Práctica 6. Método de los multiplicadores de Lagrange. Extremos condicionados. Análisis Matemático II. Departamento de Matemáticas. Diplomatura en Estadística / Ingeniería Técnica de Informática de Gestión Ejemplo 1. Sea la función f Hx, yL = x2 - y2. Busquemos los extremos de dicha función restringida a la circunferencia centrada en el origen y de radio 1. Definimos la función In[1]:=
Out[3]=
Clear@"Global`∗"D f@x_, y_D := x2 − y2 Plot3D@f@x, yD, 8x, −1, 1<, 8y, −1, 1<, BoxRatios → 81, 1, 1
2
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Se trata de calcular el máximo y mínimo de la función restringida a la circunferencia D={(x, y) eR2 : x2 + y2 = 1}. In[4]:=
ParametricPlot3D@8Cos@tD, Sin@tD, Cos@tD ^ 2 − Sin@tD ^ 2<, 8t, 0, 2 π
0.5
Out[4]=
0.0
-0.5
-1.0 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
Puesto que D es un conjunto cerrado y acotado (se trata de la circunferencia de centro (0,0) y radio 1) y la función f es continua tenemos garantizado que existen el máximo y el mínimo absolutos de la función f en el conjunto D. Para determinarlos aplicamos el método de los multiplicadores de Lagrange. Definimos la función que nos determina la ligadura o restricción In[5]:=
g@x_, y_D := x2 + y2 − 1
Determinamos las ecuaciones cuyas soluciones son los candidatos a extremos. In[6]:= Out[6]= In[7]:= Out[7]= In[8]:= Out[8]=
ecu1 = ∂x f@x, yD 2x
2xλ
ecu2 = ∂y f@x, yD −2 y
λ ∗ ∂x g@x, yD
λ ∗ ∂y g@x, yD
2yλ
ecu3 = g@x, yD −1 + x2 + y2
0
0
Hallamos los puntos candidatos a extremos In[9]:= Out[9]=
Solve@8ecu1, ecu2, ecu3<, 8x, y, λ
88λ → −1, y → −1, x → 0<, 8λ → −1, y → 1, x → 0<, 8λ → 1, x → −1, y → 0<, 8λ → 1, x → 1, y → 0<<
Se obtienen cuatro puntos A=(-1,0), B =(1,0), C= (0,-1) y D=(0,1). Para determinar dónde se encuentran el máximo y el
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mínimo basta evaluar la función f en dichos puntos. In[10]:= Out[10]= In[11]:= Out[11]= In[12]:= Out[12]= In[13]:= Out[13]=
f@−1, 0D 1 f@1, 0D 1 f@0, −1D −1 f@0, 1D −1
Luego, se alcanza el máximo absoluto 1 en los puntos A=(-1,0) y B=(1,0) y el mínimo absoluto -1 en los puntos C=(0,-1) y D=(0,1).
Ejemplo 2. Utilizar los multiplicadores de Lagrange para maximizar
f(x,y)=x 2-y 2 sujeta a la restricción 2y-x 2=0, x>0, y>0. In[14]:=
Clear@"Global`∗"D f@x_, y_D := x2 − y2 Plot3D@f@x, yD, 8x, −3, 3<, 8y, −3, 3<, BoxRatios → 81, 1, 1
Out[16]=
Se trata de calcular el máximo de la función restringida a la parábola y=x2 ë 2, para valores de x>0..
3
4
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In[17]:=
ParametricPlot3D@8x, x ^ 2 ê 2, x ^ 2 − Hx ^ 2 ê 2L ^ 2<, 8x, 0, 3<, BoxRatios → 81, 1, 1
Out[17]=
-5
-10
0 1 2 3
Puesto que D no es un conjunto acotado (se trata de una parábola) no tenemos garantizada la existencia del máximo ni del mínimo absolutos. En cualquier caso si existe algún extremo tiene que ser solución del siguiente sistema. In[18]:=
g@x_, y_D := 2 y − x ^ 2
In[19]:=
ecu1 = ∂x f@x, yD
Out[19]= In[20]:= Out[20]= In[21]:= Out[21]=
λ ∗ ∂x g@x, yD
−2 x λ
2x
ecu2 = ∂y f@x, yD −2 y
λ ∗ ∂y g@x, yD
2λ
ecu3 = g@x, yD −x2 + 2 y
0
0
Hallamos los puntos candidatos a extremos. In[22]:= Out[22]=
Solve@8ecu1, ecu2, ecu3<, 8x, y, λ
::y → 1, λ → −1, x → − 2 >, :y → 1, λ → −1, x →
2 >, 8λ → 0, y → 0, x → 0<>
Se obtienen tres puntos pero solo ( 2 , 1) se corresponde con valores positivos de x e y. Evaluamos la función f en dicho punto. In[23]:=
fB
Out[23]=
1
2 , 1F
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Luego, si se alcanza el máximo tiene que ser en el punto ( 2 , 1) y vale 1 . In[24]:=
Out[24]=
f@x, x ^ 2 ê 2D x2 −
x4 4
In[25]:=
Plot@8f@x, x ^ 2 ê 2D, 1<, 8x, 0, 4
1
2
3
-5 Out[25]=
-10
-15
Gráficamente se observa que efectivamente el máximo es 1.
4
5
6
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Ejemplo 3. Utilizar los multiplicadores de Lagrange para hallar
todos los extremos de la función f(x,y)=x 2+3xy+y 2 sujetos a la restricción x 2+y 2 £ 1 In[26]:=
Clear@"Global`∗"D f@x_, y_D := x2 + 3 x y + y2 Plot3D@f@x, yD, 8x, −1, 1<, 8y, −1, 1<, BoxRatios → 81, 1, 1
Out[28]=
Se trata de calcular el máximo de la función restringida al círculo x2 + y2 § 1
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In[29]:=
h@x_, y_D := WhichAx2 + y2 ≤ 1, x2 + 3 x y + y2 , x2 + y2 > 1, −10E
Plot3D@h@x, yD, 8x, −1, 1<, 8y, −1, 1<, PlotRange → 8−1, 4<, PlotPoints → 50D
Out[30]=
Puesto que el círculo x2 + y2 § 1 es un conjunto compacto (cerrado+acotado) y f(x,y) es continua tenemos garantizada la existencia del máximo y del mínimo absolutos. Los extremos tienen que alcanzarse en el interior del círculo o bien sobre la frontera (la circunferencia).
ü Puntos críticos en el interior. In[31]:= Out[31]=
In[32]:=
SolveA9∂x f@x, yD 88x → 0, y → 0<<
0, ∂y f@x, yD
MatrizHessiana@fD@x_, y_D =
0=, 8x, y
∂x,x f@x, yD ∂x,y f@x, yD ∂y,x f@x, yD ∂y,y f@x, yD
;
MatrixForm@MatrizHessiana@fD@x, yDD Out[33]//MatrixForm=
2 3 3 2 In[34]:=
Hessiano@fD@x_, y_D = Det@MatrizHessiana@fD@x, yDD;
In[35]:=
Hessiano@fD@0, 0D
Out[35]=
−5
Como el Hessiano (determinante de la matriz hessiana) en el punto (0,0) es menor que 0 se concluye que hay un punto de silla en dicho punto.
ü Extremos en la frontera In[36]:=
g@x_, y_D := x ^ 2 + y ^ 2 − 1
In[37]:=
ecu1 = ∂x f@x, yD
Out[37]=
2x+3y
2xλ
λ ∗ ∂x g@x, yD
7
8
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In[38]:= Out[38]= In[39]:= Out[39]= In[40]:=
Out[40]=
ecu2 = ∂y f@x, yD 3x+2y
λ ∗ ∂y g@x, yD
2yλ
ecu3 = g@x, yD −1 + x2 + y2
0
0
Solve@8ecu1, ecu2, ecu3<, 8x, y, λ
5
1
1
,x→−
2
,y→
2
,x→−
2
1 2
,y→−
1 2 1 2
>, :λ → − >, :λ →
5 2
1
1
,x→
2 ,x→
,y→−
2 1
,y→
2
Evaluamos la función f en las soluciones del sistema de Lagrange 1 In[41]:=
F
1
,−
fB− 2
2
5 Out[41]=
2 1 In[42]:=
, 2
Out[42]=
−
F
1
fB−
2
1 2 1
In[43]:=
fB 2
Out[43]=
−
F
1
,−
2
1 2 1
In[44]:=
fB
1 ,
2
F
2
5 Out[44]=
2
Luego, el máximo absoluto es 5/2 y el mínimo absoluto es -1/2.
1 2
1 2
>>
>,
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Ejemplo 4. Hallar el punto más alto de la curva de intersección
de las superficies x 2 + y 2 + z2 = 36, 2x+y-z=2. In[45]:=
Out[46]=
Clear@"Global`∗"D esfera = ContourPlot3D@x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 == 36, 8x, −6, 6<, 8y, −6, 6<, 8z, −6, 6
9
10
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In[47]:=
plano = ContourPlot3D@2 x + y − z == 2, 8x, −6, 6<, 8y, −6, 6<, 8z, −6, 6
Out[47]=
In[48]:=
Show@esfera, planoD
Out[48]=
In[49]:=
f@x_, y_D := 2 x + y − 2
Se trata de calcular el máximo de la función restringida a
36 - x2 - y2 = 2 x + y - 2. Esta curva es compacta
(cerrada+acotada) y por tanto la función altura (que es continua) alcanza su valor máximo.
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36 − x 2 − y 2 − 2 x − y + 2
In[50]:=
g@x_, y_D :=
In[51]:=
ecu1 = ∂x f@x, yD
Out[51]=
2
11
λ ∗ ∂x g@x, yD
x
−2 −
λ
36 − x2 − y2 In[52]:=
Out[52]=
ecu2 = ∂y f@x, yD
1
λ ∗ ∂y g@x, yD
y
−1 −
λ
36 − x2 − y2 In[53]:=
Out[53]= In[54]:= Out[54]=
ecu3 = g@x, yD 2−2x−y+
0
36 − x2 − y2
0
Solve@8ecu1, ecu2, ecu3<, 8x, y, λ
88λ → −0.782142, x → 2.83718, y → 1.41859<<
Evaluamos la función f en las soluciones del sistema de Lagrange In[55]:= Out[55]=
[email protected], 1.4185880397399804D êê N 5.09294
Luego, la altura máxima es 5.09294.
Ejercicios propuestos Ejercicio 1. Minimizar f(x,y)= 2x+4y-15=0.
x 2 + y 2 sujeta a la restricción
Ejercicio 2. Utilizar los multiplicadores de Lagrange para hallar
todos los extremos de la función f(x,y)=e-x yê4 sujetos a la restricción x 2+y 2 £ 1 Ejercicio 3. El material para la base de una caja abierta cuesta 1.5 veces más por unidad de área que el material para construir los lados. Hallar las dimensiones de la caja de mayor volumen que puede construirse con un costo fijo C. Ejercicio 4. Hallar el punto más alto de la curva de intersección
de las superficies x 2 + y 2 - z2 = 0, x+2 z=4.
