Lajes: 6 Estados Limites Últimos NBR Exemplo Estados

NBR 6118

Módulo 5 Lajes: Estados Limites Últimos

Estados Limites de Serviço

P

Detalhamento Exemplo

R O M O Ç Ã O

Conteúdo ELU e ELS Força Cortante em Lajes

Módulo 5

Dimensionamento de Lajes à Punção - Detalhamento - Exemplo - Conclusões

NBR 6118 PROJETO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO : PROCEDIMENTO

DATA 00/00/00

1

Lajes Estado Limite Último Na determinação dos esforços resistentes das seções de lajes submetidas a esforços normais e momentos fletores, devem ser usados os mesmos princípios

Módulo 5

estabelecidos na seção Estado Limite Último do módulo 4

Estados Limites de Serviço Em relação ao Estado Limite de Deformaç Deformação e Estado Limite de Fissuraç Fissuração, ão devem ser usados os critérios dados no módulo 4


DATA 00/00/00

Lajes Força Cortante em Lajes Lajes sem Armadura para Força Cortante VSd ≤ VRd1

Módulo 5

VRd1 = [τRd k (1,2 + 40 ρ1) + 0,15 σcp] bwd onde: ιRd = 0,25 fctd fctd = fctk,inf / γc ρ1 =

As1 bw d

, não maior que 0,02

σcp = NSd / Ac k é um coeficiente que tem os seguintes valores: elementos onde 50 % da armadura inferior não chega até o apoio: k = 1 para os demais casos: k = 1,6 - d, não menor que 1, com d em metros NBR 6118 PROJETO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO : PROCEDIMENTO

DATA 00/00/00

2

Lajes Força Cortante em Lajes Lajes sem Armadura para Força Cortante

Módulo 5

Onde: fctd

resistência de cálculo do concreto ao cisalhamento

As1

área da armadura de tração que se estende até não menos que d + lb,nec além da seção considerada; com lb,nec definido na figura

bw

largura mínima da seção ao longo da altura útil d

NSd

força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento (compressão positiva)

DATA 00/00/00


Lajes

Superfície de Ruptura

Arm. de flexão

25º a 30º

.

Módulo 5

Punção é o Estado Limite Último determinado por cisalhamento no entorno de forças concentradas.

Pilar


DATA 00/00/00

3

Lajes

Módulo 5

Punção •

Ruptura ocorre na ligação da laje com o pilar.

•

Ruína de forma abrupta e frágil.

•

Para aumentar a resistência à punção da laje: – Aumentar a espessura das lajes na região do pilar; – Utilizar concreto de alta resistência; – Usar armadura de cisalhamento.


DATA 00/00/00

Lajes Dimensionamento de Lajes à Punção

Módulo 5

•

Modelo de Cálculo

¾ Verificação do cisalhamento em duas ou mais superfícies críticas. ¾ Na primeira superfície crítica, dada pelo perímetro C do pilar ou da carga concentrada ¾ Na segunda superfície crítica, dada pelo perímetro C’, afastado 2d do pilar ou da carga concentrada ¾ Caso haja necessidade, a ligação deve ser reforçada por armadura transversal. ¾ A terceira superfície crítica, perímetro C”, só é utilizada quando é necessário colocar armadura transversal. O perímetro da superfície C” é afastado 2d da última camada de armadura transversal


DATA 00/00/00

4

Lajes Dimensionamento de Lajes à Punção • Superfícies Críticas C, C’ e C’’ C'=2d

Módulo 5

C"

C'=2d C"

C

Arm. de cisalhamento

Arm. de flexão

Pilar


DATA 00/00/00


Módulo 5

Superfícies Críticas C e C’

Superfícies críticas, limitadas pelos perímetros críticos C e C’


DATA 00/00/00

5

Lajes Verificação da tensão resistente de compressão diagonal do concreto na superfície crítica C.

τSd ≤ τRd2 = 0,27α ν fcd

Módulo 5

Sendo: αν = (1 - fck/250) Verificação da tensão resistente na superfície crítica C’ sem armadura de punção.

(

)

τ Sd ≤ τ Rd 1 = 0,13 1 + 200 d (100ρ f ck )1 3 Sendo: ρ é a taxa geométrica de armadura de flexão; d é altura útil da laje ao longo do contorno C’.


DATA 00/00/00

Lajes Verificação da tensão resistente na superfície crítica C’ com armadura de punção.

(

)

Módulo 5

τ Sd ≤ τ Rd 3 = 0,10 1 + 200 / d (100 ρf ck )1/ 3 + 1,5

d Asw f ywd senα (ud ) sr

Sendo: • sr o espaçamento radial entre linhas da armadura de punção; • α é o ângulo de inclinação entre o eixo da armadura de punção e o plano da laje; • Asw é a área da armadura de punção num contorno completo paralelo a C’; • u é o perímetro crítico; • fywd é a resistêncoa dee cálculo da armadura ded punção, não maior que 300 MPa para conectores ou 250 MPa para estrtibos. NBR 6118 PROJETO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO : PROCEDIMENTO

DATA 00/00/00

6

Lajes Verificação da tensão resistente na superfície crítica C’’ com armadura de punção.

(

)

Módulo 5

τ Sd ≤ τ Rd 4 = 0,13 1 + 20 d (100ρ f ck )1 3


DATA 00/00/00

Lajes Dimensionamento de Lajes à Punção Tensão Solicitante No caso em que o efeito do carregamento pode ser considerado simétrico:

Módulo 5

τSd = Com:

FSd ud

d = (dx + dy)/2 onde: d

altura útil da laje ao longo do contorno crítico C', externo ao contorno C da área de aplicação da força e deste distante 2d no plano da laje

dx e dy alturas úteis nas duas direções ortogonais u

perímetro do contorno crítico C'

ud

área da superfície crítica

FSd

força ou a reação concentrada, de cálculo


DATA 00/00/00

7

Lajes Dimensionamento de Lajes à Punção Pilar Interno com Efeito de Momento τSd =

FSd

Módulo 5

onde:

ud

+

K M Sd Wp d

K coeficiente que fornece a parcela de MSd transmitida ao pilar por cisalhamento, que depende da relação C1/C2 C1/C2

0,5

1,0

2,0

3,0

K

0,45

0,60

0,70

0,80

Onde: C1 é a dimensão do pilar paralela à excentricidade da força C2 é a dimensão do pilar perpendicular à excentricidade da força

Para um pilar retangular:

Wp =

C12 + C1 C2 + 4 C2 d + 16 d 2 + 2π d C1 2


DATA 00/00/00


Módulo 5

Pilares de Borda

Perímetro crítico em pilares de borda NBR 6118 PROJETO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO : PROCEDIMENTO

DATA 00/00/00

8


Módulo 5

Pilares de Borda

Quando não agir momento no plano paralelo à borda livre:

Kx MSd1 F τSd = Sd + Wp1 d u* d

MSd1 =( MSd - MSd*) ≥ 0

MSd* é o momento de cálculo resultante da excentricidade do perímetro crítico reduzido u* em relação ao centro do pilar NBR 6118 PROJETO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO : PROCEDIMENTO

DATA 00/00/00


Módulo 5

Pilares de Borda

Quando agir momento no plano paralelo à borda livre:

τ Sd =

FSd u*d

+

K 1M Sd1 W p1d

+

K 2M Sd 2 Wp 2 d


DATA 00/00/00

9


Módulo 5

Pilares de Canto

Perímetro crítico em pilares de canto NBR 6118 PROJETO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO : PROCEDIMENTO

DATA 00/00/00


Módulo 5

Pilares de Canto Como o pilar de canto apresenta duas bordas livres, deve ser feita a verificação separadamente para cada uma delas, considerando o momento fletor cujo plano é perpendicular à borda livre adotada

K deve ser calculado em função da proporção C1/C2, sendo C1 e C2, respectivamente, os lados do pilar perpendicular e paralelo à borda livre adotada


DATA 00/00/00

10


Módulo 5

Capitel

DATA 00/00/00



Módulo 5

Casos Especiais de Contorno Crítico

(b)

(a) (a) Perímetro crítico no caso do contorno C apresentar reentrância (b) Perímetro crítico junto à abertura na laje NBR 6118 PROJETO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO : PROCEDIMENTO

DATA 00/00/00

11

Lajes

Módulo 5

Dimensionamento de Lajes à Punção

Disposição da armadura de punção em corte


DATA 00/00/00


Módulo 5

Colapso Progressivo

As fyd ≥ FSd As é a somatória de todas as áreas das barras que cruzam cada uma das faces do pilar NBR 6118 PROJETO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO : PROCEDIMENTO

DATA 00/00/00

12


Módulo 5

Verificação de Elementos Protendidos

τSd,ef = τSd −τPd τPd =

ΣPk inf,i sen αi ud


DATA 00/00/00

Lajes Dimensionamento de Lajes à Punção Verificação de Elementos Protendidos Onde:

Módulo 5

τPd tensão devida ao efeito dos cabos de protensão inclinados que atravessam o contorno considerado e passam a menos de d/2 da face do pilar

Pkinf,i força de protensão no cabo i αi

inclinação do cabo i em relação ao plano da laje no contorno considerado

u

perímetro crítico do contorno considerado, em que se calculam τSd,ef e τSd


DATA 00/00/00

13

Lajes Detalhamento

Módulo 5

Bordas Livres e Aberturas


DATA 00/00/00

Lajes Detalhamento Armaduras Passivas

Módulo 5

Lajes sem Vigas -


DATA 00/00/00

14

Lajes Detalhamento

Módulo 5

Armaduras de Punção


DATA 00/00/00

Lajes Exemplo Para as lajes esquematizadas na figura do próximo slide, pede-se:

Módulo 5

a) b)

Calcular e detalhar Verificar a laje L1 quanto à flecha e ao cisalhamento Dados: fck = 25 MPa Aço CA50A c = 1,5 cm (cobrimento mínimo das armaduras de laje) q = 2,0 kN/m²(carga acidental) enchimento = 16 kN/m³ vigas: bw = 12 cm e c = 2,0 cm


DATA 00/00/00

15

Lajes

Módulo 5

Exemplo


DATA 00/00/00

Lajes Exemplo

Módulo 5

Determinação das Cargas

Cargas(kN/m²) L1 L2 Peso Próprio 0,08x25=2,00 0,07x25=1,75 1,00 1,00 Revestimento --0,25x16=4,0 Enchimento 3,00 6,75 Permanente 2,00 2,0 Acidental 5,00 8,75 Total


L3 1,75 1,00 --2,75 2,00 4,75

DATA 00/00/00

16

Lajes Exemplo Cálculo dos Momentos Fletores •

Módulo 5

Laje L1 L2 L3

•

Nas Lajes Isoladas [kN.m/m] Tabela 1 1 2

lx 4,0 2,5 2,5

ly 5,0 3,0 3,0

ly/lx 1,3 1,2 1,2

αx 15,9 16,9 22,0

αy 22,4 22,3 23,8

βx

βy

10,1

mx 5,0 3,2 1,4

my 3,6 2,5 1,3

m'x

m'y

-2,9

Nos Apoios Contínuos [kN.m/m]

Apoio L1 - L3

m'esq m'y = - 2,9

m'dir 0,0

0,8 m' m'médio -2,4 -1,5


m´ m´1-3 = -2,4

DATA 00/00/00

Lajes Exemplo Armaduras de Flexão Laje

Módulo 5

L1 L2 L3 L1 - L3

d (cm) m (kN.cm) md (kN.cm) x (cm) As (cm2) 6 mx = 500 700 1.03 2.88 5.5 my = 360 500 0.80 2.24 5 mx = 320 450 0.78 2.2 4.5 my = 250 350 0.68 1.9 5 mx = 140 200 0.33 0.92 4.5 my = 130 180 0.34 0.96 mbarra_13 = 240 340 0.58 1.62 5


ρs Asmin (cm2) Asefetivo 0.10% 0.8 2.88 0.10% 0.8 2.24 0.10% 0.7 2.20 0.10% 0.7 1.90 0.10% 0.7 0.92 0.10% 0.7 0.96 0.15% 1.05 1.62

Escolha φ 6,3 c/10 φ 6,3 c/14 φ 6,3 c/14 φ5,0 c/11 φ5,0 c/20 φ5,0 c/20 φ6,3 c/19

DATA 00/00/00

17

Lajes Tabela de Armadura Mínima Armadura

Elementos estruturais sem armaduras ativas

Armaduras negativas

Módulo 5

Armaduras positivas de lajes armadas nas duas direções

Elementos estruturais com armadura ativa aderente

ρs ≥ ρmin

ρs ≥ ρmin– ρp ≥ 0,67 ρmin

ρs ≥ 0,67 ρmin

Armadura positiva (principal) de lajes armadas em uma direção

Elementos estruturais com armadura ativa não aderente ρs ≥ ρmin - 0,5ρp ≥ 0,67 ρmin (ver 19.3.3.2 da NBR 6118)

ρs ≥ ρmin - 0,5ρp ≥ 0,5 ρmin

ρs ≥ 0,67 ρmin– ρp ≥ 0,5 ρmin

ρs ≥ ρmin

ρs ≥ ρmin - 0,5ρp ≥ 0,5 ρmin

ρs ≥ ρmin – ρp ≥ 0,5 ρmin

As/s ≥ 20 % da armadura principal As/s ≥ 0,9 cm2/m ρs ≥ 0,5 ρmin

Armadura positiva (secundária) de lajes armadas em uma direção

-

Onde: ρs = As/bw h e ρp = Ap/bw h NOTA - Os valores de ρmin constam da tabela 17.3 da NBR 6118/2003

Tabela da Taxa de Armadura Mínima Valores de ρmin1) (A s,min/A c ) %

Forma da seção Retangular

0,035

20

25

30

35

40

45

50

0,150

0,150

0,173

0,201

0,230

0,259

0,288

1) Os val ores de ρ min estabelecidos nesta tabela pressupõe m o uso de aço CA-50, γ c = 1,4 e γ s = 1,15. Caso esses fatores sejam dife rentes, ρm in de ve ser recalcul ado com base n o val or d e ω m ín dado. NO TA - Nas seções tipo T, a áre a da seção a ser considera da deve se r caracterizada pel a alma acrescida da mesa colab orante.


DATA 00/00/00

Lajes Exemplo Verificação do cisalhamento na laje 1 para o momento Mx VSd ≤ VRd1

Módulo 5

A resistência de projeto ao cisalhamento é dada por: VRd1 = [τRd k (1,2 + 40 ρ1) + 0,15 σcp] bwd onde: τRd = 0,25 fctd = 0,32 MPa fctd = fctk,inf / γc = 1,282 MPa fctk,inf = 0,7.fct,m = 0,7.2,565 = 1,795 MPa fct,m = 0,3.fck2/3 = 0,3.252/3 = 2,565 MPa Considerando o cortante na direção X : ρ1 = As1/bw.d = 3,15/100.6,0 = 0,525% (não maior que 0,02) k = 1,6 – d [m] = 1,6 – 0,06 = 1,54 NBR 6118 PROJETO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO : PROCEDIMENTO

DATA 00/00/00

18

Lajes Exemplo onde: As1 = 3,15 cm2 (considerando toda a armadura) bw = 100 cm (largura mínima da seção ao longo da altura útil d);

Módulo 5

σcp = NSd / Ac = 0 NSd = 0 pois não existe força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento. Assim,

VRd1 = [τRd k (1,2 + 40 ρ1) + 0,15 σcp] bw.d = [0,032 . 1,54(1,2 + 40 . 0,00525)+ 0].100 . 6 = VRd1 = 41,7 kN/m VSd = px . γf = 5,0 .1,4 = 7,0 kN/m VRd1

= 41,7

> 7,0 = VSd

Não há a necessidade de estribos NBR 6118 PROJETO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO : PROCEDIMENTO

DATA 00/00/00

Lajes Exemplo Considerando o cortante na direção Y : ρ1 = As1/bw.d = 2,5/100.5,5 = 0,454% (não maior que 0,02) k = 1,6 – d [m] = 1,6 – 0,055 = 1,545

Módulo 5

As1 = 2,5 cm2 (considerando toda a armadura) bw = 100 cm (largura mínima da seção ao longo da altura útil d); Assim,

VRd1 = [τRd k (1,2 + 40 ρ1) + 0,15 σcp] bw.d = [0,032 . 1,545(1,2 + 40 . 0,00454)+ 0].100.5,5 = VRd1 = 37,56 kN/m VSd = py . γf = 6,0 .1,4 = 8,4 kN/m VRd1 = 37,56 > 8,4 = VSd Não há a necessidade de estribos NBR 6118 PROJETO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO : PROCEDIMENTO

DATA 00/00/00

19

Lajes Exemplo

Módulo 5

Arranjo das Armaduras


DATA 00/00/00

Lajes – Arranjo das Armaduras

Módulo 5

Exemplo


DATA 00/00/00

20

Lajes - Arranjo das Armaduras

Módulo 5

Exemplo


DATA 00/00/00

Lajes - Arranjo das Armaduras

Módulo 5

Exemplo


DATA 00/00/00

21

Lajes - Arranjo das Armaduras Exemplo

Módulo 5

Arranjo das Armaduras

DATA 00/00/00


Lajes Exemplo

Módulo 5

Tabela de Ferros e Resumo

Posição N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 N9 N10

φ 5 6,3 6,3 5 6,3 5 5 5 5 6,3

Tabela de Ferros n CU 92 102,0 35 520 36 420 60 70 21 258 30 318 46 70 13 268 15 318 13 208

CT 279 205 151 42 54 95 32 35 48 27


φ 5 6,3

Resumo CT Peso 531 85,0 437 109,3

M = 194,3 kg V= 5,12x4,06x0,08= 2,56x3,06x0,07= 2,56x3,06x0,07=

1,66 0,55 0,55 2,76

Taxa de Consumo = 195,6/2,76 = 70,4 kg/m³

DATA 00/00/00

22

Lajes Exemplo – Verificação da Flecha Cálculo do Momento de Fissuração

Módulo 5

Mr = (α.fct,m. Ic)/yt = (1,5. 2565. 4,27.10-5) / 0,04 = 4,1 kN.m α = 1,5 para seção retangular; fct,m já calculado anteriormente para o cisalhamento Ic = b.h3/12 que é momento de inércia da seção de base 100 cm – ESTÁDIO I; yt é a distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada. Como : Mr = 4,1 kN.m < 5 kN.m = Mx Calcula-se pela formula de Branson o EIeq para considerar a perda da rigidez na seção fissurada. NBR 6118 PROJETO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO : PROCEDIMENTO

DATA 00/00/00

Lajes Exemplo – Verificação da Flecha Cálculo do Momento Equivalente EIeq = Ec[(Mr/Ma)3. Ic + [1- (Mr/Ma)3] III]

Módulo 5

Ec = 0,85.5600.fck1/2 = 23,8 GPa ou 23,8 106 kN/m2; III = é o momento de inércia da seção fissurada – ESTÁDIO II; Calculando o xII para o ESTÁDIO II com αe = Es/Ec

(b⋅x II ) − 2

2

(A s ⋅ α e)⋅ (d⋅ x II)

xII = 0,015 m

0

Temos: I II

( )3

b ⋅ x II 3

(

)2

+ α e⋅ A s ⋅ d − x II

III = 5,57.10-6 m4


DATA 00/00/00

23

Lajes Exemplo – Verificação da Flecha Cálculo do Momento Equivalente Assim, pode-se calcular o momento de inércia equivalente

Módulo 5

EIeq = Ec[(Mr/Ma)3. Ic + [1- (Mr/Ma)3] III] = EIeq = 23,8.106[(4,1/5)3.4,26.10-5 + [1-(4,1/5)3] 6,74.10-6 ] = 631 kN m2 Flecha Imediata ai = (b.p.lx4) / 12.Eieq . α2 = (1.3,6.44) / 12.631.14,3 = 0,0085 m Onde: α2 = 14,3 (laje tipo 1 com ly/lx = 1,25); p = g + ψ2 q = 3,6 kN/m2 (valor da carga para a combinação quase permanente (ψ2 = 0,3 p/ edifícios residenciais); DATA 00/00/00


Lajes Exemplo – Verificação da Flecha Flecha Diferida no Tempo t0 = 1 (tempo, em meses, que foi aplicado o carregamento)

Módulo 5

t > 70 (tempo, em meses, que se deseja saber o valor da flecha)

( )

(

( )

∆ξ := ξ( t) − ξ t 0

)⋅ t 0

t0

ξ t 0 := 0.68⋅ 0.996

0.32

( ) := 0.68⋅ (0.996t)⋅ t0.32

ξ t

para t ≤ 70 meses

ξ(t) = 2

para t > 70 meses

∆ξ = 2 - 0,6773 = 1,3227

Como: ρ = 0 (não existe armadura negativa) α f :=

∆ξ 1 + 50⋅ ρ

αf = 1,3227


DATA 00/00/00

24

Lajes Exemplo – Verificação da Flecha Flecha Diferida no Tempo af = ai.αf = 0,0085.1,3227 = 0,0113 m = 1,13 cm

Módulo 5

Flecha Total aT = ai.(1+ αf) = 0,0085.(1 + 1,3227) = 0,01978 m = 1,978 cm Flecha Limite Da tabela 13.2 (NBR6118/2003) alim = (l/250) = 400/250 = 1,6 cm at>alim 1,978 cm > 1,6 cm - não passa!!! A norma sugere adotar uma contraflecha. DATA 00/00/00


Lajes Exemplo – Abertura de Fissuras – Laje 1 wklim ≤

w1 =

 1  φi σ si  4  + 45   12,5 η b Esi  ρ ri 

7,5φ

7,5φ 7,5φ Acr

Módulo 5

w2 =

1  1 3φi σ   ⋅  12,5 ηb f ctm Esi  2 si

7,5φ c < 7,5φ 7,5φ

a 7,5φ

(a < 15 φ)

Acr é a área da região de envolvimento protegida pela barra φi; Esi é o módudo de elasticidade do aço da barra considerada (φi); φi é o diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada; ρri é a taxa de armadura em relação à área da região de envolvimento (Acri); σsi é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura, no Estádio II; ηb é o coeficiente de conformação da armadura (1 em barras lisas, 1,4 barras dentadas e 2,25 barras nervuradas) NBR 6118 PROJETO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO : PROCEDIMENTO

DATA 00/00/00

25

Lajes Exemplo – Abertura de Fissuras ρ cri = σ si =

As 3,15 = 0,053 = 5,53% Acri 58,82 Md 500 = = 33,06kN / cm 2 0,8.d . As 0,8.6.3,15

Módulo 5

Esi = 21000kN / cm 2 f ctm = 0,2565kN / cm 2

w1 =

1  6,3 33,06  4  + 45    12,5  2,25 21000  0,053 

w1 = 0,0425mm

w2 =

2 1  1 3.6,3 33,06  ⋅   12,5  2,25 0,2565 21000 

w2 = 0,14mm

w1< wklim (tab 13.3-NBR6118/2003) w1< 0,4 mm - ok!!! DATA 00/00/00


Lajes Exemplo

Módulo 5

Verificando a flecha e a possibilidade de dispensa de armadura de força cortante segundo a NBR 6118–1978, torna-se possível montar o quadro comparativo apresentado abaixo

Comparativo – Laje 1 NBR 6118/2003

NBR 6118-1978

11,3 mm (diferida) 19,78 mm (total)

8,7 mm

Cisalhamento

Verificado

Verificado

E

23,8 GPa

35,24 GPa

Flecha


DATA 00/00/00

26

Lajes Conclusões

Módulo 5

Praticamente sem alteraç alterações no dimensionamento para Solicitaç Solicitações Normais Alteraç Alterações nos procedimentos de verificaç verificação dos ELS (Mais rigoroso)

Tratamento aprofundado em relaç relação à punç punção


DATA 00/00/00

27

Lajes: 6 Estados Limites Últimos NBR Exemplo Estados

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