Lei dos Cossenos Lei dos Senos Aplica¸c˜ ao da Lei dos Senos
Lei dos Cossenos / Lei dos Senos Prof. M´arcio Nascimento
[email protected]
Universidade Estadual Vale do Acara´ u Centro de Ciˆ encias Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matem´ atica Disciplina: Matem´ atica B´ asica II - 2015.1
18 de agosto de 2015
1 / 27
Lei dos Cossenos Lei dos Senos Aplica¸c˜ ao da Lei dos Senos
Sum´ario
1
Lei dos Cossenos
2
Lei dos Senos
3
Aplica¸c˜ao da Lei dos Senos
2 / 27
Lei dos Cossenos Lei dos Senos Aplica¸c˜ ao da Lei dos Senos
Sum´ario
1
Lei dos Cossenos
2
Lei dos Senos
3
Aplica¸c˜ao da Lei dos Senos
3 / 27
Lei dos Cossenos Lei dos Senos Aplica¸c˜ ao da Lei dos Senos
ˆ Angulos Agudos
Lei dos Cossenos Para um triˆangulo ABC com lados a, b, c opostos aos v´ertices A, B, C respectivamente, tem-se a2 = b 2 + c 2 − 2bc.cos Ab 4 / 27
Lei dos Cossenos Lei dos Senos Aplica¸c˜ ao da Lei dos Senos
ˆ Lei dos Cossenos - Angulo Agudo Provemos a veracidade desta afirma¸c˜ao para ˆangulos agudos. b 2 + (b − c. cos A) b2 a2 = (c.senA) b + b 2 − 2bc cos Ab + c 2 . cos2 (A) b a2 = c 2 .sen2 (A) b + c 2 . cos2 (A)] b + b 2 − 2bc cos Ab a2 = [c 2 .sen2 (A) a2 = c 2 + b 2 − 2bc cos Ab h = c.senAb x = c. cos Ab a2 = h2 + (b − x)2 5 / 27
Lei dos Cossenos Lei dos Senos Aplica¸c˜ ao da Lei dos Senos
ˆ Lei dos Cossenos - Angulo Agudo EXEMPLO: Determine x. a2 = b 2 + x 2 − 2b.x. cos 600 1 312 = 122 + x 2 − 2.12.x. 2 961 = 144 + x 2 − 12x x 2 − 12x − 817 = 0 a = 31 b = 12 Ab = 600
∆ = (−12)2 − 4.1.(−817) = 3412 = 22 .853 √ 12 ± 2 853 x= 2 Como se√ trata de uma medida, x = 6 + 853 ∼ = 35, 2 6 / 27
Lei dos Cossenos Lei dos Senos Aplica¸c˜ ao da Lei dos Senos
ˆ Lei dos Cossenos - Angulo Obtuso Agora, vamos verificar que a Lei vale tamb´em para ˆangulos obtusos.
7 / 27
Lei dos Cossenos Lei dos Senos Aplica¸c˜ ao da Lei dos Senos
ˆ Lei dos Cossenos - Angulo Obtuso Agora, vamos verificar que a Lei vale tamb´em para ˆangulos obtusos.
8 / 27
Lei dos Cossenos Lei dos Senos Aplica¸c˜ ao da Lei dos Senos
ˆ Lei dos Cossenos - Angulo Obtuso
b 2 + (b − c. cos A) b2 a2 = (c.senA) b + b 2 − 2bc cos Ab + a2 = c 2 .sen2 (A) b c 2 . cos2 (A)
b = h = c.sen(π − A) c.senAb b = x = c. cos(π − A) b −c. cos A
b + c 2 . cos2 (A)] b + a2 = [c 2 .sen2 (A) 2 b − 2bc cos Ab a2 = c 2 + b 2 − 2bc cos Ab
a2 = h2 + (b + x)2 9 / 27
Lei dos Cossenos Lei dos Senos Aplica¸c˜ ao da Lei dos Senos
ˆ Lei dos Cossenos - Angulo Obtuso
EXEMPLO: Determine x. x 2 = 142 + 132 − 2.14.13. cos 1350 x 2 = 196 + 169 − 364.(− cos 450 ) √ 2 2 x = 365 + 364. √2 2 x = 365 + 182. 2 x∼ = 24, 94
10 / 27
Lei dos Cossenos Lei dos Senos Aplica¸c˜ ao da Lei dos Senos
Lei dos Cossenos
EXERC´ICIO: As diagonais de um paralelogramo medem 24.2cm e 35.4cm, e se intersectam formando um angulo de 65.50 . Encontre a medida do lado menor do paralelogramo.
11 / 27
Lei dos Cossenos Lei dos Senos Aplica¸c˜ ao da Lei dos Senos
Lei dos Cossenos
EXERC´ICIO: Resolva o triˆangulo a = 412, b = 342, Cb = 151.50
12 / 27
Lei dos Cossenos Lei dos Senos Aplica¸c˜ ao da Lei dos Senos
Lei dos Cossenos
EXERC´ICIO: Dois avi˜ oes deixam um aeroporto ao mesmo tempo. Suas velocidades s˜ao 130 milhas por hora e 150 milhas por hora. O ˆangulo entre seus cursos ´e de 360 . Depois de uma hora e meia, qual a distˆancia entre os dois avi˜ oes?
13 / 27
Lei dos Cossenos Lei dos Senos Aplica¸c˜ ao da Lei dos Senos
Sum´ario
1
Lei dos Cossenos
2
Lei dos Senos
3
Aplica¸c˜ao da Lei dos Senos
14 / 27
Lei dos Cossenos Lei dos Senos Aplica¸c˜ ao da Lei dos Senos
Lei dos Senos
Lei dos Senos Para um triˆangulo ABC com lados a, b, c opostos aos v´ertices A, B, C respectivamente, tem-se a senAb
=
b senBb
=
c senCb 15 / 27
Lei dos Cossenos Lei dos Senos Aplica¸c˜ ao da Lei dos Senos
Lei dos Senos
2.Area(∆ABC ) = a.c.senBb 2b.Area(∆ABC ) = a.b.c.senBb b abc = 2.Area(∆ABC ) senBb
1 Area(∆ABC ) = a.h 2 1 b Area(∆ABC ) = a.(c.senB) 2 16 / 27
Lei dos Cossenos Lei dos Senos Aplica¸c˜ ao da Lei dos Senos
Lei dos Senos
2.Area(∆ABC ) = b.a.senCb 2c.Area(∆ABC ) = a.b.c.senCb c abc = 2.Area(∆ABC ) senCb
1 Area(∆ABC ) = b.h 2 1 Area(∆ABC ) = b.(a.senCb) 2 17 / 27
Lei dos Cossenos Lei dos Senos Aplica¸c˜ ao da Lei dos Senos
Lei dos Senos
2.Area(∆ABC ) = b.c.senAb 2a.Area(∆ABC ) = a.b.c.senAb a abc = senAb 2.Area(∆ABC )
1 Area(∆ABC ) = c.h 2 1 b Area(∆ABC ) = c.(b.senA) 2 18 / 27
Lei dos Cossenos Lei dos Senos Aplica¸c˜ ao da Lei dos Senos
Lei dos Senos
Lei dos Senos Para um triˆangulo ABC com lados a, b, c opostos aos v´ertices A, B, C respectivamente, tem-se a senAb
=
b senBb
=
c senCb
Exerc´ıcio Resolva o triˆangulo Ab = 42.50 , Bb = 71.40 , a = 215cm
19 / 27
Lei dos Cossenos Lei dos Senos Aplica¸c˜ ao da Lei dos Senos
Lei dos Senos
Exerc´ıcio Se Ab = 310 , s = 11 e r = 12, encontre x e y . 20 / 27
Lei dos Cossenos Lei dos Senos Aplica¸c˜ ao da Lei dos Senos
Lei dos Senos
Exerc´ıcio Um homem est´a voando de bal˜ao em linha reta com velocidade constante de 5 p´es por segundo, mantendo uma altitude constante. Quando ele avista o estacionamento de um supermercado, ele nota que o ˆangulo de depress˜ao do bal˜ao ao carro de um amigo que est´a nesse estacionamento ´e de 350 . Um minuto e meio depois, depois de sobrevoar o carro de seu amigo, ele olha para tr´as e vˆe o amigo entrando no carro, constatando que o ˆangulo de depress˜ao agora ´e de 360 . Nesse instante, qual a distˆancia entre as duas pessoas?
21 / 27
Lei dos Cossenos Lei dos Senos Aplica¸c˜ ao da Lei dos Senos
Lei dos Senos Exerc´ıcio Mostre que em qualquer triˆangulo vale a rela¸c˜ao senAb < senBb + senCb Se A, B, C s˜ao os v´ertices e a, b, c, respectivamente, os lados opostos aos v´ertices, ent˜ao, pela lei dos senos, tem-se a senAb
=
b senBb
=
c senCb
b y = senBb e z = senCb ´e Da´ı, o triˆangulo com lados x = senA, semelhante ao triˆangulo ∆ABC 22 / 27
Lei dos Cossenos Lei dos Senos Aplica¸c˜ ao da Lei dos Senos
Lei dos Senos
Como em todo triˆangulo, a medida de um lado ´e SEMPRE menor que a soma dos outros dois lados, temos: x < y + z, y < x + z e z < x + y , ou seja senAb < senBb + senCb senBb < senCb + senAb senCb < senAb + senBb
23 / 27
Lei dos Cossenos Lei dos Senos Aplica¸c˜ ao da Lei dos Senos
Sum´ario
1
Lei dos Cossenos
2
Lei dos Senos
3
Aplica¸c˜ao da Lei dos Senos
24 / 27
Lei dos Cossenos Lei dos Senos Aplica¸c˜ ao da Lei dos Senos
C´alculo de distˆancia inacess´ıvel
Suponha que se queira calcular a distˆancia d de A a P, considerando que n˜ao h´a como fazer a medida diretamente.
25 / 27
Lei dos Cossenos Lei dos Senos Aplica¸c˜ ao da Lei dos Senos
C´alculo de distˆancia inacess´ıvel
Determina-se o ponto auxiliar B, de modo que a distˆancia x, entre A e B, possa ser calculada diretamente. Desta forma, construiu-se o triˆangulo ∆ABP e os ˆangulos b Bb e Pb podem ser determinados. A, 26 / 27
Lei dos Cossenos Lei dos Senos Aplica¸c˜ ao da Lei dos Senos
C´alculo de distˆancia inacess´ıvel
Pela Lei dos Senos: x senPb
=
d senBb
e portanto, d=
x.senBb senPb
27 / 27
