuan luas

D E

Y

10 2/3 satuan luas 20 5/6 satuan luas

1 X

0

C

6 satuan luas

-2

x  y2

x 2y

Jawaban Anda Benar  L  [(2 – y ) – y2 ] y

L  (2  21  31)  (4  2  83)

1

L   (2  y  x 2 ) dy

L 

2



L  2y  21 y 2  31 y 3 Home



1

9  4,5 2

( Jawaban B )

2

Back

Next

Latihan


Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2 adalah …. Y

A

2,5 satuan luas

D

10 2/3 satuan luas 1

B

4,5 satuan luas

C

6 satuan luas

E

20 5/6 satuan luas

X

0 -2

x  y2

x 2y

Jawaban Anda Salah  L  [(2 – y ) – y2 ] y

L  (2  21  31)  (4  2  83)

1

L   (2  y  x 2 ) dy

L 

2



L  2y  21 y 2  31 y 3 Home



1

9  4,5 2

( Jawaban B )

2

Back

Next

Latihan


Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut adalah .... 4

A

v    x dx

B

v    x 2 dx

C

Home

0

4 0

Y

4

D

v  2  x x dx

E

v  2  (16  y) dy

0

y X

2

2

0

0

X

4

2

v    y dy 0

Back

Next

Latihan


Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut adalah .... 4

4

A

v    x dx

B

v    x 2 dx

C

Y

0

4 0

D

v  2  x x dx

E

v  2  (16  y) dy

0

y X

2

2

0

0

X

4

2

v    y dy 0

Jawaban Anda Benar  V  2xx x 4

V  2  x x dx ( Jawaban D ) 0

Home

Back

Next

Latihan


Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut adalah .... A B C

4

v    x dx 0

4

v    x dx 2

0

Y

4

D E

v  2  x x dx 0

2

y X

2

v  2  (16  y) dy

x

0

0

2

v    y dy

x

X

4

0

Jawaban Anda Salah  V  2xx x 4

V  2  x x dx ( Jawaban D ) 0

Home

Back

Next

Latihan


Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah …. A 4 satuan volum B

6 satuan volum

C

8 satuan volum

Home

D E

Y

12 satuan volum 15 satuan volum

y X

2

0

X

4

Back

Next

Latihan


Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah …. A 4 satuan volum

D

B

6 satuan volum

C

8 satuan volum

E

Y

12 satuan volum 15 satuan volum

y X

2

0

X

4

Jawaban Anda Benar  V  (x)2 x 4

V    x dx 0

V  

1 2

V  8 Home

x

2



4

0

( Jawaban C ) Back

Next

Latihan


Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah …. Y

A 4 satuan volum

D

12 satuan volum y X

2

B C

6 satuan volum

E

15 satuan volum

x

0

x

X

4

8 satuan volum

Jawaban Anda Salah  V  (x)2 x 4

V    x dx 0

V  

1 2

V  8 Home

x

2



4

0

( Jawaban C ) Back

Next

PENGGUNAAN INTEGRAL

Recommend Documents